（应用数学专业论文）某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题.pdf

摘要 内容摘要：本文研究了某类解析函数的单叶性半径问题和单叶函数的对数系数问 题，并给出对数系数的应用第一章中主要介绍了单叶函数及相关的一些预备知 识在第二章中设函数f 是单位圆盘d 内的正规化的单叶函数设 1 ，( z ) = z 。 z 。，( z ) nc 2 1 ，2 ，3 ， 1 十c 本章讨论了f ( z ) 分别为口级星形函数，口级凸函数和。螺旋形函数时，( z ) 相应的 单叶性半径，并进一步得到了当r e 伊( ：) 卜。，z d 时，使得r e ，( z ) 卢， o s 卢c 1 成立的最大半径其中有些结果是最佳的，并推广了1 些作者的相关结 果第三章中引入了两个新的解析函数族k ，j 饵( 曲，并对包含关系进行讨论， 从而得到k 中的函数在整个单位圆中是单叶的同时研究了函数族 k ，磁( 叻的g o l u s j n 问题和偏差问题第四章中研究了单叶函数的一个子族 簧，它是星形函数族的拓广本章得到了器中函数的对数系数的准确的阶的估 计，并用所得结论研究了相邻系数问题j 关键词：解析函数；单叶函数；对数系数；s aia g e a n 算子；单叶性半径。 a b s f f a c t c o n t e n t ：t h ep r o b l e mo ft h er a d i u so ft h e 眦i v a l e n c eo fs o m ea n a l y t i cf u c t i o n sa i l d t h el o g a r i t h m j cc o e 艏c i e n t sp m b l e mo fu n i v a l e n tf u n c t i o n sa r ei n v e s t i g a t e di nt h i s t h e s i s ，a i l dw eg i v et h ea p p l i c a t i o o ft h el o g a r i t h m i cc o e f f i c i e n t s i nc h a p t e r1 ，w e i m r o d u c es o m ep r e p a r a t i n gd e f n i t i o n sc o n c e m i n gu n i v a i e n tf u n c t i o n s i nc h 印t e r2 ， l e t f ( z ) b er e g u l a r a n du n i v a l e n tf u n c t i o ni nt h eu n j td i s k d = z ：i z l a f b re x 嘲p l e ，i ff ( z ) i ss t a r l i k eo fo r d e r a ，t h e t h ed i s ki nw h i c h ，( 孑) i sa l w a y ss t a r l i k eo fo t d e r 卢( a 卢 0 ) 。每一星形函数为单叶函数。 定义若函数厂( z ) 。口- z + 荟z “单叶，并且像域，( d ) 是凸集则称，o ) 是 。内的凸函数。解析函数，。) 在。内凸当且仅当p 。) = 1 + z 等p 。用c 表 示该函数族。 定义 函数，( 2 ) j 口z z + 薹z “称为近于凸函数，如果存在星形函数 g ( z ) = 轨z + 差矿使得r e z 等) o d 用k 表示该函数族- 众所周知：c s + c k c s 。 另外为了方便，在文中，4 表示绝对常数，不必相等。 2 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 第二章某类解析函数的单叶性半径 2 1 引言 设s 表示在单位圆盘d = 扛：i z i c l ) 内单叶解析的函数 ，( z ) = z + n 2 2 2 + 口3 2 3 + 所组成的函数类c ，s ，k 和p 分别表不大家所熟悉的凸函数族，星形函数族，近 于凸函数族和正实部函数族 若，( z ) s 且满足r 。 錾! 磐卜。( o s ac 1 ) ，则称，( z ) 为。级星形函数，记为 ，( z ) s + ) 若，( z ) s 且满足r e 1 + z 手鲁) a ( 0 s a c 1 ) ，则称厂乜) 为“级凸函数，记 为c m l ， 若厂( z ) 2 z + 薹“一z 1 在单位圆盘d = z ：i z l 1 内解析，且满足条件 r e 扩等等卜。为实数，i al c 三) ，则称此类函数为8 1 p i r a 卜1 i k e 函数记 其族为& 设f ( z ) s ，且令 他) = 击产。雌) 】，c = 1 ，2 3 ， 当c = 1 时，( z ) 。三 扭( z ) 】，r j l j b e r a 和a e 【j v i n g s t o n 在文【1 】中得到如下结 论：若f ( z ) s + ) ，o e 口s 芦 1 ，则，( z ) 三【打乜) 】在iz l c ，o 中是芦级星形函数， 是方程 ( 1 一卢) + 【2 ( 2 0 一1 ) 一卢( 1 + 口) p + 。( 2 a 一声一1 ) r 2 = 0 的最小正根当r e f ( z ) 卜a 时，文【1 】中也作出了相应的讨 某类解析函数的单叫性半径和对数系数问题 论s d b e m a r d ，r w b a n i a r d 和k s p a d m a l l a b h a n 分别在文【2 】文【3 】和文【4 】中对此 类相似的问题也进行了研究 本章将，( z ) 一丢【担( 纠推广为，( z ) = 击z 1 _ 6 【z 。f ( z ) 】，c = 1 ，2 ，3 ，并得到 文【1 】中相应的结论同时，本文也包含文 2 】的一些结果 2 2 引理 弛z ，设g = 塑华鲁她+ 踹 ，p ) 。l 掣i ( 1 一，z ) ( ( 1 一声) + ( 2 a 一卢一1 ) 1 w o ) l 】一( 1 6 ) ，( 1 一1 w ( ：) i ) l + w i z l 其中l ：i 。，o ， 1 ，w ( z ) 满足s c h w a r z 引理条件，o s a ，卢 1 ，6 ，塑粤 c + i c = 1 ，2 ，3 ，则对任意的o s 口s 卢 1 有 r c g ”阱面 证由引理所设，可得 r e g ( z ) 一声 。r 。扛生丝尘兰塑堑堕二：! ! 堑2 1 坠! 竺堑卫垒型：竺2 匹! 堑1 3 ：壁坠! 鱼卫【! ! 兰竺) b 。 【1 + z ) 】【1 + 6 w ( z ) 】 ：! ! 垫生丝堕二剑! 丝墟盟二监! 竺盟豳二垡二尘塑型盟匹! ! 垡】匹! 垡l ! 1 1 + 喇r 1 1 + 6 吣) r ，! ! 垒丝! | 二熊二盟! ! 丛越垫= 竺x 生l 丝地 二垒：剑型塑匹垒三团坠亚塑! 1 1 + w 如) m + m 圳2 由于f w p ) 忙兰士篙，故上式右方 i 鬻愀a 卅1 1 + w 圳2 + ( 1 - 碘州圳2 ) 】_ ( 1 埘，訾 2 可i 丽耵医丽t _ 一 = ，。( r ) ， 因为口s 口，所以 4 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 州咖璧塑半篙嵩筹坐拦 )尘! 。( 1 一r2 ) j 1 + 6 w ( z ) f 引理2 2若p 是实孙扒1 令 = 兰匦，则 证令z = ，e “，则 r c ( 1 + c ) 篙+ 法) 剖幽型瓮糍等 n 一咿r 1 2 。 = m ) 将庐 ) 对“进行求导得 其中 【1 2 ，c o s ( 口+ h ) + r 2 】2 妒( “) e 一2 ，s i n ( “+ 口i i 二j i i 云i ， 0 s r ， rs r 0 ，不等式( 2 1 ) 可化为( r 一1 ) 2 【c r 2 4 r 一( 2 + c ) 】o ， 此时( 2 1 ) 的解为空集 4 ) 若n ( r ) 0 ，6 ( r ) 0 ，此时不等式( 2 1 ) 可化为( r + 1 ) 2 【c r 2 + 4 p - ( 2 + c ) 】o 解( 2 1 ) 得 f 二兰巫 zs 二! 望垄塑 c 综合上述四种情况，可知当r 时n ，存在故比较可得 庐( “3 ) s ( “2 ) s 庐( “1 ) ， 所以当0 sr 和_ sr 1 时，都有妒m ) k ( r ) 引理2 3 设i z l ir ，o sr t l ，k ( r ) 如引理2 2 所定义则 2 鲁r e ( 1 + c 咖( z ) + 印7 ( z ) ) z 芷( r ) ( 2 2 ) 这个结果是最佳的 证对p ( z ) p ，由h e 略l o t z 公式5 1 得 此) = 去拦州a ) ， 其中a ( 口) 是实函数，单调递增，且_ r d p ) = h 故 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 r e 荆吲( z ) ) = 去和( 1 + c ) 篙+ z 南m 应用引理2 2 ，即可得出结论且这个结果是最佳的这是因为 当。sr _ 时，取p ( z ) = 兰专，( 2 _ 2 ) 式在z = 一r 处等号成立 郭闷呐北) = 差，c c o s 等岳并，( 2 2 ) 式梧喊等 号成立故得证 2 3 定理及其证明 定理2 1 设f ( z ) 是a 级星形函数，o s o 1 ，( z ) = z “p f ( z ) 】， l + c c = 1 ，2 ，3 则对任意的os 卢 o 应用j 鬻i z 等得 j ( ，) z ( 1 + 。6 r ) q 一，。) 【( 1 一国+ ( 2 口一一1 ) j q ) i 卜( 1 一妙( 1 一i h 0 r ) i ) = 【( 1 一芦) + ( 1 一扫) ( 芦一2 ) r 一6 ( 1 一卢) r 2 】+ 【( 2 口一芦一1 十( 1 6 ) ( 2 + p 一2 a p 曲( ，k 一卢一驴2 】| 吣) i 记，( r ) = ( 2 a p 一1 ) + ( 1 6 ) ( 2 + 卢一2 口) r 6 ( 2 口一一1 ) r 2 设，2 是，( ，) 的最小正根，乇c 1 ，【o ) c o ，则当0 o ，矗( r ) o 故当叫冰帆r e 鬻 0 定理证毕 定理2 4 令o s 口，。1 ，o s ，。1 ，1 ：= ! ! ! ! 亟 某类解析幽数的单叶性半径和对数系数问题 ( ，) ：( 1 一声) + 【2 ( 。一卢) 一兰譬二堕p + ( 2 。一芦一1 ) rz ， f p ) = c 2 ( 口一1 ) + 4 ( 1 + c ) ( 口一) 】+ 2 c ( 1 一。) ( 2 + c ) 一8 ( 1 + c ) ( 口一声) 】r 2 + ( 2 + c ) 2 ( o 一1 ) + 4 ( 1 + c ) ( a 一卢) r 4 如果r e f ( z ) 口) ，z d ，q ) 墨：二z 1 - 。【z 。f g ) 】，c = l 2 ，3 则 r e ，k ) 卜卢于l z l tr 0 内成立，是最佳的其中 f p ) = 0 的最小正根卢o ；卢 r 1 ，卢r2 ； ”1 m ( r ) 一。的大于_ 且最接近的根声t 口，a ，r ，芦c r ： 这里r ：篝毒笔黼，恐；竺! 二兰 学 当c = 1 时此结论即为文【1 】中的定理2 口= 卢= o 时，结论为文【2 】中的定理4 证由于r e 伊( z ) ) a ，则存在p ( z ) p ，使得 f 7 0 ) = ( 1 一a ) p 0 ) + a ，f ”( z ) = ( 1 一“) p 0 ) 因为 ，( z ) = = 二一z 1 。 z 。f ( z ) 】7 ， 上+ c 故 ( 1 + c ) ，7 ( z ) = ( 1 + c ) f ( z ) + z f ”( z ) ， 所以 ( 1 + c ) r e ，( z ) 一声) = ( 1 + c ) r e 【( 1 一口咖( z ) + 口】十r e 2 f ( 1 一) ，( z ) 】卜( 1 + c ) 卢 = ( 1 一a ) r e ( 1 + c ) p 0 ) + 印7 0 ) ) + ( 1 + c ) ( 口一卢) 下面分情况讨论 1 当r c 时，由引理2 3 可知 ( 1 + c ) r e ，( z ) 一卢 z ( 1 一a ) 【塑i 兰羔铲】+ ( 1 + c ) ( a 一卢) ， 故 】一三r r 2 r e ，。) 一芦 zo a ) 【静】+ ( 口一卢) 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 一! ：! 竺竺兰二訾( 2 a 一芦母2 ( r ) ：j 。： ：，一：! ! 盟 ( 1 + r ) 2( 1 + r ) 2 妥让r e t ，0 ) 一p 0 ，只殒让( r ) 0 ( 小。( 1 一声) + 2 ( a 一芦) 一萼孚】，+ ( 2 a 一卢一驴： o ) 墨( 1 一声) + 2 ( a 一芦) 一三；：型】，+ ( 2 a 一卢一1 p 2 上+ c = 2 ( 一似r + 击2 ) + ( 1 垌( 1 一去，) 协”1 - 击2 ，贝| j 州一。的最j 、正根为r 3 = 尘瓮丝 ( 1 ) 若卢o ，因_ 故“) t 0 此时要( r ) 0 ，r 0 只能取( ，) ：0 的最小正根 ( 2 ) 若芦c a 如果as 墨，则 毗) = 2 叱+ 击1 + 2 】一声( 1 咄+ f ) + ( 1 一击) o ，r 0 只能取( r ) 。o 的最小正根 如果a 墨且芦圭r 2 ，则 “) = 2 口【+ i b _ + 1 2 】一卢( 1 + 2 + f ) + ( 1 一i 笔，1 一干) c 。 此时要( ，) o ，0 只能取( ，) - 0 的最小正根 2 如果卢c 口，口，墨且卢t 恐此时司知( r ) ) 0 于rc _ 时成立而对于r 苫，有 ( 1 + c ) r e ，”跏m 卜钎+ ( 1 + c ) ( 州) ；器 因肘( ) 0 ，m ( 1 ) c 0 故m ( ，) 在_ 。( 。s a c 1 ) ，则称，。) k ( 回并记 显然 取胆f 存在g 荆使讯 g 鬻卜叫刚 s 。( 口) = s + ( “) ，s 。( ) = c ( a ) ，t ( a ) cs 。( o ) ，l ( a ) c k 写( 嘭，s 。( a ) k 某类解析函数的单叶性半径利对数系数问题 本章讨论了函数族k 和k 写( 叻，得到了一些新的结果 3 2 引理 引理3 一 设w ( z ) 在i z i c r 中解析，w ( o ) ；o ( o s 女s n ) ，若1 w ( z ) l 在圆 zl = ，cr 上的最大值于z 。处取得，则有 p = 掣， 引理3 2令0 dc 1 ，y o ，m 0 ) 是星形函数，( z ) 是解析函数且 m ( 0 ) = ( 0 口= 0 ，m ( o ) = 7 ( 0 ) = 1 瓤【( 1 _ r ) 器+ r 糍】 础慨器 证令解析函数w ( z ) 由下式定义 坐盟：! 二坚二堑2 型盟 m ( z )1 + w ( ：) 贝0 w ( o ) = o ，( z ) 一1 ( 3 1 ) 若1 w ( z ) l 1 不成立，则由引理3 1 知存在亭( i 引 1 ) ，使得1 w ( 芋) i = 1 ，且有 却7 ( 亭) = - t w ( 亭) ，t 1 ( 3 2 ) 记 廿”器+ r 鬻 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) 式得 雌，= 等一r 鬻器- 因为 耻等钳，k 器圯毒簖= 等鬻加1 + w ( 亭)泓( 亭) ( 1 + w ( 亭) ) 1 1 + w ( 亭) i 。 ( 3 3 ) 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 故r e 妒停) s a 这与已知矛盾所以1 w ( z ) l 。，则称，( z ) s + 显然s + c c s 文 1 0 中估计了5 。中函数的对数系数，得到如下结论：若 ，( z ) s + ，y 。是其对数系数，则对于肛2 ，i “陋4 ”一1l o g ”，其中一是一绝对常数， 指数一1 是不能改进的本文相应给出s ? 的对数系数的估计，并由此得到s ? 相邻 某类解析函数的单叫性半径和对数系数问题 系数的估计下面用爿表示某一绝对常数，不同地方爿可以表示不同常数 4 2 引理 目l 理4 1 “”若厂( z ) s ，n = 1 ，2 ，3 ，0 r 1 贝0 砉熹愀旷蓝( 三专氚g 吉) ； 引理4 2 “”设函数r ( z ) 中的系数为吼= b 。p ) ，对任意h 1 ，存在f ，l f l = 1 有 篆l 巩l 幽4 4 。3 定理及其证明 疋埋耳l 右八2 j 6 ：。，y 。足县翊烈系裂则凋丁珂苫z ，iy 。忙爿，l j o g 以，瑁 数一1 是不能改进的 证记= 鬻【器n 则蚴咖。 因为 咖g 争卜鬻也 故 鬻以+ 扣- 于是对任意o r 1 ，z = r e ，有 z 。去点鬻z 一1 出= 去勰“d 口 于是 fz ，h 去孑鬻伽i = 撕酢儿豢卜“圳 = 新( 2 眦卜两【豢卜驯 一苤耋塑堑里塑盟望堕垡兰丝塑型塑至墼塑墨 s 去l 卜摊，t 嚣卜“驯+ 去l 弦r 湍卜“删 2 ，l + 2 ( 4 1 ) 首先估计，我们有 因为 于是 扣净摊) 豢口= 三r e 弘j 豢日 峨律耸“吲籍r 枷 5 ，0 ) 鬻= ；素，。g 掣+ ， ，0 ) fa 口一z s 争强崦掣e “吲鬻7 驯+ 蚜“r g 鬻圳_ 川。 显然 k ；昙“嘶黔；2 玎喘 由分部积分得 ，n ；圩2 沁【豢以地等沣坶g 掣姒。吲鬻， 2 新。g 挚“州黔d 删篇n f 石嗉 z。p r z 、 s 昙弘等吲豢r | 由单叶函数的偏差定理 l o g 掣郾l o g 击机心妇：酣知 气s 等。g 击t 。a 嘲心，+ 。a r g 以瑚= z 。a ，。g 击 于是 ，1 “- 1 + ，1 z 鲥幽g 击+ 2 ( 4 2 ) 某类解析函数的单叶胜半径和对数系数问题 现在估计，：，我们有 小去i 乜嚅卜咔去l p 嚣卜“a f g 黔e 日 = 去l 鹬等e r g 【器圳= 卸- + 跏幽e “州鬻圳 = 去i r 州黔d 。牟+ 砉羔v 啪，l = 孵+ 薹等弩勺e 。2 “吲篇引鹕t 嚣n s 承+ 薹攀钏姒a r s t 澍引 由引理4 1 和9 1 ( z ) 居2 ( z ) s 知 小4 。e + 2 ( 詈南占) 毛 ( 4 s ) 令r ：1 一三，由( 4 1 ) ，( 4 。2 ) ，( 4 3 ) 式知iy 。l s 4 h 一，l o g n n 我们考虑k o e b e 函数 他) 一高2 薹，驰j 1 ) ， 因为，( z ) s ，进而，( z ) 贸，且1 0 9 上字= 薹詈z i 这表明定理4 - 1 中的指数一1 是不能改进的定理证毕 定理4 2 若，( z ) 贸，则对【垒r = 1 + 薹。q ) z ”( 0 t a c 1 ) 中的系数。 有 i l d 。i i d 。一。i i s 爿3 1 l o g 月 讦| 天| 为 荟p t 一国一) z 。乏皿z ( 1 一荟展f 2 。) 4 4 2 4 某类解析函数的单叶性半符! 和对数系数问题 其中 ( 1 一把) 。= 1 一艺z ，玑( a ) = o ，d o ( a ) = 1 - 对七1 ，有 反= 半( 1 一半) ( 1 一半) ( 1 - 鼍) ， 所以对任意七1 ，有反，0 ，且 成) 是一个单调递减数列在( 4 4 ) 式中比较系数 并取模，有 i 见一蛾一。h 鼠i + 岛1 只一，j + + 成一。i 置l + 成 熙瑟( 荟见+ 1 ) + 卢一荟，( o e 州鲫) ( 4 5 ) np 一1 f 一0 对l o g 盯( z ) 求导并比较系数可得 瓦= 删。+ 一1 地一。b + + z 4 或一2 + 4 眈一。，其中洲。= 2 唧。一砧。 由定理4 1 知 i 州。k 一1 0 9 于是 l 珊吃b 嘎警i 敞l 荟i 鼠i s 一1 0 9 荟i 取li # s - u0 由引理4 2 知存在r = f 。，hi = 1 有 于是 众所周知 吃m 。1 1 。泓荟5 荟幽。 ( 4 6 ) 耋成s ，张5 半e 睁岬专+ 志) s 暑 ( 4 z ) 由( 4 5 ) ，( 4 6 ) ，( 4 7 ) 式知存在f = f 。，ki = 1 ，使得 见d l 熙瑟( 荟玩+ 1 ) + 凡+ ，荟慨m n t t lf o n h45 吼 “y 高 v i 吼 “v 岛 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 s 爿( n m ) 。n 1 。s n + i ；j 每爿n 若一是偶数，取m = 三若n 是奇数，取mz 孚不妨设n 是偶数对珂z 1 有 忪小慨川爿卟“见_ l l 酬g 川劳 定理证毕 s 爿咒1 1 l o g 儿 某类解析函数的单叶性半符! 和对数系数问题 参考文献 【1 】r j u e r a a n da e “v i n g s i o n ，o nt h eu n i v a k c eo fs o m ed a s s e so fr e g u l a rf l l n c o n s ， p r o c a m e l m a m s o c 1 9 7 l ，3 0 ：3 2 7 3 3 6 【2 】s d b e m 盯d ，t h er a d i u so fu n i v a l c n c eo fc e r t a i na n a l y t i cf u n c t i o n s p r o c a m e lm a t h s o c 1 9 7 0 2 4 ：3 1 2 3 1 8 3 r w b a m 盯d ，o nt h er a d i u s o fs t a l l i k e n e s so f ( z f ) f o rfu i v a l e n t p r o c a m e lm a t h s o c 1 9 7 5 2 4 ：3 1 2 3 1 8 ， 4 】k s p a d m a a b h a n ，o n 山er a d i u s o fu n i v a l e n c eo fc e r t a i nd a s s e so fa n a l ”i cf t l n c i i o n s 【j 】 h n d o nm a m s o c 1 9 6 9 ，l ( 2 ) ：2 2 5 2 3 1 【5 】c h p o 叫e r e n k e ，u n i v a l e n tn m c t i 0 邶咀d e n h o e c k 明dr a p r e c h t ，g 乩t i n g e n ，1 9 7 5 ， 【6 】g s s a l a g e 柚s u b d 晒s e so f 蛐i v a l e n tf l l l l c i i o n s i nc o m p l e xa l l a l y s i s - f i n hr o m 柚i a n - f i 妯i s h s e l i f l a rp a r t1 ( b a c h a f e s t1 9 8 1 ) 1 u m e 1 0 1 3 o fk 咖r e n o t 鼯 i n m a t l l ，s p r 抽g e l b e r l i n 1 9 8 3 ：3 6 2 - 3 7 2 仞e k r e mx h d i o g l u ，o s u b c l a s so fi l | 】i v a l e n lf u n 娟o n sw i t hn e g a t i v ec o e m c i e n t a p p l i e d m a l l e m a t i c sa dc o n l p u t a t i o n 2 0 0 3 ，1 4 6 ：3 5 1 3 5 8 【8 】1 s j a c k ，f t u l c t i o n ss t 盯j i k ea n dc o n v e xo f o r d e r 口【j 】l d n d o nm a t l ls o c 1 9 7 1 ，3 ( 2 ) ：4 6 9 4 7 4 f 9 】胡克，单叶函数的若干问题武汉大学出版社2 0 0 1 ：8 5 9 1 1 0 叶中秋，一族单叶函数的对数系数苏州科技学院学报( 自然科学版) 2 0 0 4 ，2 ：2 8 3 2 1 1 邓琴，叶中秋，单叶函数相邻系数之差的估计。江西师范大学报( 自然科学版) 2 2 ，2 6 ( 2 ) ：1 2 8 一1 3 1 1 2 戈鲁金，复变函数的几何理论北京科学出版社1 9 5 6 ：1 2 8 1 3 6 ， 1 3 胡克单叶函数的若干问题武汉大学出版社2 0 0 l ，6 4 - 8 5 ， 1 4 】m n i n i m u i v a i e n tf h c “o n sa i l do r t l l o n o 肌a ls y s t e m s ( r u s s i a n ) m 】1 z d a tn a u k a m o s c o w1 9 7 1 ：7 0 7 2 【1 5 】p r a nn a t hc h i c h a ln e ws u b c l a s s e s o ft h ed a s so fc i o s e t o c o n v e xf l m c t i o n s a m e r i c a n m a i h e m a l i c a ls o c i e t y ，1 9 7 7 ，6 2 ：3 7 4 3 【1 6 m i l i n i m o nap r o p e f l yo ft h el o g a i i t l l m i cc o e 蚯c i e n t so fu n i v a l e n tf i l n c l i o n s m e t r i c q u e s t i o n si n 妞田l e o r yo ff u n c t i o n s ，n a u k o v ad 1 1 咄a ，e u l 9 8 0 ：8 6 9 0 【1 7 】m i l i n i m o nac o n j e c i u r ef o rt h e1 0 9 a t i t h m i cc o e 倒c i e n i so fu n i v a l e n tf u n c t i o n s z a p n a u c h 某类解析函数的单叶性半径和对数系数问题 s e m m k n i n g l o i d m a t i n s t s l e “o v a 1 9 8 3 ，1 2 5 ：1 3 5 - 1 4 3 1 8 魏寒柏，关于m i l i n 的一个定理数学杂志，1 9 9 3 ，2 ：1 5 卜1 5 6 【1 9 】g 0 m s ， i n t e g f a lo p e r a t o r a n ds t a r l i k er i n c t i o n s c o m p u t e r s a n dm a t h e m a t i c sw i t h a p p l i c a t i o n s2 0 0 2 ，4 3 ：1 2 5 7 1 2 6 0 2 0 】pn c h i c h r a ，c o n v e x 粕ds t a r l i k el l n i v a k tf u n c t i o n s 1 h n s a m e lm a t h s o c 1 9 6 9 ， 1 3 5 ：4 2 9 4 4 6 【2 1 】h uk e ，s o m e1 1 l e o r e m so f a n a l y t i cf u n 商0 n 擞学研究与评论，1 9 8 4 ，4 ：1 9 - 2 4 【2 2 】h e r bs i l v e m a n ，u n i v a l 即t f u n c t i o n sw i mn e g a 曲ec o e m c i e n t s ，p f o c a m m a t h s o c 1 9 7 5 ，5 1 ( 1 ) 【2 3 】h e f b s i l v e r i i l a n h a 加彻i cu n i v a l e n tf u n c i i o 船w i i hn e g a t i v ec o e 伍c i e n t s j o u m a lo f m a t h e m a c a l 蛐a l y s i sa l l da p p l i c a t i o n s1 9 9 8 ，2 2 0 ：2 8 3 - 2 8 9 【2 4 】s i b e ly a l c i nk a 唧i z o g l l l l a r i m e t i n0 z t u r k ，m n m i ny a m a n k a r a d e n i z as u b d a s s0 fh a 咖n i c u a i v a l e n t f u n c i i o n sw i c hn e g a t i v ec 0 e 彤c i e n t s a p p e dm a t h c m a t i c s柚dc o m p u t a t i o n 2 0 0 3 1 4 2 ：4 6 9 4 7 6 【2 5 】j c l 加i e 柚dt s h e i l s m a ，h a 衄0 n i cu i v a l e mf i l n c t i o n s ，a n n a c a d s c i f c n n s e la i m a t h 1 9 8 4 ，9 ：3 2 5 【2 6 魏寒柏，近与凸函数相邻系数的一点注记江西师范大学报( 自然科学版) 1 9 9 0 ，1 4 (