（油气田开发工程专业论文）复杂断块油藏无网格数值试井.pdf

m e s h l e s sn u m e r i c a lw e l l - t e s t 0 1 1c o m p l e xf a u l t - b l o c kr e s e r v o i r b y l iy u - k u nd i s s e r t a t i o ns u p e v i s o ry a o j u n ( p r o f e s s o r ) a b s t r a c t d u et ot h ef a s td e v e l o p m e n to fo i l f i e l d s m o r ea n dm o r ec o m p l e xf a u l t - b l o c ko i l r e s e r v o i r sh a v eb e e no p e n e d 叩i nr e c e n ty e a r sw h i l et h ew a t e ri n j e e t i o nm a k e st h ef l u i d f l o wm o r ec o m p l i c a t e d t h u st h o s et r a d i t i o n a lt h e o r i e sa n da n a l y s i sm e t h o d so ft e s 衄 i n t e r p r e t a t i o ni x ! t x a n l el e s se f f i c i e n ta n dc o u l dn o tm e e ta l lr e q u i r e m e n t se x a c t l yi nt h e d e v e l o p m e n l f i n i t e - d i f f e r e n c ea n df i n i t ev o l u m em e t h o da mt w ow i d e l y - u s e dn u m e r i c a l c a l c u l a t i o nm e t h o d si nt h i sf i e l da tp r e s e n lb o t hb a s et h e m s e l v e so nm e s h e s , t h u s c a r m o ta v o i db e i n gs u b j e c t e dt ot h e i ri n f l u e n c e s ；删l em e s h l e s sm e t h o di sf l e ef r o m m e s h e sa n dt h er e s u l ti ta c b i e n v , e st u r n so u tm o b ga c c u r a t e 1 1 豫t w om e r i t si i l a k et h i s n e w l y - s p r o u t = e dn u m e r i c a lm e t h o do n eo f t h eh o t t e s tt a s k sn o w a d a y s t a k e nt h ew e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o dw i t hc o m p a c t l y $ u p p o r t e dt r i a lf u n c t i o na s m a t h e m a t i c a lm o d e l ，t h ef u n d a m e n t a l so fm e s h l e s sm e t h o dh a v eb e e ne x p l i c i t l y d i s c u s s e di nt h i sp a p e r ；m e s b i e s sm e t h o dh a sa l s ob e e ni n d u c t e di n t on u m e r i c a lw e l lt e s t a n a l y s i s a n dt h e nt h et w om e s h l e s sm e t h o d s ，n a m e l ye l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f o m ) a n dm e s h l e s sw d g h t e dl e a s t - s q u a r em e t h o d ( m w l s ) ，h a v eb e e na p p l i e dt o t h es o l u t i o no fo i l - w a t e rt w o - p h a s ef l o wt h r o u g hp o r o u sm e d i a ；c o m b i n i n gw i t h c o m p l e xf a u l t - b l o c ko nr e s e r v o i r sw e l l - t e s ta n a l y s i s sf e a t u r e s t h em e s h l e s sn o d e s d i s t r i b u t i o nh a sb e e ni n v e s t i g a t e dt h o r o u g h l y ；r e s o l u t i o no fs y s t e a no fl i n e a re q u a t i o n s a sw e l la st h eb o r e h o l es t o r a g ea n ds k i nf a c t o re f f e c t sh a v ea l s ob e e n a n a l y z e d ： s i m u l a t e da n n e a l i n gg l o b a lo p t i m i z a t i o na l g o r i t h mf o ra u t o m a t i c a l - f i ti n w e l l - t e s t i n t e r p r e t a t i o nh a sb e e na d o p t e d t h em e s h l e s sw e l l - t e s ts o f t w a r eb a s i n g0 1 1t h i s t e c h n i q u eh a sa l r e a d yb e e nd e v e l o p e da n da p p l i e di nt h ep r a c t i c eo fo i l f i e l d s ，a n d s a t i s f a c t o r yr e s u l t sw e r eo b t a i 麒1 t h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t e dt h a tt h ee f g mi so fh i g hc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y a n ds t a b i l i t y , b u ta c c o m p a n i e d b yb i gc a l c u l a t e da n a o u n t ；m w l sc o u l di n s t e a d o v e r c o m et h ed e f e c t so fe f g ma n dg r e a t l yi m p r o v ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y , b u ti t s e u l e r i a ne q u a t i o nc h a n g e dt h u sm i g h tl e a dt oc e r t a i ne r r o r su n d e rn o n - a c c u r a t e b o u n c l a r yc o n d i t i o n s t h ea p p r o a c hi n t r o d u c e di nt h i sd i s s e r t a t i o na b s t r a g 舡t h em e r i t so ft h et w o m e t h o d sm e n t i o n e da b o v e ( m w l s & e f g m ) t oa c h i e v ed i s e r e t er e s o l u f i o na n dd e a l s d i f f e r e n tp a r t sw i t hd i f f e r e n tm e a s u r e ：t h ef o r m e rb e i n gu s e di nt h ef i e l do fp r e s s u r e c o n t r o le q u a t i o nw h i l et h el a t t e ri ns a t u r a t i o ne q u a t i o n t h em e s h l e s sw e l l - t e s ts o f t w a r e g r o u n d e do ns u c ha p p r o a c ha sb e e nd e v e l o p e da n da p p l i e di nt h es c e n eo fo i l f i e l d s f a s c i n a t i n gs t a t i s t i c sp r o v e dt ob eo fh i g ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c y o n - s i t et e s t i n g sa l s o m a k ed e a rt h a tt h ea p p r o a c hi sv e r yp r a c t i c a b l ei np r a c t i c a la p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ；n u m e r i c a lw e l l - t e s t i n g ；f a u l t - b l o c kr e s e r v o i r ； a n i s o t r o p i cm e d i a 独创性声明 我呈交的学位论文是在导师指导下个人进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其它 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。特此声明。 声明人c 签名锄月日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交学位论文的复印件，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存学位论文。特此说明。 说明人( 签名)指导教师( 签名) ：年6 月2 日 复杂断块油藏无网格数值试井 创新点摘要 无网格法是一种新型的数值计算方法，本文首次把无网格法应用于油藏数值 试井问题中，对无网格数值试井的理论和方法作了深入系统的研究，主要创新点 总结如下： ( 1 ) 首次把无网格法应用于数值试井问题中，形成无网格法求解油水两相数值 试井解释模型的方法。建立油水两相数值试井解释模型，推导了油水两相的无网 格伽辽金法( e f g m ) 和无网格最小二乘法( m w l s ) 两种无网格法计算格式。该方法 可以自如地处理复杂断块油藏的多相流问题。由于无网格方法只需要节点信息， 因而其参数设置的步骤简单，且具有较高的精度；( 见第3 章) ( 2 ) 形成了复杂断块油藏节点布置技术。应用无网格法求解油水两相数值试井 解释模型中，节点布置尤为重要；本文结合无网格法数值试井的具体要求和特点， 研究了复杂断块油藏节点布置方案，实现了包括直井、水平井、断层和复杂边界 的非均质断块油藏的节点自动布置技术；( 见第4 章) ( 3 ) 研制了复杂断块油藏数值试井解释软件。采用无网格理论和方法，对复杂 边界、非均质油藏和油水两相数值试井问题进行了研究，编制了复杂断块油藏数 值试并解释软件，并通过矿场应用迸行了验证。( 见第6 、7 章) 第l 章前言 1 1 研究的目的及意义 第1 章前言 2 0 世纪8 0 年代后期，试井问题的数值求解方法开始兴起，但发展至今仍局限 于单相流问题的研究，或是用常规的数值模拟软件来研究多相流试井的正问题， 反问题的研究刚刚起步。对于复杂、多变的非均质油藏的试井问题以及多相流试 井的问题，描述多相流的方程式都是高度非线性的。9 0 年代以来，国内外学者陆 续开展试井问题的数值分析工作。复杂断块油藏、多相流试井作为促进数值试井 理论发展的主要源动力，受到了国内外研究学者的高度重视。 目前在数值试井研究中，有限差分法、有限体积法和有限单元法是主要的数 值计算方法。这些方法均基于网格，计算结果受网格的影响较大，前后处理比较 麻烦。无网格法作为一种新型的数值计算方法，近几年来在固体和冲击力学领域 凸现了其独有的优势。然而目前无网格法在油藏数值模拟中的应用研究，国内外 尚处于起步阶段。无网格数值试井方面的研究目前也未有报道，所以对该问题进 行研究具有重大的理论意义和学术价值。 本文旨在把无网格法引入到数值试井中，建立复杂断块非均质油藏油水两相 流无网格试井解释模型，研究其求解方法，形成一套复杂断块油藏的无网格数值 试井解释理论和方法，并依据此理论和方法编制数值试井解释软件，以提高对复 杂断块油藏的动态监测和评价水平，为此类油藏的合理、高效开发奠定坚实的基 础。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 无网格法研究现状 在工程技术领域内，由于计算机技术的飞速发展，使得有限差分、有限元等 数值计算方法在计算效率和精度上有了全面的提升，从而得到了充分的应用。这 些方法都是以网格为基础的，计算精度和计算效率受网格影响较大，前后处理较 麻烦。近年来兴起的无网格法基于离散点来构造紧支试探函数，既避免了网格划 分的复杂过程，又不会碰到网格畸变等问题，因而具有重要的研究和应用价值。 对无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪7 0 年代对非规则网格有限差分法的研 究【i 埘，由于当时有限元的巨大成功，这类方法没有受到重视。最早的无网格方法 是光滑质点流体动力学法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c sm e t h o d ，s p h ) 1 4 1 ，它是 第1 章前言 由l u c ylb 在1 9 7 7 年提出的睁j ，并成功地应用于天体物理现象中无边界星系爆炸 问题；但是该方法在精度和稳定性方面存在问题，故直没有得到广泛的应用。 随后，在8 0 年代，m o n a 曲a n 【6 l 等在该方法的研究与应用中作出了突出贡献，他们 将s p h 方法发展为核函数法。近几年，s w e g l e 、o y k a 和c h e n 7 - 9 提出了s p h 方法 不稳定的起因及稳定化方案。随着s p h 的日益成熟，这种方法开始广泛应用于水 下爆炸仿真模拟【l o l 、高速碰撞材料动态响应的数值模拟等领域【1 1 1 。 n a y r o l e s 等【协”】在1 9 9 2 年提出了一种全新的方法，称为散射元法( d i f f u s e e l e m e n t m e t h o d ，d e m ) ，并将其应用于对p o s s i o n 方程和弹性力学问题的分析过程 中。在该方法中，n a y r o l e s 首次将最小移动二乘近似引入g a l e r k i n 法中，得到了具 有c 1 阶连续性的近似解，而一般的有限元只具有c 0 阶连续性的近似解。在1 9 9 4 年，美国n o r t h w e s t e r nu n i v e r s i t y 的b e l y t s e h k o 在n a y r o l e s 等的工作基础上，提出 了一种基于移动最d , - 乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ，m l s ) 的无网格方法，称 为无网格伽辽金法( t h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g m ) ，继而兴起了无网格 法的研究热潮。b e l y l s c h k o t 、g u l 和l i u y y 利用e f g 法对固体力学的许多问题 进行了分析，并且在动态裂纹扩展的数值模拟问题上取得了很好的效果【i 习。 美国n o r t h w e s t e r nu n i v e r s i t y 的另一位科学家l i uwk 根据函数积分变换的思 想将传统的粒子方法与小波概念结合起来，提出了再生核粒子法( r e p r o d u c i n g k e m e lp a r t i c l em e t h o d ，r k p m ) t “1 ”。他结合小波的概念，构造了多尺度再生核粒 子法( m l d t is c a l er e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，m r k p m ) 【1 s l ，利用小波函数 的多尺度分析思想，构造了一系列可同时伸缩和平移的窗函数，实现了r k p m 的 自适应分析，可用于对局部问题进行细致的数值分析。随后l i u 等人使用r k p m 方法对大量问题进行了数值分析，如结构动力学问题等【1 9 1 。 1 9 9 5 年，o d e njt 和d u a r t eca 提出了h p - c l o u d s 无网格方法 2 0 1 ，该方法利 用最小二乘原理建立单位分解函数，用来进行常量模拟，然后通过o a l e r k i n 变分， 建立离散模型，o d e n 对这种方法进行了严格的数学论证。o d e n ，d u a r t e ，z i e n k i e w i c z 等【2 l 】又提出了基于云法的新型h p 有限元( n e wc l o u d s - b a s e sf e m ) ，这种方法借助 于有限元网格，将其形函数作为单位分解函数，虽然该法破坏了无网格的部分特 性，但给解决问题带来了方便。 同年，b a b u s k a 及m e l e n k i 捌提出了单位分解法( t h ep a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ， p u m ) 。利用现代数学单位分解的重要概念对单位分解法进行了严格的数学论证。 1 9 9 6 年，西班牙学者eo n a t e 和i d e l s o h n 等田】提出了有限点法( t h ef i n i t ep o i n t m e t h o d ，f p m ) ，该方法采用移动最小二乘原理来构造形函数，采用配点格式进行 2 第1 章前言 离散，是一种无需背景网格的完全无网格方法，它主要应用于流体动力学领域。 1 9 9 6 年，波兰学者l i s z k a 等f 2 4 1 提出了h p - m e s l a l e s sc l o u d s 法，该方法不同于 o d e n 的h p - c l o u d s 法，它改用配点格式来求解，同样也是一种完全的无网格方法。 1 9 9 8 年，著名的力学家a t l u r i 也对无网格方法进行了大量的研究，提出了局 部边界积分法( l o c a lb o t m d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ，l b 1 ) 阅和无网格局部伽 辽金法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v - c r a l e r k i nm e t h o d ，m l p g ) p 6 j 。它们都是基于移动最小 二乘原理来建立对场函数的近似，而且在积分时不需要背景网格，是完全的无网 格方法。 国内的一些学者也做了许多工作，清华大学的周维垣和寇晓东运用无网格法 对河道边坡进行分析，并采用罚函数法处理位移边界条件1 2 7 1 ；清华大学的陆明万 和宋康租对无网格法翰数值理论作了一定的研究网；中国科学院武汉岩士力学研 究所的庞作会和葛修润将其应用到岩体力学中网。清华大学的张雄和刘岩对无网 格法的数值理论也作了重要的研究p o l 。刘更、刘天祥等人对无网格法理论及其应 用做了一定的工作【3 1 1 ；陈莘莘，李庆华等应用无网格方法对热传导问题进行了 研究【3 2 3 7 1 。 1 2 2 复杂断块油藏数值试井研究现状 对于复杂断块非均质油藏多相流的试并问题，尚无公认可行的解决办法，国 内外正逐步展开研究，试图用数值试井的方法解决这个问题，不同数值试井理论 和方法正逐渐成为试井发展的新方向1 3 s 4 5 1 。 试井技术是研究油井及储层特性、油层变化规锋、掌握油田动态的重要技术 手段。利用试井资料可以获得油藏压力、温度和储层物性参数，确定油井产能， 评价油井完善程度及井底污染情况，分析增产措施效果，落实油藏边界情况，判 断断层密封及井间连通情况，研究储层的平面分布规律。在原有的常规试井解释 方法的基础上，各国试井专家成功地研制了许多试井解释图版，特别是压力导数 解释图版及其拟合分析方法，使试井解释取得了突破性的发展。现在，一套比较 完整的所谓“现代试井解释方法”已经建立起来，并日臻完善。 试井分析技术发展到现阶段，对于均质单相渗流范畴的试井设计和分析技术 已经成熟，但是对于复杂边界、非均质油藏的试井问题，以及多相流试井问题， 国内外学者正在展开研究。非均质复杂边界油藏及多相渗流等问题相对于均质单 相渗流问题而言，其复杂形态急剧增加。虽然可以通过数值方法来求解渗流方程 并得到一些图版，但是问题的复杂性大大地限制了其实际运用。由解析求解生成 3 第1 章前言 典型图版，根据实际曲线与典型曲线的拟合情况得出油藏基本参数和油藏信息的 传统的试井分析的思路，制约了试井分析的进一步发展；并且一个油藏开发的深 入程度与是否能科学地确定含油饱和度的递减模式、合理地调整采收率和产率的 关系有关。只有试井才能提供该方面的评价指标即渗透率变化剖面。含油饱和度 的变化是油藏工作者最关心的问题，而常规试井的结果是宏观的，是整个试井工 程内的一个平均值，所以它不能揭示油藏内含油饱和度分布剖面。 由于描述非均质多相流的方程是高度非线性的，在不做较大简化的情况下， 没有解析解，数值试并理论应运而生，并很快就成为了试井分析的重要手段。2 0 世纪9 0 年代以来，国内外学者陆续开始做试井问题的数值分析工作。目前国内外 都十分重视这方面的研究。 目前数值试井的模型都是在对黑油模型进行一定简化的基础上建立的1 4 6 - 6 4 1 。 最早研究多相流试井的文献可追溯到p e r f i n e 的工作 7 3 1 。把单相流体的流动系数、 压缩系数。用多相流的总流度和综合压缩系数来代替。则在单相流情况下推导出 的试井公式可同样应用于多相流试井。m a r t i n 为p e t r i n e 提供了证吲明，并通过理 论分析指出p e r r i n e 方法的基本假设是忽略饱和度梯度。基于这种方法的试井分析， 可以求得综合流动系数、表皮系数、平均地层压力。通过与单相流拟稳定流动的 类比，还可求得油井的生产指数。刘立明介绍了油水两相渗流压降数值试井模型， 指出数值模型的结果能真正地反映开井后井底压力的变化过程。 目前国内外开始采用双惠边界元和格林边界元方法进行数值模拟，计算不稳 定压力。油藏的形状对井底压力动态响应有着显著的影响，由边界元理论的基本 思想，可把求解域内的定解问题先转换为求解满足给定边界条件和初始条件的边 界点上的值，然后再由边界点上的值来求解研究域内任意点值的问题。依据边界 元理论推导任意形状外边界油藏的井底不稳定压力响应的计算公式，应用杜哈美 原理考虑井筒存储效应和表皮效应对井底压力动态的影响，将边界元方法计算的 结果与常规解析方法求解的结果进行比较，可分析任意形状油藏的井底不稳定压 力动态特征m “。 在求解油藏渗流问题时，有限差分法、有限体积法和有限单元法 s 0 4 7 是主要 的数值计算方法。这些方法都属于网格方法，其计算结果受网格的影响较大，前 后处理比较麻烦。无网格法作为一种新型的数值计算方法，在固体和冲击力学上( 领 域) 凸现了其独有的优势。然而有关无网格法在油藏数值模拟中的应用研究，目前 在国内外尚处于起步阶段，相关的文献资料非常少。国内的曾清红等人【8 8 ”l 应用 无网格伽辽金法( e f g m ) 对单相渗流问题进行了探讨。x i nl i u 和g r l i u 等肌j 应 4 第1 章前言 用径向基函数来构造近似函数，采用n e w t o n - r a p h s o n 迭代法对b u c k l e y 1 , e v e r e t t 驱油模型进行了数值模拟。 1 2 3 无网格法与其他数值方法的比较 目前，微分方程的数值解法主要有五种：有限差分法、有限元法、有限体积 法、边界元法和无网格法。其中有限差分法和有限元法是应用最为广泛的两种数 值计算方法；有限体积法是集有限差分法和有限元法的优点发展而来的一种数值 计算方法；边界元法是在有限元法之后发展起来的一种比较精确有效的数值计算 方法；无网格法是在2 0 世纪7 0 年代才迅速发展起来的一种新型数值计算方法。 下面，对这五种方法分别进行概述。 ( 1 ) 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c 宅m e t h o d ，f d m ) 有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，其发展己相当成熟，至今仍 被广泛应用于各工程领域，特别是在油藏数值模拟方面所采用的离散方法绝大多 数为有限差分法。该方法将求解域q 划分为差分网格，用网格节点代替连续的求 解域，以t a y l o r 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上函数值的差 商来表示，以此来对微分方程进行离散，从而建立以网格节点函数值为未知数的 代数方程组。该方法是一种直接将微分方程问题变为代数问题的近似数值解法， 其数学物理概念直观、表达简单；但不利于求解复杂边界问题、高阶微分方程以 及高梯度问题。 ( 2 ) 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 有限元法的基本求解思想是把连续求解区域划分成有限个互不重叠且相互连 接的几何单元；然后在每一个单元内，选择合适的节点作为插值点来构造单元插 值函数，并将微分方程用变量的插值函数来表示；最后，借助于变分原理或加权 余量法，将微分方程离散，从而得到每个单元上的代数方程组，按照一定的规则 进行整体方程组的组装得到整个求解域的整体方程组。有限元法有着很强的适用 性，对于处理复杂边界问题有着巨大的优势，其物理意义为求解体系某种泛函的 极值或驻值问题。 自2 0 世纪6 0 年代有限元概念提出以来，人们很快就认识到了它的巨大潜力， 尤其是在工程技术领域内。随着计算机的迅速发展和普及，有限元法的应用也得 到了飞速的发展，并且日趋完善。如今，有限元法在固体力学方面已经日趋成熟， 其应用已不断扩展到流体力学、热传导、电磁场等工程领域。 ( 3 ) 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，f v m ) 第1 章前言 有限体积法又称为控制体积法。其基本思想是将求解区域划分为一系列不重 复的控制体积，并使每个网格节点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每 一个控制体积积分，便得出一组离散方程，其中的未知数是网格点上的因变量的 数值。为了求出控制体积的积分，必须假定因变量数值在网格节点之间的变化规 律，即假设这些值的分段分布或分布剖面。从积分区域的选择方法来看，有限体 积法属于加权余量法中的子区域法；从未知求解量的近似方法来看，有限体积法 属于局部近似的离散方法。 有限体积法的基本思想易于理解，并能得出直接的物理意义。离散方程的物 理意义就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变 量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程，要求因 变量的积分守恒，对任意一组控制体积都得到满足，对整个求解域也自然得到满 足，这是有限体积法的优点。 有限体积法在一定程度上吸收了有限差分法与有限元法的长处，并克服了其 缺点。由于有限体积法从控制体的积分形式出发，对求解区域的剖分同有限元一 样具有单元特征，能适应复杂的求解区域，离散方法具有差分方法的灵活性，并 对间断解有很强的适应性。 ( 4 ) 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 边界元法是2 0 世纪7 0 年代出现的一种数值计算方法，在过去的几十年里得 到了长足的发展。该方法的基本思想是：首先将求解域内的边值问题转化为求解 边界积分方程的问题，然后将求解域的边界进行离散，再通过边界上的未知函数 在各个边界单元上的分片插值，进一步转化为代数方程组。边界元法将边界节点 未知量作为变量，同时把满足场方程的奇异( 源) 函数作为加权函数，该方法是一种 特殊格式的加权余量法。 边界元法的主要优点是：将问题的维数降低了一维；它只需将边界进 行离散，减少了方程的数目，大大减小了计算工作量；该方法直接建立在问题 的基本控制方程与边界条件基础上，所以无需事先寻找任何泛函，且精度较高。 尽管边界元法具有降低维数和高精度的优点，但其缺点也很明显：边界元 法最后形成的代数方程组是稠密且非对称的，在非线性控制区域需要进行域积分， 这削弱了其优势；边界元法要求应用对象的边界积分方程存在，因而要求域内 物理介质的性质是充分均匀的，这限制了边界元法的灵活性；边界元法要求的 数学工具繁杂且难度大，如奇异积分问题、基本解的寻找、数学分析的多样化等， 这使得边界元法通用程序的制作难度较大，不利于在工程中普及应用。 6 第l 章前言 表1 - i 各种数值方法比较 数值方法名称优点缺点 有限差分法( f d m ) 物理概念直观 不利于求解复杂 油藏边界问题 ， 表达简单 不利于求解高 、 、 可适用于非均质油藏 梯度问题 不利于求解高 * 对c f u 及内存需求低 阶微分方程 易于处理复杂边 对于流体力学问 界及高梯度问题 题，其物理意义 眵 利于求解高阶 不是很明确 微分方程 前后处理较麻烦 易于实现通用化 对固体力学问题 不利于求解 动边界问题 有内在的优势 3 有限体积法( f v m )控制体积上的用高精度格式处理 物理意义明确 多维问题较困难 。- y 弋 存储空问需求少 积分的出现使得变量 。飞箩一 数值稳定性较好 耦合问题复杂化 i z + 易于处理复杂 节点值及其导数值 边界问题 在构造上略显困难 系数矩阵非稀疏，对称 精度较高 在非线性控制区域需要 o 前处理简单计算量小 积分，削弱了其优势 可以降低问题维数 不利于求解非均质问题 利于处理均质甸题 数学工具方法繁杂且难 度较大，不易于通用化 数据结构简单 存储空间要求及 计算量较大 计算精度高 + 近似函数构造困难 前后处理简单 边界条件处理较困难 易于处理复杂 其理论和方法体系不 边界问题 完善 ( 5 ) 无网格法( m e s h l 嘲m e t l l o d ，m m ) 无网格法，即没有网格或者说是摆脱了网格的方法是一种新型数值计算方法。 7 第1 章前言 在经典的加权余量法中，试探函数是定义在整个求解区域上的，这给那些定义在 形状复杂的区域上的微分方程的求解带来了困难。目前比较常用的有2 0 多种，如 双三角函数、双调和函数、多项式幂级数、正交多项式等。这些函数大都定义在 整个求解域上，因此所得方程的系数矩阵均为满秩的，计算量比较大。如果采用 紧支试函数作为加权余量法的试探函数，则可以得到紧支试函数加权余量法，其 系数矩阵为稀疏矩阵。在紧支试函数加权余量法中采用不同的检验函数和试探函 数，就可以得到不同的近似函数，从而得到不同的近似求解方法。只要这些试探 函数是利用离散的点来建立的，则由紧支试函数加权余量法导出的方法都称为无 网格法。例如试探函数使用移动最小二乘法( m o v i n gl e a s t - s q u a r e ，m l s ) ，由伽辽 金法便可得到著名的伽辽金无网格法( e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g m ) 。如果 这些试探函数是利用离散节点所组成的小单元来建立的，则由紧支试函数加权余 量法导出的方法都可称为网格法，比如上述的有限差分法、有限元法和有限体积 法。无网格方法具有以下独特的优点： 数据结构简单；无网格法只需要各节点的信息，而不要求单元信息以获得 节点间的相互关系。 计算精度高；从近似函数构造和已有的计算结果看出无网格法不仅具有较 高的精度而且具有高阶连续性，尤其是对局部高梯度问题无网格法仍可获得较高 的精度。 前处理工作简单；无网格法的前处理只需节点信息，不用网格信息，容易 分析复杂三维问题。 无网格计算结果是光滑连续的，不需要进行特殊的后处理工作。 表1 1 给出了这五种数值方法的优缺点比较。 1 3 本文的主要研究内容及技术路线 本文从无网格法基本理论入手，建立油水两相无网格数值试井的理论模型， 并编写软件，应用于矿场实际，验证其可行性。主要研究内容归纳如下： ( 1 ) 以紧支试函数加权残量法为数学基础，详细论述了无网格法基本原理，从 理论上分析无网格法的本质； ( 2 ) 针对油水两相油藏渗流问题，分析伽辽金型无网格法( g b m m ) 和最小二乘 型无网格法( m w l s ) 两种无网格法的基本原理；将无网格法引入到数值试井中，建 立复杂断块油藏油水两相无网格试井解释模型； 8 第1 章前言 ( 3 ) 研究试井解释模型求解方法，形成一套复杂断块油藏的无网格数值试井解 释理论和方法； ( 4 ) 无网格数值试井解释模型参数敏感性分析，研究表皮和井筒储集系数的影 响，对不同边界下的断块油藏进行试井测试分析； ( 5 ) 采用无网格数值试井理论和方法，编写复杂断块油藏无网格数值试井软 件，并进行矿场应用。 本文工作的技术路线如图1 1 所示。 图i - i 技术路线图 9 第2 章无网格法基本理论 第2 章无网格法基本理论 加权残量法是求解偏微分方程的一种有效方法，但其试函数多为全局函数， 因而系数矩阵为满阵，计算量大。将紧支试函数引入到加权残量法中，得到了紧 支试函数加权残量法，其数值格式具有和有限元相似的稀疏系数矩阵，提高了加 权残量法的计算效率。本章以紧支试函数加权残量法为理论基础，系统地论述了 无网格法的基本原理，重点阐述了几种常用的无网格近似函数的构造方法；从理 论上把无网格法统一了起来。 2 1 微分方程的等效积分形式 工程和物理学中许多问题往往都归结为一给定边界条件和初始条件的微分方 程求解问题，即未知函数f g ) 应满足微分方程组 和边界条件 d 4 k g ) 】= 雪k g ) 】= 4 k g ) 】 a ：瞳例 a 。k g ) 】 b k 占：) 】 b m ，k g ) 】 = 0 q )( 2 1 ) = 0 西r ) ( 2 2 ) 图2 - l 求解域示意图 l o 第2 章无网格法基本理论 式中f 是域q 的边界，如图2 - 1 所示，x = k ，弘z 】r 表示空间点。待求场函数如) 可以是标量场( 例如温度场、渗流压力场和饱和度场) ，也可以是几个变量组成的向 量场( 例如位移、应变、应力等) 。微分方程可以是单个方程，也可以是联立方程组， 因此上面采用了矩阵符号。4 和丑，是独立变量( 如空间坐标、时间坐标等) 的微分 算子。 由于在域q 内任意点都满足式( 2 1 ) ，在边界r 上任意点都满足式( 2 - 2 ) ，因此 对任意函数1 ，和审都有 式中 v l v 2 ： ： ( 2 3 ) ( 2 4 ) 函数 ，和矿称为检验函数( t e af u n c t i o n ) 或权函数( w e i g h tf u n c t i o n ) ，它们分别 是阶和所：阶的函数列阵。反过来，若对任意函数v 和歹式( 2 3 ) 都成立，则在域q 内任意点都满足式( 2 1 ) ，而在边界r 上任意点都满足式( 2 - 2 ) 。证明这一结论成立很 容易，如果认为在域中的任一点或部分区域可能有月b 缸) 】0 ，那么即可找出一个 函数l ，它能使式( 2 - 3 ) 中第一项不等于零，因此结论成立，称式( 2 3 ) 即为微分方程 ( 2 1 ) 和边界条件( 2 - 2 ) 的等效积分形式。 在上面讨论中，隐含地假设了式( 2 3 ) 中那样的积分是能够计算出来的。这就 对函数p 、矿和埘能够选取的函数族加上了某些限制。一般来说，所采用的函数应 避免积分中任一项出现无穷大的情况。由于函数y 和矿只是以函数自身的形式出现 在积分中，因此对于函数v 和矿的选择只需是有限单值函数即可，这种限制并不影 响上述“微分方程等效积分形式”提法的有效性。 在函数“x ) 的选择上取决于算子或口中所含的微分阶次。例如，考虑图2 - 2 所示的一个连续函数“x ) ，它在x 方向有一个斜率不连续点。可以推断，在非常小 的区问之中，用一个连续的变化来替换这一不连续性，并研究导数的性态。容易 第2 章无网格法基本理论 看出，尽管在一阶导数没有定义，它仍可积分，但二阶导数趋于无穷大，使积分 不能进行。如果在微分方程中仅出现一阶导数，那么把所示的函数选作脚g ) 是合 适的，这种函数称为c o ( q ) 连续函数。通过类似的办法易知，如果在算子4 或丑的 任一项中出现肝阶导数，那么函数必须具有疗一1 阶连续的导数，即函数具有c ”1 ( q ) 连续性。 幽 。 出 。| i l i f ! i。 ；杪石 j ：h d 2 “ ：，。 出2 弋： x i1i i l ，： 图2 - 2 斜率不连续函数的导数 第2 章无网格法基本理论 2 2 微分方程的等效积分弱形式 在许多情况下，可以对式( 2 3 ) 进行分部积分，并用另一种表达形式来代替它 p p 7 j d f 出再m + p p 7 k 出且万= 0 ( 2 - 5 ) qr 式中，其中算子c 和d 所含导数的阶次比a 中的低，算子层和f 所含导数的 阶次比b 中的低。与式( 2 - 3 ) 相比，式( 2 5 ) 降低了对函数仁) 的连续性要求，但提 高了对y 和矿的连续性要求。式( 2 - 5 ) 称为微分方程( 2 1 ) 和边界条僻 - ( 2 - 2 ) 的等效积分 弱形式。从形式上看，弱形式对函数印0 ) 的连续性要求降低了，但对实际问题往 往能给出较原微分方程更好的近似解，这是因为原微分方程往往对解提出了过分 的光滑要求。在由式( 2 - 3 ) 建立弱形式( 2 5 ) 时，利用分部积分降低了积分项中导数 的阶次。如果弱形式不能精确积分，将可能产生较大的误差。 2 3 加权残量法 对复杂问题而言，式( 2 - 1 ) 和式( 2 2 ) 无法精确求解，只能近似求解。设矿g ) 为 式( 2 - 1 ) 和式( 2 - 2 ) 的一个近似解，称为试探函数( t h a tf u n c t i o n ) ，它可以表示成己知 函数 r ( 功的线性组合，即 “刁* 矿g ) = b ) 蚱= g ) l f ( 2 - 6 ) ，i i 式中，= k ：r ，n ：p 。g ) ：g ) b ) 】称为基函数或形 函数；职是待定参数。试探函数的项数撵越多，近似解的精度就越高。当项数疗趋 于无穷大时，近似解收敛于精确解。 显然，近似解矿b ) 一般不能精确满足微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) ，它们将 产生残量r 和i 露= 4 矿g 】1 ，i = 研矿c 蝴( 2 7 ) 为得到未知场函数出) 的最佳近似解，应以某种方式使得置和i 为零。由式 第2 章无网格法基本理论 ( 2 3 ) 可知，如果对任意检验函数v 和矿，下式 p 7 r ( x ) d n + 户面仁弦= o qr ( 2 f 8 ) 都成立，则残量置在域q 内任意点都为零，而残量豆在边界r 上任意点都为零。 实际上，不可能也不需要在式( 2 - 3 ) 或( 2 8 ) 中取无穷多个检验函数，而是将检 验函数p 和矿取为一组基函数的线性组合，即 = x b , 形，矿= 6 ，衫 j = l ( 2 - 9 ) 其中，胛。将式( 2 9 玳入式( 2 - 8 ) 中，并考虑到系数6 ，的任意性，得到近似的等效 积分形式 孵露g + 厉耻弦= o0 = 1 ，2 ，) ( 2 - 1 0 ) nr 上式的意义是通过选择合适的特定参数；，强迫残量露和i 在某种平均意义上等 于零。在极限情况下，残量置和豆在整个求解域内及其边界上趋于零。式( 2 - l o ) 给出了r 个求解方程，用以求解近似解的h 个待定系数i ，从而得到原问题的近似 解。当r 栉时，方程( 2 1 0 ) 是超定的，需要用最小二乘法来求解。 对应于等效积分弱形式( 2 - 5 ) 式，同样可以得n ( 2