（机械电子工程专业论文）3PltCgtRRltNgt球面并联机构运动学优化设计.pdf

浙江理工大学硕十学位论文 摘要 本文在国家自然科学基金资助下，主要研究3 - p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构的运动 学优化设计方法，主要工作和研究成果可概括为如下几个方面： 针对运动学分析与设计的需要，合理定义机构结构参数，用d h 方法构建各构件相对 运动参照系，构造机构的姿态正、逆解模型。 在位姿逆解的基础上，提出可达工作空间，灵活工作空间的计算机数值搜索法。给出 驱动关节到动平台输出的速度映射矩阵，即速度雅可比矩阵。借助位置逆解和雅可比矩阵， 计算工作空间中各个位姿雅可比矩阵的行列式，得到奇异位形的求解方法。通过对雅可比 矩阵表达式的分析，给出3 - p c ( r r ) n 机构发生奇异需满足的位形和结构特征 从运动学和静力学的角度出发，构造出球面并联机构从驱动关节到动平台输出的速 度、承载力、误差、刚度映射模型，定义速度、条件性、承载力和刚度等各项性能指标、 全域性能指标及局域性能指标。给出结构参数的尺寸范围，建立3 - p c ( i 浓) n 机构的空间模 型，在空间模型内研究全域性能指标和结构参数的关系，绘制全域性能图谱，利用性能图 谱进行结构的优化设计。提出了改进全域性能指标的算法。利用m a t l a b 的g u i 工具将 3 - p c ( r r ) n 机构的相关信息，全域性能图谱和局域性能图谱的算法整合到一个应用模块中， 为设计者提供了方便。 按照设计要求，运用全域性能指标优化方法，确定样机结构参数，完成3 - p c ( r r ) n 样 机运动学设计。分析了样机的工作空间，奇异位形，及局域性能指标，找出样机的奇异位 形，绘制可达工作空间，灵活工作空间，和局域性能图谱。利用g t 控制卡实现对样机的 简单控制。 本文研究工作对3 - p c ( 球面并联机构样机的开发具有重要指导意义。 关键词：球面并联机器人：工作空间；奇异位形；全域性能指标 k i n e m a t i co p t i m um d e s i g no f3 p c ( r r ) n s p h e r i c a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o r a b s t r a e t s u p p o s e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n ，t h i sp a p e rf o e u s e so nt h ek i n e m a t i c o p t i m u md e s i g nm e t h o do f3 - d o f ( d e g r e e so ff r e e d o m ) 3 - p c ( r r ) s s p h e r i c a lp a r a n e l m e c h a n i s m t h em a i nw o r ka n dr e s e a r c hr e s u l t sa r ea sf o i l o w s 1h ec o n f i g u r a t i o np a r a m e t e r sa r ed e f i n e di n r e a s o n ，w h i c hm a k e si tp o s s i b l ef o rk i n e m a t i c 觚a i y s l sa n dd e s i g n t h er e l a t i v ek i n e m a t i cf r a m e so fr e f e r e n c eo fa l lt h ec o m p o n e n t s a r e e s t a b l i s h e dw i t hd - hm e t h o d b a s e do nt h ea b o v e a n a l y s i s ，t h ef o m a r da n di n v e r s ek i n e m a t i c m o d e l sa r ef o r m u l a t e d u o m p u t e rn u m e r i c a ls e a r c h i n g m e t h o d so fr e a c h a b l ew o r k s p a c ea n dd e x t e r o u sw o r k s p a c e a r ep r o m o t e d t h em a p p i n gm a t r i x o ，fs p e e df r o md r i v ej o i n tt ot h eo u t p u to fm o v i n gp l a t f o 咖， n a m e l ys p e e dj a c o b i a nm a t r i xi sp r o p o s e d u s i n gi n v e r s ed i s p l a c e m e n ta n d j a c o b i a nm a t r i xt o c a l c u j a t et h ed e t e r m i n a n to ft h ej a c o b i a nm a t r i xc o n c e r n i n ge a c hp o s e ，t h es o l u t i o no f s i n g u l a r c o n t i g u r a t i o ni so b t a i n e d t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h ee x p r e s s i o no f j a c o b i a nm a t r i x ，n e c e s s a r y c o n d i t i o na tt h es i n g u l a rc o n f i g u r a t i o no f t h e3 - p c ( r r h m a n i p u l a t o ri sp r o p o s e d f r o mt h ep e r s p e c t i v eo fk i n e m a t i c sa n ds t a t i c s ，t h em a p p i n gm o d e l so f s p e e d ，1 0 a d ，e 玎o r _ s t i 丘h e s s 舶md r i v ej o i n tt om o v i n gp l a t f o r ma r ef o r m u l a t e da n da l lt h e i n d i c e sc o n c e m i n gs p e e d ， c o n d i t i o n ，l o a da n ds t i f f n e s sa r ed e f i n e d t h e ng l o b a lp e r f o r m a n c ei n d e xa n d l o c a lp e r f b m l a l l c e 1 n d e xa r ep r o p o s e d t h es p a c em o d e lo f 3 - p c ( r r ) nm a n i p u l a t o ri se s t a b l i s h e da c c o r d i n gt ot h e s i z er a n g eo ft h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r s t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ng l o b a lp e r f 0 1 1 1 【1 a n c ea i l d s t r u c t u r a lp a r a m e t e r si ss t u d i e di nt h es p a c em o d e l ，a n dt h ea t l a so f g l o b a lp e r f o n n a n c e 龇e p r o t r a c t e d o p t i m a ld e s i g no ft h es t r u c t u r ei s i m p l e m e n t e da c c o r d i n gt ot h ea t l a so fg l o b a l p e r t o m a l l c ea n dt h ei m p r o v e da r i t h m e t i co fg l o b a lp e r f o r m a n c ei sp r o p o s e d u s i n gg u i t o o io f m a t l a b ，t h ei n f o r m a t i o no f3 一p c ( r r ) sm a n i p u l a t o ra sw e l la st h ea t l a s e sa n d a r i t h m e t i c so fg l o b a l p e r f o r m a n c ea n dl o c a lp e r f o r m a n c ea r e i n t e g r a t e dt oo n ea p p l i c a t i o nm o d e lw b j c hp r o v i d e s c o n v e n i e n c et ot h ed e s i g n e r u s i n go p t i m u mm e t h o do fg l o b a l p e r f o r m a n c ei n d e x ，t h es t r u c t u r a lp a r 锄e t e r so f 3 - p c ( r r ) l nm a n i p u l a t o ra r es e l e c t e di na c c o r d a n c ew i t ht h ed e s i g nr e q u i r e m e m s a n dt h e p r o t o t ) ，p l eo f3 - p c ( r r ) nm a n i p u l a t o ri sd e s i g n e da n dm a n u f a c t u r e d t h r o u g ht h ea n a l y s i so f w o r k s p a c 己s i n g u l a r i t ya n dl o c a lp e r f o r m a n c ei n d e x ，t h es i n g u l a r i t yo ft h ep r o t o 咖ei sf o u da n d 浙江理工大学硕十学位论文 t h ea t l a so fr e a c h a b l ew o r k s p a c e ，d e x t e r o u sw o r k s p a c ea n dl o c a lp e r f o r m a n c ea l ed r a w n a s i m p l ec o n t r o ls y s t e mo f3 - p c ( r r ) np r o t o t y p ei sr e a l i z e db yg tc o n t r o l l e r t h ea c h i e v e m e n t ss t a t e di nt h i st h e s i sl a y sas o l i df o u n d a t i o nf o rt h ed e v e l o p m e n to ft h e 3 - p c ( r r ) sp r o t o t y p e k e y w o r d s ：s p h e r i c a l p a r a l l e l m a n i p u l a t o r ；w o r k s p a c e ；s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n ；g l o b a l p e r f o r m a n c ei n d e x 浙江理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师 的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰 写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：体吠吹 日期：砷年多月c9 1 日 浙江理工大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权浙江理工 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在 不保密口 学位论文作者签名：1 理圾 日期： 声1 年弓月f 7 日 年解密后使用本版权书。 指导教师签名：力鼋1 日期叫年3 月77 日 浙江理工大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 课题的背景及研究意义 按结构来分，机器人有串联机器人和并联机器人两种类型。 串联机器人为开链式结构( 如图1 1 所示) ，基座和末端执行器之间只有一 条运动链连接，其运动链往往具有多个关节，通过控制各个关节的运动，能够实 现末端执行器在工作空间中多个自由度的灵活操作，完成对工作空间中任意连续 的运动轨迹。 并联机器人( 如图1 2 所示) 的基座和末端执行器之间具有两条或两条以上 的运动链，这些运动构成一个或几个闭环拓扑结构。 传统机器人大多数都是采用串联机构，即由机座、腰部( 或肩部) 、大臂、 小臂、手腕和手部构成，各个关节以串联方式连接。串联机器人具有结构简单， 工作空间大，正向运动学求解容易等优点，但因为所有关节都集中在一条链上， 当自由度较多、手臂较长时串联机器人存在关节误差累积效应、末端执行器精度 不高、刚度较低。以上问题都限制了串联机器人在实际应用中的性能。 具有多运动链机构的并联机器人可以弥补串联机器人的一些不足，多个运动 链同时操作末端执行器，使得关节误差累积效应相互抵消，而且具有运动惯量低、 负载能力高、刚度大等优点。 图1 1 串联机器人图1 2 并联机器人 由于并联机构在结构及对末端执行器的作用方式不同于串联机器人，运动学 分析和运动控制较串联机器人复杂。基于并联机器人的优点，其研究引起国内外 学者的广泛关注，并联机器人的研究也成为一个热点。 浙江理工大学硕士学位论文 近年来，少自由度( 2 5 自由度) 并联机器人成为研究热点。许多场合应 用的机器人只需部分自由度，相对于6 自由度并联机构，少自由度并联机构具有 驱动件减少；工作空间大；运动耦合较弱，容易解耦；控制简单方便；制造容易； 成本降低等优点。特别是分支链相同，结构对称，具有各向同性的对称少自由度 并联机构更是目前国际学术界和工业界关注的热点和前沿【i l 。而3 自由度移动并 联机构【2 】和球面3 自由度并联机构【3 】成为研究的重点。 由于球面3 自由度并联机构能实现绕机构中心的任意转动，这种只实现姿态 变化的机构可应用于机器人的腰、肩、髋和腕等关节，或用作定位装置如机床加 工，卫星定位，摄像定位等。因而对球面并联机器人的研究在少自由度并联机构 中具有举足轻重的地位。 目前国内外学者进行广泛研究并具有代表性意义的是3 - 3 r 球面并联机构【3 】， 这种机构的静、动平台用三条完全相同的3 r 运动链联结，所有转动副轴线汇交 于机构转动中心。3 - 3 r 球面并联机构的工作空间和操作性能具有良好的对称性， 结构简单，在设计，运动分析，制造及控制方面具有相对优势。 本课题将对李秦川等 4 1 等提出的一种带环形导轨的球面三自由度并联机构 如图1 3 进行运动分析与设计。 图1 33 - p c ( r r ) n 球面并联机构 该机构由三个结构相同的分支链构成，其分支运动链由一个带环形导轨的移 动副p c 和两个转动n ( r r n ( 下标n 表示三个分支中转动副的轴线都交于一点) 构成，由于引入了带环形导轨的移动副p c ，该机构动平台绕z 轴的转动自由度 和其他转动自由度解耦。 2 浙江理工大学硕上学位论文 本课题将研究3 - p c ( r r ) n 球面并联机构的运动学优化设训方法，凭借机器人 机构学、优化设计和虚拟样机技术等理论j 二具，对球面并联机构进行运动学分析、 优化设计，并通过样机验证并联机器人的运动特性。由于该机构具有完全对称的 结构和优良的运动学性能和较大的工作空间，因此对它进行运动学设计和分析具 有重要的理论和现实意义。 1 2 目前国内外研究现状 1 2 1 国内外并联机器人的研究现状 并联机器人出现于2 0 世纪3 0 年代。1 9 3 1 年，g w i r m e r 提出了一种基于球 面并联机构的娱乐装置( 图l4 ) 口1 ；1 9 4 0 年p o l l a r d 提出一种空阃工业并联机构 ”】，用于汽车的喷漆；g o u g h 在1 9 6 2 年发明了一种基于并联机构的六自由度轮 胎检测装置( 图15 ) ”1 ，三年后s l e w a r t 首次对g o u g h 发明的这种机构( 圈1 2 ) 进行机构学上的研究，井将此机构作为飞行模拟器【l i ，开此应用的先河。目前国 际上有大约6 7 家公司生产基于并联机构的各种运动模拟器。图16 是f r a s c a 公 司生产的波音7 3 7 4 0 0 型客机的六自由度飞行模拟器。1 9 7 8 年澳大利亚著名机构 学教授h u n t 提出，町以应用6 自由度的s t e w a r t 甲台机构作为机器人机构到 8 0 年代中期国际上研究并联机器人的人还是很少，出的成果也不多。从8 0 年代 末到9 0 年代以来，并联机器人才被广为注意，并成为研究热点。 图1 4 并联娱乐装置图1 5o o u g h 并联机构 国内，黄真教授在并联机器人方面作出了较突出的贡献，于1 9 9 0 年研制出 我国第一台并联机器人实验室样机；1 9 9 7 年出版了我国第一部关于并联机器人 理论及技术的专著“。 并联机器人在工业上的一个重要应用是作为数控加工中心，又被称为并联机 浙江理上人学硕士学位论文 床或虚拟轴机床1 u - l s l 。传统数控机床各个自由度串联相接，传动链长，累积误差 大，精度低。而并联机床具有结构简单，传动链短，刚度比重大，环境适应强， 响应速度快等特点，特别是很容易实现六轴传动，可用来加工复杂的三维曲面。 图1 7 是德国m i k r o m a t 公司生产的6 x 型高速立式加工中心。9 0 年代以来，国 内外研制出多种并联机床。 并联机器人还可以作为微动机构或微型机构应用于生物工程、医学工程及微 加工等领域。这种微动机构由于工作空间不太，精度和分辨率都非常高，用于实 现细胞的注射和分割，微机电产品的加工和装配及微外科手术等。图18 是德国 p i 公司研制的n o n a p o d 六自由度微动并联机器人。 在国内，燕山大学于1 9 9 4 年研制出误差补偿器，这种机构置于串联机器人 的手腕处，用以补偿串联机器人手臂发生的误差。作为误差补偿器，不要求工作 空间大，灵活度很高，特别要求误差小精度高。这正发挥了并联机器人的优点。 图18n o n a p o d 微动并联机器人图19 六维并联力传感器 麓黧孺 浙江理工人学硕士学位论文 智能机器人须具备“触觉”和“力觉”，这就需要借助力( 包括力矩) 传感 器来实现。国内外学者把并联机构的思想引用到六维力传感器的力敏感元件结 构设计上，如图1 9 。燕山大学【1 9 1 首次提出用弹性铰链来替代球面副，大大减小 了s t e w a r t 平台结构的尺寸。 1 2 2 球面三自由度并联机构的国内外研究状况 球面并联机构适用于空间姿态的变化，研究大多数集中于球面3 自由度并联 机构。球面三自由度机器人是动平台绕机构中心实现3 个转动自由度的并联机 构。 1 9 8 1 年，t e s a r 最早提出用球面三自由度并联机构作为机器人的肩关节【2 0 】， 如图1 1 0 所示。这个机构用三条结构完全相同的分支运动链连接上下两个角台， 所有转动副轴线汇交于转动中心，构成空间角锥。考虑到对称性，上下角锥皆为 等腰角锥，底面为等边三角形，每个分支链由连杆一和连杆二组成，连杆的一端 与定平台相连，另一端与连杆二相连，连杆二的一端与连杆一相连，另一端与动 平台相连。a s a d a 【2 1 1 提出三驱动器共线的球面并联机构( 图1 1 1 ) 。这种机构的三 个驱动器轴线共线，静平台台是一个竖直杆件，3 个驱动器轴线共线，因此驱动 器安装不方便。随后，g o s s e l i n 又提出了三驱动器共面的球面并联机构2 2 1 ，如图 1 1 2 所示。这种机构静角台上的三个转动副共面汇交，动角台上的三个转动副 也共面汇交，但在初始姿态下，动角台与定角台共面，为奇异位形。 图1 1 0 典型球面并联机构图1 1 1 驱动器共线的球面并联机构 国内，黄真教授和刘辛军等对球面并联机器人的研究作出了重要贡献。 2 3 , 2 4 - 2 5 1 。天津大学的黄田教授等人成功研制出基于球面机构的数控回转台2 1 1 ， 如图1 1 3 所示，方便了对各种工件的加工；另外还可以用在卫星天线的空间方 浙江理工大学硕十学位论文 位跟踪系统中，如：太阳能电池板、抛物线式雷达天线和天文望远镜的定位等， 加拿大l a v a l 大学的g o s s e l i n 已经将其做成电子灵巧眼应用到摄像定位装置 中【3 2 3 4 1 。 图1 1 2 驱动器共面的球面并联机构图1 1 3 数控回转台 1 3 本文主要研究内容 本文在李秦川等人研究成果的基础上，以机器人机构学、运动学和性能指标 和优化设计理论为工具，研究3 - p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构的运动学分析和 优化设计，侧重攻克该球面并联机构的全参数尺度综合方法 ( 1 ) 姿态正逆解析是并联机器人运动学分析的基础。姿态j 下解是已知输入 主动件的位置，求解输出件及机构的位置；姿态逆解是已知输出件的位置反求输 入件的位置。并联机构存在逆解简单、正解复杂的特点【3 5 3 7 1 。 利用交错角定理构造闭环方程，简化计算过程。在求正解时，将动平台的一 条棱边作为连体系的坐标轴，并得出3 - p c ( r r ) n 球面并联机构存在8 组正解。 ( 2 ) 本文建立该并联机构的奇异位形判别式，并分析可能发生奇异的几何 条件。 对于任何机构，在它的运动过程中总会或多或少地遇到特殊的位置，在这些 位置机构会出现特殊的现象，或者处于死点不能继续运动、或者失去稳定，甚至 自由度也发生改变：特殊位形下还会出现受力状态变坏，损坏机构的情况，这些 影响了机构的正常工作。我们把发生这种现象的机构位形称为机构的奇异位形 ( s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n ) 或特殊位形( s p e c i a lc o n f i g u r a t i o n ) ，有时也直接称为奇异 3 8 , 3 9 】。例如，家喻户晓的脚踏式缝纫机，在启动缝纫机前必须先用手转动缝纫机 上的手轮，这是为了避开踏板四杆机构的死点，这个死点就是该机构的奇异位形。 6 浙江理工人学硕士学位论文 所以说，机构的奇异有两面性，也有好的一面，而且很早就为人类所利用。 奇异是所有机构都会发生的一种不可回避的现象。由于机构的不同，其奇异 位形也具有不同的特点，所以，每一种机构在其应用设计前都要对奇异位形进行 分析。机器人的奇异点出现在理论工作空间内部或边界，这样对并联机器人来说， 原本很小的理论工作空间将变得更小。所以说，奇异轨迹的研究，将对机器人机 构的型综合和轨迹规划有着重要意义。 ( 3 ) 与串联机器人相比，并联机器人存在工作空间小的不足，而工作空间 是衡量并联机构性能的一个重要指标【4 2 1 。 工作空间是末端执行器上的参考点所能到达的区域范围。要确定并联机器人 机构的工作空间，通常需要位置正解，由于位置j 下解的求解比较复杂，很多学者 采用逆解分析工作空间。如于晖【4 3 l 等对6 一ht i 玎型并联机器人机构的研究得 出考虑到约束条件的位置逆解算法和存在多组解时的逆解选取准则，利用逆解算 法和三维搜索，得到了确定该机构工作空间的方法。 m z a m a j i d 删等提出：设定动平台的一个位姿，如果在机构全部约束条 件下对应动平台该设定位姿的逆解存在，则该设定位姿必在工作空间中。在分析 6 自由度3 p p s r 型并联机器人机构的工作空间时他们采用了这一原理：设定 动平台的一系列位姿，通过取舍即可获得动平台工作空间全集。 吴振勇【4 5 】等在对t r i c e p t 机器人的尺度综合结果进行工作空间分析时，也给 出了基于位置逆解的动平台位置仿真结果 本课题分析基于逆解的3 - p c ( r r ) s 球面3 自由度并联机构工作空间的计算方 法，计算样机的工作空间，利用逆解算法和三维搜索，分析工作空间形状和面积， 并绘制图谱，通过运动仿真验证其正确性。 ( 4 ) 机器人的机构尺寸决定了机器人的操作性能，所以选择合适的机构尺 寸是机器人设计的重点。尺度综合就是确定工作空间内操作性能最优的尺度参 数。这些操作性能包括机器人的结构对称性、雅可比矩阵的各向同性1 46 。、速度、 承载能力【4 7 1 、刚度【4 引、精度、特殊位形、冗余度以及工作空间的形状和大小等。 并联机构的性能指标分全域性能指标及局部性能指标。全域性能指标指每一种具 体尺寸的机器人的性能指标在其整个工作空间的平均值，局部性能指标指某一具 体尺寸机器人机构的性能指标在其工作空间内每个位形的分布情况。 g o s s e l i n 4 9 1 球面并联机构为例，在考虑局部灵活度的基础上，构造了一组 7 浙江理工人学硕士学位论文 满足局部灵活度最优的尺度参数关系。全域性能指标通常表示为雅可比矩阵条件 数关于给定工作空间的一次矩。 本课题涉及到的球面并联机构的操作性能包含从关节空间到操作空间的速 度、误差、承载力矩映射特性和操作空间中的静刚度映射特性，通常以上也是其 他并联机构主要包含的操作性能。 运用雅可比矩阵判断并联机构的灵活度，建立动平台速度到关节速度的线性 映射，关节力到操作力的线性映射等，分析系统的运动学和静力学性能。采用空 间模型理论【5 0 5 2 1 分析机构的全域操作性能和局部操作性能，绘制相应的图谱， 选取满足全域操作性能及局部操作性能的结构参数。 8 浙江理1 = 大学硕十学位论文 第二章结构参数定义与姿态正、逆解模型 2 1 引言 合理定义结构参数，正确描述动角台的姿态是球面并联机构运动学设计的首 要前提，而姿态正逆解分析则是工作空间、奇异分析、条件数、速度、承载力、 刚度分析的基础。 本章针对球面并联机构运动学设计的需要，首先提出一种描述球面并联机构 尺度参数的通用方法。其次定义一组动欧拉角描述动角台姿态。最后，用d h 方法构建各构件相对运动参照系，并构造机构的姿态正、逆解模型。后续各章将 沿用本章的尺度参数定义和符号记法。 2 23 - p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构的基本结构参数 3 - p c ( 刚球面3 自由度并联机构如图2 1 所示，每条支链由一个带有环形 导轨的移动副p c 和两个转动副r 组成，( 吼表示这两个转动副的轴线交于一 点n ；全部3 条支链中的6 个转动副的轴线都交于一点，因此n 点也称为机构 中心点。当3 个分支中的移动副p c 以相同速度运动时，机构动平台可绕z 轴转 动3 6 0 0 。 由于滑块实际上只能绕环形导轨的中轴线转动，其生成的刚体运动为一个转 动轴线沿z 轴且过中心点n 的一维转动位移子群 r ( n 力) ，因此在运动学上，带有 环形导轨的移动副p c 等价于一个轴线和环形导轨的中轴线重合的转动副r z ， 3 - p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构在运动学上等价于图2 2 中的3 一p c ( r r ) n 球面3 自 由度并联机构。 图2 1 为3 p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构简图，在分支运动链中，移动 副p c 由一环形导轨和与之配合的滑块组成，转动副轴线平行于定平台。且所有 3 个分支中，全部3 个转动副的轴线和环形导轨的中轴线汇交于一点，该点称为 机构中心点。机构中心点也是动平台转动的中心点。 图2 2 为3 p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构的实物图，原来由环形导轨和滑 块配合组成的移动副p c 现由小齿轮和大齿轮啮合组成，由电机驱动小齿轮，小 齿轮带动套在中心轴上的连杆绕中心轴转动。 9 浙江理工大学硕士学位论文 图2 1 球面并联机构简圈 图2 2 球面并联机构实物图 机构自由度计算的一般g r i i b l e r - k u t z b a e h 公式为 m = d ( 一g 1 ) + ， 2 - ( 1 ) i - l 式2 - ( 1 冲m 为机构的自由度数，d = 6 一九为机构的阶，a 为机构的公共约 束。数 为机构的杆件数( 包括机架) ，g 为运动副数，为第i 个运动副的自由度 数。3 - p c ( r r ) w 球面3 自由度并联机构中不存在公共约束，即a = 0 ，由式2 - ( 1 1 可得 m = 6 ( 8 9 1 1 十1 5 = 32 - ( 2 ) 取图2 2 的连杆部分和动平台进行分析，如图2 3 所示，所研究的球面并联 机构采用角台构型，由动平台以及三组由两根连杆构成的支链组成。各转动副汇 交于点o ，在伺服电动机的驱动f ，动平台可实现绕过点。的任意轴线的三维转 动。 浙江理工大学硕士学位论文 为了不失一般性，考虑到工作空间的对称性，与动平台连接的三个转动副轴 线及动平台平面构成一个等腰三棱锥。 以点0 为原点，在静、动平台上分别建立固定参考坐标系d 一虬z o 和连体坐 标系o - x l y l z i 如图2 3 ( 1 ) 静坐标系 按逆时针方向设定各支链为分支l ，分支2 和分支3 ，分支f 由下连杆f 和上 连杆f 组成( i = 1 ，2 ，3 ) ，取z o 方向与静平台垂直，初始位置时方向与下连杆1 的转动副轴线方向相同，运动过程中，在下连杆l 绕中心轴转动后，坐标系 o - x o y o z o 不发生改变，与静平台保持位置不变。 e 连杆3 图2 3 球面并联机构结构参数 ( 2 ) 动坐标系 取毛方向与动平台垂直，五方向与方向相同，运动过程中，坐标系o - x l y l z l 始终与动平台固连。 为了不失一般性定义如下结构参数： ( 3 ) 下连杆i 的位置角r l , l o = l ，2 ，3 ) 下连杆f 在系d 一而下的位置角， 由于结构对称性，动平台平行于静平台时，下连杆在圆周上以1 2 0 。均匀分布。 ， r f l = ( i - 1 ) 丌+ q ，江1 ，2 ，3 2 - ( 3 ) j 式中谚下连杆i 相对初始位置转过的角度。 浙江理工人学硕士学位论文 动平台的位置角r h 2 ( 扛1 ，2 ，3 ) 与动平台相连的转动副轴线在系o x t y l z t 下的位置角，且 2 = ( i - 1 ) 詈7 r + r ，f = l ，2 ，3 2 一( 4 ) 7 7 初始位置，动平台和静平台的结构扭角，即分支1 上与动平台相连的 转动副轴线在而一乃平面上的投影与而的夹角。 ( 4 ) 半锥角1 3 角锥侧面棱边间的夹角y 与半锥角1 3 存在如下关系 s i n 卢2 万2s i n 考 2 - ( 5 ) 、，j ( 5 ) q 上连杆的结构角，即上连杆上两个转动副轴线的夹角。 图2 4 为3 - p c ( r r ) n 球面并联机构初始状态时简图。z n o = 1 ，2 ，3 ) 平均分布在 一个圆上，相邻夹角为1 2 0 。，而与z l l 平行，并满, 已z i 2 与乙l 的夹角为a ，z i 2 与z o 的夹角为卢。非奇异状态下，z ，：的位置有两种情况，7 在z i 。的右边或左边，所以 3 - p c ( r r ) n 球面并联机构共有八种工作模式。如图2 3 所示乙：在z ，。的左边( 从机 构外看z ，：) 。当a ，j b 确定后，3 - p c ( r r ) n 机构基本构型确定，而动平台中一6 , o 到 球心o 的距离是可调整的。 z o 图2 43 - p c ( r r ) n 球面3 自由度并联机构结构简图 从图2 4 中容易看出叩即初始位置时z 订到达乙：在定平台上的投影转过的角， 逆时针方向为正方向，通过几何关系得到 1 2 浙江理t 大学硕十学位论文 卅甜删( 号筹) 2 - ( 6 ) f h _ l = 述分析可见，球面并联机构包含2 个独立的结构参数口，3 ，显然通过 调整尺度参数可以方便地获得不同的构型。 2 3 动角台的姿态描述与坐标变换 球面并联机构动平台的姿态可由连体系0 - - x i y l z l 相对于固定参考系 d 一z 0 的姿态来描述，系o - x l y l z i 与系o - x o y o z o 间的变换可通过z x z 欧拉 角方法来实现。o - x o y o z o 第一次转动绕z 0 转过有限角仍得到系d 一儿z 口，再绕 转动仍得到系o - - x b y b z 。，然后绕z 6 转动仍得到d 一_ mz l ，据此可得到以仍， ，仇为进动角、章动角和自旋角的欧拉矩阵 r - = 氏，白，氏，1 2 。( 7 ) c o s 竹c o s 仍一s m 纯c o s ( p 2s i n 仍 一c o s 仍s i n 仍一s i n 仍c o s 6 p 2c o s 亿s i n 仍s i n 仍 s i n 仍c o s ( p 3 一c o s 仍c o s ( p 2s i n ( p 3一s i n 仍s i n ( p 3 一c o s 仍c o s 仍c o s 亿一c o s 仍s i n 仍 s i n 仍s i n 钨 s i n ( p 2c o s 仍c o s 仍 为了构造姿态正、逆解模型，现采用d h 记法【5 4 1 表示各支链中相邻杆件间 的相对运动和位置关系。如图2 5 所示，分别以点0 为坐标原点，建立如下连体 坐标系： 上连扦3 图2 5 球面并联机器人坐标系 d 一焉。只。刁。：使得刁与转动副4 的轴线重合，轴。与轴弓，和气张成的平面垂 1 3 浙江理工大学硕士学位论文 直，初始位置时，薯与重合 o - x , ：只：乙：使得毛：与转动副e 的轴线重合，轴薯：与轴刁：和z l 张成的平面 垂直 o - x , l m l l 和o - x , 2 只2 刁2 分别与上连杆和下连杆固连，代表两者的运动。 根据上述坐标系的定义各杆件之间的d h 参数见表2 1 。 表2 1d h 参数 利用这些d h 参数构造如下坐标变换矩阵。 z i 乃- v i j 如一 x l 首先，将o - x o y o z o 绕z o 轴旋转吃。，使轴与葺。重合，再将此时的坐标系绕 薯。旋转一要( 见图2 6 ( a ) ) ，使轴与刁。重合，可得到系d 一。m 。乙l 系至d x o y o z o ic o s 铆n ) 0 - s i n ( r t 订) l r n ：ls i n ( r f 1 ) 0c o s ( r 订) l 2 - ( 8 ) 【- 0 10 j 将d 一五m 毛绕毛旋转巩：+ 罢，使而轴与薯：重合，再将此时的坐标系绕薯：旋 转卢角( 见图2 6 ( b ) ) ，使z l 轴与毛：重合，可得到系o - x , ：咒：五：系至d 一而乃乙的坐 1 4 标变换矩阵 = 降 一c o s r t 2c o s f l s 1 i r i 2c o s p s i n f l 根据以上分析，各支链中转动副4 、 ，一在系d x o y o z o 下的度量可表示为 式中 吩= 蜀，i e 3 = ( 蚝 e 轴线伙= l ，2 ；i = l ，2 ，3 ) 的单位矢量 2 一s l n 仇l ，= c o s t = 0 ，6 = ( o0 ) 7 2 一( 9 ) ， 吩2 r l 墨，2 岛= ( ) 7 2 ( 1 0 ) 2 【c o s 仍c o s c p 3 一s i n p , c o s q 2s i n c p 3 ) c o s r h 2s i np 一 一。c o s 仍s l n + s i n 仍c o s a p 2c o s ) s i n r h 2s i n , o + s i n q ) is i n 仍c o s 口 2 ( s i n 仍c o s o p 3 + c o s t p lc o s a p 2s i n ) c o s t h 2s i n 卢 一o s l n 仍s l n 红一c o s 仍c o s 6 p 2c o s 对s i n r ，2s i n 卢 一c o s c p ls i n c o s8 屹2 s i n f l s i n c p 2 ( s i n 镪c 。s 2 + c 。s 仍s i n 仇2 ) + c o s q 0 2c o s l 3 2 4 位姿逆解 位姿逆解分析是在球面并联机构结构参数给定和动平台三个欧拉角仍，仍 和铑已知的情况下求下连杆相对初始位置转过的角度，即q ，0 2 和吼。 利用交错角定理，得到 h j v i = c o s a 将2 一( 9 ) 和2 - ( 10 ) 4 弋a2 ( 1 1 ) ，得 式中 s i n r b i + 皇c o s r h l + e = o ， v ：l ，2 ，3 2 一( 1 1 ) 2 一( 1 2 ) 4 2 _ ( ( c 。s 仇c 。s 仍一s i n 仍c 。s 仍s i n ) c 。s 叩2s i n 卢+ 一 ( 一c 。s p ls i n 仍- s i n 仍c o s 仍c o s 仍) s i n r 2 s i n p + s i l l 仇s i n 仍c 。s f l ) 忍= ( s i n 仍c o s + c o s 仍c 。s 仍s i n 伤) c o s ，7 2s i n 卢+ 一 ( 一s l n 仍s m 仍+ c o s 仍c o s 仍c o s 纯) s i n 叩2s i n f l c o s 仍s i n 仍c o s p g = - - e o s o i 将= t a n r l ，l 2 代入2 - ( 1 2 ) ，得 廖疗 n 嚏 妫m 2 r， 邮 o u a ? 叫| ； 浙江理工大学硕士学位论文 巨2 + 2 巧+ q = 0 ，v i = 1 ，2 ，3 2 一( 1 3 ) 利用求根公式，得 一协( 避孚 2 羽5 ， 从式2 一( 1 s ) 我们发现每个吃。( f = 1 ，2 ，3 ) 有两个解，因此3 - p c ( r r ) n 球面3 自由 度并联机构有8 个逆解。本文中选择一组解进行分析，即要求磊：在z 订的左边( 从 机构外看乙：) 。 姿态正解是已知下连杆转过角度1 9 l ，0 2 和0 3 ( 或三个电机输入的脉冲数) 求 动平台的欧拉角仍，仍和仍( 或动平台姿态) 。 令0 一x y z 为动平台的新的固连坐标系。这里z 轴与向量h 重合，h 是沿第一 于z 轴并位于和l ，2 张成的平面内。据此坐标系o - - x y z 相对d x l l y l i z l i 的坐标变 换矩阵可以由z y z 动欧拉角表示。首先让。一i m l 毛l 绕z l l 轴旋转办，x 1 ，位 于由向量码和张成的平面内，得到新的坐标系d 一工。y 。，z 1 1 接着 d x l ly l lz l l 绕y l l 旋转也，使z 1 1 与z 重合，得到坐标系d x ”l ly ”l lz ”1 1 最后 d x ”i ly ”1 1z ”l l 绕z 轴旋转织，使x ”l l 与x 重合。因此得到o - - x y z 相对d 一五l m l 刁l l - - - c o s 九s i n # 2 s i n 咖as i n b 2c o s 如j 呷c o ”sq i i - s i n 瞄甜玛= 降剥 这里得到q 在坐标系d x o y o z o 的度量为 浙江理工大学硕士学位论文 哆= g o l r v ，o 2 - ( 1 7 ) 式中，t 。为向量q 在坐标系o - - x y z 下的度量，即 式中 啊。= ，屹。= 兰： ，屹。= c o s 6s i n 上 2 s i n 艿 c o sc o s 兰 2 6 艰叫商s i n i n y _ z l 2 5 2 姿态正解模型 根据上述定义，易得到c o s 咖2 = c o s a ，因此当给定输入q ，由式2 - ( 11 ) ，得 4s i n a + 4c o s 识+ a 32 o 2 - 0 8 ) bs i n a + 岛c o s 司、+ 岛= 0 式中 4 = a l ls i n b 3 + 口1 2c o s $ 3 + q 3 4 = a 2 1s i n # 3 + a 2 2c o s 妒3 + a 2 3