数学本科毕业论文-浅析代数问题的几何求解思想与方法.doc

浅析代数问题的几何求解思想与方法河南师范大学本科毕业论文浅析代数问题的几何求解思想与方法摘 要 在数学解题过程中，我们往往会遇到这样的情况。看到一个题目满是数字，还比较繁复。如果直接去解题的话，可能要花上很多的时间和精力，却算到最后也得不出结果，最后不了了之。但是如果换一种思路，把这些数字构造成一个几何图形，就会发现一切问题都变得明朗了。这就是笔者所要表达的代数问题的几何求解思想。能使这些代数问题变得简单，从而达到事半功倍的效果。文章主要从构造几何图形这个角度出发，介绍了这种思想的几个方面并给出具体的例题。关键词 几何图形;代数问题;构造On the geometric thought and methods of the algebraic problems Shen Jiali（Henan normal university Xinxiang Henan 453007）Abstract In the process of mathematical problem solving, we often encounter complicated topics full of numbers. If we go directly to problem-solving, it may take a lot of time and effort of no use, and finally end up with nothing definite. However, if you put these figures into a geometry, you will find all the problems became clear that there will be a way out of the effect，this is what I want to express，to make some algebraic problems easier by a geometric perspective to achieve a multiplier effect. From the perspective of the construction of geometry, the article mainly introduced some aspects of this idea and give specific examples.Keywords Geometry; algebra problems; structure目 录前 言11 几何图形构造法解代数问题11.1 平面几何图形构造法解代数问题21.1.1矩形构造法解代数问题21.1.2正方形构造法解代数问题31.1.3三角形构造法解代数问题81.1.4多边形构造法解代数问题91.2 立体几何图形构造法解代数问题111.2.1长方体构造法巧解代数问题111.2.2棱锥构造法解代数问题132 几何图形构造法在解代数问题的教学实践中的作用142.1几何图形构造法在解代数问题中的重要性142.2 教学实践中发现的一些问题和反思152.3 几何图形构造法在解代数问题中的三个原则162.3.1 等价原则162.3.2 双向性原则162.3.3 简单性原则16参考文献17致 谢18II前言代数和几何作为数学学科的两大支柱辩证而又统一的存在着，两者紧密结合却又各有各的特色，一般情况下可以相互转化。在转化的过程中，往往伴随着构造几何图形这个过程，谈到构造几何图形，在中学的数学竞赛中比较常见，如何把“数”构造成“形”。这是一个灵活的问题，充满着创新和挑战，对于发展学生的创造性思维有及其重要的意义。构造法解题是极具技巧性的解题方法，遇见这一类型的题目，学生往往会无从下手，这时候能够构造一些图形辅助做题，就会把问题变得简单易懂，而且相对来说对问题的解决也会变得容易许多。构造是一种探索和想象的过程，可能发现的过程比较艰辛，但是这对于锻炼学生的思维能力、创新能力、应变能力都有很好的效果。论文分为两大部分，主要是通过举例子，从一般到特殊，从简单到复杂，由表及里的阐述这种思想和方法，第一部分通过构造各种不同的图形来阐述代数到几何的变换过程，第二部分主要介绍这种思想在具体的教学实践中的应用和一些问题的注意事项。1 几何图形构造法解代数问题图形构造法，即构造一个符合题设条件的图形（如果可能的话），利用几何性质简化解题过程的方法1。作为连接代数和几何的一个桥梁，构造几何图形是一个必经的渠道。如何构造一个符合题设条件的图形，并利用这个几何图形的性质来简化我们的做题步骤?这是一个值得深思的问题，更是一种的数学思想。做好这一步，对于培养学生的创造性思维具有重要的意义。要想应用自如，首先必须知道各种几何图形所拥有的性质，特别是边的关系。分析好这些性质之后，我们再去联系所遇到的代数问题中的数据的特征，相应的去构造一个几何图形。再利用这个几何图形的性质去解题，把问题由“数”转化为“形”。图形构造法是一种极具创造性的数学思想和方法。利用图形构造法解题的关键在于构造什么图形和怎样构造图形。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来模糊不清的关系清晰地展现出来，通过构造数学模型，进而寻求解题的途径。几何图形分为平面几何以及立体几何，在图形构造法中都有具体的应用。下文将以此为分类依据，逐个介绍各种图形的性质以及构造方法，并给出具体的例子。1.1 平面几何图形构造法解代数问题1.1.1 矩形构造法解代数问题矩形构造法，顾名思义，就是将相应的代数问题构造为矩形，并利用矩形的一些性质来解题，使问题变得更容易处理。首先我们来回顾一下矩形的特点。定义1.1有一个角是直角的平行四边形是矩形。由于矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具有平行四边形的所有性质，所以矩形的性质可归结为从三个方面来看：定理1.1从边看，矩形对边平行且相等。定理1.2从角看，矩形四个角都是直角。定理1.3从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。推论1.1直角三角形斜边中线等于斜边一半；矩形的对角线相等。根据以上一些性质和定理，我们总结了比较典型的例题。并探讨了矩形构造法应用上的一些规律2。 例 已知a，b，cR，求证：证明 观察原不等式含有的形式，联想到可看成长宽分别为a，b的矩形的对角线，构造矩形如下图，使，|，易知， AB=，BC=，CD=，AD=由两点之间直线段最短，可知AB+BC+CDAD，即又因为有从而可知， 例 如图（下左），矩形中，是的中点，F是垂足，求证： 很容易让人联想到构造以为直角边的三角形。以及矩形的对角线，所以让我们试着构造矩形来解决。证明 如图（上右），延长至点，使得;延长致点,使得;则=.由，得本题也可以用,其中，同样可解得小结 综合以上两道题目，不难发现，与矩形联系比较紧密的代数式是形如“”之类的，所以在做题过程中要对这种形式的式子保持敏感，能马上连想到这个就是矩形的对角线。从而构造出来相应的矩形，并利用矩形的性质来解题。1.1.2 正方型构造法解代数问题一说到正方形，就会有很多话题。身为数学中最完美的图形之一，正方形拥有很多独特的特点。而且很多代数问题也与正方形本身也有着千丝万缕的联系。根据文献4、5，得出以下分析总结。 首先是正方形与勾股定理，如果单独来看，若把勾股定理中 看作是一个等式，则也可用构造正方形的方法验证。在下图（左）中，又。化简得。或者说，在下图（右）中，又，化简得其次是平方差公式，众所周知的平方差公式：或如果试着用几何语言来解释如下：图1（1）中，图1（2）中图2中，又。除此之外，还有完全平方公式：或用几何语言就是：在图3中，又。在图4中，又由此不难发现，正方形这个几何图形与“数”有着千丝万缕的联系。2-5 例 已知，为小于1的正数，求证：分析：由不等式中的我们联想到它们可以看成是求解直角三角形的斜边长。因为有，刚好是边长为1的正方形的斜边长度的2倍，所以我们想到可以类似例2构造正方形。如在下图中，四边形，都是长方形，并且满足，。解 由已知得，AN=，NC=，AC=，BN=，ND=，AC=BD=，而从图4中，我们可以看出AN+NCAC,BN+NDBD,所以AN+NC+BN+NDBC，就可得所要证的不等式.通过以上的例题，我们总结出了更一般的结论：如取（1）则有（2）则有2 几何图形构造法在解代数问题的教学实践中的应用2.1 几何图形构造法在解代数问题中的重要性“数”与“形”作为数学中最古老、最重要的两个方面，向来就是一对矛盾体，相互依存又相互独立。在哲学上是一种辩证统一的存在。往往会有人说，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙参得甚是通透。考试大纲对数学考查的要求是“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。”而数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。翻看近年高考试卷，就会了解到。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，也就是我们常说的构造几何图形解代数问题，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题。所以，构造几何图形解代数问题的研究对于中学数学来说意义非凡。9-122.2 教学实践中发现的一些问题作为数形结合思想的一个重要方面，几何图形构造法一直被作为重点贯穿于数学教学活动中。笔者在2012年下半学年为期三个月的顶岗实习教学中发现，在讲解练习时强化图形的构造这种方法与思想固然重要，但是这种思想方法的传授并非易事。学生是否能在老师提示之前自行想出几何图形构造法呢？一般情况下，学生不会立即反应过来，知道去构造图形解题。这就需要老师去引导和提示，但是如果下次学生再遇到可以用几何图形构造法巧解的题目时，是否还能想到要用几何图形构造法来解？如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲几何图形构造法？如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好几何图形构造法的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得几何图形构造法这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构。“为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，对于一个高中数学教师，笔者对此的理解是：以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。所以，对于上面提到的问题，笔者认为：首先，几何图形构造法必须要讲，高一开始就要讲。其次，应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解几何图形构造法。这样做的目的就是让学生在老师提示用几何图形构造法的解法前就自己想到用这种思想解题。13-162.3 几何图形构造法在解代数问题中的三个原则：2.3.1 等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。2.3.2 双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索。具体的步骤是从代数化为几何，最后再回归代数。这个过程是构造发的一贯套路，也是解题的必经之路。2.3.3 简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了。几何图形构造法解代数问题的思想是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化。另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的。因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维。在教学中要注重这种思想方法的培养，在培养学生数学思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用。参考文献1 范光中编. 中学数学论证问答M.西安:陕西人民出版社, 1985 :125-126.2 王广新. 构造图形解决代数问题的新途径J. 河北理科教学研究, 2007(02):5-6.3 彭翕成，张景中. 仁者无敌面积法M. 上海教育出版社, 2011.4 董彪. 浅议利用几何图形解决代数问题J. 阿坝师范高等专科科学校学报, 2003(01):101-104. 5 李耀文. 利用构造正方形解竞赛题J. 中等数学, 2012, （6）(06):12-15.6 陆桂云. 构造几何图形解题J. 中学数学教学, 1996(02):25-26. 7 Gianluca Fusai,Corridor options and arc-sine lawJ Abab.Volume 10, Number 2 (2000)：634-663.8 George Polya. How to solve it(Second edition)M.Princeton University Press,Princeton New Jersey,1973:99-104. 9 Michael J.Gilbert,Jacqueline Coomes.What mathenatics do high school teacher need to knowJ.Mathematics Teacher.2010,103(6):10-20. 10 康小玲，张明善. 数形结合法J. 数学教学通讯, 2002 (05):47-48. 11 袁小明. 数学思想史导论M. 南宁：广西教育出版社，1991. 12 周述岐. 数学思想和数学哲学M.第一版