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国防科学技术大学研究生院学位论文 转子系统中的非线性时间序列预测方法研究 摘要 在机械系统状态监测与故障诊断领域，通过时间序列的预测，可以辨识系统状 态，检测系统的异常行为，以及预测系统故障的发展趋势等。( 由于诸多非线性因素 的存在，非线性是机械系统的固有特性，其系统信号，也常常表现出较强的非线性， 因此，研究机械系统中的非线性时间序列预测具有重要的意义。基于嵌入理论，j 本 文研究了非线性时间序列预测及相关的理论和方法，并通过组建具有碰摩故障的转 子实验台，对转子系统中的非线性时间序列进行了分析处理，( 主要工作包括以下几 个方面： 、 ( 1 ) 非线性检验 总结了现存的各种非线性检验方法，并着重研究了替代数据法的原理和技 术；利用典型数据测试了其非线性检验的效果，并利用该方法检验了转子系统 的数值积分信号，检验结果说明，在某些情况下，转子系统的振动信号表现出 了较强的非线性。通过非线性检验的研究，本文从信号处理的角度证明了转子 系统信号的非线性，与此同时，也进一步说明了本课题研究的必要性。 ( 2 ) 相空间重构参数的选择 深入研究了相空间重构理论，详细分析了嵌入维数和时间延迟对相空间重构 的影响；研究利用伪近邻法选择嵌入维数的原理，通过分析伪近邻数目的域值 选取问题，提出了统计增长法；研究了平均位移法选择时间延迟的原理，并通 过分析相轨迹扩展的几何意义，对平均位移法进行了部分改进；利用典型数据 对本文提出的方法进行了测试，测试结果表明，本文的算法可以更好地选择嵌 入维数和时间延迟。 ( 3 ) 非线性时间序列预测 在相空间重构的基础上，利用相轨迹法对时间序列进行预测，并设计了自适 应搜索法及回退检测法，用以搜索邻近点及检测邻近点的有效性。将该法和神 经网络等非线性时间序列预测法进行e e 较，结果表明，本文的方法具有较大的 优越性。 ( 4 ) 实验系统的组建 在课题组的共同努力下，我们组建了转子实验台，通过特殊轴承的设计，模 拟了转子的碰摩故障；用前文研究的时间序列预测及其相关的方法对实验信号 进行分析处理，结果表明，对于实验信号，本文提出的统计增长法、改进的平 均位移法，可以有效地选择嵌入维数和时间延迟，本文的相轨迹预测方法能够 较好地进行预测。、) 关键词：非线l 生时间序列预坝0 相空间重构嵌入维数时间延迟 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 t h er e s e a r c ho nn o n l i n e a rt i m es e r i e sp r e d i c t i o n i nr o t o r s y s t e m a b s t r a c t i nc o n d i t i o n m o n i t o r i n g a n df a u l t d i a g n o s i s o fm e c h a n i c a l s y s t e m ，t i m e s e r i e s p r e d i c t i o nc a nb eu s e dt oc l a s s i f ys y s t e mc o n d i t i o n s ，i d e n t i f ys y s t e ma b n o r m a lb e h a v i o r a n d p r e d i c t f a u l te v o l u t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fa l l k i n d so fn o n l i n e a r f a c t o r s ，t h e m e c h a n i c a ls y s t e mi sn o n l i n e a r i n h e r e n t l y ，a n dt h es i g n a lg o tf r o ms y s t e ma l s os h o w s n o n l i n e a r i t yu s u a l l y t h e ni t i sm e a n i n g f u lt os t u d yo nt h en o n l i n e a rt i m es e r i e sp r e d i c t i o n i nm e c h a n i c a l s y s t e m b a s e do nt a k e n s e m b e d d i n gt h e o r e m ，t h i sp a p e rp r e s e n t ss o m e w o r ko nt h em e t h o d st op r e d i c tn o n l i n e a rt i m es e r i e sa n e x p e r i m e n t a lr i go fr o t o rs y s t e m w i t hi m p a c t r u bf a u l ti s c o n s t r u c t e d ，a n da l lo ft h ea b o v em e t h o d sa r ea p p l i e dt o a n a l y z e t h ee x p e r i m e n t a ls i g n a lt h ew o r kc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t e s t i n gf o rn o n l i n e a r i t yi nt i m es e r i e s t h i sp a p e rs y n t h e t i c a l l yi n v e s t i g a t e st h ee x i s t i n gm e t h o d so f t e s t i n gn o n l i n e a r i t yi n t i m es e r i e s ，e s p e c i a l l yt h ek e yc o n t e n to ft h em e t h o do f s u r r o g a t ed a t at h ev a l i d i t yo ft h e m e t h o di s p r o v e dw i t hs o m er e p r e s e n t a t i v e d a t at h er e s u l t so ft e s t i n gt h e s i m u l a t i n g v i b r a t i o ns i g n a li nr o t o rs y s t e ms h o wt h a tt h es i g n a le x h i b i t so b v i o u s n o n l i n e a r i t yb yt h e r e s e a r c ho f t e s t i n gf o rn o n l i n e a r i t y ，t h i sp a p e rp r o v e st h a tt h es i g n a li nr o t o rs y s t e mh a s o b v i o u s n o n l i n e a r i t y ( 2 ) c h o o s i n g t h ep a r a m e t e r st or e c o n s t r u c tt h ep h a s e s p a c e t h ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nt h e o r yi si n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e ca n d t h ei n f l u e n c e o f e m b e d d i n g d i m e n s i o na n dt i m ed e l a yi sa l s oa n a l y z e dt h em e t h o do f f a l s en e i g h b o r st o d e t e r m i n i n ge m b e d d i n gd i m e n s i o ni se x a m i n e d ，a n dan e wm e t h o d ，a v e r a g ei n c r e m e n t ，i s p r e s e n t e d t h ep a p e ra l s oe x a m i n e st h em e t h o do f a v e r a g ed i s p l a c e m e n tt oc h o o s ep r o p e r t i m ed e l a ya n d b ya n a l y z i n g t h eg e o m e t r yc h a r a c t e r i s t i c so f t h er e c o n s t r u c t i o ne x p a n s i o n ， 国防科学技术大学研究生院学位论文 t h em e t h o do fa v e r a g ed i s p l a c e m e n ti sr e f o r m e dt h er e s u l t so f t e s t i n gt h ea b o v em e t h o d s w i t hs e v e r a lr e p r e s e n t a t i v ed a t as h o wt h a t ，t h en e wm e t h o d s p r e s e n t e di nt h i sp a p e rc a n b e u s e db e t t e rt oc h o o s ep r o p e re m b e d d i n gd i m e n s i o na n dt i m ed e l a y ( 3 ) p r e d i c t i n gn o n l i n e a rt i m es e r i e s b a s e do nt h ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ，t h es i g n a lr o u t ei su s e dt op r e d i c tt i m es e r i e s i nt h i sp a p e ri no r d e rt os e a r c ht h en e a r e s tn e i g h b o ra n dt e s tw h e t h e rt h en e i g h b o ri s t h e b e s to n e ，t w om e t h o d so f a d a p t i v es e a r c ha n db a c k - t e s t i n ga r ed e s i g n e db yc o m p a r i n gt h e a b o v ep r e d i c t i o nm e t h o dw i t ho t h e rn o n l i n e a rt i m es e r i e s p r e d i c t i o nm e t h o d s ，s u c ha s n e u r a ln e t w o r k ，t h em e t h o di nt h i sp a p e ri sf o u n dt ob e a d v a n t a g e o u s ( 4 ) c o n s t r u c t i n ge x p e r i m e n t a ls y s t e m o u rr e s e a r c hg r o u pc o n s t r u c t sa ne x p e r i m e n t a lr i go fr o t o rs y s t e m ，w h i c hs i m u l a t e s t h ei m p a c t 。r u bb e t w e e nr o t o ra n ds t a t o ra l lo f t h ea b o v em e t h o d sa r ea p p l i e dt ot h er e a l s i g n a lg o tf r o mt h er i ga n dt h er e s u l t ss h o wt h a t ，e v e nf o rt h er e a l s i g n a l ，t h ea v e r a g e i n c r e m e n tm e t h o d ，a n dt h er e f o r m e d a v e r a g ed i s p l a c e m e n tm e t h o dc a nw o r kw e i if o r c h o o s i n ge m b e d d i n gd i m e n s i o na n dt i m ed e l a y , a n dw i t ht h ec h o s e n p a r a m e t e r s ，t h e p r e d i c t i o nu s i n gp h a s er o u t ec a na l s og e ts a t i s f a c t o r yr e s u l t s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rt i m e s e r i e s ，p r e d i c t i o n ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ， e m b e d d i n gd i m e n s i o n ，t i m ed e l a y 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 机械故障诊断领域中的非线性科学 近几年来，随着非线性科学的发展，非线性现象研究已成为几乎所有自然科学 学科的研究热点，探索非线性系统的复杂现象，揭示其演化规律，提出可行的分析 方法，己成为一项重要研究内容。在机械系统中，非线性理论也占据了重要的地位， 由于诸多的非线性因素的存在，如部件之间的间隙和摩檫、滑动轴承的油膜力、滚 动轴承中的间隙和恢复力、轴与轴承裂纹等等，非线性己成为机械系统的固有属性。 因此，一般而言，能完整地、精确地描述机械系统振动行为的系统模型应该是非线 性的，由系统获得的许多信号也具有很强的非线性。为了使分析计算简便易行，以 前，人们一般对系统模型和信号进行线性化处理，合理的线性化自然能显著地减少 分析与计算的工作量、降低理论上和技术上的难度。但是，当信号的非线性较为突 出时，如果仍采用线性化方法将不可避免地过滤掉许多重要的非线性特性，从而得 不到良好的处理效果。因此，进行非线性现象与处理方法的研究，在机械系统领域 具有重要的意义。 对于机械系统中非线性现象，特别是混沌行为，很多学者已对其进行了系统的 研究，其中最为突出的有cm o o n 等，在他出版的著作中，对机械系统中可能存在 混沌现象进行了较为详细的研究，并指出可能存在混沌的系统类型，转子系统就是 其中之一。文献 2 对机械系统的混沌振荡进行了描述，特别对转子系统的混沌行 为进行了初步分析。此外文献 3 对此也作了初步研究。有关这方面的论文散布在各 类期刊和会议论文集中，但仿真研究居于大多数，而开展实验研究或针对现实系统 进行深入研究的则甚少。 本课题主要进行转子系统中非线性时间序列的预测研究，来源于国家自然科学 基金课题：转子系统混沌行为与故障的关联关系及其预测方法研究。转子系统是 代表一类具有广泛应用背景的复杂机械的关键部分，它的工作状态正常与否直接影 响到整个机械系统的正常工作状态，因而对转子的运行进行状态监测、故障诊断和 预测具有重要的价值【4 】。 到目前为止，对转子系统中非线性行为包括混沌的研究主要侧重于理论分析。 有关这方面的文献也比较多，如早在1 9 6 6 年，e h r i c hc 5 1 在转子动力学系统中发现了 次谐波振动现象，他注意到，当高速转子透平机运行在或接近两倍工频的情况下， 将出现次谐波分量。随后，b e n t l y 6 3 观测到了2 阶和3 阶次谐波振动。b o t m a n 7 观测 了高速刚性阻尼转子系统中高于2 倍临界速度的非同步振动。n i k o l a j s e n 和h o l m e s 观测了柔性对称转子的非同步振动，该转子支承在由中心化的挤压油膜阻尼器支持 的同一平面上的两个滑动轴承上。m u s z y n s k 0 1 ，l i 和t a y l o r ”1 同时也观测到了转子 轴承系统中次谐波运动。e h r i c h “在透平机中观测到了8 阶和9 阶次谐波振动。h o m e s 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 等人m 于1 9 7 8 年发表了第一篇有关滑动轴承非周期振动行为的文章，文中研究了由 两个短滑动轴承支承的刚性轴的对称、稳态运动。所采用的试验装置中具有两类明 显不同的运动行为。对于小偏心，运动是渐近周期性的，且由少量分量组成，其分 量基本上处于同步或半同步频率处。对于大偏心，所观测到的运动是复杂的，且不 对应到极限环上，保持为一种非周期的运动。e h r i c h 1 3 1 在高速转子动力学系统中观 测到了混沌振动现象，他发现，如果第一次分又与第二次分又的速度间隔比为 f e i g e n b a u m 数时，系统的行为将变为混沌的。1 9 9 4 年，z h a o 等人【1 4 1 研究了安装于 偏心挤压油膜阻尼器的刚性转子动力学系统的次谐波和拟周期振动。同时，b r o w n 等人 1 5 1 使用短轴承理论验证了刚性支承流体动力学滑动轴承的简单模型可以展示混 沌行为，当转子不平衡力超过重力载荷时。c h e n 和y a u 【1 时对带有非线性延迟的油膜 轴承支承的柔性转子的不平衡响应中的混沌进行了研究，并认为处于临界寿命的油 膜轴承系统很可能运行在混沌的工作状态。 从上文可以看出，目前，对于机械系统的非线性动力学和混沌的研究，主要是 理论分析与数值计算，且缺乏从机械状态监测与故障诊断的角度来进行的研究。近 几年来，随着非线性科学的发展，在计算机、电子系统及物理学等领域，基于混沌 理论的信息处理与预测的理论和方法己得到了许多学者的重视。由于机械系统所表 现出来的混沌现象，把混沌信息处理技术引入到机械系统非线性故障诊断中来，并 进行进一步发展将是一条崭新的研究途径。 1 2 非线性时间序列预测 在机械系统状态监测与故障诊断领域，不管是进行系统状态的监测还是进行故 障诊断和预测，其前提都是从系统中获得信号，从数学概念上来讲，即获得一组或 多组时间序列。实质上，在一般情况下，系统状态的分析都是基于对时间序列的分 析处理，如故障的预测，实际上表现为时间序列的预测，或者说是建立在时间序列 分析的基础上。 在过去的半个多世纪里，时间序列分析已得到了迅速的发展。特别是对线性时 间序列的分析研究，已经取得了系统和丰富的成果。但是对于非线性时间序列的研 究，仅在近二十年里才逐渐被重视起来。相对线性时间序列来说，非线性时间序列 具有更广泛、更深刻的研究内容，它常常表现出更丰富、更复杂的客观现象，即便 是很简单的非线性时间序列，它们能显示出的奇观异景，也足以让人惊奇不己。正 因为这样，非线性时间序列与混沌、分形、神经网络等非线性科学都有着密切的联 系。近年来，非线性时间序列分析在很多领域，例如经济、环境、生物、气象以及 工程领域等，已经得到了广泛的应用。 在各个领域，时间序列预测都是个重要研究内容，随着非线性理论的发展， 非线性时间序列预测也得到了越来越多的研究和应用。文献 1 7 利用非线性时间序 列来预测金融状况，文献【1 8 利用非线性时间序列进行生态发展趋势预测，文献 1 9 1 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 和文献 2 0 也是利用了非线性时间序列的预测。 在机械系统状态监测与故障诊断领域，通过时间序列预测，可以辨识系统状态， 检测系统的异常行为，并且可以预测系统故障的发展趋势，进而采取相应的措施。 以前要进行系统分析，在一般情况下，都是对原始的时域信号进行二次处理，然后 分析二次信号的特征，其中最常用的就是频谱分析。但是，随着机械系统中混沌信 弓的出现，因为混沌信号功率谱图的连续性，频谱分析在某些时候己显得不合时宜， 特别是对于预测来说，传统的分析离散频率幅值趋势的方法己不再适用，因此，本 文将对时域信号直接进行预测，若不加说明，下文中的时间序列都是指从实际系统 中获得的时域离散信号。 就以往的预测来说，人们一般都是采用一些线性处理方法来进行预测，如a r 模型。但对于复杂机械系统，当系统表现出较强的非线性特征时，这些线性处理方 法很可能会显得无能为力，在这种情况下，采用非线性方法进行时间序列预测则显 现出其优越性。现有的非线性时间序列预测方法主要有两类： ( 1 ) 函数模型预测2 2 】1 2 3 】 主要包括多项式逼近、径向基( r b f r a d i a lb a s e df u n c t i o n ) 函数拟合等等。 其中多项式逼近原理简单，但求解参数时计算量大，而且实际上多项式逼近更适合 于处理线性信号，它对非线性时间序列处理能力是很有限的；径向基函数应用很广， 但该方法需求解线性方程组，因此当数据量很大时，会遇到些困难。 ( 2 ) 神经网络预测【2 4 秘】【2 6 】【2 7 】【2 ”，包括b p ( b a c kp r o p a g a t i o n 1 网络、r b f 网络、 小波网络等等，其中用的最多的是b p 网。神经网络具有很强的非线性处理能力， 用于时间序列预测具有较高的精度，但神经网络只具有短期的预测能力，即个训 练好的网络，只能以较高的精度预测很有限的几个点，正因为这样，在某些数据点 有限的领域，如经济的年度增长、气候的季度变化、股票的起伏等，神经网络的应 用很广。 对于机械系统来说，为了保留系统特征，信号的采样频率一般都有一定的耍求， 可能是几千赫兹、几万赫兹乃至更高，因此，其数据量是非常大的；而且，为了便 于分析，预测的长度也是越长越好。在这种情况下，显然函数模型预测是不合适的： 至于神经网络，其有限的预测长度对于非线性机械信号来说，也是远远不够的，就 算利用重复预测策略( 利用预测结果重新训练网络，而后预测下一个或一些点，如 此重复进行) ，可以加大预测长度，但因为机械系统中存在一些对初始条件敏感的信 号，所以前一次预测的误差在后面的预测中可能会呈指数放大，因此神经网络预测 方法在机械系统的应用也受到了一定的限制。 随着混沌理论的出现，现已有人提出了基于混沌特征对非线性时间序列进行预 测的思想，这种方法突破了传统的预测思想，对于非线性时间序列的预测，具有较 强的应用潜力。本文将对该方法进行深入研究。 1 3 课题研究思路及研究内容 目前，对复杂机械系统的监测，往往是观测某一个时间变量。这是因为在实际 国防科学技术大学研究生院学位论文 工作中，有一些信号往往很难直接观测，在有些极端情况下，甚至不知道系统的独 立变量有几个，也不知道哪些变量是系统变量。应用动力学系统方法可以发现，因 为系统各变量之间的关联作用，时间序列包含着非常丰富的信息，它蕴含着参与动 态变化的全部变量的痕迹。基于这种理论，我们可以应用相空间重构的嵌入理论对 信号进行处理，重构相空间的吸引子进行分析处理，进而达到分析系统状态变化的 目的。 相空间重构，即通过一维的时间序列反向构造出原系统的相空间结构。目前较 为常用的是延迟矢量法，该方法首先由p a c k a r d 等提出，并由t a k e n s 为之奠定了可 靠的数学基础，即我们通常所说的嵌入理论。它的基本思想是：系统中的任分量 的演化都是由与之相互作用着的其他分量所决定的，因而这些相关分量的信息就隐 含在任一分量的发展过程中。不失一般性，令x ( f ) ，t = 0 ，1 ，2 ，表示所研究的时 间序列，可得到m 维延迟矢量： x ( t ) = ( x ( f ) ，x ( t f ) ，x ( t 一( m 一1 ) f ) 其中，m 称为嵌入维数，r 称为时间延迟。假设原动力系统维数为d ，t a k e n s 业已证明，在数据无穷多且不受噪声污染的理想情况下，如果m 2 d + 1 ，则重构的 相空间可以将动力系统的许多特性保存下来。 由上文可知，t a k e n s 嵌入理论是针对无噪声观测信号的，且要求数据无穷大。 但在实际应用中，该条件是不可能满足的，实际的观测信号不仅含有噪声，而且数 据量和精度都是有限的。因此，t a k e n s 嵌入理论只是一个必要条件而非充分条件， 要进行合理的相空怕j 重构，必须选择合适的延迟分量和嵌入维数。 嵌入理论实质上是将系统相空间向嵌入空间投影，若重构维数选得太小，相空 间轨迹向低维空间投影，由此将丢失掉某些高维信息，但若重构维数太大，又会造 成信息冗余。而且，在实际应用中，如果嵌入维数取得太大，观测数据中的噪声会 占满该嵌入空间的大部分，而系统特性则有可能被噪声掩盖。另外，一般情况下， 嵌入维数越大，计算量也越大。因此，为了重现系统特性，嵌入维数m 需大于2 d + t ， 但也并非越大越好。 嵌入理论对时间延迟没有作出具体的要求，也没有提出具体选择方法，但若时 间延迟过大，系统固有的长期不稳定性将会严重影响相空间各个座标的关联性，如 果太小，又不能保证信号内涵的自由度。因此，时间延迟的选择也比较重要。 通过重构参数的选择，可以进行合理的相空间重构。在得到能反映系统特性的 相空间之后，下一步工作将是分析信号相轨迹的演化规律，进而预测信号的发展趋 势。 另外，对于机械系统的非线性，一般都是通过系统的动力学模型来进行说明， 动力学模型只能说明系统的非线性，而对于非线性系统，它可以产生线性信号，也 可以产生非线性信号。为了进一步说明本文的非线性信号研究的意义，本文首先从 信号处理的角度出发，说明当系统故障发展到一定程度时，转子系统的振动信号的 确具有较强的非线性。 综上所述，本文的主要工作包括以下几个方面： 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 非线性检验。研究替代数据法的原理，并利用该方法对转子系统中的时间序 列进行非线性检验，以此说明转子系统中信号的非线性特征。 2 嵌入参数的选择。包括嵌入维数和时间延迟。研究嵌入维数对相空间重构的 影响，分析研究选择嵌入维数的方法；分析相轨迹随时间延迟变化的规律， 研究选择时间延迟的原理和方法。 3 非线性时间序列预测。基于通过相空间重构得到的相轨迹，分析信号的演化 规律，并预测信号的发展趋势。 4 实验系统设计。设计实验系统，模拟转子碰摩故障，并用上述各种方法对实 验信号进行分析处理。 1 4 论文内容的安排 本文共分为六章： 第一章主要阐述机械系统的非线性现象，说明研究非线性时间序列预测的意义 及研究现状，并简要介绍了课题研究的思路和研究内容。 第二章阐述替代数据的原理，测试其非线性检验的效果，并利用该方法检验了 转子系统的仿真信号，以此说明转子系统中的信号在某些情况下表现出了较强的非 线性。 第三章研究嵌入维数对相空间重构的影响，利用伪近邻选择嵌入维数的思想， 提出了采用统计增长法进行嵌入维数选择的原理和方法。 第四章分析相轨迹随时间延迟的演化规律，研究了平均位移法选择时间延迟的 原理，并对该方法进行了有效的改进。 第五章主要阐述利用相轨迹预测的原理及相应的邻近点的搜索和检验方法，通 过与其他非线性时序预测方法的比较，说明了该法的优越性。 第六章介绍实验系统，包括机械结构和测量系统，并用上述各种方法分析实验 信号。 第七章得出课题研究结论，同时提出对下一步工作的展望。 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章非线性检验理论和方法 2 1 引言 对于一个非线性系统，其所产生的信号是多种多样的，可能是线性信号，也可 能是非线性信号。对于这些多样化的数据，在过去，人们基本上都是采用一些线性 方法进行近似处理，虽然有些“非线性”方法，实质上也只是在原有的线性方法上 做了某些改进，从本质上来讲，仍属于线性范畴。我们知道，在信号处理中，处理 结果的优劣在很大程度上取决于所采用的方法是否符合信号的本质特征。因此，对 于那些强非线性的信号，若仍采用以往的线性方法，其效果显然会受到一定程度的 影响。 对于机械系统，非线性是其固有特性。在正常情况下，系统信号都是较为规则 的信号，如直流信号、周期信号等。一般来说，这些信号的处理都比较简单，用一 些常用的线性方法即可解决。但是，在系统发生故障时，其信号则变得较为复杂， 当故障发展到某种程度，其信号有可能表现出较强的非线性。在这种情况下，进行 非线性信号的研究显得尤为必要。 为了说明系统信号的非线性，本章将研究时间序列的非线性检验问题，以此来 说明机械系统中的确存在大量的非线性信号，与此同时，也说明本文的研究内容是 有价值的。 现存的非线性检验主要有以下几种方法： 1 k o l m o g o r o v s m i r n o v 检验方法( k s 检验) o 鲫 k s 检验法是一种非参数型完全对立的假设检验，它是基于线性模型的拟合残差 的统计运算，即先用线性自回归( l a r ) 模型拟合样本，而后检验其拟合残差的统计分 布。k s 存在一些本质上的困难，通常用的k s 检验都采用了近似求解的方法，另 外，k s 存在“维数灾难”问题。 2 双谱方法3 叫 双谱方法是检验非线性性质的重要工具，其基本原理在于：线性求解的三阶累 积基会消失，反映到频域上，即信号的双谱会消失，但双谱方法只涉及了平稳序列 的三阶矩的结构特征，所以它不是相容的。而且在双谱方法中需要用到谱窗，而利 用双谱检验序列的非线性对谱窗很敏感，这对未知序列的检验效果是很不利的。 3 高阶矩检验 3 “ 高阶矩检验是基于这样的原理：即对于线性自回归滑动平均( l a r m a ) 模型，其 残差平方的自相关函数是相互独立且同分布的，但该方法只适于残差为白噪声的序 列样本。 4 l a g r a n g e 乘子检验方法 2 9 3 l a g r a n g e 乘子检验法是一种参数型检验方法。在检验之前，它需要假定序列 的非线性模型，且对于不同的模型须用不同的计算方法，这种检验方法对于不知道 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 非线性结构的序列来说，显然是不合适的。 另外还有t u r k e y 检验法。“、混合型检验法。鲥等等，这些方法因自身的某种缺 陷，其应用都不是很广泛，本文将不作详细介绍。 1 8 8 8 年，j t h e i l e r 提出了替代数据法( s u r r o g a t ed a t a ) ，该方法和传统方法 相比具有许多优势，如不用计算残差，相容性好等等。本文将利用替代数据法o 。3 进 行非线性检验。 2 2 替代数据法 2 2 1 原理 替代数据法实质上是一种统计假设检验，它包含两个要素： 1 虚假设( n u l lh y p o t h e s i s ) 虚假设是对所研究对象的分布特征的一种假设性猜测，虚假设是产生替代数据 的依据。虚假设限定了替代数据的特性，要求替代数据必须保留原数据的某些特征， 如均值、方差等等。 2 识别统计量( d i s c r i m i n a t i n gs t a t i s t i c s ) 识别统计量是表征时间序列某个特性的特征量，它是判别原数据与虚假设是否 吻合的准则。如果原数据与替代数据的识别特征量是相符的，则认为虚假设是成立 的，反之亦然。 所谓替代数据法，即根据虚假设产生一系列的替代数据，分别计算原数据和替 代数据的识别统计量，比较原数据和替代数据的识别统计量，并以此判别虚假设成 立与否，进而得出原数据的特性。值得一提的是，替代数据除开保留虚假设所要求 的一些特征外，其他的特征可随机选择。 替代数据的研究可分为如下几个步骤： ( 1 ) 根据需要确定虚假设心，一般假设原序列为一线性随机过程。 ( 2 ) 对原序列进行随机化，产生所需要的替代数据，并使替代数据保持原序列 在满足虚假设心的线性特征。 ( 3 ) 选择非线性检验参量( 即识别统计量) 。 ( 4 ) 分别计算原始数据与替代数据的检验参量，并用数理统计的方法检验虚假 设心是否成立。 2 2 2 替代数据的产生算法 1 随机化相位( r a n d o mp h a s e i p ) 替代数据 虚假设为：原时间序列为一线性自相关高斯过程 型，如式( 2 1 ) 所示： 目 x ( f ) - - - a o + q x ( t i ) + o e ( f ) i = l 即序列满足自回归( a r ) 模 ( 2 d 其中g 为模型阶数，口，( i = 0 , i ，2 ，g ) 和盯为系数，e ( f ) 为白噪声序列。 我们知道，a r 模型只是a r m a 模型的一种特殊情况，因此着上去似乎假设序列 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 为a t r i a 模型更具有普遍意义，而事实上只要q 足够大，这两种假设是等价的。 对于上述虚假设，其替代数据的最直观的一种算法就是利用迭代法：即用式( 2 1 ) 拟合原数据，首先利用原数据估计式中各个参数，然后不断迭代该式得到替代数据。 这种算法原理上很简单，容易理解，但由于算法采用了迭代过程，所产生的替代数 据对迭代方程的参数具有敏感性，因此，利用原数据估计方程参数时产生的微小偏 差会使替代数据偏离很远。本文采用另外一种替代算法，即相位随机法，该算法的 基本思想是保留原数据功率谱幅值，但随机产生替代数据的功率谱相位。上述两种 算法实质上是等价的。这在文献 3 4 中已得到了证明。 随机化相位法的具体过程如下： ( 1 ) x ) 进行f o u r i e r 变换，得 x ( ，) = a ( f ) e 坤“( 2 2 ) 其中，a ( z ) 为幅值函数，o ( f ) 为相位函数。 ( 2 ) 利用独立的均匀分布的随机变量伊( ) 对相位庐( ，) 进行随机化 ( ) = 声( ) + p ( 厂)( 2 3 ) 可得： j ( ) = a ( f ) e ( ，) + 吖) 1 ( 2 4 ) ( 3 ) 对随机化相位以后的x ( f ) 进行f o u r i e r 反变换，即可得到所需的替代数据 x ( 疗) = f 。瞵( 删= f 一1 4 ( ，) p7 + 9 7 1 】 ( 2 5 ) 值得注意的是，为了保证f o u r i e r 反变换的结果为实数，随机变量妒( ，) f i n n e ( f ) = 一p ( 一f ) 。 2 1 专o 1 2 2 1 l 专o 1 2 01 0 02 0 03 0 0 ( c ) n 8 。 6 0 霎一。 2 0 。 8 0 渤黼 o1 0 02 0 03 0 0 ( b )f ( 00 0 1 h z ) 心 o1 0 02 0 03 0 0 ( d )f ( + o 0 0 1h z ) 图21h e n o n 信号及其r p 替代数据的时域信号和功率谱 第8 页 一一。一州一一俐一。一w一一删虿一一 王撕一懈o一悭嘲硼 国防科学技术大学研究生院学位论文 显然，x ( n ) 与x ( n ) 具有相同的功率谱，图2 1 ( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 分别为h e n o n 映射的一段数据及其随机化相位( r p ) 替代数据的时域信号和功率谱。 2 高斯标度( g a u s s i a ns c a l e d g s ) 替代数据 虚假设为：原时间序列为高斯分布的随机过程。 替代数据产生算法如下： ( 1 ) 将原序列x ( n ) 保持幅值不变而重新排序，得到序列x ，( 门) 如下： 其中，”，i = 1 , 2 ，n 表示将x ( n ) 排序( 升序或降序) 以后第，个元素的序号。 ( 2 ) 产生一个具有高斯分布的随机序列y ( n ) ，胛= 1 , 2 ，n ( 3 ) 将，( ，z ) 按x ，( 1 7 ) 的序号重新排列，得到序列y ，( ”) 。此时的y ( ，z ) 具有随机分布 的幅值，同时具有与x ( n ) 相同的“排序”； ( 4 ) 对y ，( n ) 产生随机相位替代数据y ：( 丹) 。 ( 5 ) 将y ：( ，z ) 恢复y ( n ) 的排序，得到高斯标度的替代数据x ( ) 。 由上述过程可看出，高斯标度的替代数据x ( n ) 与原数据x ( n ) 具有相同的幅值分 布( 直方图) ，功率谱也近似相等。图2 2 ( a ) 、( c ) 是h e n o n 映射的一段数据时域 信号和幅值直方图，图2 2 ( b ) 、( d ) 是其高斯标度( g s ) 替代数据的相应图表。 图22 h e n o n 信号及其g s 替代数据的时域信号和幅值直方图 2 2 3 假设检验方法 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 识别统计量 识别统计量是验证虚假设的特征量，它有多种选取方法，如李雅普诺夫 ( l y a p u n o v ) 指数、预测误差、关联维数等。本文选用关联维数作为识别统计量。 从初始的时间序列中计算关联维数的方法首先是由g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出来的，后来经过其他学者的改进。具体的计算过程如下1 ： 设 r i = 1 , 2 ，n ) 是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到埘维欧氏空间 r 中，得到一个点( 或向量) 集j ( m ) ，其元素记作： x 。( 打7 ，r ) = ( z 。，x ，一，z ( 。一1 ) ，) 门= i ，2 ，n 。 ( 2 6 ) 式中r = k v t 是固定时间间隔，即时间延迟，v f 是两次相邻采样的间隔，为整 数，n 。= n 一( 用一1 ) r ，从这。个点中任意选定一个参考点x 。，计算其余n 。一1 个点到置的距离： _ = d ( x ，x ，) = ( + ，一x i + i ) 2 】j ( 2 7 ) 对所有互( i = 1 , 2 ，n 。) 重复这一过程，得到关联积分函数 c ) - 赢荟旧( ，叫】 妲8 式中是h e a v i s i d e 函数 日( x ) ：f f l x ! ( 2 9 ) h ( 。卜ox o ( 2 9 ) 对充分小的，关联积分逼近下式 i n c 。( r ) = i n c + d ( m ) i n ， ( 21 0 ) 因此r “中的子集j ( m ) 的关联维数是： d ( 埘) 5 烛( o l n c m ( r ) c 3 1 n r ) ( 2 t 1 ) 当d ( m 1 不随相空间维数m 升高而改变时 d ：2 慨d ( ) ( 2 1 2 ) 它就是动力系统吸引子的关联维数。 从原始的时间序列计算关联维数的流程图如图2 3 所示。 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 计算k z 0 v f ， 由最大距离和最小距离决定 超球面半径的范围，并把它 分为一系列的“弧段” 0 划分k x 几v i ，j 到对应 的弧段，记下每段中的数 目。弧段的尺寸代表不同的 ，值，所有的弧段记录数目 不同的总和即为关联积分 图2 3 计算关联维数的流程图 2 统计检验方法 我们用数理统计中的f 检验法m 1 进行假设检验。这种情况实际上是平均值与给 定值之间的比较。设数据样本个数为胛，当总体方差盯未知且为小样本( 玎 23 5 。 本文利用替代数据法检验了三组信号的非线性特性，即 第l l 页 国防科学技术大学研究生院学使论文 ( 1 ) 典型的线性信号 ( 2 ) 典型的非线性信号h e n o n 映射 ( 3 ) 转子系统数值积分数据：当转子系统发生碰摩故障时其水平专丘靛曩动 的一组数据。 i 线性信号 x f5 删p i + e f 其中e ，是白噪声，a = o 8 ，x = e ( 1 ) + 4 ， 图2 4 是原信号及其随机化相位替代数据、高斯标度替代数据自；时域言号为 了减少篇幅，两种替代数据各选了一组，以下皆同) ，表2 1 是利用，检验：三逞，亍拴 验的结果，表中h = 1 表示假设成立，h = 0 表示假设不成立( 表2 2 和表：3 也罢育 同样的规定) 。对于不同的嵌入维，虚假设都是成立的，即信号的确是线。主的 5 0 5 5 盏。 叱 一5 5 荔。 。 5 o o o2 0 04 0 0 n 6 0 0 图2 4 线性信号及其r p 替代数据、g s 替代数据的时域信号 表2 i 线性信号的统计分析结果 嵌入维原数据检验统计量f拒绝域 2l0 5 2 01 2 4 6 2 t l 2 3 5 l 31 7 1 1 0- 0 3 4 5 3 i f i 2 3 5 l 42 2 3 5 41 1 1 5 2 i t l 2 3 5 l 2 h e n o n 信号 h e n o n 信号的动力学方程为 。第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 x = 1 一a x ? + y ， y f + l ；b x f 取a = l4 ，b = o3 ，r 1 = 03 ，y l = 0 1 图2 6 是h e n o n 信号及其随机化相位替代数据、高斯标度的替代数据的时域信 号。表2 2 是利用f 检验法进行检验的结果，从表可以看出，对于不同的嵌入维，虚 假设都被否定了，这说明原信号具有较强的非线性，这与实际情况也是相符的。 通过对线性和非线性信号的两个典型例子的检验，可以认为替代数据法能够较 1 0