（水声工程专业论文）舰船辐射噪声的混沌特征提取方法研究.pdf

砸- i l 工业大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t u n d e r w a t e rt a r g e t sf e a t u r ee x t r a c t i o nh a sav e r yi m p o r t a n te f f e c to nu n d e r w a t e r a c o u s t i c s t h es h i pt a r g e t sr e c o g n i t i o nc a l lb er e a c h e du pb yt h en o n l i n e a rt i m es e r i e s a n a l y s i sm e t h o do fp h a s er e c o n s t r u c t i o nm a dc h a o sf e a t u r ee x t r a c t i o n i nt h i sp a p e r , s o m ew o r kh a sb e e nd o n et oe x t r a c tt h es h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a lo nt h eb a s i so f n o n l i n e a rm e t h o d sa n dc h a o st h e o r y , t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h ed i s s e r t a t i o ni sa s f o l l o w s ： 1 t h et a k e n s e m b e d d i n gt h e o r y i s e x p l o r e d a n d t w op a r a m e t e r so f r e c o n s t r u c t i o ni n c l u d i n gt h ed e l a yt i m ea n dt h em i n i m u me m b e d d i n gd i m e n s i o na r e e s t i m a t e d t h ed e l a yt i m eo fr e c o n s t r u c t i o ni sc o n f i r m e db yt h ea v e r a g em u t u a l i n f o r m a t i o nm e t h o d t h em i n i m u me m b e d d i n gd i m e n s i o no fr e c o n s t r u c t i o ni s c o n f i r m e db yt h ef a l s en e a r e s tn e i g h b o a r sm e t h o d t h ec o n c e p to fi n f o r m a t i o nf l o w a m o n gt h en o n l i n e a rs t a t ev a r i a b l ec a l lh e l p u n d e r s t a n d i n gt h en o n l i n e a re s s e n c e 2 n o n l i n e a rl o c a lp r o j e c tn o i s er e d u c t i o no nt h eb a s i so fp h a s es p a c e r e c o n s t r u c t i o ni ss t u d i e d t h ep r i n c i p l eo ft h i sm e t h o di st od e v e l o pt h el o w e rt i m e s e r i e si n t ot h eh i g h e rp h a s es p a c ea n dd e c o m p o s et h eh i g h e ri n t ot w oo r t h o g o n a l s u b s p a c e s ，t h e np r o j e c tt h es u b s p a c ew h i c hh a sl i t t l ee i g e n v a l u e st ot h ee i g e n v e c t o r s w h i c hh a sl a r g e re i g e n v a l u e s ，t h en o n l i n e a rl o c a lp r o j e c tn o i s er e d u c t i o nm e t h o dh a s b e e ni m p r o v e dg r e a t l yt or e c o v e rt h eo r i g i ns i g n a la n dt r a j e c t o r i e so f p h a s es p a c e 3 f e a t u r ee x t r a c t i o no fs h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a li se x p l o r e d i tc a r tb el e a r n e d t h a tc o r r e l a t i o nd i m e n s i o nc a nb eu s e dt oc l a s s i f yt h ed i f f e r e n tt y p e so fu n d e r w a t e r o b j e c t s ；t h e r ea r ep o s i t i v em a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t sa n dh 2e n t r o p y ，t h i s i n d i c a t e dt h a ts h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a l sa r ec h a o t i c 4 t h er e c u r r e n c ep l o t sa n dq u a n t i f i c a t i o nr e c u r r e n c ea n a l y s i so nt h eb a s i so f s t a t es p a c er e c o n s t r u c t i o na r ee x p l o r e d b ya n a l y z i n gt h er e c u r r e n c ep l o t so fs h i p r a d i a t e dn o i s ea n dc a l c u l a t i n gt h ep a r a m e t e r so fq u a n t i f i c a t i o nr e c u r r e n c ea n a l y s i s ，i t c a l lb el e a r n e dt h a tt h e r ea r es o m ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h er e c u r r e n c ep l o t so fs h i p r a d i a t e dn o i s ea n dt h ec h a o sp a r a m e t e rs u c ha sc o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ；s o m e p a r a m e t e r so fq u a n t i f i c a t i o nr e c u r r e n c ea n a l y s i sc a ni d e n t i f ya n dc l a s s i f y t h ea c t u a l u n d e r w a t e ro b j e c t ；r e c u r r e n c ea n a l y s i si san e wv a l i dn o n l i n e a ra n a l y z i n gt 0 0 1 1 1 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t k e yw o r d s ： c h a o s ，n o n l i n e a rt i m es e r i e sa n a l y s i s ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ，a v e r a g em u t u a li n f o r m a t i o n ， f a l s en e a r e s tn e i g h b o u r s ，n o n l i n e a rl o c a lp r o j e c tn o i s er e d u c t i o n ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ， m a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t s ，h 2e n t r o p y , r e c u r r e n c ep l o t s ，q u a n t i f i c a t i o nr e c u r r e n c ea n a l y s i s i i i 西北工业大学硕士学位论文绪论 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 水下目标被动识别技术是世界各国都十分重视的一个研究领域，无论是海洋 资源开发还是在国防建设都有重要的价值。但是，低信噪比水下目标信号的特征 提取和识别一直是信号处理领域的难点。一方面是涉及到国防军事上的机密；更 重要的原因是水下目标信号的多样性，以及海洋环境的复杂性。尽管多年来，很 多专家在这方面做过坚持不懈的工作，识别的性能有所提高，但根本性的问题并 未解决。 近年来，西方发达国家在降低水下潜艇辐射噪声方面取得的成果，给水下目 标信号检测和识别提出了很高的要求。因此，迫切需要开展针对复杂海洋环境噪 声干扰情况下水声信号处理的新理论、新方法研究。 舰船辐射噪声含有大量代表舰船特征的信息，传统的目标探测主要利用这些 信号的线谱特征，但是当目标信号很弱时，信号的谱特性完全被海洋背景噪声的 谱特性所淹没，基于频谱分析的线谱特征提取便受到很大的局限性。而且，传统 的基于频谱分析和随机系统理论的信号检测与处理方法，其基本假设是信号为平 稳、线性、高斯- 陛，但由于海洋信道的复杂性，舰船辐射噪声经过传播后变得异 常复杂，具有典型的非平稳、非线性、非高斯性。现代信号处理技术，如神经网 络、高阶统计量、时频分析、小波变换、混沌分形、自适应技术等，利用信号和 噪声的不同统计特性对信号特征进行提取和处理，在很大程度上改善了传统信号 处理的能力。应用现代信号处理解决舰船辐射噪声的检测、特征提取与识别问题 曰渐成为人们关注和研究的焦点。随着混沌理论以及非线性时间序列分析的逐渐 成熟，结合其他现代信号处理方法，舰船噪声信号的非线性和混沌研究也必将逐 渐深入，也将推动水下目标信号的特征提取和识别技术的进一步发展。 1 。2 研究动态及现状 水中目标检测与识别技术是水声领域的一个关键问题。此技术发展的初期主 要依靠有经验的声呐员进行。声呐员根据接收到的数据信息或听到的水声噪声， 西北工业大学硕士学位论文 ， 绪论 凭借以往积累的丰富经验对目标的出现和类别作出判决。随后发展的人机结合判 决方式，即首先由机器以视觉方式向声呐员提供更多的参数和特征，然后声呐员 再用听觉进行识别。这种传统方法的缺陷非常明显，在有些情况下声呐员是不允 许而且也是无法参与的，如鱼雷等，只能依靠机器装置进行自动检测和判决。因 此，以计算机为核心的水中目标检测和识别技术就成为研究的重点。 过去较长一段时期，人们一直以传统的信号处理理论作为水声信号处理的基 础，即以平稳性、随机性和线性来刻画水声信号，并在此基础上使用一些传统方 法如功率谱分析，相关分析等提取一些参数作为识别特征。尽管这些在当时满足 了一定的需要，解决了大量水声信号处理的实际问题，但是随着科学技术水平的 不断提高，舰船噪声越来越小，尤其是潜艇隐身技术的发展与应用，使得目标辐 射噪声大大减小，甚至低于海洋噪声，以致声纳接收到的信号信噪比很低，这对 传统的水声信号处理及识别方法提出了挑战，原有的技术水平已经无法进一步地 满足需求。 在水下目标探测方面，由于西方发达国家在从事降低舰船辐射噪声，尤其是 在降低潜艇辐射噪声方面取得了很大的成果，因此对我国的水下目标探测和识别 技术提出了更高的要求。为了提高舰船航行的隐秘性，一些发达国家的海军不惜 花费巨资从事降低舰船噪声的研究。据有关资料显示，自第二次世界大战以来， 西方发达国家的现代潜艇的总声级降低达6 0 分贝，这无疑对水声系统的研究提出 了新的挑战。近年来国内在这一方向的研究也取得了许多成果。陈捷等人提出了 舰船噪声功率谱的多重分形特征，研究了多重分形的小波变换分析方法，提出了舰 船噪声的奇异测度特征参数，对实测舰船噪声数据的处理结果表明可以由此提取新 的舰船目标特征。李亚安【2 1 等人提出了利用基于神经网络的混沌模型进行局部预测 的棍沌检测新方法，利用主元分析法进行相空间重构减小噪声原理，提出一种基 于四阶累计量函数构造胁方差矩阵的方法，能有效地抑制叠加在混沌信号中的高 斯噪声和对称分布噪声。侯平魁【3 】等人讨论水下目标辐射噪声信号中非线性问题， 运用替代数据方法，分析了水下目标辐射噪声信号中的非线性成分，得出结论： 水下目标辐射噪声信号中存在非线性成分。 1 3 本文主要工作 本文以混沌理论为基础，利用非线性时间序列分析方法，对实际水下舰船信 号的非线性滤波、混沌特征提取以及递归分析做了重点研究。本文的主要工作如 下： 1 第一章为绪论，介绍了水下目标识别及特征提取技术的研究背景、研究意 两北工业大学硕士学位论文绪论 义及目前现状，以及本文的主要研究工作。 2 第二章对耗散系统、奇怪吸引子的概念和性质作了必要的介绍。简明阐述 了混沌的起源、发展的历史以及混沌运动的主要特征。给出混沌严格的数学定义。 由l o g i s t i c 一维映射出发，讨论了周期倍增分岔现象及f e i g e n b a u m 普适常数，由 此分析了混沌产生的机理。 3 第三章为基于混沌理论的非线性时间序列分析。首先介绍了相空间重构理 论，它是非线性时间序列分析的基础。利用平均互信息法和伪最邻近点法确定了 重构两个重要参数。简单介绍了非线性系统状态变量的信息流的概念，它体现了 非线性实质，即事物之间的相互作用。重点介绍了局部投影滤波方法，局部投影 噪声抑制是一种有效的非线性滤波方法，并用这种方法对三类实际舰船噪声进行 降噪处理，取得满意结果。 4 第四章主要研究了水声信号的混沌特征量提取，在介绍关联维数、最大 l y a p u n o v 指数以及h ，熵的概念及相关算法的基础上，利用这些特征提取算法对 l o r e n z 原始模型、l o r e n z 加噪信号及三类实际舰船噪声信号做了特征量提取。结 果显示，l o r e n z 信号及实际舰船辐射噪声确实具有混沌特性。 5 第五章主要研究了一种新的非线性分析方法一递归分析法，递归分析分为 定性递归分析及定量递归分析。首先分别介绍了定性递归分析即递归图法以及定 量递归分析的基本概念，并在此基础上对三类理论模型及三类实际舰船信号进行 了递归图分析及定量递归计算，得出：信号的递归图与定量递归分析的特征参数 与混沌特征量如关联维数具有某种联系。递归分析法可以作为一种新的非线性分 析的有效工具。 6 ，第六章总结全文，对本文的全部工作及不足之处做了简要的总结，并指出在 对舰船辐射噪声特征提取中进一步值得探讨的问题。 西北工业大学硕十学位论文 第二章混沌理论基础 第二章混沌理论基础 自然界和人类社会的一切规律均是非线性的，线性系统只是在某种意义下的 近似。随机性和复杂性是非线性系统的主要特征，但在这些极为复杂的现象背后， 却存在着某些规律性。从数学上讲，给定一组初始值，非线性动力系统会给出一 个确定性的运动过程，但在某些情况下，得到的结果似乎是随机的。这就需要用 混沌理论来解释。混沌是指在确定性非线性动力系统中出现的类似随机的过程。 混沌来自于非线性系统，线性系统不可能产生混沌。 本章介绍了混沌研究的起源、发展历史以及取得的成就，并给出了混沌现象 的深刻数学定义。介绍了与随机运动有严格区别的混沌运动的主要特征。对耗散 系统、奇怪吸引子的概念给出了较为完善的描述。并由l o g i s t i c 一维映射出发，分 析了混沌产生的机理。提出：周期倍增分岔现象是系统由有序走向混沌的原因。 并由此引出了f e i g e n b a u m 两个普适常数。 2 一混沌的起源和发展 混沌理论的提出是二十世纪的三大科学革命之一。作为与量子力学、相对论 相齐名的个重大科学理论，混沌理论自产生以来产生的巨大影响同时也被广泛 应用于各领域，尤其是在经济学领域。相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想， 量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦想，而混沌则消除了拉普拉斯关 于决定论可预测的幻想1 4 ) 。随着科学的发展及人们对世界认识的深入，混沌理论越 来越被人们看作是复杂系统的一个重要理论。 物理学已经经历了三百多年，在这三百多年中，物理学在描述某些问题的行 为上取得了巨大成就，并已经完成了两次变革。第一次是以牛顿、伽利略为代表 的十七世纪在研究物质、力和运动上的突破。第二次是相对论、量子力学的发现。 这些成就同时体现出长期统治物理学的观点是确定论，它们只是确定沦在物理学 中的具体体现。确定论使物理学以可预言的方式表现各行为，当时许多科学家把 科学和预测等同起来。确定论的代表论点就是只要知道初始条件就可以决定未来 的一切。对确定论以较大冲击的是量子力学的出现。海森伯的彳i 确定关系 p a q h ，其中p 为动量，g 为位置，h 为普朗克常量，由于无法同时精确测量 位置和速度这两个量，这就意味未来有些量是不能精确测量的。由于量子物理学 不满足于牛顿主义机械决定论对物理现象的解释，混沌理论首先在物理学和数学 d 西北一【业大学硕士学位论文第二苹混沌理论基础 领域产生。气象学家l o r e n z 在偶然中的发现。气象预测中一个微小的数据误差会 带来与原来截然不同的结果，促使他在对多方面进行研究后，于1 9 6 3 年率先提出 了混沌的概念。过去物理学研究的问题仅限于线性方程，研究的解也仅限于单调 的、光滑的，而非线性问题的解是多样的，甚至是奇异的。为了简化将天气预报 方程写成如下形式 ( 2 1 ) 其中f ( x ) 是控制大气运动的确定性规律，靠表初始时刻的大气状态，例如第一天 的温度，那么，由第一天的温度预报第二天的温度，由第二天的温度一预报 第三天的温度托，都是由( 2 1 ) 式的递归方程去计算的。但是，如果初始条件仅变 化一点点，五、六次递归计算之后，两者的结果却差别非常大。这也就是事实上 天气预报只能预报之后大约五、六天的原因。确定的天气预报递归方程却出现了 随机的结果，这就是l o r e n z l 9 6 3 年发现混沌的含义。因此混沌的发现是对确定论 最大的冲击。过去物理学只知道确定的系统只能出现确定的结果，绝对不会有不 确定的结果，而把一些包括随机因素的现象归结为由外部噪声所引起。现在知道 了确定性系统也可以出现随机的结果，那么就可以从确定的系统出发，用混沌的 理论来分析这些随机的结果了h 1 。 在l o r e n z 发现混沌不久，1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 扣j 【”在研究流体问题时， 提出了奇异吸引子的概念。1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 】发表的p e r i o dt h r e ei m p l i e s c h a o s ) ) 一文，首先采用c h a o s 一词来定义混沌现象，并明确定义了混沌的数学概 念，是科学史及人类认识史上的一件大事。几年之后，r m a y 在研究物种的繁衍 规律时，发现了混沌现象，并提出了著名的l o g i s t i c 映射 9 1 1 0 1 。1 9 7 8 年， m j f e i g e n b a u m 川指出：系统从规则运动向混沌运动转化时具有普适性，发现并提 出了两个普适常数。这是一个具有里程碑意义的重大发现。 目前，混沌的研究已经取得了重大进展，已经走过了认识混沌的最初和反思 阶段，电已经从单纯的理论研究开始向应用发展。混沌理论已经与其他学科互相 渗透，广泛应用到各个领域，包括数学、物理学、医学、电子通信，以及经济学、 气象学、天文学等，获得了巨大成功。 2 2 混沌的定义 李天岩和他的导师y o r k e 在1 9 7 5 年发表的( ( p e r i o d t h r e e i m p l i e s c h a o s 一文 中，明确地刻画了混沌的数学含义，是比较公认的、影响较大的混沌定义。 定义2 2 1 ”1 ：设f ：i 斗1 连续，若迭代+ 】= ，( ) ，1 l = o ，l “2 - 具有下列性质， 则说它有混沌现象： 西北工业大学硕士学位论文第二章混沌理论基础 ( 1 ) 迭代+ - = f ( x 。) ，h = 0 ，l ，2 ，的周期点的周期无上限 ( 2 ) 存在不可数集合s 亡i p ( 厂) ，满足： 1 ) l i m s u p i ，”( x ) 一f ”( y ) i 0 ，v x ，y s ，x y ， 2 ) l i m i n f l 厂”( x ) 一，”( y ) l = 0 ，v x ，y s ， 3 ) l i m s u p l f ”( z ) 一厂”( y ) l 0 ，v x s ，v y p ( i ) a 其中，p ( 、厂) = 如 工为的周期点 ，即f ( x ) 的全部周期点的集合。如果从粕 开始，按照迭代方程勘+ = 厂( 渤) 迭代，如果迭代t 次以后就回到原来的地方，即 x 。= f ( 南) ，但是迭代次数小于k 时都不能回到工。，那么就叫做动力系统f ( x ) 的周期点，k 则是厂( x ) 的周期。条件( 1 ) 指的是无法确定一个自然数，使得所有 周期点的周期都不超过它。条件( 2 ) 中不可数集合s 中的点，都不是迭代的周期 点。由1 ) 可知，当”斗0 0 ，两个迭代序列总有一些距离的上确界始终大于零，就 是说不论迭代进行多久，两个序列之间总有一种远离的趋势；同样，2 ) 是当斗o 。， 两个迭代序列之间总有一些距离的下确界为零，即二者距离有一种无限接近的趋 势。由于在迭代过程中接近与远离的状态交替进行，因此系统的行踪难以琢磨。 由3 ) 可知，在迭代过程中，s 中的点不仅不是周期点，而且和周期点迭代序列之 间的距离总有一种远离的趋势。 由此可知，集合s 中的点行为难以琢磨，这就是区间迭代混沌现象的深刻数学 含义。 2 3 周期倍增分岔与f e ig e n b a u m 普适常数 2 3 1 周期倍增分岔 为了说明周期倍增分贫现象【1 2 1 ，从l o g i s t i c 维映射出发，讨论一个系统是如 何走向混沌的。l o g i s t i c 方程为 x 一+ 1 = 2 x 一( 1 x n ) ，l t = 1 , 2 ，3 ，= o ，1 ，a = 0 , 4 】( 2 2 ) 经过迭代发现， 当0 s a 1 时，迭代系统只有x = 0 这样一个稳定的周期点。 当1 五蔓3 时，迭代系统有一个不稳定的l 周期点算= 0 ，以及一个稳定的l 1 周期点x = 1 一二。 l 1 当3 丑3 4 4 9 时，系统有两个不稳定的1 周期点x = 0 , r x = 1 一，此时， 西北1 业大学硕士学位论文第二章混沌理论基础 1 一一一1 一 x = 击( 1 + + ( 兄+ 1 ) ( 五一3 ) ) 及工= 击( 1 + 旯一( a + 1 ) ( 五一3 ) ) 是系统的两个稳定的 z ，l i f , 2 周期点。 当3 4 4 9 3 5 4 4 时，4 周期解也变得不稳定，出现了8 个稳 定的8 周期解。继续迭代，会发现8 周期解也变得不稳定，会出现1 6 个稳定的1 6 周期解，。这样重复下去。如图2 - 1 所示。 渗一 图2 - 1 周期倍增分岔 由图可见，n , i j j r n 一个稳定的l 周期解；在a ：3 时，稳定的1 周期解x ：1 一 分甜为两个稳定的2 周期解；在 = 3 4 4 9 时，两条2 周期解的轨迹分翁为4 条4 周期解轨迹：；当 增大到一定值，2 ”1 条稳定的2 ”周期解分岔为2 条2 周 期的稳定解：。这就是著名的周期倍增分俞现象。 五的极限值为矿= 3 5 6 9 ，9 4 5 ，6 7 2 ，此时，周期为2 。的周期解是迭代的稳定解， 周期无穷大在区间 扩，4 上表现为图中一片模糊的区域，即迭代系统出现混沌现 象。 2 3 2f e i g e n b a u m 普适常数 物理学家f e i g e n b a u m 在周期倍增分岔现象中发现了更深层次的规律，从而揭 示出系统从有序转向混沌的秘密。f e i g e n b a u m 由表明系统在趋向紊乱时的周期倍 增分岔现象中抽象出两个普适常数：f e i g e n b a u m 常数占和f e i g e n b a u m 常数d 。 在周期倍增分岔过程中，随着分岔次数历的增加，从横轴方向看，参数序列 f 中相邻的两个分岔点厶和九+ t 的间距组成一个渐进的等比数列，这个公比就 是f e i g e n b a u m 普适常数艿： 西北 ：业大学硕士学位论文 第二章混沌理论基础 l i m 生二生盟：4 6 6 9 2 0 1 6 0 9 + - 一 从纵轴方向看，分岔宽度x ：也组成一个渐进的等比数列，这个等比数列的公 比叫做f e i g e n b a u m 普适常数口： l i m 二l = 2 5 0 2 ，9 0 7 ，8 7 5 x m j f e i g e n b a u m 普适常数表明混沌系统的周期倍增分岔的速率都足相同的，揭示 出系统是按照一定的规律从有序趋向混沌的。d 和口像石、一样是新的普适常数， 反映了客观事物的本质，其存在不仅有定性的意义，还有定量的价值。无论任何 混沌现象，不论是数学的、物理的还是社会科学的，都具有相同的f e i g e n b a u m 普 适常数。 2 4 混沌运动的特性 混沌运动仪出现在非线性动力系统中，它的运动状态不是之前确定性运动的 三种定常状态：静止、周期运动和准周期运动，而是一种状态复杂的运动。它并不 意味着无序，也不是有序的对立面，而是一种无周期而有序，局部不稳定，整体 稳定，也即在混沌中隐含着局部随机及整体稳定。长时间观察混沌运动，发现它 的行为似乎是杂乱无章的随机运动，但它和概率性的随机运动之间是有严格区别 的，最明显的区别是随机运动不可预测，而混沌运动短期可以预测，而长期不可 预测。混沌运动的主要特征有： ( 1 ) 长期运动对初始条件的敏感依赖性。这是混沌运动的本质特征，通常 称为“蝴蝶效应”。可以这样理解：南半球一只蝴蝶偶尔扇动翅膀所带起来的微弱 气流，几星期后变成了席卷美国德克萨斯州的一场龙卷风。混沌系统对初始条件 是非常敏感的，初始条件的轻微变化都可能导致不成比例的巨大后果。 ( 2 ) 短期行为可以预测而长期行为不可预测。是混沌运动的另一主要特征。 ( 3 ) 系统由完全确定性的方程来描述，无任何随机因子，但必须有随机项。 混沌运动是系统的内在特征，并不是由外界噪声或干扰引起的。 ( 4 ) 具有宽的f o u r i e r 功率谱。 ( 5 ) 具有分数维的奇怪点集。对耗散系统，有分数维的奇怪吸引子出现，它 能把系统的运动吸引并束缚到特定的范围内：对于保守系统，具有奇怪混沌区。 ( 6 ) 具有遍历性。它能在一定范围内，按其自身的规律，不重复地遍历相空 间的所有状态。 西北工业大学硕士学位论文第二章混沌理论基础 2 5 奇怪吸引子 2 5 1 耗散系统 一般来讲，系统存在于一定的环境之中。系统与环境的相互作用可以从它们 之问交换物质、能量、信息中看出。按照系统与环境的关系，我们把所有的系统 分为三类：开放系统、封闭系统和孤立系统。 开放系统在不断与外界环境交换物质、能量、信息中演化发展，产生出各种 包括生命现象、社会运动和思维活动等在内的复杂的运动形态。封闭系统仅与外 界交换能量，而不交换物质。孤立系统则不和外界交换任何物质、能量和信息。 严格地讲，世界上所有的系统都是开放系统。封闭系统和孤立系统只是一种理想 化的情况，并不存在于现实世界之中。根据相对论原理，我们可以把物质和能量 等同起来看待，只研究系统与外界的能量交换。这样就可以把系统分为两个大类： 耗散系统【】3 j 与保守系统。 耗散系统与保守系统的区别在于该系统中能量是否守恒。保守系统一般是指 总能量不随时间变化的系统。而如果系统的能量随时间不断变化，则是耗散系统。 任何一个物理系统，当它的运动时间足够长时，能量都会发生耗散，也就是说耗 散效应是不可避免的。因此，耗散系统在自然界中更加普遍。对耗散系统中混沌 的研究具有重要的实际意义。 2 5 2 状态空间 在动力系统理论中，系统的基本情况称为状态。状态随时间变化的规律称为 系统的动态特性。这个动态变化过程可在状态空间( 相空间) 中形象地表示出来。 在状态空间中，动力系统在某一瞬间的全部状态都基中于一点，而系统演变的情 形可由在状态空间移动的点来描绘。即相空间内一个确定的点，代表了这个系统 的一个状态：反之，系统的一个状态，对应着相空间内一个确定的点。这样就可 以通过研究相空间内一点的动力学性质，从而扩展到研究整个动力学系统。动力 系统随时问演变，其相点在状态空问中将描绘出一个轨迹，我们称之为相空间中 的轨道。若时间连续则称之为“流”；若时间是离散的，则称之为“映射”。 状态空闻法( 相空间法) 是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数 学转化为图形的方法。引入状态空间方法的最大优点是便于在研究中观察系统的 演化规律。 西北1 业大学硕士学位论文 ， 第二章混沌理论基础 2 5 3 奇怪吸引子 对耗散系统，在经过很长时间以后，相空间体积在运动与演化过程中会不断 收缩，不同的初始条件会趋于同一结果或少数几个结果，这种状态的归宿称为耗 散系统的吸引子【1 4 1 ，该吸引子在相空间是点或曲线，吸引子的维数总是要低于 相空间的维数。通常把具有整数维数的吸引子称为平凡吸引予，具有非整数维数 的吸引子称为奇怪吸引子。 奇怪吸引子的概念是由r u e l l e 与t a k e n s 16 】于1 9 7 1 年提出的。奇怪二字反映了 吸引子在相空间中伸长的一面，吸引则反映了折叠耗散的一面。奇怪吸引予是耗 散系统出现混沌的根源，它具有复杂的几何结构，对初始条件敏感。因此，对耗 散系统中的混沌的研究主要是对奇怪吸引子的研究。只有耗散系统中的混沌才会 产生奇怪吸引子，但并非只有耗散系统才会出现混沌。l o r e n z 吸引子是奇怪吸引 子的一个实例，它在相空间的结构具有复杂的扭转、拉伸、折叠的特点，并不断 地重复这一操作。 图2 - 2l o r e n z 吸引子在三维相空间的结构 奇怪吸引子的主要性质如下： ( 1 ) 运动对初值的敏感性，表现为相邻轨道指数分离和局部轨道不稳定性； ( 2 ) 奇怪吸引子局限于有限的区域里，就大范围而言，表现为稳定的吸引子 ( 3 ) 空间结构十分复杂，相空间的轨迹具有复杂、扭曲、缠绕的几何结构； ( 4 ) 具有一切混沌的通有性质； ( 5 ) 具有统计特征：分维数、正的l y a p u n o v 指数、正的测度熵。 2 6 本章小结 本章从数学上给出了混沌现象的严格定义，并对混沌研究的起源、发展以及 两1 t t l 业大学硕士学位论文 第二章混沌理论基础 混沌运动的主要特征给出了较为详细的论述。介绍了研究混沌现象应涉及的耗散 系统、奇怪吸引子等概念。讨论了周期倍增分岔现象及f e i g e n b a u m 普适常数，指 出周期倍增分岔是迭代系统出现混沌现象的原因，而f e i g e n b a u m 常数则是周期倍 增分叉现象中更深层次的规律，是周期倍增分岔具有相同速度的原因。 西北r 业大学硕十学位论文第三章基于混沌理论的非线性时间序列分析 = = ! = e 2 1 1 1 = = ! ! # g = ! ! = = = = = 目# e | 詈ii pi ! = 自= 目e = e e ! ! ! = = ! = = ! = = = ! = e = = ! ! ! ! = ! = ! ! ! ! = ! = ! ! ! = = ! ! = = 兰 第三章基于混沌理论的非线性时间序列分析 对于实际水下测得的舰船辐射噪声，必须区分混沌信号与随机噪声。因此， 基于线性理论的功率谱分析方法受到局限，遇到了很大的挑战，而基于混沌理论 的非线性时间序列分析便可以解决此类问题。非线性时间序列研究内容包括相空 间重构、非线性滤波、非线性检验、混沌特征量提取、非线性预测等等。 本章在介绍非线性时间序列分析的基础相空间重构理论的基础上，对 t a k e n s 延时嵌入重构理论进行了研究，并利用平均互信息法及伪最邻近点法分别 对重构参数一延迟时问及最小嵌入维数进行了计算。介绍了信息流的概念，有助 于进一步理解非线性的本质。提出一种基于局部投影的非线性滤波方法，对叠加 噪声的l o r e n z 原始模型及实际舰船辐射噪声进行降噪处理，取得了比较满意的结 果。 3 1 相空间重构 3 1 1 相空间重构的理论基础 分析混沌时间序列的前提是相空间重构】，相空间重构概念最早出现在统计 学领域中，后来被p a c k a r d ”j 等，t a k e n s ”】等先后引入动力学体系中。由时问序列构造 一个多维的、确定的状态空间，称作相空间重构。一般情况下，通过测量装置， 我们可以测得一组反映非线性系统某一状态的标量时间序列数据，由于该序列包 含有原非线性系统局部或全部的状态信息，因此，通过相空间莺构，可以建立原 非线性系统的动态模型。它是非线性时间序列分析的重要步骤，获得一个和原动力 系统等价的相空间是非常重要的。 现有的相空间重构方法主要有延迟坐标法，主元分析法和微分坐标法。由于 实际时间序列不可避免地存在噪声干扰，而在有噪声的情况下，三种重构方法却 存在一定的差异。对微分坐标法而言，由于该方法在有噪声的条件下受到较大影 响等原因，一般较少考虑。延迟坐标法是应用最广泛的重构方法，它的优点是在 每个分量上的信噪比能保持一致，但重构的质量依赖于重构窗口的选择，并且坐 标问存在着线性依赖和人为的对称性。由b r o o m h e a d 和k i n g 2o j 提出的主元分析法 可以分解多维数据到线性独立的坐标系，并且可以区分出信号成分和噪声平台。 西北工业大学硕士学位论文第三章基。f 混沌理论的非线性时间序列分析 现在还不能说明某一种方法比其他方法更优越，但一般情况下，当噪声的影响较 大时，主元分析法会比较适合；而受短数据影响较大时，延时重构可能体现较好 的特性。 对个非线性动力系统 _ d z - - f ( z ) ( 3 1 ) 讲 其中z 表示系统的状态，它代表相空间s 中的一个点，矢量场，( z ) 一般为作用于s 上 点的非线性算子若f ( z ) 满足l i p s c h i t z 条件，( 3 1 ) 式则定义了一个初值问题。若 系统的初值为z 。，则在时间t 上的解z ( f ) = 纯z 。，其中吼：s 斗s 。则该系统所有 可能的初值问题为仍s ，它可以看作相空间中点的流。最初相空间s 的维数就是仍s 的维数，随着系统的演化，流收缩到较低维的空间，形成吸引子。一般假设吸引 子在一个光滑的流形m 中，而m 的维数一般小于s 的维数。对于两个c 矢量场f 和g ，如果存在一个c 。( k 兰r ) 的微分同胚m ，则f 和g 看成是c 等价的。可直 观地把西看作一个可逆的、非线性的坐标变化。 3 1 2t a k e n s 延时嵌入重构理论 t a k e n s 发现从一个未知的确定的动力系统所产生的时间序列中能重构出该未 知系统的动力学形式，这就大大增强了研究混沌时间序列方法的基础。一个嵌入 是一个光滑映射。m 将流形m 映射到一个空问u ，像中( m ) c u 是u 中一个光滑 子流形。m 是m 和似m ) 之间的微分同胚，即m 在u 之中的嵌入就是通过u 中一 个子流形来认识的。嵌入给出两个流形之间的微分同胚，它意味着在不同的空间 建立一个微分等价关系是重要的先决条件。 t a k e n s 定理：设m 是d 维的紧流形，f 是一个光滑的矢量场，h 是m 上的 一个光滑函数，则m ：m 斗r 2 “1 ，表示m ( z ) = ( a ( z ) ，h ( c p 【( z ) ) ，h ( t p 2 j ( z ) ) ) 7 是一个 嵌入。 其中矗( z ) 为系统状态为z ( e ( m ) 时的测量值，m 为延迟映射，m ( m ) 所在的空 间为嵌入空间，嵌入空间的维数即为嵌入维数。t a k e n s 嵌入定理指出，在重构相 空间时，如果嵌入维数大于吸引子维数d 的二倍，延迟坐标向量可以构成原可微流 形在欧氏空间的微分同胚。利用t a k e n s 定理重构相空间的方法就是延迟坐标法【i ”。 通过选择适当的重构参数，延迟坐标法可以保证重构后的动力系统与原动力系统 的几何不变性，如吸引子的维数、轨迹的l y a p u n o v 指数不变等。 对于时间序列 x q 。+ a t ) ，i = 0 , 1 ，n l ，它的相空间重构轨迹为 x = 【x ( f o ) ，x ( f 。+ a t ) ，x ( t o + ( k 一1 ) a t ) ( 3 - 2 ) 西北1 ：= 业大学硕士学位论文第三章基于混沌理论的1 f 线性n , t f 日q 序列分析 x ( t o ) x ( t o + a t ) x ( t o + ( j ( 一1 ) a t ) x ( t o 十j a r ) x ( t o + ( ，+ 1 ) a t ) x ( t o + ( 世一1 ) a t + 以r ) ) x ( t o + ( m 一1 ) j a r ) x ( t o + ( 1 + ( m 一1 ) j ) a t ) x ( t o + ( n o a t ) 其中表示x ( ) 嵌入空间的状态矢量，是重构延时，m 是嵌入维数，是抽样时 间间隔，k = n f m 一1 ) j ，f 表示延时参数，即r = j a t 。 3 1 3 平均互信息法 为了合理地重构相空间，必须选择合适的重构参数：时间延时f 和嵌入维数m 。 关于重构参数r 和m 的选择，有研究结果表明可归结为一重构窗门r 。的选择【2 ”， 即f 。= r ( m 一1 ) 。t a k e n s 嵌入定理假设时间序列没有噪声影响，且数据长度为无限 长，因此似乎时延f 可以取任意值，然而实际获得的测量数据不可避免地长度有限 且受噪声干扰，因此时延f 的取值正确与否，对后继的时间序列分析结果有直接影 响。 如果延迟时间r 取值太小，由于相空间矢量的相邻延迟坐标元素之间差别太 小，导致坐标元素之间强烈相关，相空间中所包含的关于原吸引子的信息量则偏 小，重构的轨迹向嵌入空问的主对角线附近压缩，这称作冗余。相反如果f 值太大， 引起相空间中矢量相邻的坐标元素信息丢失，相空间轨迹就会出现折叠现象，这 称作不相关问题。在这两种情况下，重构相空间都不能较好地反映原动力学系统。 对于延迟时间r ，传统的方法是通过计算时间序列的自相关函数获得，即自相 关函数首次过零点的时间为延迟时间r 1 2 2 1o 但是，自相关函数仅仅度量了两个变 量的线性依赖关系，而互信息法 2 3 】在时间延迟f 的选取上要优于自相关函数法， 这种方法不仅考虑线性相关，还考虑非线性相关。时间延迟互信息的算法如下。 若p ，表示信号x ( t ) 出现在数据的概率分布曲线的区间i 的概率，p o ( g ) 则表示 信号x ( f ) 出现在区域i ，以及在延迟一定的时间f 后，与延迟信号x o + f ) 出现在区 间，的联合概率。那么延迟时间互信息可以通过下式计算 m 卜莩p , j t n 警 ， 当延迟时间f 等于零时，联合概率p 。( f ) = p j 4 ，这个表达式产生数据分布的 香农熵。除了这个退化的情况，互信息i ( r ) 的值与数据概率分布曲线的选择无关。 时间延迟越大，信号x ( f ) 和x o + r ) 的相关性越小，当延迟r 增大到一定程度，信号 z ( f ) 和x “+ r ) 互相独立，联合概率p 。( f ) 等于两个概率p ，、p ，的乘积，此时时间 互信息的值为零。作为单调递减的函数，互信息i ( r ) 曲线第一次达到最小值的横 两北j 【：业大学硕士学位论文 第三章基丁混沌理论的非线性时间序列分析 坐标就可以作为相空间重构的延迟时间r 。 以l o r e n z 信号y 分量为例，采用平均互信息法确定最佳时间延迟f ，并研究 在不同延时下l o r e n z 吸引子在相空间的展开情况。l o r e n z 信号由以下微分方程产 生 , 矗a t = 一p x + p y a y a t = 一x z + 啊一y ( 3 4 ) a z a t = x y b 其中口= 1 6 0 ，r = 4 5 ，9 2 ，b = 4 0 时，该微分方程产生混沌。仿真结果如下图所示。 卜 f