（应用数学专业论文）多裂纹弹性功能梯度带反平面问题.pdf

摘要 功能梯度材料是在航空航天领域的需求背景下发展起来的一种新型材料，但由于生产技术 及工作环境等方面的原因，功能梯度材料内部常常产生各种形式的裂纹并最终导致材料破坏，因 此研究功能梯度材料多裂纹的断裂问题具有重要意义本文将对一种较典型的断裂模式：反平面 断裂进行研究 第三章以具任意方向多裂纹弹性功能梯度带为研究对象，设剪切模量按指数函数变化采用 在裂纹位置处放置v o l t e r r a 螺型分布位错的方法模拟裂纹，运用f o u r i e r 变换方法，给出了位错在 该区域的位移场的形式解位移在裂纹尖端的应力场具有c a u c h y 对数阶奇异性这个形式解表示 了实轴上一点作用有点位错时引起的影响再由裂纹边界连续条件建立以分布位错密度为未知函 数的一组带有c a u c h y 核的奇异积分方程，继而采用g a u s s - c h e b y s h e v 方法对奇异积分方程进行数 值求解最后分析了裂纹方向、材料非均匀指数对应力强度因子的影响 第四、五章以具共线、平行周期裂纹弹性功能梯度带为研究对象利用f o u r i e r 变换将问题 描述为奇异积分方程，并进一步将未知的位错密度函数表示为c h e b y s h e v 多项式的级数式，从而 将奇异积分方程化为线性代数方程组进行配点数值求解最后，文中给出了数值结果，它表示了 裂纹k 度、数目、位置、跨度和材料非均匀指数对于裂纹端应力强度因子的影响其结果表明所 采用方法是可行和正确的，所得结果可以应用于工程实际 关键词：功能梯度材料，反平面，螺型位错，多裂纹，周期裂纹 a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ( f g m ) i sac l a s so fn e wm a t e r i a l ，w h i c hh a sb e e nd e v e l o p e df o rt h e n e e d s o f t h ea e r o n a u t i ca n da s t r o n a u t i cf i e l d s d u et ot h er e a s o n so f t e c h n o l o g y ，w o r k i n gc o n d i t i o n sa n d s o m eo t h e rf a c t o r s ，l o t so fc r a c k se a s i l ya p p e a ri nf g m t h e r e f o r e ，i ti sv e r ys i g n i f i c a n tt os t u d yt h e m u l t i p l ec r a c k sp r o b l c r n so ff g mw i t hm u l t i p l ec r a c k s i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d ya n t i - p l a n ef r a c t u r e ， am o r et y p i c a l 触c t u r em o d e s i nc h a p t e ri i i ，t h ef r a c t u r ep r o b l e mo ft h ef g m ss t r i p 谢t ha na r b i t r a r i l yo r i e n t e dm u l t i p l ec r a c k s i sc o n s i d e r e d 1 h es h e a rm o d u l u so fm a t e r i a li sr e p r e s e n t e db ya ne x p o n e n t i a lf u n c t i o n w i t ht h eu s eo f t h ec o m p l e xf o u r i e rt r a n s f o r m ，b yp l a c i n gav o l t e r r as c r e wd i s t r i b u t e dd i s l o c a t i o n sa l o n gc r a c k s t h e d i s p l a c e m e n tf o r mc a nb eo b t a i n e d t h es t r e s sc o m p o n e n t se x h i b i tc a u c h ya sw e l la sl o g a r i t h m i c s i n g u l a r i t i e sa tt h ed i s l o c a t i o nl o c a t i o n t h ee l e m e n t a r ys o l u t i o nr e p r e s e n t st h et r a c t i o ni n f l u e n c ec a u s e d b yap 0 硫d i s l o c a t i o np l a c e da tap o mo nt h er e a la x i s b yu s i n ga u x i l i a r yf u n c t i o n sa n dr e l a t i v e c o n d i t i o n s ，c a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e d ，i nw h i c ht h ed i s t r i b u t e dd i s l o c a t i o nd e n s i t y s e r v e da st h eu n k n o w nf u n c t i o n t h ep r e s e n tp r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t os o l v i n gas y s t e mo fs i n g u l a r i n t e g r a le q u a t i o n sw h i c hc a nb es o l v e dn u m e r i c a l l yb yg a u s s - c h e b y s h e vm e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t s 啪 o b t a i n e dt oi l l u s t r a t et h ev a r i a t i o n so ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ( s i f s ) 谢mt h ep a r a m e t e r ss u c ha s n o n h o m o g e n e i t yf a c t o ra n dc r a c kd i r e c t i o n i nc h a p t e ri va n dv ，f o rt h ec o l l i n e a r ，p a r a l l e lp e r i o d i cc r a c k sp r o b l e mf o rt h ef g m s s t r i p b y u s i n gf o u r i e rt r a n s f o r m s ，t h ep r o b l e mi sf o r m u l a t e di nt e r m so fas i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n i ti s n u m e r i c a l l ys o l v e db yr e p r e s e n t i n gt h eu n k n o w nd i s l o c a t i o nd e n s i t yb yat r u n c a t e ds e r i e so fc h e b y s h e v p o l y n o m i a l sl e a d i n gt oal i n e a rs y s t e mo fe q u a t i o n s t h es i f sr e s u l t sa r ed i s c u s s e dw i t hr e s p e c tt ot h e i n f l u e n c e so fd i f f e r e n tc r a c kl e n g t h ，n u m b e r ，l o c a t i o n ，s p a na n dt h es t r e n g t ho ft h en o n h o m o g e n e i t y n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt ov e r i f yt h i sm e t h o d t h e s er e s u l t sc a nb ea p p l i e dt oa c t u a lp r o j e c t s k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，a n t i - p l a n e ，s c r e wd i s l o c a t i o n ，m u l t i p l ec r a c k s ，p e r i o d i c c r a c k s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名： 嘞哟 时间： p 吁 9 年d 月j 日 v 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究尘签名： 导师签名： 夤屯榴 旁每 时间：b p7 年莎月蚤日 帆加7 年月苫日 宁夏大学硕一l ：学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 功能梯度材料概述 功能梯度材料一般由两种或两种以上材料复合而成，各组分材料的体积含量在空间上是连续 交化的，因而功能梯度材料宏观材料特性表现出梯度( 逐渐变化) 的性质除了连续变化的梯度材 料外，材料的梯度也可以按照分段不连续的方法变化，这种多层梯度材料可以看成是许多均匀单 层材料堆积而成的严格来讲，功能梯度材料也并不是什么新材料古人很早就根据这种思路来 炼铁，在日本出土的一把剑刃上，我们可以看到剑锋、刃部和主体的颜色是不同的，这说明它们 的成分也是不同的大自然早就把这个概念引入生物组织中了，例如，动物的骨头就是一种梯度 结构，外部坚韧，内部疏松多孔厨房使用的一把菜刀刀刃部需要硬度高的材料，而其他部位的 材料则应该具有高强度和韧性虽然一些美国的学者在2 0 世纪5 0 - - - 8 0 年代，对这种材料进行了初 步的研究，但并没有正式提出这个概念直到1 9 8 4 年，“功能梯度材料”这个术语才由日本的新野 正之、平井敏雄等材料学家们提出来当时，一系列的政府报告中也论述了以航天飞机为重点的 太空领域对这种高性能材料的需求，应用的目标就是航天飞机上的发动机和防热系统 功能梯度材料是一种特殊的非均匀复合材料，它有很多独特的物理性质和优良的性能，现已 被广泛的应用于许多新兴的j = 业领域由于这种材料的力学性质( 如密度，剪切模量等) 沿某方向 连续变化，因此，一方面它可以避免两种不同材料直接拼接时产生突变的影响：另一方面，它具 有抗腐蚀，抗辐射，耐高温，缓解热应力和残余应力但受j ：艺条件的影响，功能梯度材料在制 造过程中不可避免地产生缺陷，缺陷在应力作用下形成裂纹，裂纹的扩展将给材料所在的整个系 统带来极人的损失因此，研究功能梯度材料的断裂行为，对材料的合理、安全应用具有极人的 指导作用，引起了许多学者的兴趣 功能梯度材料的参数可按任意连续函数变化，这不仅使描述材料的控制方程变成了变系数偏 微分方程组，在数学分析上遇剑极大的困难而且还使某些问题成为机、热、电、磁等不同场相 互耦合的问题因此，目前功能梯度材料断裂的研究，一般都假设了材料的泊松比为常数，而只 有弹性模量的变化是一连续函数，模型有：指数模型1 2 1 、幂模型【3 1 、线性模型4 1 和比例模型另 外，功能梯度材料属于非均匀材料断裂力学的范畴，由于塑性断裂分析的复杂性以及塑性梯度模 量处理的凼难，功能梯度材料的断裂问题研究目前仍以弹性断裂分析为主，主要讨论裂纹尖端渐 近场、应力强度因子、断裂火效准则和动态断裂等基本问题而且有关功能梯度材料的弹性分析 也要困难得多举例说，常用的平面弹性复变函数方法无法直接用于功能梯度材料的弹性分析中 在研究功能梯度材料的断裂平面问题时，通常分析平行于梯度方向的裂纹和垂直于梯度方向的裂 纹d e l a l e 等1 5 j 研究了无限火非匀质材料中裂纹与梯度方向平行时的平面问题，结果表明裂纹尖端 应力场具有平方根奇异性，并且泊松比对应力强度因子的影响可以忽略对于裂纹垂直于梯度方 向( 任意方向) 的裂纹，由于材料性质的非均匀性，使得裂纹尖端总是同时具有i 型、i i 型甚至i i i 型 应力强度因子 宁夏人学硕l ：学位论文第一章绪论 1 2 反平面问题 在功能梯度材料断裂力学研究中，反平面裂纹问题是工程中普遍存在的一类问题，在功能梯 度涂层、功能梯度界面层和功能梯度板材等结构中，反平面断裂是较典型的断裂模式一方面， 反平面问题的控制方程比相应的平面问题要简单，反平面问题可以用来和平面问题进行类比，有 助于平面问题的解决另一方面，从力学角度看，由于裂纹往往处于复杂的应力状态，存在各种 受力情况，因此，研究反平面断裂力学问题有助于全面地了解带裂纹结构的受力特性o z t u r k 等【6 】 研究了材料梯度函数具有非连续导数时的反平面剪切断裂问题，结果表明裂纹尖端的应力分布受 导数不连续的影响e r d o g a n 7 】采用基于斜率描述的奇异积分方程，研究了功能梯度双材料界面反 平面断裂问题，得到了应力强度因子随材料非均匀性参数的变化规律e r d o g a n 和o z t u r k e 8 j 研究了 与功能梯度涂层界面垂直的周期性反平面裂纹问题c h a n 等1 9 】采用基于位移描述的超奇异积分方 程，研究了功能梯度材料的反平面裂纹问题h u a n g - 等1 1 0 】将功能梯度涂层划分为多个子层，并假设 每个子层的剪切模量呈线性变化以模拟涂层中剪切模量的任意变化，研究了功能梯度涂层的反平 面断裂问题w a n g 等 l l 】研究了剪切模量的多种不同分布类型对功能梯度带i 型应力强度网子的 影响 1 3 多裂纹问题 在工程实际中，不可避免地会出现各种形式的裂纹，其中包括出现曲线裂纹、共线裂纹、平 行裂纹、周期裂纹和分叉裂纹等的情况至今为i ：，功能梯度材料板中的单裂纹问题研究得较多， 而多裂纹问题研究得较少在实际：i ：作中，人们会提出这样的问题，设有一块受拉伸的功能梯度 材料板，其中包含有几条贳穿的直线裂纹，那么我们当然不能以单条直线裂纹时的解答作为它的 近似解答这样的实际问题促使我们对多裂纹问题作定性和定鼙的研究有关多裂纹问题的研究 已经有过很多报道文献【1 2 】考虑了正交各向异性弹性平面的十字裂纹问题文献【1 3 1 ，作者利 用l o b a t t o c h e b y s h e v 方法求解奇异积分方程，并且给出了无限人各向同性弹性平面上含十字裂纹 问题的算例文献 1 4 】中，作者给出了十字裂纹问题的数值解文献【1 5 】中作者给出了平面弹性分 义裂纹问题的新的积分方案文献 1 6 1 研究了反平面弹性分义裂纹问题的奇异积分方程解法文 献 1 7 1 研究了反平面弹性圆形域边缘裂纹奇异积分方程方法文献 1 8 1 研究了半平面多边缘裂纹 反平面问题的奇异积分方程解法；文献【1 9 1 7 8 1 【2 0 分别考虑了板条内和粘结平面内的分义裂纹问 题文献 2 l 】综述了平面弹性力学多裂纹问题的一些近代先进解法介绍了二类奇异积分方程，三 类f r e d h o l m 积分方程和一类超奇异积分方程文中还研究了奇异积分方程的正则化问题，即转化 为f r e d h o l m 积分方程的方法介绍了相应求积公式，并详细介绍求解其它众多多裂纹问题的各种 方法，阐明了多裂纹解的应用 对于周期裂纹问题，由于在实际 二程中有着实际的意义，因此，其研究十分必要，已引起众 多学者的重视对各向同性和各向异性弹性材料的周期裂纹问题已有较多的研究1 2 m 5 1 文献 2 6 】 研究了弹性涂层中的周期裂纹问题文献 2 7 1 用s t r o h 公式研究了电极陶瓷和压电基体之间的周期 2 宁夏大学硕l ：学位论文 第一章绪论 界面裂纹文献 2 8 】运用保角映射方法研究了压电材料中周期共线裂纹问题，将此问题转化为 r i e m a n n - h i l b e r t 问题并得到了封闭解 不过，这些研究所采用材料均为均匀材料，对于功能梯度材料的多裂纹问题研究的比较少文 献 2 9 】基于非均匀连续性的平面弹性理论研究了功能梯度非均匀材料中周期裂纹受平面正应力和 剪切力时的裂纹问题，利用超奇异积分方程得到了问题的数值解文献【3 0 】研究了弹性功能梯度 材料板条中周期裂纹的反平面问题，运用f o u r i e r 变换方法得到了一个基本解，利用此基本解得到 了单裂纹和周期裂纹问题的奇异积分方程并给出了数值结果文献【3 l 】研究了受热力荷载下功能 梯度材料中周期裂纹问题，将混合边值问题转化为奇异积分方程并得到了数值结果文献 3 2 】研 究了功能梯度涂层中周期裂纹的反平面问题，此文针对功能梯度涂层和均匀半平面的粘接来研究 反平面弹性问题，运用带强奇异核的奇异积分方程得到了问题的数值解 1 4 研究方法 对于功能梯度材料的研究，方法多为复变函数法和积分变换法，尚存在着不少待探索和改进 的地方例如，在反平面剪切功能梯度材料板条裂纹问题中，利用f o u r i e r 变换，一定会得到对偶 积分方程对偶积分方程的求解途径有二种一种是通过一个中间函数，又通过a b e l 型积分方程 的一种解法，它是1 由c o p s o n ，s i h _ ；f 【l s n e d d o n 等人提出【强3 5 】这种方法中，推导相对比较复杂，又 此法很难或不可能用于( 1 ) 多裂纹情况( 2 ) 表面载荷为任意的情况【3 6 】第二种方法中，用何错密度 为未知函数，而后把对偶积分方程化为奇异积分方程此法由e r d o g a n 等人提“3 7 1 相对而言，第 二种方法中的推导和计算要比前一法简捷一些 利用f r e h d o l m 积分方程方法，一个半平面裂纹问题得剑解决【3 引，该文所得结果仅局限于边缘 裂纹垂直于半平面，又裂纹面上的作用力为人小相等方向相反的情况也有人用体积力方法求解 边缘裂纹问趔3 9 枷】利刚裂纹张开位移全场拟合法求解边缘裂纹问题f 4 l 】文献 4 2 在研究弹性、卜 平面边缘裂纹问题时，利h j 沿各边缘裂纹放置分布位错的方法来模拟裂纹y zc h e n 等【4 引入也曾利 用有理保角映像函数方法，解决了集中力作用下半平面边缘裂纹问题近来，y zc h e n 和n h a s e b e 删在研究弹性半平面边缘裂纹问题时，利用沿各边缘裂纹放置分布位错来模拟裂纹的方法 和奇异积分方程方法对问题进行求解，并对位错放置和积分方案作了一些改进，简化了求解，提 高了精度 1 5 本文的主要工作 两个创新：材料上，由研究均匀材料发展到功能梯度材料：裂纹类型上，研究了任意方向多 裂纹，还包括曲线裂纹，共线、平行周期裂纹 具体归纳起来，本文做的工作主要有以。i - ) l 点： ( 1 ) 研究了具任意方向多裂纹弹性功能梯度带反平面问题采用在裂纹位置处放置v o l t e r r a 螺 型分布位错的方法模拟裂纹，运用f o u r i e r 变换方法，给出了位错在该区域的位移场的形式解该 3 宁夏大学硕_ i j 学位论文第一章绪论 应力分量具有柯西对数阶奇异性这个形式解表示了实轴上一点作用有点位错时引起的影响再 由裂纹边界连续条件建立以分布位错密度为未知函数的一组带有c a u e y 核的奇异积分方程，继而 采用g a u s s c h e b y s h e v 方法对奇异积分方程进行数值求解 ( 2 ) 研究了具共线、平行周期裂纹弹性功能梯度带反平面问题，利用f o u r i e r 变换将问题描述 为奇异积分方程，并进一步将未知的位错密度函数表示为c h e b y s h e v 多项式的级数式，从而将奇 异积分方程化为线性代数方程组进行配点数值求解 ( 3 ) 给出了若干数值算例，通过m a f l a b 编程计算分析了裂纹方向、长度、数目、位置、跨度 和材料非均匀指数等对应力强度因子的影响给出了几个算例，其结果表明所采月j 方法是可行和 正确的，所得结果可以应用于工程实际 4 宁夏人学硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 关于c a u c y 型积分方程 在断裂力学中c a u c y 型积分方程待到了广泛的应用，在本文的工作中，将用到c a u c y 型积分， 在这里首先回顾一下关于c a u c y 型积分的一些性质 2 1 1h o l d e r 指数 t l + ， 一 图2 一l 曲线l 如图2 1 所示，若三为一简单光滑曲线l 冬r 2 ( 它可能是一段弧，也可能是一条封闭曲线) ， 的正方向是指从a 剑b 的方向，刚“+ ”和“一”分别表示的左侧和右侧，在上给定函数 f ( t ) ，t 为l 上的点，假定f = x + i y ，若对曲线l 上的每两点 ，乞皆存在不等式 f ( t ：) - f ( t 。) i a i t 2 一 i ( 2 - 1 ) 式中a 与为正的常量，并且0 1 时，则称厂( f ) 在三上满f f c - h o l d e r 条件，或简称为条件， a 称为h 0 1 d e r 常量，而称为h o l d e r 指数 2 1 2c a u c y 型积分 设f ( t ) 为曲线l 上给定的( 一般为复的) 函数，并且将永远假定( 除非有相反的声明) 函数( f ) 在通常意义下绝对可积 沿着曲线l 所取的积分 - 5 - 宁夏大学硕b 学位论文 第二章预备知识 一1e f ( t ) d t z 叠工( 2 - 2 ) 2 n i 龙t z 称为c a u c y 型积分，其中z 为平面上的某点 现暂时假定z 不在上于是积分( 2 2 ) 有完全确定的意义，并且为定义在全平面上( 除了上 的点以外) 复变量z 的函数，如果用f ( z ) 表示此函数，于是 即) = 去警 ( 2 - 3 ) 同时也不难看出，函数f ( z ) 在全平面上( 除了上的点以外) 为全纯，若曲线包含有闭曲线， 则上述的论断应该理解为函数f ( z ) 在被曲线三所分割出的平面的每一部分的内部为全纯 其次，还可以看出，当z 趋向无穷远时f ( z ) 趋于零，即 f(oo)=0(2-4) 2 1 3c a u c y 主值积分 前面假定了公式( 2 3 ) 中的点z 不在积分曲线l 上， 式地写出式( 2 2 ) 1 ff ( t ) d t 2 z i 屯t t o 现在设点g 与l 上某点气重合，姑且纯形 ( 2 5 ) f ( t o ) 0 ，s s j _ 当t = t o 时，被积函数与p 一气| - l 一样，变为无穷，因此若仍旧停留在通常 的定义范围内，右边的积分是没有意义的，然而积分( 2 5 ) 在关于函数o ) 的某些假定之卜却能给 以确定的意义 设f ( t ) 是定义在曲线l 上的函数，t o 是l 的一内点，在气的邻域内厂( f ) 满足h o l d e r 条件，f l 与乞分别为乇两侧的点，并且i 一毛i = l f 2 一t o 0 ) 不失一般性，我们假定功能梯度带的弹性剪切模量为 ( j ，) = 风p 2 办 式中“和为二个材黼数吲加锗钢则 以孝，j ，) = h ( y ，孝) ( ( 少) ) 一v 2 = 【彳( 孝) e x p ( q 少) + 男( 孝) e x p ( 一6 沙) 】( ( y ) ) v 2 ( 3 6 ) = 彳( f ) e x p ( ( g 一) 少) + b ( f ) e x p ( ( g + f 1 ) y ) ( 3 7 ) 其中q ( 孝) = 阿，彳( 孝) 和艿( 孝) 为二个待定函数 3 3 边界条件的提出 边界自由条件： 1 2 宁夏人学硕l 学位论文第三章具任意方向多裂纹弹性功能梯度带反甲面问题 如( z ，0 ) = 0 f 。( x ，h ) = 0 ，( o o x + ) ( 3 8 ) 在点( 玎，f ) 放置柏氏矢量( 柏氏矢量是描述位错实质的重要物理量，反映出柏氏回路包含 的位错所引起点阵畸变的总积累，通常将柏氏矢量称为位错强度) 沿z 方向，大小为统的v o l t e r r a 螺型位错，位错线( 在晶格上加一水平的切变力，这个力造成原子错位，形成位错线位错是一 种线缺陷，给出那样一个解释只是为了形象的理解，位错不都是那样产生的，位错其实是为了松 弛应变场而产生的) 的描绘如图3 1 ，则 位移条件： w ( x ，f 一) 一w ( x ，f + ) = 吃日( 工一刁) ， ( 五f 一) = ( 五f + ) - o o x 0 ，h ( x ) = 1 ，x 0 ，h ( x ) = o ) ( 3 9 ) 第一式强调 位移多值性，第二式说明应力沿着位错线的连续性 3 4 积分方程的建立和求解 对式( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 关】x 作f o u r i e r 积分交换( 3 4 a ) ，, - - j 得 华( 善，o ) = 0 掣( f ，五) ：0 双f ，f 一) 一以f ，f + ) = 吃p 一勖( 砸( 孝) 一孝) 半( 孝，f 一) 一半( f ，f + ) ：0 ( 3 - 1 0 ) a va y 其中，万( f ) 为d i r a c a 函数 将( 3 1 0 ) 代入方程( 3 7 ) ，未知系数 么( f ) = 三孑三未p 一勃( 刀万( f ) 一乡) 包【e q c p s ，i 。n 。一h f ( ，q s ( i h n ( - g ( f ) ) ) ，；三二茎 b ( 孝) = 互歹兰i 鬟万e 一切( ，万( 孝) 一f 孝) 6 ： g - 一q f 矿s 。i 。n h f ( ，f l s i ( n h ( g - f ) ，) x ；乏j 茎乏( 3 - t ) 1 3 宁夏大学硕十学位论文 第三章具任意方向多裂纹弹性功能梯度带反平面问题 将( 3 11 ) 式代入( 3 - 7 ) 式，并作f o u r i e r 逆变换( 3 - 4 b ) ，可得位移场为 w ( x ，y ) = 2 s i n h ( p h ) 一i b e - a ( y - f ) 广 qc o s h ( q y ) + f ls i n h ( q y ) s i n h ( q ( h - ( ) ) d e ( 一耳d 孝 2 万 k 孝q s i n h ( q h ) 。 0 y f 毗炉t b z e - a t h - f ) 器+ 丁i b ：e - ，o , - f ) 幽锷一w f y s h ( 3 - 1 2 ) 其e e ( 3 1 2 ) 式右边第一项是常数，代表刚体运动显然，( 3 - 1 2 ) 满足条件( 3 9 ) ，( 3 - 1 ) 和( 3 1 2 ) 的应力场可写为 k = 一警兰堕坚鱼笔宾三掣乒“一功d 孝，。y f f ：垒丝竺! ：竺广些型堕卫堑丝墅幽章蛳叩，d 亭，f y j j l 声 2 刀 k q s i n h ( q h ) 777。 r ：垒丝q 竺竺：! ：r q c o s h ( q y ) + f l s i n h ( q y ) s i n h ( q ( h - ( ) ) e 泓x 一们d 亭，0 y f k 2 7 r 蛔 口s i n h ( q h ) 。 f ：一丝生墅兰! ：= 竺广 q c o s h ( q ( y - h ) ) + f l s i n h ( q ( y - h ) ) s i n h ( q ( ) e 蟛( ，一们j 孝，f y i l 2 万 k q s i n h ( q h ) 。 。 利用围道积分法和留数定理，积分方程单极点发生在= f 板面而，咒= l ，2 ， 孝= 历是正常点为解此方程，我们需要当蚓一0 0 时，积分消失冈此，当x r ，复平面的 篦一和钨二：象限细成积分围道，当x 疗，第三和第四象限组成积分围道利刚留数定理，可得 蚧篙s g 勖n ( x 竺刁，簪喜 c o s ( f 蝠= 一刁) 型 乙i k = 笔竽喜 n 7 r ( y f ) h in 巧 r i 【 卟s ( 竿) ( 掣) 胪叫厣 仔聊 中s e n ( x ) 是符号函数，当卜一啊i 较小时，方程( 3 一1 4 ) 收敛缓慢，当足够大时，可以获得精确的 结果为了避免积分困难，我们分离积分奇异性和带参数孝的部分，应力场为 k = 垒生 ：竺旬fs i n h ( q y ) s i n h ( q ( h - f ) ) qs i n h ( q h ) ，s i n 【f ( x 一刁) 】d 孝，。j ，f 声 万 旬 l ”“j 。 。 t 忙 ：一垒丝坐：! 万 s i n h ( q ( y - h ) ) s i n h ( q ( ) 考：s i n 【善( 工一刁) 】d 孝，f s y j j i q s i n h ( q h ) 。、。 。 1 4 厣髯 宁夏大学硕 二学位论文第三章具任意方向多裂纹弹件功能梯度带反平面问题 吃= 鼍竽与 q c o s h ( q y ) + f l g s i s i n 蚴h ( q y ) ) s i n h ( q ( h - ( ) ) 邯凇胚y f 2 万b 口s i n h ( 口 1 。、7 1 。 。7 k = 一垒丛生专；：竺南f f qc o s h ( q ( y - h ) ) + gf l s i n l l s i n ( h g ( q ) ( y - h ) ) s i n h ( q ) c o s 【孝( x 一刁) 】d 孝， f y h( 3 1 5 ) 为了确定应力分量的奇异性，我们应该分析下( 3 - 1 5 ) 中的被积函数的渐近行为被积函数是 带参数孝的连续函数且在善= 0 有限，则奇异性发生在善趋于无限远处 为了进一步推导，引入二个积分式如下 p s i l l ( 争) d e = 南( 夕 o ) j c o 秒c 0 s ( 孝x ) d 4 = 一五y 了( y o ) ， 应力分量吒的最后一项指数积分定义为( a b r 锄o w it z 和s t e g u n ，1 9 6 5 ) e 型等型口吲，必= - r e _ l 厨阳ly f ) + f ( z 刊) m 粕乒 。 v。j 、 j j j =一一。gm一。g，一喜馨生二尘二尘乏；务i铲，yf c 3 一8 ， 其中是欧拉常数，r e 【z 】表示z 的实部， 钥是鱼2 的最人整数，为了快速收敛，m 值应不小 于1 ，式( 3 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) 可以看出应力场有c a u c y 对数阶奇异性另外，当孝j0 0 时，积分能迅速退 化，这使得容易数值积分 螺型位错( 位错线平行于x 轴) 在点( 刁，f ) 引起的应力场 。c y ，= 6 ： 麓 二：孑：喜；：；妻二量乏，= 毛y c 3 一t 9 ， 其中七2 ( x ，y ，叩，f ) ，l = 1 ，2 ，j = 工，y 是6 ：的系数，可以从( 3 1 4 ) 平i 1 ( 3 1 7 ) 两个不同积分公式得 到 矗 ”i 渝尼 图3 - 2i 街线裂纹 设裂纹条数，如图3 2 ，将坐标系戈y 下的曲线裂纹改写为参数形式 五= a ，( 孝) ”= 屈( 善) ，f = 1 ，2 ，n ，- 1 孝1 ( 3 2 0 ) 可动正交坐标系f ，n 的原点沿裂纹方向变化，t 轴仍然与裂纹面相切反平面问题中，根据叠 加原理：无限k 功能梯度带上、下侧面受刽反平面剪切载荷作用且裂纹面为自由表面，则该问题 可以看作如下两个问题的叠加：( 1 ) 上、下侧面反平面剪切载荷的作用，使得无裂纹功能梯度带在 离下表面距离为y 的平面上产生的剪应力( 2 ) 在离下表面距离为j ，的平面上含有裂纹的功能梯度 - 1 6 - 宁夏大学硕十学位论文第三章具任意方向多裂纹弹性功能梯度带反平面问题 带上、下侧面自由，而裂纹表面受到剪应力作用由于问题( 2 ) 对于裂纹尖端场没有影响，所以， 在此可以仅考虑问题( 2 ) ，而将剪应力作为裂纹面已知应力边界条件处理 现将第z 条裂纹表面剪应力重写为直角坐标应力分量式如下 r 。c x , ，咒) = kc o s 谚一吃s i n 毋 ( 3 - 2 1 ) 其中e ( 孝) = t a n 一1 ( ，( 孝) 乱( 孝) ) 是x 轴与f 轴的夹角，在第条裂纹表面放置未知密度函数为 g 可( d 的螺型位错，无穷小位错、| f x 石了：i 万否习乙分布在第j 条裂纹上，一l 1 琏：1 当 口= 万2 ，厶尼应力为零，但裂纹之间的相互作用导致在裂纹尖端应力强度因子不相等，上述不 相等无处不在，除了在窄带周围，秒= 州2 ，与前相反 ( 3 ) 偏离中心的两条平行的裂纹 图3 7 偏离中心的两条平行的裂纹 偏离中心的两条平行的裂纹，如图3 - 7 ，裂纹中心保持不变，而裂纹长度以同样的速度变化， 无量纲应力强度因子随裂纹长度变化如图3 8 ，当r 和厶之间的距离极小时，可以得剑裂纹尖端 最大应力强度因子 2 1 宁夏大学硕+ 学位论文第三章具任意方向多裂纹弹性功能梯度带反平面问题 ( 4 ) 两条弧形裂纹 图3 8 偏离中心的两条平行的裂纹情况的应力强度因子 局 l 厂弋搿、 、 0 3 t y 1 在本算例中，考虑的两个弧形裂纹是椭圆圆周上的一部分，参数如下 a ，( r ) = t + ( 一t ) j 口c o s 三( ，