（机械设计及理论专业论文）区间分析在非线性机构位置求解中的应用研究.pdf

区间分析在非线性机构位置求解中的应用研究 摘要 本文研究内容是将区间分析理论引入机械设计理论的一次尝试与探索。在 机械设计中，一些机构的位置求解最终将转化成非常复杂的非线性方程组的求 解，如空间连杆机构。但求解多元高次非线性方程组非常困难，且难以有保证 地得到全部解，而数学领域的一个新的分支一一区间分析在这方面有着突出的 优势。因此，本文针对机构位置求解中的非线性方程组，提出了一种利用区间 分析的新的区间求解方法。与区间迭代法及其他求解方法不同，新区间法包括 两个部分：区间求解部分和后续点迭代部分。区间求解部分有保证地给出所有 的含有唯一解的子区间；后续点迭代部分在各子区间中收敛到满足精度的各实 值解的近似值。新区间法既避免了区间迭代法的复杂性，又克服了其他迭代方 法收敛结果依赖于迭代起点，难以得到全部解的缺点；这是本文在求解方法上 的创新。另外，在区间求解部分，针对求解并联机构位置正解，提出了基于区 间分析的初始求解域简化方法，使初始求解区间范围的合理选择不再盲目，而 是有了理论依据；这是本文的另一个创新。文中，以六自由度并联机构位置正 解的非线性方程组为例，首先详细阐述了新区间解法的求解思路、具体方法， 然后给出了基于m a t l a b 、i n t l a b 的软件实现算法，最后采用一个具体的平面基 座实例进行了验证。 关键词：区间分析；区间迭代；非线性机构；并联机构；机构正解 t h e a p p l i c a t i o no fi n t e r v a la n a l y s i si nt h ep o s i t i o ns o l u t i o no f n o n l i n e a rm e c h a n i s m a b s t r a c t t h er e s e a r c hc o n t e n ti nt h i sd i s s e r t a t i o ni sa na t t e m p ta n de x p l o r a t i o nt ob r i n g t h ei n t e r v a la n a l y s i st h e o r yi n t om e c h a n i c a ld e s i g nt h e o r y i nm e c h a n i c a ld e s i g n ， t h es o l u t i o n o fs o m e m e c h a n i s m sw i l l e v e n t u a l l y b et r a n s f o r m e di n t o v e r y c o m p l i c a t e dn o n l i n e a re q u a t i o n s ，s u c ha st h es p a t i a ll i n k a g em e c h a n i s m s h o w e v e r ， s o l v i n gm u l t i p l eh i g h - o r d e rn o n l i n e a re q u a t i o n si sg e n e r a l l yv e r yd i f f i c u l t a n d h a r dt og e tf u l ls o l u t i o n sg u a r a n t e e d ，w h i l ei n t e r v a la n a l y s i sw h i c hi san e wb r a n c h o fm a t h e m a t i c sh a so u t s t a n d i n ga d v a n t a g e si nt h i sf i e l d t h e r e f o r e ，t h ed i s s e r t a t i o n h e r ep r e s e n t san e ws o l u t i o nm e t h o du s i n gi n t e r v a la n a l y s i st os o l v en o n l i n e a r m e c h a n i s mp o s i t i o nf u n c t i o n s d i f f e r e n tf r o mi n t e r v a li t e r a t i o nm e t h o da n do t h e r m e t h o d s ，t h en e wi n t e r v a la n a l y s i ss o l u t i o nc o n s i s t so ft w os e c t i o n s ：t h ei n t e r v a l s e c t i o na n dt h ef o l l o w i n gp o i n ti t e r a t i o ns e c t i o n i n t e r v a ls e c t i o nt e l l so u ta l lt h e s u b - i n t e r v a l sw h i c hc o n t a i nu n i q u es o l u t i o na n dt h ep o i n ts e c t i o nc o n v e r g e st ot h e a p p r o x i m a t i o no ft h ee x a c ts o l u t i o ni ne a c hs u b i n t e r v a l t h en e wm e t h o da v o i d s t h ec o m p l e x i t yo fi n t e r v a li t e r a t i o nm e t h o da n do v e r c o m e st h es h o r t c o m i n gt h a tt h e c o n v e r g e n c ed e p e n d so ns t a r t i n gp o i n ta n di sd i f f i c u l tt oo b t a i na l lt h es o l u t i o n si n o t h e ri t e r a t i v em e t h o d s ，w h i c hi sai n n o v a t i o ni ns o l v i n gm e t h o d i na d d i t i o n ，a i n t e r v a lm e t h o df o rs i m p l i f y i n gi n i t i a ld o m a i ni sp r o p o s e di nt h ei n t e r v a ls e c t i o no f t h ep o s i t i o ns o l u t i o nf o rp a r a l l e lm e c h a n i s m ，w h i c hm a k e st h ed o m a i nc h o s e nn o t b l i n d l yb u tt h e o r e t i c a l l ya n di sa n o t h e ri n n o v a t i o ni nt h i sa r t i c l e i nt h ed i s s e r t a t i o n ， t a k i n gp o s i t i v ep o s i t i o ns o l u t i o n so fa6 - d o fp a r a l l e lm e c h a n i s ma sa ne x a m p l e t h ew h o l es o l v i n gi d e aa n dc o n c r e t em e t h o di s e x p a t i a t e df i r s t l y t h e n ，t h e p r o g r a m m i n ga l g o r i t h mi sg i v e nb a s e do nt h es o f t w a r em a t l a ba n di n t l a b f i n a l l y ，i t i sv a l i d a t e du s i n gac o n c r e t ef i a t b a s es o l u t i o n k e y w o r d s ： i n t e r v a la n a l y s i s ；i n t e r v a li t e r a t i o n ；n o n l i n e a rf u n c t i o n s ； p a r a l l e lm e c h a n i s m ；d i r e c tk i n e t i ca n a l y s i s 图1 1 图1 2 图2 1 图2 2 图2 3 图3 1 图3 2 图3 3 图3 4 图3 5 图3 - 6 图3 7 图3 8 图3 - 9 图3 10 图3 1 l 图4 1 图4 2 图5 1 图5 2 图5 3 图5 4 插图清单 g o u g h 轮胎试验装置一5 虚拟轴机床6 包装效应示意图l3 同一方程的不同简单包含方程的比较1 4 中心包含方程区间宽度的影响1 5 6 s p s 并联机构结构图1 6 6 一s p s 并联结构原理图1 7 区间解法的结构18 区间求解部分的内容1 9 坐标系的欧拉转换2 0 平移向量c 2 2 区间求解步骤流程图2 4 二维矩形区间的铺设一2 7 三维区间的完全对分2 7 一次2 维求解构成的子铺设2 8 子铺设的树状表示2 8 i n t l a b 的常用的界面图形3 2 区间解法的程序结构3 3 求解实例的计算结果( 第一组解) 4 4 求解实例的计算结果( 第二组解) 一4 4 求解实例的计算结果( 第三组解) 一4 5 求解实例的计算结果( 第四组解) 4 5 表格清单 表2 1 正弦函数的区间计算算法1 2 表4 1 建立方程的计算法则3 4 表4 2 简化初始域计算法则3 6 表4 3 区间对分法则一3 6 表4 4 完全对分子区间的构成3 7 表4 5 区间算子检测法则3 8 表4 6 点迭代法则3 8 表4 7 验证和绘图程序3 9 表5 1 求解实例的给定参数4 0 表5 2 由给定条件整理的参数4 1 表5 3 完全对分子区间实例4 2 表5 4 求解实例的计算结果4 3 表5 5 反解各组杆长及给定杆长4 6 表5 - 6 以杆长误差标定的计算精度4 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆王些丕堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字壬酶字日期：p ，哞钼馆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目墨王些态堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金壁工些太 兰l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 五为秀 导师签名： 嵩舵 签字日期：w 萨细b 0签字日期： 吖年鲜稠_ 昏 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 本论文是在导师一一黄康教授的悉心指导下完成的。黄老师知识渊博，治 学严谨，对学术问题精益求精的精神，使我受益匪浅。在这三年的研究生学习 生涯中，我从导师身上不仅学到了许多科学文化知识，还学到了如何正确认识 问题，克服困难的精神。这将对我将来的生活产生重大影响。我深深的感谢黄 老师这三年来给予我的无微不至的关怀和照顾，感谢黄老师在我做论文期间给 予的认真指导。 感谢机械设计教研室的所有老师，和4 0 2 、4 1 4 、4 1 6 实验室的所有同学、 师兄师弟们，他们在我做课题期间给予了细致的帮助。 感谢父母的养育和照顾；感谢小妹的热情帮助；感谢麦芽糖的充分理解和 无私支持。 感谢合肥工业大学研究生部为我提供了良好的学习和生活条件，使我得以 顺利地完成学业。 祝愿合肥工业大学的明天更美好! 慨五镌 2 0 1 0 年4 月2 7 日 第一章绪论 1 1 选题的背景和意义 区间分析，也称为区间数学，是古老的数学之树的一棵新枝，它迅速地生 长、壮大，并已开花结果。近些年来，区间数学也不断被应用到科技、工程等 领域，并取得了颇为丰硕的成果。区间分析在非线性方程组的求解方面的研究 有了一些新的发展，不少学者构建和改善了多种区间算子并证明了其收敛性。 同时，证明了一些区间算子具备新的性质，为本文非线性方程的求解提供了新 的思路。 机械设计中，机构的位置分析是运动分析中最基本的任务，也是机构速度、 加速度以及其他的受力分析、误差分析、工作空间分析和机构综合等的基础。 而一些机构的位置求解最终将转化成非常复杂的非线性方程组的求解，如空间 连杆机构。但求解转化后的多元高次非线性方程组往往非常困难，而且难以有 保证地得到全部解。另外，区间数学的一些定义和概念，与机械设计理论中一 些具体的设计参数类似，如粗糙度、可靠性寿命和传动设计时的一些载荷系数 等，甚至安全系数都可以采用区间数学定义，以新的方式重新表达。因此，本 文的研究不仅为机构位置正解提供了一个新的求解方法，也是将区间分析理论 引入机械设计理论的一次尝试，为机械和数学这两门古老学科的融合注入新的 活力。 1 2 区间分析的起源和发展 1 2 1 区间分析的起源 区间分析最初是从计算数学的误差理论研究中发展起来的。19 5 9 年，r o m a n m o o r e 在数值计算误差的自动控制中开始引入区间的概念；并于1 9 6 2 年，完成 关于运用区间数学分析和控制计算误差的博士论文。这是关于区间理论最初的 论述。 计算误差直是数值分析中一个比较麻烦的问题，它主要来源于三个方面： 数据误差、截断误差和舍入误差。在复杂的大型计算中，由于计算误差的累积， 计算结果可能失去实际意义。为使计算结果尽可能精确，人们一直努力控制计 算误差，以使计算结果在所要求的精度范围内。数值分析领域的长期研究发现， 有时不仅需要知道近似的计算结果，还需要估计计算结果的精确度，即要知道 近似结果的误差。正是在解决这个问题的过程中，区间分析应运而生。区间分 析为估计误差研究提供了一种简便的方法，它考虑到各种计算误差的同时，作 为计算结果，得到一个包含精确结果的区间。这就可能实现数值分析所希望解 决的问题，即计算机程序能同时算出两个数值：近似值和误差界限。 1 9 6 6 年，m o o r e 出版了区间分析的第一本著作i n t e r v a la n a l y s i s ，系统地 介绍了区间分析理论。在同一时期，h a n s e n 也研究了线性代数的区间运算；其 他一些德国学者，像a l e f e l d 、k r a w c z y k 、n i c k e l 等也发展了一些区间运算的概 念【2 1 。因此，区间分析理论并非m o o r e 一个人单独提出的，但是，他提出的 理论最为系统、详尽。 1 2 2 区间分析的发展 区间分析在最初的二十年里发展相对缓慢；上世纪8 0 年代，区间分析进入 了重要的发展阶段，n e u m a i e r ( 1 9 8 5 ) 研究了线性、非线性方程组的区间求解， r a t s c h e k 和r o k n e ( 19 8 4 ) 以及k e a r f o t t ( 19 8 9 ) 研究了区间优化。进入9 0 年 代后，区间分析已经成为数值分析中一个比较活跃的分支，l9 9 1 年创办了专门 的期刊i n t e r v a lc o m p u t a t i o n s ，1 9 9 5 重命名为r e l i a b l ec o m p u t i n g ，每年召开几次 定期的国际会议p j 。 区间分析的一些典型方面是1 4 j ： 1 ) 数学结构方面的新发展。区间数学是古典数学的几个方面的重新组合， 例如，格伦和分析或者集论和算数。 2 )数值分析中可靠界限的计算。随着计算科学的发展，特别是计算机算 术和编译程序，借助计算机去获得问题解的确保的误差界限。 3 )对非数学学科( 例如，物理、工程、经济等) 的应用。通常一个问题 的原始数据并不能精确知道，但知道包含在给定的界限范围之中。有时一个给 定过程的理论原理并不完整，但近似的描述方程己知。对于这两种情况，区间 数学都能给出这些问题的未知解的界限。 利用区间迭代方法求解非线性方程组是区间分析发展较为成功的方面。区 间迭代中区间算子的性质也是本文研究的核心内容之一。下面对区间迭代的发 展进行简要的介绍。 关于单变量实函数方程 f ( x 1 = 0 ( 1 - 1 ) 的求解是一个古老的问题。人们一直试图建立求解式( 1 1 ) 的具有全局收 敛性质的迭代程序，至今取得了不少成果，最为基本要算n e w t o n 法。但程序 的计算公式较为复杂，对厂的要求较为苛刻，而在实际应用中难以完全满足， 因此，求解结果不甚理想。 19 6 6 年，m o o r e 第一次发表了一种新型迭代法。他利用区间数学，在古典 n e w t o n 法的基础上，引进区间变量，构成了n e w t o n 法的区间变形，使所得的 迭代程序，在每次迭代过程中产生了解的界限，从而不仅得到了解的近似，同 时也得到了相应的误差。新算法的这个特点，显然是一般的点迭代法( 指经典 迭代，为防止与区间迭代混淆) 所不具备的。m o o r e 的这一新思想，立即引起 了许多学者的重视。h a n s e n ，n i c k e l ，k r a w c z y k 都在m o o r e 新方法的基础上， 做了许多完善与改进工作。特别应该提出的是，h a n s e n 和n i c k e l 分别在不同的 2 要求之下，利用不同的处理方法，各自得到了不同形式的、具有全局收敛性质 的修正后的区间n e w t o n 算法【5 】，为m o o r e 的区间迭代法增添了新的光彩，并 拓宽了区间迭代的应用范围。 m o o r e 提出的新型区间算法的基本思想与点n e w t o n 法相似。设函数f ( x ) 为 给定区间a = 口，b 】上的连续可微函数x 为包含厂零点的某区间，x 彳。利用 微分中值公式，对于任意y x ，成立 f ( x ) 一f ( y ) = f ( y + e ( x 一) ，) ) ( x 一y ) ( 1 2 ) 式中，0 0 一 o 】一，1 y 如果y 0 ，并且y = 0 卜0 0 ，o o 如果y 0 在上述定义之下，可以证明：设区间瓜只z j ( r ) ，则 x + y = y + x x 宰】，= p x(2-1】) x + ( 】，+ z ) = ( x + 聊+ z 彳幸( 】，幸z ) = ( x 宰y ) 宰z 以上结果表明，数运算的交换律、结合律对于区间运算同样成立。但区间 运算中也存在一些与数运算不同的代数性质。譬如，由于区间运算的依赖效应 ( 后文阐述) ，分配率在区间运算中就不成立。相应得，设区间讯y 、z ，( 月) ， 能够得到x 木( y + z ) cx 幸】，+ x 宰z ，称为区间运算的次分配率。 1 0 o o2 聆 疗 一 一，h、 一 一附哪 一 一 ， z 一 k 夕 图3 5坐标系的欧拉转换 的坐标系。r 为r 。绕k o 旋转y 角得到的坐标系；r ，为r ，绕i ，旋转0 角得到的坐 标系；r ，为r ，绕k ，旋转9 角得到的坐标系；r 。为r ，通过一次平移得到的坐标 卧褂鼽鼻= 降钏 乏 = 忍 ，其中，足= 叠二三二三塞暑； = 只 兰 ，其中，b = 二葶三罨； 。 整理得 j 3 = p 3 p 2 p 系r ，下，成立等式 卜， ( 3 2 ) ( 3 3 ) 皆7 4 ， 因此，移动平台坐标系r 。下的点m 的坐标x 4y 。，z 。，转换为固定平台坐标 系r o 下的坐标x 0y o ，z o 为 制 5 ， 分别是：3 个位置向量c ，、c 。、c ：和3 个姿态角度l f ，、0 、9 。 ：4 ( a = o , - b , o , ) 2 + ( a y o , - b y o ；) 2 + ( a = o , - b ：o , ) 2 。( 3 - 6 ) 其中，a ”6 0 ，分别为在r 。坐标系下的a ，、匆坐标值。口，给定值即在r 。坐标 系下，6 需引入自变量x = ( c x , c ，c ：，( p ，0 ，v ) 转换到r 。坐标系下。这样，计算杆长 式中， 门为f 的简单包含方程；【x 为六维区间向量，分别对应为： c ， 、 2 1 标乇矗k墼r 1 1 和 | = ! r 系 标坐在 量 向 一 司 定初始求解域。其他数值解法在选择初始值时，其范围的确定没有理论依据， 一般在估计范围内确定。显然，六维区间向量( 采用如下书写形式，仅为方便 后文表述) 【，o o 】， ，】，卜0 0 ，o o 】，【一万，万】， _ 石，疗】，卜万，万】 满足要求，只是不利于后续的区间对分，且会使计算量过大。 研究区间性质时，发现区间的集合性质能够很好地解决这个问题，为此， 本文在此提出确定初始求解域的区间分析法。通过该方法，初始区间能够得到 较大程度的简化。这使初始求解区间的确定不再盲目，而是有了理论依据，是 求解过程中应用区间分析的又一个创新。 己知条件求出，记为d ( o ，6 ，) ；平移向量c = 0 0 o a ，+ a , b i + 6 ，0 ，可以写为 c = a l + ( b l a ，) + ( d - b ，) 。显然，( b ，一口，) 中的每一个元素都属于【- i l 】；( 0 1 一匆) 中 心1 卜1 l c yl = i 口pi + ( 6 ，一口，) + ( d 一b t ) ( 3 - 9 ) k | k l 三i妻+三；+三兰三：；兰；至l三：；兰；雾 c3 一。， fa 。+ 【- l , ，】+ 【- d ( o ，匆) ，d ( o ，b ，) 】1 【f 】朋= nl 口w + 卜，】+ 卜d ( o 。，b ，) ，d ( d 。，b 。) 】i ( 3 - 1 1 ) i 口西+ 【一，】+ 卜d ( o 。，b ，) ，d ( o ，包) 】j 采用式( 3 1 1 ) 所得结果能够将平移向量的三个分量的初始区间由r 域正 负无穷降下来，使接下来的区间对分成为可能。 由于机构运行的实际约束，一般情况下c 分量取正值，只求取固定平台某 一侧的解。理论上讲，固定平台另一侧存在同样数量的可行解，只是在此不做 讨论。 另外，由于选取的坐标系变换矩阵自身具备对称的性质，即存在 p ( 9 ，0 ，吵) = 尸( 妒+ 万，- 0 ，l 矿+ 7 r ) ( 3 - 1 2 ) 在迭代循环时，p 分量取正值，即0 o ，厅】，可以将初始求解域缩小一半， 另一半解可以通过对称关系获得，在保证能够获得所有可能解的同时，大大减 少了区间对分的次数和计算时间。 因此，综合得初始求解域为： f 口。+ 【一，】+ - d ( o ，b j ) ，d ( o ，b ，) 】1f 兀，冗 1 。 【ni 口w + 【一，】+ 一d ( d ，b 。) ，d ( o ，b ，) 】l ，l 【o ，兀】i】 ”“ 6 k + h ，】+ h ( 。，6 ，) ，d ( 。，6 ，) 引【、h ，冗】j 3 3 3 区间方程的求解 前面两节已经得到了非线性区间方程，并且已经简化了初始求解域；本节 主要阐述并联机构位置正解区间方程的求解方法。具体步骤，如图3 7 所示： 首先，将初始区间对分成2 ”个子区间，刀为自变量的维数，这里取6 ；然后， 使用区间算子对各个子区间进行检测。检测结果分为三种情况：无解区间、待 定( 多解) 区间和唯一解区间。若无解，则舍弃相应的子区间；若有唯一解， 则保留相应的子区间，区间迭代结束后，该在子区间内执行点迭代；其余为待 定区间，待定区间可能存在多解，待定区间返回进行再次对分。对分后，对次 级子区间进行检测，如此迭代循环，直至得到初始求解域内的所有的唯一解区 间。区间检测和区间对分是区间迭代求解的重点部分，后将详细介绍。 图3 7 中，实线部分为非线性方程的区间求解部分，目标是求解出所有包 含唯一实解的子区间；虚线部分为后续经典点迭代求解部分，旨在得到满足给 定精度的各个实解的近似值。充分利用了区间迭代的初始求解域简化和唯一解 判定，经典点迭代的在精确值附近快速收敛的优点。 区间检测 图3 7 中，解的检测即为接下来要阐述的区间检测，这是其它求解方法难 以实现的。另外，图中无解、唯一解、待定( 多解) 结果可以标记为第二章包 含测试中提到的馏集合，分别对应其中的 o ) 、 l 、“0 ，1 】) 元素；其中 1 ) 元素 为区间迭代的目标。 区间检测是用来证明给定区间内所有元素都满足给定的特性，或者都不满 足。具体到方程求解来说，就是证明给定区间内无解，或者证明其有唯一解， 否则即为归类到待定( 多解) 。本文采用的区间检测是利用k r a w c z y k h a n s e n 区间算子的性质完成的。 ，一一一一y 一一一一、 后续点迭代 ，： 图3 7区间求解步骤流程图 区间算子起源于区间迭代，m o o r e 最早提出区间迭代算法，并构造了与点 迭代n e w t o n 算子相似的区间算子。后有许多学者发展了区间迭代算法，构造 了多种区间算子，在引言中已有所介绍，具体内容可参阅有关文献。本文利用 到k r a w c z y k h a n s e n 区间算子所特有的一些性质，接下来将做详细介绍。 k r a w c z y k h a n s e n 区间算子是由h a n s e n 、s e n g u p t a 等对k r a w c z y k 区间算 子做了重大改进而得到的。k r a w c z y k 区间算子记为 k ( y ，彳) = y y f ( y ) + ( i y f ( x ) ) ( x - y ) ( 3 - l3 ) 其中，y x ；y 为，z 阶非奇异矩阵；f 。为厂的具有包含单调性的区间扩展。 写成分量形式为： k ( y ，x ) ，= y ，- g ，( y ) + r 口( x ) ( x j - y j ) ，f = 1 ，2 ，行 ( 3 1 4 ) j = l 其中，g ( y ) = y f ( y ) ，r ( x ) = ，一y f ( x ) 。对式( 3 - 1 4 ) 右端的求和项进行分 解，得到 月t-1” r 。( x ) ( z ，- y ，) = r ，( 彳) ( z ，- y ，) + r ，( 工) ( x ，- y ，) ( 3 15 ) j = lj = l t l 利用g a u s s s e i d e l 技巧，式( 3 1 4 ) 可以改造为 2 4 t - 1 k ( y ，x ) ，= y ，- g ，( y ) + r ，( x ) ( 日j - y ，) j 2 1 ( 3 1 6 ) + r ( x ) ( x j - y a i = 1 2 ，甩 j = 其中，h j = 片( y ，x ) 厂、x j ，( f = 1 ，2 ， ) 。 引进矩阵 ( x ) = u ( x ) = 0 r 2 i ( x ) 0 ；10 r m ( x ) r 。2 ( x ) 0 r 1 1 ( x ) o 0 0 r 。2 ( x ) r ，。( x ) r 2 2 ( x ) r 2 。( x ) 0； 00 r 。( x ) 显然地，r ( x ) = l ( x ) + u ( ) 。则，式( 3 16 ) 可以表示为 h ( y ，x ) = y g ( y ) + 三( x ) ( 日- y ) + u ( x ) ( x y ) ( 3 - 17 ) 其中h h ( y ，x ) n x 。 式( 3 17 ) 就是要采用的k r a w c z y k h a n s e n 区间算子，该算子具有一些重 要的性质。对于非线性方程组厂( x ) 性质i若x 厂、h ( y ，x ) = ，则方程组在x 中无解。 性质i i 若znh ( y ，x ) 砂，则h ( y ，义) 匹k ( y ，x ) 。 性质i i i 若h ( y ，x ) 非空，且h ( y ，x ) x ，则方程组在x 中有解，且解存在 于日( y ，x ) 中。 上述三条性质，是对于非线性方程组是否有解的判断。这些性质与其它区 间算子的性质类似，其中，性质i i 表明改进后的算子比原k r a w c z y k 算子区间 宽度更小，收敛速度更快。 之所以采用k r a w c z y k h a n s e n 算子是因为当给出更强的计算检验条件 日( x ) cx 时，它具有其它算子不再具备的特性，如 性质i v 若h ( y ，x ) 非空，且对给定的区间向量x ，( d ) ，d r ”满足 h ( y ，x ) x ，w ( h ) w ( x ) ，则方程组在x 中有唯一解，且解存在于区间日( y ，x ) 中。 性质v 当区间x 中存在唯一解时，对于任何初始近似点x h ( x ) ，点迭代 序列x ( 川= x 一矽( x ) ，k = 1 , 2 ，收敛于h ( x ) 中的唯一解。 上述两条性质均可采用归纳法进行证明，证明过程比较复杂，在此不作阐 述，具体可以参见参考文献4 。 性质i v 给出了区间内具有唯一解的判断条件，确定了图3 7 中唯一解的判 断依据，即给出了保留区间的取舍标准。 2 5 性质v 明确给出了得到具有唯一解区间后的求解方法，并从理论上保证了 后续点迭代程序对该区间内唯一解的收敛性，即为图3 7 中的虚线部分提供了 理论依据。 至此，完整地给出了非线性方程组在给定区间内无解、唯一解的检测方法， 即首先构造k r a w c z y k h a n s e n 区间算子，然后计算分析给定区间是否满足区间 算子的相应性质。 构建本文所研究的并联机构的位置正解区间方程的k r a w c z y k h a n s e n 区间 算子非常复杂，在后续章节的实例中将会具体阐述。 区间对分( 铺设) 当对某一区间进行检测后，发现它既非无解区间、又非唯一解区间，即图 3 5 中的待定( 多解) 区间，则需要对该区间作进一步的研究。这里采用区间 对分法，即根据第二章中介绍的区间分析里的子铺设将待定( 多解) 区间分成 多个次级子区间，分别对各个次级子区间进行判定。 在区间子铺设中，最基本的操作为：将一个区间均分成两个对称的子区间。 考虑区间 【x = 【x ，x l 】【x ，x ”】= 【x 1 】x x 。】 ( 3 18 ) 一j一打 假定，它的分量里宽度最大的最小维度索引号为，即满足 ，= m i n i lw ( 防， ) = w ( x 】) ) ( 3 1 9 ) 则均分后的区间分别记为：l x 】、r x 】，且 l x 】兰【x ，x l 】x 【x ，( x + x j ) 2 【x ，x 。】 一1 一一j 一” ( 3 - 2 0 ) r x 兰【x ，x l 】x 【( x + x j ) 2 ，x j 】 x ，x 一】 一1 一， 一月 通常，称l x 为 x 】的左子区间，研叫为【x 】的右子区间。像这样，由【x 得 到上 x 】和r x 的过程称为【x 的对分；其实质是一次从坎”到豫”的区间操作。对 分是区间铺设中提到的区间操作。 区间铺设的定义为：用易于描述和实现的有限个数非重叠子区间覆盖原有 区间，并保持其重要特性不变。相邻子区间不能重叠，但一般会有低一维的共 同边界。铺设子区间可以为方形、圆形、椭圆、多边形、多面体等；但通常采 用通过多次对分形成的的对称矩形或“长方体”。因区间对分得到的子区间各边 平行于各维单位向量，整齐规则，易于实现，一般称为规则铺设。 本文研究的并联机构位置求解方程，需对初始求解区间进行铺设。在区间 迭代的一些算法中，一些学者证明采用某些不规则铺设能够提高迭代的收敛性 和收敛速度；但是，铺设的难度和计算量都比规则铺设复杂。因此，本文将采 用规则铺设。因6 维区间铺设较难用图形表示，这里将以低维区间为例进行阐 释，其指导思想和基本方法与高维区间是一致的。 2 6 按照铺设的定义，二维矩形区间的铺设如图3 - 8 所示。实际运算时，区间 形状通常不是各分量平行于相应维度的矩形或“长方体”区间，但通过第二章 所述的方法能够找到个略大的矩形或“长方体”区间近似取代原区间进行运 算：即可对不规则区间取最小包含转变成规则区间。 图3 - 8 二维矩形区间的铺设 铺设以对分为基础，每次以宽度最大维度的中点为对分点，将原区间分成 左右两个对称区问。图3 - 8 根清晰地表明了这种分法，但在实际求解中，从最 宽区间维度处对分并不一定合适。例如图3 8 所示区间中，如果右下角需要 进一步研究，那么图中所示的铺设方法则就无法满足要求。也就是说，区间铺 设需要考虑到各个子区间的特性，这一点非常困难。 蘸 羹 囤3 - 9三维区间的完全对分 为了得到能够求出所有实解的区间铺设，结合对分和铺设的应用，这里采 用对各维同时对分得到一个规则铺设的方法。对于一个n 维向量，一次完全对 分会得到2 叫、子区间；本文并联机构的求解区间为6 维向量，每次完全对分会 得到2 6 ，即6 4 个子区白j 。图3 - 9 为3 维区日j 完全对分示意图。 采用完全对分能够避免单一对分时会得到不合适铺设的可能性，代价是构 造铺设的运算量增大，计算时间增长。但就本文并联结构的求解而言，这部分 影响还是能够接受的，因为： 1 ) 求解模型中已将初始区间压缩成一个宽度较小的区间，且已有学者证明 摄终