（材料学专业论文）固体“类流态”非线性模型的构建和特征参量的计算.pdf

中文摘要 在很多固态金属表面观察到尚未被人们认识的一种天然的非线性振荡花样 固体“类流态”。这种非线性振荡是一种非极端条件下新的物质存在状态， 普遍存在于各类固体物质中。对具有典型非线性振荡特征的录像资料进行计算机 图像分析，证实这种振荡过程在时间和空间呈现分形特征。而在局部显示出无规 律性、随机性。测定系统李亚普诺夫指数表明类流态中存在着混沌运动。 本文在前人研究的基础上，利用普通的光学显微镜、原子力显微镜( a f m ) 高速摄像机、对c u z n a l 合金表面的“类流态”现象进行了观察和研究。并借 助计算机图像处理技术系统研究了这种非线性振荡现象的形貌、特征以及动力学 规律。用计算机编程技术，结合混沌理论，构建了系统的非线性动力学模型，并 计算了系统的非线性特征参量，包括相空间重构、r s 分析、l y a p u n o v 指数计算 和k 熵计算。r s 分析表明，类流态系统具有明显的h u r s t 效应，是过去与未来 正相关的分数布朗运动。把神经网络应用于非线性建模、预报，结果发现，在一 定的预报长度之内，预测数据可以较好的反映原始数据的趋势，相对误差可以控 制在2 以下，预报结果较好。与以往的非线性自回归模型相比，神经网络方法 具有效率高、计算快、建模数据量的多少不影响预测结果等优点。提出b p 网络 可以作为一种非线性预报的较好方法。另外，用v b 、v c + + 混合编程的方法设 计编制了非线性系统特征参量计算软件，该软件使用简便，界面直观，适用于对 非线性时间序列进行分析计算，为分析复杂的非线性系统提供了较好的工具。 关键词：类流态、分形、混沌、相空间重构、分数布朗运动、非线性自回归 模型、神经网络 竺! 型里 a b s t r a c t an a t u r a ln o n l i n e a ro s c i l l a t i o np a t t e r n sn a m e d q u a s i f l u i ds t a t e o nt h es t i r f a c eo f m a n ys o l i d - s t a t es u b s t a n c e si so b s e r v e d ，w h i c hh a s n tb e e nd i s c o v e r e db yo t h e r sy e t ， t h ep b e n o m e n o nr e v e a l san e wm a t t e re x i s t e n c es t a t ej nn o n e x t r e m ea r d u o u s c o n d i t i o n s ，w h i c he x i s ti na l lk i n d so fs o l i d g e n e r a l l y r e s u l t s o f c o m p u t e r p r o c e s s i n g i m a g ei n d i c a t et h a tt h e ye x h i b i tt y p i c a lf r a c t a lc h a r a c t e r si ns p a c ea n dt i m e ， a n di r r e g u l a r i t ya n dr a n d o m i c i t yi nl o c a l n l ea n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o no fl y a p u n o v e x p o n e n t ss h o wt h a tt h e r ea r ec h a o t i cm o t i o n si nt h es y s t e m i n t h i sp a p e r , w eh a v eo b s e r v e da n ds t u d i e dt h em e t a l l o g r a p h i cs t r u c t u r eo f c u z n a 1a l l o yb yt h eo p t i c a lm i c r o s c o p e ，a f m ，h i 曲一s p e e dv i d e oc a m e r aa n d s t u d i e ds y s t e m a t i c a l l yt h e a p p e a r a n c e ，c h a r a c t e r i s t i c sm a dd y n a m i c sl a wo ft h i s n o n - - l i n e a ro s c i l l a t i o np h e n o m e n o nb yc o m p u t e ri m a g e p r o c e s s i n gt e c h n o l o g yb a s e d o np r e c e d i n gr e s e a r c h e r s t h eh o d l i n e a rd y n a m i c sm o d e lo ft h es y s t e mw a s c o n s t r u c t e d a n dn o n l i n e a rt y p i c a lp a r a m e t e r sw e r ec a l c u l a t e di n c l u d i n gp h a s es p a c e r e c o n s t r u c t i o n ，r sa n a l y s i s ，l y a p u n o ve x p o n e n t sc a l c u l a t i o n ，a n dk o l m o g o r o v e n t r o p yc a l c u l a t i o nb yt h ec o m p u t e rp r o g r a m m i n gt e c h n o l o g yc o m b i n i n gt h ec h a o t i c t h e o r i e s r sa n a l y s i sr e v e a l st h a tq u a s i f l u i ds t a t eb e l o n g st of r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n w i t hat y p i c a lh u r s te f f e c t b y a p p l y i n gn e u r a ln e t w o r k t on o n - l i n e a r m o d e l i n ga n df o r e c a s t i n g w eg o tt h eb e t t e rs i m u l a t i n gr e s u l t sw i t he r r o r su n d e r2 i na d d i t i o n i ta l s oi n d i c a t e dt h a tt h en e u r a ln e t w o r km e t h o dh a sm a n ya d v a n t a g e s c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a ln o n - l i n e a ra u t o r e g r e s s i o nm o d e lm e t h o d b e c a u s ei t s m o r ee 衔c i e n t q u i c k e r , a n dt h ef o r e c a s t i n gr e s u l t sw o u l dn o tb ea f f e c t e db yt h e n u m b e r so ft i m es e r i e sd a t a m o r e o v e r ，t h ef l o n - l i n e a rt y p i c a lp a r a m e t e r sc a l c u l a t i o n s o f t w a r ew a sd e s i g n e du s i n gv b v c + + c o m b i n i n gp r o g r a m m i n g t h es o f t w a r ei s u s e dc o n v e n i e n t l ya n dh a sas m o o t hi n t e r f a c e ，p r o v i d i n ga na d v a n t a g e o u st o o f o rt h e a n a l y s i so f c o m p l e xn o n l i n e a rs y s t e m s k e yw o r d s ：q u a s i - f l u i ds t a t e ，f r a e t a l ，c h a o s ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ， f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，n o n - l i n e a ra u t o - r e g r e s s i o nm o d e l ， n e u r a ln e t w o r k i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘雯或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 季香贸 签字日期：弘v r年f 月，f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤壅盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：专奋 签字日期：r 年月f r 日 r ， 一缈免 万年 高町 名 期 签 日 师 字 影 整 协皿 第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 人们常说“物质有三态”，指的是固、液、气三态，这是从外部宏观特征来 说，但是从物质的内部结构来说，实际上存在更多的状态。如一些有机物质，介 于液态和晶态之间，存在一种既具有流动特性，又具有某些类似晶体的光学性质， 这种物质被称为液晶态或介晶态。气体被加热到一万k 以上高温或者被辐射之 后，原子可能会电离，整个气体将成为带正电的离子和带负电的电子所组成的集 合体，而且正负电量相等，这叫做等离子态。本文所述的“类流态”是介于固体 和流体之间的一种状态，这种状态的特殊性和复杂性使得用非线性方法研究物质 结构成为必然。 1 2 非线性动力学的发展及研究方法“1 1 2 1 非线性动力学的发展概述 人们对线性物理系统的动力学行为研究由来己久，而且己很成熟。对非线性 物理系统的动力学行为的研究，1 8 8 0 年之前，主要是研究系统运动方程的解析解， 用微扰法和运动积分。在物理学方面，研究经典力学、天体力学、流体力学和气 体动力学。在数学方面，有相应的抽象数学概念：非欧几何、集合论、康托尔集、 超穷数等。1 8 8 0 到1 9 1 0 年这3 0 年间得到了非线性偏微分方程积分的一般原理； n 体问题的运动的唯一独立积分：l y a p u n o v 运动稳定性、l y a p u n o v 指数：d j k o r t e w e g 和gd e v r i e s 阐明了有限幅度孤立水波的存在，对这一奇异的物理现象 进行了研究，提出了著名的k d v 方程；p o i n c a r e 进行了状态空间内定性大范围动 力学研究，发展了拓朴分析，推广了分岔概念，引入了状态空间内的映射( 差分 方程) 和p o i n c a r 罐数( 速度场内闭曲线的指数) 。之后的2 0 年间，在数学一k ，发 展了维的理论、不动点理论、拓朴学和微分几何，b i r k h o f f 研究了解的一对一 变换的抽象动力学，着重研究了渐近集合的各种范畴( 各种周期集，双曲和椭圆 不动点的邻域，不连续型的递归运动等) 。在物理学上，v a nd e rp o l 广泛研究 了极限环和张弛振荡器，提出了奇异摄动理论，他和v a nd e rm a r k 在1 9 2 7 年研 天津大学硕士学位论文 究了受迫v a nd e rp o 波尔振荡器，观察到非线性系统的重要物理现象：分谐的 产生、滞后，参数空间内的有噪区域和各种分岔现象。 在2 0 世纪3 0 年代，数学方面，安德鲁诺夫和蓬特里亚金引入了运动方程的 结构稳定性概念、梯度动力学和符号动力学，嵌入概念也在这十年中诞生。在这 期间，还诞生了数学生物物理；发现了液体中均匀揣流的k o l m o g o r o v 谱。第二 次世界大战结束后，卡特赖特、利特尔伍特、莱文森在数学上证明了受迫v a f ld e r p o l 振荡器有一簇像掷钱币的所有序列族那样“混沌”的解；b i r k h o f f 抽象不连 续动力学的物理动力学例子首次阐明了混沌吸引子。冯诺依曼研究了自复制自 动机问题，引入了元胞自动机。乌兰研究了人机相互作用，寻找某种非线性映射 的渐近性，研究元胞自动机的生长模式。霍普夫研究了n 维实欧几里德空间中不 动点到极限环的局部分岔。冯诺依曼证明了普适性的存在、自复制自动机的存 在。f e r m i p a s t a u l a m 研究了张弛到平衡的过程，找到了非单纯的张弛( 非玻尔 兹曼，非费米) 而是近乎周期的行为( 在复杂系统中的简单运动) ，即f p u 现象。在 这期间，k o l m o g o r o v a r n o l d m o s e r 即k a m 证明了对一特定的系统解族，其哈密 顿满足庞加莱理论，当哈密顿被稍作微扰时，正则变换存在新的作用一角度变量， 在微扰趋向于零时，此族包括大部分的解，大多数环面畸变而又不被破坏( 这些 环面保持在相空间中，被保持的环面叫k a m 面) 。在这期间，提出了a r n o l d “猫 映射”和斯梅尔马蹄映射。到了6 0 年代，重新发现非线性色散介质中的孤立子， 研究了多个孤立子构形中的孤立子稳定性，非线性基础集合；在化学中，发现了 别洛乌索夫一扎博京斯基相干、周期振荡、高维空间中的低维吸引子：l o r e n z 作 了对b e n a r d 问题的n a v i e r - - s t o k e s 常微分方程近似，研究了方程解的分岔到混 沌动力学一自治系统中的奇异吸引子；b b m a n d e l b r o t 提出分维集概念，引人拓 扑熵概念。 1 9 7 0 1 9 8 0 年，提出纽霍乌斯一吕埃勒一塔肯理论：大多数系统几乎是一样的， 就像一个系统，其动力学由三个或更多个周期性部分构成，它将有一个奇异吸引 子。这说明分岔到混沌是从一个不动点到周期，然后是倍周期，再后是端流( 奇 异吸引子) ，他们引入了奇异吸引子定义和特性。迈特罗波利斯一斯坦发现了很多 一维映射分谐图形的定性普适特性，在此同时f e i g e n b a u m 发现了l o g i s t i c 映射 和相似映射的分岔序列中的定量普适性，得到了f e i g e n b a u m 常数和重整化概念； 扎哈罗夫等人发现很多偏微分方程中存在孤立子：逆散射变换的广义性，戈洛布 等人做了流体动力学系统中分岔序列的实验：空间图形、阵发空间图形以及和理 第一章绪论 论上“普通的”预测不同的分岔序列；达维多夫发现蛋白质分子可能是孤立子能 量传输。 近2 0 年间，人们研究了无限维吸引子；均匀化学振荡器中的分岔实验一吸引 子的嵌入维：卡达诺夫格林一麦凯在标准映射中用重整化方法研究了 k o l m o g o r o v a r n o l d 莫色环面的破裂：研究了高维中孤立子相互作用：“共振”； 研究了元胞自动机：空间图形和生长比普适型简单但非寻常的自复制；固体器件 中分岔的普适行为：混沌的实验维；标准映射的混沌区域中的非扩散行为“粘 性岛”效应；l o r e n z 方程中同宿分岔的拓扑特性：分形流域边界；空间有序对暂 时混沌，空间图形竞争导致混沌：空间一时间熵概念；量子混沌等【l 】。 1 2 2 非线性物理系统的研究方法简介 一个物理系统，就其本质而言是一个动力学系统。在给定的时间内，系统由 n 个变量x 。，x z ，x 3 ，x n 的值定义，动力学行为则由n 个常微分方程表示： 主l = z ( x l ，x 2 ，x ，f ) 量2 = ( x 1 ，x 2 ，x ，t ) l t 2l ，( x 1 ，x 2 ，一，x ，t ) 这n 个独立变量可表示任意的物理量，例如位置、速度、温度、浓度等等。 上述n 个微分方程叫做状态方程，变量x 。，x ”，x n 构成一个n 维向量，叫做状 态向量，它在n 维状态空间内。对一个物理系统，如果x 。，x 一，x n 表示一物体 的位置，位置对时间t 的导数就是该物体运动的速度，因此含有时间、位置和运 动速度的状态方程可以完全描述物体的运动过程。状态方程中显含时间t ，系统 称为非自治的；若不显含t ，则系统就称为自治的。根据运动物体位置和时间的 关系，可以作出x t 图，也可以根据物体运动速度和时间的关系作出i t 图，例 如单摆运动中，摆动角度对时间的关系由正弦函数表示，而摆动角速度对时间的 关系则由余弦函数表示。能否用一张图来表示运动特性? 答案是可以的：办法是 消去时间t ，就能合并x t 图和量一t 图，得到x i 图，这就是相图( 也叫相平面图) 。 在单摆的小角度运动中，相图是椭圆( 对不同初始角，椭圆的大小不同) ，它表示 角位置和角速度之间的关系。一对x 和j 决定了一个相点，一个相点就代表一种 状态。用相图来研究系统的运动很方便，它不需要考虑时间( 如果要考虑时间， 也可以画出x i t 图，像单摆运动就要作三维图) ，特别是对周期运动，相点的 运动轨迹就是一条闭曲线。 第一章绪论 论上“普通的”预测不同的分岔序列；达维多夫发现蛋白质分子可能是孤立子能 量传输。 近2 0 年间，人们研究了无限维吸引子；均匀化学振荡器中的分岔实验一吸引 子的嵌入维；卡达诺夫格林麦凯在标准映射中用重整化方法研究了 k ( ) l m o g o r o v a r 【1 0 l d 莫色环面的破裂：研究了高维中孤立了相互作用；“共振”； 研究了元胞自动机：空问图形和生长比普适型简单但非寻常的自复制；固体器件 中分龠的普适行为：混沌的实验维；标准映射的混沌区域中的非扩散行为“粑 性岛”效应；l o r e n z 方程中同宿分岔的拓扑特性：分形流域边界：卒间有序对暂 时混沌，空间图形竞争导致混沌；空间一时问熵概念；量子混沌等j 。 1 2 2 非线性物理系统的研究方法简介 一个物理系统，就其本质而言是一个动力学系统。在给定的时问内，系统由 h 个变量x ，x 。，x - x h 的值定义，动力学行为则由n 个常微分方程表示： i ，= ( x l ，屯： i 2 = ( 置，x 2 ， 这n 个独立变量可表示任意的物理量，例如位置、速度、温度、浓度等等。 上述n 个微分方程叫做状态方程，变量x 。，x 矿”，x n 构成一个n 维向量，叫做状 态向量，它在n 维状态空间内。刘一个物理系统，如果x ，x ”，x n 表示一物体 的位置，位置对时间t 的导数就是该物体运动的速度，因此含有时间、位置和运 动速度的状态方程可以完全描述物体的运动过程。状态方程中显含时间t ，系统 称为非自治的；若不显含t ，则系统就称为自治的。根据运动物体位置和时间的 关系，可以作出x t 图，也可以根据物体运动速度和时间的关系作出jt 图，例 如单摆运动中，摆动角度对时间的关系由正弦函数表示，而摆动角速度对时嶂j 的 关系则由余弦函数表示。能否用一张图来表示运动特性? 答案是可以的：办注是 消去时间t ，就能合并x t 图和i - t 图，得到x i 图，这就是相图( 也叫相平面图) 。 在单摆的小角度运动中，相图是椭圆( 对不同初始角，椭圆的大小不周) ，它表示 角位置和角速度之间的关系。一对x 和j 决定了个相点，一个相点就代表一种 状态。用相图柬研究系统的运动很方便，它不需要考虑时间( 如果要考虑时间， 也可以画出x 一女一t 图，像单摆运动就要作三维图) ，特别是对周期运动相点的 运动轨迹就是一条闭曲线。 运动轨迹就是一条闭曲线。 天津大学硕士学位论文 研究非线性物理系统常用的方法是几何方法，这种方法在二十世纪初就被广 泛使用。几何动力学的奠基者是庞加莱，他首先看到了研究系统动力学轨迹在状 态空间中拓扑结构上的用途。一个系统可以用一组最少的变量来描绘其全部动力 学特征，这组变量构成的向量就是状态向量，它在状态空间内代表了一个状态， 或者一个相。相点在状态空间内运动形成状态轨迹，研究系统的状态轨迹就得到 了它的动力学特性。庞加莱奠定了状态轨迹在研究非线性系统中的应用，而 b i r k h o f f 的抽象动力学研究则加强了庞加莱的理论基础。 耗散系统是经常会遇到的物理系统，例如具有阻尼的振动系统就是一个耗散 系统，它的振幅会随时间减小以致停止振动。这种系统有个特点：其状态集所占 的状态空间范围会随时间缩小，这种范围的收缩看来可以简化状态空间内轨迹的 拓扑结构( 所谓拓扑就是在一个集合上给定适当的结构，使之能够定义极限、连续 等概念) 。于是一个无限维状态空间内复杂的动力学系统能够在个几维的子空 间内决定其最终行为。一些低维系统的实验观察，如化学反应动力学等，使人们 想到很好地理解动力学的低维数学模型一定有助于研究更复杂的耗散系统。 平均法是研究非线性物理系统的近似方法，它的思想是系统的运动由两个不 同的时间标尺来表征( 例如一个高频振荡和它的慢漂移) ，可以在“快”时间内作 平均而得到个新的系统描述。 1 2 3 非线性基本理论 1 2 3 1 耗散结构 从热力学的观点来看，在自然界中有两种有序结构，一种是象晶体中形成 的规则有序结构，或者象冰晶、雪花的规则结构，它们的特征是，即使在孤立的 环境中和平衡条件下也可维持，而不需要和周围的环境进行物质和能量的交换。 但另有一种有序结构是在宏观范围里呈现的时空有序，可以说是一种统计的有 序。这种有序只能在非平衡的条件下通过和周围环境进行物质和能量的交换才能 维持，一旦交换停止下来，这种结构就呈现无序转变。p r i g o g i n e 把这种在开放和 远离平衡的条件下，在与外界环境交换物质和能量的过程中通过能量耗散过程和 内部非线性动力学机制经过突变来形成和维持宏观空有序的机构叫做“耗散结 构”( d i s s i p a t i v es l r u c t u r e ) ，4 1 。 耗散结构理论是以普利高津为首的布鲁塞尔学派提出的一种广义热力学理 论。它研究系统怎样从混沌无序的初态向稳定有序的结构组织演化的过程和规 第一章绪论 律，并且力图描述系统在变化临界点附近相变的条件和行为，故也称之为非平衡 系统的自组织理论i 引。 1 2 3 2 非平衡相变 非平衡相变是指在远离平衡的非平衡区中实现的相变，在近平衡的非平衡 区是不可能实现的。非平衡相变有一个相变点，而不是一个相变区域。也就是说， 非平衡相变是突变式的，它是量的随机涨落瞬间达到质变点而引发的物质结构的 飞跃，而不是由量变的逐渐积累所引起的质变。非平衡相变是在同一物态中的相 转变，而不涉及物态间的转变，也没有物态转变时潜热的释放和吸收。非平衡相 变点两侧的性质，与平衡态二级相变两侧的性质相似，非平衡态相变后形成稳定 无序的耗散结构本身，必须随时有外界的能量和物质的补充，以有助于维持耗散 结构本身的稳定，若一旦不能充分的供给外界的能量和物质，耗散结构立即瓦解。 这是与平衡相变完全不同的，平衡相变后的新结构是不需要外界供给能量和物质 来维持其稳定性的。总而言之，非平衡相变是耗散结构在特定条件下出现的一种 现象，与平衡相变相比有着更复杂的突变机制嘶，7 8 ，9 1 。 1 2 3 1 3 涨落 我们可以把形成耗散结构的现象更一般地叫做非平衡非线性现象，也可以叫 做自组织现象，因为它们好像是体系内部各个单元自己组织起来合作行动地结 果。不管把它们叫什么，它们都是不稳定地结果。在这种现象中，涨落的行为起 着决定性作用。因此对这类现象的研究也可以一般地叫做关于结构、稳定性和涨 落的科学。涨落可以认为是某种量的微小抖动。从其来源来看，可把这种随丰几过 程分为两种类型：一类是系统自身产生的，成为内部涨落，其微观作用机制是不 规则的热运动作用产生的。另一类涨落是外部引起的，可称之为外部涨落。在 定条件下外部涨落可能引发宏观系统行为的较大改变，尤其是处于某些特殊的分 支上的涨落往往被放大，使之对系统的变化去向具有更大的决定力i l 。 1 - 3 分形基本理论 1 3 1分形简介 分形( f r a c t a l ) 是于1 9 7 3 年由曼德布罗特首先提出来的，他对分形是这样 天津大学硕士学位论文 定义的：其组成部分与整体阻某种方式相似的“形”叫做分形。大量事实表明， 分形在自然界中广泛存在着，它所涉及的领域遍及数学、物理、化学、材料科学、 表面科学、生物等等各个领域。分形的研究受到如此广泛重视的原因可归结为： 一是它具有广泛而巨大的实用价值；二是它有着重大的理论价值，分形绘人们展 示了一类具有标度不变对称性的新世界，在此世界中可能有着新的物理规律和特 征 1 l 】。 云彩变幻莫测，极不规则：地震给人类带来巨大的灾难，难以预测；人体循 环系统的缠绕嵌套，奇异无穷；它们分属于不同科学领域，但是，它们却具 有一个共性，即自相似性，这也正是分形的一个重要特征。 1 3 2 产生分形的物理机制和分形的特征 过去，人们往往研究封闭系统与守恒系统。按照唯物辩证法的观点，任一 事物与周围的其它事物总是相互制约而存在，相互斗争而发展。从这个意义上来 说，自然界中所有系统均是复杂系统。按唯物主义认识论，人们认识自然的规律 性，总是由低级到高级、由简单到复杂。t h o m 的突变论、h a k e n d 的协同学、 p r i g o g i n e 的耗散结构新三论诞生以后，人们可以从封闭系统转向认识开放系 统、从守恒系统转向认识耗散系统，从平衡态过程转向认识非平衡态过程。从而， 非线性系统、耗散系统与随机系统便成为当今人们最感兴趣的研究领域【l “。 至今为止，人们在非线性耗散系统、随机耗散系统与具有随机外力约束的守 恒系统中发现过相空间具有分形结构。因此，非线性、随机性与耗散性是产生分 形的物理机制。 一个系统所表现出来的非线性主要来自两个方面：其一是来自系统内部的交 互作用，这是系统非线性的主要机制。其二是来自我们所选择的时空表象。我们 将因系统内部交互作用引起的非线性叫做系统的内禀非线性，它的物理本质是耗 散性，而耗散性又是随机性的后果。所以，系统相空间的分形结构是系统具有耗 散性的几何表现i l “。 从上面的分析可以看出，产生分形结构的物理机制归结到系统的耗散性，或 者说耗散性是产生分形的必要条件。 分形具有对称性、自相似性与自仿射性。几何物关于某个群体具有不变性； 直线、平面以及超平面具有平移不变性；圆、球以及正定二次型具有旋转不变性。 这时我们称平移群为对称群。用对称性原理的语言来讲，直线、平面具有平移对 第一章绪论 称性，而圆具有旋转对称性。在物理学上，将上述对称性叫做时空对称性。除了 研究时空对称性之外，还要研究物理系统的内禀对称性，即规范对称性。对称性 原理是数理科学的重要原理之一，一种对称性一定存在一个与之相应的守恒定律 1 4 , 1 5 , 1 6 1 。 1 3 3 分形的两种定义及常见的分形维数 m a n d e l b r o t 给分形的两个定义分别为： 定义一：设集合a 毫斯道夫维数是d 。如果，集合的毫斯道夫维数d 恒大于 集合的拓扑维数，我们称集合是分形集。 一般地集合的拓扑维数等于该集合的欧氏维数。在上述定义中没有其它任何 条件的要求，不同文献中提到的分形维数集合、毫斯道夫测度集合、或非规整集 合等均指的是分形。 到了1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 给出了分形的另一种定义 定义二：组成部分与整体以某种方式相似的形叫做分形。 由定义二可以看出定义中突出了相似的作用，反映了自然界中很广泛的一类 物质的基本属性：局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等 方面具有统计意义上的相似性。由此看出在强调白相似作用的同时，定义二只强 调了形态。定义一比定义二内涵要广泛的多。 由分形的定义可知，在分形中使用了毫斯道夫测度，这要求描述分形结构的 物理的或力学的量必须具有分数量纲，或简称具有分形量纲( 分数量纲数) ，这 就是分形中产生的测度观转变的飞跃。常见的几种分形维数包括： 1 ) 毫斯道夫维数d 。：l i m l g _ n ( a ) 3 ) 关联维数d ，：l i m _ l g c ( a ) j o l 它盯 4 ) 广义维数 。，= 。l i + r a 。s 1 , g ( 盯盯) - 譬 鳃 i i d 数维息信 2 天津丈学硕士学位论文 5 ) 相似维数见：里善 l g ( 二) 我们一般用s a n d b o x 法来测定毫斯道夫维数与信息维数2 l 。 1 4 混沌理论简介 远离平衡的系统可以经过突变进入具有时空结构的状态，还可能经过突变进 入混沌状态。混沌态和耗散结构还可能交替出现。这一切成为8 0 年代的重要研 究课题。混沌是非常普遍的自然现象，比有序更普遍。在一定意义上混沌状态比 无理数要多得多。可以说自然界中存在着有理序( 周期性) 、无理序( 准周期性) 和混沌序( 内在随机性) ，而混沌序可能比前两者更“高级”i ”，1 。 1 4 1 混沌的背景1 1 9 , 2 0 1 ： 1 9 6 3 年l o r e n z 在其著名论文决定论非周期性中讨论了天气预报的困难 | i c r ( xy ) 夕= 一船+ h y ( 1 - 1 ) i j = x y b z 方程右端不显含时间，它是一个完全确定的三阶常微分方程组。方程中三个 参数盯，b ，如取b = 8 3 ，盯= 1 0 ，改变参数r ，当， 1 时，其解是周期的，看起来很混乱。这便是在耗散系统中，一 1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 联名发表了著名 第一章绪论 论文论湍流的本质，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机理的新观 点，并证明了l d l a n d a u 关于湍流发生机制的权威理论的不证确性。并引入“奇 怪吸引子”的概念，证明与这种吸引子有关的运动即为混沌。 1 9 7 5 年美国华人学者李天岩和美国数学家y o r k e 在美国数学月刊发表 了周期3 意味着混沌的著名文章，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。 文章标题中的“混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学语汇中。 1 9 7 6 年美国生态学者m a y 在美国自然杂志上发表了具有极复杂的动 力学的简单的数学模型一文，指出在生态学中一些非常简单的确定性的数学模 型却能产生看似随机的行为。如 t 。+ i = a x 。【1 一z 。j ( 1 2 ) 称之为人口( 或虫口) 方程，即著名的l o g i s t i c 模型。该模型参数五在一定范围 变化时，它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，向人们表明 了混沌理论的惊人信息，如图1 1 所示。 1 9 7 8 1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 等人在m a y 的基础上独立地发现了倍周期分岔过 程中分叉间距的几何收敛率，并发现著名的f e i g e n b a u m 常数。f e i g e n b a u m 还把 相变临界态理论中的普适性、标度性、重正化群方法引入混沌研究，把混沌学研 究从定性分析推进到定量计算阶段，成为混沌学研究的一个重要的里程碑。 进入9 0 年代，混沌在许多领域得到或开始得到广泛应用，如声学、光学、 湍流、化学反应中的混沌变化、地震的混沌特性、天气长期预报的“蝴蝶效应”、 商业周期中蕴涵这有序性、股市细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关 系等。 天津大学硕士学位论文 二。= 3z ：= 1 + 4 6 图1 - i x 。= a x 。0 一x 。) 的迭代结果1 ”1 f j g 1 1 i t e r a t i v er e s u l to f t h ee q u a t i o nx n + l = 缸。( 1 一。) 1 4 2 混沌现象及其特征 在井然有序的运动中，我们经常可以看到一些紊乱的、混乱的现象。不论是 从自然到社会，还是从宏观世界到微观世界，紊乱和混乱似乎无处不在。例如， 自然界的风雨突变，熔岩在地下奔突，火山爆发、地震、地磁场方向的倒转，人 类心脏的纤细颤动和脑电图的无规则波动等等。所有这些紊乱、混乱、杂乱、无 序、无组织、无规则的现象，都属于混沌现象。 混沌是一个很难精确定义的数学概念，混沌产生于事物的内在原因，并不是 由于某些外部的噪音或干扰，面是来自于不规则、不可预测的内在随机性。就目 前的认识水平，可以粗略地把混沌说成是由系统内在的非线性动力学本身产生的 不规则( 非周期) 的宏观时空行为，混沌绝不是简单的无序，而更像是不具备周 期性和其他明显对称特征的有序态。 混沌现象溶合了表观的无序性和内在的规律性，具体表现特征有怛1 2 2 ”l ： ( 1 ) 内在随机性：混沌现象产生的根源在系统内部，而不在外部。内在随 机性的另一方面是“局部不稳定性”。混沌态与有序态的不同之处在于，它不仅 具有整体稳定性，而且还具有局部不稳定性。特别是初值敏感性。 第一章绪论 ( 2 ) 分维性质：混沌态具有分维性质，但其非整数维用来描述系统运动轨 道在相空间中的几何形态。混沌运动的轨道在相空间中的某个区域内无穷次的折 迭，构成了一个有无穷层次的自相似结构奇怪吸引子。 ( 3 ) 标度律、普适性和费根鲍姆常数：混沌现象是一种无周期的有序态， 具有无限层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分 辨率足够高，就可以从中发现小尺度混沌的有序运动花样，故具有标度律性质。 所谓普适性，就是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征，它不依赖具体的系统 以及系统的运动方程而变。混沌中有几个自然常数，最重要的是费根鲍姆常数， 它反映了分翁序列的收敛速率。 1 4 3 动力学系统f 2 4 】 混沌学研究的是动力学系统中一类复杂的非平庸行为( 性态) ，叫做混沌运 动。所谓动力学系统，或称动态系统，指的是状态随时间而改变的系统。现实世 界存在各种动力学过程。天体运行、海陆迁移、气象变化、江河奔流、化学反应、 生物种群盛衰、机器运转、导弹飞行、市场波动、科学发展、政治动荡，甚至学 生的解题过程，都是动态的。一些随时间而演变的现象，都是动态系统。 给定一个动力学系统，如果它的后- - n 状态取决于前一刻状态，未来的行为 取决于现在的行为，彼此之间的关系是确定的，便称之为确定性系统。反之，称 之为不确定性系统。地球绕太阳旋转，导弹沿设计的轨道飞行，是确定性系统。 投掷硬币，布朗粒子的无规运动，是不确定性系统。存在两类基本的不确定性， 一种是随机性，另一种是模糊性。目前的动力学研究尚未涉及模糊性现象，所谓 不确定性系统指的是随机系统，即前一刻状态与后一刻状态之间的关系有随机 性、现在与未来之间仅在统计意义上具有因果联系。 动力学撇开具体过程的特殊起源、性质和环境，把系统抽象为某种数学方程 来描述。通常认为时间是连续变化的。状态随时间连续改变的系统，称为连续系 统，用连续的数学方程描述。当各种事件和结果仅在离散时间上出现或被我们观 察时，需要引进离散时间的概念。比如用计算机处理数据，我们可以按离散的时 阃间隔采样，就把连续过程转化为了离散过程。从某个时刻开始，随着固定时刻 1 、2 、3 、，按照确定的规则把某一时刻的变量值与相邻时刻的变量值联系 起来所得的方程，叫做差分方程，是描述离散动力学系统的数学工具。在动态系 统中，运动方程的解代表系统的一种演化行为，对应于相空间中的一条曲线，称 天津大学硕士学位论文 为相轨道或相轨迹。连续系统的轨迹是相空间中的连续曲线，有时又称之为流 ( f l o w ) ：离散系统中的轨道是由相空间中离散的点组成的序列。 对于任何动力学系统，都可以设想同一种类型的几何图像。有相空间，其坐 标是所有变量的值；有相图，即一族表示从所有可能的初始条件出发的所有可能 行为的盘旋曲线，这些曲线为微分方程所刻划。这一思想是一大进展，因为我们 无需关心微分方程解的精确数值，而可以把注意力集中于相图的宽广范围，使人 发挥其最大优势( 即惊人的图像处理能力) 。作为把全部潜在行为编织起来的一种 方式( 自然界从中选择实际观察到的行为) 的相空间图，在科学中已被广为应用。 1 4 4 奇怪吸引子 混沌有其自身颇为古怪的几何学意义，它与被称为奇异吸引子的离奇分形形 状相联系。吸引子是一个系统的行为的归宿，或者说是系统的行为被吸弓1 到的地 方。蝴蝶效应表明，奇异吸引子上的详细运动不可预先确定，但这并末改变它是 吸引子这个事实。奇怪吸引子具有复杂的拉伸、扭曲、折迭的结构。总的说来， 奇怪吸引子是系统总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物。无穷次迭代使奇 怪吸引子具有嵌套的自相似结构和非整数的维数。奇怪吸引子是一种分形图形 【2 5 】，是关于混沌运动相空间的一个特征量。 奇怪吸引子具有以下特征： ( 1 ) 奇怪吸引子上的运动对于初始条件十分敏感。进入奇怪吸引子的部位 稍有差异，运动的轨道就截然不同。 ( 2 ) 奇怪吸引子作为相空间的子集合，往往具有非整数维数。 ( 3 ) 即使原来的微分方程连续地依赖于参数，奇怪吸引子的“结构”也完 全不是连续地随参数变化。 奇怪吸引子是不稳定和耗散两种因素竞争的结果，识别奇怪吸引子的定性和 定量判据是【2 1j ：至少有一个最大的的李雅普诺夫指数大于零、有限的维数和有限 的正测度熵。 总之，奇怪吸引子至少有一个正的李雅普诺夫指数，同时运动是落在奇怪吸 引子一匕。 第一章绪论 1 4 5 研究混沌现象的意义与前景 研究混沌运动，有利于人们深入了解非线性动力系统，包括湍流等远离平衡 态的开放系统：另外，混沌运动可以确定方程的“随机行为”，这种行为是有方 程内涵的，是一种在给定参数条件下能重复再现的随机行为。 混沌运动作为自然界的一种普遍行为，除有上述理论意义外，必然还会有重 要的应用价值，例如，在医学方面，混沌运动的概念应用于病理学，尤其是脑神 经和心脏的病理学方面口，在计算机技术研究中，出现了混沌计算机技术。在社 会经济方面，工业发达国家已把混沌理论用于金融领域【2 ”。对时间序列数据用混 沌学进行分析，有可能用于医疗诊断、经济预测、地质勘查和地震预报等 2 s , 2 9 。 另外，由于许多领域都具有混沌特征，所以，混沌现象的研究加强了科学和技术 各领域的横向联系。 对于复杂动力学系统，我们希望将简单运动和混沌运动之间建立某种关系，即 阐明当参数变化时，如何由简单的运动状态向混沌运动状态过渡，一般成为通向混 沌的道路，目前研究较多的除像l o g i s t i c 映射这样由倍周期分叉产生的混沌外，还 有间歇分叉、二次h o p f 分叉和k a m 环面破裂。混沌应用可分为混沌综合和混 沌分析。前者利用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的功能，如人工 神经网络的联想记忆等；后者分析由复杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并 寻找隐藏的确定性规则，如时间序列数据的非线性确定性预测等。混沌的具体的 潜在应用可概括如下1 3 0 1 ： 1 ) 优化：利用混沌运动的随机性、遍历性和规律性寻找最优点，可用于系统 辨识、最优参数设计等众多方面。 2 ) 神经网络：将混沌与神经网络相融合，使神经网络由最初的混沌状态逐渐 退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网络逃离局 部极小点，从而保证全局最优，可用于联想记忆、机器人的路径规划等。 3 )图像数据压缩：把复杂的图像数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力 学方程代替，这样只需记忆存储这一组动力学方程组的参数，其数据量比原始图像 数据大大减少，从而实现了图像数据压缩。 4 ) 高速检索：利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初值的同时，将要检 索的数据和刚进入混沌状态的值相比较，检索出接近于待检索数据的状态。这种 方法比随机检索或遗传算法具有更高的检索速度。 5 )非线性时间序列的预测：任何一个时间序列都可以看成是一个由非线性 天津大学硕士学位论文 机制确定的输入输出系统，如果不规则的运动现象是一种混沌现象，则通过利用混 沌现象的决策论非线性技术就能高精度地进行短期预测。 6 ) 模式识别：利用混沌轨迹对初始条件的敏感性，有可能使系统识别出只有 微小区别的不同模式。 7 ) 故障诊断：根据由时间序列再构成的吸引子的集合特征和采样时间序列数 据相比较，可以进行故障诊断。 1 5固体表面的“类流态”现象研究背景 固体表面的穹廷流态”现象是高后秀教授在1 9 8 9 年在对铜锌铝合金的观察中 偶然发现的一种非线性振荡现象。当时，曾将这一现象误认为是形状记忆合金中 的热弹性马氏体相变，并将该研究内容在德国“实用金相”杂志上发表。后来进 一步深入研究发现这种现象是种常温常压下尚未被人们认识知的非线性过程。 该现象不仅在铜锌铝合金中存在，而且在钢、合金铸铁、铝合金