（检测技术与自动化装置专业论文）基于截面电阻信息的气液两相流空泡率测量方法.pdf

中文摘要 空泡率是气液两相流测量的一种重要参数，对其准确测量有着重大意义。本 文介绍了两相流动参数检测技术特别是两相流分相含率测鼍技术的研究现状。其 中电学方法可以进行瞬态测量，另外它结构简单、开发成本低、容易实现，所以 一直受到人们的普遍关注。在总结各种电学空泡率测量方法的基础上，本文提出 了一种基于截面电阻信息的空泡率测量方法。它采用多电极平行场激励方式，所 测的边界电压包含两相流空泡率的信息。 本论文的研究中，作者完成的主要工作有： 1 建立了多电极平行电场的数学模型；得出了在一些特定条件下的解析解， 并用仿真工具求得其数值解，验证了解析解的正确性。 2 对敏感电场的均匀性作了相关描述，分析了影响电场均匀性的各个因素， 从而为电极的设计和激励策略的选择提供了依据。 3 分析了基于1 6 电极平行电场空泡率测量方法的数据特征，并提取了用于 表征截面空泡率的特征值。 4 仿真再现了多种气液两相流截面分布状况下的空泡率测量，分析了测量 结果并得出该方法可以很好的反映气液两相流空泡率。 5 针对上述分析，提出了几个比较可行的改进方案，分析讨论了各个方案 的优缺点。其中，加入弱导电性环形物体的方案可以明显改善单一介质分布下的 电场均匀性，并通过数值仿真得到验证。 6 采纳了加入弱导电性环形物体的方案，比较了改进前后测量系统的性能。 并且得出结论，该方法可以明显改善在小空泡率的测量准确率，并将此归因于敏 感电场的均匀性提高。 关键词：两相流空泡率平行场 a b s t r a c t v o i df r a c t i o ni sa l li m p o r t a n tp a r a m e t e rt og a s l i q u i dt w o p h a s ef l o wm e a s u r e m e n t ， a n di ti s e x t r e m e l ys i g n i f i c a n tt om e a s u r ev o i d f r a c t i o n a c c u r a t e l y d e t e c t i n g t e c h n i q u e sf o rf l o wp a r a m e t e r s ，e s p e c i a l l yf o rv o i df r a c t i o n ，a r ep r e s e n t e di n t h i s p a p e r c o n s i d e r i n g t h ei n s t a n tm e a s u r e m e n to fe l e c t r i c a l m e t h o d s ，a n do t h e r a d v a n t a g e sl i k es i m p l es t r u c t u r e ，l o wd e v e l o p i n gc o s ta n de a s yt or e a l i z e ，i th a sb e e n w i d e l yp a y e da t t e n t i o ni ni n d u s t r y b a s i n go nt h es u m m a r i z a t i o no fe l e c t r i c a lm e t h o d s ， an e wm e a s u r i n gt e c h n i q u ew i t hc r o s s - s e c t i o n a le l e c t r i c a li m p e d a n c ei n f o r m a t i o ni s b r o u g h tf o r w a r d ，w h i c he s t a b l i s h e sap a r a l l e le l e c t r i c a lf i e l dw i t hm u l t i e l e c t r o d e s e x c i t i n g ，t h e nt h ei n f o r m a t i o no fv o i df r a c t i o nc a l lb ee x t r a c t e df r o mt h eb o u n d a r y m e a s u r e dd a t a t h em a i na c h i e v e m e n t so fp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 t h em a t h e m a t i c a lm o d e lf o ram u l t i e l e c t r o d e se x c i t e dp a r a l l e le l e c t r i c a l f i e l di s e s t a b l i s h e d s o m ea n a l y t i cs o l u t i o n su n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e d ，w h i c h h a v eb e e np r o v e db yn u m e r i c a ls o l u t i o n si ns i m u l a t i o n s 2 d e s c r e p t i o no ft h eu n i f o r m i t yo fs e n s i n gf i e l dh a sb e e nm a d e ，a n dt h ea f f e c t i n g f a c t o r sh a v eb e e na n a l y z e d ，w h i c hc o n s e q u e n t l yp r o v i d ej u s t i f i c a t i o n sf o rd e s i g n i n g e l e c t r o d ea n dc h o o s i n ge x c i t i n gs t r a t e g y 3 t h ec h a r a c t e r i s t i cv a l u ef o rc r o s s - s e c t i o n a lv o i df r a c t i o nh a sb e e ne x t r a c t e db a s i n g o nt h ea n a l y s i so f16 - e l e c t r o d ep a r a l l e lf i e l d 4 t h ev o i df r a c t i o ni sm e a s u r e da td i f f e r e n tp h a s ed i s t r i b u t i o ni nt w o - p h a s ef l o ww i t h s i m u l a t i o n s t h em e a s u r e dr e s u l t sa r ea n a l y z e d ，w h i c hl e a d st oac o n c l u s i o nt h a tt h e m e t h o dc o u l dr e f l e c tv o i df r a c t i o ne f f e c t i v e l y 5 c o n c e r n i n gt h ea n a l y s i sm e n t i o n e da b o v e ，s o m ef e a s i b l ei m p r o v e m e n t sw e r e i n v e s t i g a t e dw i t ht h ed i s c u s s i o no nm e r i t sa n dd e f a u l t sf o re a c hi m p r o v e m e n t t h e d i s c u s s i o n ss h o wt h a ti n t r o d u c i n gac o n d u c t i v ea n n u l a ri t e mc o u l dw e l li m p r o v et h e e l e c t r i c a lf i e l du n i f o r m i t yi nt h ec i r c u m s t a n c eo fs i n g l em e d i u m ，w h i c hw a sv a l i d a t e d b yn u m e r i c a lm e t h o d s 6 t h es c h e m eo fa d d i n gaw e a k l yc o n d u c t i v ea n n u l a ri t e mw a sa d o p t e d ，a n d p e r f o r m a n c eo ft h ei m p r o v e dm e a s u r i n gs y s t e mw a sc o m p a r e dw i t ht h eo r i g i n a l s f i n a l l y , t h ec o n c l u s i o n ss a yt h a tt h er e s u l t sw e r em u c hp r e c i s e rw h e nm e a s u r i n gl i t t e r v o i df r a c t i o n s ，w h i c hw a sa t t r i b u t e dt ot h ei m p r o v m e n to ft h ee l e c t r i c a lf i e l d u n i f o r m i t y k e yw o r d s ：t w o p h a s ef l o w , v o i df r a c t i o n ，p a r e l l e le l e c t r i c a lf i e l d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 ，巧石、。 学位论文作者签名：f 荦碧h 竺签字日期：如刁年6 月f 幺日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 冬垃 签字日期：矽7 年衫月f 卢e l 新虢为 ) 别磁轹瓠 签7 - - e i 期：7 年参月v 日 天津大学硕l - 学位论文 第一章绪论 1 1 两相流及两相流测量的意义 两相流动是流体力学的一个重要分支，它主要研究两相流体间的相互作用和 宏观运动规律。它以工程热物理学为基础，与数学、力学、信息技术、计算机电 子技术、环境、材料等学科相互融合交叉而逐步发展起来。随着科学技术的迅速 发展，两相流动体系在国民经济和人类生活中的地位日益重要。 相是物质的单一( 气、固或液) 状态，是系统中具有相同成分和相同物理、 化学性质的均匀物质部分。两相流是物质两相同时存在并且具有明显的分界的混 合流动。 两相流在自然界和工业生产中广泛存在，与人类生活息息相关。如石油工业 中的油气、油水两相流；冶金、电力工业中各种气力物料输送管道中的气固两 相流；化工、医药、能源等领域中，干燥过程、混合过程、流态化过程、扩散过 程、反应过程等。两相流涉及范围的广泛性及其应用的重要性促使研究工作者深 入研究两相流动的内在规律和特性。 与单相流相比，两相流由于各相间存在着界面效应和相对速度，而且相界面 在时间和空间上随机可变，因此具有更为复杂的流动特性，其特征参数也比单相 流系统多。同时，两相流动系统是一种随机的多变量非线性系统，其流动的复杂 性和随机性使得其参数( 流型、分相含率、分相流量、总流量等) 检测的难度很 大。两相流动参数影响工业设备和系统运行的经济性、合理性、安全性和可靠性 i i 。然而，两相流流动参数的准确测量一直是科学与工程领域内尚未有效解决的 课题。随着工业生产对计量、节能、控制等方面均提出了更高的要求，对两相流 参数进行测量的需求也越来越迫切【2 】。近年来，探索实现两相流高效率、高精度 检测的方法已成为现代工业国家的一个热点，属于国际上亟待解决的难题之一 【3 击】。两相流的主要参数有【2 】： 1 流型：又称流态，即流体流动的形式或结构。两相间存在的随机可变的相 界面使两相流动形式多种多样，十分复杂。流型是影响两相流压力损失和传热特 性的重要因素，同时，对两相流其它参数的准确测量也往往依赖于对流型的了解。 2 分相含率：采用不同的单位和定义式，可分别用截面含率、质量含率和体 积含率表示。某相的流动在任意流通截面上所占通道截面积与总的流通截面积之 第章绪论 比称作该相的截面含率。通常，气相含率在气液两相流中义称空泡率，固相含率 在气固两相流中又称浓度。此外，在程上还常用质量流蹙含气率表示气相含率， 又称干度，是指气相质量流量与两相总质量流量的比值。 3 流量：单位时间内流过通道总流通截面积的两相流体的流量采用不同的单 位制，可分别用容积流量或质量流量表示。对于各相流量，可用分相容积流量和 分相质量流量描述。 4 速度：由于两相流动中相间存在相对速度，所以除了以混合流体的平均( 等 效) 速度描述外，还采用分相流速表示。两个分相流速可以用与平均速度的差值 表示相对速度，也可用两个分相流速之比表示速度滑移比。 5 压力降：压力降也是两相流动中的基本参数之一。混合物的两相流压力降 与各分相压力降间己建立了很多可供工程应用的理论的、实验的和半经验的关联 式。 6 密度：在两相流动中，混合物的平均密度也是一个常用参数，可以由各相 密度和分相含率计算求得。 此外，分散在两相流中的气泡、液滴、颗粒的尺寸及分布、环状流中的液膜 流率、液膜厚度以及壁剪切力、温度、传热传质系数等也是描述两相流动的一些 特征参数。 1 2 两相流测量技术的研究现状 由于两相流测量的意义重大，许多工业发达国家作了大量研究工作。目前两 相流测量问题的发展趋势和研究方向可以归纳为以下几个方面： 第一，基于传统单相流仪表的两相流参数测量方法【7 - l 们。应用成熟的单相流 仪表进行多相流参数的测量一直受到人们的普遍重视。因为传统的单相流仪表不 仅在技术上已经成熟，而且工作性能可靠，根据被测对象的工况配以合适的测量 模型，能在一定程度上解决许多两相流参数的测量问题。现已成熟的单相流仪表 有：差压式流量计、涡轮流量计、涡街流量计、电磁流量计、超声波流量计以及 科里奥利力流量计等，分别建立两相流量模型，用于流量流量、相含率等方面的 测量。另外还可以采用多传感器数据融合技术，将不同类型的传感器有机的融合 起来，实现两相流的多参数测量。由于其数据可靠性较高，具有很大的工程应用 价值。 第二，基于现代信号处理技术的流动参数测量f 1 1 1 5 】。这类方法应用软测量技 术( s o f t - s e n s o rt e c h n i q u e ) ，利用较易测量的辅助过程变量，通过各种数学计算 和估计方法，从而实现待测过程变量的估计。随着计算机软件和硬件技术的发展， 天津大学硕士学位论文 模糊数学、状态估计、过程参数辨识、人工神经网络、小波变换、模式识别、近 代谱估计等理论被引入到两相流参数测试领域中来。通过这些方法能解决具有复 杂性、随机性、且很难用数学模型精确描述的两相流参数测试问题。 第三，基于新型传感器技术的两相流动参数的检测【1 6 - 2 2 1 。近几十年，更多的 现代新兴科学技术被引入到两相流测量领域中来，形成新的两相流参数测量的方 法。如：辐射线技术、激光技术、光纤技术、核磁共振技术、层析成像技术、超 声波技术、微波技术、光谱技术、新型示踪技术和相关技术等。 1 3 两相流的分相含率及其研究进展 1 3 1 两相流的分相含率 作为一个最基本的、最重要的描述两相流流动特性的参数之一，分相含率与 流动阻力，流量测量，热传导等息息相关，其准确程度将直接影响到两相流体其 它参数的测量精度。分相含率在两相流工业过程参数控制和计量等方面起举足轻 重的作用，因而对它的估计和测量意义重大。 分相含率通常是指管道中两相流体的离散相和连续相各占流体总量的比重， 在气液两相流中离散相的含率可用三种参数衡量【2 3 】： ( 1 ) 分相质量含率，通常又称为干度，指单位时间内流过管道截面的两相 流总质量中离散相所占的份额，可用z 表示如下： m g z2 丽( 1 - 1 ) 式中，m g 表示气相质量流量，m 表示液相质量流量。 ( 2 ) 分相容积流量含率，又称含率，表示离散相体积流量与两相混合物体 积流量的比值即： = 缶( 1 - 2 )肛赢 式中为气相含率，g 表示气相的容积流量，g 表示液相的容积流量。 ( 3 ) 分相截面含率，又称截面空泡率。表示在管道的某一流动截面上，离 散相所占的截面积与总流通面积的比值，即： aa- 。_ ! g 弘彳2 万苛( 1 - 3 ) a 彳 彳+， 式中口为气相截面含率，a 。表示气相所占的管截面积，a ，表示液相所占的管截 第一章绪论 面积。 上述参数之间有以下的关系 2 3 - 2 4 1 ： z = p g p l 三+ f ，丝 i 所 ( 1 4 ) 2 丙靠 5 ) 弘硐l “。6 ) s ：羔( 1 7 ) 其中唯为气相流速，m 为液相流速，岛为气体密度，p t 为液体密度，s 为滑动 比。当s = i 时，口= 。说明当气相速度等于液相速度时空隙率和容积流量含气 率在数值上是相等的。 口与或口- qz 的关系中包含了两相滑动比s 。由于影响s 的因素很多，到 目前为止只有一些经验公式。因此若已知两相流的z 或要精确求空隙率口是比 较困难的，反之亦然。正因如此，给两相流参数间的相互转换及检测带来了很大 困难。 1 3 2 两相流分相含率的研究进展 目前，获得相含率的方法主要有两种，一是通过理论推导的方法得出分相含 率的相关计算式，这些计算式是两相介质的物性参数和工艺参数的函数；二是由 相应的测量装置直接或间接测得分相含率。 对于第一种方法，我们把预测分相含率的各种模型大致归纳为三种口5 】【2 6 】： ( 1 ) 单相流模型。这种模型把两相流体看成某种单相均匀混合物流体，认 为两相流体流动中相间没有滑移( 即气相和液相之间不存在相对运动) ，流通截 面上，速度和空泡的分布都是均匀的，然后根据单相均匀流体建立两相流基本方 程。对于改进的均相模型，如b a n k o f f 2 7 变密度模型，认为泡状流体既不是完全 均匀混合的均相流动，也不是完全分离的环状流动。将两相流体视为密度是径向 位置函数的单相流体，气相和液相间没有滑移，流通截面上的速度分布和空隙率 分布在半径方向上是变化的。z u b e r 和f i n d l a y t 2 s 】则认为，必须同时考虑气液两相 间的滑移以及在流通截面上空隙率和流速的不均匀分布。他们提出了一界面含气 率通用方程： 天津大学硕士学位论文 2 盘 q 潲 ( 1 7 ) 其中e 由实验确定。用以修正一维均匀模型的经验分布函数； 口为局部界面含气率： 为气相流动容积浓度，即容积含气率； 。为气相当地流速； ( 。) 为混合物平均流速。 ( 2 ) 漂移模型。主要是在热力学平衡的假设下，建立在两相平均速度场基 础上的一种模型。漂移模型提出了一个漂移速度的概念，当两相流以某一混合速 度流动时，气相相对于这个混合速度有一个漂移速度，液体则有一个反向的漂移 速度以保持流动的连续性。在守恒方程组中将相间相对速度以漂移速度来考虑， 通过附加的气相连续性方程来描述气液两相流动。具体的有m a r t i n e l l i 2 9 等人提出 的方法、以两相完全分离的动量方程为基础的分离l e v y 动量交换模型、使用最小 增熵率表征热力过程的最小熵增模型 3 0 】等。 ( 3 ) 混合相与单相并流模型。该模型是考虑了流通截面上气体与液体混合 物和液体一起并行同向流动的模型。它是单相流模型和漂移模型的结合，适用于 中心夹带液滴的环状流动。这种模型是1 扫s m i t h l 3 l 】提出的，并假定：混合相内气 液两相间无滑移；保持热力学平衡，由能量平衡来决定质量含气率；液相的动压 与混合相的动压相等。 分相含率的理论模型虽然在一定范围内给出了分相含率与其它参数之间的 关系，但实际上这些模型中的各个参数一般是未知的，因此就有必要通过一定的 方法直接或间接的测量出分相含率的值。目前主要测量方法有 2 2 4 8 】：射线法( ，、 和z 等射线) 、差压法、光纤探针法、热学法、核磁共振法、微波法和电学方 法等。其中最常用的是电学方法和射线法。 电学方法是利用电场对流场分布的敏感性，在两相流管道内放置电极或探 针，穿过管道的电阻和电容取决于气液混合物的介电常数、电导率、含气率等。 测量管道内局部区域的平均电阻抗，通过两相分布和电阻抗的关系，从而得到各 相含率。总结许多研究者所做的研究工作，可分为以下几类： ( 1 ) 电导式。电导法主要测量对象为以导电介质为连续相的两相混合流体。 c o n e y 3 9 描述了平行电极在液层中的性质，提出了液层厚度和导电性关系的理论 处理方法：k y t o m a a l 4 0 】使用了带有保护电极的对壁圆弧传感器研究两相流体重小 幅值运动波的传播；m e r i l o 4 1 1 【4 2 】等人提出了一种六电极旋转电场电导式空泡率 计，用以测量泡状流空泡率：a s a l i 4 3 1 等人首次应用了环型电极研究垂直气液环 第一章绪论 状管流；l u c a s f 4 4 4 5 利用在轴向方向镶嵌有六个小圆环的微小电导棒传感器对液 固两相流进行测量，并用双截面e r t 系统进行了测量结果的验证。 ( 2 ) 电容式。将浸在两相流体的电极看作一个电容器，其电容值与两相流 体平均介电常数有关，而平均介电常数是气、液相介电常数和空泡率的线性组合 函数，因此测量电极电容值就可以得到两相流空泡率。 ( 3 ) 电导探针方法。根据气、水两相各自的导电率差异，实现含水气率的 测量。当电导探针与水接触时，测量回来电流较大，输出高电平；当与气泡接触 时，回路电流较小，输出低电平。随着两相流体交替流过电导探针，可得到探针 所在位置的局部截面含水忾率。f o s s a l 4 6 】比较了环形探针和线性探针测量管道中 气液两相流含液率的实验结果。 ( 4 ) 电容探针方法。在电容测量方法基本原理的基础上，w e r t h e r f 4 7 】于1 9 7 3 年提出了针型电容传感器。随后又不断有人对其进行改进【4 引，大大提高了灵敏度、 精确性、稳定性和再现性。这种传感器将与地相连接的外层套筒和探针之间的电 容量作为被测电容，利用它的变化来反映两相流相含率的变化。 电学法测量分相含率的一个最大的优点是能够进行瞬态测量，另外，电学法 结构简单、开发成本低、容易实现，所以一直受到人们的普遍关注。大量的研究 表明，两相流管道内的电阻和电容还受流型和温度变化的影响。如果能有效地减 少流型带来的影响，或者在一定流型的基础上测量，电学法将是一种很有实用价 值的测量方澍2 1 。 1 4 课题来源及主要研究内容 本研究课题来源于国家自然科学基金重点项目国家“8 6 3 ”计划课题“基于 多传感器数据融合的油气水三相流测量 ( 项目批准号：2 0 0 6 a a 0 4 2 1 6 7 ) ，新 世纪优秀人才支持计划“基于截面检测技术的多相流流动机理研究 ，天津市应 用基础研究计划项目“基于多传感器数据融合两相流量计研究”( 项目批准号： 0 5 y f j m j c l l 6 0 0 ) 。 本文着重研究基于平行电场的截面空泡率测量方法；给出该方法的数学物理 模型，分析影响电场均匀性的各个因素；由仿真试验给出特征提取方法并根据该 方法测量截面空泡率；分析影响测量结果的几个因素，提出了几个相对可行的改 进方案；最后采用加弱导电性环形物体的方案，并比较了改进前后的性能。 天津大学硕十学位论文 1 5 本论文的组织安排 本论文共分为五章： 第一章，绪论。本章介绍了两相流及其测量技术发展状况；总结了两相流分 相含率的研究进展，介绍了预测分相含率的各种理论模型，还着重介绍了基于电 学原理的分相含率测量方法；最后引出本论文的研究方法。 第二章，多电极平行电场的数理基础。以似稳场为前提建立了多电极平行电 场的数学模型并给出了其在简单分布条件下的解析解；分析了影响平行电场均匀 性的因素：激励偏角、电极数目和电极宽度。 第三章，基于1 6 电极平行电场的截面空泡率测量方法。介绍了空泡率测量 装置，以及其激励模式和数据采集策略；分析了边界电压数据的特征并介绍了特 征提取方法；用仿真试验验证了基于1 6 电极平行电场的截面空泡率测量方法的 可行性，分析了其性能和引起误差的原因；最后提出了对测量模型的优化和改进 方案。 第四章，带环形弱导电性物体的电阻式空泡率测量。根据第三章提出的改进 方案，对带环形弱导电性物体的电阻式空泡率测量方法做了仿真；比较和分析了 改进前后的测量性能。 第五章，总结和建议。 第二章多电极平行电场方法的数理基础 第二章多电极平行电场方法的数理基础 本章以似稳场为前提建立了多电极平行电场的数学模型并给出了其在简单 分布条件下的解析解；介绍了数值求解方法；分析了影响平行电场均匀性的因素： 激励偏角、电极数目和电极宽度。 2 1 多电极平行电场方法的数学模型 与e r t 一样，多电极平行电场也是建立在似稳场假设的基础上的。认为场内 电磁扰动传播速度足够快，场源和场内扰动变化足够慢，忽略位移电流。场内各 物理量满足麦克斯韦尔微分方程组： 满足似稳场条件的电磁场有三类： ( 1 )随时间变化很慢或频率很低的电磁场，即缓变电磁场。 ( 2 )导电介质中位移电流远小于传导电流，位移电流可以忽略不计。 ( 3 )当电磁场变化快，介质中位移电流不可忽略的情况下，场源近区部 分( 以场源为中心，远小于六分之一波长的距离为半径的空间区域) 属于似稳场。 敏感场内没有电流源也没有涡流效应，这样似稳场遵循静态场的规律。在均 匀、线性、各向同性的导电介质中，y 为常数，矢位4 和电位矽分别满足p o i s s o n 方程和l a p l a c e 方程： v 2 a = 一u r e ( 2 2 ) v 2 矽= 0( 2 3 ) 其边界条件为， 陟娑凼：( 2 - 4 ) 子o n 其中，刀为边界上任意一点的外法向量，e + 为边界电极上的圆弧，为边界激励 电流函数。 2 里西 皿 叫 o o = = = = h e b d v v v v 天津大学硕士学位论文 2 2l a p l a c e 方程的解 在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成这个系统的有效设计是相当 重要的。以基于多电极平行电场的空泡率测量系统为例，其理论基础就是平行电 场。它对敏感电场内的均匀性要求非常高，所以有必要对其建立数学模型、仿真 和计算，考察敏感场内电场分布情况，最终实现优化设计的目的。而对于后期的 数据处理和特征提取过程，也需要了解和分析敏感场内的电场分布，这样所提取 的特征才能减小误差并且有效的反映实际物理现象。 常用的计算电磁场问题的方法主要有两大类：解析解法和数值计算法。解析 解法可以用函数显式的表示数学物理问题，可以观察到问题的内在联系和各个参 数对结果的影响，因而可以作为近似解和数值解的检验标准。不过解析解法仅能 解决很少量的问题。相反，数值解法适用性很强，它也不需要研究人员具备高度 专业化的理论知识。数值法的出现，极大地促进电磁场理论的发展。 2 2 1 解析解 如果场内介质均匀分布，圆形场域半径为r ，场内均匀媒质电导率为，边 界激励为幅值，的连续正弦分布电流( p ) = s i n ( o ) ) ，场内电势函数为矽( 统p ) ( 如 图2 1 场内介质均匀分布 图2 1 ) ，则该模型在极坐标系下可以用以下方程来描述： 筹+ 三票+ i i 篓：op r p 2 印2 。p 印。p 2a 曰“ ( 2 5 ) y 学：p ) p ：r o o 应用分离变量法解椭圆型偏微分方程。令矽= r c o ) o ( e ) ，则式( 2 - 5 ) 的通 解【4 9 】为： 矽p ，p ) = a o + i c p ”k 乙c o s ( 刀口) + 钆s i n ( 力臼) i ( 2 6 ) ，= i 第二章多电极平行电场方法的数理基础 以圆心处为电势参考点，则有( 口，o ) - a o = 0 ，方程简化为： 矿p ，p ) = ”k 。c o s ( n o ) + b , s i n ( n o ) ( 2 7 ) 根据边界条件， 荔= z 茎n p - i 如s ( 刀9 ) 椰i i l ( 聆曰糊秒) y ( 2 - 8 ) 可确定系数a n ，以： 铲* 击洋c o s 印( 2 - 9 - a ) 吃= 万11 万1 2 0 掣y s i n g 口印( 2 - 9 - b ) 由于s i l l p ) c o s 0 目) 为关于口的奇函数，故巳= o ；而 r s i n ( 刀口) s i l l 0 秒p 秒 o ( 2 1 0 ) 2 厅 = 一i 1f c o s b + l 汐】- - c o s ( 7 一l 矽p 9 故 吒= 肜岽。亿- - ? 于是，场内任意一点p ，p ) 处的电势为： p ，p ) = 丝s i i l p ) ( 2 1 2 ) 转换为直角坐标系下，任意一点b ，y ) 处的电势为： g ，y ) ：_ y ( 2 1 3 ) 故电流密度为： j g ，y ) = y e = y r e = ， o ，l 】 ( 2 1 4 ) 也就是说当边界条件为正弦分布的n e u m a n n 条件( 即在圆周边界上施加正弦激 励电流) 时，可形成平行场。 以上是所述是针对边界激励为( 幅值) 连续分布的正弦电流的理论模型，只 要满足其边界条件的要求，就可以形成一个完全平行电场。但是在实际应用中， 天津大学硕士学位论文 如2 2 离散分布电极激励模型 要实现那样的一个边界激励条件很困难。往往采用离散电极激励的形式，并且假 定电极宽度足够小。那么式( 2 9 一a ) 、( 2 9 - b ) 可写为 可得： 铲而i1 击善s m ) c o s 博) 以百ii 1 上r n - i 纠i = l 等) 咖 停) 饥= 口。= 0 筹。嘉c o s 一k 】刀= n k + 筹。嘉c o s k 】一 0 = o t h e r s 其中k = 0 ，l ，2 ，3 ，口为激励偏角。 本文中，电极数目为1 6 个。当口分别选为a ：0 ，b ：州1 6 时， 吒= k = 8 ， 1 形欣”一1 8 ，1 刀职”一1 0 8 ，1 刀以尺”一1 8 ，1 砂旅川 0 刀= 1 6 k + l 厅= 1 6 后+ 1 5 刀= o t h e r s r i = 3 2 k - 6 1o r 力= 3 2 k - 6 1 5 ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 - b ) ( 2 1 6 - a ) ( 2 1 6 b ) ( 2 1 7 a ) 刀= 3 2 k + 1 7o r 刀= 3 2 k + 3 1( 2 1 7 - b ) r = o t h e r s 筇章善电极平行电场方法的数理基础 于是场内仃意一点p ，p ) i b 势为 删= 跏i n ( 班茄幽0 5 小丽p * 7m 0 7 班茹3 1 一脚1 ( 2 1 8 一a ) 加卅= 跏蚺茄一( 1 5 班丽f l i tm ) 茹一啡 ( 2 一1 8 - b ) 当p 水是很人时，可以忽略电势函数的高阶分量，n z f 以近似为 ( 口，p ) = 旦，s i n p ) ( 2 1 9 ) 也就是说在场域内大部分区域中有平行均匀电场。但是在边界附近妊高阶分 量不可忽略场分布较复杂，存在着明显的非线性因而不能认为是平行均匀场。 式( 2 一1 7 ) 可以由m a t l a b 仿真得以验证， | 图2 3 均匀介质情况下的电场仿真图 从图中可以看出，场内中心大部分区域的电势分布呈线性变化，电流密度保 持恒定值电势等位线等分电力线，电力线方向保持一致。在该区域内，为均匀 平行电磁场。然而，在电擞附近区域电势分布非线性严重电流密度有突变， 电力线方向各异，因而它不再是一个平行电场。 对于图2 - 5 所示的简单非均匀介质分布模型，也可以求取其解析解。设场内 两种介质电导率分别为 、，：，其分布区域分别为r p r 和p ( 丘。根据 天津大学硕士学位论文 图2 5 简单非均匀介质分布模型 电磁场理论，其数学物理方程可以用式( 2 2 0 ) 来描述： 等+ 吉嚣+ 歹1 筹= 。宅p jp 宅p矿8 e 。 等+ 万1 希+ 歹1 等= o宅p jp8 pp j a e j 乃嚣k 玢等k t l ( e ，p ) | 户r ：= 欢p ，p ) i 户且： ( 2 2 0 ) 同样用分离变量法，令孬= l 王，。) o 。p ) ，欢= 甲：) 0 ：p ) ，萌与欢的通解为： 磊：c 。+ 西。l n p + 艺b - 1 - c l n p 一“i 口。c 。s 0 9 ) + 岛。s i i l o 秒) 】 ( 2 2 1 a ) 月= l 唬= c 加+ 破。l n p + b + c ：。p ”i 口：。c o s g 秒) + 包。s i n ( ，2 秒) 】( 2 2 1 - b ) 以圆心为电位参考点，贝, u c 2 0 = 0 ，并可得c l o = 0 ，d 2 0 = 0 ，d t o = o ，c 2 。= 0 ，并 且 铲麓矽 ( 2 - 2 2 ) 代入边界条件式( 2 2 0 c ) ，并假定激励偏角为n , 16 ，可得 铲去r 8 粒掣 ：土挚! 垫熊! ! 竺堑翌! n n l 智r i ”- - c 1 。r 1 1 = 0 1 3 ( 2 2 3 a ) 汐 = r p m 万 乃 第二章多电极平行电场方法的数理基础 其中， 岛。= 面g ir4而j(o)sin(no) ：生长墅鲤垣坐翌! 刀硝智r i ”一c l n r l l 8 ， 1 胛矾尺”一11 - r ( r 2 r l 2 ” 一8 ，1 n z o q r ”一1l r ( r 2 r l 2 ” 0 刀= 3 2 k + 1o r 刀= 3 2 k + 1 5 刀= 3 2 k + 1 7o r 刀= 3 2 k + 3 1 y ：且丛 7 1 + 7 2 应用式( 2 - 2 0 - d ) 、( 2 - 2 0 - e ) 可得， = ( 1 一c l 。恐五”) = 0 如。= b i n ( 1 + c i 。r ：- 2 ”) 1 6 ，l n z ( y l + y 2 皿l ”1l r ( r 2 r 1 ) 2 ” 一1 6 j1 刀石饥+ 儿诧”1l r ( r ：r 。) 2 ” 0 ( 2 2 3 一b ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 一a ) 甩= 3 2 k + lo r ，= 3 2 k + 1 5 刀= 3 2 k + 1 7o r 刀= 3 2 k + 3 1 ( 2 2 5 - b ) 舍去高次项，从而得到场内电势分布磊p ，p ) 、唬p ，p ) ： 办p ，p ) 瓦8 1i 1 + 了y 琢( r 了2 耵p ) 2 p s i n p ) r p 玛( 2 - 2 6 - a ) 唬p ，p ) 瓦1 6 瓦1 边界测量电压为 ) 卜r ( r ：r , yp s i n ( o ) o 户 r 2 ( 2 2 6 b ) 矽p)百8ir,丽i+y(r2r1y s i n p ) 硝l 一7 i r 2 局厂 2 2 2 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d - - - f d m ) ( 2 2 7 ) 有限差分法是应用最早的一种数值计算方法，因其算法简单、直观，而得到 广泛应用。在场域内取有限点，用差分方程( 组) 来近似地代替偏微分方程，求 取场函数在各离散点的值。这种方法可用于求解常微分方程或偏微分方程，初值 1 4 天津大学硕士学位论文 问题或边值问题，线性或非线性问题的求解。 如图2 - 5 所示，正方形网格边长h ( 或成为步长) ，网格节点( f ，) 的电位为谚j ， i ii i il 图2 5 正方形网格剖分 j 1 其上下左右四个节点电位分别为谚一。，谚乒。，丸。，谚“，应用泰勒级数以及 l a p l a c e 条件，可以得出， 九= 如+ t + “幢埔u h 2 降雾) 协2 8 ， 将l a p l a c e 方程( 2 3 ) 带入式( 2 - 2 8 ) ， 谚，= 去娩，+ l + 谚，一l + 谚- l ，+ 谚+ l ) ( 2 2 9 ) 上式表示人一点的电位等于围绕它的四个等距离点的电位的平均值，距离h 越小 则结果越精确。利用式( 2 2 9 ) 可以近似求解二维拉普拉斯方程。 2 2 3 有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d - - f e m ) 有限元方法基于变分原理，将连续场分割为很多较小的单元，用这些单元的 集合体代表原来的场，然后对每个单元进行分析，建立单元方程，再组合起来， 形成整体方程，对其求解可以得到连续场的离散解。 图2 6 三角形单元 ，=扣，。日，。日睁。墨 c 2 3 。， 第二章多电极平行电场方法的数理基础 吖2 去( 口，+ b i x + c y ) ( 2 3 1 - a ) ，。= 去g ，+ 乞x + c j y ) ( 2 - 3 1 - b ) i 。2 云1 ( 吒+ b k x + c k y ) ( 2 - 3 1 一c ) 并且 n l = x i y k x k y ib i 2 y 一k i c i = x t x t a j = x j y t x j y jb j = y j k jc j2x t x i a k2 x k y j x j y tb k2 y k k k c k2 x i x t 在整个区域上的电位分布可近似由每个单元的电位组合而成，即 痧痧。 ( 2 3 2 ) 为三角形单元数。 有限元计算的矩阵方程表示为： k 矽= f ( 2 - 3 3 ) k 为n * n 阶系数矩阵，为n * l 阶节点势函数矩阵，厂为n 阶级里矩阵，n 为节点数。系数矩阵和激励矩阵的各元素都由每个单元的贡献叠加： k 。= k 。 ( 2 - 3 4 一a ) 厶= 厶。 ( 2 - 3 4 - b ) 具有顶点( f ，_ ，七) 的一个任意单元对矩阵系数的贡献为： k 82 k “e k j i e k 蔚e k 扩。 k 。 k 茸。 。 k j ? k h 。 ( 2 3 5 ) ：监地孚尝型剑( 2 - 3 6 ) k ：监掣 协3 7 ， 其它以此类推。该单元对激励矩阵的贡献为： 厂。= k 。乃。五。】r ( 2 3 8 ) 其中各元素所在的行由三角形的顶点在区域的次序决定，始终局部激励矩阵 的每一个元素由下式求出： z 。q s l ( 2 3 9 ) 天津大学硕士学位论文 2 3 多电极平行电场( 2 d ) 均匀性 多电极平行电场的均匀性是一个非常重要的指标，它直接影响了测量系统的 好坏。本文后续章节的空泡率测量方法都是建立在平行电场( 即场内任意点处电 流密度和方向都保持一致，没有突变) 的基础上的，因而有必要分析一下平行电 场均匀性以及影响均匀性的几个因素。 2 3 1 激励偏角 激励偏角口是指：单一介质场域内形成平行电场后，其电力线方向与输入电 流最大电极径向之间的角度。由式( 2 1 6 - b ) 可以看出，激励偏角与场内电势函 数的f o u r i e r 级数系数直接相关，从而可以影响场内电势分布情况。并且场域内 电场均匀性最差的出现在边界上。作者对1 6 电极下的边界电压分布进行了分析， 并且得出：在口为o 1 1 时，边界上电势分布函数矽( 秒，r 1 ) 的高次分量能量值最小， 场均匀性最好( 如图2 7 ) 。 ( c ) 口= 州1 6( d ) 口= o 1 1 图2 7 激励偏角对边界电势分布函数的影响 第一章多屯饭f 行电场方法的数理基础 2 3 2 电极宽度 解析解有一个重要的前提条件，就是电极跨度足够小即点电极条件。但是 在实际测量系统中，电极是有一定宽度的，使得球解析解的过程很复杂，并且其 结果的表示形式也是很复杂的。所幸的是，电极的宽度并不完全是个负面因素 它可以改变电场分布，使其变得更均匀。另一方面由于电极与导电介质之问存 在着连接阻抗，加宽激励电撮，以增大电极的面积，可以减少连接阻抗的影响。 以1 6 电极测量系统为例，激励偏移角选为州1 6 ，电极宽度分别为1 1