（机械设计及理论专业论文）一类欠驱动机器人系统动力学与运动规划研究.pdf

摘要 摘要 欠驱动系统是指控制输入小于系统自由度的系统由于驱动器的减少，系 统具有重量轻、成本低、能耗少等诸多优点。对于欠驱动系统的力学意义的描 述是二阶非完整系统，其非完整约束由二阶微分方程表示，即指系统加速度的 不可积性。已有前人证明过二阶非完整系统是可控的 鼢浪o b o t ( r o c k & r o l lr c i b o t ) 是仿生六足机器人i 啪麟( h e x a p o dr ( b 1 0 0 的 简化模型它的本体为半球体，在本体两侧有对称的两个可旋转短腿的机器人。 本文讨论欠驱动机器人眦b o t 的动力学与运动规划问题。为简化模型，仅考 虑b o t 只绕其中心轴转动的情况，即r r r o b o t 的转动模型的动力学问题。 首先，利用拉格朗日方程，建立对汰o b o t 的转动模型的动力学模型，导出l t l b o t 的转动模型的非完整约束方程并对其进行降阶约化利用非完整约束的特性， 通过控制机器人两腿的速度输入，可使机器人的本体和两腿达到不同的位置， 实现机器人系统从一种初始位姿到另一种目标位姿的运动规划然后，讨论了 两腿的控制输入如何影响机器人本体转动的问题，找到了机器人腿部控制输入 与本体转动之间的关系，并利用这种关系，通过对机器人腿部控制输入规律的 设计实现对本体转动姿态的预测。最后，在上述建立的砌璩o b 眦的转动模型 的非完整约束方程的基础上利用基于高瓶一牛顿算法的优化方法研究了 鼢b o 转动模型运动规划问题。同时，文章在各章都通过仿真实验验证了所 做工作的有效性与可行性。 关键词：欠驱动系统；非完整约束；动力学；运动规划 a b s t r a c t a b s t r a c t u n d l d 删s y s t e l 璐a 坞m e c h a i i i c a ls y s t e i 璐诵t h 细咐c o f l n d li 印u t st h 柚 d e 孵so f 丘d o m t l l i sc l 船so fs y s c c m sh 鹤删埘l ya d _ 咖g 髂锄c h 私l i g h tw e i g 虬 l o wc o s ta n dl o w 锄e r g y 蜩肋埘0 n u l m 嘞咖砒e d 夥鲰：i i l 嘶i l i c hd y 删c 璐扭a i mi s 懿p r e s 9 c db y 咧1 d d r d e rd i f r 咖确a l e q l l 越i o n ，i s a l c a l l e d c o d d 础n h o l o l l o l n i cs y s t e m t h ec o n n o l l a b i l 时o ft h es y s t e mh 雒b 蝴 弘o v 乩t h ed ) m 锄n i c 伽咀蛐 a i mo nt 量i e c 0 咀d o r d 盯枷b o l 优尬m i cs y s t 锄i s 硼血峨酬t o 麟l a f a l 沁l l r r r o b o t ( r o c k & r o l l 勋b o t ) i sas i m p i i 丘c dm o 如lo fb i o l 晒c a lh e x a p o d b o c 晰l h a 印蜥c a l 呐a n d 咖s h 0 吐l e g ss y m m n 氐：a l 蕾o t l i c 吣i i l t l l i sp a p c 墨 锵衲e s t i 卿c dd 岫a n d 如础p l a n n i n g 细删k l a 咖删r o b o t 咖蒯 r r r d b o t1 bs i m p 崎l h c 啪眠讹j l l s t 州枷娌e d b e y 槲l o c o m 砸o na l o n g 也e 蛐r a l 舣i so fr r r o b o t ，锄d 吐l i sm o d e li sc a l l e dt h ey a wm o d e lo fr r r o b o lf i i s t ， b y m i n g k 卿嗲邮础鸭玳啪鲥t b c 删c 啪d c lo f y a w m o d da n dm e 翻m h 地油棚耙a m 鼬【a i 啦d i i l 砒两s 1 l yu s i l 唱t b cc l 墒r 越把璐o fn o m l 伽删c 懈扛i c t i a 耐曲o n i n g & 娜o f l c 黟s p e 吐帆c 蛆删h n 比l e g s a n d b o d y o f y 槲m o d l e l t od i 赶b 姗t p i 虹a 略锄dc 锄m a l 汜m 甜p l a 疵n g f o r m er d b o t 丘d ma b t g i n n j 【n g 训i g 删o nt oat a 珞e tc 0 蚯毋i r a 虹o nt h e n ，w e 曲_ l d i c dh o w t h ei 1 1 p i l to f l e g s 印c e d 话c t e dt h eb o d yy a wa n df 0 岫dt h e 他l a t i o n s h - pb e 柏崩mt h el e gs p e e d i 删托d 呐y a w - w e 伽嘴t h i sr e l 粕嘶t o 细嘲s tm eb o d yy a wb y d e s i 掣l i n gt h ei 印l i ts p e c do ft h el e g s a n da tl a s t ，b a s e d t h en o n h o l o n o m i c 删嘶m 删o no fy a w 啪d e l ，啪c 锄o p t i m i 也eb o 田y a w 璐i n go p 妇l a l 湖舡d l 惦i 昭孙l 瓣啊幻咀m e t i l o d m 聃，l i i i e w eh a ds i 珂m 撕。璐i i i 髓c hc h 印t e r t ov a l i 出l ct h e 矗绑i b i l i _ i y 锄dv a l i 嘶o f t h e w o d 蹲 k e yw o r d s ：u n d 锄c t i 斌e ds y s t e n i ；n o n h o l o n 伽西c 0 嬲昀i n l ；d y n 锄i c s ；m 甜 p l 舡i i l i n g i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解北京机械工业学院关于收集、保存、使用学位论文 的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以 及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向 国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名：动乞孑红 砌7 年3 月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 学位论文作者签名：彩弋才厶 年月日年；月日 硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：张- 子红 z 砷年多月日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 近年来，随着多用途和多功能机器人技术的不断发展，欠驱动系统引起人 们的广泛关注。所谓欠驱动就是指控制输入少于系统广义坐标的维数。在自动 机械系统中运用欠驱动技术，可以简化系统结构，提高系统的比刚度，减少系 统重量，降低制造成本，还可以减少系统能耗。但是欠驱动系统完全不同于一 般的完整系统，因此得到了广泛和深入的研究，成为机械和自动控制等领域的 研究热点 非完整约束是含有系统广义坐标导数且不可积的约束大多数关于非完整 系统的研究都是处理一阶非完整系统，这类系统多来自于含有滚动接触或角动 量守恒的系统欠驱动系统是指由控制输入向量构成空间的维数小于位形空间 维数的系统，也可以将欠驱动系统描述为二阶非完整系统，由二阶微分方程表 示其非完整约束，即对系统加速度具有不可积性u 1 ；一阶非完整系统指对于系统 速度具有不可积性【2 1 对欠驱动系统的研究可看作是对一阶非完整系统研究的延 续口t j 典型的一阶菲完整欠驱动机器人系统包括空问机器”习、轮式移动机器 人嘲、球形滚动机器人印、跳跃机器人婀，多指灵巧手等聊 一般而言，在如下情况下会运用到欠驱动机器人技术l l q ：( 1 ) 空间机器人、 微重力环境和其他结构特别紧凑的系统，使用欠驱动关节可以大大减轻重量和 降低成本；( 2 ) 设计时有意减少驱动装置以增加系统灵巧性；( 3 ) 系统本身存在 一些运动约束而成为欠驱动系统，如移动机器人等；( 4 ) 某些紧急情况下，驱动 电机失灵而无法更换的，将其处理成欠驱动关节可以满足应急实现，具有实际 意义；( 5 ) 出现在全驱动机器人系统，如可以将柔性操作臂处理成含有被动关节 的欠驱动刚性机械臂进行研究工程技术中常见的欠驱动机器人分别有空间机 器人、水下机器人、移动机器人、行走机器人、并联机器人、伺服机器人和柔 性机器人等【l ，i 。 仿生机器人是机器入研究领域的热门之一r h e x 是一个六足昆虫仿生机器 人它在复杂的地形上具有良好的移动性能。但是，在某些情况下它也会被困 住而无法运动。其中一种情况就是机器人变为高重心状态( h i 曲c t e r 司) 。可 第一章绪论 以利用机器人腿部的摆动使其脱离高重心状态。此时，由于不考虑外力矩的作 用，系统因动量矩守恒而成为非完整系统其控制问题属于一类特殊的非线性 控制范畴，由于非完整约束的特性，其系统表现出一些特殊的性质。对于大多 数非完整控制系统，用一般的线性控制理论和标准的非线性控制方法很难解决。 这是由于非完整系统不满足精确的线性化条件，也不能采用连续或光滑的纯状 态反馈实现系统的渐进稳定性本文利用拉格朗日方程推导出欠驱动机器人系 统的非完整约束方程，利用最优控制来寻求机器人姿态的优化控制输入规律和 姿态运动轨迹 1 2 欠驱动非完整系统研究现状 近十多年来，人们对欠驱动系统展开了深入的研究，取得了一些成果，主 要集中于欠驱动力学特性分析及控制、可控性分析、位置控制、运动规划和轨 迹跟踪、系统的稳定性和鲁棒性控制等领域【嘲 在动力学特性分析方面，& 姐伽m n i l 6 l 就欠驱动操作臂主、被动关节的动力 学耦合，提出耦合指数成= 丌q ( 其中q 为耦合矩阵的奇异值) 、全局耦合指 - - i l 建d e 数砖t 生r ( 8 为全部关节空间) 等量化指标，详尽讨论了动力学耦合和耦 j 姻 e 合指标的本质，及其在分析和设计欠驱动系统、控制和规划机器人运动位形时 耦合指标的作用；s h “7 1 分析了欠驱动机器人的动力学和运动学，在一定假设基 础上提出笛卡儿空闯反馈线性化解耦动力控制器，解决了动力学奇异问题； l l c l 嘲m 嗍首次从非线性动力学角度分析了平面欠驱动机器人的非线性特性。 在系统的可控性分析方面，有相当多的文献对欠驱动系统的可控性分析进 行了探讨。s 璐锄锄i 嘲、b i 锄c h i l l i 嗍、h c 姗a n n l 2 ”等人的早期研究从数学角度 为欠驱动机器人的可控性分析提供了理论基础p o 咖圆分析了不可控平面欠 驱动双摆机器人，在增加弹簧等被动元件后系统成为可控的，从而证明势能对 可控性的重要影响针对非线性系统中没有一般的解析方法研究其自然可控性， l u 强和i a | 1 n i 伍删研究了欠驱动机器人系统的小时间局部可控性问题( s 豇c ) ， 提出直接建立在系统惯性矩阵各项上的充分条件，对检验具有n 个转动自由度和 2 第一章绪论 m 1 个控制输入的欠驱动系统的s 1 1 是一简单宜行的方法。m a l l i n d m k 甜和 b 卸a v a r l 2 4 l 提出具有两个输入的3 r 欠驱动机械臂，在垂直平面运动时，不论哪个 关节是被动的，系统都是线性可控的；但是在水平面运动时，证明除第一被动 系统外，其他都只是s 1 r i a r a i 瞄l 等证明了末端为欠驱动关节的平面三自由度 欠驱动系统的可控性，继而又研究了惯性矩阵的非奇异条件检验欠驱动操作臂 的可控性方法砌m 卸p t 和s r i n i v a 鞠n 网分析了两杆欠驱动系统的可控性，提出 小时间局部输出可控性( s 1 l o c ) 这一新概念，与s 1 1 c 进行比较，说明除病态 情况外，两杆欠驱动机器人系统几乎处处是小范围局部可控的b l l l l o 【2 7 岍对二 阶欠驱动机械系统引入运动可控性新提法，使其成为运动规划的基础在系统 的位置控制和运动控制方面，y 护】等运用施加在被动关节上的摩擦作用控制被 动关节的自由和锁定，并开发了两种位置控制算法。a f a i 咧针对末端为欠驱动关 节的平面三自由度欠驱动系统，结合简单的乎动和转动分段轨迹，运用反馈方 法对系统进行位置控制m i 协刚对具有漂移项的高阶非完整链式系统提出变周 期无振荡的数字控制方法i 瑚1 3 1 1 分析了串联机械臂轨迹规划、轨迹跟踪和设 定点调节的可行性，用动力学反馈线性化有效解决了四自由度含有两个被动关 节的系统和末端为欠驱动杆的平面三自由度欠驱动机械臂的运动规划和轨迹跟 踪【3 1 1 y o s h i k a w a 瞰】针对平面三自由度欠驱动系统，使轨迹能从任意给定初始点 出发，中途经过任意给定点。收敛到任意期望点珏【3 3 l 运动t a k a g i s u g e 模 糊模型完成对末端为欠驱动杆的耦合双刚体系统的轨迹跟踪任务。 在系统稳定性和鲁棒性方面，z 抽n g 【蚓首次对非线性和欠驱动机械系统提出 混合切换控制策略，给出所建立混合控制律的充分条件和稳定判据，并检测了 应用系统的鲁棒性s u l 3 5 j 对欠驱动机械系统的控制提出基于模型的自适应变结 构控制方案，使不确定约束仅取决于系统的惯量参数，在李亚普诺夫意义上建 立了全局渐近稳定性l 协叮a g a i 硼设计了基于混合反馈，开环策略的控制定律， 能保证二阶链式系统的动力学指数稳定。朱齐丹p 日针对欠驱动机器人提出基于 神经网络的位置开环控制方法，利用李亚普诺夫稳定性方法设计了欠驱动关节 的位置闭环控制。b u n o p 珂研究了欠驱动系统的稳定性，通过适当的分离控制判 据，得到系统的局部指数稳定s i q u e j r a p 9 1 运用非线性技术控制欠驱动系统，来 克服系统的不稳定性 欠驱动技术在仿生机器人研究方面也得到了应用蛇形机器人就是一种模 仿蛇的运动机理和行为方式研制出的仿生蛇形机器人许多学者对蛇形机器人 3 第一章绪论 进行了大量的研究工作，研制出许多能模拟蛇运动的蛇形机器人样机。日本的 i i i r o 教授对蛇的运动形式有较深的研究，研制出了第一台蛇形机器人其典型 的蛇形机器人是身体由三个刚体通过可转动的关节连接而成，并且有三个从动 轮在运动过程中，有三个非完整约束，即机器人本体各段都不能侧滑。通过 驱动连接机器人各段本体关节，可以使机器人产生运动。使机器人的本体按蛇 纹曲线( s e q 瑚o i dc u r ) 运动，可以得到与自然界中的蛇相似的运动。仿生六 足机器人也是仿生机器人研究的一个重要领域美国卡内基梅隆大学研制了 一种六足机器人，它具有很多优异的性能，比如快速“奔跑”，可以向前、向 后运动，可以爬楼梯、“游泳”甚至用两腿实现站立“行走”但是在崎岖地 形中运动时它也会被困住无法按照常规的运动方式运动，此时机器人系统受到 非完整约束。本文研究了在这种情况下如何使机器人系统脱离困境。 1 3 课题背景及意义 本课题结合国家自然科学基金资助项目。欠驱动非完整多体系统动力学与 控制研究”【项目编号：1 0 3 7 2 0 1 4 ，开展了对砌浪o b o t 的转动模型的动力学与 运动规划研究 欠驱动非完整系统是一种非常特殊的非线性系统，其研究能丰富和发展非 线性控制的理论，也有助予解决复杂机械系统的动力学和控制问题因而欠驱 动非完整系统的研究有着重要的理论研究价值和意义 欠驱动系统的控制问题得到广泛重视并成为非线性控制领域的热点之一， 主要原因有以下两点：( 1 ) 在实际工程中。许多控制系统都是欠驱动控制系统， 如何用少于标准数目的执行器来控制系统是一个有意义的尝试；( 2 ) 欠驱动系统 是一类特殊的非线性系统，对于该类系统的研究有助于研究一般非线性系统的 控制问题【柏】欠驱动系统的控制问题可分为三大类：运动规划、轨迹跟踪( 包 括几何路径跟踪) 和平衡点反馈镇定本文主要讨论欠驱动系统运动规划问题， 运动规划是一个开环控制问题，目标是寻找控制输入将系统从指定的初始状态 移动至指定的目标状态 1 4 本文的主要研究工作 本文主要傲了以下四方面的研究工作： 4 第一章绪论 1 对r r r o b o t 的转动模型建立动力学方程，得到转动模型的约束方程通 过控制机器人两腿的速度，实现系统从一种初始状态到另一种目标状态的运动 规划。 2 讨论了眦的t 的转动模型中，不同的腿部速度输入规律与机器人本体 的转动之间的关系，并利用这种关系对r r r o b o t 机器入系统的运动进行规划。 3 利用基于高斯一牛顿算法的最优控制对眦b o t 转动模型的运动进行优 化 4 对眦b o t 的转动模型系统进行仿真实验，以验证文中运动规划和优化 方法的可行性及有效性 5 第二章非完整系统简介 第二章非完整系统简介 2 1 引言 欠驱动系统是指由控制输入向量构成空间的维数小于位形空间维数的系统， 即控制输入数小于系统自由度的系统。其特点是可由较少的控制输入确定其在比 控制输入空间维数大的位形空间内的运动。对于欠驱动系统的另外一种描述是二 阶非完整系统，即指对于系统加速度的不可积性因此对于欠驱动系统的研究可 认为是对于一阶非完整系统研究的延续。本章简单介绍了非完整约束概念，非完 整系统的动力学模型及其运动规划。 2 2 非完整约束 从运动学观点理解，约束不仅限制物体的空间位置，而且也限制物体的速度， 也可以说，约束是对物体的运动状态的限制这种限制可以用状态变量和时问变 量的约束方程表示其约束方程的一般形式为 o ( g ，圣，t ) = o ( 2 1 ) 在任一瞬时，约束方程( 2 1 ) 对应于系统的状态空阃中确定的光滑超曲面， 称为约束曲面当约束方程中显含时间变量时，约束曲面随时间而不断改变其几 何形状，这种约柬称为非定常约束不显含时阃变量的约束方程对应于状态空间 中固定不变的约束曲面，称为定常约束，其一般形式为 o ( g ，口) = o ( 2 2 ) 如果约束将系统的运动限制在位形空间q 中的一个光滑超曲面上，则该约束 就称为是完整的从局部来说，完整约束可表示为位形空间中的一组代数约束 。臼) = o ，i = 1 二，l 【 ( 2 3 ) 每一个o 。都是从q 到孵的映射，这种限制系统的位置约束称为几何约束。 几何约束不仅对系统的位形有了限制，相应地也同时对系统的速度分量有限制。 这个限制方程可以通过将原几何约束方程对时间求全导数而得到。由式( 2 3 ) 得 喜象，= 。或等删 亿4 ， 式( 2 4 ) 称为几何约束的微商形式。可以看到，几何约束的微分形式都是恰当微 第二章非完整系统简介 商形式。 一般情况下，对于位形空间为q 的系统，可将速度约束写为如下形式 彳( g 增= o ( 2 5 ) 其中4 ( g ) e 吼钿表示i i 个速度约束的集合。具有这种形式的约束称为p f a m 趾约 束由于p 觚姐约束只是限制了系统的许可速度，而不是必需的位移，所以不 能将其表示为位形空间的代数约束如果存在一个矢量值函数o ：q _ 吼，使得 彳( g ) 叠：o 娑香：o ( 2 6 ) 叼 则认为踟l 街锄约束是可积的因此可积的p 矗l 伍拙约束等价于完整约束；反之， 如不可积，则称为非完整约束 2 3 非完整系统动力学模型 非完整约束的力学系统建模已有多种方法，其中d 锄b e n ia g r a n 萨动力 学方程及非完整约束方程描述如下【4 l l = 絮+ 磐护“蚴7 ( 2 7 ) v 。( g ) 口= o 。 其中肠( g ) 为捍x 霄正定对称的惯性矩阵。，细) 为栉x ( 一一肼) 满秩阵，五是一一历维 的l a g 咖l g e 矢量乘子，烈g ) 是押p 阵，f 是p 维的矢量力矩。令g l ，9 2 ，g _ 表 示以g ) 的零空间的一组基，g ( 鼋) = 【岛( g ) 9 2 ( n ，国) 】，有，7 ( g ) g ( g ) = o ，且 圣= g l ( 鼋) h + + g ( 可) ，- ( 2 8 ) 其中 ，= ( 嵋，吃，) 可看成为系统的速度控制量或广义速度控制量。对式( 2 8 ) 微分得 营：g ( 霉妒+ 掣圣 将上式代入式( 2 7 ) 第一个方程，两边乘以9 7 ( g ) 可得 9 7 ( g ) f ( g ) g ( g 妒+ f 臼，d = 9 7 ( 鼋) b ( g 弦 ( 2 9 ) 设矩阵9 7 ( g ) 曰( g ) 为可逆，取输入变换 f = 【g 国) 口( q ) 】- t 【9 7 ( g ) 膨( 9 ) g ( g + ，( g ，口) 】 ( 2 1 0 ) 7 第二章非完整系统简介 则式( 2 1 0 ) 可被反馈线性化为形式矿= ，于是，得到基于动力学的非完整控制系 统模型 j 12 9 i ( q ) 嵋+ 叶( g ) ，辨 打 ( 2 1 1 ) t = 材 憎1 1 2 4 非完整系统运动规划 近年来，非完整系统的运动规划是非完整系统理论研究中一个较多涉及的 领域非完整控制问题可以分为开环控制和闭环控制两类问题，运动规划问题是 一种开环控制问题所谓开环控制就是给定控制输入信号操纵一个非完整系统从 初始状态运动到末端状态，而不考虑外界对系统的扰动为了理解非完整系统运 动规划问题，将其和完整机械系统的运动规划作比较对于一个完整系统，可以 找捌一套独立通用的坐标系，因此。在坐标系空间内，系统可以任意运动。相反， 对于一个非完整系统，一套独立的通用坐标不存在，因此，并非每种运动都是可 行的，只有满足非完整约束的那些运动才是可行的然两，完全的非完整假设保 证可行的运动的确存在，使得能够调整任意的初始状态到任意的最终状态i q 3 1 菲完整运动规划的控制问题困难不仅在于系统的菲完整性，而且还取决于其 控制目标函数非完整运动规划问题根据目标函数可分为三类，即一般运动规划 问题、最优运动规划问题以及避障运动规划问题在过去的十多年里，有关非完 整运动规划方面文献已大量涌现。并提出许多求解的有效方法，如微分几何、微 分代数法、几何相位法、输入参数化法以及平均法等等 2 5 非完整系统在工程领域的应用 非完整系统在工程应用领域中，可以大体上划分为以下几种类型： ( 1 ) 刚体间含有滚动接触的系统 这类系统存在于受不可积运动约束的机械系统，也称为经典非完整系统。如 在平面上滑行的冰刀或雪撬：无滑动作平面运动的圆盘或圆球；轮子作无滑动的 滚动的移动机器人或车辆、手指在被抓物体上作无滑动滚动的多指机器人、带 个箱体的拖车等等。 ( 2 ) 角动量守恒的多体系统 这类系统存在于受动力学约束的机械系统。如力学系统的运动具有某种对称 性，那么系统就存在有守恒量，若这种守恒量是不可积的，则该系统就是非完整 系统。最普遍是角动量守恒，角动量函数为不可积，那么系统则为非完整系统。 这种非完整系统包括有全驱动的多体航天器和欠驱动的对称刚体航天器、带空问 8 第二章非完整系统简介 机械臂的航天器、在空中运动的跳水或体操运动员、平面型太空机器人等等。 ( 3 ) 欠驱动系统 欠驱动非完整系统在工程技术领域有着广泛的应用背景，如欠驱动机械臂、 欠驱动( 带有两个飞轮) 航天器、欠驱动水面或水下船舶等等。这些系统存在欠 驱动问题大致有三个原因： 为降低成本或减轻重量而考虑欠驱动( 含有非驱动关节) 设计； 在正常运行时系统的一个或多个驱动或激励失效； 某些系统的固有内在特性。 如空间机械臂在空间作业常常要求机械臂有足够的灵活性和冗余度即较多 的自由度，在微重力环境下，机械臂可以使用高强度碳纤维等重量极轻的材料， 但驱动电机目前还无法做的非常轻巧，而用欠驱动系统就可以大大减轻重量另 外对于某些结构特别紧凑、无法安捧驱动装置，或者对降低成本有特殊要求的场 合，也可以考虑欠驱动系统的设计。 2 6 本章小结 本章阐述了菲完整系统的非完整约束概念、动力学模型、运动规划及在工程 领域的应用非完整系统是工程中常见的系统，对于这种系统的理论研究目前在 迅速的发展。而理论的发展也使其在实践中得到了越来越多的应用 9 第三章i u 汛。蚰t 的非完整运动规划 3 1 引言 第三章砌娘o b o t 的非完整运动规划 机器人技术是当代科技领域研究的热门之一其中，昆虫学仿生机器人是机 器人研究领域一个重要部分仿生六足机器人在平坦的地形上具有良好的运动性 能，但是在某些崎岖的地形中它们可能会被“困住”这里所说的“困住”指的 是即由于外部环境的作用，机器人无法再使用其常规的、利用腿部移动的运动方 式运动其中一种情况就是机器人变为“高重心状态”( h i g l l 姗蹦 d ) ，即机器 人的腿只能在空中摇摆而无法接触地面，机器人无法再通过它的腿进行常规行走 和其它运动。高重心状态的机器人会永远被困住么? 高重心状态机器人能通过腿 运动摆脱困境么州? 对上述问题研究起源于对机器人r h 强( h e x a p o dr 0 b o t ) 的试 验和仿真。r h 为一个六足仿生机器人，其每只腿都有一个独立的、可以随意 旋转的股关节r h 既结构简单，本体结实机动性高它有很多优点，比如有 较高的移动速度，可以便捷地向前、向后移动等等然而，当i m 强在崎岖的地 形运动时，会出现被困住的情况。其中一种就是所有的腿都不能与地面接触，机 器人处于高重心状态，如图3 1 所示当r h 既为高重心状态时，使其脱离困境 的可能方式是利用腿部有规律的摆动而带动身体运动 图3 1 高重心状态删e x 有三种方法可使高重心状态的机器人r h 懿脱离困境( 图3 2 ) ： 方法l ：如果机器人的腹部为半球状的底面，则它可以利用本体的“摇动” 运动： 方法2 ：如果机器人的腹部为锯齿状的底面，则它可以利用本体的“走动” l o 第三章r r j 沁b o t 的非完整运动规划 运动； 方法3 ：如果机器人的腹部为平面，则它可以利用本体的“滑动”运动。 b a l a s u b r 锄a i l i 孤m j 对r h 进行了分析和模型简化。他们分析认为方法l 最简单且易于实现。这是因为方法2 需要用腿部的运动带动本体抬升，方法3 需要用腿部的运动带动本体在接触面上滑动，而r h e x 的腿部质量相对于本体来 说很小，所以，由腿部运动产生的力可能太小而不能使机器人产生方法2 或方法 3 的运动。与此相比，如果机器人的腹部为半球状，那么，即使很小的一个转矩 都可以使机器人本体的姿态发生转动和摆动，进而使机器人本体移动。所以，在 机器人利用腹部运动时，方法l 效率更高而且比其它方法更容易建模。 b a l 锄n 埘衄彻i a n 建立了一个六足机器人的简化模型，称为r r r o b o to l o c k j n g a n dr o l l i n gr o b o t ) 它的身体是一个中空的半球，两边各有一只短腿。腿的质量 集中于末端腿可以旋转而不能与地面接触这种模型在适当的条件下可使其本 体产生的不同的运动轨迹。为此，他们还提出了一些简单的实验和控制理论分析 来理解分析的模型，并给出了几个腿部运动的形式或称作步法来产生本体位姿摆 动 本章详细介绍了砌氓d b 啦的转动模型的建立，动力学方程的约化，对转动 模型机器人运动的规划。最后给出了仿真算例。 圈3 2 r h 吼脱离困境的3 种方法 砌幽b o t 是r h 既机器人的一种简化模型( 如图3 3 前两图) 。r r r o b o t 可 简化为转动模型和摆动一转动两种模型l 硐( 如图3 4 所示) 在转动模型中，本 体只有绕竖直方向的z 轴的转动；摆动一转动模型中，本体既有绕竖直方向的z 轴的转动，又有绕水平方向的x 轴的转动本文主要研究转动模型的运动规划。 第三章附汛o b o c 的非完整运动规划 图3 3 r h 懿的简化 转动模型摆动带动模型 设本体为一个中空的半球形，其质量集中于半球的中心和两腿与半球的连接 处，分别以，曰，c 三点表示在半球上连接有2 个可以旋转而不能接触地面的 短腿，腿的质量集中于末端，如图3 5 所示。设半球的半径为6 ，腿的长度为， 彳，历c 三点的质量均为，d 和e 两点的质量为呐 o 圈3 5 转动模型坐标系的建立 黜b o t 可简化为转动模型和摆动一转动两种模型嗍( 如图3 4 所示) 在 转动模型中，本体只有绕竖直方向的z 轴的转动：摆动一转动模型中，本体既有 绕竖直方向的z 轴的转动，又有绕水平方向的工轴的转动。本文主要研究转动模 1 2 第三章r r r o b o t 的非完整运动规划 型的运动规划。 擞腿l 和腿2 驱动力矩分别为f l ，f 2 ，腿l 和2 的转角分别为氟，如，本体的 转动角度为口，方向按照右手螺旋准则确立本体与接触面摩擦不计。建立坐标 系如图3 3 所示腿l 和腿2 的末端速度分别为 1 彳= 矽2 ( 6 2 + ，2c o s 2 氟) + 砰，2 2 引岛日s i n 氟( 3 1 ) 记= 毋2 ( 6 2 + ，2c o s 2 九) + 钌，2 + 2 脚鱿s i n 办( 3 2 ) 腿l 和腿2 顶端质量名和c 的速度为 v ：= ：6 z( 3 3 ) 系统的动能r 为 r = 三嘶h 2 + 丢叭2 + 三帆2 + 三吼2 。聊 根据拉格朗日方程【4 7 l 鲁一吾= 2 ， 业l 粥j 妃“ 1 有 丢滢 = 三叻，2 p ( 伽磁+ s 旎) + 外施嘲2 一旎咖旎) 】 一啊脚伤s i n 识+ 宵s ) + 用i 挪伍如+ 费s 丸) + 2 如。+ 朋，：痧+ 聊，舀，z 塑：o a 口 丢皤) 娟h ，酗p 血 + 锻嘲) 要；一丢肼，分z ，zs i n 磁一埘，6 f 劬c o s 识 a 碗 2 r 同理可得 鲁( 剖嘶m 们p 咖九+ 铳s 办) 嚣= 一三啊卯2 血璇+ 肼，甜锯s 以 式( 3 5 ) 中，吼为广义坐标，q 为广义力。上式整理后的得到矩阵形式的砌5 幽b o t 转动模型的动力学方程为 第三章r r r o b o t 的非完整运动规划 其中 肘( g ) = f ( g k + c q ，香k = f( 3 6 ) 2 ( + 啊) 6 2 + 矿2 + 三，2 ( c o s 2 旃+ c o s 2 唬) 啊6 z s i i l 磊6 ，s i l l 呜 一啊6 f s i n 呜彬，2 o 啊6 砖i n 呜 o 啊，2 一m ，2 她s 缸2 氟+ 五s j n 2 办) + 埘，6 ，( - 卯c o s 磊+ 躬c o s 办) 嘶曲= 怯m ，瑚2 如撕 三妒矽2 咖旎 3 。3 躲r 曲o t 动力学方程约化 f = ( o ，f 2 y 动力学方程( 3 6 ) 中右端第一行为零，表明机器人本体不受控方程( 3 6 ) 是典 型的欠驱动系统在系统初始速度为零的条件下，方程( 3 6 ) 第一行为可积的，即 可降阶为一阶非完整运动学方程对方程( 3 6 ) 第一行积分可得 j ，l l i 扫+ 埘1 2 ，i i + j ，1 1 3 五= o( 3 7 ) 将式( 3 7 ) 写为矩阵形式为 矽 磊 办 删1 2 、 一百i l k + o l j 假设腿l 运动，而腿2 不动，式( 3 7 ) 可写为 j ，1 1 1 台+ j ，1 1 2 磊= o ( 3 8 ) ( 3 9 ) 此时，对式( 3 9 ) 积分，可得本体的旋转角度口的表达式 忙孚南器 。 其中 1 4 、ilpl一 ： 胍一所o， 第三章褂汛o b o t 的非完整运动规划 口娩) ：逝立也至：三亚曼巫 2 棚，2 同理，当腿l 不动，腿2 转动时，本体的转动角度为 其中 3 4r r r o b o t 非完整运动规划 ( 3 1 1 ) 在已知转动模型的本体转动与两腿输入速度的关系后，可以对机器人系统 本体的转动进行运动规划机器人本体的运动通过其两腿的有规律的摆动而得 到这种摆动有多种不同的规律我们把不同规律的摆动组合称为步法在研究 羽t r o b o t 机器人系统运动规划时，我们使用了两种步法： 步法l ：两腿同时摆动，但摆动速度有相位差饲如，设腿l 的摆动速度为 磊t 4 s i n r ，则腿2 的速度为五= 4 螂f ，两腿摆动的速度相位差为万，2 另外， 在速度空问为确保两腿在每个周期的初始和末端速度都为o ，引入一个包络线函 数 胁忙= 厶。掣细 即两腿摆动速度分别为i i = 矾) s i n r 和也= 肌) c ， 步法2 ：仅使用一只腿摆动，另一只腿保持不动步法l 中，两腿每摆动一 个周期回到初始位置时都会产生本体的纯转动。步法2 不产生本体的纯转动，即 当一只腿单独摆动回到初始位置时，本体的转动也回到琢始位置。但是当一只腿 单独摆动但没有回到初始位置时，本体会产生转动。 设机器人初始位置为g o = ( 岛，磊。，如) ，目标位置为= 魄，办；，如。) ， m 浪o b o t 的转动模型运动规划步骤如下： 1 ) 建立非完整运动学方程g = g i q k + g 2 q k ； 2 ) 给定初始和目标位形霉。，以； 3 ) 选择振幅彳； 1 5 裔至 一 雯厨 南擘 = 、j瓴 8 第三章r r r o b o t 的非完整运动规划 4 ) 设办= 九，利用式( 3 1 0 ) 计算腿l 从初始位置摆动到目标位置时本体的转动 角度口= 口设办= 九，利用式( 3 1 1 ) 计算腿2 从初始位置摆动到目标位置时 本体的转动角度口= 5 ) 计算两腿摆动一个周期本体的纯转动p 。 6 ) 计算两腿摆动的循环次数c = 缸一口一j 户。 7 ) 用步法l 使本体转动，重复c 次； 8 ) 运用步法2 使腿l 摆动到九，腿2 摆动到九。 3 5r r r o b o t 转动模型算例仿真 算例l 本算例中，设本体由初始位置o 经逆时针转动7 。到达末端位置，机器人两 腿初始位置均为9 0 经摆动达到末端位置均为1 5 7 5 。 设机器人质量几何参数为埘- = l l 【g ，啊= 仇5 k g ，= q 5 m ，6 = o 5 l 掰；机器 人的初始位形为吼t ( 唾，舛末端位形为= ( 一熹，等，等) 7 首先，选取两腿摆动振幅一为o 5 1 6 ，两腿的控制输入分别为 五= 4 厂o ) s i n ，也= 4 几) c o s f 其次，通过式( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) ，预先算出口= o 1 4 7 2 ，夕；_ 0 0 7 6 8 5 3 。 然后，经仿真程序计算，得到本体转角随时间变化的数据，从改数据中可以 计算出两腿摆动一个周期本体产生的纯转动p = o 0 1 5 7 5 接下来，通过运动规划步骤6 ) 中的计算式c = 帆一口一) p 算出c = 1 2 。 最后，先用步法l 使腿l 和腿2 运动1 2 个周期，然后再分别用步法2 使它 们运动到各自的末端位置。此时，机器人的两腿，本体均到达各自的末端位置。 黜b o t 本体姿态的变化如图3 4 两腿角度变化分别如图3 5 、3 。6 所示。 1 6 苎三! 型! 墨! 堕箜斐塞竺垩垫塑型 圈3 4 本体姿态变化规律 图3 5腿l 的角度变化规律 蓬母 第三章i u 汛曲o t 的非完整运动规划 图3 6 腿2 的角度变化规律 由图3 4 可以看出，当机器人两腿以步法1 运动时，本体产生了明显的纯转 动，符合欠驱动系统的运动规律。由图3 4 3 6 可以看出，机器人两腿按运动规 划的步骤运行后，本体和两腿都达到了期望的末端位置 算例2 本算例审，设本体由初始位置o 经逆时针转动7 到达末端位置，机器人两 腿初始位置均为9 0 。，腿l 和腿2 的末端位置分别为8 0 和1 0 0 设机器人几何参数为月l _ 。l i 【g ，嘲= 也5 k g ，一q 5 m ，矗= o 5 l m ；机器人的 初始位置为舶= ( o ，三号 ，末端位置为以= ( 一急，警，等) 。 选取彳为0 5 1 6 ，两腿的控制输入分别为 磊= 形( f ) s i n f ，五= 硼) c o s f 运行本体转动的仿真程序，利用算例l 的方法可以计算出两腿摆动一个周 期本体产生的纯转动p = - o 0 1 5 7 5 通过式( 3 1 0 ) 和式( 3 1 1 ) ，预先算出口= - o 0 2 8 8 9 ，= 卸0 2 8 7 5 。最后可得 c = 4 ，即用步法l 运动4 个周期。 r r r o b o t 本体姿态的变化如图3 7 两腿角度变化分别如图3 8 3 9 所示。 1 8 墨三兰墅! 塑坠塑斐塞鳖墨垫塑型 图3 7 本体姿态变化规律 图3 8 腿l 的角度变化规律 冒是簟 第三章汛o b o t 的非完整运动规划 圈3 9 腿2 的角度变化规律 由图3 7 可以看出，当机器人两腿以步法l 运动时，本体产生了明显的纯转 动，符合欠驱动系统的运动规律由图3 7 3 9 看出，本体和两腿都达到了期望 的末端位置本模跫中，主要的研究对象是本体的转动算例l 和算例2 中本体 的末端位置相同，但两腿的末端位置不同。从图3 4 3 7 可以看出，算例2 中本 体达到末端位置所用时问较算例l 大为缩短，因此，可以通过合理地设定机器人 两腿的末端位置，缩短本体达到末端位置的用时，提高运动的效率 3 6 本章小结 本文建立了r r r o b o t 的转动模型动力学方程并对其进行了约化，然后给出 了两种腿部运动的步法，最后通过仿真进行了验证。本章通过积分，将眦b o t 转动模型动力学方程由二阶降为一阶，实现了动力学方程的约化在约化后对转 动模型进行运动规划才变得可行在此基础上，可以对i u 讯o b o t 的其它模型如 摆动一转动模型进行研究。 第四章褂浪o h ) t 转动模型的步法设计及算例 4 1 引言 第四章i u f t r 曲o t 转动模型的步法设计及算例 i 汛r 0 b o t 机器人系统的步法的设计是一个比较困难的问题。以前对有腿机器 人步法的研究多由经验而来。我们将步法的设计问题进行数学推导，然后通过步 法设计使机器人产生所期望的运动。黜b o t 转动模型系统中有3 个变量，其中 两腿位置变量破，戎定义为几何形状变量，是可控的；本体旋转角度口定义为位置 变量，是欠驱动的本章研究系统模型形状参数受控，而位薰参数不完全受控的 欠驱动机器入步法设计问题，即如何通过改变系统几何形状变量使这类欠驱动机 器人的位置变量发生改变。 欠驱动机械系统可以分为三种类型； 欠驱动运动学系统：运动受到独立的非完整约束支配的系统； 欠驱动动力学系统：运动受到角动量守恒支配的系统； 欠驱动混合系统：运动受一些非完整约束和系统角动量守恒支配的系统 本章主要研究的是欠驱动运动学系统。本章中以嗽。的t 的转动模型为例 进行研究 4 2 预备知识 机械系统的位形空间通常有两部分组成，一个是代表机器人位置的纤维空 间，另一个是代表机器人形状的基空间对于一个由多个刚体组成的机器人，想 要表明其位形，那么，代表机器人位置的位置变量( 纤维变量) 和代表机器人形 状的形状变量( 基变量) 都是不可少的 在这一节中，我将引出步法设计中所需要的一些概念 a 纤维丛 纤维丛定义：纤维丛由一个全空间q ，一个基子空间m 一个纤维空间g 和一个称之为投影的连续映射万：q m 构成，并且满足 ( 1 ) 膏lq 一肘是映上的； ( 2 ) g ，= 石- 1 ( ，lr e 肘，g ，同胚于g ，称g ，为r 上的丛； ( 3 ) 对任意，e ，存在一个邻域，u c m 和同胚映射i l ：u x g p 。缈) ， 使得p 。叫孑，y ) = z ，忱e u ，) ，e g b 步法 2 l 第四章砌源o b o t 转动模型的步法设计及算例 在上一章中，步法被定义为机器人两腿在不同的控制输入规律下摆动的组 合在本章，将从数学的角度定义步法。 定义：将步法定义为一个在机器人基空间吖的封闭曲线y o ) 。它是一个映射 ，：飒寸膨，其中，o ) = ，( r + p ) ，p c 吼。在步法设计中，我们要求，( f ) 为连续 的 c 非完整约束 在本章，设非完整约束可以写为p f a m 孤形式彩( g ) 口= o ，其中缈q ) 为一 个代表约束的七栉的矩阵，牙为刀维位形全空问q 正切空间的一个元素。 d 运动学机械系统 根据文献【4 耵。一个机械系统是运动学的是指如下情况，即