函数的极值与导数PPT课件.ppt

1.3.2函数的极值与导数,1,【复习】已知函数f(x)=2x3-6x2+7,求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;,【思考】函数f(x)在x0和x2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,一、复习与引入:,用“导数法”求函数的单调性及单调区间的步骤：,极大值,极小值,2,二、新课函数的极值:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,1.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;2.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.,在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值x0,极值指的是对应的函数值f(x0).,y,x,x0,f(x),f(x0),x0,f(x0),3,(1)一个函数的极大值在函数的整个定义域内最大.（）,考考你的判断力：,(2)函数的极值是唯一的.（）,(3)函数的极大值一定大于极小值.（）,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.（）,4,如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？,探索思考：,5,f(x)0,f(x)=0,f(x)0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,14,a=2.,例3:函数在处具有极值，求a的值,分析：f(x)在处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，可求出a的值.,解：,，,15,例4:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值,解：,因为在x=1和x=2处,导数为0,16,练习1:求函数的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3;而,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3.,17,练习2:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k-1成立的充要条件.,解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.,由于当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,18,解法2:分离变量也可通过函数值域求出a的范围.,(2)等价于当时,-3x2+2ax-1恒成立,即2ax3x2-1恒成立，显然当x=0时，不等式恒成立当时，不等式化为令,反之,当a1时,g(x)0对一切恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,19,练习3:下列函数中，x=0是极值点的函数是()A.y=x3B.y=x2C.y=x2xD.y=1/x,分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。,B,20,练习4:下列说法正确的是()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|，则f(x)无极值D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值,C,21,22,23,24,求函数f(x)的极值的步骤如下:,四、课堂小结:,(2).求导数,(3).求方程的根.,(4