（理论物理专业论文）在bd→ρρ和bd→jψk衰变中检验b→uc流的手征性.pdf

摘要 描写强相互作用和电弱作用的标准模型( j s m ) 是在s u ( 3 ) 。os u ( 2 ) 。 u ( 1 ) ，群作用下 规范不变的场论模型。自该理论建立到现在的几十年内，它已被大量的实验事实所证实。 尤其是电弱统一理论所预言的中性流以及中间玻色子( 矿1 和z o ) 在实验上的测量。更增 强了我们对这种模型的正确性的信心。然而人们相信标准模型并不是终极理论，它只是某 一能标下的有效理论，在更高能标下，一定有更基本的理论出现。当前高能物理的主要 任务是检验标准模型并探索超出标准模型的新物理。 b 物理研究对于检验标准模型以及强子动力学方面起着很重要的作用。 b 物理研究的主要目标就是探测c p 破坏，确定某些基本的参数，并寻找新物理的迹 象。 本文的主要工作是在标准模型的框架下，应用q c d 因子化方法对非轻衰变 b 寸p + p 一，b 斗，掣k 过程进行研究，通过研究流的手征性来探讨可能超过标准模型的 新物理，我们从实验物理的实际情况出发，研究b 斗矿p 一，b 寸，甲置过程中6 _ z f ，c 流 的手征性，实验测量表明曰j p + p 一和b 斗，甲k + 衰变过程中的极化矢量分别为9 4 ， 6 0 。这和标准模型的预言吻合，因此，这就给新物理的存在提供了一个很强的限制。通 t 1 过研究手征性对纵向极化矢量比鲁的影响，发现其对右手流的混合强度掌是比较敏感的。 1 通过计算结果与实验测量结果的比较，我们得到： o 1 o 0 8 0 ，o s 彘0 0 4 2 这些限制适用于有右手流的弱相互作用模型的参数空间的限制。 关键词：标准模型、q c d 因子化、非轻衰变、手征性、纵向极化矢量。 a b s t r a c t t h es t a n d 盯dm o d e l ( s 峋i ss u c c e s s “f o rf u n d e n l l e n t a le l e c 昀- w e a ki n t e r a c t i o na sa1 0 we n e r g ye 蠡c t i v e t l l e o r 弘h 0 w e v e m es mi sn o t 锄u | 丘m a t e 也e o r y t 1 1 e r ca r es t i l lr 0 0 m sf b rn e wp h y s i c sb e y o n dt h es m a t 1 1 i g he n e r g ys c a l e f o rt 1 】et w 曲o d yn o n l 印t o n i cbm e s o nd e c a y s ，h o wt oc 出c u l a 把t l l eh a d r o 面cm a 廿e l e m e m si s 也em o s t d i m c u n 船p e c to f 恤o r yi nr e c e n ty e a r s ，廿1 eq c d - i m p m v e df h c t o r i z a t i o n ( q c d f ) a p p r o a c ha d v o c a t e db y b e n e k ee t a 1 ，a l l d w sl l s t oc o m p m et h en 伽曲c t o d z a b l ec o r r c c t i o l l st om eh 妣n i cm a 埘xe l e m 咄 8 y s t e m a t i c a l l yi 1 1m eh e a v yq u a r k1 皿i t i nt l l e _ 【l l e s j s ，w ep r e s e n tap h c n 咄e n o l o 百c a ls t i l d yo ft w o - b o d y n 砌e p o o l l i cbd e c a y o n t h ea s s u m p t i o no f l e f t - h a n d e dc 1 1 r r e n td o m i n a 鸲w ec o n s 仃a j l l t l l er e l a 廿v es 廿e n g t ho f t l l er i g h t h a l l d e d a d l l l i x 眦t ol e f c _ h 锄d e d6 斗，cn 趾s i t i o nt l s i n g b 斗p + p a n d 占斗，1 壬r 置+ d e c a y s t h e e 冲e r i m e l l _ c a lr e s l l l t s o f1 0 n g i 协d i n a lp o l a r i z a t i o i l s9 4 a n d6 0 f o r 四寸j d + p 一醐db _ j 1 壬，五， r e s p e 曲v e l y ，宜o mt h eb a b a ra n db e l l e ，a r eu s e dt oc o n s 订a i nt h ev a l u eo f 廿1 ea d m i x t i 】r es t r e r i g i h w bf o u n d 也eb 删so f t l er i 出_ h 锄d e dc u 玎e t sa r e o 善l o 0 8 0 ，o s 炙o 0 4 2 n l e s ec o n 删n 乜a r c 印p l i c a b l ef o rn e wp h y s i c sm o d e 】sw i mr i 班- h a n d e dc u n 伽t s k e yw o r d s ：s t a l l d a r dm o d e l ，q c df a c t o r i z 撕o n ，n o n l e p t o i l i cbd e c 蛳c h i r a l i 吼1 0 n g i t u d i n a lp o l a r i z 砒i o n 1 1 第一章引言 第一章引言 弱电统一模型( g w s ) 和量子色动力学( q c d ) 统称为粒子物理的标准模型。标准模型是 描述粒子间强相互作用和电弱作用的基本理论，它是目前人们用来描述“基本”粒子和它们 的相互作用的成熟的规范量子场论理论；是二十世纪物理学重大的成就之一，已得到越来 越精确的实验验证 1 ，2 。 但标准模型仍存在许多基本问题，比如： 1 标准模型中共有1 9 个参数，它们的起源都不清楚，只能由实验来测定，特别是质 量的起源以及c p 破坏起源和机制仍不清楚，因此标准模型不可能是一个最基本的理论。 2 宇宙学研究表明自然界需要更大的c p 破坏，而标准型的c p 破坏量却很小。 b 物理研究对于检验标准模型以及强子动力学方面起着很重要的作用。b 物理研究的 主要目标就是探测c p 破坏，确定某些基本的参数，并寻找新物理的迹象。 因此人们普遍相信：标准模型只是在费米能标附近的有效理论，在较高的能标下应当 存在基本的新物理理论。重味物理，尤其是b 介子的弱衰变，在检验标准模型及揭示粒子 之间相互作用性质方面起着越来越重要的作用。相对其它粒子而言，在b 介予弱衰变过程 中，有着更多的衰变道被打开，末态相互作用影响将减弱，这有利于抽取标准模型的参数 及检验标准模型。b 介子系统是研究c p 破坏的好场所，通过对它的研究可以寻找超出标 准模型的新物理存在的证据。正是这些原因，目前，无论是在实验上还是在理论上，b 物 理研究都很重要。 实验上对b 物理的研究情况可以简单的概括为： 1 1 9 9 7 年在正负电子对撞机实验上，人们发现了一个长寿命的重粒子，命名为y 粒子， 并发现y ( 4 s ) 共振态主要衰变到b b 对。由此，人们便开始了对b 物理的研究。 2 在b 介子工厂运行前，欧洲核予研究中心( c e 对d 的l e p 和费米实验室的t e v a 打o n 等实验组都作了很多的有关b 物理的实验。 3 从1 9 7 9 年开始，康乃尔( c o m e l l ) 大学的c l e 0 合作组便在质心能量约为1 0 5 g e v 的正负电子对撞机上的y ( 4 s ) 共振上收集数据，目前已经收集到约1 0 x 1 0 6 的b b 对事例数， 已经测量分支比为1 0 “的很多衰变道。 第一章引言 4 两家b 介子工厂b a b a r ( s l a c ) 3 】和b e l l e ( k e k ) 【4 】从1 9 9 9 年开始运行。由于非对称 束流对撞所产生的b 介子对在实验室系不是静止的，运动很快，因而寿命延长，有助于探 测器来测量与bo 介子混合有关的物理。因此，k e k 的圈s k b 和s l a c 的p e p 一都采用了 非对称对撞束流。到目前为止，他们基本上已经分别收集到了约5 7 9 m 和3 5 0 m b 曰对的事 例数，基本上接近测量分支比为1 0 。7 的b 介子稀有衰变过程。 5 伴随着将来的s u p e r - b 、费米实验室的b t e v 实验的运行，以及在即将开始的欧洲核 子研究中心的u c - b ( c e 鼢叼【5 】实验中，每年将产生个1 0 ”个6 6 事例对，其中的百分之十 将构成b 。介子，它们将为将来的b 介子试验积累更多的精确实验结果。 毫无疑问，b 物理的研究已进入了它的“黄金时代”，这就要求理论上对b 介子的衰变 能够给出比较可靠的预言，从而确定一些基本的理论参数。 理论上，b 介子的弱衰变既受到弱相互作用影响，也受到强相互作用的影响。描述强 相互作用的量子色动力学q c d 6 是一个具有渐近自由性质的非阿贝尔s u ( 3 ) 。规范理论， n2 对于硬过程，耦合常数口。= 粤一较小，我们可以用微扰论进行处理，其预言结果和实验能 斗刀 够很好的吻合；而对于软过程，耦合常数a 。变大，相应的物理过程进入非微扰区域，微扰 论不能够运用。目前人们对q c d 的非微扰部分还缺乏足够地认识，还没有系统可靠的方 法来处理这部分贡献，因此不得不借助于唯象理论的模型或假定，因为都存在着很多不完 善的地方，这样就使得对b 介子的弱衰变，尤其是对末态都是强子的非轻衰变过程，理论 计算具有很强的模型的依赖性，同时唯象参数的不确定性也会给理论预言带来很大的不确 定性。 由于b 介子的衰变能标o ( ) ，而夸克的质量m 。远大于q c d 的标度a 0 c d ，我们 可以将强子矩阵元按耦合系数瑾。和幂次a 。c d m 。作展开，从而和强相互作相关的理论不确 定性可以得到一定的控制。利用这一事实，m b e n e k e 等人从q c d 的基本原理出发，提出 一种计算强子矩阵元的新方法，常称之为q c d 因子化方法( q c d 觚o r i z 撕o n 或 q c d f ) 7 ，8 】，这种方法可以用于b 介子衰变到末态是两个轻介予的情况。在这种方法中， 强子矩阵元可以写成硬散射函数和强子的分布振幅的乘积，硬散射函数可以用微扰论来计 算，而长程的非微扰贡献可以吸收到b 到轻强子的跃迁形状因子或强子的分布振幅中，这 2 第一章引言 样就大大的简化了强子矩阵元的结构。 本文的主要内容就是在q c d 因子化的框架下，通过研究b 介子的非轻衰变b 呻p + p 一 和曰斗，k 4 来检验标准模型并寻找超出标准模型的新物理。 本文的结构为：第二章简述了粒子物理中的标准模型；第三章是b 物理研究中需要的 一些基本的理论方法和工具：第四章介绍了介子的光锥分布振幅；第五章是我们的工作部 分，分别研究b 介子非轻衰变呻p + p 一，吃斗t ，咄，并给出与它们相关理论结果； 第六章是我们的总结和展望。 3 第= 章标准模型 第二章标准模型 标准模型 ， 粒子物理的标准模型( 册彳) 是捕述强相互作用和电弱统一相互作用的 s u ( 3 ) cos u ( 2 ) o 【，( 1 ) r 规范理、呛【1 ，2 ，其中s u ( 3 ) c 为强相互作用规范群，弱作用规范群s ，( 2 ) 。固u ( 1 ) ，通过一个 二分量基本 五g g s 标量场自发破缺到u ( 1 ) 。，并使弱作用中间矢量玻色子和费米子获得质 量，标准模型中存在三代费米子，由于弱荷电耦合中的c k m 矩阵产生c p 破坏，在标准 模型中，中微子没有质量。 2 1 强相互作用理论 q c d 的定域规范不变的色群s u ( 3 ) 。是非阿贝尔群胶子是传递夸克问相互作用的规范 粒子。一般的，夸克和胶子记为： 夸克：吼，f = 1 ，2 ，3 ；胶子：岛，口= l ，8 。 s u ( 3 ) 群是所有的3 3 幺正幺模矩阵的集合。其群元u ，可记为： u = 8 冬；口：l ，8 ( 2 1 ) 其中，六为八个实参数。生成元l = 冬 其中，六为八个实参数。生成元l = 冬 = 旺 = ( 0 勰 是3 3 的无迹厄米矩阵。屯是g e u m a n n 矩阵， 是3 3 的无迹厄米矩阵。屯是g e u m a n n 矩阵， 4 也= 睢 洲 们l到 一0 o 0 n 0 ，l = 如 。、，j 一0 o o o 0 0 0 n ，l，l，ll o。l 一 以 第二章标准模型 驴 ，丑= ， s u ( 3 ) 生成元满足下关系式： 陪钟等n 昝丢 其中，是s u ( 3 ) 群的结构常数 c 。= 厶；q = 3 骗= 善等等；c ，= 詈 占。k = 善等等；b = 圭 缸 二 2 莩烈国飞一丢吆( 删协) e ，为胶子场强： 譬( 茁) = a ，爿；( x ) 一a 。4 ：( x ) + g ，厂卿4 舻厶 厶= 巴 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) r g ( 功斗p 刚蜂g ( x ) jq g ( x ) 斗。峨扛弓q g ( x ) ( 2 _ 5 ) l 一；( 功斗爿；( x ) 一a ，口。( x ) + _ 厂卿郎( x ) 4 。( x ) 5 第二章标准模型 2 2弱电统一理论 描述弱电统一理论的规范对称群为s u ( 2 ) 。圆u ( 1 ) ，它通过h i g g s 机制【9 破缺到u ( 1 ) 。 群 u ( 1 ) 。cs u ( 2 ) lo ( 1 ) ， 这三个群对应三个中性流l ，? ，；，租形，其相应的荷满足g e l l - m a l l n _ n i s h i j i m a 关系： q = t 3 + 吾， ( 2 6 ) 其中，q 为电荷，t 3 是弱同位旋第三分量，y 为弱超荷。满足电荷之和为零一起存在的费 米子称为一代。标准模型认为自然界存在三代费米子，不同代的相应粒子除质量之外其 它许多重要性质相似，它们以两种形式出现，即s u ( 2 ) 的左手二重态和右手单态。 第一代费米子的相应量子数见表中，第二，三代之间相同。 第一代费米子数 6 第二章标准模型 s u ( 2 ) 。ou ( 1 ) ，群的群元如下： f 跚2 址唧) 2 e x p - f 虿 1 嘞：= e ) p m 争， ( 2 7 ) l s u ( 2 ) z 。u ( 1 ) r ： 矿= e x p 卜万- 害一f 吾】 弱电理论总的拉氏量( 包括费米子的动能和相互作用项，规范玻色子的动能项及其自相互 作用项) 为： 三蹦2 0 + k + 三+ 三( 2 8 ) 其中，费米子项为， 上，= 两( 2 9 ) 式中，d = ，“以是相应与规范对称群s u ( 2 ) 。ou ( 1 ) ，的协变导数， q ，= ( a ，一哲t 睨一堙寺吼) ，( 2 1 0 ) 其中g ，分别为对应于s u ( 2 ) 。，u ( 聃的耦合常数。规范不变的电弱相互作用来源于 两项。 规范场的拉氏量为： k = 一丢形，彬”一丢吃”+ k + k ( 2 1 1 ) 式中暇，巳，为场强张量， w _ = 8 ：一8 妙：+ g 浒w ：w ：t b h v = 8q b v 8 v b4 上口和三口分别为规范固定项和f a d d e e v p o p o v 项。 ( 2 1 2 ) 弱电理论总拉氏量里，上。和上，分别来自对称破缺和y u k a w a 耦合。他们给规范玻色 子m ”，m ：和费米予研，提供质量。拉氏量三。在s u ( 2 ) 。0 u ( 1 ) ，规范变换下 7 第二章标准模型 ro ，斗。和，； 嘭斗形一吉a ( x ) + 占壮口嘭 吼一也一专a ( x ) ( 2 1 3 ) 具有小变性。 物理的规范玻色子+ ，乙和爿，为弱电相互作用本征态的线性组合， 睨+ = 去( 吃干f 眩) z ，= c o s 包嘎一s i n 巳巳 4 ，= s i n 氏暇+ c o s 巳吃 ( 2 1 4 ) 其中，t a n 吼：墅。 2 3c 脚矩阵 在标准模型中，弱作用本征态( d ，s7 ，6 ) 和相应的质量本征态( d ，s ，6 ) 通过一个幺正的 c ：m 矩阵 1 0 ，1 1 相联系： 川甍吲h a 啪 叫2 = 1 ，巧。= o ( 2 1 6 ) 可以得到圪满足的六个方程： 圪，+ 圪吃+ e ；啄= o ( 扩) = ( 出，s 6 ，6 d ) ， 第二章标准模型 屹+ 眨+ 吃= o ( 硒) = ( 淞，c f ，f “) ( 2 1 7 ) p 0 吃等都是复数，因此每一个方程在复平面上可以表示一个幺正三角形，这6 个方程对 应复平面上的6 个三角形，而且面积相等。并且都与c p 破坏观测量厶，有关。 在唯象中，f _ 6 ，= d 时的幺正关系： 屹+ 屹+ 呓= o ( 2 1 8 ) 倍受人们的关注，因为它同时涉及目前人们普遍关心的、屹、。该方程对应于图2 1 所示的幺正三角形。 a cv 0 昭 b 图2 1 ：c k m 矩阵元呓，呓，屹呢的幺正三角形 此三角形的三个内角分别为a ，卢和，表达式为 盯刮一黔，刮一糖， 关系式( 2 18 ) 可表示为 a 斗8 斗7 = 冗 ，刮一黔，( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 为验证c k m 矩阵的幺正性，可首先实验测量甜，卢，y 相角，并从中寻找新物理的迹象。 目前的b 介子工厂实验已经很好的测量了c 日“相角【1 2 】。实验正在努力测量另外两个 相角口和y 。 c i ：m 矩阵可用四个参数表示出来，目前常用的有三种参数化形式： 1 标准参数化的形式【1 3 ： 9 第二章标准模型 f q 2 c 1 3& 2 3 s 1 3 e 1 如1 2 卜。c 2 3 一钳2 3 焉够z s 叫t ：蝴q ，i 1 ) ls 1 2 s 2 3 一q 2 c 2 3 j 1 3 e 竭3 一q 2 j 2 3 一s 1 2 c 2 3 s 1 3 e 7 区3 巴3 c 1 3j 其中勺2c 。s 岛，2s i n 岛，_ ，= 1 ，2 ，3 标准模型预言只有三个转动角巳o 或三，并 且相角4 ，o 或万时，c p 破坏才能发生。 2 k 0 b a y a s l l i - m a s k a w a 参数化形式： 一5 lc 33 1 屯l c l c 2 c 3 + s 2 屯p 话c l s 2 c 3 一c 2 屯口叫5i ，( 2 2 2 ) c l c 2 岛一s 2c 3 e 叫5 c l s 2 屯+ c l c 3 已叫5j 其中c 。= c o s q ，s ，= s i n 只，( 谚为卡比玻角) 和相因子占要由实验确定，万表示着c p 偏 离的情况。 3 w b l f e n s t e i i l 参数化形式，它把c k m 矩阵元按一个小的参量圪= ：= 丑( 即卡比玻角的 正弦值) 作展开，这样很容易看出各个矩阵元的相互大小，目前唯象上特别是在b 物理研 究中常采用的一种参数化形式。其具体形式为： 。= 1 一篓 五 一( p f 卵) 2 ” 一z1 一竺4 牙 2 4 ( 1 一p 一纫) 一彳名 1 + d ( ) ( 2 2 3 ) 其中参数爿，p 和刁为实数，c p 破坏的存在要求参数玎o 。 在粒子弱衰变过程中出现非常丰富的现象可以提供许多关于基本粒子相互作用性质 的信息。特别是含重夸克强子的弱衰变，尤其是b 介子的弱衰变，非常适于检验标准模型 及测定它的参数。因为相对于其它粒子丽言，在b 介予的衰变过程中，有更多的衰变道被 打开，末态相互作用的影响将减弱，这有利于确定弱混合角，检验c k m 矩阵的么正性及 探讨c p 破坏的机制。由于这些特点，b 介子系统独立出来成为粒子物理中理论研究和实 验研究的重要场所。 b 物理研究的主要目标就是检验标准模型，探测c p 破坏，确定一些基本参数，并寻找 新物理迹象。另外，b 物理研究还可提供关于一些至今仍了解很少的强相互作用现象，如 强子内夸克和胶子的禁闭。 1 n q 叩叩 ，。 = 第二章标准模型 近年来，b 物理成为一个“热门”领域，世界上有两家b 介子工厂和多家可做b 介子实 验的加速器在做b 物理方面实验的研究，到现在为止，b 介子工厂b a b a r ( s l a c ) 3 1 和 b e l l ( k e k ) 4 已经获得了很多数据，其它的b 介子实验如t e v a 廿o nr l m l i ( f e 珊i l a b ) ， l h c - b ( c e 田 5 】也已经或将要开始运行，它们会积累更多的数据，b 物理研究迎来了它的 黄金时代，这就要求理论上对b 介子的衰变给出比较可靠的预言，从而确定一些基本的理 论参数。b 物理理论研究的主要困难是计算强子矩阵元，目前，常用的方法有简单因子化， q c d 因子化和微扰q c d 等。我们在下面强子矩阵元计算中应用的方法将是q c d 因子化。 第三章基本理论工具和方法 第三章基本理论工具和方法 b 物理中实际的过程一般是包含q c d 修正的弱电过程。因此其研究方法原则上应该 从标准模型的拉氏量出发，把弱电圈图和q c d 圈图一起进行计算，这是个双圈图的计算， 计算起来十分复杂，并且由于在我们圈图计算中有两个相差很大的能量尺度m ，和m 。，计 算过程会出现1 0 9 ( 聊；聊；) 的大对数项，使它乘上耦合常数后得到的项l o g ( m ；m ；) 仍 然不是一个小量，因而圈图展开不再是好的近似展开。为了解决这个困难，人们发现使用 了有效场理论方法，就是利用重整化，重整化方程和算符乘积展开等理论工具把标准模型 原始拉氏量转化到有效哈密顿，从而一切由有效哈密顿处发计算b 物理过程。 3 1 重整化 场论中使用的计算方法，取得较大成就的，还只有微扰理论。但是对物理过程的高阶 微扰计算，其结果总是发散的。因此，在场论中，如何处理发散问题就成为基本的、重要 的课题。经过人们的长期努力，形成了一套处理发散问题的方法称之为重整化方法。重整 化方法包括两个步骤。首先，把发散积分中的发散部分分离出来，并把它看作有限积分的 极限情况，这叫正规化。然后，把理论中出现的场量、参数重新进行定义，用抵消项消除 正规化了的发散部分，使计算结果成为有限和有意义的，这叫做重整化。这套理论最初有 费曼( f e y n m a n ) 、施温格( s c h 、i n g e r ) 在1 9 4 8 年为了解决量子电动力学中的发散问题而引入 的，最早的系统研究重整化工作是由戴森y s o n ) 等完成的【1 4 】。在以后的发展过程中，他 逐渐成为相对论量子场论的主要内容。 正规化共有三类。这三类是和积分包括积分变量、积分限、被积函数三部分相对应的。 在积分限上想办法，如作代换： =4 l 矗矿( ，) 专l i mi 彤( ，) 石5 这种正规化方法叫大动量截断法。当a 有限时，积分是有限的。当人一o 。时，就成为原 来的发散积分。 在被积函数上想办法，把发散积分正规化的方法，叫做正规子方法。因为被积函数是 由传播子和顶角组成。若把其中的某个传播子，如把 1 2 第三章基本理论工具和方法 l 爵 加上一个质量为m 的正规子的传播子 1 f j 万 并作代换 南斗测南一矗吾，阿斗溉【醑一而 这样，就可以使对，的积分成为有限。这种方法，首先由泡利( p a u l i ) ，维勒斯( l l a s s ) 提 出，故也叫泡利一维勒斯方法 1 5 】。 在积分变量的维数上想办法，使发散积分正规化的方法，叫做维数正规化方法【1 6 】。 动量空间本来是四维的，通过降低积分维数可使积分收敛。前两种方法由于破坏规范不变 性而不适用于非阿贝尔规范理论；而维数正规化方案能够自动的保持原有理论的内部对称 性，因而被广泛的应用到相对论量子场论的高阶计算过程中。 维数正规化方法所依据的基本事实是，如果积分在四思维时空是发散的，则它在较低 的时空维数d = 4 一s ( 4 ) 下是收敛的，其基本做法是：首先把发散积分延拓到d 维时空， 使得积分是收敛的，计算完之后再取极限d 斗4 p 0 ) 。结果发散图形的奇异性表现为 1 ( 4 一d ) 性的极点。 由于四阶全反称张量气唧是四维时空所特有的，因此，无法直接延拓到d ( 4 ) 维时 空中去。对于如何处理y ，有两种方法：简单维数正规化( n a v ed i m e n s i o n a l 或n d r ) 方案 1 7 】 和由特霍夫特和维特曼提出的所谓h v 方案 1 6 】。简单维数正规化方案在某些情况下不会 得到不正确的结果( 如无法得到轴失流反常的结果) ，但在不涉及求诸如乃( 扎以凡儿，) 等 运算时，利用简单维数正规化方案，仍能得到正确的结果 1 8 。h v 方案能前后一致的处理 矩阵，然而，在这种方案中，由于儿和 并不具有简单的对易性质，将给计算过程带 来很大的复杂性。 经过正规化处理后的费曼积分，其结果是一些发散部分( 表现为无穷极限或极点) 和 有限部分之和。因此，重整化第二步就是设法使发散部分消去，以得到有限的贡献。这一 步称之为重整化( 方案) ，它涉及到两个问题：如何消去发散部分；如何划分发散部分和有 限部分。 关于前一部分有两种重整化观点：一种观点认为理论的原始拉氏量中的参量( 如质量、 第三章基本理论工具和方法 耦合常数等) 都是裸量，是非物理量。通过对它们的重新定义以吸收相应的发散部分，我 们便可以得到有限的物理量( 重整化量) ；另一种观点认为原来的拉氏量三中的量都是物理 的，在最低阶近似下是可以得到正确的物理结果的；但在高阶近似下，我们需要在各相应 项中引进适当的抵消屯项来消除发散，( 上十五) 则是裸拉氏量( 其中的参量都是裸量) 。后 一种观点所用的方法称之为抵消项方法，他应用起来比较方便。该方法首先定义裸量( 带 下标“o ”) 和重整化量( 不带下标) 之间的关系 f g o = z g g 2 m o = z 。聊 11 g o = z 孑g4 0 芦= z 一( 3 1 ) 其中具有质量量纲的参数的引入是为了保证耦合常数g 的无量纲性。z 。为引入的重 整化常数，理论计算中的所有发散都应归入这些常数中去。然后，根据上式，我们用重整 化量来重新表述原来的拉氏量厶 三o = 三+ ( 3 2 ) 一般的讲，抵消项以正比于( z ，一1 ) ，可以看作新的相互作用项，相应的费曼规则也 可以导出。通过要求这些抵消项恰好抵消掉格林函数中的发散部分，从而得到有限的物理 结果，我们就可以将重整化常数互定下来。 关于后一问题的回答导致各种重整化方案，所有的重整化方案都是通过固定抵消项来 划分发散部分和有限部分。最简单也最适用于规范理论的重整化方案是从维数正规化中自 然产生的所谓最小减除( 据) 方案 1 9 。在这种方案中，抵消项的各有关参量恰好是相应的 极点项，因而只将发散部分减除掉而将有限部分保留。在维数正规化方案中，由于观察到 的与极点项同时出现的一定还有l n 4 石一，。( 如为欧拉常数) ，因而可将归入到抵消项需要 减除的发散部分，这种重整化方案称为修正了的最小减除( a 舔) 【2 0 】方案。另外，常用的重 整化方案还有在壳( o h 一5 办8 盯) 方案和离壳( q 矿一砌鲫) 方案等。在这些方案中，抵消项是由 对传播子和基本正规顶角附加边界条件( 称之为重整化边界条件) 而确定的。 无论是在最小减除方案( 包括修正了的最小减除方案) ，还是在离壳重整化方案中，“重 整化质量”，“重整化耦合常数”仅是表征格林函数的参数。只有在壳重整化方案中，它们才 是实际观察到的质量和耦合常数，因而在壳重整化方案称为物理重整化方案；无论选择何 1 4 第三章基本理论工具和方法 种重整化方案来确定重整化常数，格林函数都有唯一的值，这意味着由于所采用的重整化 方案不同，由他们所确定的重整化常数可能相差一有限量。 3 2 重整化群 重整化常数z 是裸参量( g 。，m 0 ，) 、截割( a ，s ) 和重整化点的函数z ( g o ，m 。，a ，卢) 。 当我们用微扰方法以裸参数来计算一物理量，时所得结果，应该和裸量有关和截害0 有关和 参与过程的粒子动量有关。换句话说，未重整化的物理r 应该是( 9 0 ，口。，s ，p ) 的函数 r ( 氩，s ，p ) 。按照定义，未重整化的量， 除以相应的重整化常数，并取极限， 占寸o ( 或a 斗) 就得到重整化的量，即 c ：三砌掣坠堕掣 ( 3 - 3 ) 7 h oz ( g o ，聊o ，口o ，占，p ) 、。 重整化的量e ，应该是重整化参数( g ，m ，口) 的函数，它也应该是重整化点和物理量p 的函数。按照皿翟妒 2 1 】定理上极限存在并与截割无关。即e = c ( 岛埘，口，从p ) 。由此可知 不管是重整化的物理量只还是重整化参数都是重整化点的函数。重整化点是可以任意 变化的，其变换具有群的结构，称为重整化群( r c n o 珊a l i z 撕蚰g r 0 1 叩或r g ) 。重整化的 物理量随着标度的改变满足定的方程，通常称为重整化群方程( r e n o m a l i z a t i o ng r o u p 或r g e ) ，它表示当重整化标度改变时，重整化量g ( ) ，研) 等要作相应的改变，从 而使得未重整化的量( 与无关) 保持不变。 有关重整化的量度随标度变化的重整化群方程，我们可以由裸参量于重整化标度 无关这一事实得到。例如，在量子色动力学中，根据关系式 3 1 】，我们可以得到跑动耦合 常数和跑动质量所满足的重整化群方程 蔓凳盟：( g ： ) ，占) ，鱼警：仇( g ；( ) m ( ) ) ( 3 4 ) d 竹“矗 口 其中卢- 函数和质量算符得反常量纲分别定义如下： 1 5 第三章基本理论工具和方法 则刺一盯去杀 麒姒砌= 去象 按照重整化程序，准确到两圈水平，我们得到 ( g 。( ) ，s ) = ( 岛( 卢) ) 一斋风一i 簖属， 口一口。 = 鲁+ ( 2 ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 兵中 风= 坚与型，届= 等2 一詈彤一2 c f ， y ：6 q ，碟) = c ，( 3 c ，+ 娶一婴力， 删= 墨掣，。= 等， ( 3 9 ) 其中，为夸克的颜色数，f 为夸克的味道数。 通过求解方程( 3 4 ) ，我们便可以得到【2 0 】 “舻赢愕篙鬻 一吣。，酴件c 等一筹，业裂 ， 这里a 丽是在面方案下量子色动力学的特征标度，以赖于风和崩中的夸克颜色数n 和味道数f 。假定夸克有三种颜色( n = 3 ) 和六种味道( f = 6 ) ，则成= 7 ，y ? 2 成= 4 7 均为正 的。因此，随着标度的增加，耦合常数盯，( ) 将对数型地趋于零，这种现象称为渐近自 由。同样，质量用( ) 也是随着标度的增加而减小的。 利用重整化群的好处在于它可以将大对数项自动求和起来。在某一过程中，除了标度 因子卢之外，如果还有更高质量( m ) 的粒子，大对数项l o g ( 肘) 就可能出现在重整化的 物理量中，从而使微扰论的展开不是一个很好的近似。一个简单有效的方法，就是把过程 第三章基本理论工具和方法 计算到所有阶，然后把这些大对数工负有效地求和起来。显然这个工作量很大。而上面介绍 的重整化群技巧恰好能做到这一点，为表明这一点，我们将口。的表达式【3 1 0 】重写为 铲掣i 卜鲁掣等| - ，b m 5 v ( 卢) i风4 石y ( ) 1 ，、。 其中 咖) _ l 风掣肋等 如果我们将( 3 1 2 ) 的领头阶按口， 。) 展开，则有 吼栌痉慨掣唠” z s ， 将上式与式( 3 1 0 ) 比较，我们可以看到，重整化群方程的解将自动的把对数项z n ；肛2 ) 求 和起来( 如果 胁，这些对数项是很大的，将破坏微扰论的收敛性) 。 3 3 算符乘积展开 算符乘积，按威克定理，可以展开为包括所有可能收缩的正规乘积之和。自有场的收 缩，是已知的奇异函数，可以在近距离出或光锥附近，展开成级数。在一定近似下，取其 一定的奇异部分就可算出有一定意义的结果。可是，对于相互作用场，它们的收缩是未知 的，不能采用上述办法来处理。为此威尔逊( w i l s o n ) 2 2 】提出了所谓的威尔逊算符乘积展开 ( 叩e r a t o r p m d u c te x p a l l s i o n 或o p e ) 。 算符乘积的基本思想可以概括为：两个场算符爿( x ) 和b ( y ) ，当石一y 时，它们的乘积 可以按一组完备的定域算符q f 展开 爿( 砷b ( y ) = c ，( 工一y ) q ( 去( x + y ) ) ( 3 1 4 ) t 二 其中展开系数c l 一j ，) 常称之为威尔逊( w i l s o n ) 系数，是微扰可算的，当x 斗y 时，它们是 发散的，并且是算符q 的量纲越小，系数c ，0 一y ) 发散程度越大；而按量纲分析，量纲越 大的算符，其贡献被压低得越厉害( 是以重质量( 小距离) 标度的倒数的幂次压低的) 。 1 7 第三章基本理论工具和方法 因此在一定的近似下，取量纲小的几个小算符q i 就可以得到有一定意义的结果。 两个场算符4 ( x ) 和b ( y ) ，在光锥附近，既当o y ) 2 斗0 时，它们的乘积也可以按一 组完备的定域算符q j 展开 4 ( x ) b ( y ) = c 。( x 一_ y ) q ( z + y ) ( 3 1 5 ) q j 是一组双定域算符，系数c ，0 一y ) 也称为威尔逊( w i l s o n ) 系数，当 一y ) 2 斗o 时，它们 是发散的，并且算符q 的挠度越小，系数c j 一y ) 的发散程度越大，算符的量纲减算符自 旋，叫做算符的挠度。挠度越小的算符，相应系数的发散程度越大，在一定的近似下，将 爿( x ) 曰( y ) 表示为挠度小的算符之和，就可以得到有一定意义的结果。光锥展开和近距展开 有重大的差别：光锥展开系数的发散程度由算符的挠度决定，近距展开系数的发散程度由 算符的量纲决定。 以b 介子的弱衰变为例，其衰变过程是通过荷电流，由形一玻色子场传递。 矿一玻 色子的质量吖，“8 0 4 g g 矿，同强子标度相比是很大的，因此形一玻色子只能传递很短的 距离，由形一玻色子的传播子连接着的两个荷电流t ，。一( x ) 和以+ ( _ y ) 相距很近，从而使得我 们可以进行算符乘积展开。如在树图阶近似下，夸克层次上6 斗”d 虿的过程通过交换矿一玻 色子的振幅为： 邮斗娴= f ；9 2 吃去杀西h 翮h 一 _ f 鲁屹屹( 赢h 一( 动h - 十。( 参) ( 3 1 6 ) 由于动量转移的平方后2 要比 瑶小的多，我们可以安全地忽略伙i 2 肘，2 ) 项。因此玻 色子的传播子可以等效为一点，从而可以得到低能有效四费米子相互作用算符 ( d “) ( - 6 ) 。 3 4b 介子弱衰变的低能有效哈密顿 对于夸克水平的三体衰变6 斗q g 可( g d ，s ) ，g “，d ，s ) ) ，我们可以将描写b 介子非 第三章基本理论工具和方法 轻衰变的低能有效哈密顿量写为 日盯= 主c 。( ) 阮。饼( ) + 吃饼( ) 】 二l i i l 1 0l i 一吃1 c ，( ) 易( ) + c ，。( ) q 7 z ( 卢) + c s 。( ) q 蠢 ) l + c ( 3 1 7 ) l = 3j j 对于b 介子衰变，卢= d ( m 。) 威尔逊系数c ，( ) 集中体现了能标大于的贡献，包括顶 夸克和其它重粒子的贡献，譬如矿，z 玻色子。标准模型框架下的威尔逊系数已经被计算到 了包括次领头阶的q c d 和e l e c n d w e a k 辐射修正【2 3 ，2 4 】。式中q j 的为定域四夸克有效算 符，可以分成四类： 流一流算符( c r 阳埘一c w ”r ) 饼= ( 瓦6 。) 。( 孔口) r g = ( 瓦6 。) 一( 砀) 一， 蛾= ( 瓦) 。( 易“。) ，二， 鹾= ( 瓦) 一( 易c 。) 一， ( 3 1 8 ) q c d 企鹅算符( q c d p 8 增甜加5 ) q 3 = ( 瓦6 。) ，一。( 酩口；) ，一。， 矿 珐= ( 瓦6 。) ，一。( 酩g ；) ，+ 。， 矿 电弱企鹅算符( 口k c 打d w e 础一p p 馏甜f 珊) 岛= 三( 碱h 。( 酩轨。， q 4 = ( 瓦) ( 酩瓦) 。， 一 q 6 = ( 瓦) ( 弘以) n 。， ( 3 1 9 ) q q s = 三( 巩h 一莩勺( 藓虻h 一， q 9 = 丢( 弛k - ( 酩轨一， q 1 0 ；( 弛n 一( 碱h 一，( 3 2 。) 电磁偶算符和色磁偶算符 9 ，= 嘉瓦仃”( 1 + ，s ) k 巴，9 8 。毒瓦盯”( 1 + ，s ) g 品，( 3 2 1 ) 其中盯，是s u ( 3 ) 。颜色指标，p 。，是夸克g 的电荷( 以口为单位) 。g 是在一定能标下未被 “积分，掉的所有味道的夸克，对b 介子的弱衰变来讲，能标通常取为0 ( m 6 ) ，这时 q “，d ，s ，c ，f ，6 ) 。1 三= 1 ，8 ) 是盖尔曼( g 8 肌勿”n ) 矩阵，和g 孟分别为光子场和胶 1 9 第三章基本理论工具和方法 子场的场强张量。 可以看出，在低能有效理论中，重味弱衰变是通过两个双线性夸克流构成的定域四夸 克算符来传递的。根据荷电流相互作用的结构可以将b 介子衰变过程分成三类，稀有衰变 过程( 末态只有轻子) ；半轻衰变过程( 末态既有轻子又有强子) ；非轻衰变过程( 末态只 有强子) 。对于稀有衰变和半轻衰变过程来说，衰变振幅可以因子化为轻子流和强子矩阵 元的乘积。但是对于非轻衰变，由于夸克可以将两个夸克流联系起来，我们需要考虑新的 有贡献的图，它们一般都是不可因子化的，如何可靠的计算非轻衰变强子矩阵元成为研究 强子两体非轻衰变的关键。计算强子矩阵元的方法很多，下一节我们将介绍几种常用的方 法。 3 5 计算强子矩阵元的方法 强子矩阵元包含着能标= d ( m 。) 之下的所有长程贡献，由于q c d 的渐近自由性质， 我们无法利用微扰理论来对其进行处理。当前，对强子矩阵元处理的方法主要有：简单因 子化( n a v ef 如t o r i z a t i o n 或n f ) 【2 5 ，推广因子化电e n e r a l i z e df a c t o r i 冽d o r l ) 2 6 ，2 7 ，2 8 ，微 扰q c d 方法q e m 曲a t i v eq c d 或p q c d ) 【2 9 ，3 0 】，q c d 因子化方法( q c df k t o r iz a _ i i o n 或 q c d f ) 口以及软共线有效理论( s o 盘- c 0 1 i i n e a r e 彘c t i v e t h e o r y 或s c e l ) 3 1 】。其中最后一种方 法是比较新的，它吸收了重夸克有效理论a _ 呵q u a r ke 最c t i v em e o r y 或h q e t ) 的优点，并 将不同的虚度( v i r t i l a l l 姆) 分开来讨论，在证明因子化定理等方面很有效。这里我们对其中 的几种做一下简单的介绍。 简单因字化方法 简单因子化方法( n a t i v ef a c t o i i z a t i o n 或n f ) 【2 5 是唯象上处理b 介子两体非轻衰变强子 矩阵元最简单，但又经常采用的方法。这种方法把四费米子算符的强子矩阵元近似的表示 成两个双线性流算符矩阵元的乘积 ( m ，m ：j q p ) “( m ：j ，：j o ) ( m 。l j b ) ( 3 2 2 ) 其中是一，色单态的双线性流，这里假设m ，吸收了b 介子中的旁观者夸克。上式中的两个 流算符矩阵元( m ：l ，：l o ) 和( m ，l j ，l b ) 又可以表示为参数化为介子的衰变常数和跃迁形状 因子，而介子的衰变常数和形状因子可以通过实验或非微扰的方法得到。因此，我们就可 以对b 介子两体非轻衰变进行计算。这种方的物理基础是所谓的“色透明机制”( c o l o u r n 第三章基本理论工具和方法 缸彻印a r e n c y ) 3 2 ，3 3 】，即认为