（水声工程专业论文）圆柱壳体表面振动重构及辐射声场预报的模态分析方法研究.pdf

哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用己在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：力烁 日期： 口i 口年；月珥日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文囱在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有 作者( 签字) ：歹2 岍、 日期：歹ot 口年弓月加 哈尔滨工程大学硕+ 学何论文 摘要 声场重构属于声辐射逆问题，可以被看作是通过测量声场中有限个点的 信息来逆推整个声场的情况。目前，已经有很多种方法能够进行声场重构的 工作，如边界元、波叠加等方法，取得了不错的效果。但这些方法在面对声 源结构比较复杂的情况时，需要采集较多的信息，不便于进行实际的应用。 因此，寻求一种快捷，能够有效缩短实验时间的方法是具有实际意义的。 在本文中，通过利用声辐射模态分析方法的相关理论，将模态分析技术 运用在了声场重构研究中。根据论文需要，建立了多种不同结构声源的仿真 模型，其中包括：摆动球、四极子声源、矩形平板以及最为重要的柱形声源。 运用相关的模态分析理论知识，对这些声源模型进行了声辐射模态的求解以 及辐射声场重构。 并利用单层圆柱壳模型进行了论文的理论验证实验。通过对实验数据的 处理和分析，得到了比较理想的结果。实验结果表明，这种声辐射模态分析 技术，减少了实验所用的时间，具有一定的可行性及实用性。 关键词：模态分析；声场重构；声辐射模态：圆柱壳体 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 a b s t r a c t a c o u s t i cr e c o n s t r u c t i o n1 sa ni n v e r s ep r o b l e mo ft h ea c o u s t i cr a d i a t i o n i n a c o u s t i cf i e l dr e c o n s t r u c t i o n ，t h ee n t i r es o u n df i e l di sd e r i v e db ym e a s u r i n ga f i n i t en u m b e ro fp o i n t so fi n f o r m a t i o ni nt h es o u n df i e l d a tp r e s e n t ，t h e r ea r e m a n yw a y st oc a r r yo u tt h i sw o r k ，s u c ha sb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n dw a v e s u p e r p o s i t i o nm e t h o d h o w e v e r , t h i ss i t u a t i o ni sn o tc o n v e n i e n tt ot h ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o n ，f o rm o r ei n f o r m a t i o nn e e dt ob ec o l l e c t e dw h e nd e a l i n gw i t hc o m p l e x s o u n ds o u r c e t h e r e f o r e ，f i n d i n ga q u i c ks o l u t i o ni sm e a n i n g f u lt or e s e a r c h i nt h i sp a p e r , m o d a la n a l y s i sm e t h o di su s e di nt h es t u d yo fa c o u s t i c r e c o n s t r u c t i o n , t or e s e a r c ht h er e l a t e dt h e o r i e so ft e c h n o l o g yo ft h ea c o u s t i c r a d i a t i o nm o d e sa n a l y s i s an u m b e ro fd i f f e r e n ts i m u l a t i o nm o d e l sa l ee s t a b l i s h e d ， i n c l u d i n gs p h e r i c a ls o u r c e ，q u a d r u p o l es o u r c e ，r e c t a n g u l a rp l a t ea n di m p o r t a n t c y l i n d r i c a ls o u r c e t h ea c o u s t i cr a d i a t i o nm o d e so ft h e s em o d e l sa l es o l v e d ，a n d t h er a d i a t i o na c o u s t i cf i e l do ft h e s em o d e l si sr e c o n s t r u c t e d at e s t i n ge x p e r i m e n tu s i n gs i n g - l a y e rc y l i n d r i c a ls h e l la b o u tt h ea c o u s t i c r a d i a t i o nm o d e si sc a r r i e do u t ，a n dt h er e s u l tm a t c h e st h et h e o r e t i c a lv a l u ew e l l 1 1 1 ee x p e r i m e n tr e s u l ts h o w st h a tt h i st e c h n o l o g yo ft h ea c o u s t i cr a d i a t i o nm o d e s a n a l y s i s ，i tc o s t sm u c hl e s st i m e t os u mu p ，i ti sat e c h n o l o g yo ff e a s i b i l i t ya n d p r a c t i c a b i l i t y k e y w o r d s ：m o d e sa n a l y s i s ；a c o u s t i cr e c o n s t r u c t i o n ；a c o u s t i cr a d i a t i o nm o d e s ； c y l i n d r i c a ls h e l l 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 目录 第l 章绪论l 1 1 论文研究背景”l 1 2 模态分析方法在声辐射问题中的应用”2 1 2 1 模态分析方法简介2 1 2 2 声辐射模态分析方法简介2 1 2 3 声辐射模态在声场重构中应用5 1 3 论文工作内容5 1 4 本章小结6 第2 章声辐射模态理论基本原理7 2 1 基本原理“7 2 1 1 声辐射模态7 2 1 2 声场分布模态”1 2 2 2 辐射声场重构15 2 3 本章小结18 第3 章仿真与分析2 0 3 1 概述2 0 3 2 针对不同模型进行仿真2 0 3 2 1 球形声源部分2 0 3 2 1 1 摆动球2 l 3 2 1 2 四极子声源”2 3 3 2 2 矩形平板部分”2 5 3 2 2 1 处于空气中情况，声速为3 4 0 m s “2 6 3 2 2 2 处于水中情况，声速为1 5 0 0 m s 3 1 3 2 2 3 考虑两种特殊条件下的声场重构3 5 3 2 3 柱型声源部分”3 7 3 3 仿真结果分析3 9 3 3 1 声辐射模态仿真结果分析”3 9 哈尔滨j r 程大学硕十学何论文 i i i i 3 3 2 辐射声场重构仿真结果分析”4 0 3 4 本章小结4 0 第4 章外场实验及数据处理4 2 4 1 实验测量模型”4 2 4 2 实验测量系统4 4 4 3 实验具体内容4 7 4 。4 实验数据的处理及分析4 8 4 4 1 实验数据处理方法简述4 8 4 4 2 实验数据处理4 8 4 4 3 实验结果分析5 3 4 5 本章小结”5 4 结论5 6 参考文献5 8 攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果“6 2 致谤 6 3 哈尔滨t 程大学硕七学位论文 第1 章绪论 1 1 论文研究背景 弹性结构的被激振动和声辐射问题，在历史上作为一声学问题来研究是 比较早的，如最早的扬声器之类系统的设计，它的结构很小，所以作为电声 器件归入电声学中，而没有形成一个独立的学科。在声学界，对结构振动和 声辐射的研究，主要是由大型水下声学系统和充水弹性管道系统的振动与声 学问题研究和工程设计要求推动的，如大型水声基振的研究设计；声障板的 振动和散射声对阵性能的影响研究；声纳导流罩结构与声学的研究和设计等 左盘 奇。 结构振动与声的研究，不仅仅局限在水声学范围内。由于声检测、识别 技术应用及环境科学的发展，它波及到了其他的一些领域。由于机械结构振 动和减振降噪工程的发展，在声学和其他分支也广泛的开展了结构振动与声 方面问题的研究，甚至于在空气声方面也广泛地开展结构与声问题的研究。 例如在船舶工程、海洋工程领域中，为了振动和噪声的控制而开展了一系列 研究，如船舶和海洋工程的结构在水上和水下结构动态特性的分析研究；大 型水下结构振动与声场之间耦合作用和声辐射的影响研究；各种机械装置的 被激振动和产生的声辐射预报：海洋风浪或高速流场引起的结构振动和声辐 射研究、预报；对声辐射起主要贡献的振源判断和识别研究等等，都形成当 前国际上跨学科研究活跃的前沿课题。 近代的结构振动与声的研究和早期的研究相比，在方法上有了很大的发 展。例如早期的声学研究中，把振动的物体作为声源，单独研究其结构振动 特性，而后在声场的分析计算时，把结构振动的分布作为边值问题来计算声 场。这种计算方法对空气声学来说，因为介质密度和体积弹性模量比结构的 密度和刚度要小的多，所以计算所得到的声场与实际情况很接近。然而，对 水下声辐射来说，因为介质的密度和弹性模量比较大，故上述方法计算的结 构和实际辐射声场相差就很大。又如，对于多个振元声辐射结构的振动和声 辐射研究，虽然在计算方法上有了一定的进步，但也只是把它们之间的散射 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 作为互耦合项而归并为矩阵形式来求解。近代，由于高速、大容量电子计算 机的使用，使得结构与声的分析方法有了很大的发展。人们可以把弹性结构 振动声场辐射问题，作为结构与声的一个耦合系统统一起来进行分析， 对表征这种耦合系统的微积分方程进行计算、求解。于此同时，相应的有限 元、转移矩阵、边界元口孓2 7 1 、差分法等近似计算方法软件的开发；离散化近似 的数值计算解法，也就显得更为方便。它进一步使得大型复杂结构的振动响 应和声场的计算与预报变为显示。 1 2 模态分析方法在声辐射问题中的应用 1 2 1 模态分析方法简介 模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振 动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的 固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得， 这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元 计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入 与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分 析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构所固有的、整体的特性。如果 通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模 态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振 动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。 模态分析技术从2 0 世纪6 0 年代后期发展至今已趋成熟。它和有限元分 析技术一起，已成为结构动力学中两大支柱。模态分析是结构动力学中的一 种“逆问题”分析方法，它与传统的“正问题 方法( 主要是指有限元方法) 不同，是建立在实验的基础上，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中 的振动问题。目前这一技术已发展成为解决工程中振动问题的重要手段，在 机械、航空、航天、土木、建筑、造船、化工等工程领域被广泛应用。 1 2 2 声辐射模态分析方法简介 前文介绍了在振动问题的研究中，振动结构模态就是一组基函数，振动 2 哈尔滨二r 程大学硕十学位论文 结构模态分析方法丰富和完善了振动理论，推动了振动研究的发展。然而在 声辐射问题的研究中，长期以来缺少这样一种类似的、完善的模态分析方法。 对结构的振动可以将它置于振动模态空间去考虑，以振动模态坐标来表达的 模态方程是一组互补耦合的单自由度系统的方程，各阶振动模态坐标代表了 各阶振动模态对结构振动相应的贡献。但是，如在振动模态空间中去考察振 动结构的声辐射时，各阶振动模态的声辐射并不是独立的，相互之间存在着 耦合，这就给采用振动模态进行结构声辐射分析和控制时带来了一定困难。 例如简支薄板，即使在单频激励下振动，其结构模态与声辐射模态之间也不 互相独立，在低频振动的情形下，即使把最重要的几阶振动模态降低，其总 的声辐射功率并不会明显减小，这主要是结构间的声振耦合很强，这给声辐 射的控制和计算带来了很大的困难。 对于工程中常出现的复杂结构的声辐射问题，采用解析方法求解结构的 声辐射几乎是不可能的。声辐射效率是描述结构声辐射能力的重要参数，目 前计算结构声辐射效率主要是采用经验公式来估计，因此研究结构声辐射的 解耦与效率对于控制结构的声辐射及其揭示结构声辐射的机理有着重要的意 义。 2 0 世纪9 0 年代初期，b o r g i o t t i m l 、c u n e f a r e 列、b a u m a n n 、s n y d e r 和 e l l i o t t t ”等的工作表明：可以找到一组特殊的模态，使得各模态和声辐射之间 没有任何耦合。c u n e f a r e 和e l l i o t t 等将这种声辐射独立的模态定义为“声辐 射模态”( a c o u s t i cr a d i a t i o nm o d e s ) 。以区别于结构振动模态和声腔模态。所 谓声辐射模态及其辐射效率类似于振动问题中的振动模态与固有频率，声辐 射模态对应的是结构的速度分布，而振动模态对应的是结构的位移分布。声 辐射模态也是h i l b e r t 空间中的一组相互正交的基，每组基代表一种可能的声 辐射形式，每一阶声辐射模态对应一个独立的辐射效率，用声辐射模态研究 声辐射问题的优点在于消除了结构振动模态中复杂的耦合项，使得计算和控 制声辐射变得简单。这些优点使其在结构振动声辐射分析和控制中倍受欢迎 m 7 1 。同时，通过对简单的板梁结构分析可知，结构的辐射声功率可以表示为 结构表面振速分布的一个正定二次型，不同的速度分布其对应的声辐射声功 率与声辐射效率是不同的，因此可以通过对结构的模态进行抑制和重构来控 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 _ i inr i 宣i i j 昔i 薯；i 暑宣| | i 叠罩一 制结构的声辐射，由此达到声辐射主动控制的目的。声辐射模态主要用于有 源结构声学控制。u 刀 c u n e f a r e 等的研究表明，结构的声辐射模态与结构的边界条件和结构的 材料特性无关，只与结构的振动频率和形状有关，每增加一个自由度，结构 的声辐射模态将增加一阶，但是增加的声辐射模态对应的声辐射效率在所有 的声辐射模态中是最小的。s n y d e r 详细的论述了奇异值分解与声辐射模态之 间的关系；n a g h s h i n e h 则利用此思想，在文献中将声辐射模态称为基函数， 并将其作为表面速度滤波器( s u r f a c ev e l o c i t yf i l t e r ) ，通过控制声辐射效率 高的模态而采用声辐射效率低的速度分布来合成结构的振动形式，由此达到 控制结构的辐射声功率；同时n a g h s h i n e h 还将该思想应用于板壳结构的主动 控制中，对主动控制的材料进行了位置优化，取得了显著的效果。 通过对薄板结构的声辐射特性的研究表明，在低频振动时，结构的声辐 射主要来自于结构的前几阶声辐射模态，控制了结构的前几阶声辐射模态， 将使结构的声辐射大大降低。因此，如何计算结构的声辐射模态与声辐射效 率就显得尤为重要，求解结构声辐射模态的基本思想就是求解结构的声辐射 阻抗矩阵，利用阻抗矩阵将结构的声辐射功率表示为一个正定的二次型，然 后利用矩阵的正定和共扼性，求解结构的声辐射模态及其声辐射效率。用声 辐射模态研究外部声辐射问题的优点在于消除了结构模态中复杂的耦合项。 声辐射模态的性质就保证了只要减小结构声辐射模态速度幅值就肯定减小了 结构的辐射声功率。正是此优点使它在结构振动声辐射的分析和控制中倍受 瞩目。 但在上述研究工作中对振动模态的研究仅指出各阶振动模态的声辐射并 不是独立的，并由振动模态间的互辐射效率较高认为结构振动模态的耦合对 结构声辐射有较大的影响，没有对振动模态的耦合对声辐射的影响作具体研 究。c u r i e f a r e 以简支梁为例研究了振动模态耦合效应对结构声辐射的影响， 指出在吻合波数比以下，振动模态的耦合效应相对于总的辐射声功率而言是 不能被忽略的。另外，上述研究基本上都是基于解析方法，研究的对象局限 于梁、板等可用解析方法进行处理的结构。而许多现代工程结构，如船舶舱 室、飞机舱室、汽车驾驶室和工作车间等，均为三维封闭空间结构，因此， 4 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 对三维复杂结构的声辐射模态分析具有重要的理论意义和使用价值。但对于 形状较复杂的结构声源所产生的辐射声场，目前还需要借助于数值方法来解 决。 1 2 3 声辐射模态在声场重构中应用 声场重构属于声辐射逆问题，通过测量声场中有限个点的信息来逆推整 个声场的情况。2 0 世纪8 0 年代近场声全息b 2 五4 1 技术的提出掀起了声场重构研 究的热潮，之后众多学者将边界元1 1 2 _ 扪、波叠加等方法运用于声场重构，取 得了较好的结果。但这些方法对于复杂的声源重构往往需要较多的测量点数， 不便于工程应用。世纪之交，w u 等赫姆霍兹方程最d x - 乘法( h e l s ) 用于空 间声场的重构，所需测点数较少，但是该法适合于球体或长宽较接近的振动 物体。针对复杂声源，该方法选择的基函数往往不能充分反映复杂声源的辐 射性质，应用受到限制。 近年来，采用一组基函数的线性展开来表示振动表面辐射的声场n 1 。当 展开系数确定后，可重构整个声场。这种声场重构的方法需要一组基函数。 针对复杂声源，如果所选择的基函数不能充分反映复杂声源的辐射性质，那 么应用将受到限制。在文献 1 】中，提出了声辐射模态和声场分布模态，分别 描述了振动表面的辐射模式和声场的分布函数，可作为基函数。文献【6 】揭示 了声辐射模态和声场分布模态的物理意义，声辐射模态和声场分布模态反映 了复杂声源的辐射性质，包含了复杂声源的几何形状的影响。辐射声场的信 息可采用声辐射模态和声场分布模态展开表示。在文献 9 q b ，对应用声辐射 模态进行声场重构的具体方法进行了研究，并对几种不同形式的声源进行了 声场重构，得到了理想的仿真结果。 1 3 论文工作内容 本论文的工作内容主要包括以下几个方面： ( 1 ) 首先详细的介绍了声辐射模态分析方法的基础理论、公式等，对该 方法在不同方向的应用情况进行了分析。利用声辐射模态推导出结构声辐射 声功率的一般表达式，并结合声场重构以及声场预报的具体内容，对该理论 进行了指定方向的展开。 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( 2 ) 应用m a t l a b 语言建立多种不同结构的声源模型，并利用相关理论 进行了声辐射模态的求解。再利用声辐射模态对相关辐射声场进行了求解和 重构，将重构值与理论值进行了比对。并且针对不同的频率、声速、以及所 取的模态阶数进行了反复的对比。 ( 3 ) 根据相关的仿真结果进行实验研究，制定实验参数，进行原理验证 实验。根据实验结果验证运用模态分析的方法进行振动重构及辐射声场预报 的正确性，及通过仿真得到的各种实验参数设置和测量数据处理方法在实际 实验中的有效性。 1 4 本章小结 本章介绍了模态分析理论的基本概念，以及模态分析方法在声辐射相关 问题中的应用情况。简单介绍了声辐射模态分析理论的发展简史及研究近况， 同时点出了其在处理声辐射相关问题应用中的特点。并说明了本论文的主要 内容。 6 哈尔滨丁程大学硕+ 学位论文 第2 章声辐射模态理论基本原理 2 1 基本原理 一个很简单的振动物体，例如摆动球，即使是在简谐频率下振动，其结构 模态下的每一阶声辐射效率并不相互独立，在中、低频情况下，即使把最主 要的几阶结构模态的振动降低后，其总的辐射声功率并不一定会明显降低。 这主要是因为结构模态间的耦合很强，这给声辐射的计算和控制声辐射带来 了很大困难。与此同时，振动问题的研究日趋成熟，标志之一是发展了结构 模态分析方法，众多学者在此基础上进行了振动主动控制以及优化设计等研 究，并取得了丰硕的成果。人们开始认识到直接用振动结构模态来研究声辐 射问题存在不少缺陷，因此有必要发展一种适用于声辐射问题的模态。 9 0 年代开始，b o r g i o t t i ，p h o t i a d i s ，c u n e f a r e 和e l l i o t t 等学者首先提出声 辐射模态的概念。所谓声辐射模态及其辐射效率类似于振动问题中的主振形 和固有频率。在物理意义上讲，声辐射模态就是辐射体表面一种可能的辐射 形式，是给定辐射物体所固有的性质。任何表面法向速度都可通过这些声辐 射模态的线性组合来表示。每一声辐射模态对应一个独立的辐射效率。声功 率可表示为声辐射模态与其对应的辐射效率的线性组合。声辐射模态由辐射 体的几何形状和振动频率决定，而与辐射体本身的材料特性无关。用声辐射 模态研究外部声辐射问题的优点在于消除了结构模态中复杂的耦合项，使得 计算和控制声辐射更为简单。 2 1 1 声辐射模态 任意形状的振动结构表面s 以圆频率缈振动，向无限空间v 辐射。在空 间v 中充满均匀介质，介质的密度为p ，声速为c ，设振动表面s 上的法向 振速为u ( x ，彩) ，辐射的声压为p ( y ，c o ) ，其中x 为s 上的任意一点，】，为矿中 的一点，声辐射问题可表述为： 声压满足h e l m h o l t z 方程： v 2 p ( y ，c o ) + 足2 p ( y ，缈) = 0 ， y y ( 2 - 1 ) 其中七为波数，七= 缈c 。 7 哈尔溟1 = 程大学硕士学佗论文 在s 上，声压满足边界条件： 掣：一j g o p u ( x , c o ) ，x s ( 2 - 2 ) 一= 一 -乍 o n x 其中o o n r 表示在s 上点x 处的外法向导数，j = 一l 。 在无穷远处，声压满足辐射条件： 螅1 1 0 p ( y r , g o ) + j k p ( 枷) r d s 矗( y ) = 0 ( 2 3 ) 其中墨为球面，球的半径为r 。声辐射问题具有唯一的解。 为了应用模态分析方法，有必要确定两组基函数分别描述振动表面的辐 射模式和声场的分布模式。 在s 上，所有复连续有界函数f ( x ) 构成的集合记为日，x s ，集合日 为复b a n a c h 空间。在空间日上，定义内积： ( f ( x ) ，y ( x ) ) = f p ( x ) v ( x ) d s ( x ) ( 2 - 4 ) 其中f ( x ) h ，v ( x ) h ，“”表示求复共轭。空间日称为h i l b c r t 空间。 设在振动表面s 上，法向振动速度u ( x ，g o ) 为复连续有界函数，其中g o 作 为参数。所有复连续有界速度u ( x ，g o ) 构成的集合记为矾。在集合瓯中， 包含了各种边界条件下的振动速度分布。显然巩c h 。对任意，( x ) h ， 总存在复连续有界速度u ( x ，缈) n o ，使得f ( x ) = u ( x ，国) ，则hcn o 。因 此，h a = 日。对任意q 和哆不难推知，n o i = 也2 = h 。在s 上所有复连续 有界速度u ( x ，缈) 构成的集合为h i l b e r t 空间。 h i l b c r t 空间也是一个完备的空间。在h i l b e r t 空间也中，总存在一组 基函数，属于h i l b c r t 空间也的任意函数都可以由这组基函数展开表示。但 是，基函数不是唯一的，存在无数种方法，用来确定h i l b e r t 空间日。中的基 函数组。为了便于数值计算和应用，定义一个包含辐射性质的线性算子，由 此确定h i l b e r t 空间日。中的一组基函数。 取参数缈= ，其中g o o 为给定值。振速u ( x ，) 心。，在s 上辐射的 表面声压为p ( x ，c o o ) ，有如下的h c l m h o l t z 表面积分方程： 哈尔滨丁稗大学硕十学位论文 型：上i 工p ( z , c o o ) 8g ( z ，x ，) 嬲( z ) + p c2 r e 一p c u ，z 一一 ( 2 5 ) 鲁f c u ( z 鳓) g ( z ，x ，) 钌( z ) ，艇s 其中g ( z ，x ，) 称为g r e e n 函数， g ( z ，置2 专丽( 2 - 6 ) r ( z ，x ) 是点z 和点x 之间的距离，= 何，氏= 缈o e ，a o n ：表示在点z 处 的外法向导数。 由u ( x ，) 辐射的声功率形( ) 为： 矿( ) = r e e ( p ( x ，) ，u ( x ，) ) ( 2 - 7 ) 其中r e 【】表示取得实部。将式( 2 5 ) 代入式( 2 - 7 ) ： 纠刍i ci 【警扣删吣z 础 + ( 2 - 8 ， p 2 c r e l a 2 万旺u ( z ，) g ( z ，置) 己广( x ，嘞) 豳( z ) 豳( x ) i 取式( 2 - 8 ) 右边第2 项构造作用在空间k 上的泛函厶： 氐= 了p cr e l 鲁旺旺u ( z ，) g ( z ，x ，) 矿( x ，) 峦( z ) 据( x ) i ( 2 - 9 ) 对于放置在无穷大刚性障板上的振动平面，当向半空间进行声辐射时， 辐射的表面声压没有式( 2 5 ) 中右边第1 项的影响，式( 2 8 ) 中右边第一项消失， 此时泛函就是该振动平面辐射的声功率。由此可证明在空间上的泛函 是正的。事实上，如果式( 2 - 9 ) 定义的泛函氏小于或等于零，那么针对平 面结构，当平面结构振动时辐射的声功率将小于或等于零。这与物理事实产 生矛盾。因此泛函厶是正的，泛函包含了振动表面的辐射性质。 考虑到g r e e n 函数a ( z ，x ，) 关于z 和x 的对称性，式( 2 9 ) 可写成： 9 哈尔滨t 程大学硕七学何论文 氐= 譬丢f cf c u ( z 甄) 鬻u ( x ，o o ) d s ( z ) 搬( x ) ( 2 - 1 0 ) 因以。= h o = 何，由式( 2 9 ) 定义的泛函同样可作用在空间也上a 对任意 u ( x ，国) 巩， 厶= 譬等珏珏郴纠案等吣郴( z 坝朋 ( 2 - 1 1 ) 在空间风上定义算子马如下：对任意u ( x ，缈) h o ， 删枷) = 嘉f c 叩川笔等郴删柳 ( 2 1 2 ) 显然算子b 是线型的，并且e y ( x ，c o ) 风，利用式( 2 - 1 2 ) ，式( 2 - 1 1 ) 可写成： 厶= 等( 玛u ( x ，国) u ( x ，彩) ) ( 2 1 3 ) 因泛函厶是实的，故有： 厶= 譬( 玛u ( x ，国) u ( x ，缈) ) = 譬( u ( x ，缈) ，r y ( x ，缈) ) ( 2 - 1 4 ) 算子乃是自伴的。又因泛函厶大于零，故算子彤是正的。因此基于泛函厶 定义的算子乃是线型、自伴和正的算子，并反映了振动表面的辐射性质。 根据h i l b e r t 空间线型算子的谱理论可知：当算子母是线型、自伴和正 的时， ( 1 ) 存在- n 实的、正的特征值以及对应的实的特征函数， ( 2 ) 对任意两个不同的特征值，对应的特征函数以内积形式正交， ( 3 ) 所有特征函数构成一组基函数。 设算子吗的特征值五( a 如，) ，对应的特征函数为仍( x ) ，则有： b 仍( x ) 一4 仍( x ) = 0 ，i = 1 ，2 ，x s ( 2 1 5 ) 并特征函数以下列方式正交： 吉( 仍( x ) ，仍( x ) ) = 磊= l ：三2 ( 2 6 ) 所有的特征函数仍( x ) 构成空间也的一组基函数。任意u ( x ，国) h 都可由 特征函数仍( z ) 展开： 1 0 哈尔溟t 程大学硕士学位论文 u ( x ，国) = “f ( 缈) 仍( x ) ，x s ( 2 - 1 7 ) 其中“，( 缈) 是复展开系数： “f ( 国) = ( u ( x ，c o ) ，仍( x ) ) ， i = 1 ，2 ， ( 2 - 1 8 ) 振动速度u ( x ，f o ) 以仍) 展开，物理意义上，仍( x ) 表示了振动表面的辐射 模式。仍( x ) 称为第i 阶辐射模态。 为了数值计算，将振动表面s 划分成m 个小单元墨，i = l ，2 ，m ，式 ( 2 11 ) 可写成： 厶= 譬善m 善m 丢7 _ 2 l ，f u ( x 州u ( z 川哿鹕( z ) 鹕( 的( 2 - 1 9 ) 在单元墨上，因单元面积很小，近似认为u ( x ，g o ) = u ( c o ) ，x 墨，则有： 厶= 丝2 争i - i 兰i - i ( x 川u ( z 川箬f ，压帮啦( z ) 驾( x ) ( 2 - 2 0 ) 令： 一笠2 z c s 珏皿静( z 蚓耻 ( 2 ) ，八2 墨) s i nk o r 打 2 万( 碍s )嘞 ( 2 - 2 1 ) 其中是单元昌的中心点与单元s 的中心点之间的距离，当i = ，时： = 丽( k 0 2 s 丽, y ( 2 - 2 2 ) 式( 2 - 2 0 ) 写成矩阵形式， 厶= 掣u ( 缈) 7 r u ( c o ) ( 2 2 3 ) 其中u ( c o ) 是m 维列向量，代表振动速度u ( x ，缈) 的离散表示；u 妇) r 是m 维列向量u ( c o ) 的共轭转置；矩阵r 的元素由式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 确定。所有列向 量u ( c o ) 构成m 维向量空间。 显然，矩阵r 是是对称矩阵，并矩阵r 是正的。矩阵r 就是算子尺，的表 示矩阵。不难得到矩阵r 的实特征向量谚，i = l ，2 ，m ，特征向量谚按对应 特征值从大到小排序，并以下列方式正交： 哈尔滨工程大学硕十学位论文 彳力= 磊，f ，= l ，2 ，m ( 2 - 2 4 ) 其中a 为对角矩阵，对角线上的元素是墨s ( f = 1 ，2 ，m ) 。 特征向量谚是仍( x ) 的离散表示，同样称为第i 阶辐射模态，表示了振动 表面的离散辐射模式。所有辐射模态谚构成m 维向量空间的一组基向量。任 意向量u ( c o ) 都可用辐射模态办展开， u ( 缈) = ( 缈m ( 2 - 2 5 ) 其中： 铭，( 缈) = u ( 缈) 7 彳办 ( 2 - 2 6 ) u ，( c o ) 为复展开系数。 2 1 2 声场分布模态 g r e e n 函数g ( x ，y ，国) 是h e l m h o l t z 方程( 2 1 ) 的基本解，并满足无穷远辐 射条件( 2 - 3 ) ： 。一j h ( j ，y ) g ( 置y 纠2 靠而 用g r e e n 函数g ：( 置y ，动构造的h e l m h o l t z 方程可作为声辐射问题的解孓2 9 1 ： 掣= 芸f c 哪删础郴( nm ( 2 - 2 7 ) 其中v ( x ，缈) 是定义在s 上的复连续有界函数。 由式( 2 2 7 ) 表示的p ( y ，缈) 满足h e l m h o l t z 方程( 2 - 1 ) 和无穷远辐射条件 ( 2 - 3 ) 根据h e l r n h o l t z 方程的性质，未知函数r ( x ，缈) 可利用边界条件( 2 - 2 ) 确 定： u ( x ，c o ) = v ( x ，c o ) 一 去f c 哪p ) 未g ( 础掷) ，x s q 乏鳓 因v ( x ，c o ) 是定义在s 上的复连续有界函数，v ( x ，缈) h ，v ( x ，缈) 可用辐射 1 2 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 模态仍( x ) 展开： v ( x ，缈) = u ( 缈) 仍( x ) ， ye 矿 ( 2 - 2 9 ) i = l 其中m ( 国) 是复展开系数。将式( 2 2 9 ) 代入式( 2 2 7 ) ： 掣= 喜咖) 篆舭黜跏删n m ( 2 3 。) 令： ( y ，缈) = 差旺仍( x ) g ( x ，】，彩) 钌( z ) f = 1 ，2 ， y ey ( 2 3 1 ) 式( 2 - 3 0 ) 可写成： 警= 喜咖孵咄y y ( 2 - 3 2 ) 在式( 2 3 2 ) 中，e ( r ，国) 以函数( y ，缈) ，物理意义是明显的：g r e e n 函数 o ( x ，y ，c o ) 描述了在s 上点x 处的点源辐射的声场；辐射模态仍( z ) 描述了在 s 上的辐射分布模式；( y ，彩) 就是s 上分布的点源对声场的贡献。 函数( y ，) 满足h e l n h o l t z 方程( 2 - 1 ) j f l l 无穷远辐射条件( 2 - 3 ) 。进一步， 证明函数( y ，彩) ，i = l ，2 ，是互相独立的函数列，并展开式( 2 - 3 2 ) 是唯一 的。 设： 口f ( 】，缈) = o ， y 矿 ( 2 3 3 ) 那么( y ，缈) 互相独立的充分必要条件是所有系数q 等于零。 根据h e l m h o l t z 方程的性质，( 】，g o ) 是y 和s 上的连续函数。当z s ， ( z ，缈) 有意义： ( z ，缈) = 芴j k 肛仍( x ) g ( x , z , c a ) 钌( x ) ，f = l ，2 ，( 2 - 3 4 ) 并且( z ，缈) h 。在s 上，式( 2 3 3 ) 可写成： 口f ( z ，c o ) = o ，z s ( 2 - 3 5 ) 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 在日上定义算子r ：对任意f ( x ，缈) h ， t f ( z , t o ) 2 瓦j k 旺，( x ，) g ( x ，z , t o ) d s ( x ) ，z es ( 2 - 3 6 ) 显然，算子丁是线型的，并i 马t f ( z ，t o ) h 。如果 t f ( z ，国) = 0 ( 2 - 3 7 ) 则： f ( z ，c o ) = 0 ( 2 3 8 ) 利用算子r ，式( 2 3 4 ) 写成： v , c z ，c o ) = t f o , ( z ，t o ) ，z s( 2 3 9 ) 利用算子r 的线性性质，式( 2 3 5 ) 写成： 因此， ( t 口f 仍) ( z ，t o ) = o ( 2 - 4 0 ) 1 = 1 a l q ，i ( z ) = 0 1 1 1 ( 2 - 4 1 ) 因辐射模态仍( z ) 是互相独立的，所以q = 0 ，i = l ，2 ，。从而证明( y ，) 是 互相独立的函数。 设存在f ( x ，国) h ，使得： 了p ( r , t o ) = 尝i c 懈川g ( 础，国) 嘏( x ) = 差f ( x ，缈) g ( x ，】，缈) 嘏( x ) 将f ( x ，c o ) 以辐射模态仍( x ) 展开： f c x ，t o ) - z 石( ) 仍( x ) 1 - 1 其中彳( 缈) 是展开系数。于是： 【u ( 缈) 一z ( 缈) 】( 】，t o ) = o 1 4 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 因( y ，缈) 是互相独立的，则m ( 缈) = f , c a , ) ，扛1 ，2 ，即f ( x ，缈) = y ( x ，彩) 。 从而证明展开式( 2 3 2 ) 是唯一的。 所有( 】，c o ) 构成辐射声场中的一组基函数，声压分布p ( y ，彩) 可用这组 基函数展开表示。t p t ( y ，c o ) 描述了辐射声场的分布模式，因此( y ，缈) 称为第 i 阶声场分布模式。声场分布模态( 】，缈) 是基于辐射模态仍( x ) 通过 h e l m h o l t z 方程构造的，不仅满足h e l m h o l t z 方程( 2 1 ) 和无穷远辐射条件( 2 3 ) ， 而且包含声源几何形状的影响。 利用式( 2 3 2 ) ，可得到声场中质点速度u ( r ，缈) ： u ( y , c o ) 2 去v p k i m l 忡) v ( ) ，y y ( 2 - 4 2 ) 在振动表面s 上，利用式( 2 2 8 ) ，法向振速u ( x ，缈) 为： u ( 置彩) = 艺i = iu(国地(抑一羔u(缈)去仍(z)未夕(z，x,c01=1 ) 搬( z )( 2 - 4 3 ) - - v l i y 声场中的任何信息都可由辐射模态仍( x ) 或声场分布模态( y ，国) 展开 表示，一种模态分析方法引进声辐射问题的研究之中。 在实际计算过程中，采用辐射模态的离散表示棘，利用离散积分的方法 完成式( 2 - 31 ) 和( 2 - 4 3 ) 的积分计算。 2 2 辐射声场重构 任意形状的振动表面s 以圆频率缈振动，向无界空间v 辐射声。在空间矿 中充满均匀介质，介质的密度为p ，声速为c 。振动表面s 的声辐射模态 仍( z ) o = 1 ，2 ，) 是振动表面s 上的一组实连续函数，物理意义上表示了振动 表面s 的多极子辐射，其中x 为s 上的任意点。基于声辐射模态 ( 】，彩) ( f = 1 ，2 ，) 描述了辐射声场的多极子分布模式， 少l ( y , t o ) = 篆旺仍( x ) g ( x ，y ，国) 订( x ) ，扣l ，2 ，y i t ( 2 - 4 4 ) 其中：