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摘要 对流作用下枝晶生长规律的数值模拟 研究生姓名：苏敏 导师姓名：朱鸣芳教授 学校名称：东南大学 摘要 随着计算机技术的飞速发展，凝固过程的微观数值模拟已成为当前材料科学领域的研究热点。 通过数值模拟，人们可以优化铸造工艺，提高铸件质量，具有重要的实际应用价值。本论文针对铸 造过程数值模拟的重要组成部分凝固过程中有对流作用下显微组织的演变开展模拟研究，完成 的主要工作如下： 本文首先基于原有的单松弛l a t t i c eb o l t z m a n n 方法( l b m ) 计算流场的程序，修正了边界条件， 使之适用于能耦合晶体生长的流场数值模拟。随后开发了单松弛l b m 计算浓度场的程序，并将其与 计算流场的l b m 程序相耦合。在此基础上将计算流场和浓度场的l b m 与模拟枝晶生长的c e l l u l a r a u t o m a t o n 模型相耦合，建立了适用于在对流作用下合金凝同过程中枝晶生长模拟的c a - - l b m 耦合 模型和程序。 应用耦合的c a l b m 程序对a i c u 合金在纯扩散和存在对流条件下的单枝晶和多枝晶的生跃 规律进行了模拟研究，分析了流场强度和合金成分对枝晶形貌的影响。结果表明，新发展的c a l b m 耦合模型可成功地对纯扩散和存在对流条件下的不同择优取向的单枝晶和多枝晶的形貌演变 过程进行模拟。在纯扩散条件下，枝晶呈对称生长。存在对流时，枝晶的生长在上游方向得到促进， 而在下游方向受到抑制，形成了非对称的枝晶生长形貌。随流场强度增强，上游方向的枝晶长得更 加粗壮，而下游方向枝晶的生长受到了更强烈地抑制。随溶质成分增加，促进了二次枝晶臂的生长。 为了进一步定量研究流动对枝晶生长的影响，我们将有、无对流情况下枝晶尖端的浓度和生长速度 随时间的变化进行了测定利对比。 最后，将本文发展的c a - - l b m 耦合模型的模拟结果与一个直接求解n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程 计算流场的c a 一传输模型的模拟结果进行比较，两者取得了一致的结果。 关键词；数值模拟；凝固；枝晶生长；l a t t i c eb o l t z m a n n 方法：c e l l u l a r a u t o m a t o n ；流场；浓度场 国家自然科学基金( 5 0 3 7 1 0 1 5 ) 资助项目 a b s t r a c t n u m e r i c a lm o d e l i n go fd e n d r i t i cg r o w t hi nt h ep r e s e n c eo f c o n v e c t i o n b y s u m i n s u p e r v i s e db yp r o f z h um i n g f f a n g s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , m i c r o - s c a l es i m u l a t i o no fs o l i d i f i c a t i o np r o c e s s h a sb e e no n eo ft h eh o t s p o t si nm a t e r i a l ss c i e n c er e s e a r c hf i e l da tp r e s e n t n u m e r i c a lm o d e l i n go fc a s t i n g p r o c e s s e sc a nh e l pu st oo p t i m i z et h ec a s t i n gp r o c e s s e sa n di m p r o v et h eq u a l i t yo fp r o d u c t s t h er e s e a r c h o ft h i st h e s i si sf o c u s e do nas t u d yo nm i c r o s t r o c t u r ef o r m a t i o ni nt h ep r e s e n c eo fc o n v e c t i o nd u r i n g s o l i d i f i c a t i o nw h i c hi sa l li m p o r t a n tp a r to fm o d e l i n gs i m u l a t i o ni nc a s t i n gp r o c e s s i n g t h em a i nf i n i s h e d r e s e a r c hw o r ki sa sf o l l o w s i no r d e rt of i tf o rs i m u l a t i n gt h ef l o wf i e l dw h i c hi s c o u p l e dw i t hc r y s t a lg r o w t h ，t h eb o u n d a r y c o n d i t i o no f p r e v i o u sp r o g r a mw h i c hi sb a s e do nt h es i n g l e r e l a x t i o nl a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ( l b m ) i s m o d i f i d t h es i n g l e r e l a x t i o nl b mi sa p p l i e dt os i m u l a t es o l u t a lf i e l d ，w h i c hi sc o u p l e dw i t ht h en u m e r i c a l m o d e l i n go ff l o wf i e l d ac a l b mm o d e li sd e v e l o p e d b yc o u p l i n gt h es i n g l e - r e l a x t i o nl b mf o r s i m u l a t i n gt h ef l o wf i e l da n ds o l u t a lf i e l dw i t ht h ec e l l u l a ra u t o m a t o n ( c a ) f o rs i m u l a t i n gt h ed e n d r i t e g r o w t h t h ec a l b mm o d e lc a nb eu s e dt os i m u l a t et h ed e n d r i t eg r o w t hi nt h ep r e s e n c eo f c o n v e c t i o n t h em o d e li sa p p l i e dt os i m u l a t es i n g l ea n dm u t id e n d r i t i cg r o w t ho fa i c ua l l o y su n d e rap u r ed i f f u s i o n c i r c u m s t a n c ea n di nt h ep r e s e n c eo f c o n v e c t i o n ，t h ee f f e c to f f l o wf i e l ds t r e n g t ha n da l l o yc o m p o s i t i o no n t h ed e n d r i t i cm o r p h o l o g yi si n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ec a l b mc a ns u c c e s s f u l l ys i m u l a t e s i n g l ea n dm u t id e n d r i t i cg r o w t hw i t hd i f f e r e n tp r e f e r r e dg r o w t ho r i e n t a t i o n si nt h ec a s eo fp u r ed i f f u s i o n a n di nt h ep r e s e n c eo fc o n v e c t i o n u n d e rap u r ed i f f u s i o nc i r c u m s t a n c e ，d e n d r i t es h a p e sa r es y m m e t r i c h o w e v e r , i nt h ep r e s e n c eo fm e l tc o n v e c t i o n , d e n d r i t i cg r o w t hi sp r o m o t e do nt h eu p s t r e a ms i d ea n d i n h i b i t e do nt h ed o w n s t r e a ms i d e ，l e a d i n gt oa s y m m e t r i cg r o w t hf e a t u r e so f c o n v e c t i v ed e n d r i t e s w i t ht h e f l o wf i e l db e c o m i n gs t r o n g e r , t h eu p s t r e a md e n d r i t eb e c o m em o r er o b u s t h o w e v e r , t h ed o w n s t r e a m d e n d r i t ei ss u p p r e s s e d w i t ht h ec o m p o s i t i o n so fa l l o yi n c r e a s i n g , t h es i d eb r a n c h e sa r cw e l l - d e v e l o p e d t h ev a r i e t yo ft 岫c o m p o s i t i o na n dv e l o c i t yo fd e n d r i t ew i t ha n dw i t h o u tc o n v e c t i o ni sm e a s u r e s e da n d c o m p a r e d t h ec a l b mm o d e li sc o m p a r e dw i t hap r e v i o u s c a - t r a n s p o r tm o d e lw h i c hs o l v e sd i r e c t l y n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n st os i m u l a t ef l o wf i e l d t h er e s u i t sf r o mt w om o d e l sa r cc o n s i s t e n t 。 k e yw o r d s ：n u m e r i c a lm o d e l i n g ；s o l i d i f i c a t i o n ；d e n d r i t i cg r o w t h ；l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ；c e l l u l a r a u t o m a t o n ；f l o wf i e l d ；s o l u t a lf i e l d i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名：堑二纽日期：丝= 1 2 ：墨7 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本入所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：盘熟 导师签名：苤堕笠日期；舻7 ；夕 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着计算机科学技术的发展，计算材料科学己成为- f l 新兴的交叉学科，成为除了实验和理论 研究外，解决材料科学中实际问题的重要研究方法。材料制备及材料加工过程数值模拟是当今国际 公认的制造科学与材料科学的重要前沿领域。用计算机信息技术改造和带动传统铸造行业的发展是 铸造技术的重要发展趋势。 我国铸件年产量已跃居世界第一，是世界铸造生产第一大国“”。但是我国铸造行业的技术水 平与国外相比还存在很大差距。铸件形成过程可分为两个阶段，第一个阶段为液态金属的充型过程， 第二个阶段为铸件的凝固过程。不利的充型过程是许多铸造缺陷( 如卷气、浇不足，冷隔、砂眼及 夹渣等) 产生的根源，从而影响铸件质量，甚至导致铸件报废。铸件的凝固过程也会产生如缩孔、 缩松及偏析等铸造缺陷。凝固过程的微观组织直接决定着铸件的力学性能和使用性能。如果能通过 计算机模拟方法预测出铸件的凝固态组织，定量或定性地预测合金成分、工艺参数对组织形态的影 响，就可以据此调整生产工艺，生产出理想的铸态组织的铸件，得到优良的综合力学性能，无疑对 材料开发和制备、工艺参数的选择和优化起到明显的促进作用，也可以有效地避免传统研究方式造 成的耗时耗材，缩短试制周期，降低生产成本”“。随着计算机技术的飞速发展，铸造过程数值模拟 受到了国内外研究工作者的广泛关注。从上世纪8 0 年代开始到现在的二十多年间，铸造过程数值模 拟技术已经取得了很大的进展。 1 2 凝固显微组织模拟的国内外研究现状 1 2 1 显微组织模拟的研究 目前铸造凝固过程的宏观流场和温度场模拟技术己经基本趋于成熟，而对凝周显微组织的模拟 还处于发展阶段。早在1 9 6 6 年，o l d f i e l d ”1 就指出可以对铸件凝尉组织进行模拟并进行了尝试，在铸 件凝固过程宏观模拟的基础上，将传热方程中的热源项表示成形核率与生长速度的函数。 进入8 0 年代后，微观组织模拟取得了很大的进展，在初始阶段主要是基于确定性方法。确定性 方法认为熔体内晶粒的形核密度和晶粒生长速度都是过冷度的函数，该函数可以通过实验得出。8 0 年代末，晶粒生长的概率论方法开始逐渐兴起，比较有代表性的如荚国的b r o w n 和s p e 。加拿大 的z h u 和s m i t h 等人”采用m o n t ec a r l o ( m c ) 法描述形核和晶粒生长问题使晶核生长具有位置和 取向的随机性，出现柱状区晶粒选择、柱状晶到等轴晶转变的过程，这使模拟结果更接近实际结果。 9 0 年代初，继m c 法之后，瑞士的r a p p a z 和g d i n “”综合确定模型和概率模型的思想，首先将 元胞自动机( c e l l u l a r a u t o m a t o n 以下简称c a ) 模型应用到微观组织模拟领域。c a 法考虑了非自发形 核和生长过程的物理机制，随机的晶核位置和新晶核的随机结晶方向。并且将枝晶前端的生长动力 学引入到模型中。虽然从结果上来看。与m c 方法所模拟出来的结果类似，但是此方法具有一定的物 理基础，并且能够定量反映过冷度和溶质浓度的影响。随后他们又把这类c a 模型与有限元方法 ( f e m ) 耦合起来而建立了宏观一微观的元胞自动机模型( f f a 耦合模型) “”，通过有限元方 l 东南大学硕士学位论文 法计算宏观的温度场，从而实现了不均匀漏度场中凝固过程的晶粒组织的模拟研究。他们_ i 薹用f e - c a 耦合模型模拟了熔模铸造发动机涡轮叶片、连铸杆件、铝合金定向凝嗣及焊接等r 艺中的晶粒结构 特性。韩国的h o n g 教授课题组“也应用二维和三维的c a 模型与有限体积法的宏观温度场计算耦合 对凝丘i d 过程中的晶粒组织的形成进行了模拟研究。 这一时期，研究者们已经不满足于仅仅得到晶粒组织的特征。而希望对晶粒内部的枝晶形貌和 生长细节进行更深入的研究。在这一研究方向上相场模趔率先获得了成功的应用。它能成功地对枝 晶、共晶和包晶组织进行模拟，而且相场模型能够定量地预测枝晶尖端的生长速度，结果与理论计 算相吻合“”“”。前沿跟踪法( f r o n t t r a c k i n g ，f t ) 4 2 “是早期就发展的研究枝晶生长的方法，但这种方 法计算量丈，算法比较繁琐。 1 2 2 枝晶模拟的研究 枝晶组织是最常见的台金凝固组织。目前，枝晶模拟方法主要有相场法( p h a s ef i e l d ，p f ) ，前沿 跟踪法( f r o n t t r a c k i n g ，f t ) 和元胞自动机法( c e l l u l a r a u t o m a t o n c a ) 。 1 ) 相场法 相场法用统一的相场方程描述所有的计算单元，无需跟踪固一液界面，克服了前沿跟踪技术的 缺点。它并可方便地引入界面各向异性、动力学效应，以及耦合外部的扩散场、流场计算，可有效 地描述微观组织的形成，如：枝晶尖端动力学、择优生长及粗化，描述平衡态下新相与母相界面以 及液i 舌i 界面处复杂的生长过程，是模拟凝【司过程中复杂界面比较好的方法。1 9 9 3 年，k o b a y a s h i ” 才利用相场模型成功的模拟了二维的枝晶生长形貌。k a r m a ”和w a r r e n ”等进一步拓展了相场模 型，并对n i c u 和 a 1 一s i 系合金的枝晶生长形貌进行了模拟研究。t o n g 和b e c k e r m a n n 等应用相场 模型耦合流场模拟了强迫对流对枝晶的生长和形貌的影响。近十几年来，国内应用相场法对凝崮组 织模拟也开展了一些研究。西北工业大学杨根仓课题组”8 利用相场法模拟了过冷熔体中枝晶的生 长过程，研究了各向异性、界面动力学、热扩散和界面能对枝晶生长的影响。他们又采用白适应有 限元法求解了过冷纯物质凝i 司相场模型，使得在枝晶生长初期的瞬态过程中枝晶尖端生长速度比尖 端半径更快达到稳态值。哈尔滨工业大学的李新中、郭景杰、苏彦庆等“建立了能对具有复杂溶液 模型的金属熔体凝固微观组织进行准确模拟的相场模型，并利用该相场模型对t i a l 金属熔体中晶体 的自由生长和定向生长进行了模拟得到许多与试验观察和理论分析相一致的结果。但相场法也有 缺陷。扩散界面的有效厚度( 西) 概念是相场法的基础。一般的p 要较微观组织的长度尺度小3 4 个数量级，为了模拟扩散现象往往需要跨越多个网格节点。这就极大的限制了计算空间尺寸和计算 效率，这是目前相场法向多晶粒、大计算空间的主要障碍之一”。 2 ) 前沿跟踪法 前沿跟踪法是一种在较早的时期就引起了研究者兴趣的模拟枝晶生长的方法。它在整个流场中 使用固定网格，而在相分界面上使用移动的非结构化网格。在计算时，控制方程在固定网格上求解， 然而相分界面上用一条移动的“前沿( f r o n t ) ”来表示，该界面用一系列标记点连接而成。当分界线 移动时，它会延伸变形，这样会导致其中的一些单元过于稀疏，而一些单元则过于密集。为了保证 计算精度，就必须在稀疏的单元中添加一些新的单元，同时也要合并一些过密的单元。以前的f t 法 需要处理不同的相，而改进后的方法则通过一套控制方程来处理流场中所有的相。为了描述不同相 2 第一章绪论 之间材料性质的区别，该方法在控制方程中加入了适当的界面作埘项，从而将相分界面特征如表面 张力考虑进来。由于这些作用相集中在不同流体分界面上，冈此可以用6 函数来表示它们。离散控制 方程时，这些6 函数也必须随着方程一起被近似。f t 法通过在合适的液吲界面条件f 求解传热平形核 守恒公式来模拟枝晶生长。f t 法通过在液州界面实时地跟踪并作出特殊记号，而且网格不受限制。 它是依照界面条件来决定每一时刻界面的移动的。f t 法能够处理界面性能的不连续性、界面的各向 异性和布局的改变。然而，特别是在考虑三维的情况下，界面位置的确定性跟踪的运算法则包括复 杂的数值计算。因此，这种方法较难用来模拟实际情况中具有发达二次晶的多枝晶的形貌。而且， 当f t 方法被用来模拟取实际参数的合金凝固时的枝晶生长时，计算难度也比较大。j u r e 等和 u d a y k u m a r 等”“1 以尖锐界面模型为基础，采用前沿跟踪法模拟了对流影响下的枝晶生长。最近，z h u 和s t e f a n e s c u 提出了一个前沿跟踪( f t ) 模型用来模拟低p e e l e t 数体系下的枝晶生长。该模型不 仅能够定量地预测合金凝固过程中枝晶的生长，而且能够比较准确地模拟出等轴晶和柱状晶的生长 形貌。 3 ) 元胞自动机法 元胞自动机( c a ) 方法的基本思想是一个细胞或系统的基元，依据与其相邻的其它基元的情况， 按设定的规则来决定自己的状态，从而通过定义局部简单的规则来描述系统整体复杂的演变规律。 它是一种时间、空间和状态都离散的动力学模型。c a 方法在模拟凝固过程中微观组织的形成时主要 是将元胞自动机的组成元素按照金属凝蝎原理进行扩展，而在处理形核( 晶核的分布、晶体学取向) 时，则采用随机方法。c a 法将区域划分为不同的网格，采用其节点标示不同网格区域的状态，然后 按照该局域的凝固条件确定适当的演化规则进行状态演化，从而可以描述晶粒形核长大的过程。该 方法有较强的物理基础，主要用于模拟晶粒生长中的竞争机制、晶粒结构及形态的演变，而且模拟 出来的微观组织不依赖于计算过程中的单元网格划分。这些优点使得它很适合于描述自由枝晶、柱 状枝晶的形成以及柱状晶与等轴晶之间的转化。 c a 方法由于能够体现枝晶生长中主要物理机制的影响，计算也不像前沿跟踪方法那样繁琐。所 以在枝晶生长的模拟方面表现出了很火的潜力。d i l t h e y 和p a v l i k 9 “提出了一个改进的c a 模型，该模 型是基于界面处溶质扩散的平衡和界面处的曲率作用，通过求解溶质场，建立了描述枝晶界面及其 生长的一系列方程。这个模型可以成功的应用于焊接过程中枝晶形貌演变的模拟。n a s t a c 也采用 了类似的溶质传输公式迸一步修改了模型，使得c a 模型可以用来模拟柱状晶向等轴晶的转变 ( c e t ) 。w a n g - 和l e e 等“1 提出了一个c a - - f d 模型，该模型通过应用一个修上e 的“偏心正方”生 长算法可以用来模拟任意择优取向的枝晶形貌。由于c a 方法仅能给出定性的输出结果，而很少能够 被用来做定量分析，所以b e l t r a n s a n c h e z 和s t e f a n e s c u ( b s s ) “。”1 提出了一个以c a 原理为基础的模型， 该模型是应用液固尖端界面的有效跟踪来模拟在低p e c l e t 数体系下的枝晶生长。这个模型在定量方面 的测试能被试验数据和传统的l i p t o n g l i c k s m a n k u r z 原理的模拟结果很好地证实。z h u 和h o n g 提出了 个改进的c a 模型，该模型能够很好的模拟二维和三维的单枝晶和多枝晶形貌”1 ，以及在熔融对 流作用下的枝晶的生长形貌”。同时。他们还用这种改进的c a 模型成功地模拟了包括多相系统的 规则、非规则共晶组织“，而且这个模型也可以推广到三元合金显微组织的模拟。中国科学院 金属研究所李强、李殿中等o ”1 用连续性方法来处理两相界面物理性质的差异，对f e - c - - 一元合金凝 固过程中的枝晶生长、界面失稳和显微偏析等进行了模拟研究。清华大学的许庆彦、柳百成等1 先 是将c a 模型与宏观传热耦合，对a i - 7 s i 合金的晶粒组织进行了模拟计算，还提出一种形状函数来 3 东南大学硕士学位论文 描述晶粒外部轮廓模拟铝合金枝晶生长的方法。李斌、许庆彦、柳卣成等”。又建立了常规凝l 司条 件相应的宏观传热、等轴枝晶形核、生长以及颗粒推移的三维计算模型这种模型采用一种改进的 c a 方法与有限差分法耦合进行计算研究了不同颗粒体积分数对复合材料宏观传热、微观组织以及 颗粒分布的影响。 1 2 3 流场作用下枝晶生长规律的模拟研究 流场是影响枝晶的生长形貌非常重要的因数之一。对流可以促进或阻碍枝晶的生长，从而导致 了与纯扩散条件下完全不同的枝晶显微组织的形成。因此，在对凝固显微组织进行有效预测时，掌 握金属液流动对枝晶生长的影响是非常重要的。 1 9 9 8 年以来，国内外的学者们应用p f 模型、c a 法和州去耦合流场的数值计算对流场作用下枝晶 的生长规律进行了模拟研究。“”。比较有代表性的有美国的b e c k e r m a n n 和k a r m a 等”应用二维 的p f 模型耦合传输模型以及热噪音对在高热过冷度和液体对流条件下纯物质中的自由树枝晶的生长 进行模拟，研究了流体的流动速度和枝晶生长各向异性强度等因素对枝晶尖端半径、生长速度和二 次枝晶臂发展的影响规律。图1 - 1 为b e c k e r m a n n 等人用相场模型耦合传输模型模拟的纯物质在纯热传 导和有流场作用下的枝晶形貌。 图1 1 相场模型耦合传输模理模拟的纯扩散( 上排) 和有流场作用下( 下排) 的枝晶形貌。7 1 另一方面，国内外也有学者采用传统的c a 方法对流场作用下的凝固晶粒形貌进行了模拟研究。 例如瑞士的r 印p e 等”1 通过在晶体生长的动力学中考虑流场的作用，对速凝带的偏转柱状晶形貌进 行了模拟。韩国的h o n g 等1 采用c a 方法模拟了流场作用下的柱状晶的偏斜生长形貌。国内的有中科 院金属所的李殿中等“。“采用c a - - f d 方法耦合的方法模拟研究了冷却过程中自然对流对凝固晶粒 组织的影响，模拟了钢锭表面柱状晶长度、取向及柱状晶一等轴晶的转变。东南大学的朱鸣芳等” 采用一个改进的c a 模型耦合流场对合金凝尉过程中枝晶的生长规律进行了定性和定量的模拟研究。 上述介绍的 ：作中，流场采用传统的传输模型进行计算。德国的m i l l e r 等人”。”1 应用p f 模型耦合l a t t i c e b o l t z m a n n 方法( l b m ) ”1 模拟了纯物质在流体中的枝晶生长情况。l b m 是上世纪8 0 年代中期新发 展起来的流体力学数值计算方法，将在下面进行详细介绍。圈l 一2 为m i l l e r 等人应用p f - - l b m 耦合模 4 第一章绪论 型模拟的纯扩散和有流场作用下的枝晶形貌。 蔼 1 虱l - 2p f - - l b m 耦合模型模拟的纯物质中纯扩散( 上排) 和有流场作用下( 下排) 的枝晶形貌”1 1 3 凝固过程中流场的数值模拟 自然对流或强制对流所引起的金属液流动是凝同过程中一种不可避免的现象。凝固过程中溶质 在固液两相的重新分配可引起自然对流。工程上为了获得成分均匀化和细化晶粒通常会加上电磁搅 拌、机械搅拌、超声波等方式对液态金属施加强制对流。流场的数值计算传统上是采用传输模型， l b m 是新近发展起来的计算流场的一种方法。 1 3 1 基于传输模型的流场计算 传输模型是求解流场的传统方法也是至今最常用的一种方法。通过传输模型可以模拟自然界 以及工程领域各种粘性流体，在各种流动方面得以再现物理现象的本质。传输模型对流场的求解是 基于连续性方程和动量方程。动量方程即纳维一斯托克斯( n a v i e r - s t o k e s ，n - s ) 方程是传输模型中 一个重要的控制方程，它根据动量守恒定律得出，即动量在流动过程中是守恒的，某个区域的动量 不因流体流入或流出而发生变化。质量守恒定律也是传输模型中所假定的流动过程必须满足的条件， 即在流动过程当中，流入控制体的质量等于流出的质量。对这两个方程，可以用早期的压力修正格 式m a r k e r - a n d - c e l l ( m a c ) 法和基于控制体积的s e m i i m p l i c i t m e t h o df o rp r e s s u r e - l i n k e d e q u a t i o n s i m p l e 诗去来求解1 。s i m p l e 法求解的要点是对速度场和压力场同时迭代求解，计算出的 速度场不仅满足于连续方程，也满足动量方程。传输模型比较适合于单相流动的计算，而由于凝固 过程包含液、固两相或液、固、气三相问题且具有复杂的边界条件，所以用传统的传输模型计算流 场较难收敛。 5 东南大学硕士学位论文 1 3 。2l a t t i c eb o l t z m a n n 方法 l a t t i c eb o l t z m a n n 方法( l b m ) 由美国l o s a l a m o s 国家重点实验室m c n a m a r a 和z a n e t t i 教授” 于1 9 8 8 年首次提出，该方法由格子气自动机( l a t t i c eg a s a u t o m a t a ，l g a ) 理论发展和改进而来。格 子气自动机模拟流场，就是将流体及其存在的时间和空间完全离散，给出离散的流体粒子之问相互 作用以及迁移的规则。格子气模型具有两重意义：( 1 ) 尽可能建立一个简萃的模型使之能够埔来模 拟一个由大量粒子组成的系统；( 2 ) 反映粒子真实碰撞的本质，这样经过一定的时间可以获得流体的 宏观特性。l b m 既不同于宏观的流体力学计算模型也不同于微观的格子气自动机方法( l a t t i c eg a s a u t o m a t a ) ，它被认为是一个介观尺度上的计算方法1 。l b m 的建立具有许多开创性的思想，特别是 从模拟流体运动的连续介质模型向离散模型的一种转变。l b m 直接从离散模型出发，应用质量守恒、 动量守恒和能量守恒规律，在分子运动论和统计力学的基础上构架起宏观与微观、连续与离散之间 的桥梁。它们认为：流体是由大量作无规则运动的微观粒子组成的，流体的宏观运动特征是这些微 观粒子集体行为的结果，而粒子之间的相互作用的具体细节对宏观运动特征而言却无关紧要，粒子 之间相互作用的变化仅仅影响流体的某些参数，并不会影响流体的质量、动量和能量守恒等基本规 律。 目前比较常用的l b m 是l a t t i c eb o l t z m a n nb h a m a g a r - - g r o s s - - k r o o k ( l b g k ) 方法，也被称为单 松弛的l b m 。单松弛的l b m 是基于动力学基本原理用来模拟各种流体流动的一种方法。然而当无量 纲的松弛时间接近0 5 时，这种方法可能导致计算的不稳定。为了克服单松弛的l b m 所存在的缺陷， 近年米学者们又提出一种多松弛的l b m 。多松弛的l b m 不仅具有更好的数值稳定性，而且比单松弛 的l b m 有更大的自由度。 l b m 建立模型的核心问题就是根据不同的网格来确定与之相对应的平衡分布函数。l b m 模型 有d i q 3 ，d 2 q 7 ，d 2 q 9 ，d 3 q 1 5 ，d 3 q 1 8 等( 其中d 指维数，0 指粒子运动方向的总和) 。尉i - 3 为二 维常剧的d 2 q 9 模型，图1 4 为三维计算时常用的d 3 q 1 5 模型。l b m 的演迸过程主要分两个步骤：( 1 ) 迁移，粒子在一个时间步眭内从一个节点运动到它最邻近的节点上：( 2 ) 碰撞，在一个节点上与从 邻近的节点迁移过来的粒子发生碰撞，根据质筐，动量和能量守恒规则改变粒子的速度，然后又以 改变后的速度继续进行迁移。这两个步骤交替循环，直到流场收敛。 弋。 “ 图i - 3d 2 q 9 模型 留 边界条件在l b m 的数值计算中占有非常重要的地位，它不但影响到计算结果的精度，还影响计 算的稳定性。常用到的计算流体动力学的边界条件有圊壁边界条件和开放式边界条件1 。固壁边界 条件主要是针对固、液无滑移边界的处理方法，最常用的是采用如图1 5 所示的反弹格式”。在这 6 第一章绪论 种格式中，当粒子迁移到壁面格点后，粒子被原路返弹同到流体的内部，而且反弹后运动方向与入 射方向相反。这种格式中粒子在边界格点处是不发生碰撞的。反弹格式非常容易实现，而且可以保 证肇面的质量守恒和无滑移速度。然而近年来的研究表明反弹的边界条件只能获得一阶精度。为了 提高计算精度研究者们在反弹格式的边界条件的基础上提出了改进的反弹格式和半反弹格式”“。在 改进的反弹格式中粒子在边界格点上也发生碰撞，并产生非零的滑移速度，该格式是二阶精度的。 在半反弹格式中，壁面被移到了格点的中间，而粒子的碰撞和传输过程与反弹格式相同，这种格式 的精度也是二阶的”。开放式边界条件通常用来处理对称轴或对称面，入口和出口处的流速，液、 气界面的自由滑移边界等。周期性边界条件是处理对称性边界的一种简单有效方法1 。通常用于恒 定流速的实验模拟中，它可以有效地减小有限的计算区域的边界对计算结果的影响。自由滑移边界 也是常用的一种开放式边界条件，一般用于处理液、气界面闽题，可用界面速度梯度为零的方法进 行处理。 悬。f。c 憋；够 疆壁 图1 - 5 固壁反弹边界条件 作为一种新近发展起来的流体力学计算方法，l b m 有以下优点：首先，在l b m 中，对流项是 线性的，而不是像n s 方程中那样为非线性的。其次，在流体不可压缩的近似f ，压力可以由粒子 分布函数直接给出，不需解压力p o i s s o n 方程。此外，l b m 非常适用于多相流的计算。最后l b m 适宜并行计算”“”。由于具有上述优点，l b m 在近2 0 年内得到了迅速发展，现已成功地应用于 漉体力学诸多方面的数值计算，如湍流、多相流、多孔介质流、空气动力学、磁流体力学、燃烧问 题以及一些化学反应和具有复杂边界的流动等”。从9 0 年代后期国外有学者将l b m 应用于凝固 领域的数值模拟，如对流作用下的枝晶生长、金属熔化和泡沫金属成型过程等方面，显示出了很好 的应用潜力。但至今国内还未见有关将l b m 应用于凝固过程模拟的有关报道。 1 4 凝固过程中浓度场的数值模拟 合金凝固过程伴随着溶质分布的变化。而溶质分布是影响枝晶生长和形貌的重要因素。因此， 对浓度场的模拟是进行微观组织模拟的重要环节。浓度场的模拟一般是采用传输模型进行计算，l b m 也可以用于浓度场的计算。 1 4 1 基于传输模型的浓度场计算 传质是合金凝固过程中很重要的一个方面。随着晶粒的形核和生长，一方面在液相中析出具有 和液相成分不同的固相。释放出的溶质富集在凝固界面前沿的液相中，即溶质在固液相中的再分配； 7 东南大学硕士学位论文 另一方面从不同成分的液相析出的固相也具有不同的成分，这样就造成了凝固体系中各处溶质浓度 的不均匀，引起溶质传输。纯扩散时的溶质传输遵循菲克定律，一般采用有限差分方法来进行数值 计算。当存在对流时，浓度场变化将由对流和扩散所控制，具体的数值计算方法见第二章。传输模 型对纯扩散时的浓度场计算比较简单，但当考虑对流的影响时，则计算变得比较复杂，计算效率较 低。 1 4 2l a t t i c eb o l t z m a n n 方法 基于传输的相似性原理，l b m 也可以用于浓度场的计算”“。与l b m 对流场的数值计算相似， 同样将空间离散成网格，引进虚拟粒子，假定每个节点上存在一个虚拟粒子。在满足分布方程和碰 撞规则的前提下虚拟粒子相互作用，得到每个节点( 粒子) 的状态，直至计算结束。随着时间步长 的增加，最终可确定浓度场的分布。l b m 浓度场的具体数值计算方法详见第二章。l b m 用简单粒子 运动的概率统计来表现宏观复杂的物理现象，它对有无对流影响的浓度场的计算差别不是很大。此 外，由于l b m 是基于分子运动论的统计力学的数值计算方法。适合于计算多相流，所以l b m 应用于 凝固过程中的浓度场计算有其自身的优越性，可以获得较高的计算效率。但目前有关l b m 应用于凝 固过程浓度场模拟的文献报道还比较少见。 1 5 本课题的研究内容、研究意义及创新点 1 5 1 本课题的研究内容 本论文主要研究内容为合金凝同过程中流场对枝晶生长形貌的影响规律进行模拟研究。考虑到 合金中的枝晶生长主要受溶质传输所控制，而浓度场叉受对流和扩散的控制，所以本论文对凝同过程 中浓度场耦合流场的变化进行计算。采用l b m 进行计算流场和浓度场，进而耦合模拟枝晶生跃的 c a 模型，分别定性和定量地对合金凝固过程中枝晶生长的规律进行数值模拟研究，并与c a 一传输 模型“”模拟的结果进行比较。主要研究内容如图1 - 6 所示，包括以下几个方面： ( 1 ) 在原有的l b m 计算流场的程序基础上，修正边界条件，使之能适用于耦合枝晶生长的流场 模拟。 ( 2 ) 编制l b m 计算浓度场的程序。 ( 3 ) 将l b m 计算的速度场和浓度场与c a 模拟晶体生跃相耦合，建立c a - - l b m 模型，并编制 相应的程序。 “) 应用c a - - l b m 模型对二维单枝晶在流场作用下的生长行为进行模拟研究。针对a i - c u 合 金中二维单枝晶在流场作用下的生长形貌及溶质场的偏析进行数值模拟，对改变流场强度、流体流 动方向和合金成分等不同条件下枝晶尖端的生长速度和成分进行定量分析。并与课题组前期发展的 c a - - 传输模型的模拟结果进行比较。 ( 5 ) 应用c a - - l b m 模型对二维多枝晶在流场作用下的生长行为进行模拟研究。并与c a 一传 输模型模拟结果进行比较。 1 s 2 本课题的研究意义及创新点 枝晶组织是金属材料铸造成形工艺过程中最常见的显微组织，它的形貌特征与金属制品的力学 8 第一章绪论 性能直接相关。自然对流或强制对流所引起的金属液流动是凝同过程中一种不可避免的现象，它将 对枝晶的生长形貌产生非常重要的影响，所以掌握流场对枝晶生k 动力学的影响规律是对凝吲显微 组织进行有效预测和控制，进而对金属制品的性能进行有效预测和控制的非常重要的一个方面。在 以往的枝晶耦合流场的模拟研究中，流场的计算一般都是采用传输模型，但传输模裂比较适合于计 算单相流体流动，在凝同过程的数值模拟中存在同、液两相，尤其是当崮相分数比较大的时候，计 算不易收敛，影响了计算效率。如前所述，与传输模型相比，l b m 更适合于对多相流进行数值计算， 且更适合于在微观尺度将流体运动与相变过程相耦合。德国的m i l l e r 等“”1 率先将l b m 应用到凝 固模拟领域，发展了p f l b m 耦合模型对纯物质的对流枝晶进行模拟。但至今未见报道将l b m 应 用于合金凝固过程中的对流枝晶模拟。此外，在国内凝固过程数值模拟领域至今还未见应用l b m 的 相关报道。本文在本课题组前期工作发展的c a 模型和c a 一传输模型基础上，采用l b m 对流场和 浓度场进行数值计算，建立c a - - l b m 耦合模型，对合金凝周过程中流场作用下的枝晶生长规律进 行了模拟研究，在国内首次尝试将l b m 这种流体力学计算新技术应用到凝固过程数值模拟。 l b m 计算l b m 计算 流场浓度场 uu 建立c a l b m 耦合模型 u 单枝晶模拟多枝晶模拟 u 纯扩散和对定量分析枝晶尖端c a l b m 模型 流枝晶的 浓度和生长速度 和c a 传输模 比较随时间的变化型的比较 图1 6 本课题的主要研究内容 9 东南大学硕士学位论文 第二章模型和算法 合金凝固过程中在对流作用下枝晶生长的模拟涉及到流场、浓度场、温度场和枝晶生长的数值 计算。如第一章所述，在本文工作中假定计算区域内的温度场均匀恒定。本章主要介绍了流场、浓 度场和枝晶生长的模型和相应的数值计算方法，以及用于模拟对流作用下的枝晶生长的c a - - l b m 耦合模型和c a 一传输耦合模型。 2 1 流场的数值计算 2 1 1 计算流场的传输模型 我们可以把凝固过程中高温熔融的金属液看作有黏度的不可压缩的牛顿流体，对黏性不可压缩 牛顿流体进行数值计算的控制方程为连续性方程和动量方程( 纳维一斯托克斯，n a v i e r - s t o k e s 方程) 1 由于流体流动满足质量守恒定律，即流入控制体的质量等于流出控制体的质量，可得出笛卡尔 坐标系下二维连续性方程的通式为： 式中 塑：- f 塑+ 塑1 a t l 缸砂 旷一流体密度； x ，y 直角坐标( 也称为笛卡尔坐标) 系的两个方向 u x 方向的速度； v y 方向的速度： ( 2 1 ) t 时间； 对于不可压缩流体，密度不随时间变化，则连续性方程可简化为： 罢+ 祟：0 ) 靠d v 进行流场计算的另一个重要控制方程为动量方程，即纳维一斯托克斯方程，它由动量守恒定律而 得出。二维直角坐标系统下的动量方程为： 1 0 第二章模型和算法 = _ 1 + g x + rt 丽1 - + 争2 一i+ 矿) 害+