中国石油大学(华东)现代控制理论课后习题参考答案-刘宝、唐万生第三版.doc

现代控制理论（第三版）课后习题答案与刘豹、唐万生的第三版教材配套，中国石油大学（华东）参考教材 后面还附有相关的复习资料1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知： 既得 写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7 给定下列状态空间表达式（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数解：（2）1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程 解之得：当时，解得： 令 得 （或令，得）当时， 解得： 令 得 （或令，得）当时，解得： 令 得 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）解：A的特征方程 当时，解之得 令 得 当时，解之得 令 得 当时，解之得 令 得 约旦标准型第二章答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。（2） A=解：第一种方法： 令 则 ，即。求解得到，当时，特征矢量由 ，得即，可令当时，特征矢量由，得即 ，可令则， 第二种方法，即拉氏反变换法： 第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知，2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。（3） （4）解：（3）因为 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态，输入时单位阶跃函数。解： 因为 ，2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。 图2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程 则离散时间状态空间表达式为由和得： 当T=1时 当T=0.1时 第四章答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）（2）解：（1）由已知得，因此是负定的（2）由已知得，因此不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即：方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。取，令，则带入，得到若 ，则此方程组有唯一解。即其中要求正定，则要求因此，且4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。（1）（2）解：（1）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有。取则 ，根据希尔维斯特判据，有：，的符号无法判断。（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解：假设的梯度为：计算的导数为：选择参数，试选，于是得：，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。则有：如果，则是负定的，因此，是的约束条件。计算得到为：是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。第五章答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有： ，系统能控。系统的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有。引入状态反馈后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较各对应项系数，可解得：则有：。5-3有系统：（1） 画出模拟结构图。（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？（3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。 对于系统有： ，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。 （3）系统的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有。引入状态反馈后，系统的状态方程为：，设，则系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较各对应项系数，可解得：。5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈，并画出系统结构图。解： 由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为令为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为比较与的对应项系数，可得即系统结构图如下：5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。（1）解：系统的能控阵为： ，系统能控。由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。又由于，系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。5-7设计一个前馈补偿器，使系统解耦，且解耦后的极点为。解：5-10已知系统：试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r0)。解：因为满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为，所以有于是 引入反馈阵，使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比较与各项系数得：即，反变换到x状态下观测器方程为：3-6已知系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为3-7已知能控系统的A,b阵为：试将该状态方程变换为能控标准型。解：该状态方程的能控性矩阵为rankM=2，矩阵非奇异，系统能控。系统特征多项式：可知a1=-5，a0=10。所以此即为该状态方程的能控标准形。 取P=TC-1该状态方程的能控性矩阵为知它是非奇异的。求得逆矩阵有，由得同理，由得从而得到由此可得，所以，此即为该状态方程的能控标准形。 3-8 已知能观系统的A，b，C阵为：试将该状态空间表达式转换为能观标准型。能观标准型有两种形式：能观标准型和能观标准型。解：能观标准型：能观标准型：3-9 已知系统的传递函数为：试求其能控标准型和能观标准型。系统传递函数为 试求其能控标准型与能观标准型。解：先将变为真分式形式： ，其中 。由此可得到其能控型实现为： ( * )由对偶原理，将上式中的各矩阵做转置，可得系统能观型实现为： (* *)由于两个对偶系统所实现的传递函数阵互为转置关系，而题目中所给的是单入单出系统，因此（*）与（* *）都是 的实现。3-10.给定下列状态方程，试判别其能否变换为能控和能观标准型1.求能控性判别阵MrankM=23,所以系统不能控2.求能观性判别阵NrankN=3，所以系统能观补充：（1）能观标准型，取变换矩阵状态空间表达式的能观标准型为：（2）能观标准型3-11试将下列系统按能控性进行结构分解（1） A= ，b=,C=(1 ,-1,1)（2） A= ，b=,C=(1 ,-1,1)(1) 解：系统的能控性判别矩阵b= Ab= b=M=(b Ab b )=rankM=2n系统不完全能控构造非奇异变换阵:=b= =Ab= = =变换后的=A+bu =+ =+u=C=(1 -1 1)=(1 2 -1)(2) 解：b= Ab= b=M=(b Ab b )=rankM=2n系统不完全能控构造非奇异变换阵:=b= =Ab= = =变换后的=A+bu =+ =+u=C=(1 -1 1)=(1 -1 -1)3-12试将下列系统按能观性进行结构分解（1）（2） 解：（1）系统的能观性判别矩阵：CA CN rank N=2n所以该系统是状态不能观的为构造非奇异变换，取：得：其中是在保证为非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为： y （2）解：系统的能观性判别矩阵：CA CN rank N=2n所以该系统是状态不能观的为构造非奇异变换，取：得：其中是在保证为非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为： y3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。(1) （2） 解：(1) 由 求出系统的特征值： 时，设时，设时，设求出约当矩阵J为：与每个约当块最后一行相对应的各行元素不全为0，完全能控。与每个约当块第一列相对应的各列元素不全为0，完全能观。（2） 由 求出系统的特征值： 由以下四个矩阵:求出P:求出约当矩阵J为：分别为：不能控能观、能控能观、不能控不能观、能控不能观。3-14求下列传递函数阵的最小实现。 （1）（2）解：（1），系统能控不能观取，则所以，所以最小实现为，验证：（2）先写出能控标准型实现解：w(s)=0=0 =0 =m=n=2= = =M= rank(M)=6N= rank(N)=3 系统能控不能观能观性分解= = = =经验证系统最小实现为 = = = =验证C=W(s)3-15设和