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强磁场中氢分子离子能级研究 王英霞( 无线电物理) 指导教师：焦志勇副教授 中文摘要 天体物理学家在白矮星和中子星表面发现强磁场这一重大发现激发 了许多对强磁场中原子与分子性质的研究，这在天文学中具有很重要的 意义，推动了天体物理的发展。研究强磁场中原子与分子性质的方法主 要有：变分法、绝热近似、分子轨道方法、m o n t ec a r l o 方法等。本文 通过采用绝热近似和绝热变分近似两种方法首先计算出了 研y = 1 ，m = 0 时的能量和平衡核间距，又计算出了强磁场 ( o 5 a f l 1 0 0 0 ) 中磁的，死，丸，r g ，巩态的能量和平衡核间距，并 且选取其中= 1 0 ，1 0 0 ，5 0 0 ，1 0 0 0 这四个场强的能量和平衡间距离的数据 进行曲线拟合而得出曲线方程。由于典型的双原子分子中两原子间相互 作用势能曲线在平衡位置r o 附近时曲线形状与简谐振子的势能曲线十分 接近，基于此计算得到研的零点振动能，并对零点振动能做出e 一曲 线，最后分析给出了研的零点振动能与场强的关系，并且将基态的零 点振动能在强磁场和无外场的情况下进行了比较。量子蒙特卡罗方法在 对强磁场中氢分子离子性质的研究中也得到了应用，本文讨论了扩散蒙 特卡罗方法在强磁场中氢分子离子性质研究中的应用。 关键词：零点振动能，绝热近似，绝热变分近似，曲线拟合，蒙特卡罗 方法 t h es t u d yo fh y d r o g e nm o l e c u l a ri o ni n s t r o n gm a g n e t i c f i e l d s w a n g n g x i a ( r a d i op h y s i s ) d i r e c t e d b y a d j u n c t p r o f e s s o r j i a o z h b y o n g 英文摘要 t h ed i s c o v e ro fs t r o n gm a g n e t i cf i e l d sd i s c o v e r e di nw h i t ed w a r f a n dn e u t r o ns t a r t sb ya s 仃o p h y s i c i s te x c i t a t e dm a n ys t u d yo fa t o ma n d m o l e c u l ei ns t r o n gm a g n e t i cf i e l d s ，a n di th a v eg r e a ts i g n i f i c a n c ea n dh a v e p r o m o t e dt h ed e v e l o p m e n to fa s t r o p h y s i c s t h ee n e r g i e sa n dt h ee q u i l i b r i u m i n t e r n u c l e a rs e p a r a t i o n so f 彤i ns t a t e s p ；1 ，所= 0i ns t r o n gm a g n e t i c f i e l d si sc a l c u l a t e db yu s i n gt h ea d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o na n da d i a b a t i c v a r i a t i o n a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d sf i r s t l y , t h e nt h e e n e r g i e s a n dt h e e q u i l i b r i u mi n t e r n u c l e a rs e p a r a t i o n so fh ：i ns t a t e s o s ，露。，6 s ，屯，y | ，研。i n s t r o n gm a g n e t i cf i e l d s ( o 5 1 0 0 0 ) a r ea l s oc a l c u i a t e d ，a n dt h ed a t ao f e n e r g i e sa n dt h ee q u i l i b r i u mi n t e m u c l e a rs e p a r a t i o n so fh ：i ns t a t e s 卢= 1 0 ，1 0 0 ，5 0 0 ，1 0 0 0 a r es e l e c t e dt oa b t a i nt h ec u r v e e q u a t i o n sb y c u r v e - p o l y f i t t i n g m e t h o d f o rt h e f i g u r e so fc u r v ea b o u ti n t e r a t o m i e i n t e r a c t i o np o t e n t i a lo fb i a t o m i cm o l e c u l ea r cs i m i l a rt ot h a to fh a r m o m c o s c i l l a t o r , t h ez e r ov i b r a t i n ge n e r g yo f c a nb eo b t a i n e db a s e do nt h i s c a l c u l a t i o n f u r t h e r m o r e ，e - pc i l r v c so f z e r ov i b r a t i n ge n e r g ya r ep l o t t e d f i n a l l y ，t h er e l a t i o nb e t w e e nz e r oe n e r g yo f 研a n dm a g n e t i cf i e l ds t r e n g t h 口i sa n a l y z e d i na d d i t i o n , t h ec 雠o fz e r ov i b r a t i n ge n e r g yo fg r o u n ds t a t e i ns t r o n gm a g n e t i cf i e l d si sc o m p a r e dw i t ht h ec a s ew i t h o u tm a g n e t i cf i e l d t h e a p p l i c a t i o no fm o n t ec a r l om e t h o di nt h es t u d yo fh ：i ns t r o n g m a g n e t i cf i e l d sa r ea l s od i s c u s s e d k e y w o r d s ：z e r ov i b r a t i n ge 1 1 e r g i e s ，a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o n , a d i a b a t i c v a r i a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n ，c u r v e - p o l y f i t t i n g ，m o n t e c a r l o m e t h o d 中国石油大学( 华东) 硕士论文主要符号表 b 风 口= b i b o 他 e c 毳 风 占 岛 爿 r r ， 白 i o 口0 删( ：) 嘱 | 主要符号表 磁感应强度 磁感应强度 标度磁场强度的量 电子静止质量 质子静止质量 电子电荷 真空中光速 普朗克常数 壳= h 2 万 真空磁导率 介电常数 真空中介电常数 磁矢势 原子核间距值 原子核间距 电子到核的距离 电子到核占的距离 核平衡距离 玻尔半径 广义的拉盖尔函数 方程的有效势 倔强系数 中国石油大学( 华东) 硕士论文 主要符号表 核质量与电子质量的比 分子的约化质量 振动能 零点能 分子能量 量子系统中的第阼个能级 参考能 势能 振动频率 虚时 时间步长 高斯几率密度 概率密度 于 dke凰略e乓即 ，血 盯， 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：圣鎏! 趁刀叼年辟月别日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 刀毋7 年4 口卯年4 月) f日 月2 fe l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 对强磁场中原子与分子能级研究的促动因素和研究意义 上个世纪七十年代在白矮星和中子星上发现了高强磁场( 1 0 2 1 0 5 t 和1 0 7 1 0 9 t ) ，这近3 0 年来，强磁场中原子、分子性质的研究引起了广 泛的兴趣【1 , 2 1 ，一方面是，天体物理学家需要了解中子星的物理性质，现 在普遍接受的观点是中子星表面存在高达1 0 8 1 0 9 t 的强磁场；另一方面 某些半导体中的激子、施主杂质等，由于介电常数很大，而且有效质量 很小，因此即使在实验室磁场的条件下，也可以得到很高的有效磁场1 3 1 。 研究在这种环境下的原子、分子性质具有很重要的意义【1 】；另外，强磁 场中线性多原子链在中子星的表面的固体结构中起着重要的作用 4 1 ，定 量研究强磁场中的分子要比研究强磁场中的原子更为重要。 1 1 1 天体物理学促动因素 对于强磁场是用来标度的，= 8 岛，b o = 绣p 3 c 意3 = 2 3 5 0 5 x1 0 9 g 。口i 的强磁场存在于中子星的表面。在x 射线联星中，大多数的射 电脉冲星及合生中子星磁感应强度范围为1 0 ”一1 0 ”g ；即使在低质量的 x 射线联星中，再循环的毫秒脉冲星和旧中子星磁场范围亦为 1 0 。一1 0 9 g s j 。对中子星上的磁感应强度的物理上限遵循磁静力平衡维里 定型司。中子星上的磁场能( 质量 ，。，半径r n s ) ，( 4 万砭3 ) ( 8 万) ， 永远不可能超过它的重力束缚能，一g 膨惫r 腮；这可由下式得到 心o 。彘) ( 惫) 4 g ( 1 1 ) 这也表明强度为l0 1 5 g 磁场或者更强的磁场能够在原始中子星上通过动 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 力过程产生【”，并且一些资料已经提供了这样一些思想，就是软性，射线 发生器和慢自旋( 需要经历几秒钟的时间) “不规则”x 射线脉冲星( 在 超新星残余物中) 是被赋予了b 1 0 “g 的超强磁场的中子星，就是所谓 的“磁性体”，最后，范围在1 0 5 1 0 9 g 的磁性已经在几十个白矮星上探 测出来了【9 1 。 天体物理学研究强磁场中的物质的主要动机来源于了解中子星表面 层的重要性，这在中子星研究进展和研究已观察到的现象中起着重要的 作用。脉冲星和磁性气体的理论模型依赖于强磁场中表面物质的内聚性。 更重要的是，表面层是中子星上热辐射的直接媒介。现在已经认识到中 子星是在1 0 5 1 0 6 年冷却相中在超新星的爆炸中产生的软j 射线的来源 9 1 。中子星冷却的历史依赖于贫乏的内在约束性质，例如态的核方程， 超流体态和内磁场。x 射线成像望远镜的出现已经使得通过孤立的中子 星的表面辐射直接观察它们变的可能。尤其是，在对中子星的观察，例 如r o s a t , 已经探测到脉冲x 射线热发射来源于许多射电脉冲星。有些 已观察到的x 射线很可能是由非热能磁球发射产生的，但是至少有三个 脉冲星显示了发射物通过中子星表层的热成分( 温度范围在 ( 2 1 0 ) x 1 0 s k 的表层) 发射来支配。一些发射x 一射线的射电脉冲星显示 高温( 温度范围在( 0 5 ) x 1 0 5 k ) 的类热辐射表明在中子星表面有一层 热的极性的岩石层。一些邻近的脉冲星也被探测到在紫外辐射端和连续 光谱的光频段伴随有来自中子星表面的热辐射。另外，年代久远的孤立 的中子星( 在银河系发现有1 0 3 1 0 9 颗) 是通过恒星内部物质的合生而发 热的，也被认为是软性x 一射线或是激烈的紫外的辐射源。一些邻近的脉 冲星也被探测到在紫外辐射端和连续光谱的光频段伴随有来自中子星表 面的热辐射。最后，来自软伽玛射线转发器的静止的z 射线放射和不规 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 则的x 射线脉冲星有可能是由与衰败的磁场相联系的内部加热提供动力 的。z 射线来源于星球表面附近，因而允许在超强磁场区域探测辐射运 输。观察显示有些磁性体在它们的x 光谱中含有热成分。总之，对中子 星表面放射的探测对中子星的结构和演变提供了有用的信息，并且能够 在核状态方程、多种热的或合生过程、磁场结构以及表层化学组成等方 面加一些约束。投入使用的x 射线天文望远镜，包括c h a n d r a x 射线天 文台和x m m - n e w t o n 天文台，已经很大程度上改进了在软石射线带的灵 敏度和光学分解，使得孤立或慢增长的中子星的分光镜研究得到了保证。 既然表面层直接决定热放射的性质，那么对观察结果的合适的解释要求 对中子星的强磁场( 丑21 0 ”g ) 的包层的物理性质有详细的认识。 1 1 2 实验物理学促动因素 目前，在地球上的实验室里能产生的最强的静态磁场是 4 5 t ( 4 5 x1 0 5g ) ，这低于b o ；利用爆炸性磁通量压缩技术能产生10 3 r 的 瞬变强磁场，但是这仍旧低于禺。但是，高强磁场条件可利用半导体来 模拟，在半导体装置中，很小的有效电子质量胁和大的介电常数f 能减 弱与磁场力相关的库仑力。对于半导体中的类氢激子，原子的单位长度 a 0 = 占 1 2 ，( 肿e 2 ) ，对于磁场相应的单位是b o = m 2 e 3 c ( e 2 3 ) 。例如，在 g a a s 制中，介电常数是占= 1 2 5 6 ，并且从一个正电荷的施主( 能给出电 子的半导体) 弹出的电子有一个有效的质量肿= 0 0 0 6 6 5 m 。，则 b e = 6 7 5 t 。对于i n s b 临界区域b 。小到0 2 t 。这样小的b o * 表明，在 实验室磁场区域的半导体中的激子、双激子分子以及量子的点( 类似多电 子原子) 的结构，一定经历了重大的改变【1 0 1 。一些早期的关于强磁场中原 子的研究是由半导体物理学家所推动的。 研究在匀强磁场中原子与分子性质在天文学中具有很重要的意义。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 这是因为在这种场中类氢原子有很多简化方法。另一方面的重要原因， 就是因为有很好的近似方法可应用于包含许多活跃电子和核中心的系 统，而这些方法都是可行的，对强磁场中的重原子和由这些原子构成的 物质已经进行了很多研究。推动了天体物理的发展。 1 2 对强磁场中原子与分子能级研究的方法及研究现状 1 2 1 对强磁场中原子的研究 对强磁场中原子与分子性质的研究首先是从对氢原子的研究开始 的，而对氢原子的结果可以很容易的推广到类氢离子( 有一个电子和核 电核数为z 的离子) 。多电子原子能的可靠解可通过h a r t r e e 一而如方法 来计算【l ”。h a r t r e e f o 砖方法是近似的，这是因为电子之间的相互关系 被忽略了。由于它们之间的相互斥力，任何一对电子之间的相互距离都 比h a r t r e e 一而砖波函数所得到的要大。在零磁场，这种相互影响由于电 子零自旋态的空间波函数对是对称的而更加显著。在强磁场中，电子自 旋都是反平行于磁场排列的，空间波函数是关于两电子互换而对称的。 因此，在h a r t r e e f o c k 方法中的误差比在零磁场中用h a r t r e e 一而曲计 算方法l n , 1 2 1 1 拘精度预期要显著小于1 。 另外计算强磁场中的重原子还有t h o m a s f e r m i 统计模型( 1 9 9 2 年 f u s h i k i 等人用了此方法) 和密度泛函理论( 1 9 8 5 和1 9 8 6 年j o n e s ，1 9 8 8 年瓜b 耐等人，1 9 9 6 年r e l o v s k y 和r u d e r0 3 】，都分别用了此方法对强磁 场中的重原子进行了研究) 。t h o r n a s f e r m i 统计模型在确定渐进标度 关系上非常有用，但是对获得精确的结合能和激发能还是不够的。密度 泛函理论可以象h a r t r e e 一而如方法一样给出精确的结果，但是没有别的 方法的比较标度，很难确定它的精确度。l i e b 等人1 1 4 1 将磁场分成了五个 不同的区域：z 4 3 , z 4 3 ，z 舻z 3 , 一z 3 , z 3 ，对重原子 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 的渐进行为进行了详细的讨论。得到各种密度泛函理论在这些渐进限制 内变得精确：t h o r n a s f e r m i 论对应前三个区域，“密度矩阵泛函”理 论可应用在第五个区域。1 9 9 6d o h n s e n 和y n g v a s o n 1 5 l 对重原子的数值 计算就是基于这些理论。 中性原子的质心运动可以从内部相关运动中分离出来，但是对于电 子却做不到。电子遭受依赖于内部态的旋转运动。但是，运动恒量近似 的存在允许近似准动量的高磁场。1 9 9 8 年b e z c h a s t n o v 等人【16 】给出了强 磁场中h e + 的数值计算结果。强磁场中的多电子系统的质心运动还没有 进行数值研究，尽管j o h n s o n 等人在1 9 8 3 年和s c h m e l c h e r 等人分别在 1 9 8 8 和1 9 9 4 年都进行了讨论。 1 2 2 对强磁场中分子的研究 对强磁场中分子的研究采用的是波恩奥本海默【1 7 】近似。在波恩奥 本海默近似中，系统的总电场能e ( a ，墨) 给出了原子间的势u ( a ，墨) ，其 中a 是沿着磁场的分量，r 。是垂直磁场的分量。一旦得到e ( a ，胄) ，电 子的平衡态就由e ( a ，昱，) 面的最小值的定位确定了。许多作者已经研究 解决了强磁场中的氢负离子日一的量子力学问题。研究最早的之一是 h e n r y c 尊- ) k 1 1 8 1 在1 9 7 4 年用变分方法对其进行了研究。它们对弱场区域和 中强场区域进行了定性的研究。1 9 7 5 年m u e l l e r 等人f 1 明定性的描述了强 磁场中基态3 ( - 1 ) 和高场中的1 0 态。l a r s e n 对强磁场中的氢负离子日一进 行了很多的研究 2 0 - 2 2 1 。一方面，他发明了一个很简单的只有一个很小的 变分系数的物理促动试探函数；另方面，他的能级在变分计算中是“艺 术态”已经沿用了很长一段时间。他得到了在磁场区域= 0 - 5 中最低 态1 0 的束缚能，和在磁场区域= 0 - 3 中态3 ( 一1 ) 的束缚能。他也得到了 m = - 2 和r a = 一3 时的单态和三重态的能量图表。后来他又得到了在高磁 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章前言 场区域态1 0 , 3 ( 一1 ) ，和3 ( - 2 ) 的总能和电子分离能。更明确的研究是对场强 区域= 2 0 1 0 0 0 中的态3 ( 一1 ) 和场强区域= 2 0 一2 0 0 中的别的态的研 究。此外，p a r k 和s t a r a c e 1 给出了在最高和最低束缚态的能量和在弱 场中基态1 0 的结合能。 在九十年代一些作者用新的技术改进了结合能和总能量的精确度。 1 9 8 9 年，v i n c k e 和b a t e 报导了m = 0 ) - 1 和_ 2 在磁场区域= 4 - 4 0 0 中的 几个场强的最低单态和三重态的总电离能。1 9 9 2 年，l a r s e n 和m c c a n n z * l 得到了在磁场区域= o - 2 0 0 中态1 0 的单个粒子的结合能。此外，在 1 9 9 3 t 2 5 1 年他们又同样研究了所= 一1 ，2 的单态和三重态。单态是在场强 区域，= o 5 2 0 0 中进行计算的，态1 ( 一1 ) 是在场强区域= 5 5 2 0 0 0 中进 行计算的，态1 ( 2 ) 是在场强区域p = 1 - 1 0 0 中的几个场强进行计算的。 1 9 9 4 年，s z w a c k a1 2 6 随后使用了一个高斯基组，他得到的计算结果精确 度低于l a r s e n 和m c c a n n 在1 9 9 2 年得到的结果。 还有一些人使用了h a r t r e e f o c k 方法进行了计算。在1 9 7 6 年 v i r t a m o 对场强区域= 2 0 2 0 0 0 0 中的基态能级进行了研究。t h u r n e r 等 人对在场强区域= 2 x l 旷一2 x 1 0 3 中的许多磁感应强度下的m = 一1 ， 一2 ，一3 的三重态进行了计算。但是，他们只是在弱场中用了球谐波函 数和在高强磁场中用了柱状波函数，因此，他们对中强磁场的研究还是 一个空白。2 0 0 0 年，0 一a a i h u i a j 和p s c h m e l c h e r 2 7 1 用由各向异性的 高斯基组相互作用法计算了强磁场中氢负离子的基态和激发态能级。得 到了氢负离子的日一的较低变分能和一个粒子的较高结合能，并且计算结 果的精度比前人都要高。 对紧束缚态和弱束缚态的e ( a ，o ) 的数值计算结果分别由l a i 等人 2 8 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 在1 9 9 2 年和l a i 和s a l p e t e r 嗍在1 9 9 6 年得到。量子蒙特卡罗法计算方法 也已经被使用。 在以前的研究中，大多都是对平行组态的研究，分子轴和磁场线之 间的夹角为p = 0 0 。只有u k a p p e s 和p & m e 缸船，【3 叼1 1 在1 9 9 5 年和1 9 9 6 年给出了任何角度的详细的定量分析，但是只是针对= 1 的磁场。以前 的研究都是基于各种各样的数值方法，用的最多的是各种变分方法，其 中包括t h o m a s f e r m i 方法等。做为一个规定，核运动被从电子的运动 中分离出来，用的是零磁场中的b o r n o p p e n h e i m e r 近似方法。在定量研 究上，氢分子离子叫7 的一个最重要的特征是磁感应强度的增加总是与总 能和结合能的增加一起的，同时平衡间距的缩小也已被观测到。 a v t u r b i n e r 和j c l o p e zv i e y r a 在2 0 0 3 年【3 习和2 0 0 4 年【3 3 1 分别对 氢分子离子的基态和激发态进行了研究，所用的方法也是变分法。但是 研究范围限制在对态1 。的研究，是在束缚态存在的情况下对系统的基态 的研究。是在前人对平行组态的研究的基础上进行的研究。 1 2 3 对中强磁场的研究， 当b 玩1 0 9 时，绝热近似不再有效，电子能够占据朗道激发能级。 在这些中强磁场区域内，库仑和磁场力都不能看作是微扰。对日原子的 在任意场内的精确能级解首先是在1 9 8 4 年r f s n e r 等人计算得到的；这 个方法包括以球谐波或柱朗道轨道为依据的波函数的膨胀和之后的双积 分微分方程系统的近似解决方法。后来的对磁场中的日原子进行计算的 有：劭口珂和g o l d m a n 3 4 1 ，m e l e z h i k1 3 5 1 ，f a s s b i n d e r 和s c h w e i z e r 【3 6 l 和 k r a v c h e n k o 等人 3 7 1 。r u d e r 【2 】用h a r t r e e f d 砖方法对磁场中的胁原子 计算的结果近似于r s s n e r 等人的结果。近年来对中磁场区域的多电子原 子的计算已经使用了更精细的用不同基函数的h a r t r e e f o c k 方法。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 a i 一上w 珂和& 矗所e 纠聊阳对氢负离子日一进行计算得到了精确的结果。 1 9 9 7 年j o n e s 等人【3 8 1 发展了量子蒙特卡罗方法计算胁原子。b 。1 0 9 g 时 的h e 原子能级的精确解被用来解释磁白矮星g d 2 2 9 。 中强磁场区域中唯一被详细研究的分子是氢分子离子蟛；平行组态 和非平行组态都已经用不同的变分法进行了研究。另外在强磁场中的一 个电子的离子，像碍+ 和日+ 也已经被三叩凹和砌而f 珂p ，进行了研究。对 中强磁场中的王e 的较早的研究是定性性质；对排列组态的定量计算是后 来才进行的。 1 3 本文研究的内容 本文将在计算强磁场中氢分子离子能级与核平衡间距的基础上来计 算氢分子离子在强磁场中的零点振动能，并且分析了零点振动能随磁场 强度变化而变化的规律。介绍了量子蒙特卡罗方法在研究强磁场中氢分 子离子中的应用。 第一章：概述了对强磁场中原子与分子性质研究的方法及历史现状。 第二章：介绍了在强磁场中原子与分子性质的理论基础。 第三章：介绍了氢分子离子的基础知识，给出了研究强磁场中氢分 子离子能级等性质的理论基础和方法，并且进行了理论推导。 第四章：在计算强磁场中氢分子离子能量和核间距的基础上，计算 了强磁场中氢分子离子的零点振动能，并且对结果进行了分析和讨论。 第五章：介绍了量子力学中的蒙特卡罗方法，介绍了将量子蒙特卡 罗方法应用到对强磁场中氢分子离子性质的研究。 第六章：总结本论文的研究成果，并阐述了用量子蒙特卡罗方法研 究强磁场中氢分子离子性质有待进一步研究的问题。 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 2 1 朗道能级基础 对于一个所带电量为卉和质量为肌，的自由粒子处在稳定磁场区域 ( 假设磁场沿z 轴方向) ，横向运动的动能被量子化为朗道能级 q = 丢疗i 专( m + 争壳吃 啊= 0 ，1 2 ( 2 1 ) 这里位= b ( c ) 是旋转( 角) 频率，n = 户一 c ) j = m j v 是机械动量， 声= 一i h v 是正则动量，j 是磁矢势。朗道能级是简并的，并且反映了一 个事实：能量是不依赖于回旋运动指向中心位置的。计算简并态，定义 一个广义角动量( 或是一般的角动量) 是很有用的 霞= 疗+ ( 蜀i c ) b x 尹 ( 2 2 ) 这里的g 是个运动常量( 例如，哈密顿变换) 这可以很容易地从粒子运 动的经典方程中得到，d f t l d t = ( e c ) ( 方毋) 雪。在数学上，霞守恒 是在空间的变换加上标准变换情况下哈密顿不变性的结果川。指向中心 的位置矢径忌与墨的关系是由 惠= 等= 南廊- ( 2 s ) 来确定的。这里的雪是沿着雪的单位矢。很明显旋转半径，p - - m sf p = 镌c h 删巳i b ) ，是通过下式量化的 卜惠| - 南i 矗- i 邶叫) 啦p o ( 2 4 ) 其中 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 胪骺，2 邓叫2 d 是旋转半径( 或磁场长度) 。我们可以利用霞来确定本征态。只有一个分 量可以对角化为静态。这意味着粒子的导向中心不能被指定。如果我们 利用疋来确定态，那么波动方程会有众所周知的形式口“一7 6 o ) 【刀，这里 方程妒( y ) 是以儿= 一晦心b ) 为中心的。因此在区域4 = 乓上的朗道简 并态可由下式得到 鲁，一l 圹gk 矿i 4 警= 刍 汜e ， 这里利用了e 。= q 必c 。从另一方面说，如果选择对角量化砰= + k ：，将得到柱坐标中的朗道波函数阡( 尹) ，这里m 是轨道量子数。朗 道基态函数为( e = 叩) ，( ) ；既( p ，妒) = 两1 酽丽p i ”鼍匀e x p ( - 删) ( 2 7 ) 其中采用了d 2 九i 形。1 2 = 1 的归一化。粒子的导向中心与坐标原点之间的 距离可由下式得到 r 限i 岛f f i ( 2 m + 1 ) 啦p o ，m - - o ，1 2 ( 2 8 ) 与h 相对应的值是砰= ( 壳口c ) ( 2 聊+ 1 ) 。既然为了使波动方程是单个 值而要求m 是正数，那么记砰假设为离散值。朗道能级区域4 = 石的 简并态就由下式决定班= ( 2 ) ”2 岛= 匙，又得到= 4 l e , i b ( h c ) ，就如方程( 2 6 ) 那样。我们将取不同的研态作为不同的朗道轨道。 l o 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 尽管在方程( 2 8 ) 和( 2 4 ) 之间存在相似之处，但是它们的物理意义 是完全不同的：圆p = 岛并不对应于任何粒子的回旋运动，能量也是独 立于m 的。 已认识到砭是与z 坐标上的角动量以相联系的，显然是来自于柱坐 标方程( 2 7 ) 中的p 一州因数。通常意义上我们有 也= 玛一皿= 击( 霹一i 1 1 ) ：沏一纯) 魁 e j ( 2 9 ) 这里利用了兀- - i 2 - - - - ( h l e , i c ) b ( 2 n l + 1 ) 。包括电子的自旋能( q _ 叫， 皱专) ，= e j 1 ( 2 m ：) 8 = i t c a 。o - , 1 2 ，总的电子能可以写为 e 哪+ 丢 亿 这里指数瑰包括自旋。对于朗道能级基态( 吒= 一1 ) 自旋简并态为1 ； 对于激发能级，自旋简并态为2 。 在 m e c 2 或 曰= 鲁4 圳”g 的极强磁场中，电子的横向的运动变为相对的了。 程( 2 1 0 ) 应被下式代替 应c 2 腰2 + 2 c 4 ( 1 + 2 n z r ) 啦 其中 ( 2 1 1 ) 自由电子的能量的方 ( 2 1 2 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 卵z 砉_ - - a 2 弦 对方程( 2 1 2 ) 中e 2 的高级阶正的形式为 4 石) c 4 f 铆) ，同时有 f ( r ) = 叫，叩1 ；f ( r ) = 1 n ( 2 r ) - ( r + 3 2 ) 2 + ，刁1 ，3 - - 0 5 7 7 2 为欧拉 常数；这些修正将被忽略。 2 2 强磁场中的原子 2 2 1 氢原子 在口1 的强磁场中，电子被束缚在朗道能级基态，库仑势可看作是 微扰。假设质子质量为无穷，则氢原子能量光谱可由两个量子数( m ，v ) 来 确定，m 测度的是方程( 2 8 ) 中电子与质子之间的平均横向分量，v 指 的是z 方向上的设函数的节点数。谐电子的波函数为 西。扩) = 既瓴) 厶，( 力。薛定谔方程代替这个函数并在横向上均分，得到 一个一维的厶，( z ) 薛定谔方程 一去躁一丢圪( z ) 厶= ，厶 ( 坍，v = o ，1 2 )( 2 1 4 ) 平均势可以由下式得到 ( z ) = p 2 l 既( t ) 1 2 i 1 ( 2 1 5 ) 用崩作为所有波函数和平均势中的单位长度，使它们变为无量纲函数 ( 因此繇= d 2 厶( z ) l d z 2 ，：在岛单位中) 。 在能量光谱e ，中有两种截然不同的态。紧密束缚态在它们的z 波函 数没有节点( v = o ) 。在态( m ，o ) 原子的横向大小为一成叫( 2 脚+ 1 ) 叩】”2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 。由于成1 ，原子就被加长为厶t 。我们可以在原子单位( e 2 a o ) 中 通过模拟己知的e p f l i l ( t 丘) 来估算纵向大小t 。得到 t 互五而1 = 1 口“， 2 1 6 其中 乇= h 景m ( 2 1 7 ) 上+ l 则紧密束缚态的能量为 瓦= - 0 6 a 2 a u ( 2 小+ 1 ) ( 2 1 8 ) 因为岛 - - a o ，或是2 m + l 但是仍然( 2 棚+ 1 ) - 1 ，因此绝热近似 0 毛l ，) 是有效的】，我们得到厶2 a o ，能级近似 = - o 6 啦 【2 m + l ( 2 r e + 1 ) 1 1 】 ( 2 1 9 ) 在方程( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 中，数字系数是通过薛定谔方程( 2 1 4 ) 的 数值方法得到的；方程( 2 1 8 ) 中系数4 随着的变化范围是接近一致 的，并且随着和m 缓慢变化。( 例如，当日：= l 时，m = o - 5 ，则 a = i 0 1 1 3 ；当旦2 = 1 0 时，m = 0 - 5 ，则爿= 1 0 2 一1 0 4 。当专o o 时， 得到露渐进f - - o 5 e ) 口”。在基态，v ) = ( o ，o ) ，原子波函数垂直和平 行于磁场的大小级别为t 一岛= 巾和丘f ，这里毛；l n d 。原子的 结合能( 或电离能q 为 q = i e ( 日) i = 0 1 6 a 1 0 2 ( 2 2 0 ) a 可近似为a = 1 + 1 3 6 x 1 0 2 1 n ( 1 0 0 0 f 1 ) 2 5 。( 0 ) 。这些态都是 弱束缚态。例如，v = 1 的态与零磁场中处于基态的氢原子有大约相同的 束缚能，e = 一1 3 6 e v ，支配奇偶性的方程与由零磁场中处于j 态的氢原 子满足的径向方程也是相同的。弱束缚态的能级可由下式近似 e v = 一丽1 严“- “= 1 ，2 ，3 ，) 2 2 2 其中 艿：j 2 成7 a o ，( 归2 v l 。1 )( 2 2 3 ) 【眦p r o ) - l , ( v = 2 h ) 波函数的大小是垂直于磁场的如与沿着磁场方向的t v 2 口o 。 以上的结果是假设了由质子产生了一个固定的库仑势( 质子质量是 无限的) 减小了的电子质量m e r e v ( m e + ) 的应用，为能量 【( 镌7 ) 已，l 】引进了一个很小的修正。但是，在强磁场中，质心运动对 能量光谱的影响是复杂的。对磁场中的两体问题的一种分析显示，即使 处于静止状态的氢原子，对能量也仍然有一个质子旋转修正，删壳k = r e ( m , i m p ) f l 。 2 2 2 重类氢离子 氢原子的结果可以很容易的推广到类氢离子( 有一个电子和核电核 数为z 的离子) 。绝热近似( 电子处在朗道能级基态) 的条件是 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 ( p o a o z ) ，或是 口z 2 ( 2 2 4 ) 对一个紧束缚态( m ，v ) = ( m ，o ) ，当径向大小为 易 ( z l n 去。1 ( 2 2 5 ) 时，横向大小为易成。能量为 易= _ o 1 6 a z 2 陋参( _ 磊) 】2 ( 2 2 6 ) 此时( 2 m + 1 ) z 2 。对弱束缚态( v 0 ) 的结果可由方程( 2 2 1 ) 和 ( 2 2 2 ) 相似归纳而得到。 2 2 3 重原子 被充满的最低能级是v = 1 的紧束缚态。当a o z 2 z 一1 岛时 口2 2 3( 2 2 7 ) 所有所= 0 ，1 ，2 ，z 一1 的电子都处于紧束缚能级。原子的能量大约 都是由方程( 2 2 5 ) 的本征值给出的。因此，得到z 1 的渐进表达式 e - z 3 2 ( 2 2 8 ) 其中 之乩c 志，乩否 汜z 。， 原子的大小为 乞( 2 z 一1 ) ”2 岛，易瓦a o ( 2 3 0 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 对于中强磁场( 但是仍足够强而忽略朗道激发) z 钔口2 2 3( 2 3 1 ) 在内部朗道轨道上的许多v 0 的态是由电子占据的。在这个区域内对于 电子汤