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中山大学硕士学位论文 不确定离散时滞系统的鲁棒控制研究 检测技术与自动化装置 王刻奇 杨智教授 摘要 在许多物理系统中，时滞现象广泛存在，而时滞通常是系统不稳定、振荡和 性能恶化的主要根源之一另外，对于实际的控制系统，由于种种因素，普遍存 在不确定性，很难对系统建立精确的模型。因此，对不确定时滞系统的鲁棒控制 研究一直是控制理论研究的热点之一此外，在工程应用中，计算机控制系统大 多为采样控制系统，因此，对离散控制系统的研究具有重要意义。而现有的文献， 更多是对连续系统的研究，因此，本文主要针对不确定离散时滞系统的鲁棒控制 进行研究。 本文把连续时滞系统的最新研究思想推广到了不确定离散时滞系统，基于 l y a p u n o v 稳定性理论，采用l m i 技术，从时域角度对范数有界的不确定离散时 滞系统的鲁棒控制进行研究。 首先，研究了一类范数有界不确定离散状态时滞系统的鲁棒稳定和鲁棒镇定 问题。借鉴连续时滞系统稳定性分析的最新研究思想，对该类系统进行稳定性分 析和无记忆状态反馈控制器的设计，分别得到了系统鲁棒稳定和鲁棒镇定的时滞 相关准则。相比现有文献，本文所得的时滞相关准则仅含有一个严格的线性矩阵 不等式，且包含了更少的变量。所得准则的条件和数值例子仿真，都表明了本文 所得结论的有效性和优越性。 沿着系统稳定性分析的思想，本文又对一类不确定离散状态时滞系统的保性 能控制问题进行研究。为系统设计了无记忆状态反馈保性能控制器，得到了系统 保性能控制器存在的时滞相关准则。为求解控制器，提出了一个求解非凸可行性 问题的算法，给出了保性能控制器的求解方法以及闭环系统性能指标上界的计算 方法。数值例子仿真得到了更小的性能指标上界，表明了本文所得结论具有更小 的保守性。 最后，本文又对一类带有状态和输入滞后的不确定离散系统的保性能控制问 题进行研究。为系统设计了无记忆状态反馈保性能控制器，给出了系统保性能控 制器存在的时滞相关条件数值例子仿真验证了本文方法的有效性。 中山大学硕士学位论文 关键词：不确定离散时滞系统，时滞相关准则，鲁棒控制，保性能控制， 线性矩阵不等式( u i ) 中山大学硕士学位论文 r o b u s tc o n t r o lo fu n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t h d e l a y s m e a s u r i n gt e c h n o l o g ya n da u t o m a t e de q u i p m e n t w a n gk e q i p r o f y a n gz h i a b s t ra c t t i m e - d e l a yf r e q u e n t l yo c c u r si nm a n yp r a c t i c a ls y s t e m sa n di so f t e nam a i n s o u r s ：o fi n s t a b i l i t y , o s c i l l a t i o n sa n dp o o rp e r f o r m a n c ei ns u c hs y s t c m s ha d d i t i o n , a sv a r i o u so ff a c t o r sw h i c hi n t r o d u c es o m em o d e lu n c e r t a i n t i e so fs y s t e m se x i s t , i ti s u s u a l l yi m p o s s i b l et od e s c r i b eap r a c t i c a ls y s t e me x a c t l y t h e r e f o r e , r o b u s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m sh a v eb e e nt h ef o c u so ft h er e s e a r c hi nc o n t r o lt h e o r y a n di n e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，m o s t o fc o m p u t e r - c o n t r o l l e d s y s t e m s a r e s a m p l e d d a t as y s t e m s s oi t i sv e r yi m p o r t a n tt or e s e a r c ht h ec o n t r o lt h e o r yf o r d i s c r e t e t i m es y s t e m s h o w e v e r , t h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e sa r em o s ta b o u tc o n t i n u o u s s y s t e m s s ot h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e st h ep r o b l e m so fr o b u s tc o n t r o lf o rt h e u n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hd e l a y s t h eh e wi d e af o rs t a b i l i t ya n a l y s i so fc o n t i n u o u ss y s t e m sw i t hd e l a yi se x t e n d e d t ot h er e s e a r c hi nt h i sd i s s e r t a t i o n b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl m i t e c h n i q u e ，t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ep r o b l e m so fr o b u s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i n d i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t h d e l a y sa n dt i m e - v a r y i n gn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s f i r s t , t h ep r o b l e m so fr o b u s ts t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i l l d i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hs t a t e - d e l a y e da n dt i m e - v a r y i n gn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e sa r ec o n s i d e r e d f o l l o w i n gas i m i l a ri d e ai nt h ec o n t i n u o u st i m e - d e l a y s y s t e m , t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ep r o b l e m so ft h ea n a l y s i sf o rs t a b i l i t yo ft h es y s t e m a n dd e s i g n i n gm e m o r y l e s ss t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e rf o ra n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m e s y s t e m sw i t hs t a t e - d e l a y e da n dt i m e - v a r y i n gn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s al l e wd e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i aa n dan c wd e l a y - d e p e n d e n tr o b u s t h i 中山大学硕士学位论文 s t a b i l i z a t i o nc r i t e r i aa r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y c o m p a r e dt oe x i s t i n gl i t e r a t u r e s ，t h e n e w d e l a y - d e p e n d e n tc r i t e r i aa r ei nt h ef o r mo ft h es t r i c tl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya n d h a v ef e w e rv a r i a b l e s b o t ht h em a t h e m a t i c a ld e v e l o p m e n ta n dan u m e r i c a le x a m p l e s u g g e s tt h a tt h ep r o p o s e dc r i t e r i aa l ee f f e c t i v ea n da r ea ni m p r o v e m e n to v e rp r e v i o u s o n e s w i t ht h eh e l po ft h ei d e af o rs t a b i l i t ya n a l y s i s ，t h i sd i s s e r t a t i o na l s oc o n c e r n st h e p r o b l e mo fg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m e s y s t e m s w i t h s t a t e - d e l a y e da n dt i m e - v a r y i n gn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s am e m o r y l e s s s t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e rw h i c hg u a r a n t e e sn o to n l yr o b u s ts t a b i f i t yo ft h er e s u l t i n g c l o s e d - l o o ps y s t e m 。b u ta l s oa na d e q u a t el e v e lo fp e r f o r m a n c eo v e ra l lt h ep o s s i b l e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e si sd e s i g n e d d e l a y - d e p e n d e n tc r t e r i af o rt h ee x i s t e n c eo fs u c h g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra r ed e v i s e d t of i n ds u i t a b l ec o n t r o l l e r , a na l g o r i t h m i n v o l v i n g n o n - c o n v e x f e a s i b i l i t yp r o b l e m i s p r o p o s e d n u m e r i c a le x a m p l e s d e m o n s t r a t et h ev a l i d i t ya n dr e d u c e dc o n s e r v a t i s mo ft h ea p p r o a c hp r o p o s e d f i n a l l y , t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m e s y s t e m s w i t l id e l a y si nb o t ht h es t a t ea n dt h ei n p u ti ss t u d i e d t h ep u r p o s ei st od e s i g n am e m o r y l e s ss t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e rs u c ht h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d - l o o ps y s t e mi s r o b u s t l ys t a b l ea n dt h ec l o s e d - l o o pc o s tf u n c t i o nv a l u ei sn o tm o r et h a nas p e c i f i e d u p p e rb o u n df o ra l it h ep o s s i b l ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s d e l a y - d e p e n d e n tc r i t e r i af o r t h ee x i s t e n c eo fs u c hg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra r ed e v i s e d an u m e r i c a le x a m p l e d e m o n s t r a t e st h ev a l i d i t yo ft h ea p p r o a c hp r o p o s e d k e yw o r d s ：u n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hd e l a y s ，d e l a y - d e p e n d e n tc r i t e r i o n ， r o b u s tc o n t r o l ，g u a r a n t e e do o s tc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m l ) 第1 章绪论 中山大学硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 时滞现象广泛存在于各种物理系统，时滞是导致系统不稳定、振荡，以及系 统性能恶化的主要根源之一，时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和 困难。在实际的工业控制系统中，时滞现象大量存在。如大惯性环节、长距离通 信传输过程、复杂的在线分析仪以及网络控制系统信号的传输等不可避免地会导 致滞后现象，而这些滞后特性往往会严重影响控制系统的稳定性及使系统的性能 变差。正是由于时滞系统的广泛存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得 时滞系统的分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的热点问题。 在实际的控制领域中，各种生产过程、生产设备以及其它众多的被控对象， 其动态特性一般很难用精确的数学模型来描述，因此，很难直接对其进行有效的 系统分析和综合。为了进行有效的控制系统设计，对于复杂的动态系统必须用相 对简单的模型来描述。这样，简化的模型和实际系统之间就存在着误差，这样的 误差就称为是模型不确定性。此外，随着生产过程中工作条件和环境的变化，控 制系统中元器件老化、参数扰动等，被控对象本身的特性也会随之发生变化，也 将导致模型不确定性的产生如果在系统的控锚中忽路了这些不确定因素，那么 设计的控制系统就很难保证具有期望的性能。鲁棒控制理论是用来处理不确定系 统模型的有效方法之一，它能通过给出这些不确定性大小的某种约束与范围，使 得数学分析相对容易。因此。对于不确定系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制的研 究具有重要的意义。 对于同时具有时滞和不确定的动力系统，我们通常称之为不确定时滞系统。 由于不确定时滞系统在实际工业控制中大量存在，随着鲁棒控制理论向实际应用 方面的发展，实际工程闯题中的时滞现象引起了广泛关注，已成为控制理论研究 中的热门课题之一。近三十年来，随着鲁棒控制理论的发展，众多学者对不确定 时滞系统进行了大量的研究，尤其对线性不确定时滞系统的研究，取得了丰硕的 成果。但随着控制理论的不断发展，针对线性系统仍有很多问题有待研究。本文 正是对线性不确定离散时滞系统的分析与综合进行了研究。 对于实际控制系统，在保证系统鲁棒稳定的同时，一般还要求系统的动态响 应满足一定的性能指标，这样就需要对满足一定性能指标的不确定时滞系统的鲁 棒控制问题进行研究。为系统设计控常5 器对，不仅要求所设计的控制系统是稳定 的，而且还要保证满足一定的性能指标。保性能控制就是研究这方面问题的方法 第1 章绪论 中山大学硕士学位论文 之一，首先彼c h a n g 和p c n 窖4 l 提出，其基本思想是，对不确定系统设计的控制 器，不仅要保证闭环系统是鲁棒稳定的，还要对所有允许的不确定性，闭环系统 的性能指标小于某个上界。该方法的优势是，能对给定的性能指标提供一个上界， 使得由不确定性引起的系统性能的变化限制在该上界之内。 随着系统理论研究的深入和计算机在控制系统中的广泛应用，大多数过程控 制系统都是数字采样控制系统。因此，对离散时滞系统的鲁棒稳定性分析以及鲁 棒控制器的设计具有重要的实际意义。和连续时间时滞系统不同，离散时间时滞 系统是一个有限维系统。对一个只具有状态滞后的离散时滞系统，可以通过状态 的增维，将这样一个时滞系统转化为一个无时滞项的离散时间系统，从而可以应 用离散时间系统的分析和设计方法来进行控制系统的分析和设计。但这样的处理 方法存在两方面的不足：一方面是由于状态维数的增加，特别是当滞后时间比较 大时，使得转化后得到的离散系统具有较高的维数，给计算带来了一定的困难。 另一方面，如果按转化后得到的离散系统来设计状态反馈控制律，则得到的控制 律不仅依赖当前的状态，而且还依赖以前的状态，从而为控制器的实施带来一定 的困难，也使得控制系统的成本增加。因此，有必要针对离散时滞系统，研究符 合自身特点和要求的分析与控制器设计方法【。 在时域中，研究不确定离散时滞系统的鲁棒稳定性和保性能控制问题的主要 理论基础是l y a p u n o v 稳定性定理，早期的处理方法主要是r i c c a t i 方程方法。二 十世纪九十年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，l m i 方法再次受到重 视，尤其是1 9 9 5 年m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的l m i 工具箱， 使得求解线性矩阵不等式更为有效、方便。现在l m i 方法已成为处理不确定时 滞系统鲁棒分析和综合问题的有力工具。本文正是基于l y a p u n o v 稳定性理论和 l m i 方法，对不确定离散时滞系统的鲁棒分析和综合问题进行研究。 下面结合本论文的研究方向和近年来该方向的研究成果，简单对线性时滞系 统的研究现状和不确定时滞系统的保性能控制研究现状进行概述。 1 2 线性时滞系统的研究现状 在各类工业系统中，时滞现象极其普遍的，广泛存在于像通信系统、传送系 统、化工过程系统、冶金过程系统、电力系统、网络控制系统等。时滞的存在， 常导致系统不稳定、振荡和性能指标恶化等。在实际控制中，要保证系统能正常 工作，前提是要保证系统是稳定的，因此，对时滞系统的稳定性分析和综合问题 的研究具有非常重要的意义。 对时滞系统的分析与综合问题的研究，主要有两种途径：频域方法和时域方 2 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 法。近年来，随着计算方法和鲁棒控制理论的发展，时域方法得到了广泛的应用， 因此，我们重点回顾一下近年来时域方法的研究状况。 1 2 1 频域方法 时滞系统的频域方法，通常用于分析线性时不变系统较为方便。运用频域方 法分析系统的稳定性，主要是沿用经典控制理论的频域判据来判断系统的稳定 性 同无时滞系统相似，运用频域方法对时滞系统迸行分析，主要是通过系统特 征方程的特征根来判断系统的稳定性阁。由于频域方法具有物理意义明确的特 点，可以通过分析系统特征根的分布，了解系统的稳定性和动态性能。然而，尽 管基于特征根的时滞系统稳定性分析与无时滞系统相似。但对时滞系统的稳定性 分析，却非常困难，因为时滞系统的特征方程是超越方程，有无限多个解。围绕 着这个问题，出现了1 9 4 2 年的庞特里亚金定理( t h ep o n t r y a g i nt h e o r e m ) ，伪时 滞方法( t h ep s e u d o d e l a yt e c h n i q u e ) f e it 频率扫描法( t h ef r e q u e n c ys w e e p i n g m e t h o d ) 1 7 哪等另外，针对时滞项的频率响应，或者包含，的项，如 。一一l j 5 ，可以通过一些简单的函数来限定它们，以便利用各种鲁棒稳定性 准则，采用相关的方法对特征方程中的时滞项进行处理。如文献 1 0 1 中，通过利 用“b o u n d e dr e a ll e m m a ”和“k y pi e m m a ”，可以以l m i ( l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ) 和a r e ( a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ) 的形式表示相关的稳定性准则。对 于系统中其他的不确定性，可以和时滞所引起的不确定性结合在一起，统一对待， 如月方法和乒方法等。 由于频域理论在处理时变时滞和时交不确定方面存在着严重的不足，现在对 时滞系统的研究更多是采用时域的方法。 1 2 2 时域方法 近年来，由于时域方法克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不足，且 具有方法简单、易于计算等优点，使其在工程应用中备受青睐。另外，随着计算 机技术的发展，时滞系统的时域分析方法已成为时滞系统尤其是不确定时滞系统 稳定性分析与综合的主要方法。基于时域的分析方法，对于不确定时滞系统的研 究，产生了众多成果。尤其对于连续时滞系统，涌现了大量的文献。相对而言。 离散时滞系统的研究还不是太多，不过随着数字控制技术的大量应用。离散时滞 系统的研究也正越来越引起人们重视。本文正是基于l y a p u n o v 稳定性理论、l m i 技术和矩阵分析等，采用时域方法对不确定离散时滞系统的鲁棒控制进行研究 3 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 1 ) l y a p u n o v 方法概述 在对滞系统时域分析方法中，l y a p u n o v 稳定性理论起着重要的作用。二十 世纪五十年代中期，经典的线性控制系统理论已经发展成熟和完备，并在不少工 程领域得到了成功应用，但经典线性控制系统理论具有明显的局限性，突出的是 难以有效的处理多输入多输出系统，并且难以揭示系统的更深刻的特性。在二十 世纪五十年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，线性控制系统理论在1 9 6 0 年前后 开始了从经典到现代的过渡，其主要标志之一是r e k a l m a l l ( 卡尔曼) 系统地 把状态空间法引入到系统与控制理论中去。现代控制理论研究方法在本质上是一 种时域方法( 状态空间法) 。它是二十世纪六十年代人类探索空闯的需要和电子 计算机的飞速发展和普及的产物。随着现代控制理论的兴起，l y a p u n o v 稳定性 理论再次受到重视，在时域方法的研究中得到广泛应用。 1 8 9 2 俄国数学家l y a p u n o v 提出的稳定性理论，采用状态向量描述，不仅适 用于经典控制理论，又适用于多变量、非线性和时变系统，是系统稳定性分析的 更一般的理论。推广l y a p u n o v 稳定性理论到时滞系统，首先由k r a s o v s k i i 实现 的。k r a s o v s k i i 提出，对时滞系统构造的l y a p u n o v 函数，应该取决于状态t ， 也即取决于工倍) ( 亭p f ，f 】) 的所有值。基于这个思想，l y a p u n o v 稳定性理论 对不确定时滞系统的研究起到了很大的推动作用。 l y a p u n o v 理论判断系统的稳定性，主要有两种方法：第一法( 间接法) 和 第二法( 直接法) 。其中，第一法也称间接法，是利用系统微分方程的解来判断 系统的稳定性。而第二法，也称直接法，是利用经验和技巧为系统构造l y a p u n o v 函数，进而利用l y a p u n o v 函数来判断系统的稳定性。由于l y a p u n o v 第二法不需 要求解系统方程，为判断系统的稳定性带来了极大方便，获得了广泛应用，尤其 在现代控制理论的各个分支，都得到不断应用与发展。 利用l y a p u n o v 第二法对时滞系统的研究，主要是通过对系统构造适当的 l y a p u n o v 函数，来对系统进行分析与综合，是不确定时滞系统鲁棒控制研究的 有效途径。基于l y a p u n o v 第二法设计的控制器，不但设计简单，在线计算量小， 而且便于进行闭环系统的鲁棒稳定性分析，受到学者们的普遍重视。尤其是随着 内点法的提出和线性矩阵不等式技术的发展，使得对不确定时滞系统的鲁棒稳定 性分析和鲁棒控制器设计等的研究，取得了丰硕成果。 利用l y a p u n o v 稳定性理论对时滞系统的研究结果，根据所得条件是否依赖 系统中时滞的大小，可将准则分为时滞无关和时滞相关两类。 2 ) 时滞无关准则概述 对滞无关条件不包含时潞的任何信息，即在该条件下，对所有的时滞，系统 是渐进稳定的。由于时滞无关的条件不包含系统滞后时间的任何信息，因此，若 4 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 系统满足时滞无关的稳定性条件，则对任意大的滞后时间，系统都是稳定的。显 然。这样的要求是很强的，特别是对系统的时滞较小时，这样的条件具有较大的 保守性。因此，近年来，对时滞系统的研究成果更多是时滞相关的结论。 3 ) 时滞相关准则概述 时滞相关的条件受时滞大小的影响，即对滞后时间的某些值，系统是稳定的； 而对滞后时间的另外一些值，系统则是不稳定的。对时滞系统的研究，由于所采 用的方法不同，得到的时滞相关条件，仍然存在不同程度的保守性。时滞相关条 件保守性的产生主要有两个方面原因：一、在对系统进行稳定性分析时，涉及模 型转换；二、在分析的过程中，对不等式交叉项的界进行了放大。 许多情况下，由于时滞的存在对系统的稳定性和系统的性能都有影响，因此， 就希望把一个时滞系统转化为一个不带时滞的系统加上分布式的时滞项，而把这 个分布式的时滞项看作是扰动，这样的过程就是模型转换。在模型转换的过程中， 可能会为原始的系统引入虚假的极点，以致在原始的系统中增加额外的动力系 统。随着时滞的增大，这个额外的动力系统可能在原始的系统达到稳定之前变得 不稳定。因此，模型转换过程本身会产生保守性阁 一 在对时滞系统进行分析时，涉及到的模型转换，主要有四种类型1 1 1 】。第一种 类型是一阶转换( t h ef i r s t o r d e rt r a n s f o r m a t i o n ) 【1 2 l ，这种转换由于引入了新的特 征值，与原始系统不等价。第二种类型是中立转换( t h en e u t r a lt r a n s f o r m a t i o n ) 1 3 l ， 这种方法为了获得系统稳定的条件，需要一个额外的假定，因此，也与原始的系 统不等价。第三种类型如文献 1 4 和d s ，分别提出p a r k s 不等式( 本文附录 引理3 ) 和m o o n s 不等式( 本文附录引理4 ) ，得到了一个和原始系统等价的系 统。但在求l y a p u n o v 函数的时间微分的过程中，为了便于处理，文献 1 4 和 1 5 都利用莱布尼兹一牛顿公式( l e m n i z - n e w t o nf o r m u l a ) 对表达式的某些项中的时 滞状态进行替换，即用x o ) 一f ，童o ) 出替换工( f f ) ，而对另外一些项中的时滞状 j t - - f 态砸一f ) 未进行替换，而z o ) 一，孟( s ) 出和j o 一力都影响最终的结果，因此它们 j r 之间存在一定的权重关系，而文献 1 4 和 1 5 中并没有给出决定它们之间最佳权 重的方法，只是选择了某个固定的权重，因此，所得结论存在一定的保守性。第 四种类型，文献 1 1 和 1 6 采用描述符模型转换( t h ed e s c r i p t o rm o d e l t r a n s f o r m a t i o n ) 1 1 7 1 ，分别结合文献 1 4 、 1 5 中的p a r k s 不等式与m o o n s 不等 式，得到了第四种类型的模型转换方法，该法相比前三种类型转换方法，具有 更小的保守性。但由于该法仍是基于用工一，i o 替换却一f ) 。因此，并不 j # - - f 能完全克服文献 1 4 】和 1 5 方法的保守性。 在采用l y a p u n o v 稳定性理论分析系统的稳定性问题时，通常先对系统构造 5 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 一个正定的l y a p u n o v 函数，然后通过考虑这个l y a p u n o v 函数沿系统任意轨线的 时间导数，并保证这个时间导数最终是负定的来保证所考虑系统的渐进稳定性。 系统的稳定性条件就是使得这个时间导数是负定的条件。一般来说，这个时间导 数往往是比较复杂的，为了导出容易检验的稳定性条件，通常对这个时间导数进 行放大，通过使得其上界为负定来保证这个时间导数是负定的。在放大的过程中， 常采用以下的一个放大不等式：一2 a 7 b s a 7 x a + 6 7 x 一协，其中：4 ，6 r ”是给 定的向量，x 0 是正定矩阵。特别地，当x - j 时，有一2 4 r b a r a + 矿b 。显然， 一2 a 7 b 的上界4 7 肠+ 矿z 一1 1 , ( x 0 ) 总是非负的。因此，当一知r b 0 时，采 用这样的放大不等式所导出的结论是具有较大保守性的。事实上，在现有的许多 鲁棒稳定性分析结论中，由于采用了对l y a p u n o v 时问导数项的不同放大方式， 从而导出了不同的稳定性条件，也正是由于这些不同的放大方式，使得相应的结 论具有不同程度的保守性i ”。 4 ) 时滞系统的研究状况 近十多年来，在系统和控制领域中对如何减少时滞相关准则的保守性方面有 大量的研究。随着l m i 技术和鲁棒稳定性分析理论的发展，这个时期时滞系统 研究的主要特征是计算方法和鲁棒性的研究嘲。该时期内，对时滞系统的研究产 生了大量时滞相关准则，研究的方向主要是考虑如何减少时滞相关准则的保守 性。如文献 1 8 3 中，通过模型转换，采用l y a p u n o v r a z u m i k h i n 方法和l m i 技术， 对带有状态滞后的线性时滞系统进行稳定性分析得到了时滞相关稳定性准则。文 献 1 9 中，采用了模型转换和l m i 技术，对一类不确定性满足范数有界的线性 时滞系统进行了鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器的设计，得到了时滞相关准则。而 在这之前的时滞相关准则更多是基于求解l y a p u n o v 方程或者r i c c a t i 方程方法所 得到的，需要进行参数调整。面l m i 方法不需要任何参数调整，并且用内点法求 解，计算非常有效。之后，随着对交叉项不等式界的估计方法的改进，对减小时 滞相关准则保守性的研究有了很大的进步。其中，文献 1 4 中引入自由矩阵m ， 通过改进不等式一2 a 7 b 4 7 x a + 6 7 x 1 协，( a ，b e r , x 0 ) 中交叉项一2 a l b 的 上界，得到p a r k s 不等式，获得了保守性较小的时滞相关准则。这对减少保守性 的研究有了很大推动。在文献 1 4 改进交叉项界的技术基础上，文献 1 5 3 对 p a r k s 不等式进一步改进，提出了m o o n s 不等式，得到了比文献 1 4 1 保守性更 小的时滞相关结果。文献 1 6 结合m o o n s 不等式，采用描述符模型转换法，得 到了比文献 1 5 保守性更小的时滞相关准则。 随着对减小保守性研究的深入，文献 2 0 中考虑到莱布尼兹一牛顿公式中各 项之间一定存在着某种权重关系，因此，在对l y a p u n o v 函数的求导分析过程中， 通过引入松弛变量和零项式，为这种关系赋予了未知权重，而通过求解结论中的 6 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 线性矩阵不等式可找到最佳权重关系，这样很大程度上减少了保守性的产生。另 外，在稳定性分析的过程中，即没有涉及模型转换，又避免了交叉项的界的估计， 因此，克服了产生保守性的两个主要根源。文献 2 0 中的研究方法与以前的方法 有实质的不同，得到了保守性更小的时滞相关准则。 文献 2 1 中，在对l y a p u n o v 函数的求导分析过程中，也引入了松弛变量和 零项式。但采用了与文献 2 0 不同的分析方法，既没有涉及模型转换，又避免了 交叉项的界的估计，不仅克服了产生保守性的主要根源，而且与文献 2 0 相比， 文献 2 1 中除了引入松弛变量之外，没有引入更多的变量，且所得的结论仅包含 一个严格的线性矩阵不等式，因此，更有理论和实际意义。本文正是借鉴了文献 2 1 中对连续时滞系统的稳定性分析思想，对不确定离散时滞系统进行研究。 1 3 不确定时滞系统保性能控制研究现状 1 3 1 鲁棒控制的基本思想【羽 鲁棒控制理论于二十世纪七十年代开始形成和发展，取得了大量的研究成 果，已成为控制学科的一个重要分支。鲁棒控制理论的研究目标是对存在广泛不 确定性的对象提供有效的系统分析和控制器设计的方法。不确定系统的鲁棒性能 分析和综合河题，是近三十多年来控制界最活跃的研究领域之一，已提出了各种 对不确定系统进行鲁棒分析和综合的方法，如日。控制、结构奇异值卢分析法、 k h a r i t o n o v 法，无源化控制及厶增益分析等。 实际工程中的控制系统，由于种种原因总是存在不确定性。这种不确定性通 常分为两类：一是外部的不确定性，如干扰等；二是系统内部的不确定性，如量 测误差、参数估计误差及被控对象的未建模动态等如果系统中存在能够引起系 统结构或参数变化的不确定性，那么，被控对象实际上不是一个单一固定不变的 系统进一步，如果这种不确定性可以理解为取自某一个集合，那么实际被控对 象可以描述为一个系统集( 嚣，a d 。这里，。是模型的精确已知部分，称为标称 系统；a z 表示不确定性因素所构成的某个可描述集。 对于所表示的不确定对象，通常分为：结构化和非结构化。前者主要是 一些参数不确定性，指系统中存在有限个不确定参数，而后者是一些未建模动态 ( 也称动态不确定性) ，很难归结为某个或某些参数的摄动。在鲁棒分析和综合 过程中，非结构化模型更多的是应用于频域：而对于结构化不确定性模型中，研 究最多的是时变范数有界不确定性本文所涉及到的不确定性，主要是时变范数 有界不确定性 7 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 所谓鲁棒性，是指标称系统。所具有的某一种性能品质对于具有不确定性 的系统集( 。，) 的所有元素均成立。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称 该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描 述品质，那么就称该系统具有鲁棒性能准则。 鲁棒控制理论包含两大类问题，即鲁棒性分析和鲁棒性综合问题。鲁棒性分 析是根据给定的标称系统。和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条 件；而鲁棒性综合( 鲁棒控制器设计问题) 就是根据给定的标称模型。和不确 定性集合的某一描述，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器c ，使 得( k ，监) 和c 构成的系统都满足期望的性能要求。 1 3 2 保性能控制的研究状况 保性能控制作为研究鲁棒性综合问题的一种方法，在控制系统的各领域中都 有应用，尤其在不确定时滞系统中得到了广泛的研究。下面结合本文的研究方向， 简单回顾一下保性能控制的研究状况。 在实际的控制系统中，对系统进行控制器设计时，不仅希望设计的控制器能 使系统鲁棒稳定，更希望设计的控制器还能保证系统满足一定的性能指标。其中， 由c h a n g 和p e n g 4 】提出的保性能控制就是这方面研究的方法之一。保性能控制 方法的思想是，对系统设计的控制器，不仅保证闭环系统是鲁棒稳定的，而且对 于系统的性能指标，能确定一个上界，使得由不确定性引起的系统性能的变化在 这个上界之内。自提出以来，保性能控制受到了广泛的关注，在控制系统的各领 域，如连续不确定系统、离散不确定系统、不确定连续时滞系统、不确定离散时 滞系统等都有应用， 近年来，随着鲁棒控制研究的发展和l m i 技术的出现，不确定系统的保性能 控制得到了广泛的研究，尤其是在时滞系统中，产生了大量的结果。对于不确定 连续时滞系统：文献 2 2 中基于改进的r i c c a t i 方程方法，把不确定连续系统的 保性能控制问题引入到不确定连续时滞系统中，为系统设计了无记忆状态反馈保 性能控制器；文献 2 3 和 2 4 基于l m i 方法，分别为系统设计了次最优和最优 状态反馈保性能控制器。对于不确定离散时滞系统：文献e 2 5 3 和e 2 6 基于咖 方法，分别为不同的系统设计了保性能控制器。在文献e 2 2 2 6 中所得到的保性 能控制器存在的条件都是时滞无关的，但他们得到的保性能控制器却与时滞的大 小有关。这表明了对于不确定时滞系统的保性能控制问题，时滞相关的设计方法 可能更为适合。 针对时滞相关的方法，文献 2 7 和e 2 8 采用时滞系统稳定性分析的不同的思 8 第1 章绪论 中山大学硕士学位论文 想，分别对不确定连续时滞系统的状态反馈和输出反馈保性能控制进行了研究； 文献 2 9 针对范数有界不确定离散状态时滞系统，采用描述符模型转换和 m o o n s 不等式方法，对系统进行了保性能控制研究，得到了时滞相关条件。文 献 2 7 2 9 中的数值例子表明了时滞相关方法比时滞无关方法能得到更小的性能 指标上界，这表明了时滞相关准则比时滞无关准则具有更小的保守性。这更促使 学者们运用时滞相关方法对不确定时滞系统的保性能控制进行更深入的研究。如 文献 3 0 基于描述符模型转换法和m o o n s 不等式，首次运用时滞相关方法研究 了带有状态和输入时滞的不确定离散系统的时滞相关保性能控制问题。文献e 3 1 采用保守性更小的时滞相关研究方法，对同时带有输入和状态时滞的不确定连续 时滞系统的保性能控制问题进行研究。这些成果都表明了，随着不确定时滞系统 时滞相关方法研究的深入发展，对不确定时滞系统的保性能控制的研究也将得到 越来越多保守性更小的结论。 1 4 本文研究内容及技术路线 本论文针对范数有界不确定离散时滞系统，采用l y a p u n o v 稳定性理论和 l m l 方法，借鉴连续时滞系统的最新研究思想，研究了不确定离散时滞系统的鲁 棒性分析与综合问题。具体分为如下几个部分： 第1 章，系统地介绍了不确定离散时滞系统的研究背景、研究目的、意义以 及研究方法等，系统地对线性时滞系统的研究状况和不确定时滞系统保性能控制 的研究状况分别进行介绍。 第2 章，研究了范数有界不确定离散状态时滞系统的鲁棒控制问题。首先从 标称自由系统入手，借鉴连续时滞系统的最新研究思想，采用l y a p u n o v 稳定性 理论和l m i 技术，为系统构造l y a p u n o v 函数，在求l y a p u n o v 函数的前向差分 的过程中，通过引入零项式和松弛变量，采用新的分析方法，得到了系统渐进稳 定的时滞相关准则。然后，又将标称自由系统稳定性分析的思想推广到对不确定 时滞系统的研究，得到了不确定时滞系统鲁棒渐进稳定的时滞相关准则；并为系 统设计了无记忆状态反馈控制器，得到了控制器存在的时滞相关准则以及求解控 制器的方法。最后，通过数值例子与已有文献 2 9 和c 3 3 】比较，表明了本文所得 结论具有更小的保守性。 第3 章，研究了范数有界不确定离散状态时滞系统的保性能控制问题。首先， 对给出的性能指标，分析了系统的鲁棒性能。然后，为系统设计了无记忆状态