一元二次方程根与系数关系及应用.doc

一元二次方程根与系数关系及其应用【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图： 求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程 解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解等韦达定理：一元二次方程如果有两实数根，那么。韦达定理逆定理：如果且，则是的两根。一、不解方程，判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。 解： 说明：判别根的符号，要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来，0，两根一正一负；若0，还要看的正负方可判别。二、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例1：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：解法二：练习;若x1 =是二次方程x2ax10的一个根,则a ，该方程的另一个根x2 = .三、计算根的对称式的值例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整体思想【练习】1已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 2已知方程2x23x+k=0的两根之差为2，则k= ;3若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;四、已知一元二次方程两根之间关系，求字母系数值或取值范围。例1：已知方程的两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 解：方程有两个实数根， ，解这个不等式，得0 设方程两根为 则且，解得：又， 【练习】：1、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：答案：当且m0时，两根能同号2、一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解： x+y=axy=b答案： x+y=5xy=6五、构造新方程求方程组 的解：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 解：显然，x，y是方程z2-5z+60 的两根,由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 .此法比代入法要简单得多。六、按已知条件求作新方程例1、已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方.分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两根写出方程的方法，写出所求方程.解：答案：【练习】：1.以方程2x30的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A） +5y6 = 0 （B）+5y6 = 0 （C）5y6 = 0 （D）5y6 = 02.如果和是方程2x2+3x1=0的两个根，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于 和七、二次三项式的因式分解二次三项式ax2+bx+c(a0)分解因式的方法有三种，即1利用完全平方公式；2十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d)3求根法：ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac0时，可在实数范围内分解；(2)当b2-4ac0时，在实数范围内不能分解形如ax+bxy+cy：可令ax+bxy+cy=0（此处将x看成未知数，而y作为已知数）练习4x2+8x-1 （2）27x2-4x-8 2x2-5x-3 2x2-8xy+5y2附：一元二次方程根的判别式：任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。当 时，方程有两个不相等的实数根。 当 时，方程有两个相等的实数根.当 时，方程没有实数根。应用例1. m取什么值时，方程3x2(3m1)x3m10(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?例2 已知方程x(3a)x(3ab)0有两个相等的实数根，求实数a与b的值例3 当a、b为何值时，方程x2(1a)x(3a4ab4b2)0有实数根?例4 判别下列关于x的二次方程2(m1)x4mx(2m1