（机械设计及理论专业论文）基于等残留高度法的五轴nc加工刀位轨迹规划.pdf

西北工业大学硕 卜 学位论文摘要 基于等残留高度法的五轴n c 加工刀位轨迹规划 摘要 数控加工是c a d / c a m技术中的重要环节之一， 而刀位轨迹的规划又是数控 加工技术的关键。在复杂曲面数控加工中，刀位轨迹生成算法的优劣在一定程度 上影响最终加工表面质量和加工效率。本文在参阅了大量相关文献的基础上，主 要对五轴数控曲 面加工刀位轨迹的 优化计算和加工中的干涉处理等方面进行了 研 究。 在刀位轨迹优化计算方面:在分析五坐标数控加工原理和特点的基础上， 提 出了一种基于主曲率匹配的等残留高度刀位轨迹计算方法.该方法在现有等残留 高度法的基础上，对刀具的走刀方向进行了 优化:利用微分几何里 “ 法截线”的 性质， 提出了 一种快速判断曲 面局部形态的算法， 简化了计算; 在求取刀轴倾角的 过程中，考虑了加工允差的影响，减小了“ 用刀触点处的曲面特性代替在该点邻 域内的曲面特性”带来的误差: 计算了由刀轴摆动带来的非线性误差并进行控制。 在干涉处理方面:在对曲面数控加工中干涉现象分析的基础上，指出了现有 干涉处理方法中存在的不足。 对三种常见的干涉进行了分析并给出了具体的算法: 刀触点处千涉的消除、近似圆法刀具底面干涉的消除和复杂曲面刀具底面干涉的 消除。 为验证本文提出算法的有效性， 采用刀轴矢量与刀位轨迹的组合显示验证方 法和刀 位轨迹的几何仿真验证方法。 用目 前较常用的生成刀位轨迹的多 种方法与 本文提出的算法进行了比 较，结果表明 提出的改进算法提高了加工效率，改善了 加工质量。 关键词: 五轴 n c加工， 等残留高度法， 主曲率匹配， 非线性误差 西北下业大学硕士学位论文 摘要 t ool p at h p l anni ng f or 5 - axi s nc machi ni ng bas e d on i s o- s cal lop me thod abs tract w i t h t h e r a p i d d e v e l o p m e n t o f m a c h i n e r y , a u t o m o b i l e , s h i p b u i l d i n g a n d a v i a t i o n i n d u s t r y , t h e g e o m e t r i c a l s h a p e s o f p a rt s a r e b e c o m i n g m o r e a n d m o r e c o m p le x . mu l t i - a x i s n c m a c h i n i n g t e c h n o l o g y i s u s e d in m a n y e n t e r p r i s e s . t o o l p a t h g e n e r a t i o n i s i m p o rt a n t f o r c o m p l e x p a rt s n c m a c h i n in g , a n d t h e m e t h o d o l o g y o f t o o l p a t h g e n e r a ti o n a ff e c t s t h e e f f i c i e n c y a n d q u a l i t y o f p a r t s m a c h i n i n g . t h i s t h e s i s s t u d i e d m a in l y o n o p t i m i z a t i o n o f t h e t o o l p a t h a n d t h e g o u g i n g a v o i d a n c e i n 5 - a x i s n c m a c h i n i n g . f o r o p t i m i z a t i o n o # t h e t o o l p a t h : a n i m p r o v e d i s o - s c a l l o p m e t h o d b as e d o n p r i n c i p a l - c u r v a t u r e i s p r e s e n t e d a c c o r d i n g t o a n a l y z in g t h e t h e o ry a n d c h a r a c t e r o f 5 - a x i s n c m a c h i n i n g . t h e a l g o r i t h m o p t i m i z e s t h e d ir e c t i o n o f t o o l o n t h e b a s e o f p r e s e n t i s o - s c a l l o p m e t h o d . a n a l g o r it h m o f d i s t i n g u i s h i n g r a p i d l y l o c a l s u r f a c e s h a p e i s p r e s e n t e d u s i n g t h e p r o p e rt y o f n o r m a l t r a n s v e r s a l i n d i ff e r e n t i a l g e o m e t r y . d u r i n g fi n d i n g t h e p r o p e r i n c l i n a t i o n a n g l e , t h e i n fl u e n c e o f m a c h i n i n g e r r o r i s c o n s i d e r e d a n d t h e e r r o r , w h i c h i s c a u s e d b y t h e as s u m p t i o n o f u s i n g l o c a l c u r v a t u r e s a t t h e c u t t e r c o n t a c t p o i n t i n a p p r o x im a t i n g t h e n e i g h b o r h o o d s u r f a c e , i s r e d u c e d . n o n - l i n e a r e r r o r i s c o m p u t e d a n d c o n t r o l l e d f o r t h e i n t e r f e r e n c e a v o i d a n c e : b y a n a l y z i n g t h e p r e s e n t m e t h o d s o f d e a l i n g w i t h i n t e r f e r e n c e , t h e d r a w b a c k s e x i s ti n g a m o n g t h e m a r e p u t f o r w a r d . t h i s p a p e r m a i n l y a n a l y z e s t h r e e k i n d s o f i n t e r f e r e n c e : a v o i d a n c e o f c u tt e r c o n t a c t p o i n t i n t e r f e r e n c e , r e a r g o u g i n g a v o i d a n c e b y c i r c u l a r a p p r o x i m a t i o n a n d r e a r g o u g i n g a v o i d a n c e i n c o m p l e x s u r f a c e m a c h i n i n g i n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e e f f i c i e n c y o f t h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r , a s i m p ly a n d e a s y d i s p l a y v e r i f y i n g m e t h o d o n n c m a c h i n i n g i s p r e s e n t e d . m a n y m e t h o d s o f t o o l p a t h g e n e r a t io n a r e u s e d t o c o m p a r e w i t h t h e a l g o r i t h m p re s e n t e d i n t h i s p a p e r , t h e r e s u l t s h o w s t h a t t h e i m p r o v e d a l g o r it h m p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r i n c r e a s e s t h e e ff i c ie n c y o f m a c h i n i n g a n d i m p r o v e s t h e q u a l i t y o f m a c h i n i n g . k e y w o r d s : 5 - a x i s n c m a c h i n i n g ; i s o - s c a l l o p m e t h o d ; p r i n c i p a l - c u r v a t u r e m a t c h ; n o n - l i n e a r e r r o r 西北t业大学硕士学位论文第 1 章结 论 第 1章绪论 1 . 1 课题目的和意义 几十年来，人们普遍认为五轴数控加工技术是加工连续、平滑、复杂曲面的 唯一手段。一旦人们在设计、制造复杂曲 面遇到无法解决的难题，就会求助五轴 加工技术。早在二十世纪六十年代，国外航空工业生产中就开始采用五轴数控铣 床。目 前五轴数控机床的应用仍然局限于航空、航天及其相关工业。五轴联动数 控技术是数控技术中难度最大、应用范围最广的技术，它集计算机控制、高性能 伺服驱动和精密加工技术于一体，应用于复杂曲面的高效、精密、自 动化加工。 国际上把五轴联动数控技术作为一个国家生产设备自 动化水平的标志。由于其特 殊的地位， 特别是对于航空、航天、军事工业的重要影响以及技术上的复杂性， 西方工业发达国 家一直把五轴数控系统作为战略物资实行出口 许可证制度， 对我 国实行禁运。因而。研究五轴数控加工技术对国家科技力量和综合国力的提高有 重要意义。 数控加工是c a d / c a m技术中的重要环节之一， 而刀位轨迹的规划又是数控 加工技术的关键。早期的大多数零件采用三轴数控加工就可以完成， 但近年来， 随着机械、 汽车、造船和航空航天工业的 迅速发展，由复杂空间自由曲 面构成的 零件愈来愈多。 三轴数控加工己 远远不能满足复杂曲 面零件的加工要求， 越来越 多的企业引进了多轴数控加工，如四轴、五轴加工。由于多轴加工在加工复杂形 状零件的能力、质量和效率等诸多方面的显著优势，多轴编程显得越来越重要。 然而当 把一些c a d / c a m 软件如 p r o - e n g in e e r , c a t i a等生成的刀位轨迹应用 到实际的数控切削加工中时，存在着严重的刀具干涉现象。因此，对于多轴数控 加工， 刀位轨迹生成算法的优劣在一定程度上影响最终加工表面质量和加工效率。 刀位轨迹生成是复杂形状零件数控加工中最重要同时也是研究最为广泛深入 的内 容。它是通过零件几何模型，根据所选用的加工机床、刀具、走刀方式以及 加工余量等工艺方法进行刀位计算并生成加工运动轨迹。刀位轨迹的生成能力直 接决定数控编程系统的功能及所生成的加工程序质量。能否生成有效的刀位轨迹 直接决定了加工的可能性、质量与效率。刀位轨迹生成的首要目 标是使所生成的 刀位轨迹能满足:无干涉、无碰撞、轨迹光滑、代码质量高。同时，刀位轨迹生 成还应满足通用性好、稳定性好、编程效率高等条件。其内容极为丰富，包括复 西北t业大学硕士学位论文第 1 章结 论 第 1章绪论 1 . 1 课题目的和意义 几十年来，人们普遍认为五轴数控加工技术是加工连续、平滑、复杂曲面的 唯一手段。一旦人们在设计、制造复杂曲 面遇到无法解决的难题，就会求助五轴 加工技术。早在二十世纪六十年代，国外航空工业生产中就开始采用五轴数控铣 床。目 前五轴数控机床的应用仍然局限于航空、航天及其相关工业。五轴联动数 控技术是数控技术中难度最大、应用范围最广的技术，它集计算机控制、高性能 伺服驱动和精密加工技术于一体，应用于复杂曲面的高效、精密、自 动化加工。 国际上把五轴联动数控技术作为一个国家生产设备自 动化水平的标志。由于其特 殊的地位， 特别是对于航空、航天、军事工业的重要影响以及技术上的复杂性， 西方工业发达国 家一直把五轴数控系统作为战略物资实行出口 许可证制度， 对我 国实行禁运。因而。研究五轴数控加工技术对国家科技力量和综合国力的提高有 重要意义。 数控加工是c a d / c a m技术中的重要环节之一， 而刀位轨迹的规划又是数控 加工技术的关键。早期的大多数零件采用三轴数控加工就可以完成， 但近年来， 随着机械、 汽车、造船和航空航天工业的 迅速发展，由复杂空间自由曲 面构成的 零件愈来愈多。 三轴数控加工己 远远不能满足复杂曲 面零件的加工要求， 越来越 多的企业引进了多轴数控加工，如四轴、五轴加工。由于多轴加工在加工复杂形 状零件的能力、质量和效率等诸多方面的显著优势，多轴编程显得越来越重要。 然而当 把一些c a d / c a m 软件如 p r o - e n g in e e r , c a t i a等生成的刀位轨迹应用 到实际的数控切削加工中时，存在着严重的刀具干涉现象。因此，对于多轴数控 加工， 刀位轨迹生成算法的优劣在一定程度上影响最终加工表面质量和加工效率。 刀位轨迹生成是复杂形状零件数控加工中最重要同时也是研究最为广泛深入 的内 容。它是通过零件几何模型，根据所选用的加工机床、刀具、走刀方式以及 加工余量等工艺方法进行刀位计算并生成加工运动轨迹。刀位轨迹的生成能力直 接决定数控编程系统的功能及所生成的加工程序质量。能否生成有效的刀位轨迹 直接决定了加工的可能性、质量与效率。刀位轨迹生成的首要目 标是使所生成的 刀位轨迹能满足:无干涉、无碰撞、轨迹光滑、代码质量高。同时，刀位轨迹生 成还应满足通用性好、稳定性好、编程效率高等条件。其内容极为丰富，包括复 西北 业大学顿士学位论文第 1 章绪 论 杂轮廓、复杂区域、复杂曲面等的二、三、四、五坐标粗、精加工的理论、方法 与实现技术，如轨迹规划、刀位计算、步长计算与行距控制、干涉碰撞的检测与 处理等t o 。由 此可知，多轴加工编程较复杂， 特别是由 于零件形状的复杂多 变， 要实现较通用的多坐标自 动编程有较大难度。因此，目 前编程系统中对多坐标加 工的处理一般采取面向专用零件方式。多轴数控加工是一项难度较大的高、精、 尖技术，如何确定复杂零件多轴加工中的无干涉刀位轨迹不仅是研究者面临的问 题，也是实际生产中鱼待解决的问题。 1 .2 刀位轨迹生成方法的研究现状及存在的问题 实际加工时刀具不可能遍历整个偏置曲 面，而只可能沿它上面的一些有限的 曲 线轨迹运动。因此，刀位轨迹的生成方法实际上也就是在刀具偏置面上确定刀 具的运动路线或者是在零件曲面上确定刀具接触点的切削路线的方法。不同的走 刀轨迹对加工质量和加工效率具有不同的影响，因此对刀位轨迹的优化生成方法 的 研 究 仍 在 进 行 中 “ 一” 。 1 .2 . 1 刀位轨迹生成方法的研究现状 目 前，曲面数控加工刀位轨迹生成方法的 研究己经取得了较大进展，归纳起 来主要有: 等参数线法、 c c ( c u t t e r c o n t a c t ) 路径截面线法、 c l ( c u t t e r l o c a t i o n ) 路径截面线法、多面体法和等残留高 度法。 ( 1 )等参数线法 最常用的生成刀具路径的方法是等参数线法， 它是指在双参数自由曲 面上， 令其中一个参数保持不变，另一个参数变化而形成的曲 线。以 一组等参数线作为 刀位轨迹的方法称为等参数线法。 一般设曲面参数方程为r = r ( u , v ) of 句 加工， 刁 又: v = v ( w则其刀具轨迹为: ， 其刀具偏置面表达为r . = r . ( u , v ) ， 沿参数线 r . ( t ) = r . ( u ( t ) , v ( w) = r . ( u ( t ) ) ， 如图1 - 1 所 图1 - 1 等参数线法 西北 业大学顿士学位论文第 1 章绪 论 杂轮廓、复杂区域、复杂曲面等的二、三、四、五坐标粗、精加工的理论、方法 与实现技术，如轨迹规划、刀位计算、步长计算与行距控制、干涉碰撞的检测与 处理等t o 。由 此可知，多轴加工编程较复杂， 特别是由 于零件形状的复杂多 变， 要实现较通用的多坐标自 动编程有较大难度。因此，目 前编程系统中对多坐标加 工的处理一般采取面向专用零件方式。多轴数控加工是一项难度较大的高、精、 尖技术，如何确定复杂零件多轴加工中的无干涉刀位轨迹不仅是研究者面临的问 题，也是实际生产中鱼待解决的问题。 1 .2 刀位轨迹生成方法的研究现状及存在的问题 实际加工时刀具不可能遍历整个偏置曲 面，而只可能沿它上面的一些有限的 曲 线轨迹运动。因此，刀位轨迹的生成方法实际上也就是在刀具偏置面上确定刀 具的运动路线或者是在零件曲面上确定刀具接触点的切削路线的方法。不同的走 刀轨迹对加工质量和加工效率具有不同的影响，因此对刀位轨迹的优化生成方法 的 研 究 仍 在 进 行 中 “ 一” 。 1 .2 . 1 刀位轨迹生成方法的研究现状 目 前，曲面数控加工刀位轨迹生成方法的 研究己经取得了较大进展，归纳起 来主要有: 等参数线法、 c c ( c u t t e r c o n t a c t ) 路径截面线法、 c l ( c u t t e r l o c a t i o n ) 路径截面线法、多面体法和等残留高 度法。 ( 1 )等参数线法 最常用的生成刀具路径的方法是等参数线法， 它是指在双参数自由曲 面上， 令其中一个参数保持不变，另一个参数变化而形成的曲 线。以 一组等参数线作为 刀位轨迹的方法称为等参数线法。 一般设曲面参数方程为r = r ( u , v ) of 句 加工， 刁 又: v = v ( w则其刀具轨迹为: ， 其刀具偏置面表达为r . = r . ( u , v ) ， 沿参数线 r . ( t ) = r . ( u ( t ) , v ( w) = r . ( u ( t ) ) ， 如图1 - 1 所 图1 - 1 等参数线法 西北 业大学顿士学位论文第 1 章绪 论 杂轮廓、复杂区域、复杂曲面等的二、三、四、五坐标粗、精加工的理论、方法 与实现技术，如轨迹规划、刀位计算、步长计算与行距控制、干涉碰撞的检测与 处理等t o 。由 此可知，多轴加工编程较复杂， 特别是由 于零件形状的复杂多 变， 要实现较通用的多坐标自 动编程有较大难度。因此，目 前编程系统中对多坐标加 工的处理一般采取面向专用零件方式。多轴数控加工是一项难度较大的高、精、 尖技术，如何确定复杂零件多轴加工中的无干涉刀位轨迹不仅是研究者面临的问 题，也是实际生产中鱼待解决的问题。 1 .2 刀位轨迹生成方法的研究现状及存在的问题 实际加工时刀具不可能遍历整个偏置曲 面，而只可能沿它上面的一些有限的 曲 线轨迹运动。因此，刀位轨迹的生成方法实际上也就是在刀具偏置面上确定刀 具的运动路线或者是在零件曲面上确定刀具接触点的切削路线的方法。不同的走 刀轨迹对加工质量和加工效率具有不同的影响，因此对刀位轨迹的优化生成方法 的 研 究 仍 在 进 行 中 “ 一” 。 1 .2 . 1 刀位轨迹生成方法的研究现状 目 前，曲面数控加工刀位轨迹生成方法的 研究己经取得了较大进展，归纳起 来主要有: 等参数线法、 c c ( c u t t e r c o n t a c t ) 路径截面线法、 c l ( c u t t e r l o c a t i o n ) 路径截面线法、多面体法和等残留高 度法。 ( 1 )等参数线法 最常用的生成刀具路径的方法是等参数线法， 它是指在双参数自由曲 面上， 令其中一个参数保持不变，另一个参数变化而形成的曲 线。以 一组等参数线作为 刀位轨迹的方法称为等参数线法。 一般设曲面参数方程为r = r ( u , v ) of 句 加工， 刁 又: v = v ( w则其刀具轨迹为: ， 其刀具偏置面表达为r . = r . ( u , v ) ， 沿参数线 r . ( t ) = r . ( u ( t ) , v ( w) = r . ( u ( t ) ) ， 如图1 - 1 所 图1 - 1 等参数线法 西北1 一 业人学硕 卜 学位论文第 i 章绪 论 这种方法的计算量小，但由 于参数空间与笛卡尔空间的非线性关系，曲面 土 的参数线分布并不均匀。在确定相邻轨迹的间距时，要根据所形成的最大残留 高 度确定，在曲面内的其它区域可能导致走刀过密，加工效率较低。因此，等参 数 线法适于曲面参数线分布较均匀的情况。 ( z ) c c 路径截面线法 该方法是在走刀过程中， 将刀具与被加工曲面的接触点 ( c c 点) 始终约束在 另外一组曲面内，即用一组约束曲面与被加工曲面的截交线作为刀具接触点路径 来生成刀具轨迹。如图 1 - z 所示: 呼件百 图1 - z c c 路径截面线法 原则上讲，尽管作为约束的曲面类型是任意的，但实用中约束面一般是平面与柱 面( 包括圆柱面或曲 线沿z 轴方向 扫出的柱面) 。 在曲面区域加工、 型腔加工及组 合曲面加工时，常常在x o y 坐标平面上规划出 平行或环型 ( 不一定适合于型腔加 工) 等二维走刀路线，然后将其投影到待加工曲面上得到刀具接触点路径，再由 此生成刀位轨迹， 这种投影方法其实质也是c c 路径截面线法。 约束面一般均垂直 于x o y 坐标平面， 但在用平面作为约束面时， 约束面也可垂直于z 坐标轴， 这种 加工方式即为等高线加工。 设任意约束面的方程表达式为r ; , = r ( u . , , v , ) ， 则c c 路 径截面线法生成的刀位轨迹可表示为 r . ( t ) = r . ( u ( t ) ， v ( t 川 r ( u , v ) e r , ( u t,v s c) c c路径截面线法对走刀路线的控制比 较灵活，所生成的刀具接触点轨迹分 布均匀，从而具有较高的 加工效率， 适合于参数线分布不均匀的曲 面加工、型腔 加工及复杂组合曲 面的加工。 但由 于需要求交运算， 其算法较复杂， 计算量较大。 上述两种刀具轨迹生成方法都是先生成刀具接触点c c路径，再转化为刀位 轨迹c l ，所生成的刀位轨迹一般还需要进行刀具干涉检测处理。 西北丁业大学硕 ! : 学位论文第 ! 章绪 论 ( 3 ) c l 路径截面线法 c l路径截面线法在走刀过程中， 直接将刀具运动轨迹 ( 刀位点) 约束在另 外一组曲 面内，相当于用一组约束曲 面与被加工曲 面的刀具偏置面的截交线作为 刀具轨迹。如图 1 - 3 所示: 图l - 3 c l 路径截面线法 与c c路径截面线法一样，原则上讲， 尽管作为约束的曲面类型是任意的，但实 用中约束面一般也是平面与柱面。 在用平面作为约束面时， 得到的刀具轨迹为平 面曲线， 且当约束平面平行于坐标平面时， 只需两轴联动即可实现三维曲面加工。 同样设任意约束面的方程表达为r , , r . , ( u . v) ， 则 c l路径截面线法生成的刀具 轨 迹可表示为r m ( t ) = r m ( u ( t ) , v ( t ) ) i r ( u , v ) e r s ,( u o ,v a ) h ，所以上式可以简化为: l 二 2 2 r h ( 2 ) 凸曲面加工的行距计算 为求得凸曲面加工时的残留高度，先建立图 2 - 9 所示的 局部坐标系， 若曲 面曲 率半径为凡， 刀具半径 为r ， 行距为l ， 则球头刀的轮廓圆弧所在的方程为: 图2 - 8 平面加_ 日了 距计算 ( x 一 g c o s 0 ) 2 + ( y 一 q s in b ) z = r z 、一，!l 、 ，_l 兵1 1, c o s u= j 卜t -) 一 s i n e = -，q 凡+ k vt 凡艺 , 为了 求得q点的坐标， 需要求解下列方程组: (: 一 、 , ii - ( .l )z ) ， + ， 一 。 弃) ， = * ， v6 k , l k , y = o 图2 - 9凸曲面加_ c 行距计算 根据其实际意义，可以求得上述方程组的解为: x(, 一 。 了 一 _ l2r , ) 一 j r 一 ( ql )a2 r, 于是可以求得残留高度为: “ 一 、 一 r , 一 动 一 (2r )n 一 ,ir 2一 ( ql )22 r, 一 。 反过来，若给定残留高度h ，由上式可以求得行距为: l 二 一r b ( 凡+ h ) q 2 ( q + r z ) ( r , + h ) ， 一 ( 9 ， 一 r 2 ) ， 一 ( r n + h ) 上 式 计 算 行距比 较复 杂， 因 为 在实 际 应 用中， 凡h ， 于 是 可以 略 去 相 对较 小的量，利用下列近似关系来简化行距的计算公式: 西北下业人学硕 i s 学位论文第2 章曲面五轴加工刀触点生成的等残留高度法 ( 凡+ h ) ， 二 r , + 2 r b h ( 凡+ h ) 0 。 凡 0 + 4 凡 3 h r , + h 二 凡 这样，可将刀触点之间的间距计算公式简化为: 二 2 2hr r r+ rh 由 上 式易 见， 当凡- - 0 0 时， 行距的 计 算公 式 和 平 面时的行距计算公式是一致的。 ( 3 ) 凹曲面加工的行距计算 对于凹曲面加工的残留高度如图2 - 1 0 所示。 用与凸曲面类似的方法，可求得刀触点之间的间 距计算公式为: 二 2 2hr r r ,ra 由以_ l 的行距计算模型可知，要想计算行距 的大小，首先应对曲面的特性进行分析。下面就 提出了一种简单高效的曲面凹凸性的判断方法。 图2 - 1 0凹曲面加工行距计算 2 . 3 .2 利用 “ 法截线”的性质进行曲面凹凸性的判别 现有判别曲面凹凸性的方法:根据曲面在某一点处的全曲率的符号是正、负 或零，把曲面上的点分为椭圆点，双曲点或平点。规定曲面法向n 的正向，再根 据曲 面在这点处的两个主曲率的符号， 来确定曲面的凹凸性。这种判断曲 面凹凸 性的方法在具体应用时是很麻烦的。因为在每一点，都要考虑它是属于椭圆点、 双曲点和平面点中的哪一种;然后再针对每一种点，考虑两个主曲率的符号。要 确定曲面在一点的形状，至少要进行九次判断，尤其是当两个主曲率异号时，曲 面的形状是马鞍面，判断起来就更困难了。现提出一种简单高效的判断曲面凹凸 性的方法，确定曲面在一点的形状，只要进行三次判断就可以了。 首先给出法截线的定义:过曲面上点p 沿固定方向的所有曲线中，有一条平 面曲 线i ， 它是 过n ( 曲 面的单 位法矢 ) 和a( 曲 面的切矢) 的平面尤 与曲 面的 截线。 因为平面二 是曲 面在p点的一个法平面， 所以曲 线r 称为曲 面的一条法截线 ( 设 西北下业人学硕 i s 学位论文第2 章曲面五轴加工刀触点生成的等残留高度法 ( 凡+ h ) ， 二 r , + 2 r b h ( 凡+ h ) 0 。 凡 0 + 4 凡 3 h r , + h 二 凡 这样，可将刀触点之间的间距计算公式简化为: 二 2 2hr r r+ rh 由 上 式易 见， 当凡- - 0 0 时， 行距的 计 算公 式 和 平 面时的行距计算公式是一致的。 ( 3 ) 凹曲面加工的行距计算 对于凹曲面加工的残留高度如图2 - 1 0 所示。 用与凸曲面类似的方法，可求得刀触点之间的间 距计算公式为: 二 2 2hr r r ,ra 由以_ l 的行距计算模型可知，要想计算行距 的大小，首先应对曲面的特性进行分析。下面就 提出了一种简单高效的曲面凹凸性的判断方法。 图2 - 1 0凹曲面加工行距计算 2 . 3 .2 利用 “ 法截线”的性质进行曲面凹凸性的判别 现有判别曲面凹凸性的方法:根据曲面在某一点处的全曲率的符号是正、负 或零，把曲面上的点分为椭圆点，双曲点或平点。规定曲面法向n 的正向，再根 据曲 面在这点处的两个主曲率的符号， 来确定曲面的凹凸性。这种判断曲 面凹凸 性的方法在具体应用时是很麻烦的。因为在每一点，都要考虑它是属于椭圆点、 双曲点和平面点中的哪一种;然后再针对每一种点，考虑两个主曲率的符号。要 确定曲面在一点的形状，至少要进行九次判断，尤其是当两个主曲率异号时，曲 面的形状是马鞍面，判断起来就更困难了。现提出一种简单高效的判断曲面凹凸 性的方法，确定曲面在一点的形状，只要进行三次判断就可以了。 首先给出法截线的定义:过曲面上点p 沿固定方向的所有曲线中，有一条平 面曲 线i ， 它是 过n ( 曲 面的单 位法矢 ) 和a( 曲 面的切矢) 的平面尤 与曲 面的 截线。 因为平面二 是曲 面在p点的一个法平面， 所以曲 线r 称为曲 面的一条法截线 ( 设 西北工业大学硕士学位论文第z 章曲面五轴加工刀触点生成的等残留高 度法 它的 法矢为万) 。 对于r ,万 = 士 n l d u 2 + 2 md u d v + n d v 2 e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 k为曲 面 在 点 p 沿 取 定 方 向 的 法 曲 率 ， 因 而 r 的 曲 率 k 叫 鱼 i 。 由 微 分 几 何 理 论 可 知 法 截 0 1 线的弯曲方向: ( 1 ) 当9 2 0时， ( 2 )当w 2 0时， 法截线r 朝切面正侧弯曲 法截线r 朝切面负侧弯曲 ( 3 ) 当 0 2 = 0 时 ， 气= k = 。即 沿 渐 近 方向 法曲 率 与 法 截 线的 曲 率 相 等， 可 认 为 是平面点。 由以 上分析可知， 可以 根据行距方向 上的法截线的弯曲 方向 来确定此方向 上 曲面的凹凸性。根据曲面的第二基本齐式，沿切削速度方向上有: (p 2 = l d u 2 + 2 m d u d v 十 n d v 2 ， 所以 沿 行 距 方向 上 有: 9 2 = l d u 2 十 2 m d u d v 十 n d v 2 a 如果 能 找出 d u 和d v 之间的 关系， 沿 行 距 方向 上的姚就 可以 算出 来了。 - f 面 求 d u和d v 之间的关系。 实际上过曲面上的给定点且垂直于已知刀具轨迹的曲线有无数条， 所求的另 一条刀具轨迹应该是在该点处与己 知刀具轨迹线距离最短的一条曲 线。由 微分几 何理论可知，连接曲 面上两个已 知点距离最短的曲 线是短程线。根据短程线的几 何性质，曲面上在给定点处的短程线的主法矢方向是沿着曲面在该点处的法矢方 iv o 所 以 过 曲 面 在 该 点 的 法 向 。 和 短 程 线 的 切 向 d ul : 做 一 平 面 二 ， 山 法 截 线 的 定义知， 此平面丫与曲 面的交线是曲 面在行距方向 上的一条法截线。如图 2 - 1 1 所示: n d v 竺 反 准 w a y pp p,了 罄 图2 - 1 1行距方向上的法截线 由行距计算公式的推导过程可知，曲 面的凹凸性主要是指行距方向的，也就是垂 直于切削速度方向的。d u和d y 是短程线的参数方向，它们满足下列条件: ( c u d u + c v d v ) ( c u d u十 c v d v ) = 0 即它定义了垂直于刀具轨迹方向的一个矢量， 将上式展开后并进行简单变换，可 西北工业大学硕_ 1 : 学位论文第2 章曲 面五轴加工刀触点生成的等残留.佰 度 法 dy-鱼的一dt . 、 ， ， 。 分.， _ ， _ ， _ ， 二 ， . 二 : 二 、 ， 二 、 、 ，d u 以伶 剥 a u ,t u d v乙 川划 c g 1 9 9 大 示 刀 : 一 ， ，= dv +g 十f du一亘du一dt 所以 可 求 得v 2 = l a 2 + 2 m a + n。 一 旦 9 2 求 出 后， 再 规 定曲 面 的 法向 ， 根 据 行 距 方向上法截线的弯曲方向就可以很容易判断出曲面在此方向上的凹凸性。 2 . 3 . 3 使行距最大的走刀方向的确定 实际加工中凸曲面的加工不需要通过两个倾角来避免干涉，而且倾角增大将 会使行距减小，所以加工凸曲 面时一般把两个倾角设为零。基于此，只需讨论在 加二 凹曲面时行距的优化计算。 由 凹 ” 面 的 行 距 计 ” 公 式 : 二 2 2hr rhre - r 将 上 式 右 边的 分 子 和分 母同 除以r b - r ， 可得: i 8 h “ “ y y - / r n “ k n一 k ( 2 - 1 ) 式 中 的 踢和k 分 别 是 对 应 于 r 和r b 的 曲 率 。 观 察 ( 2 - 1 ) 式 可以 知 道 ， 当 踢 大 于 而且尽可能接近于k时，走刀行距就能取得最大值，也就是说， 在与走刀方向 垂 直的平面上， 当切触点处刀具的有效曲 率与曲面的曲率相“ 匹配” ( 大于且尽可能 接近于)时，就能获得最大的走刀行距，从而达到优化的目 的.这就是基于曲 率 匹配的轨迹优化思想的出发点。下面的部分将以半径为r的平底立铣刀为例，分 别 求 解 切 触 点 处 ax l - z : 平 面 上 刀 具 扫 描 面 的 等 效曲 率k d .和曲 面 在 该 平 面 上 的曲 率k，建立走刀方向与走刀行距的关系，并根据这一关系寻找使走刀行距最 大的走刀方向。 ( 1 )曲面曲率的求解 曲面在c c点处的切平面 上的曲率分布如图2 - 1 2 所示， 图 中 ， c c 点 为 切 触点，x : 为 沿c c 点 的 切 削 进 给 方向 ， 凡 由x : 和曲 面 在 c c点 的 法矢 按右手螺旋定则确定，任意的 x 。 方向 上的 等效曲 率为k a , 图2 - 1 2切平面上的曲率分布 西北工业大学硕_ 1 : 学位论文第2 章曲 面五轴加工刀触点生成的等残留.佰 度 法 dy-鱼的一dt . 、 ， ， 。 分.， _ ， _ ， _ ， 二 ， . 二 : 二 、 ， 二 、 、 ，d u 以伶 剥 a u ,t u d v乙 川划 c g 1 9 9 大 示 刀 : 一 ， ，= dv +g 十f du一亘du一dt 所以 可 求 得v 2 = l a 2 + 2 m a + n。 一 旦 9 2 求 出 后， 再 规 定曲 面 的 法向 ， 根 据 行 距 方向上法截线的弯曲方向就可以很容易判断出曲面在此方向上的凹凸性。 2 . 3 . 3 使行距最大的走刀方向的确定 实际加工中凸曲面的加工不需要通过两个倾角来避免干涉，而且倾角增大将 会使行距减小，所以加工凸曲 面时一般把两个倾角设为零。基于此，只需讨论在 加二 凹曲面时行距的优化计算。 由 凹 ” 面 的 行 距 计 ” 公 式 : 二 2 2hr rhre - r 将 上 式 右 边的 分 子 和分 母同 除以r b - r ， 可得: i 8 h “ “ y y - / r n “ k n一 k ( 2 - 1 ) 式 中 的 踢和k 分 别 是 对 应 于 r 和r b 的 曲 率 。 观 察 ( 2 - 1 ) 式 可以 知 道 ， 当 踢 大 于 而且尽可能接近于k时，走刀行距就能取得最大值，也就是说， 在与走刀方向 垂 直的平面上， 当切触点处刀具的有效曲 率与曲面的曲率相“ 匹配” ( 大于且尽可能 接近于)时，就能获得最大的走刀行距，从而达到优化的目 的.这就是基于曲 率 匹配的轨迹优化思想的出发点。下面的部分将以半径为r的平底立铣刀为例，分 别 求 解 切 触 点 处 ax l - z : 平 面 上 刀 具 扫 描 面 的 等 效曲 率k d .和曲 面 在 该 平 面 上 的曲 率k，建立走刀方向与走刀行距的关系，并根据这一关系寻找使走刀行距最 大的走刀方向。 ( 1 )曲面曲率的求解 曲面在c c点处的切平面 上的曲率分布如图2 - 1 2 所示， 图 中 ， c c 点 为 切 触点，x : 为 沿c c 点 的 切 削 进 给 方向 ， 凡 由x : 和曲 面 在 c c点 的 法矢 按右手螺旋定则确定，任意的 x 。 方向 上的 等效曲 率为k a , 图2 - 1 2切平面上的曲率分布 西北t . 业大学0 1 士 : 学位论文第2 章曲面五轴加工刀触点生成的等残留高度法 a .,.、 和a m l,， 则 分 别 确定了 曲 面 在c c 点 处 的 两 个主曲 率 所 在平 面的 位置. a 为 任 意 方向 与x l 方向 的 夹角， b为曲 面最 小曲 率方向 与x : 方向的 夹角。由 法曲 率 的 e u l e r 公式得到任意方向的法曲 率的 计算式: 凡二 k ,。 。 s in 2 ( a 一 b ) + k ,。 二 c o s 2 ( a 一 b ) 当a 二 0 时， x 。 与x 。 方向 一 致， 沿 走 刀 方向f 的 法曲 率为 k o = k m j s in 2 b + k , 。二 c o s t b 当 。 = %时 ， x o 与 走 刀 方 向 .f 垂 直 ， 对 应 的 法 曲 率 为 气= k , , c o s 2 b + k _ s in b ( 2 ) 扫描面的等效曲率 ( 2 - 2 ) 对于给定的设计曲 面r ( u , v ) ，设 其中的一条刀位轨迹的表达式用矢量表示为 r ( u ( t ) , v ( t ) ) 。 平底立铣刀用于加工的 底面边界被称为刀具的切削圆，当刀具沿刀 位轨迹运动时，切削圆扫出的曲面称为刀具扫描面。其表达式为: 甘川日州日且 -r001 001八11 0100 1000 甘日日日且 0001 甘1日且 nn01 0n10 s i n口 idn v (t, 0，二 x,. y,. z,0 0 0 c osa 0 0 s i n 刀 0 c o s 夕 0 r c o s b r s i n b 0 】 r月li日州l 式中， x ,. , y t, , z : 都 是 切 触点处 关 于u , v 的 函 数， 所以 也 是参 数t 的函 数， r是 平底立铣刀的刀具半径.经过推导可以得到刀具扫描面在切触点处沿任一方向。 的等效曲率为: k .tr . = ( s in 2 a / c o s t a ) ( s in l / r 一 k o ) + k o 一 (c o s ( a 一 a ) s in a / c o s a ) ( k . 。 一 k , , ) s in 2 b 式中: k . . , 瓜、。 和凡分 别为 设 计曲 面 在 切 触点 处的 两 个主曲 率 和 走刀 方向 的 法 曲 率 。 在 与 走 刀 方 向 垂 直 的 平 面 上 ， 。 一 %， 此 时 刀 具 扫 描 面 的 等 效 曲 率 为 : k ,n .; 、 一 (l/ c o s a )(s in j6 / r 一 k o ) + k o 一 a n a ( k ,、 一 k ,i j s in 2 b ( 2 一 3 ) ( 3 )走刀方向的优化 将上边( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) 代入凹曲 面行距的 计算公式中得: : =仁8 h = n k w 一 k 上式分母越小，得到的行距就越大，令 8 h k rf .a 1 2 一 k 4 2 j (b )e - r 1 2 = k .n .11 2 一 k , i= = ( l/ c o s a ) ( s in f / r 一 k . ) + k . 一 。a n a ( k _ 、 一 k . j s in 2 b 一 ( k m , c o s b + k _ s in b ) 西北丁业大学倾一 : 学位论文第2 章曲面五轴加工刀触点生成的等残留iq i 度 法 实际加工中一般都把偏转角a设为零，则有 f (b ) ,% 一 s in f3/ r 一 k , co s2 “ 一 k ,. sin s ” 易 知f (b ) 是 关 于 ” 的 增 函 数 ， 当 ” 一 %时 ， f (b ) 最 大 ， 对 应 的 行 距 最 小 ; 当 ” = 。 时，f ( b ) 最小， 对应的行距最大。 由上边的讨论可以得到如下结论:当刀具在切触点处沿设计曲面的最小曲 率 方向走刀时，得到的行距最大，确定走刀方向的过程就变成了对设计曲面的最小 曲率方向的匹配过程。这就是主曲率匹配的思想。此时的行距为: s