（机械设计及理论专业论文）基于投影、法矢和主曲率的自由曲面造型.pdf

西北工业大学硕士论文摘要 基于投影、法矢和主曲率的自由曲面造型 摘要 本文首先介绍了c a g d 的产生和发展，回顾了作为重要造型技术之一的曲面 造型技术的国内外应用的发展过程，然后对常用的曲线曲面构造方法进行了综合 比较。 其次，运用已有的基于数据点的投影、曲面法矢及主曲率进行曲面造型的思 想，分别从两个方面论述了在不同条件下，如何构造自由曲面的方法，用微分几 何理论作为数学工具，着重论述了如何用数据点的二维坐标、曲面法矢和主曲率 计算出数据点的三维坐标的过程，并给出了相应的算法和程序流程图。然后根据 参数三次样条曲线的原理构造了自由曲面，采用模块化设计，利用o b j e c t a r x 编 程接口完成了对参数三次样条曲面的自由曲面造型。文中附有大量的实例。 关键词：c a g d ；自由曲面造型；数据点投影；法矢：切矢：主曲率：a r x m o d e l i n g f r e e f o r ms u r f a c eb a s e do n p r o j e c t i o n d a t a ， n o r m a lv e c t o r sa n d p r i n c i p a l c u r v a t u r e so f c o n t r o l l i n g p o i n t s a b s t r a c t i nt h ep a d e r , t h ep r o d u c t i o na n dd e v e l o p m e n to fc a g di si n t r o d u c e d a sa n i m p o r t a n tg e o m e t r i cm o d e l i n gt e c h n i q u e s ，t h ea p p l i c a t i o n s o ff r e e - f o r ms u r f a c e m o d e l i n ga r er e v i e w e di no u rc o u n t r ya n do t h e r s a st h es a m et i m e ，t h ef r e e f o r m s u r f a c em o d e l i n gm e t h o d sa r es u m m e d u pa n dc o m p a r e d b a s e do nt h ee x i s t e ds u r f a c em o d e l i n gi d e a l ，f r e e - f o i t ns u r f a c em o d e l i n gm e t h o d i sp r e s e n t e d ，w h i c hi sf r o mp r o j e c t i o nd a t a ，n o r m a lv e c t o r sa n d p r i n c i p a lc u r v a t u r e so f c o n t r o l l i n gp o i n t s i n a d d i t i o n d i f f e r e n t i a l g e o m e t r i ci s u s e da sam a t ht o o lt o e x p o u n d o nt w o a s p e c t s i nd i f f e r e n t c o n d i t i o n s ，e s p e c i a l l y o n c o n v e r s i n g t h e t w o d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t e so fc o n t r o l l i n gp o i n t s ，n o r m a lv e c t o r sa n dp r i n c i p a l c u r v a t u r ei n t ot h et h r e e - d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t e s a l g o r i t h m sa n dp r o c e d u r ef l o w c h a r t sa r ea l s oi l l u s t r a t e d a n dt h e nf r e e - f o r ms u r f a c ei sm o d e l e da c c o r d i n gt ot h e a l g o r i t h m so fp a r a m e t e rc u b i cs p l i n e s a st h es a m et i m e ，g r a p h i c a le x a m p l e so ft h e f e r g u s o n c u r v ea n db i - c u b i cs u r f a c ep a t c h e sg e n e r a t e db yo b j e c t a r xc o d er u n n i n g o nap ca r ea l s oi n c l u d e dt oi l l u s t r a t et h ep r o p e r t yo f as u r f a c e k e y w o r d s ：c a g d ，f r e e f o r ms u r f a c em o d e l i n g ，p r o j e c t i o n ，n o r m a lv e c t o r t a n g e n tv e c t o r ，p r i n c i p a lc u r v a t u r e ，a r x 菸北j f 她大学硕士论文第鼙结论 第一章绻论 1 1引言 计冀槐辅韵凡褥设计是随着航空、汽窜等现代工监懿发震与谤黧税的出现丽 产生冬发袋起亲豹一门毅掌辩。尽管薹舞究对象扩震蜀疑维趁嚣豹装示与显示 等，毽其主要研突露象秘怒王渡产最死 莓黟狡。工遂产燕的形状大黢上可分荛嚣 类：一嶷是仅由裙等解桥魏荫( 例如平谣、圆棱面、圆镶面、球褥、豳环面等) 维成，大多数机械零件属于这类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚 袭这帮俺递掰毽禽静全都澎状倍惑；第二类燕不糍蠢秘等解橱葭露缀液，霜毯复 杂方式翻由变化的曲线曲顾即所谓的自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船 魈靛外形零髂。爨然，基一装形状擎纯弱裁法几悸与搬攮剁强是不鼹淡达溃楚酶。 我翳未要磷窥嚣是繁二类爨覆翅嚣，帮运翅控裁鏊甏形获懿数簇点瓣授彩、 藏露法炙及主魏褰进行鸯由曲蘑造型。畲盎黧魏线强面由予不髓出蕊法凡何与极 械利圈方法清楚淡这，嚣落娥为工程爨稻骜蔡群决静淹熬。 f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示成参数的矢函数方法。他最早引入参数 三次鞠线，犍遗了组会熬线秘4 令角煮戆毽爨矢量及瓣令方囊熬镯矢爨定义 f e r g u s o n 双三次魏嚣。遮藏方法由f m t l l 系统安现，盘键可以象成数控纸带。 凌这之戆，魏线麓耩述一豢袋鬻显式戆搽量霜数y = y ( x 鬣隐方疆f ( x ，妒e 夔 形式，鳆鬣敬接述挺应慕溺z = z ( x ，y ) 或鞯，y ，z ) = o 懿澎式。f e r g u s o n 疆粟 用的曲线曲面的参数形式从此成为形状数学的标准形式。 c o o n s 发表了一个爨露一般瞧魏趋瑟接述方法，绘定溪残鸷阕靛线豹霸条边 界就可滋义一块油面片。c o o n s 进一步推广了他的这一思想。在c a g d 实践中 应用广泛的只是它的特羰形成一c o o n s 双三次蝗蕊片。窀与f e r g u s o n 双三次盐 藤嚣貔嚣嶷，莰蔽予将熊蕊壤矢囊零矢爨菠为嚣零矢量。舞者都谨畿澎菝控裁与 逶按阉越。 出s c h o e n b e r g 提出熬参数榉条蠡数挺供了髂凌连接溺题豹一辩技术。爱于 形状描谶的样条方法是样条黼数的参数形式，即参数样条曲线、黼面。样条方法 用于解决插值问题，在构造糕体上达到某神参数涟续阶( 搬可微性) 的插僦曲线、 藏瑟辩爨缀方便豹，毽不帮程两帮形获调整豹囊蠢度，铎条蘩线鞠黥鬻豹形凌难 敷预测。 b 6 z i e r 发表了一嵇鼓控弼多遽形定义蘸裴酶方法。设译员受要穆秘按籍顶点 就可方便池修改簸线的形状，丽殿形状的变化完垒在预料之中。b 6 z i e r 方法简单 易用，又出色地解决了整体形状控制问题。它怒雷诺公司u n i s u r fc a d 系统 瓣数学赫疆。b 6 z i e r 穷滚程c a g d 学辩巾占鸯藏簧逮位，瓷c a g d 豹避一步发 展奠定了坚实基础。b 6 z i e r 方法仍存在谶接问题，还有桶部修改问题。稍早于 b 6 z i e r ，d e c a s t e t j a u 也鹫独立遮磺究出凰撵骢秀法，毽终暴来公搿发装。d e b o o r 戆蹬了荧于8 嚣祭熬一粪耩凑算法。g o r d o n 秽r i e s e n f e l d 终b 撵条灌逢霞予彩 状稳述，撵出7b 样条魏线凿瑟。它几警继承tb 6 z i e r 方法鹳一落伉点，壳雅 了b 6 z i e r 方法移在戆缺悫，较成凌逸瓣决了弱郝控割霾题，又辍褥翁攀缝在参 数连续雠基础上解决了涟缓问题。与控制多边澎和节点榈联系，分别由b o e h m 西j b 工业大学硕士论文 第一章结论 和c o h e n 等人给出的节点插入技术是b 样条方法中最重黉的配套技术。其次， 还有f o r e s t 与p r a u t z s e h 等人的升阶技术。 上述备种方法尤其是b 样条方法较成功地解决了自由曲线曲面形状的描述 问题。然而，将其应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能绘出近 镁衰示，不麓满是大多数产品戆簧求。奁参数表示静范囊墨，f o r e s t 首先给氆 了衷达为有理贝齐尔形式的圆锥截线。b a l l 在他的c o n s u r f 系统中提出的有 理方法在英国飞机公司德委0 广泛的使用。然丽，欲在几何设计系统中引入这些与 静述自由麓螽线魏匿描述不糖容的方法，将会使褥系统交褥十分庞杂。唐浆锡提 到，工业界感到最不满意的是系统中需要并存两种模型。因为这违背了产晶几何 定义惟一睫器则，容易造藏生产管理混乱。医此，在以兹鸯理篷线强嚣从未像龚 有毽曲线绱面那样得到广泛韵接受。人们希望找到一种统的数学方法。v e r s p i l l 首先提出了有理b 样条方法。以后，主要由于p i e g l 和t i l l e r 和f a r i n 等人的功绩， 至2 e 毽纪8 0 年代螽羯，簿均匀蠢瑾b 襻条( n u r b s ) 方法藏为翅予莛：线兹瑟 描述的最为流行的数学方法。早程2 0 世纪8 0 年代的美国，n u r b s 就首先被纳 入初始图形交换规范i g e s ，成为荚国国家标准( a n s ) 。瞩际标准化组织( i s o ) 予1 9 9 1 筇颁寿了荧予王渡产晶数据交换匏s t 醴藤舔标猴，把n u r b s 佟为定 义工业产晶几何形状的惟一数学方法。1 9 9 2 年，n u r b s 又成为规定独立于设备 的交互图形编程p h i g s 冒际标准。现在，曲露表零和造型技术已经形成了以菲 均匀有理b 样条参数纯特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插 值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。 在我嚣，凡祷造鍪技术褥虱了缀大的发展，不少离等院校移掰究枫梅纷纷开 展了这方丽的研究工作。其中，清华大学、华中理工大学、浙江大学、中图科学 院、北京靛空航天大学等单位还分别推出了比较成功鲍c a d c a m 软 牛系统。 1 2 曲面造型方法 计算撬辕助凡德设诗在近尼冬来缮到了长足懿发震。这主要表现在磺究鼷域 的急剧扩腥和表永方法的开拓创新。从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术 已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲颟拼接，扩充到曲面变形、曲面熏建、 蘸嚣篱纯、夔覆转疑和整瑟位差；姨表示方法来番，滚网格纲分麓将征豹离散造 型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新乏势。 凡键造型卷麓方法蠢：襄教法造型、代数法逡型、麸三褫墅黧建三缭形葵、 自由曲面造型等。根据不同应用要求还可采用其它的造型簪段，如八叉树造挺等。 不同造型方法的采用完全以方便成用，扩大覆盖域，保 芷形体的含法性为目的。 1 2 1 离靛法遥擞 所谓离散法遗型，是在用平面多面体j 眨似表示曲面体的基础上的一种造型技 术。秘如j l 誊菡柱、鏊锥、嫁、繇等海蘑体麓薄平甏多蚕俸袭示，对运些麴蠢俸通 常用给定特征参数( 如中心、半径等) 的方法定义，而不是直接定义它们的近似 乎露多压体。数离教法造溅首要解决体索的离散他闻题，郫由体索的特征参数求 出其近似平面上各个面的方程、边界线及顶点坐标。曲面离散亿磁，点、线、面 的数量急剧增加，故离散法造型系统的数鼹大。 l ，2 2 我数法遣黧 西北_ 业大学硕士论文第一章结论 代数法造型不像离散法造型那样用一系列平面多边形和直线段来表示形体。 而是直接用代数方程组来确定曲面的交线，代数法造型系统体素种类简单，所需 存储量省，运算速度快，但形体覆盖域比较小，故适合在微型计算机系统上运行。 1 2 3 从三视图重建三维形体 通过综合三视图中的二维( 2 d ) 几何与拓扑信息，在计算机中自动产生相应的 三维( 3 d ) 形体的几何与拓扑信息，是计算机图形学领域中有意义的课题之一。目 前，国际上对该问题的研究已取得了相当的进展，但尚不完善。主要问题集中在 如何排除病态解? 如何找到与三视图对应的全部解? 如何扩展形体的覆盖域? 1 2 4 自由曲面造型 体素拼合是几何造型的方法之一，它通过不断地对比较简单的几何形体进行 集合运算来形成复杂的形体。这里有两个基本问题，一是如何表示几何形体：二 是如何进行集合运算。我们把那些有效的几何形体称为正则几何形体，它由内部 的点及紧紧包围这些点的表面组成的，从而集合分类的思想和方法是体素造型的 理论基础。正则几何形体的集合算子称为正则集合算子，相应的集合运算称为正 则集合运算。正则集合算子的实现主要有四个问题：有界面求交；面环的形成及 分类：有界面的形成及分类；新形体边界的形成。这也是自由曲面造型要解决的 基本问题。 本文采用的是自由曲面造型。自由曲面造型在最近二十多年里得到了深入的 研究并取得了很大的发展。先后出现了f e r g u s o n 曲面、c o o n s 曲面、b 6 z i e r 曲面、 b 样条曲面、有理b 样条曲面等造型方法。上述各种自由曲面造型方法均是基 于控制曲面形状的数据点的空间位置即数据点的三维坐标来控制曲面的形状，以 达到曲面设计的目的。对于空间思维能力很强或者有经验的设计员，他们用这些 方法能随心所欲的操纵曲面的形状，能预估到数据点的变动引起曲面形状将要发 生的变化。但对空间思维能力较弱或者设计经验欠缺的设计员，特别是遇到设计 新的自由曲面时，他们并不能从容地确定数据点的空间位置，难以预估到想要构 造的自由曲面形状。此外，由于设计员造型的自由曲面只能显示在显示器上或打 印和绘制在图纸上，而这些图形均是二维图形，并不能完全反映出三维曲面的真 实形状，因此很容易使设计员产生误解。 为了解决上述问题，本文提出了基于数据点的投影和曲面法矢及主曲率的自 由曲面造型方法。这种造型方法具有易于实现对曲面形状控制和几何直观性的优 点，易于为设计员和初学者所掌握。这种方法还可用在仅已知某自由曲面的照片 需要人工构造的场合。 1 3 研究内容及方法 本文以刘【2 4 j 的构造自由曲面算法为基础，做进一步的深入研究。首先，运 用刘提出的基于数据点的投影、睦面法矢及主曲率进行曲面造型的思想，分别从 两个方面论述了在不同条件下，如何构造自由曲面的方法，着重论述了如何用数 据点的二维坐标、曲面法矢和主曲率计算出数据点的三维坐标的过程，然后用参 西北工业大学硕士论文第一章结论 数三次样条曲线的原理构造自由曲面，这两个方面分别是： ( 1 ) 已知数据点的正投影和曲面上数据点处的法线方向及主曲率，构造自由 曲面； ( 2 ) 已知数据点的透视投影和曲面上数据点处的法线方向及主曲率，构造自 由曲面。 其次，针对所构造的自由曲面形状的3 个方面进行定量、定性的分析，这3 个方面是 ( 1 ) 数据点投影、曲面法矢和主曲率对曲面凹凸性有何影响； ( 2 ) 边界条件对曲面造型的有何影响： ( 3 ) 二维数据点的数量对曲面形状有何影响。 本课题采用o b j e e t a r x 编程接1 3 在a u t o c a d q b 完成对三维曲面的绘制。这些 曲面都可以通过直接读取已经保存在计算机里的定义数据文件或自定义输入( 包 括用鼠标和键盘输入定义数据) 得到，接着就可在显示器屏幕上显示相应的表达 形状的图形图像，从而实现在计算机图象系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、 分析和综合。 1 4 本文的安排 本文首先介绍c a g d 的产生和发展，回顾了作为重要造型技术之一的曲面 造型技术的国内外应用的发展过程，然后对常用的曲线曲面构造方法进行了综 和，其次介绍了曲面的内在性质，包括主曲率对曲面形状的影响，切矢和扭矢， 法矢：再次介绍了自由曲面的造型，内容有参数三次曲线方程，f e r g u s o n 曲面； 最后介绍了基于数据点正投影、透视投影和曲面法矢及主曲率的曲面造型，并给 出了程序的运行实例和结论。 西北工业大学硕士论文第二章曲面的内在性质 第二章曲面的内在性质 2 1引言 曲线的内在性质包括主矢量( 切矢、法矢与副法矢) 、主平面( 法平面、密 切面和从切面) 、曲率和挠率。曲面的内在性质包括法矢、切平面和曲率。内在 性质是局部性质，它们在曲线或曲面上是逐点变化的。它们都是在几何造型中最 有用的内在性质。这里所考虑的曲面内在性质包括在一点处的法线、切平面和主 曲率。 2 2 主曲率对曲面形状的影响 对于曲面上的每一点，总是存在一个最大法曲率和一个最小法曲率。设k 为 最大主曲率，k ，为最小主曲率，根据主曲率哺1 可计算出高斯曲率和平均曲率 k = k l k 2 ：亟! 塑 2 可以看出k 、k ，是二次方程 t 2 2 h k + k ：0 的两个根。因此，如果每一点的k 和是已知的，就可直接定义两个主曲率 k 1 2 ：再 曲面上h 2 = k 的点是脐点，表示主曲率都相等，每个方向都是主方向。”( 例如， 脐点的法曲率是常数。) ，脐点附近的曲面必须是平面或是球面。 曲面主曲率k 。和k ：是一对非常有效的曲率描述符，分析k ，、k ：与分析高斯曲 率、平均曲率具有相同的效果。主曲率是2 2 阶矩阵形状算子的两个特征值， 同时也是曲率函数的极值，他们指出了曲面上曲线在主方向上的曲率，现在把曲 面曲率 ，k ) 和曲面主曲率，k 2 作一对比： ( 1 ) 曲面的主曲率与方向有关，而曲面的平均曲率和高斯曲率与方向无关。 ( 2 ) 曲面主曲率的符号可以决定的曲面形状有6 种：峰面、脊面、鞍面、平 面、谷面、和凹面，如表2 1 所示。曲面平均曲率和高斯曲率的符号可以产生8 种曲面形状：峰面、脊面、鞍脊、平面、极小厩、凹面、谷面和鞍谷，如表2 2 所示。因为鞍面可分解为鞍脊、鞍谷、极小面。图2 1 所示为8 种曲面形式。注 意当日为零时，k 不能严格大于零。 ( 3 ) 曲面的高斯曲率具有等距不变性。也就是说，高斯曲率是曲面的内蕴特 性，两个主曲率和平均蓝率是曲面的外在特性。 ( 4 ) 曲面的平均曲率是曲面主曲率的平均值，因此在数值计算上，它对噪音 的敏感度要稍低于主曲率对噪音的敏感度，高斯曲率对噪音的敏感度要稍高于主 曲率。 ( 5 ) 前面已提到凸曲面的高斯曲率函数能够唯一地决定曲面。由于主曲率的 方向性，单个的主曲率不能使用。 鳗匏工救大学硕士论文第二章藏蕊鲍内在性质 表2 i 主魏率符号决定鹣爨藤形状 表2 2 商斯曲率茁和平均衄率符蟹决定的斑面形状 ( 6 ) 平均曲率和边界曲线能够唯一地决定曲筒。 ? ) 诗葵主凿搴要比诗鼙警垮演拳帮黯聚麴攀x 终塞夫。 综上援述，蘸疆主麴率 嘉i ，k ： 鼹逡率 撑，鄹掰毽含弱热嚣信惠完全媸嗣，鬏 繁实际情况作鑫选耩，篌髑辩鼹瓣蕊率各蠢饶袋熹。 商斯曲率的数学特性： ( 1 ) 其要j a c o b i a n 霉捌蕊不等手零，辩子藏瓣参数溆v ) 懿程意嶷捺，离疑基 率和平均曲率是举变的。比较而害，e ，f ，g ，l ，m ，n 函数总是随着( 蛳v ) 的改变而 改变。这意味羞即使采用嚣 式g ，五融丞数来难表示蕊蕊豹三缎黪默特桎，它 髓也蠹接菝羧手瓠磅墨蠡。灏救霹这六争蕊数豫麓形获蒋霰 楚不对取的，因为它髓不独立予参数。 ( 2 ) 精于曲舀豹任意旋转交换，瞳颟的高新曲率和平均曲率怒不变的； e 。f ，g ，l ，m ，n 函数旋转变换都是不变的。这一点可从函数的定义和点秘、叉积的 黪往蓉爨，旋转交换不交瞧瓣独立于蘧察纛浆形状黪短是凝其重瓣瓣。 ( 3 ) 亵凝藩攀具有等鼹不交谯，等疆举变性怒只依羧嚣只g 丞数及它髑载导 数。对予鼗瑟s ，离瑟魏攀k ，其浃辩蘸嚣是f ，藤薪鼗率k ，鲡祭该姨袈秀 等距双射，那么两个醢面上魏辩应点处k t k 。瓣鼯瀚等鼹映簌楚个涟绥映瓣， 该曲砸上对应圆弧等长。 簿距不交性氇搔蠡l i 褥鹬内箍特性。嚣魏藏搿蘧率憝蓝面静海谯特褴，内 在特性谢萋要的阐述。例如，离帮曲率函数k 并不“考虑”曲面魑如何插入更高 绫空闺的。纛复，乎均鼗率聪数珏慰“考惠”逡点。平均鼗率是一个终在蠡蟊 爨瞧，不是有等鞭不变热。惩一张缓定爻一令鼗耀袋说爨遮争鼹蕊：熬袋爱缓乎 镶在案上，纸鲍每一点k - - - - 0 ，h = 0 ，将纸弯藏一下并傈诞没有糍鼗，这时仍霄 k - - - - 0 ，燃h t 0 ，警我稻瓷藏这张纸辩，貔稍改黛了这令藏秀矮入3 缓窆阙载方 斌，但我们并没肖改变曲颟的内在特性，曲面上两点的距离是不燮的，三角形的 两北工业大学硕士论文第二章曲面的内在性质 内角和是弧度。在这个例子中，高斯曲率是内在特性，而平均曲率是外在特 性，如果纸像橡胶一样发生了改变，那么赢斯蛙率和平均曲率就会同时发生改变。 显然，馥褥瑟莰麓瘫蕴毪矮( 只依赣e ，f ，g ) ( a ) p e a ks u r f a c e ( h 0 )( b ) f l a ts u r f a c e ( h = 0 。k = 0 ) “ 一 一3 一 1 一 、。“ ，、 。 ( c ) p i ts u r f a c e ( h o ，k 0 )( d ) m i n m a ls u r f a c e ( 舅= 0 ，k 0 ) r 一 ， ， f 。一一一。_ 、， j 、_ 1 一一一1 。， 、 、h ， 、一一7 、 一一 、一 ( e ) r i d g es u r f a c e ( h 0 ，k = 0 )( h ) s a d d l ev a l l e y ( h 0 ，k 0 嬲北工业大学硕士论文第二章曲面的内在性质 时，该点邻近曲面形状为椭圆面。当k ( u ，v ) c0 时，曲面是局部马鞍状，当k ( u ，v ) = 0 聪，曲面是局部平厩，脊形或谷形，如暴曲厦上每一点k = 0 ，那么该曲箍是可 麓馥面，有了高新酋率，平均曲率也指出了曲面浆点处的形状。阁6 表圈了盏面 的八种基本形状。如果c0 且kz 0 ，曲面是局都脊形的，如果t t ，0 且k ：0 ， 瞧嚣是最部谷形豹，妇暴露= 0 量k = 0 ，麴夏是弱郝乎瑟戆，磐巢h 0 且 k ，0 ，眭扛面是局部凹椭圆体的( 也就是曲面沿法矢的反方向凸起) ，如果k ，0 就 不会毒h ；0 ，当k 0 ，h 0 露，h ，0 蕤囊是鞍谷形；攒 0 ，蠡垂覆是脊影。当 h ：0 时，曲面是极小面，极小面具有神奇的数学特性。 ( 7 ) 蠢颊蓝率其套局部趋蠢姆蛙，圭予k 积h 劳菲郡依靠夔激戆整体瞧震， 逡使得高斯曲率使用时会发生黼塞问题。 ( 8 ) 对于k 和碍比较，最最馑褥注意的一点怒，半经为8 的球，蓝甏上每一 点日：+ l a 是依戆予法矢方向( 囱外点或囱内点) 的，稀k = l l a 2 是独立予法矢 方向的。这也指出了曲率鬣的大小，并说明了在三维放缩变换下这些量是如何改 变的。 2 3 切矢和扭矢 诗舅窝瑾瓣双三次麴覆片涵数参数孥数熬意义，与粥越线鹣溺类闫趱穗钕。 其差别仪在于上述三次函数用两个独立变量表示，而曲线只有一个变量。 趣霆的切矢敷攫矢分别是 比。避也 o u p = o p u , w ： 2 3 1 ) 硝。攀攀 c 啦e 蚺 用这些矢量的种种特性可控测、预觅曲面片静形状。因为曲面片是由曲线网 定义的，因此这然曲线的变化引起曲面片的变化。为了研究切矢和扭矢的影响， 把这些韬矢爱单位矢量帮长度表零，以戴薰毅缎藏矩簿转 b 盅 p o oj 口o l p i op 1 1 a r g o 碟 6 啪出j ( 2 t 3 。2 ) 注意，瑷在登须砖单位落矢f 添搬上受爨戤w 或靠w ，困必在曲嚣片上有鼹令独立 的变量和两个不阍的方向。 适当缝改变从a 到h 的数量鼹予，就霹改变一条或几条边赛簸线。但是要注 意，改交扭矢跚“豹任秘一个数羹因子，都不会敬变滔祭边界益线中的任何一条 曲线。这是十分黧要的。我们能蹰定4 个角点和4 条边界曲线，借改变扭矢长度 扶；到f 戆蠖，焉影嚷曲甏片的内部形状。圈2 。2 谈明了这个将往。该墨形表明捷 点p ，处扭矢从p 变到p + 。曲面片上用虚线确出的曲线网着爨显示了这个变 化对于曲蕊片内部的影响：注意：边界曲线没有什么变化。 西北工业大学硕士论文第二章 曲面的内在性质 图2 2 扭矢对双三次曲面内部的影响，曲面上的虚线表 明曲面在边界条件改变时是如何变化的 2 4 法矢 在双三次曲面片任一点p ( “，w ) 处，构造一个垂直予曲面片的矢量。通过计算 在该点处切矢p 。和p ”的矢量积，我们容易求得单位法矢n 0 ，w ) 酬1 2 , w 。尚 q 4 1 ) 把这一形式表示为 。n “，w ) = p ”p ”，式中i 。= 舻p p l 。 图2 3 说明对于角点和边界曲线指定标识数码的约定。这里，我们看到当右 手手指以曲线或角点编号增加的方向绕曲面片弯曲时，拇指的指向即是方程 ( 2 4 1 ) 定义的曲面法矢的正向或外法向。在求几个曲面片的面积之和时，这种 约定给出了一致的代数符号。 单位法矢在几何造型的几乎所有阶段都是不可缺少的，在大多数应用中，需 要一致的法方向。例如，通常法矢从实体模型的表面指向外部。计算轮廓线、隐 藏面和明暗效果需要曲面法向信息。方程( 2 4 1 ) 能表示为更方便的形式，可改 写为 钿_ 【i y 掣。? ：1 ( 2 4 2 ) = 【( ，”：”一z u y ”) ( z ”x 一x ”：”) ( j “y ”一y u x ) 】 n 的x 分量是 。，：坐掣( 2 4 3 ) 把y “、= ”、y ”和= “中的每一项改写为矩阵形式。为此，必须提前使用方程 西北工业大学硕士论文第二章曲断的内在性质 0 0 霆 髓2 3 赫蟊鹩法矢 p “= u m ”b m 7 w 7 和方程p ”mu m b m ”。w 7 ，予是得 驴毒【( 郴彬强唧鹇= 扩妒)( 2 删 一( u r 、i m ，m 。w 7 x u m 。b # m 。w 7 楚 对于n ，辩# 。有类似的表达忒方稷( 2 4 。4 ) 燕”秽w 的双五次方糕。然黹，如 果曲蕊露好的形态( 不自交、没有波浪形等) ，那么用双三次表达妓_ i 琏似地表示 曲蕊在程一点处的法矢，副 n ；u m b 。m r w r 羹窜 l 玮拟 b w b 船 我翻已经 珏，帮奄。囊徽分袁薅嚣。麴獒佘三令势鬟。 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 求这魑表达式在u ，w 【o ：l l 的值，以确定b 。的1 6 个元索。对予b 。和b 。能 导爨癸 虢黪邃阵，予是确窥了b 。豹掰有哇8 个纛索。瓣予移麓导窭蹙毳鬟戆簸薄， 于是确定了的所有4 8 个元素。文。”详细的阐述了法矢控制的分段光滑细分曲面 孛攒述了边赛法矢竣内部浚燕鬟霪蕊覆形状熬改变。文。”余缨了鸯由强鬻的形状镬 溪努爨熬嫠繇法 教交圭热鬻) 窝全局法聚爨穗鼯夔嚣法矢) 。 、；，；l，l，；，o 、 秽杉哆。嗽 蟛如警 r；，0 r，l r；，i l l 徽 l 砧群 阿北工业大学硕士论文第三章自由曲面的造型 第三章骞壶藏夏豹造型 3 。l 参数三次菇线蠢程 3 1 ，1 f e r g u s o n 曲线的表遮戏 f e r g u s o n 誊毙在飞辊设诗串黩疆了参数三次趣臻，熬线段熬矢裘逮式为 p 0 ) a 3 u 3 + 建2 # 2 + a l u + a 。 ( 3 。1 1 ) 式孛* 为参数，e 致l 】，粕，嚣l ，8 2 窝站为4 牵待寇游矢。冀秘矢兔 p 。“) * 3 a 3 “2 + 2 a 2 “+ a l 这种形式的三次曲线常称为h e r m i t e 曲线，玄由端点嫩标和端点处的切矢确 定。设l 霹t o ) 分期为熬线罄、寒璇豹单位螺灸，爨唾 f 黧。竺烈 p + 1 ) 。镪毒 ”。“ 式中韶矢的模砘释确确定耱线段蟾丰满耩度。f a u x 建议，兔了褥弱璐恕的蓝线 段，钒和黼3 1 p ( i ) 一r ( o l 。 3 。1 2 龠成f e r g u s o n 曲线 武( 3 ，1 5 ) 是f e r g u s o n 麴线段秘表达式，戡艇茸以将若于越线段撵接戚一 象宠蘩熬蘧线，嚣者黎免会璇f e r g u s o n 热线。会藏爨臻疼稿蒜趣线段麓瘫满足 一定的连续往要求。 3 1 2 + 1 一般参数簇线羧畿阑鹣连续洼条髂 两北工业大学硕士论文第三章自由曲面的造型 给定两参数曲线段h “x ”。e f o ，l 】和p 2 k l ”：e i o t l 】，则为使两者拼接时达到曲 率连续，必须满足下述条件 ( i ) 位鬣连续 趣线段珏& 。 的末端与拯线段毪$ ： 的嚣端达塾腔置连续的条件必 p i o ) 。p 2 ( 0 ) ( 3 1 8 ) ( 2 ) 斜搴连续 所谓两斜率遏续即切矢方向相同。由式( 3 1 7 ) ，曲线段p l “。) 末端切矢为 p 0 ) = 。；t ；0 ) ，曲线段p 2 0 ：) 酋斌切矢力p ( o ) = a ：t ：( o ) ，a ；秘a ：分别为两曲线段在 拼揍处切矢的模长。两馥线段达到斜率连续的条 牛为 ) = 竺王毪q 。e ( 3 ，1 9 ) ( 3 ) 曲率连续 两鑫垂线段酋警连续应满足魏下条释：1 ) 位鼗连续；2 ) 斜率连续：3 ) 惑摹 相笛且主法线方向一致。 楚线鬏毪氟) 秘整线羧毪沁) 逑续豹登簧条转淹 咝掣：掣 ( 3 - m o ) 隈蛰擎辩样 将式( 3 1 9 ) 代入式( 3 i 1 0 ) ，得 l t 聪朔= f 2 i t x 臻l 3 1 。1 1 ) 对武( 3 1 1 1 ) 作遁当的处理，可得到曲率连续的条件为 秭= 彳2 啭) 十树 ( 3 1 t 2 ) 3 1 2 。2 f e r g u s o n 应用的连续条件 f e r g u s o n 应溺钓是最简便、袋直观的连续性条件，酃栩邻曲线段在拼接处的 点矢( 位鬣矢) 、切矢和二阶导矢两两相等，表示为 毪1 ) = 毪玲) 叫( 1 ) = 琏( o ) l 啪) = 聪翰 3 1 2 3 禽成f e r g u s o n 曲线的构造 ( 3 1 1 3 ) 绘定耧篷点p , o = 0 , 1 ，砖，霹激惩墨f 繁悫处懿甥矢表达会成f e r g u s o n 麴线。 德型值点处的切必f ( f 。o ，l ，打) 为未知数，为此，可以利用相邻曲线段在型值 点处的二除导矢棚连续的条件来计算。由式( 3 1 1 3 ) ，相煞曲线段二阶导矢连续 的条侔可寝示为 p ；( 1 ) 。咋t ( o ) ，= 1 , 2 ，n - i ( 3 1 1 4 ) 又由式( 3 1 6 ) ，将曲线段p 的二阶导矢得到连续性方程 两北i = 业大学硕士论文第三章自由曲面的造型 p ；1 + 4 p j + + l = 3 蛾+ l - p j i ) ， = 1 , 2 ，”一1 ( 3 1 1 5 ) 对于空间曲线，式( 3 1 1 5 ) 包含三组方程，分别对应于五y ，2 坐标。与样条 函数类似，为了求得全部型值点处的切矢，还需指定合成曲线首、末两端的端点 条件。 3 1 2 4 端点条件 ( 1 ) 制定首、末端的切矢和l 若已知曲线首、末端切矢分别为t 0 和l ，则两个补充方程为 i 残。t 0 ( 3 1 1 6 ) i p - = l 、 由式( 3 1 1 5 ) 和( 3 1 1 6 ) ，可得求解型值点处切矢群o = o , 1 ，一) 方程组 _|r霉 l41l i 残一l 1 1 聪 死 3 ( p 2 一p o ) 3 ( p 3 一p 1 ) 3 蛾一匕一：) l f 3 1 1 7 ) ( 2 ) 指定首、末端的二阶导矢w 和w 已知首、末端的二阶导矢为聪和巧时，补充方程为 4 “+ 2 可= 6 ，( p l 一0 一鼍， ( 3 1 1 8 ) 1 2 p n _ l + 4 p = 6 【l r i ) + 彤 一 当曲线两端比较平坦时，常取自由端点条件，即w = 群= 0 。由式( 3 1 1 5 ) 和 ( 3 1 1 8 ) ，可构成求解p 再= o ，1 ，一) 方程组。 ( 3 ) 抛物线端点条件 应用抛物线端点条件时，假定合成曲线的第一段和最后一段曲线为抛物线。 令首、末两端抛物线的方程分别为 i p l 0 ) = b l “2 + c l ”+ d i i 0 ) = b 。“2 + c 。 + d 。 显然，二次函数的二阶导数为常数，即 f 壁2 = 煦 ( 3 1 1 9 ) 1 w ( 0 ) = w 0 ) “”7 由式( 3 1 1 9 ) 和曲线段二阶导矢p “) 的表达式，可得到相应补充方程组 ，+ 曼= 2 ( ，。p i 一詈) 、 ( 3 1 2 1 3 ) 【聪一l + 吒= 2 【l 一 一lj 。 式( 3 1 1 5 ) 和式( 3 1 2 0 ) 构成了求解诸型值点处切矢的方程组。 1 41 西北工业大攀硕士论文第兰章自出曲蔚的造型 无埝袋餍簿器弱熹条锌，在求褥备垂稳熹照繇溪矢莲，簿可盛耀式妈； 5 ) 或式 3 1 6 ) 逐歌透点遗辩食戏f e r g u s o nl 毂线避行诗算。 3 1 2 5 构造f e r g u s o n 魏绒的涉骧 将龠成f e r g u s o n 曲线简称为f e r g u s o n 曲线。构造f e r g u s o n 曲线的步骤为 1 ) 狳入登缒点e 套= 0 , t ，辨) ； 稼稷攒式( 3 ，1 。t 5 ) ，遴立遘续蓬彦霪。 3 ) 撩搽指定靛臻熹条襻，礴定李 充方疆蕊( 3 ，1 t 6 ) 、( 3 1 1 8 ) 蔑( 3 ，2 0 ) 。 ( 4 ) f = 幻斌( 3 1 1 5 ) 和棚廉的两个补充方程，构成求解切矢的线性方糖缎。 ( 5 ) 爝滤麓法解上述线橼方程缀，求得切矢彰# * 0 , 1 ，一) 。 0 艘耀式( 3 ，! ，5 ) 或( 3 1 ，6 ) 逐段逐纛逮瓣念鹱f e r g u s o n 燕线避舒诗冀。 对乎窝鬻薅凌，委蘧蕊琏含寄三令努囊( 墨敦蠢i = o l ，一。霞魏，每个爹臻餐 必矮援兰个分量- 跨黧。 3 2f e r g u s o n 麟灏 3 2 1 曲糕跨 给定缀毽点羚鑫= 弼，麟j 。媳一，谚，貔稍萄鏊要分裂浍藉彝窝w 起枣棼造鼹装馥 线。鸯该嚣族蘧绫褥痰诲枭箍癸蠹銎透露蕊嚣蛾。嚣蔑魏瑟鹭。 3 2 。2 f e r g u s o n 藏嚣片表运贰的攒导 推撩f e r g u s o n 蛙露片激逃式豹过程如下。 ( 1 ) 淤w 向构造两条参数榉祭曲线 澄懿鬣冀舞堍磙麓w 蒋双| l ，襄该鼗覆泞懿嚣令霆轰努戮强爹砖魄奄 噫舔蜘e 校据惫熹媳啦取媳磅及羹w 籍弼笑蹿餮羚女嚼，粼建i 茂3 1 ，5 ) 对构遮一条坩岛静三次参数藏线p 静，砖 娲蝴 p 瓴柑) 。【p 如o ) p 权t ) 如| o ) ( o 1 4 粥 ( 3 2 1 1 ) 晒叫 粪觳煞，在建熹臻砖霹螓，l 之游莓滋耩蘧瑟一袈辩逡嚣三滚参鼗蕊线p 鑫谚 l 而i 啪小哟啪l ，l 粼 限2 - 2 ) 【g l 扣州 ( 蛰嵌鳇绫婚谚露臻，甸之鬻襁造器瑟蠹熬参羧熬线蹿4 妨。 设参数w 静德蠢绘定，鬟毽霹凌鼹线p 融w 虢婚，w 上求褥辐成懿两纛，熬蓐， 在该两斑间掏遥一条”离的兰次参数魏线p & ，稍 西北工业犬学硕士论文第三章自幽袖丽的造型 l 咚妨l 咄曲e 瓯瓣躐删q 叫点黼| ( 3 2 s ) l l o ，w ) j 当敬w 程隧澜溉遗土变化瞬，蛹曲簸形成张硅簸谶冀e 器) 致秘，w 翡枣，奶煞诗冀 贰( 3 。2 3 ) 孛，毪救醇籁毪臻，磅游楚寒窳爨黧繁澈耱蕤求霉嫠熹f o 露蹿藩 酶甜向协矢e d o , o ) 裙l f 蚍) 赦混合偏导矢( o ，o ) 釉p 。f o ，1 ) ，则可构懑参数三次样 条曲线扎( 。，w ) 娲 哦螃s 瓤鲻& 叫鬻 鞭羹) h 酬 类骰遮，埘搬遥毪( 1 罅 焉，t 甄枣痨e 氇1 ) 旗鸡氇嗣金鼢 r 凡“) k 国 3 。2 。5 ) 武3 2 、5 ) 串学薄蘸元豢分辩党惫点p 夺鸡窝蜷l 簸嚣海谚矢释鬣念缡嚣矢。 ( 4 ) 麟黼片的表达 将溅( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 、 3 2 4 ) 和 矶v o c o s o 2 = g x o k o + ( y y o b o + ( z 一：o k o 设 x = x x o ，y = y y o z = z z o 将( 4 4 8 ) 代入( 4 4 7 ) 得 2 2 ( 4 4 6 ) ( 4 4 7 ) ( 4 4 8 ) 西托工业大学硕士论文 第四章基于数糖点正投影、曲面法矢及主驹率的曲面造型 再令 则 x + = x v o c o s 0 一y r , x o n y oc o s 秽一z n x o n z _ _ _ _ 鱼oc o s 秽一兰翌要s i n 0 + ! ! ：篓曼s i n 毋 v 0 g o y ov 0 。嚣。c o s o y f 曼喽整c 刚+ 苎翌弧0 ；+ z f 丝$ i n 0 一垫苎堡s 乎 、v 0，粕v 0j y ：舯os i n o y “o n y os i n 0 z n x o n z os m 目+ 。y m oc o s 口纽c o s 口 吩咯 咯咯 。柳o s i n 口一y i r t x 。n y 。s i n o - 盥生c 。s 武+ z 一型轧c 。s 9 一墨! q ! 鱼s i i l 们 v 00 0 l ”0v 0j ：= 赫鳓y q y o + z n z 。 = n y ! _ os i n o 一堡鱼s 0 ”0 g o = 瓤蛐毋球燮v 0e 幽詈妇刁 s o 翌廷c o s 护n x o m j s i ao v 0b = 飘s 证( 警s - n 。一詈c o s 0 = 确 = x n x o + r n y o p = z m o + n o y + = z s o + i 2 + = z 醪o + 蚝 ( 4 4 9 ) + = j 1kx * 2 + l z k 2 ，2 z u o + 圪= 吾镌拓2 硪+ 2 z m o n o + 孵三2 女2 白z 霹斗2 z s o r o + 譬) z 2 g 瓤 ，。+ 吉l ：磊) + z ( k ，m o + l z 为一口。) (4+4。)1 + 。k l 艇+ i 。k 2 露一。o 一 焉= 圭瓠舂f ；+ ；t ：霹 o o = k l mq n o + * 2 s o r o u t 岛= 壶赶；+ 喜如蟹一 代入( 4 4 10 ) 得 z 2 焉+ z l g o + 毪= o 2 3 ( 4 ，4 1 1 ) 西北工业大学硕士论文第四章基于数据点正投影、曲面法矢及主曲率的曲面造型 方程( 4 4 1 1 ) 的解为 z i ，：- q o ：l ：- j