（检测技术与自动化装置专业论文）微纳米表面形貌测量中探针形状重建的分析.pdf

摘要 表面三维形貌检测是获取零件表面形态特征的一种重要手段，也是记录、比 较和复制物体形态特征的基础，它在机器视觉、自动加工、工业检测、产品质量 控制和生物等领域具有重要意义和广阔的应用前景。但在接触式测量与扫描探针 显微镜中存在一个问题，就是所获得的扫描图像是样品与触针探针共同作用的 结果，即是被测样品实际形貌的近似描述。所以触针探针重建是减小探针膨胀 效应的要求，利用估计的探针形貌进行表面重建能够得到更准确的测量结果。 本文介绍了微米尺度下触针重建的方法一刮胡刀片法，以及纳米尺度下探针 重建的方法一盲重建法；通过模拟探针扫描成像，分析了探针形状对测量样品结 果的影响；通过对仿真的成像结果采用盲重建法得到的探针结果，分析了盲重建 法的优缺点：提出了一种探针重建方法一s t r m 法( s t y l u s 面dr e c o n s t r u c t i o n m e t h o d ) ，并分别与微米尺度下国际标准i s 0 5 4 3 6 1 ( g b 厂r 1 9 0 6 7 1 ) 建议的刮胡 刀片法和纳米尺度下美国国家标准与技术研究院所提出的盲重建法进行比较，比 较是通过对微米尺度与纳米尺度下的扫描实验数据采用上述三种方法处理，比较 结果表明s t r m 法与刮胡刀片法、盲重建法的重建效果相近。未来可继续对探 针轮廓进行三维重建，提升粗糙度测量的精度。 关键词：探针重建盲重建刮胡刀片法表面粗糙度仪扫描探针显 微镜 a b s t r a c t t h r e e d i m e n s i o nm e a s u r e m e n to fp a r ts u r f a c ei si m p o r t a n tt oo b t a i nt h ec h a r a c t e r i s t i c s o fs u r f a c et o p o g r a p h y i ti sa l s ot h eb a s i so fr e c o r d i n g ，c o m p a r i n ga n dd u p l i c a t i n gt h es u r f a c e f e a t u r et h a th a sb e e ns i g n i f i c a n t l ya n dw i d ea p p l i e di nm e c h a n i c a lv i s i o n ，a u t o m a t i cp r o c e s s ， c o n t r o l l i n gt h eq u a l i t yo fp r o d u c t ，b i o l o g ya n ds oo n h o w e v e rt h e r ei sap r o b l e mi n c o n t a c t i n gm e a s u r e m e n ta n ds c a n n i n gp r o b em e a s u r e m e n t t h em e a s u r e di m a g ed i l a t i o ni s d u et ot h ec o n j u g a t e da p p r o x i m a t i o no fs t y l u sp r o b ea n dt h em e a s u r e ds a m p l e t h e r e f o rt h e s t y l u st i pr e c o n s t r u c t i o ni sv e r yi m p o r t a n tf o rr e d u c i n gd i l a t i o nf o ri m p r o v eo ft h em e a s u r e d p r o f i l ei nm i c r oa n dn a n os u r f a c er u u g h n e s sm e a s u r e m e n t t h et h e s i si n t r o d u c e st h em e t h o d t r a c i n gr a z o rb l a d et or e c o n s t r u c ts t y l u si nm i c r o r o u g h n e s sm e a s u r e m e n ta n dt h em e t h o d - b l i n dr e c o n s t r u c t i o nt or e c o n s t r u c t i o np r o b ei n n a n or o u g h n e s s ；a n a l y z et h ee f f e c to fp r o b e ss h a p et ot h em e a s u r e dr e s u l t t h r 0 1 i g h s i m u l a t i n gt h ei m a g e ；t h r o u g hu s i n gt h em e t h o do fb l i n dr e c o n s t r u c t i o nt od e a lw i t l lt h e s i m u l a t e di m a g e ，a n a l y z et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fb l i n dr e c o n s t r u c t i o n ；i nt h i s r e s e a r c haas t y l u st i pr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d ( s t r m ) w a si n t r o d u c e dw h i c hi sd e r i v e df r o m i m a g ec o n v o l u t i o no fm i c r oa n dh a l l os u r f a c er o u g h h e s sm e a s u r e m e n ta n dt oc o m p a r et h e e f f e c t so ft i pp r o f i l e sb a s e do nt r a c i n gr a z o rb l a d eo fi s 0 5 4 3 6 - 1 ( g b f f l 9 0 6 7 1 )a n db l i n d r e c o n s t r u c t i o ni nd r a f ts t a n d a r do fn a t i o n a li n s t i t u t eo fs t a n d a r d sa n dt e c h n o l o g y ( n i st u s a ) s e p a r a t e l yw i t hm i c r oa n dn a n os c a l es t a n d a r dg a g e sb ye x p e r i m e n t s e x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tt i pr e c o n s t r u c t i o nw i t hs t r ma r ec l o s et or e s u l t so b t a i n e db ym e a s u r i n ga r a z o rb l a d ei nm i c r os u r f a c er o u g h n e s sa n da l s ot or e s u l t so b t a i n e db yb l i n dr e c o n s t r u c t i o no f s t y l u st i p ss u g g e s t e db yn i s td r a f ts t a n d a r di n f u t u r ew o r k sf o c u so nd e v e l o p i n g3 d m e t r o l o g yi ns t u d yo fp r o b er e c o n s t r u c t i o nt op r o m o t et h ep r e c i s i o n k e y w o r d ：t i pr e c o n s t r u c t i o n b l i n dr e c o n s t r u c t i o nr a z o rb l a d e s u r f a c er o u g h n e s sm e a s u r e m e n t s u r f a c es c a n n i n gm e a s u r e m e n t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天 津理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 日 学位论文作者签名：刮谈 签字日期：跏舌年l 一月占l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津理工大学有关保留、使用学位 论文的规定。特授权天津理工大学 可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编，以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送 交论文的复本和电子文件。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：去j 捷 导师签名蝴荡、竹 签字日期：痂饵 2 月2 2 - ，e 1签字日期：土卯彳年工月玉玉日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 表面形貌测量及其意义”“ 表面形貌也称为表面微观几何形态，是指零件加工过程中，由刀具和零件的 摩擦、切削分离时的塑性变形和金属撕裂，以及加工系统中的高频振动等原因， 在零件己加工表面上残留的，各种不同形状和尺寸的微观凸峰和凹谷。 表厦形貌不仅与加工过程中的加工方法，及工艺参数密切相关，而且在很大 程度上决定了零部件的使用性能。在机械工业中，机械零件的表面形貌，不仅对 机械系统的摩擦磨损、接触刚度、疲劳强度、配合性质，以及传动精度等机械性 能影响很大，而且还与导热、导电及抗腐蚀等物理性能有着密切的关系，从而影 响到机械和仪器的工作精度、可靠性、抗振性及使用寿命等等。在电子工业中， 随着集成电路的提高，硅片表面的粗糙度对集成电路中薄膜电阻和薄膜电容的影 响越来越大，已直接影响到集成电路器件的性能及成品率。 表面形貌不仅对接触零件的机械和物理特性起着决定作用，而且对一些非接 触零件的光学和外部特性影响也很大。譬如，光学元件的表面形貌，即使只有很 小的一点微观凹凸不平，也会引起光的散射而使光学系统的性能变差。 因此，精确可靠地测量表面形貌，不但能正确她识别出加工过程中地变化和 缺陷，而且对控制和改进加工方法，研究表面几何特性与使用性能地关系，以及 提高加工表面的质量和产品性能有着显著意义。 此外，器官、组织、细胞、矿石、金属与非金属材料的表面微观形貌，也极 大的吸引着生物学家、地质学家、材料学家的兴致。正是随着人们日益认识到表 面形貌的重要性，才推动着表面测量技术的次次飞跃。 1 2 表面测量技术发展1 根据测量原理的不同，表面测量技术基本可以分为以下三类：接触式测量方 法，光学测量方法以及非光学式扫描显微镜测量方法。 接触式方法：它是应用最为广泛、也是最基本的一种表面轮廓测量方法。特 别是在工程表面测量中，触针式仪器占有及其重要的地位。这是触针式仪器具有 直观可靠、操作简单、通用性强的特点，能满足一般的检测需要；同时，触针法 还是国际唯公认的二维表面粗糙度测量的标准方法。 接触式测量原理是：用一个很尖的触针在表面上横向移动，触针将随着表面 轮廓几何形状作垂直起伏运动，并把这个微小位移的信号转换成电参量并加以放 大，再进行运算处理，即可锝某个表面粗糙度参数值，或者用记录器描绘出放大 的表面轮廓图形。按此基本方法做成的测量仪器很多，一般可分为电感式、压电 式、干涉式及光栅式等。其中以电感式应用最为普遍。如图1 1 所示，金刚石 触针在表面峰谷之间的垂直位移，转换成电感量的变换，经正弦波调制、放大和 检波，得到与触针试件表面垂直位移成正比的电压信号，其量程范隅一般为 l o o p m ，分辨率取决于电路系统的放大倍数和数掘采集系统的分辨率。 第一章绪论 被潮袈面 图1 - - 1 电感式触针传感器 光学测量法：光学测量法是基于光学原理的非接触测量法。该法不仅可以实 现表面彤貌的高精度的快速非接触测量，而且系统结构简单、成本低，在表面非 接触测量领域得到了广泛应用。它包括光学探针法和干涉法。 非光学式扫描显微镜法：有两种类型，一种是电子显微镜，包括扫描电子显 微镜、透射电子显微镜、扫描透射电子显微镜等；另一种是扫描探针显微镜 ( s p m ) ，s p m 有着诸多优势，它有其他表面分析仪器所无法比拟的分析分辨率， 其纳米量级上的表面形貌描述，能使人们对样品表面有了直观的映像，它包括扫 描隧道显微镜( s t m ) 、原子力显微镜( a f 啪等。 s t m 是通过导体探针尖，在导体样品上进行扫描。一个偏压加在样品与探 针之间，当探针距样品很近时产生隧道电流，隧道电流的大小与样品到探针的距 离有关，为了保持检测到的隧道电流不变，探针将随表面凹凸起伏，通过记录电 信号可以获得样品表面的微观形貌。 a f m 是在一柔性悬臂上利用一根很细的碳化硅探针接触被测表面。当被测 表面做横向扫描时，表面高低起伏变化改变了表面和探针的闽距，从而改变了两 者间的原子力，通过纵向移动针尖或样品，保持恒定的原子力来测量表面轮廓， 其纵向分辨率为0 1 m ，横向分辨率为1 0 n m 。 1 3 针尖几何形状对测量结果的影响o ”3 ”+ 在接触式测量与s t m 、a f m 中存在一个问题，就是所获得的扫描图像是样 品与触针，探针共同作用的结果，是被测样品实际形貌的近似描述。在极端情况 下，如当样品形状特性相对于探针尺寸很小时，得到的图像主要是触针探针形 状的反映，而不是被测样品的真实形貌。例如：图1 2 中a 是两个直径为1 0 纳 米的球体，用一个半径为2 5 纳米的球形探针去测量其形状得到的如b 所示。 第一章绪论 图2 - - 1 探针形状引起的测量结果畸变 因此，许多学者对如何重建被测表面进行了研究。在纳米尺度下，1 9 9 1 年， d a v i dk e l l e r 提出用l e g e n d r e 变换来重建被测表面，它所基于的原则是：在接触 点处，探针表面和被测表面的正切值相等，这需要做一些复杂的微分运算，实际 应用中，这种操作也很有难度，且对探针和被测表面多点接触的区域( 不可重建 区1 不做任何处理，在重建后的表面留有未处理的“孔洞”，致使重建后的表面不 连续。1 9 9 3 年，k e l l e rdj 和f r a n kfs 提出了包络法重建被测表面。它是利用一 系列特定位置处的探针表面的包络来重建被测表面。包络法对不可重建区用探针 部分来填充，避免了重建后图像表面不连续问题。1 9 9 4 年，jsv i l l a r r u b i a 提出 了基于数学形态学的表面重建，其基本思想是用扫描结果与已知探针形状进行腐 蚀运算来重建被测表面，它对于任意形状的图像均适用，且数学描述简洁，推导 方便。 由于上述的几种方法对表面的重建都是基于已知探针的形状。因此，问题回 到了如何获得探针形貌上。在微米尺度下，采用刮胡刀片法获取触针轮廓；在纳 米尺度下，为了减小探针对测量图像的影响，一般采用数学形态学的方法对图像 施行腐蚀运算得到更接近于真值的样本表面形貌。但是这种方法要求预先确定探 针的形状和尺寸参数，常常是通过测量己知形状的校准粒子，从测量图像中求解 探针形状。由于粒子的形状和尺寸也很难准确获得，使得这一问题仿佛又回到了 初始点，因此有学者把此问题称为“先有鸡还是先有蛋的问题”。为避免这一问 题的出现，n i s t 的jsv i l l a r r u b i a 提出了一种不需要预先获得校准粒子尺寸的 “盲重建”法，此法目前还处于研究和完善阶段。这种方法只须知道被测表面的 测量图像，就可推得探针的形状，但是被测表面的图像必需受到限制，而且经过 长时间反复的运算得到的也只是探针的形状近似。 1 4 研究的意义 通过对触针探针形状的重建，可以减少触针，探针形状在测量表面时所引起 的误差，从而更加准确地得到被测表面的轮廓及表面形貌的表征参数。 本课题就是在研究微米等级下的触针重建方法与纳米等级下的探针重建方 法的前提下，提出一种同时适合微米、纳米等级下的探针重建方法，并对用这几 种方法重建后的结果进行分析。 以下为了称呼方便，把触针与探针统一称为探针。 1 5 研究内容 论文由六章组成，其主要内容和组织结构如下： 第一章，绪论，本章简单介绍了表面测量的意义、发展与应用，分析了在表 面测量中由于探针针尖形状引起的问题，介绍了本课题的研究意义、研究的主要 内容和全文的结构安排。 第二章，微米探针重建方法，本章介绍了微米尺度f 探针重建的方法刮胡 翌二芏望鲨 图2 1 探针形状引起的测量结果畸变 因此，许多学者对如何重建被测表面进行了研究。在纳米尺度下，1 9 9 1 年， d a v i dk e l l e r 提出用l e g e n d r e 变换来重建被测表面，它所基于的原则足：在接触 点处，探针表面和被测表面的证切值相等，这需要做一些复杂的微分运算，实际 应用中这种操作也很有难度，日对探针和被测表面多点接触的区域( 不可重建 区) 不做任何处理，在重建后的表面留有未处理的“孔洞”致使重建后的表面不 连续。1 9 9 3 年，k e l l e r dj 和f r a n k f s 提出了包络法重建被测表面。它是利用一 系列特定位置处的探针表面的包络来重建被测表面。包络法对不可重建区用探针 部分来填充，避免了重建后图像表面不连续问题。1 9 9 4 年，jsv i l l a r r u b i a 提出 了基于数学形态学的表面重建，其基本思想是用扫描结果与已知探针形状进行腐 蚀运算来重建被测表面，它对于任意形状的图像均适用，且数学描述简洁，推导 方便。 由于上述的几种方法对表面的重建都是基于已知探针的形状。因此，问题回 到了如何获得探针形貌二。在微米尺度下，采用刮胡刀片法获取触针轮廓；在纳 米尺度下，为了减小探针对测量图像的影响，一般采用数学形态学的方法对图像 施行腐蚀运算得到更接近于真值的样本表面形貌。但是这种方法要求预先确定探 针的形状和尺寸参数，常常是通过测量己知形状的校准粒子，从测量图像中求解 探针形状。由于粒子的形状和尺寸也很难准确获得，使得这一问题仿佛又回到了 初始点，因此有学者把此问题称为“先有鸡还是先有蛋的问题”。为避免这一问 题的出现，n i s t 的jsv i l l a r r u b i a 提出了一种不需要预先获得校准粒予尺寸的 “i i 重建”法，此法目前还处于研究和完善阶段。这种方法只须知道被测表面的 测量图像，就可推得探针的形状，但是被测表面的图像必需受到限制，而且经过 长时间反复的运算得到的也只是探针的形状近似。 1 4 研究的意义 通过对触针探针形状的重建，可以减少触针，探针形状在测量表面时所引起 的误差，从而更加准确地得到被测表面的轮廓及表面形貌的表征参数。 本课题就是在研究微米等级卜的触针重建方法与纳米等级下的探针重建方 法的自口提下，提出一种唰时适合微米、纳米等级下的探针重建力法，并对用这几 种方法重建后的结果进行分析。 蛆下为了称呼方便，把触针与探针统一称为探针。 1 5 研究内容 论文由六章组成，其主要内容和组织结构如下： 第一章，绪论，本章简单介绍了表面测量的意义、发展与应用，分析了在表 面测量中由于探针针尖形状引起的问题，介绍了本课题的研究意义、研究的主要 内容和全文的结构安排。 第二章，微米探针重建方法，本章介绍了微米尺度f 探针重建的方法刮胡 第二章，微米探针重建方法，本章介绍了微米尺度f 探针重建的，| 法刮胡 第一章绪论 图2 - - 1 探针形状引起的测量结果畸变 因此，许多学者对如何重建被测表面进行了研究。在纳米尺度下，1 9 9 1 年， d a v i dk e l l e r 提出用l e g e n d r e 变换来重建被测表面，它所基于的原则是：在接触 点处，探针表面和被测表面的正切值相等，这需要做一些复杂的微分运算，实际 应用中，这种操作也很有难度，且对探针和被测表面多点接触的区域( 不可重建 区1 不做任何处理，在重建后的表面留有未处理的“孔洞”，致使重建后的表面不 连续。1 9 9 3 年，k e l l e rdj 和f r a n kfs 提出了包络法重建被测表面。它是利用一 系列特定位置处的探针表面的包络来重建被测表面。包络法对不可重建区用探针 部分来填充，避免了重建后图像表面不连续问题。1 9 9 4 年，jsv i l l a r r u b i a 提出 了基于数学形态学的表面重建，其基本思想是用扫描结果与已知探针形状进行腐 蚀运算来重建被测表面，它对于任意形状的图像均适用，且数学描述简洁，推导 方便。 由于上述的几种方法对表面的重建都是基于已知探针的形状。因此，问题回 到了如何获得探针形貌上。在微米尺度下，采用刮胡刀片法获取触针轮廓；在纳 米尺度下，为了减小探针对测量图像的影响，一般采用数学形态学的方法对图像 施行腐蚀运算得到更接近于真值的样本表面形貌。但是这种方法要求预先确定探 针的形状和尺寸参数，常常是通过测量己知形状的校准粒子，从测量图像中求解 探针形状。由于粒子的形状和尺寸也很难准确获得，使得这一问题仿佛又回到了 初始点，因此有学者把此问题称为“先有鸡还是先有蛋的问题”。为避免这一问 题的出现，n i s t 的jsv i l l a r r u b i a 提出了一种不需要预先获得校准粒子尺寸的 “盲重建”法，此法目前还处于研究和完善阶段。这种方法只须知道被测表面的 测量图像，就可推得探针的形状，但是被测表面的图像必需受到限制，而且经过 长时间反复的运算得到的也只是探针的形状近似。 1 4 研究的意义 通过对触针探针形状的重建，可以减少触针，探针形状在测量表面时所引起 的误差，从而更加准确地得到被测表面的轮廓及表面形貌的表征参数。 本课题就是在研究微米等级下的触针重建方法与纳米等级下的探针重建方 法的前提下，提出一种同时适合微米、纳米等级下的探针重建方法，并对用这几 种方法重建后的结果进行分析。 以下为了称呼方便，把触针与探针统一称为探针。 1 5 研究内容 论文由六章组成，其主要内容和组织结构如下： 第一章，绪论，本章简单介绍了表面测量的意义、发展与应用，分析了在表 面测量中由于探针针尖形状引起的问题，介绍了本课题的研究意义、研究的主要 内容和全文的结构安排。 第二章，微米探针重建方法，本章介绍了微米尺度f 探针重建的方法刮胡 第一章绪论 刀片法。 第三章，纳米探针重建方法，本章首先简单的介绍了盲重建法中用到的有关 数学形态学的定义与性质，然后详细介绍了扫描图像与数学形态学之间的关系， 推导了成像公式与重建探针的盲重建法，并给出了如何用程序来仿真扫描过程和 实现盲重建法，以及编写程序时需要注意的地方，最后用编写的程序对仿真的数 据进行了探针重建，并对重建的结果进行了分析。 第四章，s t r m 法重建探针，本章介绍了一种探针重建方法一s t r m 法， 介绍了它的推导原理及如何用程序实现它，同时用编写的程序对仿真的数据进行 了探针重建，并对重建的结果进行了分析。 第五章，探针重建实验及数据比较，本章在实验的基础上，使用上述的三种 方法进行探针重建，并对重建的结果进行比较。 第六章，总结和展望，本章对本课题的研究成果进行了总结，找出了研究中 需要改进的方面。 4 第二章微米探针重建方法 第二章微米探针重建方法 本章主要介绍国际标准i s 0 5 4 3 6 - - i ( g b t 1 9 0 6 7 1 ) 所建议的获取探针轮廓 的方法一刮胡刀片法，这种方法是适用于微米尺度下的。 2 1 微米一刮胡刀片法的介绍”2 探针针尖几何特性可以用滑过一个尖锐的突出边缘如无覆层刮胡刀片的方 法测量，刮胡刀片的刃宽要求约为0 1 , u m 或更小，如图2 1 所示。图2 2 中， 是探针针尖半径，是刀片刃口半径，所测量得到的轮廓半径为，一+ 。如 果 比小得多，则所测量得到的半径就近似等于探针针尖半径。这种方法只能 用于具有直接轮廓记录功能且有非常慢的移动速度的仪器。 图2 1 刮胡刀片法 图2 2 刀片、图像平u 探针的半径示意图 2 2 存在的问题 i s 0 3 2 7 4 1 9 9 6 ( g b t 6 0 5 2 ) 中指出接触式测量仪所使用的探针针尖最小标 准值为2u m ，此时探针将限制表面轮廓波长在2 5 “m 以上的表面粗糙度测量， 因此，探针尺寸必须被缩小才能进行更细微结构的测量，如图2 3 、2 4 所示， 同时对于探针的检测方法，国际标准i s 0 5 4 3 6 1 ( g b t 1 9 0 6 7 1 ) 所建议的刮胡 刀片法获取探针轮廓，己无法适用于纳米等级的探针重建。 爹 雌。o f 第二章微米探针重建方法 触针头 图2 3 微米测量示意图图2 4 纳米测量示意图 2 3 纳米一盲重建 盲重建法是在s p m 测量方法的基础上，根据数学形态学的相关理论推导出来 的，它只要知道被测表面的测量图像就可以推出探针的形状，下面将详细介绍盲 重建算法的推导。 2 4 本章小结 本章主要介绍了国际标准i s 0 5 4 3 6 - - i ( g b t 1 9 0 6 7 1 ) 所建议的刮胡刀片法 获取探针轮廓的方法，同时指出在纳米等级下这种方法已经不再适合，引出纳米 等级下探针重建方法一盲重建法。 第三章纳米探针重建方法 第三章纳米探针重建方法 3 1 数学形态学的定义和性质” 数学形态学以随机集合论和积分几何理论为基础，它强调对象的几何特征 或物体的几何形态，已成为图象处理的一种有用工具，并得到日趋广泛的应用。 腐蚀与膨胀是数学形态学的基础，它可以用来解决抑制噪声( 图象滤波) 、边缘检 测、图象分割、形状识别、纹理分析、图象压缩、图象恢复与重建等图象处理问 题。 数学形态学作为集合理论的个分支，它提供了有用的语言工具来解决我们 遇到的问题。 针对大多数的接触式测量、s p m 测量的成像过程，一般把扫插图像、样品、 探针轮廓都表示成单值函数，即针对每个x 坐标都有一个y 值与之对应。s ( x ) 就 表示了样品表面的顶端，而在数学形态学中，样品是用集合s 来表示的，也就是 说s 中包括样品的所有的点，但对于成像过程我们只需要s 项部表面的点，这 样s 与s ( x ) 之间就存在这样一种关系，s 一 y ) i y s 5 ) ) ，它表明了集合与边 界轮廓的转换关系。像s 这样包括顶部轮廓和轮廓下所有的点的对象，我们称它 为投影区，投影区与顶部函数之间的转换为数学形态学与标准表示之间的转换搭 起了桥梁。 a + d = 和+ d l 一) ( 定义1 ) r 【爿+ d 】0 ) = 口( x d ，) + d ， ( 性质1 ) 上述两式中，a 代表集台，d 代表向量，d ，是d 的水平分量，d ，是d 的垂直 分量。 图3 1 表示了集合的交与并，对于我们只要得到被测量的物体表面来说， 对a ub ，a nb 没有必要集合中所有的点，只要知道集合的顶部的轮廓就足够 了，设用，】表示求取a 的项部轮廓，因此a u b 的顶部的轮廓表达式为： r t a u b i o ) = m a x a o ) ，6 0 ) 】( 性质2 ) t i ai 别 ) = m i n a o ) ，b ) 】( 性质3 ) 图3 1 集合的交与并 第三章纳米探针重建方法 膨胀运算定义为： 4 0 口2 出口+ 6 ) ( 定义2 ) ； 而其顶端轮廓的表达式为：t 即o b 】0 ) = m a x a ( x 一膏。) + 6 ) 】( 性质4 ) ； 腐蚀算法定义为：a o b2 b 三曰( a b ) 定义3 ； 其顶端轮廓的表达式为：t a o b ( x ) 1m i n a ( x + x ) 一b ( x 。) 】( 性质5 ) 。 如图3 - - 2 所示，a 集合中有一点为( 0 ，0 ) 。图中a 的位置表示了a 与b 中 的一个向量进行加运算，那么经过a 与b 的每一个点的加运算后就得到下图。 直o b 图3 2 膨胀算法 开运算的表示方法为：4 。口，其定义为：a 。b = ( a o a ) o b ( 定义4 ) 。 闭运算的表示方法为：4 口，其定义为：a 丑= ( a o b ) o b ( 定义5 ) 。 性质：a 。b = u 口+ y i b + y c a ( 性质6 ) ( a o b ) o b 2 a( 性质7 ) 【( a o b ) o b lo b = a o b ( 性质8 ) ( a + x ) ob = a o ( b + x ) = ( a + b ) + x ( 性质9 ) + x ) e b = 似o n ) 一z ( 性质1 0 ) 4 彳b( 性质1 1 ) 若b 3 c ，那么a o b 2 a o c( 性质1 2 ) a o b a( 性质1 3 ) 若口c ，那么a o b a o c( 性质1 4 ) 膨胀、腐蚀、开及闭运算符都具有位移不变性，单调增长性、幂特性， 而 这些特性是以上各种运算在图象处理中得以应用的基础。 另外各个不同算符还 具有其它各种不完全一致的特性，如扩张还具有互换性组合性，而不具有同 前性、同义性等。 3 2 纳米探针重建方法“” 上面我们已经介绍了数学形态学，那么数学形态学与扫描成像之问存在什么 关系呢? 我们下面先推导成像公式与数学形态学的关系，然后在此基础上用数学 第三章纳米探针重建方法 形态学中的定义与性质推出盲重建法。 3 2 1 成像公式推导 图3 3 成像的常规模型 图3 3 为探针扫描成像原理说明，探针随样品表面形状上下起伏。设初始 探针的顶点的坐标值为( 0 ，o ) ，样品扫描图像的顶部轮廓函数为f ( z ) ，样品的 顶部轮廓函数为s ( x ) ，探针的轮廓函数为t ( x ) 。当探针横向移动到点x 时，探针 的函数变为f “一工) ；接着探针要向下移动直到与样品接触，移动的距离值也就 是f 扛一x 。) n s ( 矽之间最小的距离值，那么对应于点x 的图像纵坐标的值可定义 为： i ( x ) = 一m i n t o x ) 一s ( x ) 】( 3 1 ) 由于一m i n ( 口) = m a x ( - a ) ，所以把r a i n 前的负号移入方括号内，得到： i ( x 。) 。m a x s ) - t g x 。) 】( 3 - 2 ) 令x ；x 。一u ，得： 如。) = m a x s 0 一“) 一 ( ) 】( 3 - - 3 ) 因为m a x ：m a x ，同时x 在求m a x 中是个定值，那么式子就变为m a x = m a x ， jj 一 z一目 又因为u 是关于y 轴对称的，所以得到m a x ；m a x 。 x口 再令p ( x ) = “一x ) ，得 f ( x ) = m a x s o h ) + p o ) 】( 3 - - 4 ) 利用数学形态学定义上式可表达为i = s o p ( 3 5 ) ，如图3 4 所示，i 、s 、 p 分别代表顶部轮廓函数为i ( ) 、s ( ) 、p ( ) 的集合。 因为 ( o ，o ) p ，根据性质1 2 ，s o ( 0 ，0 ) ) s p ，也就是s j ( 3 - 6 ) 。 这说明样品是其扫描图像的一个子集，扫描结果的顶部轮廓是样品顶部轮廓的一 个上界。 第三章纳米探针重建方法 图3 4 用膨胀算法来成像 3 2 2 腐蚀算法 如果已知了样品的扫描图像和探针形状，那么我们怎么能估计出样品的表面 形貌呢? 答案是： s r = 1 0p ( 3 7 ) 可以看出s r 是个上界，不一定等于s 。但是它是最好的可能重建结果，为 了说明s r 是最好的近似重建，我们需要两个性质：性质7 和性质8 。 性质7 是( a 0 1 3 ) 0 8 2 a ，由于i = s o p ，再根据式3 7 ，得到s r 2 s ，这说 明s r 是真实样品表面的上界。用s 代替a ，p 代替b ，i 代替s p ，根据性质8 ， 就可以推出s r op = i ，这表明如果样品真实表面等于s r ，我们就能准确重现测 量的图像，所以不排除s = s r 的可能性。 综上，没有比s r 更小的上界，得出s r 是最小上界。 1 0 p = 【i o ( 一p ) 】 ( 性质1 5 ) 上式表明腐蚀算法与膨胀算法的关系。z 是x 的补集，图3 5 中i 表示的 空间是图像及图像下的部分，就是图像的上部空间。j 。与一p 膨胀运算后的图 形表示，可以根据图3 4 所用的方式得到。经过腐蚀运算后，最终得到的重建 样品图形是用实细线表示的。 图3 5 是对用腐蚀算法重建表面的物理解释，从中可以看出s r 并不完全等 于s ，因为在有些地方，例如v 形槽、陡峭边的底部，探针相对来说太大了而不 能接触到这些点。 第三章纳米探针重建方法 图3 5 腐蚀几何说明一一虚线表示图像，细实线表示重建样品表面s r ，粗实线表示样品的 真实表面 为了便于对腐蚀算法进行编程，我们把集合s 表示成轮廓形式，用5 ，表示。 按照式3 7 的格式，我们把性质1 和性质3 带入定义3 ，结果得到； ) - z s ，】( x ) 一m i n i i ( x + “) - p ( u ) 】( 3 - - 8 ) 如果知道了样品表面，但是不知道探针的形状，也可以用腐蚀算法来重建探 针； p=10s(3-9) 3 2 3 盲重建 扫描测量是探针对样品形貌的拓宽复制，反过来，也可以看作是样品对探针 形貌的拓宽复制，所以测量得到的图像中含有探针形貌上界的信息。 j s v i l l a r r a b i a 提出了盲重建法， 其基本思想是设定探针尺寸的初值，再利 用图像数据逐次逼近真实探针，其特点是仅需知道扫描得到的图像数据，而样品 形貌可以未知。 3 2 3 1 最大非畸变探针 若在样品表面上一点，不是探针的顶点接触到样品表面，那么对于扫描图像 上的这一点，得到i ，s 。设定了一个最大的探针匕，这个最大探针与给定的扫 描图像进行膨胀运算后，能使得扫描图像不产生畸变，它的表示方式为： 气2 1 0 ( 3 1 0 ) 用i 代替式，；s o p 中的s ，然后根据性质a o b = b o a ，得到p o j = ， 对上式两边同时对j 进行腐蚀运算，护o ，) 钟= ，创，由于p 妒o ，) 凹( 根 据性质1 1 ) ，从而得到p 巴。 图3 6 表示了式3 一l o 的应用。图中的下方斜线区是扫描图像，上方斜线 区是乙一岛，根据p 岛，可以推出真实的探针在表面的上面。 第三章纳米探针重建方法 图3 6 样品与根据式3 1 0 推得的探针的轮廓 3 2 3 2 探针的一个上界 根据性质似o b ) o b ；a o b ，推出： ，o p ；i( 3 一1 1 ) 我们希望通过式3 一l l 来限定探针的形状。如果p 符合式3 一1 1 ，那么p 的 任何空间平移变换的结果都符合式3 1 l 。这就需要对p 的位置进行标准的设定。 我们设p 的最高点为0 ，对应的水平坐标也为0 ，即探针的顶点为原点( 0 ，o ) 。 这样我们就知道了未知探针的一个点。 结合式1 3 与性质6 ，得到： 1 = u p + y i p + y n ( 3 - 1 2 ) 从上式可以看出，i 上的每一个点都包含一个或多个平移的p ，这些平移的 p 受到一个条件的限制，就是它们都不能超出i 的表面。特别是，针对扫描图像 上的每个点，平移变换后的p 上总有一个或多个点与之接触。 图3 7 表示了接触的一种情况。这里我们假设平移后的探针与扫描图像在 点x 接触，对于探针来说，接触点与探针的顶点存在偏差d 。值得注意的一点是， 在扫描图像上的不同的点，对应着不同的偏移量d ，所以可以说d 是关于x 的函 数。 第三章纳米探针重建方法 图3 7 映射探针与图像的位置关系 平移变换的探针表达方式是：p d + x ，又由于变换后的探针不能超出i 的 表面，就推出式3 1 3 ： v x e l ，3 d e e e i + d x ( 3 - - 1 3 ) 式3 1 3 是以p 的上界形式给出的，但是我们并不能用它来计算探针形状， 因为不知道d 与x 的函数关系，尽管如此，式3 一1 3 构成了迭代计算方案的基础。 方案的大体轮廓是：( 1 ) 假设一个初始上界，只；( 2 ) 只是点d 。的集合， 用d 。代替式3 1 3 右边的d ，若d 。= d ，或者d 。的y 坐标值大于d 的y 坐标值， 那么式3 一】3 是成立的：( 3 ) 因此，式3 一1 3 被修改了，从而产生了一个新的上 界，e ：( 4 ) 用只作为初始值，重复步骤( 1 ) 一( 3 ) ，直到霉收敛。关于初始 值r 的选择，我们将在后面介绍。除了第三步需要进行比较复杂的讨论外，其余 的步骤都可以比较直接的实现。 对于第i 次循环，我们将得到一个上界： p 丑 ( 3 1 4 ) 只用来计算代替式3 1 3 中d 的d ；，式3 一1 3 对一些( 至少个) d 。成立， 但是对所有的x 都成立。这样就可以结合式3 一1 3 与3 一1 4 两个限制条件。由于 我们并不知道哪个d ；是真实的接触点，所以最多说p 是符合式3 一1 3 的所有d 。所 确定的集合的并集，实际上问题转化成找符合式3 一1 3 的d ，。 图3 - - 8 a 表示的是并集中的一个元素，同时说明是如何限定探针形状的。由 于只比真实的探针要大一些，只的表面可能与i 的表面如图交叠。若d 。是真实的 接触点，根据式3 1 3 、3 1 4 ，p 既包含于j + d x ，又包含于p ，那么得出p 包含于两者的交集，即图中的阴影区，其集合表示为( ，一z + d i ) n 只。每个可能 的吐值，都对应着一个用( ，一z + d i ) n 卑表达的集合，这些集合构成了并集的元 素。 但是，在只中包含的有些d 不可能是接触点，如图3 - - 8 b 中所示的情况。在 这种情况下，式3 1 3 是不成立的。由于p ，+ d z ，且探针的顶点为( 0 ，o ) ， 所以( 0 ，o ) e 1 + d x ，但从图3 8 b 中可以看出，p ( o ) _ 0 。为了排除这些不 可能的接触点，我们定义了一个子集： 霉( x ) = d i d 霉，o j x + d ( 定义6 ) 这个集合排除了不可能的d 值。 第三章纳米探针重建方法 图3 - - 8 已知探针与图像在点x 接触( 实线表示探针，虚线表示图像，用方框标出的点是接 触点，用三角标出的点是探针的顶点) 把定义6 带入式3 1 3 后，可以化为： v x _ l ，p u ( j - - x + d ) l 霉 ( 3 1 5 ) 利f ， 式3 一1 5 的右边，可以根据定义2 化为【( ，一z ) 0 霉。】n 只，也就是说，针对 每个x 点，p 都有一个上界。又因为式3 1 5 对图像每个x 点都成立，因此p 也 包含于这些上界的交集。 推出： p i 【( j 一工) o 暑o ) 】n 只 ( 3 1 6 ) 根据我们的上面提到的方案，我们可定义迭代方程为： 只。= i 【( ，一工) o 只0 ) 】n e , ( 3 - - 1 7 ) 这个迭代过程一直持续，直到它收敛。 我们定义重建的探针是只的收敛极限： 只= l i r a 只 ( 3 1 8 ) 为什么说式3 1 7 是收敛的呢? 因为p 是式3 1 7 右边交集运算的一个算 子，所以p + 。只，即只是一个单调递减序列。而且式3 1 6 保证了这个迭代过 程的下界值为尹。单调有晃序列是收敛的，这样我们对只的定义是合理的，同 时p 最。 为了便于实现盲重建算法，我们把式3 1 7 写成表面函数形式： 只，o ) 5 磐 ：攀 m i n 【f o + 。一d ) + p 一( d ) - i ( x ) ，卫o ) 】) ) 3 1 9 1 4 第三章纳米探针重建方法 珥表示x 的范围。 3 2 3 3 选择初始只 我们编写程序时，图像是按照数组的格式来存储的，用数组的索引值来表示 x 坐标值，由于我们前面的介绍一直是基于二维平面的，所以图像存储格式是一 个一维数组( 设有m 个元素) ，所以只也用数组来表示。 只的初始值一般都取为0 ，这是为了保证把探针顶点值设为0 的惯例。问题 是只的尺寸取多大比较合适昵? 取探针的尺寸与图像的一样大，是没什么意义 的，因为只要把假设的探针顶点放到图像x 的中间值上，即对式3 1 5 中的x 选取图像的中间值就可以根据式3 1 5 计算出最，它的值等于j 。若只的尺寸为 m l o ，那么至少要选择图像上的1 0 个点进行式3 一1 5 运算。只的尺寸必须取的 足够大，这样才能保证p 在此区域外的点都没有与样品相接触。例如：假设样品 表面有个l o o n m 高的突起，而且假设探针为一抛物线形，方程为y ；石2 2 r ，且 r ：4 0 n t o ，通过计算，得出当xf9 0 n t o 时，