（机械设计及理论专业论文）双圆弧齿轮的建模与仿真.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 y 、6 2 0 2 4 0 双圆弧齿轮的建模与仿真 摘要 双圆弧齿轮的轮齿是一个空间螺旋体，形状非常复杂，加上 齿形设计灵活，因而利用先进的设计计算方法和计算机技术对 对双圆弧齿轮的齿形参数进行研究具有特别重要的意义。 本文在分析圆弧齿轮齿形约束及尺寸参数的基础上，建立了 双圆弧齿轮的结构参数化实体模型，实现了实体模型与优化系 统设计变量之间的数据通讯，从而可以用优化系统的输出结果 参数来驱动所建的模型，完成机械工程设计与优化系统的连接， 为实现系列产品的快速开发设计提供可能。 软件的开发采用了目前a u t o c a d 2 0 0 2m d t 二次开发的 最新语言：o b j e c t a r x 2 0 0 2 通过v i s u a lc + + 6 0 编程环境，充分 利用w i n d o w s 资源和m f c 类库实现软件界面的可视化设 计。软件在三维造型功能实现上使用了扫掠和阵列实体造型方 t 太原理工大学硕士研究生学位论文 法。成功地实现了双圆弧齿轮的三维造型的参数化设计。调用 华中理工大学研制的约束变尺度法c v m 0 1 程序对双圆弧 齿轮减速器进行优化，并很好的集成为一体，具有通用性， 因而是对双圆弧齿轮传统设计的一种改进和提高。借助双圆弧 齿轮c a d 系统，加快了设计进程，缩短了研制周期，提高了设 计质量。并对涉及到的系数和图表进行了程序化设计，各个过 程可以根据需要调用公用的子模块。 本文利用a n s y s 与m d t 的接口，建立了双圆弧齿轮的三 维有限元模型。整个三维模型通过程序自动生成，然后导入有 限元程序中进行前后处理。实现了有限元分析模型的参数化， 可以方便地对不同齿形参数的齿轮进行有限元分析和计算。 关键词 双圆弧齿轮，参数化建模，有限元分析，优化 查曼垄三查堂堡主旦壅竺兰垡笙兰 t h ep a ra m e t r i ce n t i t ym o d e l a n de m u l a t i o n 0 fd o u b i 。ec i r c u l a ra r cg e a r s d o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r sa r et h ec o m p l e x s p e c i a lh e l i c a lg e a r , a n dt h ed e s i g no ft h ep r o f i l ep a r a m e t e r si sv e r yf l e x i b l e t h e r e f o r e ， i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt os t u d ys t u d yt h et o o t h p r o f i l ep a r a m e t e r so p t i m u m o nd o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r sb ym e a n s o fm o d e r n d e s i g nm e t h o d a n d c o m p u t e rt e c h n i q u e t h et h e s i sh a v ee s t a b l i s h e dt h ep a r a m e t r i c e n t i t ym o d e l o ft h e d o u b l ec i r c u l a ra r c g e a r s a f t e r a n a l y z i n g t h ec o n s t r a i n t sa n d d i m e n s i o n - p a r a m e t e r s ，a n dh a v i n ge s t a b l i s h e dt h ec o m m u n i c a t i o n b e t w e e nt h e e n t i t y m o d e la n dt h e o u t p u t o ft h e g e n e r a l i z e d o p t i m i z a t i o ns y s t e ms ot h a tt h eo u t p u t c a nb eu s e dt od r i v et h e m o d e l i th a sl i n k e dm a c h i n e d e s i g nt ot h eg e n e r a l i z e do p t i m i z a t i o n s y s t e ms o a st o p r o v i d ep o s s i b i l i t i e s t or e a l i z e d e s i g n o fs e r i e s p r o d u c t sq u i c k l y t h es o f t w a r e s d e v e l o p m e n tt a k e sa d v a n t a g eo fo b j e c t a r x i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 0 0 2m d tw h i c hi st h en e w e s tl a n g u a g e sa tp r e s e n t t h r o u g ht h e p r o g r a m m i n ge n v i r o n m e n to fv i s u a l c + + 6 0 t h ev i s u a li n t e r f a c e d e s i g no f t h es o f t w a r ei sr e a l i z e db y m a k i n g u s eo ft h er e s o u r c e so f w i n d o w sa n dc l a s so fm f c t h es o f e w a r eu s e st w oe n t r y c o n f i g u r em e t h o d s ：e x t r u d i n g a n d s i m u l a t i n ge n t i t yc u t t i n g i n r e a l i z i n g t h r e ed i m e n s i o n a l c o n f i g u r a t i o n s ，w h i c hs u c c e s s f u l l y a c h i e v et h r e ed i m e n s i o n a l c o n f i g u r a t i o n so fd o u b l ec i r c u l a r a r c g e a r s i na d d i t i o n ，p a r a m e t e r i z e dd e s i g n s o fg e a mm e s h i n ga r e a v a i l a b l ei nt h i s s o f t w a r e o p t i m a ld e s i g n u s ec v m 0 1 ( c o n s t r a i n e d v a r i a b l e m e t r i c ) b yy u j u n g i t i st h e d e v e l o p m e n to ft r a d i t i o n a ld e s i g no fd o u b l ec i r c u l a rg e a r s s p e e d i n g t h ec o u r s eo f d e s i g n ，s h o r t i n g t h e p e r i o d o f d e v e l o p m e n t ，a d v a n c i n gt h eq u a l i t yo fd e s i g n t h i sp a p e r d e s i g n e dt h es u b r o u t i n ep r o g r a mo fc h a r ta n dp a r a m e t e r t a b l e s oe v e r yc o u r s ec a nc a l lp u b l i cs u b r o u t i n ep r o g r a m o nt h eb a s i so fd e m a n d i nt h i sp a p e r ，t h ef e mm o d e lo fd o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r si s e s t a b l i s h e d b y t h e a n s y s ，t h e f e mm o d e li s g e n e r a t e d a u t o m a t i c l yb yt h ec o m p i l e da n a l y s i sp r o g r a m t h e nd e a lw i t hi ti n t h ef e m p r o g r a m a n d a c c o m p l i s h t h e p a r a m e t e r i z e df e mm o d e l ，i t c a r lb e a n a l y z e db yf e me f f i c i e n t l ya n dc o n v e n t l yo nt h et o o t h p r o f i l eo f d i f f e r e n tt o o t hp r o f i l e p a r a m e t e r s k e yw o r d s ：d o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r s ，t h ep a r a m e t r i c e n t i t ym o d e l ，t h ef e m ，o p t i m i z a t i o n i v 第一章绪论 1 1 产品建模及其仿真的发展现状及发展趋势 1 1 1 建模和仿真的意义 产品总是为特定的需求而存在，产品的制造过程是把特定的功能需求 映射为模型并加以实现的过程。而以计算机技术为基础的建模和仿真是人 类模型化思维的延伸，帮助设计者把头脑中产生的设计形象迅速准确的在 计算机中反映出来，使其将注意力集中于富有创造性的设计活动中，从丽 提高设计的效率和质量。因此，建模和仿真在产品制造中具有重要的作用。 建模和仿真在产品制造中的应用大致包括三个方面：以产品模型为中 心的仿真、以制造系统模型为中心的仿真和以产品开发过程模型为中心的 仿真。这三方面的应用随着制造企业信息化进程的发展而发展，总的趋势 是由局部到全局，由分散到集成，并更加注重可视化技术的应用及与用户 之间的交互。 本文所做的是双圆弧齿轮的建模与仿真，在进行产品建模时，不仅要 考虑与功能需求有关的方面，如形状、尺寸、结构及各种物理特性，还 要综合考虑诸如制造、装配、维护、成本等各方面的因素。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 2 产品建模及其仿真的发展方向 产品建模与仿真总的发展是由局部到全局，由分散到集成，并更加注 重可视化技术的应用及与人机交互技术的应用。仿真的集成化是统一、全 面地考虑产品生命周期中所有因素的需要，也是局部、单点仿真应用不断 发展、综合的结果。 在传统的设计方式下，二维工程图是产品设计描述的基本方式。由于 计算机绘图具有便于存储和修改等优点，最初的计算机应用便从二维计算 机辅助设计开始，从而使产品模型第一次以数字的形式存在。虽然此时的 产品模型只是二维几何模型，并没有太多的仿真应用，但它意味着一个质 的飞跃，因为只有存在数字化的模型，才有可能应用仿真技术。 产品模型从二维工程图到三维实体几何造型是一个巨大的进步。围绕 三维的产品集成定义模型，人们可以建立关于产品的完全的信息库，对产 品进行分析、设计、仿真，直至制造、装配、销售和售后服务。基于三 维产品模型，可以进行产品物理性能、可制造性、可装配性等方面的仿真。 但总的说来，传统型方法只是解放了设计师的手而没有解放设计师的脑， 因为计算机并没有真正参与设计的全过程。集成型的设计绘图软件是将设 计绘图的功能与c a d 系统的其他功能如造型设计、优化设计、分析计算等 容为一体并面向工程应用，使得计算机真正成为一个辅助“设计”而不是 辅助“绘图”的工具。集成型设计要求描述被设计对象的信息在整个设计 工程中是完全流通的。因此参数化是集成型设计绘图系统的必然要求，也 是集成型设计到只能型设计发展的一个重要环节。 参数化设计( p a r a m e t r i c ) 设计是c a d 技术在实际应用中提出的课题， 它不仅可使c a d 系统具有交互式绘图功能，还具有自动绘图的功能。目前 2 一一 查曼翌三查堂堡主堡壅生兰垡丝苎 ： 它是c a d 技术应用领域内的一个重要的、且待进一步研究的课题。利用参 数化设计手段开发的专用产品设计系统，可使设计人员从大量繁重而琐碎 的绘图工作中解脱出来，可以大大提高设计速度，并减少信息的存储量。 1 2 课题的提出和研究内容 1 2 1 课题的提出 圆弧齿轮属于点啮合制齿轮，由前苏联学者诺维柯夫发明于1 9 5 6 年， 不久便引起国内外的广泛重视。我国也于1 9 5 8 年开始，各大研究院所、 高校与工厂紧密结合，迅速开展了有关圆弧齿轮的理论研究与技术推广工 作，其规模之大，速度之快在我国的传动业领域达到空前程度，并在大中 型机械传动中发挥了相当重要的作用。德国人尼曼于五十年代发明了圆弧 蜗杆传动。自六十年代起，前苏联与我国又把平行轴传动中的圆弧齿轮推 广到相交轴的锥齿轮传动。自此，在传动领域内已初步形成了与渐开线啮 合制相平行的圆弧点啮合制，在国际范围内显示出其强大的生命力及广泛 的应用前景。 应当指出的是，在圆弧齿轮发展的早期，曾有过一次激烈的学术性争 论；诺维柯夫本人是在端面圆弧齿形的基础上证明了此类传动的啮合原 理，但这给工艺带来相当大的困难，加工相同模数、不同齿数、不同螺旋 角的圆弧齿轮就需要各配一把专用滚刀，可以说端面圆弧齿轮的思想无法 被工程接受，而生产上则是基于法向圆弧进行滚刀设计和齿轮加工的，这 就出现了啮合原理与工艺实践之间严重脱节的局面。“中国机械工程学会 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 十周年年会”曾指出，工程上采用的实质为法向圆弧螺旋面，其重要性质 为曲面沿母圆上各点的法线平面，即诸法线共面于圆心螺旋线的法平面 内，这也是法向圆弧螺旋面容易制造的根本原因。法向圆弧的思想不仅为 工程界所接受，也为圆弧齿轮的发展历史所证实。与此相对照，在圆弧齿 轮的相交轴传动、交错轴传动中并没有注意“法向圆弧”这一重要特征， 仅仅是将现有的加工刀具的刃形改为圆弧，这样做所带来的收益往往被加 工的复杂性所抵消，因此，圆弧齿轮在相交轴、交错轴传动中的应用并不 广泛。由此可见，对于一种传动副的选择要兼顾传动性能与加工工艺两个 方面的要求。 我国对圆弧齿轮的研究主要集中于双圆弧齿轮上：在学习英国 r o l l s r o y c e 公司提出的分阶式双圆弧齿轮齿形的基础上，1 9 7 2 年由郑州 机械研究所、哈尔滨工业大学、太原理工大学、上海工业大学等单位分别 进行了分阶式双圆弧齿轮承载能力有限元计算、光弹实验、台架实验以及 工业生产应用，并于1 9 8 0 年1 2 月在上海召开双圆弧齿轮技术鉴定会，逐 步开始在风机、轧钢机、船舶等高速重载场合展开应用。由于双圆弧齿轮 是由两段工作圆弧组成，节圆以上为凸圆弧，节圆以下为凹圆弧，成倍的 增加了瞬时啮合点数，再加上齿根厚度的增加，大大提高了齿轮的弯曲强 度，文献提出根据齿轮副的动态特性要求，利用有限元分析和模 糊优化理论进行双圆弧齿轮参数模糊优化组合的观点。为了使双圆弧齿轮 向更广阔的应用领域发展，文献蜘川7 m 帅3 通过三维弹性接触有限元法 和跑合仿真的耦合，提出了精确分析双圆弧齿轮跑合前后齿间、接触迹间 载荷分配的方法，为研究双圆弧齿轮的强度特性、跑合特性、润滑性能提 供了理论依据。文献m 州“5 加6 m 7 1 研究了双圆弧齿轮传动的轴线平行度误 4 太原理工犬学硕士研究生学位论文 差和其传动误差之间的关系，并得出结论：轴线平行度误差中的交错角误 差对双圆弧齿轮的传动误差影响较大，在其它参数不变时，增大螺旋角有 利于减小传动误差。 圆弧齿轮标准方面，我国1 9 6 7 年由机械科学研究院组织国内工厂、 高校先后制定出j b 9 2 9 6 7 圆弧齿轮滚刀法面齿形标准和d 1 4 1 2 0 圆弧 圆柱齿轮减速器系列，以及高速圆弧齿轮增速系列，1 9 7 5 年，由郑州机械 研究院负责制定出j b l 5 8 5 7 5 和j b l 5 8 6 7 5 圆弧减速器标准，使我国圆弧 齿轮走上了标准化系列生产的轨道。在此基础上，我国于1 9 8 1 年制定出 j b 2 9 4 0 8 1 双圆弧齿轮基准齿形标准，9 5 年修订为国家标准 g b t 1 5 7 5 3 一1 9 9 5 。这些标准的制订，为圆弧齿轮的发展和应用开拓了广阔 的空间。 总之，圆弧齿轮已经在基础理论、制造工艺以及标准化等方面取得了 很大成就。建立了点啮合制圆弧齿轮的基本啮合理论、承载能力计算方法、 热弹流润滑理论分析计算、齿端修形原理与计算、精度检验与测量尺寸计 算、滚刀齿形设计与计算及制造工艺等一系列基础理论和工艺方法。上述 研究。都对圆弧齿轮的发展起到了推动作用。 正是基于以上原因，圆弧齿轮的研究方法及方向是本文要考虑的问 题。一方面，随着硬齿面齿轮技术的发展，圆弧齿轮也必须向中硬齿面和 硬齿面方向发展。另一方面，必须采用最先进的c a d 技术，用参数化设计 思想对圆弧齿轮进行建模，最新的优化思想进行优化设计，同时考虑同其 他分析软件的集成，发展完善圆弧齿轮c a d c a e c a m c a p p 的集成系统。 在齿轮参数化建模上，! q q 垫y ：l ! 望i 旦博士实现了渐开线齿轮与w - n 齿 轮的建模和齿面接触分析仿真，f a y d o rl l i t v i n 运用齿轮几何学知识分 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 析了螺旋角、中心距误差对双圆弧齿轮、弧锥齿的传动误差的敏感性，并 用自己开发的t c a 和f e a 软件进行了动态分析。 1 2 2 本文的研究内容 一个完整的双圆弧齿轮c a d 系统应有齿轮设计系统、齿轮校核系统、 齿轮优化系统、齿轮建模系统、有限元分析与仿真系统组成。文献1 3 3 1 孙 旭光对双圆弧齿轮的设计、校核、测量尺寸、精度与公差计算机辅助工程 进行了可视化设计，建立了双圆弧齿轮设计c a d 系统和双圆弧齿轮校核 c a d 系统。文献“2 1 张静建立了双圆弧齿轮齿形优化c a d 系统。本文是在 此基础上对双圆弧齿轮进行三维参数化建模，并作有限元分析，这样就把 设计、绘图、有限元分析集成为一体。成为完整的圆弧齿轮c a d c a e 集 成系统。 图1 - 1 双圆弧齿轮系统组成 f i g u r e1 1 t h ec o i l s t i t u t i o no fd o u b l e c ir c u l a r a r cg e a rc a ds y s t e m 本文所做的双圆弧齿轮的建模、有限元分析与仿真部分，每一部分有 三个模块组成，即信息输入模块、信息处理模块、结果输出模块。采用模 块化结构，可以使系统柔性增强，便于扩展各种建模方法库、各种优化方 6 太原理工大学硕士研究生学位论0 法库。( 如图卜1 所示) 以齿轮建模系统为例；信息输入模块包括齿数，模数，螺旋角，压力 角，齿宽。用户将建模过程中所需参数( 包括设计系统中的参数和优化后 参数) 一次性输完，程序自动地从面板中读取数据，依据本文给定的算法 进行计算，给出齿轮立体三维图。 信息处理模块是由于生成所需要的双圆弧齿轮的过程。主要是根据输 入的零件信息进行判断、检索、计算，从而得出符合规范的双圆弧齿轮图 形，为有限元分析提供一个科学的依据。 信息输出模块的是将信息处理的结果输入到屏幕上，并按规定的格式 保存。 就理论分析而言，圆弧齿轮的轮齿是一个空间螺旋体，形状非常复杂。 利用c a d 软件进行结构设计，所建立的模型应随齿形参数的改变而改变， 随齿轮结构的改变而改变，而后导入a n s y s ，自动生成有限元网格并进行 计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行构造和计算，直到满意 为止，整个三维模型通过程序自动生成，然后调入有限元程序进行前后处 理。这样可以对任意模数、齿数、螺旋角的齿轮进行有限元分析，同样对 同一齿轮参数下的不同齿形参数的齿轮也可以进行有限元分析。整个设计 的流程如图卜2 所示。 本文重点做的工作如下： 1 、介绍了双圆弧传动的啮合理论、齿面接触线方程、大齿轮齿面方程、 小齿轮齿面方程以及一系列表征啮合性能指标的计算公式。 2 、用了目前m d t 二次开发的最新语言：o b j e c t a r x 。通过v i s u a lc + + 6 0 编程环境，充分利用w i n d o w s 资源和m f c 类库实现软件界面的可视化 设计。软件在三维造型功能实现上要使用扫掠和模拟实体切削两种实 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 体造型方法，实现双圆弧齿轮的三维参数化造型。 3 、建立双圆弧齿轮传动的优化设计数学模型，并运用机械结构优化设计 包c o m l 对其进行优化。 4 、运用有限元分析软件对不同螺旋角的齿轮施加相同的力，进行弯曲应 力的分析。 图卜2 齿轮三维建模与仿真流程 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章双圆弧齿轮几何学及啮合理论基础 在齿轮传动中，各构件之间存在着相对运动，往往需要分别在与不同 构件相固连的坐标系中表示点的位置或矢量。有时在一个构件上也采用不 同的坐标系来表示点的位置，这些可以通过一次或多次坐标变换来实现。 坐标变换是研究齿轮啮合原理的重要方法。在圆弧齿轮参数化建模过程 中，通常需要将画出的图形平行移动到一个位置，或改变图形的大小和形 状等，这种图形处理叫做平面图形的几何变换。坐标变换有两种方法，一 是解析法，一是距阵法。 2 1 坐标平移、坐标变换 1 平移变换 三维图形上的点( x ，y ，z ) 沿x ，y ，z 轴移动乙，弓，乏时，所得的新点 的坐标可表示为： 工- x + l y y + 耳 z = z + 置 三维坐标点( x ，y ，z ) 可用齐次坐标表示为( x ，y , z ，1 ) 。齐次坐标变换距 阵表达式为： 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 b ，y ，z , 1 1 一i xyz 】 记为r ( 巧，耳，疋) 2 旋转变换 10 01 00 巧瓦 00 00 10 艺1 = b + 巧y + 耳z + l1 】 坐标系是相对于坐标系s 。的旋转有绕x 轴，y 轴，z 轴，且依左手定 则。 1 ) 绕x 轴旋转 当物体绕x 轴旋转口角时，x 轴是旋转轴。物体上各点的x 坐标不变， 变换式为： 工= 工 y y c o s c t 一2 s i n a 2 = y s i n a + z c o g a 绕x 轴旋转齐次坐标变换矩阵表达式为： i xyz 1 】一臣y z oo0 t 2 0 s c t 一s i n a0 s i n 口c o s 口0 0o1 记为b ) 2 ) 绕y 轴旋转 当物体绕y 轴旋转卢角度时，y 轴是旋转轴，物体上各点的y 坐标不 变，变换式为： 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 工一x c o s 9 - z s i n p y 。y z 一x s i n f l + z c o s f l 绕y 轴旋转的齐次坐标变换矩阵式为： s 声0 r 工1y z ，- by z ，i 一。三卢。1 f00 s i n 卢0 oo c o s ，0 01 记为只，( 卢) 3 ) 绕z 轴旋转 当物体绕z 轴旋转y 角度时，z 轴是旋转轴，物体上各点的z 坐标 不变，变换式为： xi x c o s 7 + y s m 7 y 一z s i n y + _ ) ，c o s y z=z 绕z 轴旋转的齐次坐标变换矩阵表达式为： 肛y z 1 i i xy z s i n y 0 0 c o s r 0 0 o10 0o1 记为r ( y ) 3 同时平移和旋转 如果是任意轴，首先对旋转轴作平移和绕轴旋转变换，使得所绕 之轴与某一条标准轴重合，然后，绕该标准坐标轴所需角度的旋转。 l l y r _ 目0 0 o s q 太原理工大学硕士研究生学位论文 最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程需由7 个基 设旋转所绕的任意轴为p 。，p ：两点所定义的矢量，旋转角度为y ( 1 ) r ( 一巧，一耳，一已) 使p 。与原点重合 ( 2 ) e ) 使得p 1 p ：落入平面y o z 内 ( 3 ) r ，) 使得p i p ：与z 轴重合 ( 4 ) r o ) 执行绕p 1 p ：的y 角度变换 ( 5 ) r y ( 一卢) 作变换( 3 ) 的逆变换 ( 6 ) 也( 一a ) 作变换( 2 ) 的逆变换 ( 7 ) z ( 矗，五，疋) 作变换( 1 ) 的逆变换 以y 轴为对称轴的变换为例，变换式为： 利用齐次坐标表示的变换矩阵可表示为： 卜 _ 1 ，。】 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 2 切面与法线 k y i - b _ 1 ， 图2 - 1 切面与法线 f i g u r e2 - 1 t a n g e n tp l a n ea n dn o r m a l 齿轮齿面是一种曲面，直齿轮是柱面，斜齿轮是螺旋面，加工齿 轮的指形刀具是回转面等。设曲面的参数方程形式为： x x ，v ) y = y ( u ，v ) 或 ；- ；0 ，v ) 一x 0 ，v ) ；+ y ，v ) j + z 0 ，。话 z z ( u ，v ) 若令参数v 固定，v = v 1 ，则；t ；( “，v ，) 是曲面上的一条曲线，称为u 线，它的切线是沿着偏导矢吒的方向。当v 值改变时，就得到一系列u 线。同样，令u 的值固定，就可以得到一系列v 线，经过曲面上的一 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 点m ，一般可以得到一条u 线和一条v 线，衄面上的u 线和v 线统称 为参数曲线，一切的参数曲线构成参数曲线网。如果曲面上一点m 的 偏导矢和不平行，并且它们之中的任何一个不等于零，即 l 。r v 0 曲面上符合这样条件的点称为正常点。齿面的工作部分应该只含有正 常点。只有在正常点，齿面的法线和切面才是确定的。不符合这样条 件的点称为奇异点，在奇异点的法线和切面是不确定的，要引起齿面 的干涉。 设在曲面上通过任一点m 做任意曲线u 如图2 - 1 ) ，则曲线的方程 为： r ；r u c t ) ，v ( f ) 】 曲线l 在点m 的切线方向用导矢警- - i d u + i 尝表示。它表明 曲线l 在点m 的切线包含在经过点m 的两条参数曲线的切线所定义的 平面上。由于曲线l 是经过点m 的任意曲线，所以曲面上经过点m 的 一切曲线在点m 的切线都在同一平面内。这个平面称为曲面在点m 的 切面。曲面法线是切面在切点m 的垂线。显然，法线二沿着i i 的方 向。 孔孤；引 1 4 + | | |著 | | t 妙一蔷砂一却爸一拟缸一却 + 太原理工大学硕士研究生学位论文 法线矢量二在各坐标轴上的投影为 法线矢量的方向余弦为： 却a z 却把 o ua v却o u o zo xo zo x 7 a ha vd va “ 缸却缸却 a “a va va “ c o s 。笠，c o s 卢：n y ，c o s y ；生 ，l 厅 n 其中n 一卅振丽 单位法线矢量为： e 2 c o s c t i + c o s f l j + c o s 7 k 由解析几何可知，已知平面上一点的法线，则平面上过这一点的 任一直线均与法线垂直，所以可以利用该直线矢量和法线矢量数量积 等于零的性质，写出平面方程。这里，曲面上切点m 的径矢为； ，y ，z ) ， 切面上任一点的径矢用五( j ，1 ，z ) 表示，则i 一；为切面上的一条直线， 它垂直于过切点的法线矢量二，于是点法式切面方程表示为： ( 天一；) 二：0 展开为坐标形式的点法式切面方程为 暖一x ) n ，+ 一y ) n y + ( z 一2 如：= 0 法线的标准方程为 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 x z y y z z - - - - - - - 一_ 一 n j ，l ， n ： 2 3 齿面共轭原理 以理论啮合点在和齿轮固连的坐标系中的轨迹接触螺旋线为基 础，形成点啮合共轭齿面的方法就是接触点法，因为在点啮合共轭齿轮传 动中，同一端截面内一对齿廓可以“任意”地选取，前提是保证对应的齿 廓在啮合传动中不发生干涉。因此，我们选取一条过理论啮合点的曲线， 令该曲线沿接触线作螺旋运动从而形成螺旋曲面，即齿面。一般我们是选 取圆弧曲线作为齿廓曲线的。若齿轮齿面是以齿轮的端面圆弧曲线作螺旋 运动形成的，则为端面圆弧齿轮；若齿轮齿面是以齿轮的法面截形一圆弧 曲线作螺旋运动形成的，则为法面圆弧齿轮。理论上，我们还可形成其他 形式的圆弧齿轮，如：准端面圆弧齿轮。我国开始对圆弧齿轮的研究一直 使用线接触法，但接触线法存在许多致命的缺点，引起许多理论、实际计 算及具体应用方面的混乱，因此我们采用包络法来研究圆弧齿轮问题。 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 3 1 包络理论 z 却 图2 - 2 齿面包络 f i g u r e2 - 2e n v e l o p ep r o c e s so fp o i n t - c o n t a c t c o n j u g a t et o o t h s u r f a c e 包络理论是齿面共轭原理的基础。所谓一对齿面的共轭理解为两齿 面彼此连续接触并实现预定规律的传动比。在齿轮传动中，参与啮合的一 对齿面在相应的相对运动中互为包络曲面。齿轮传动一般是单参数运动， 设齿轮齿面为s 。和，相对运动参数为妒，则齿面s ，相对齿面的运动过 程形成了齿面族乜j 。如果齿面，它的每点是扛，j 族中一个齿面s ，上 的点，并且在z 和s 。是的公共点有公切面，则称为齿面族的包络。符合 这一条件的齿面s 。和是共轭齿面。在数学上，包络z 方程通过下面方程 组，消去参数毋求出。 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 f 仁，y ，z ，庐) 一0 r o ，y 石萨) 一0 第一个方程表示齿面族慨 ，第二个方程表示齿面族乜) 对参数妒的 偏导数等于零。对于每一固定的参数，方程组代表一个齿面和一0 的 一条交线工。，称为特征线，在齿轮传动中称为( 瞬时) 接触线。所有的接 触线构成包络齿面。 在单参数相对运动中相互包络的两齿面是线接触，在双参数相对运动 中相互包络的两齿面呈现点接触，用于传动时，其中一个参数固定。对于 初始制造点的圆弧齿轮的接触传动，为了减少其对制造误差的敏感性，初 始制造时往往人为的对齿面修形，减少了工作面。是其中的一个齿面z ，向 其体内变形为却，齿面：上仅存在一条工作线工：在三2 ，上，这样两齿面 ，和：。仅在工作线工。和工：上瞬时点接触，不在互相包络，但两齿面工作 线的接触点仍存在共切面( 图2 2 ) 。初始制造点接触圆弧齿轮跑合后最终 要实现线接触并且两齿面将相互包络。 总之，在齿轮传动或切削过程中，两齿面共轭的条件是接触点存在公 切面。 2 3 2 用运动学法求解共轭接触条件表达式、已知齿面的瞬时接触线、 啮合面 2 3 2 1 运动学法的基本原理：在一对共轭齿轮的接触点处，二齿面相对运 动速度矢量垂直于每一齿面的法线矢量。 1 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 。一 运动学法的物理表达式为 n 。h a0 式中齿面接触点处的法线矢量 。齿面接触点处的相对运动速度矢量 k 坐标系 斟2 - 3齿轮传动坐标系 f i g u r e2 - 3t h ec o o r d i t i o no fg e a rd r i v e 法线矢量是接触点坐标的函数，如果齿面方程由曲线坐标u , v 给出，则 法线矢量也是曲线坐标u ，v 的函数。 相对运动速度矢量k ，不仅是接触点坐标的函数，而且也是相对运动参数 办的函数。这样。共轭接触条件式将表示为函数 f ( u ，v ，疵) 。0 我们可以通过坐标变换的方式求得，矩阵的表达式为：r 。= m 。i 2 3 2 2 求己知齿面。上的瞬时接触线 在动坐标系s 。中，联立齿面方程和共轭接触条件式即可，写成坐标形 】9 太原理工大学硕士研究生学位论文 式： 扛l = x l ，v ) y l 量y l q ，) z 1 暑z 1 0 ，v ) i，( “，v ，唬) 一0 每给定一个运动参数唬，我们就能得到一条瞬时接触线，工作齿面。就是 所有接触线的集合。 2 3 2 3 求啮合面齿面。上所有接触线在静止坐标系s 中的集合就是传 动啮合面，利用坐标变换矩阵，一m 。，r 1 求出齿面，在坐标系中形成的齿面 族= ( “，v ，办) 和共轭接触条件式联立即可，写成坐标形式： i x 椰一1 昏，v ，究) y 柙= y 抑 ，y ，氟) z 们一2 ，l 如，v ，疵) if ，v ，蛾) t0 消去运动参数a ，得到。啮合面方程 一 一一 r l 一1 ( h ，v ) a ，y x + y l ，d j + z 1 ，v ) k 待求齿面的方程 2 3 2 4 求待求齿面2 的方程齿面z 。上所有接触线在动坐标系s ：中的 集合就是：，同样，利用坐标变换矩阵，2 一m ：。 ，求出齿面z ，在坐标系s 中 形成的齿面族：一：( “，v ，办) 和共轭接触条件式联立即可，写成坐标形式 p 2 l x ，2 ，n n ) y 2 皇y 。2 ，v ，唬)z 2 兰z p 2 ，u 呶) l( u ，v ，唬) 一0 消去运动参数识，得到：啮合面方程 一一 一一 r 2 = ，2 ，v ) = 工2 ，v ) f y z ，v ) j + z 2 ( 据，v ) 七 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 4 法平面圆弧齿轮传动啮合方程式 研究齿轮参数对双圆弧齿轮传动的影响，首先必须建立处于啮合状态 的双圆弧齿轮的齿面方程，对刚性啮合状态的双圆弧齿轮进行齿面啮合分 析，以考察其啮合关系和运动特性。f ll i t v i n 1 2 完善和发展了to l i v e r 的包络曲面法，形成了系统的现代空间啮合理论。 2 4 1 圆弧斜齿条成型面 圆弧斜齿条，该斜齿条的法向齿型就是圆弧齿轮的基本齿廓。双圆弧齿轮的 瞄- p , s i n a f - t e _ i 其中：p i 一齿廓圆弧半径 q 一齿廓圆心相对节线移距量 一齿廓圆心相对节线偏移量 h 。圆弧在齿向的位移 2 4 2 圆弧齿轮成型过程共轭接触条件 在平行轴传动中，利用一个刀具齿条成形面p 可以形成一对线接触共 轭齿面。如图2 - 3 所示，设给定齿轮1 、2 传递等比运动，则齿条的节平面 2 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 和两齿轮的节柱面相切，并以齿轮节柱面上点的速度平移。这样，在与两 齿轮1 2 固连的动坐标系| s ，、s ：中，刀具齿条成型面p 将分别形成齿面1 、 2 。( 图2 - 4 ) 斟2 - 4 坐标转换 f i g u r e2 - 4d e r i v a t i o no fe o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n 这个齿条是一个假象的公共齿条，这个公共齿条以其两侧面同时切削 齿面t 、z ：。用，、n ，：分别表示齿条p 相对于齿轮1 、2 的运动。同 时假设齿条成型面f ，f 与p 沿着和所有特征线d ( 舯- d ( p 2 ) 相交的某条线 q l 弛) - j ，只保留一条线接触。利用彼此沿某条线相切的固连的两个齿条成 型面p 与f 可以形成点接触的共轭齿面，、芑：，设f 与：，的瞬时接触 线为d ”，齿面：，是所有瞬时接触线在动坐标系s ：的集合，曲线q 上 的点是齿面。、z ：，的瞬时接触点，也是d ( 1 和d ( 蚴的公共点，它分别 在齿面三- 、2 ，上形成两条工作线，所以。和2 ，是点接触的共轭齿面。 太原理工大学硕士研究生学位论文 将图中的两个齿轮分开表示，得到斜齿条成形面分别成形凸、凹齿轮 图，在范成运动中，凸、凹基本齿廓构成凹，凸斜齿条齿面，形成大，小 齿轮的齿面，在基本齿条端面齿廓包络生成齿轮端面齿廓的过程中，点m 成为接触点的条件可表示为：p m = 0 而 p m 一崎j 。七r 。 而：甜s ，s + 坠 一 t ( p s i n a + ) j 。+ ( p c o s a c o s 卢+ f ) 七。 ，。p c o s a j ，一p s i n a c o s f l k ， 整理后得到啮合方程，记为： r + ，+ p c o s a t a n 芦s i n 芦一e c o t a c o a f l 盲0 或 妒一啦c o t a c o s f 一p c o s a t a n p s i n 芦) 一0 根据上述运动学理论，得到共轭接触条件一般方程为： 丸一h ls i n 卢一l i c o s p + e fc o t a ic o s i t 0 2 4 3 斜齿条齿面上的瞬时接触线 联立斜齿条成形面方程式与共轭条件接触式： x ，一p is i n a f 一乌 y p 一一( p fc o s a f - 6 ) c o s ，+ s i n 卢 z p = ( p ic o s 一l i ) s i n f l + h lc o s f l r k 串k u ls i n p i tc o s f l + e ic o r o t i c o s 一0 每绘定一个齿轮转动参数霞，方程组就确定一条接触线。 2 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 4 4 齿条一齿轮啮合面方程 将斜齿条成形面方程从辅助坐标戏中移轴至静止坐标系s 中，并与共轭接 触条件式联立即可。 x 。= p is i n a l e l y p = 一( p ic o s o f j l i ) c o s i + “fs i n , 6 z 。- ( p - c o s t ，j 1 1 ) s i n f l + “fc o s 3 r k k u i s i np l i c o s f l + e l c o t c t i c o s f l 一0 消去“j ，则得到成形过程中每个齿与齿轮的啮合面方程： x = p js i n q e i y = 一( p fc o s a f e jc o t a i ) c o s z z ；n c o s a , s i n 卢一i + q c o t q c o s 卢c o t 卢+ 气丸t 芦 2 4 5 端面齿廓方程 如图2 - 5 建立坐标系，其中，s ，( d ，x l ，l ，z 。) 和s ：( d ：，x ：，y 2 ，z ：) 分 别为与齿条和齿轮相固连的动坐标系，s ( o ，盖，y ，z ) 为固定坐标 系，s ，( d ，x ，匕，z ，) 为辅助固定坐标系。 太原理工大学硕士研究生学位论文 图2 - 5 四个坐标系 f i g u r e2 - 5d e r i v a t i o no ff o u rc o o r d i n a t et r a n s f o r l a a t i o n 欲求端面齿廓方程，只需将d z 。k z 。中的m 点转换到0 一x ：y 2 z ：坐标 系中，并满足啮合方程即可。 坐标交换矩阵图2 中各个坐标系之间的变换矩阵如下： 从s 。到s 的变换矩阵为： 脯i = 从s 到品的变换矩阵为： c o s 柙 5 l i t 行 o 0 一s i n 讦00 c 种o0 0i o 00 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 肌a 一 从s ，到s ：的变换矩阵为 舶p io 0c 0 6 r 0s i n ， 00 c 锦 - s i n 艘 0 o 0 一s i n ， c 0 6 ， 0 s i n 0 c 诒0 01 00 从s ，到s ：的变换矩阵为：m ：。= m ：，。m 。 由此得到双圆弧齿轮齿面通用方程： _ 一x 1 ( 口，p ) r + y 。( a ，卢) 7 + z 。( a ，芦) 云 x 1t ( p s i n a + r + e ) c o s 妒+ ( p c o s f 2 + e c o t a ) s i n a s i n 妒 y l 墨- ( p s i n 口+ y + e ) s i n q ，+ ( p c o s a + e c o t a ) s i n a c o s 妒 f z l 一一七妒+ e t a n l s i n , 1 c o t a p c o s a c o s a 一 2 5 影响双圆弧齿轮传动误差的因素和分析 一对刚性的、无制造和安装误差的、符合定传动比传动的共轭啮合齿 廓能够传递准确、均匀的角度运动。而在生产实际中，由于各种误差和齿 轮运转过程中齿面的磨损、变