（检测技术与自动化装置专业论文）随机系统的鲁棒控制.pdf

山东轻工业学院硕十学位论文 摘要 随机控制，尤其是对于i t o 随机微分方程表示的随机系统，已经成为现代控制 理论研究的一个热点问题，这是因为在信号处理、数学经济和人口模型中，随机 控制都有很多方面的应用。 本论文首先通过一些例子阐明了随机能检测性、精确能检测性和完全能检测 性之间的关系。文章表明，随机能检测性蕴含了精确能检测性和完全能检测性， 但反之不j 下确。并应用精确能检测性研究随机l q 最优控制问题，使目前的结果得 到改善。 其次本论文考虑了带有状态依赖噪声的随机时滞系统的h 。滤波设计。并通 过线性矩阵不等式的形式给出了玩滤波器存在的充分条件。 最后，研究了由i t o 随机微分方程表示的随机系统的有限时间控制问题。我们 得到的主要结果就是通过状态反馈使系统有限时间随机鲁棒能稳的充分条件。这 些条件最终化成了包含线性矩阵不等式( l m i ) 的可解问题。并举了一个详细的例 子说明了我们研究的理论的有效性。 关键词：随机系统，精确能检测性，h 。滤波，线性矩阵不等式，有限时间 随机稳定性。 i i i 摘要 a b s t r a c t s t o c h a s t i cc o n t r o l ，e s p e c i a l l yf o rt h es y s t e m s g o v e r n e db yi t o t y p es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u m i o n s ，h a sb e c o m ea p o p u l a rr e s e a r c hf i e l do fm o d e r nc o n t r o lt h e o r yd u e t oi t sg r e a tm a n ya p p l i c a t i o n si ns i g n a lp r o c e s s i n g ，m a t h e m a t i c a lf i n a n c ea n dp o p u l m i o n m o d e l i n g f i r s t ，t h i sp a p e rh a sc l a r i f i e dt h er e l a t i o na m o n gs t o c h a s t i cd e t e c t a b i l i t y ，e x a c t d e t e c t a b i l i t ya n dc o m p l e t ed e t e c t a b i l i t yv i as o m ee x a m p l e s i ti ss h o w nt h a ts t o c h a s t i c d e t e c t a b i l i t yi m p l i e sb o t he x a c td e t e c t a b i l i t ya n dc o m p l e t ed e t e c t a b i l i t y ，b u tt h e c o n v e r s ei sn o tt r u e a p p l y i n ge x a c td e t e c t a b i l i t yt ot h es t u d yo fs t o c h a s t i cl q o p t i m a l c o n t r o l ，t h ep r e v i o u sr e s u l t sa r ei m p r o v e d s e c o n d ，t h i sp a p e ri sc o n c e m e dw i t ht h e h 。f i l t e r i n gd e s i g nf o rd i s c r e t e t i m e s t o c h a s t i ct i m e d e l a ys y s t e m sw i t hs t a t ed e p e n d e n tn o i s e as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo fh 。f i l t e rd e s i g ni sp r e s e n t e dv i al i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s f i n a l l y , f i n i t e - t i m ec o n t r o lp r o b l e m sf o rs t o c h a s t i cs y s t e m sg o v e m e db yi t o s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d t h em a i nr e s u l t sp r o v i d e da r es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rf i n i t e t i m es t o c h a s t i cr o b u s ts t a b i l i z a t i o nv i as t a t ef e e d b a c k t h e s e c o n d i t i o n sa r ee v e n t u a l l yr e d u c e dt o f e a s i b i l i t yp r o b l e m si n v o l v i n gl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i s ) o n ed e t a i l e de x a m p l ea r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo fo u r d e v e l o p e dt h e o r y k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cs y s t e m s ，e x a c td e t e c t a b i l i t y , h 。f i l t e r , l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y , f i n i t e - t i m es t o c h a s t i cs t a b i l i t y i v 山东轻工业学院硕十学位论文 符号说明 彳7 矩阵或向量彳的转置。 彳 0 ( a 0 ) ：彳是正定( 半正定) 对称矩阵。 i 。，：n n 单位阵。 詹疗：n 维e u c l i d e a n 空间。 s 。：所有对称矩阵的集合。 t r ( a ) ：矩阵a 的迹。 名m 舣( 彳) 和 兄m i n ( 彳) ：矩阵a 的最大和最小特征根。 v 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系在导师指导下本人独立完成的研究成果。文中 引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上已 属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属山东轻工业 学院。山东轻工业学院享有以任何方式发表、复制、公丌阅览、借阅以及申请专 利等权利，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名 单位仍然为山东轻工业学院。 论文作者签名： 导师签名： 日期：2 生年j 月z - 同 e tg q ：盟年月且日 山东轻t 业学院硕十学位论文 第1 章绪论 现代鲁棒控制是针对当数学模型存在不确定性( 包括外部干扰和未建模动态) 时，所设计的控制器仍能使系统保持内稳定性和理想的性能要求，在一定程度上 弥补了现代控制理论对数学模型依赖过高的缺陷。那么，当数学模型存在不确定 性时，又如何来度量系统的性能呢? 2 0 世纪8 0 年代初提出的以系统的h 。范数为 性能指标的何。控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体 系，已成为近2 0 年来自动控制理论及工程应用研究的热门课题之一。日，最优控制 系统具有较好的系统性能，而日。控制理论能较好地解决系统的鲁棒性问题，将两 者结合起来，就是所谓的h ，儿混合控制问题。 在系统的状态空间模型中，系统的状态往往不能直接测量得到，因此需要用 系统的输入输出信息来重构系统的状态向量，或估计系统状态向量的某个线性组 合。这就是滤波的设计思想。这样的思想不仅可用在系统的控制中，而且在测量 技术的发展中也得到了深入的研究和应用，形成了一个新的方向软测量技术。 l u e n b e r g e r 观测器和最优线性二次型k a l m a n 滤波器的提出为这一思想的实现提供 了方法和技术。 1 1 概述 1 1 1 鲁棒控制 我们知道，控制系统的分析或设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型 的作用在于已知系统的输入和状态时能计算输出。然而，严格地说，没有一个数 学模型能用来准确地作为一个实际物理系统的模型，即总存在不确定性 ( u n c e r t a i n t y ) 。不确定性的存在意味着即使已知输入信号，也无法准确地预计出系 统的输出信号。通常不确定性有两个来源： 1 、未知的或不可预计的输入，如作用于被控过程的各种干扰信号、传感器量 测噪声等。 2 、不可预计的动态特性( 未建模动态) ，如非线性系统的线性化、高阶系统的 简化近似等带来的动态特性的改变。 数学模型中不确定性的描述是多种多样的。一种典型的不确定系统模型的基 本形式是 y = ( p + a ) u + 刀 ( 1 1 ) 这罩y 是输出，u 是输入，尸是标称对象的传函，模型的不确定性以两种形式出现： n 是未知噪声或干扰，是未知的对象摄动( 末建模动态) 。 第l 章绪论 假定关于n 和的特征己预知，即各属于某一个集合。此时，给定一个控制输 入u ，由上述模型可得一个输出信号的集合。这个集合就是由( 尸+ a ) u + n 所构成 的集合。这一点就是确定性模型与不确定性模型的区别所在。进一步，这个不确 定性模型的集合可以分为两类，即： 1 、结构化不确定性：是指那些模型与不确定性之间的相互关系的结构是非常 明确的不确定性。例如，模型中存在有限个不确定参数。 2 、非结构化不确定性；是指那些结构不明确的不确定性。在每一频率下，其 频率响应位于复平面的一个集合内。例如，考察圆状不确定性。令p 代表标称对 象，声代表摄动后的对象。则在每一频率c o 下 l 型 l p ( j m ) 一l i y 。，求反馈控制器k ，使 0 g z ( s ) 0 ： ，设计控制器k ( s ) ，使闭环系统保持稳定，且 使 愀s ) k l 设x r 6 ”，s = d7 d r 4 “为对称阵，并且其它参数为合适维数，那么此系 统用命令l m i v a r 和1 i m i t e r m 给出上述3 个线性矩阵不等式系统的内部描述如下： s e t l m i s ( ) x = l m i v a r ( 1 ， 6 ，1 ) s = l m i v a r ( 1 ， 20 ；21 ) l m i t e r m ( 11 1x ，1 ，a ，s ) l m i t e r m ( 111s ，c ，c ) l m i t e r m ( 112x ，1 ，b ) l m i t e r m ( 122s ，- 1 ，1 ) l m i t e r m ( 一21 1x ，1 ，1 ) l m i t e r m ( 一311s ，1 ，1 ) l m i t e r m ( 3110 ，1 ) l m is y s = g e tl m is 1 s tl m i 2 n dl m i 3 r dl m i 其中，函数l m i v a r 定义了两个矩阵变量x 和s ，l m i t e r m 则描述了每一个线性矩 阵不等式中的各项的内容。g e t l i m s 回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示 l m i s y s ，l m i s y s 也称为是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。以下将 介绍这几个函数的功能和用法。 s e t l i m s 和g e t l i m s 7 0 o 0 ) 的一个充分必要条件。在确定性系统中，类似的 条件包含两个耦合的线性矩阵不等式，但在随机系统中我们得到的是两个耦合的 非线性矩阵不等式。这篇文章还讨论了h 。理论和稳定半径之间的关系，得到了一 个稳定半径的最小上界。 相对于文献 1 ，文献【2 】研究了随机线性离散时间( 不带时滞项) 的鲁棒日。 问题，随机系统的差分方程描述如下： 第1 章绪论 m 州= 蔷n 啪城卜+ ( b i + 善nw 心域卜 + b l v ( t ) d t + b 2 u ( t ) d t ( 1 1 5 ) z o ) = c i x ( ，) + d l l v o ) + d 1 2 甜o ) y ( t ) = c 2 x ( f ) + d 2 lv ( ，) 其中w 1 ( f ) ，w ：( ，) 为零均值、二阶、宽平稳的实值随机过程，其余为常数矩阵。本文 证明了带有随机扰动的随机系统h 。控制的有界实引理，这个定理是基于线性矩阵 不等式给出的，跟文献【1 】的方法类似，但比之更一般。 文献【3 】研究了随机系统放风混合控制而且系统中含状态依赖噪声项。模 型如下： fd x ( t ) = 0 x o ) + b 2u ( t ) + b lv ( o ) d t + 爿1x ( t ) d w ( t ) 跚 “j 6 根据随机系统的稳定性，精确能观测和随机能检测的概念( 见文献【4 、【5 ) ，证 明了有限时问的皿风混合控制的设计方法。最近，文献 6 将文献 3 】的模型 作了推广，将h 2 也混合控制模型推广到状态、输入和扰动都依赖噪声的情况， 模型如下： f d x ( t ) = ( 彳x ( f ) + b 2 “o ) + b i v ( o ) d t + ( a 1 x o ) + c 2 “o ) + c l v u ) x 加( ，) = 黜卜一。 “1 7 文献【6 研究了相应模型的有限和无限时问的h ：矾混合控制，文章证明，有限 时间的h 2 比混合控制的存在条件等价于解四个耦合的矩阵值微分方程，而无限 时间的日，也混合控制的存在条件等价于解四个耦合的矩阵值代数方程。 对于非线性的随机系统h ，以混合控制而且系统中含状态依赖噪声项的模 型，也有了完整的结果。模型如下： fd x = 杪( x ) + g ( x ) u + h ( x ) v ) d t + l ( x ) d w厂( o ) = ，( o ) 三0 j 厂c r ( 1 1 8 ) l zluj 对于此模型获得了交叉耦合的h a m i l t o n j a c o b i 方程，基于此条件得到了有限时问 和无限时间的非线性随机h ，玑混合控制器的设计方法。离散时间的随机 h ：也混合控制也有了相关的研究。 连续时间线性且带有随机不确定的随机鲁棒日。滤波问题也作了研究。通过一 个有界实引理以r i c c a t i 不等式给出了标准的日。滤波存在的充分必要条件，这个 充要条件能化为线性矩阵不等式求出滤波参数，连续系统模型如下： 1 2 山东轻工业学院硕十学位论文 id r ( t ) = ( a x ( t ) + b lv ( f ) ) d t + a lx ( t ) d w l ( f ) d y ( t ) = ( c x ( o + d 2 1 1 ，( f ) ) a t + f x ( t ) d ( t ) ( 1 1 9 ) l z ( ，) = l x ( t ) 滤波方程为： j 蔽( ) = 彳，曼( 触+ b n y ( )( 1 2 0 ) l 三( f ) = i a ( ，) 文献 7 】研究了非线性随机系统的鲁棒日。滤波，系统方程和滤波方程如下： f d x = ( 厂( x ) + g ( x ) v k 厉+ ( 办( x ) + s ( x ) v ) d w ( o y = ，( x ) + k ( x ) v ( 1 2 0 ) t z = = r e ( x ) 舡f ( j ) d t + ? ( 曼) 缈( 1 2 1 ) i 三= 痨( 曼)f ( o ) = m ( o ) = 0 ，曼( o ) = 0 从系统方程可以看出，系统中含有状态和扰动依赖噪声的项，对于。滤波， 我们可以通过解二阶非线性h a m i l t o n j a c o b i 不等式获得。如果考虑最坏的扰动情 况，日，以混合滤波问题可以通过最小化总的估计误差能量得到。对于一类非线 性日。滤波问题，可以通过解几个线性矩阵不等式的方法解决，而不必去解 h a m i l t o n j a c o b i 不等式。 最近几年，我们注意到随机线性二次( l q ) 最优控制问题得到了众多学者的 关注，已经成为控制理论界的一个热点问题之一，特别是关于i t o 系统的随机l q 优化发现了许多与确定性系统具有本质差别的现象，例如当消费函数中的控制权 因子和状态权因子不定号时，随机n o 系统的l q 优化问题仍可适定，这一发现直 接引发了大量的后续研究。对无限时间不定随机l q 最优控制问题及其相应的广义 代数r i c c a t i 方程( g a r e ) 的最大解之间的关系进行了深入的讨论。并进一步证 明了g a r e 的最大解必定是一个强解。文献 2 3 根据闭环系统的终端状态的性质定 义两类优化问题：零终端和自由终端随机l q 最优调节器问题。讨论了两类优化 问题的差异以及与其对应的g a r e 解之间的关系。 关于随机时滞系统的鲁棒控制在最近几年也受到了众多学者的关注，文献【8 研究了非线性随机时滞系统的反馈稳定性，系统模型如下： f a x ( t ) = ( 彳颤f ) + b x ( t f ) + 蜀甜( f ) + i - l o g o ) ，x ( t f ) ，“( f ) ) ) 出 + ( ( 乃叹，) + d 呱f r ) + d l z f ( f ) + q g ( f ) ，x ( t f ) ，甜o ) ”d w ( 1 2 2 ) i x o ) = o ) ，t 【一r , o 】 通过模型可以知道，系统带有状态和控制都依赖噪声的项。此文献主要研究了系 统局部全局渐近稳定的不依赖时滞的条件。一个离散不确定随机系统的多目标滤 第1 章绪论 波器设计方法，系统状态及输出方程为： i x ( k + 1 ) = ( 彳+ a , 4 女) x ( 后) + a d x ( k f ) + 8 u ( k ) + o f ( x ( k ) ) y ( 后) = c x ( k ) + 1 ，( 七) ( 1 2 3 ) 【z ( 忌) = l x ( k ) 滤波方程形式为： i t ( k + 1 ) 2 缔d + b y y ( k ) ( 1 2 4 ) i 三( 尼) = 三，曼( 后) 在状态方程中，m 。为不确定的随机变量，我们称之为随机不确定，彳，以，c 是定 义在一个凸多边形下的不确定矩阵，厂o ( 后) ) 为关于x ( k ) 的非线性项，“( 尼) ，v ( k ) 为 扰动随机变量，对这种既含有未建模的非线性项，又含有混合了随机和确定性的 不确定项的随机离散时间系统，设计了一个多目标的滤波器，既要求系统足误差 方差有界的，又要求其满足一个鲁棒。指标。最后用l m i 的方法给出了一个可解 的充分条件。 1 4 论文研究内容 本文首先对鲁棒控制，控制，风控制以及日，矾混合控制进行了讨论， 介绍了控制问题，滤波问题以及l q 问题。接着介绍了随机能检测的概念等，并将 其应用于随机l q 最优控制问题。最后，利用线性矩阵不等式方法，设计了随机时 滞系统的h 。滤波器，给出了有限时间随机稳定的概念，并给出了有限时间鲁棒 能稳的充分条件。论文研究内容和章节安排如下： 第一章：介绍了本课题的背景和意义，研究的历史和现状。 第二章：通过一些例子阐明了随机能检测性、精确能检测性和完全能检测性 之间的关系。文章表明，随机能检测性蕴含了精确能检测性和完全能检测性，但 反之不正确。并应用精确能检测性研究随机l q 最优控制问题，使目前的结果得到 改善。 第三章：考虑了带有状态依赖噪声的随机时滞系统的巩滤波设计。并通过线 性矩阵不等式的形式给出了玩滤波器存在的充分条件。 第四章：研究了由i t o 随机微分方程表示的随机系统的有限时间控制问题。我 们得到的主要结果就是通过状念反馈使系统有限时问随机鲁棒能稳的充分条件。 这些条件最终化成了包含线性矩阵不等式的可解问题。并举了一个详细的例子说 明了理论的有效性。 第五章：总结与展望。 1 4 山东轻t 业学院硕七学位论文 第2 章随机系统的能检测性及其应用 在线性控制理论中，能检测性是一个非常重要的概念，它和能稳性是对偶的。 近年来，许多研究者将线性系统理论中的一些基本概念，像能控性、能观测性 和能检测性，推广到随机i t o 系统，并且发现了一些不同于确定系统理论的新现象， 这些现象说明随机系统和确定系统存在本质的区别h 5 一2 2 5 3 3 。 2 1 引言 许多学者已经介绍了随机能检测性，而且将它应用于研究随机s m a l lg a i n 定 理n 刚和随机e 鼠控制口6 1 。但是，如果想将文献 3 ，1 6 的结果推广到控制和外 部扰动都依赖噪声的更一般的模型，就会发现必须引入精确能检测的概念m ，。在文 献 6 中，我们首先定义了随机i t o 系统的精确能检测的概念，并给出了一个随机 p b h 判据，这是精确能检测的充分必要条件。本章是 6 的一个延续，本章包括两 方面的内容：首先，我们证明了随机能检测蕴含了精确能检测和完全能检测，但 是反之不正确，通过举几个例子，澄清了随机能检测性、精确能检测性和完全能 检测性之间的关系。其次，应用精确能检测性，讨论了随机线性二次最优控制( l q 问题) 以及相应的广义代数r i c c a t i 方程( g a r e ) ，使目前的结果得到改善。 2 2 定义和性质 考虑下面的由n o 微分方程表示的随机受控系统： 丁穹竺= ( 血( f ) + 砌( ，) 胁+ ( q ( f ) + 眈( 嘞咖( f ) ( 2 1 ) 【x ( o ) = x o 、。 在( 2 1 ) 中，z ( f ) 和“( f ) 分别称为系统状态和控制输入。在本章中，我们假 设w 是一维的标准维纳过程，这样并不失一般性。w 是定义在滤波空间 ( q ，f ，f ，p ) 上的，其中： e = 仃 w ( j ) ：0 s f ) 定义2 1 4 川如果存在一个状态反馈扰( f ) = k x ( t ) ，对于任意初值x o r ”， 下面的闭环系统 竺：卜似+ 脒沁( f 渺“d k ) d 州o ( 2 2 ) 【x ( o ) = x o 一7 是渐近均方稳定的，也就是说 l i me x ( t ) x ( f ) = 0 第2 章随机系统的能榆测性及其应用 则称系统( 2 1 ) 是能稳的( 在均方意义下) 。这罩k 是常数矩阵。 如果系统( 2 1 ) 是能稳的，我们也简记为( 彳，b ，c ，d ) 能稳。 定义2 2 3 1 6 1 考虑下面的带量测方程的随机系统： j 寰! 卜血。渺+ 叫。州d “o ) 爿。 ( 2 3 ) iy ( f ) = q x ( t ) 、。 如果存在一个合适维数的实矩阵日且下面的系统 d x ( t ) = ( 彳+ j 蚴杖t ) d t + c x ( t ) d w ( t ) x ( 0 ) = x o ( 2 4 ) 是渐近均方稳定的，则称l 4 ，cq j 是随机能检测的。 如果系统( 2 3 ) 是渐近均方稳定的，我们也称之为( a ，c ) 稳定。 定义2 3 1 如果y ( f ) = q x ( f ) 三0 ，a s ，t 【0 ，丁】，v t 0 ，蕴含! i m e i x ( f ) 1 2 = 0 ， 则称系统( 2 3 ) 或者l 4 ，cq j 是精确能检测的。 显然，当c 三0 时，随机能检测、精确能检测和完全能检测是相同的。 对于精确能检测性，我们引用下面的随机p b h 判据，这个判据在本章中是非 常重要的。 引理2 1 1 阻，cq 】是精确能检测的当且仅当不存在非零的z s 。满足 a z + z a7 + c z c7 = 2 zq z = 0r e 力0 ( 2 5 ) 下面的定理说明了随机能检测性是这三个概念中最强的，随机能检测性蕴含 了精确能检测性和完全能检测性。 定理2 1 如果- ，cq 是随机能检测的，则它是精确能检测的。如果_ ，cq 】 是随机能检测的，则- ，纠是完全能检测的。 证明：根据命题l 5 1 ，如果i ，cq 】是随机能检测的，则不存在非零的z s 。， 满足 a z i - z a t - c z c 7 = 忽q z = 0r e 2 0 由引理2 1 ，- ，cq 】足精确能检测的。 由定义2 2 ，如果一，cq 】是随机能检测的，则存在一个常数矩阵h 7 ，使得 d x ( t ) = ( a 7 + q i - i7 ) x ( t ) d t + c x ( t ) d w ( t ) 是均方稳定的，这表明似印 d x ( t ) = ( a + q i - i7 ) x ( t ) d t 是渐近稳定的，因此阻，q 】是完全能检测的。 应该指出，定理2 1 的逆是不正确的，见下面的例子。 1 6 山东轻t 业学院硕十学位论文 例2 1 取 彳= ? 二 ，q = ，c = 一：吕 很容易就能看出不存在非零的z s 。满足式( 2 5 ) ，根据引理2 1 ，clp j 是 精确能检测的。但- ，cq 】不是随机能检测的，因为07 ，q ，c ，o ) 不是能稳的。为 证明这个结论，我们引用文献 1 1 的定理1 ，它表明07 ，p 7 ，c 7 ，o ) 能稳的充分必要 条件是下面的g a r e j p 么+ a p + c ，尸c p q 7 q l p + 厶。2 = 0 ( 2 6 ) 有一个正定解p 0 ，但是根据我们给定的数据，g a r e ( 2 6 ) 的解是 最= 一冲。，足= 一三 0 为了后面证明的需要，我们首先给出下面的引理。 引理2 2 6 1 如果阻，c iq 】是精确能检测的，p o 是下式的解 p a + a 尸+ c ，尸c = 一q ( 2 7 ) 则( 彳，c ) 是稳定的。 引理2 3 假设q o ，r 0 ，如果阻，c i 纠是精确能检测的， 则 阻+ b k ，c + d k lq + k 坟k 】也是精确能检测的。 证明：我们注意到如果阻+ b k ，c + d kq + k 欲k 】不是精确能检测的，则根 据引理2 1 ，存在一个非零的z s n ，满足 i ( 彳+ b i q z + z ( x + b k ) 7 + ( c + d k ) z ( c + d k ) = 忽 r e 2 0 ( 2 8 口) i ( q + k r k ) z = 0( 2 8 b ) 在( 2 8 b ) 左边乘上7 ，我们得到 z q z + z k r k z = 0 因为q 0 ，r o ，z 0 ，所以愆= o 。 把忽= o 带入( 2 8 ) 式，可以得到 f a z + z a + c z c ，：2 zr e 五0 ( 2 9 ) q z = 0 这和阻，cq 】是精确能检测的是相矛盾的。因此引理2 3 得证。 引理2 4 假设q 0 ，r 0 ，如果阻，c iq 】是精确能检测的，p 0 是下式的解 尸! 彳+ 么尸+ c p c + q 一( 尸b + c p d ) ( r + d p d ) 1 ( b 垆+ d p c ) = 0 ( 2 1 0 ) 则( 彳+ b k ，c + d k ) 是稳定的，这罩k = 一( r + d p d ) 一1 ( b 尸+ d p c ) 。 在这里，我们仍然称p 0 是( 2 1 0 ) 的一个反馈镇定解。 1 8 山东轻工业学院硕 j 学位论文 证明：我们注意到式( 2 1 0 ) 可以写成下式 尸( 彳+ b 目+ ( 彳+ 豳尸+ ( c + 幽7 p ( c + d k ) = - ( q + k r k ) ( 2 1 1 ) 根据引理2 3 ，阻+ 胀，c + d kq + k 次k 】足精确能检测的。而且根据引理 2 2 ，( 彳+ b k ，c + d k ) 是稳定的。 考虑下面的随机l q 最优控制问题：寻找一个最优的控制律u u 耐，在随 机受控系统的约束下 xdx(。=)：(ax。+bu，)衍+c+。“咖(212ax r ) 【x ( o ) =o ” 使得下面的二次指标最小 ei ( x7 q x + u r u ) d t ， o o ，r 0 ( 2 1 2 b ) 6 这里u 耐表示允许控制集，e 表示可适定的过程甜，且e n “( f ) 1 2d t 0 是式( 2 1 3 ) 的 一个解，则( 彳+ b k ，c + d k ) 是稳定的且有k = 弋r + d p 功- 1 ( b ，p + d p c ) 。也就 是说，式( 2 1 3 ) 存在一个反馈镇定解。除此之外，对于任意t 0 ，由i t o 公式， 我们可得： ei ( x + u r u ) d t 占 = e f ( 一q x + u t r 甜) 斫+ e p 仇) + x ： 。一及( 丁) ( 丁) = e i 防( q + a p + p 4 + c p c ) x + ”7 ( b 7 p + d p c ) x + z ( p b + c p d ) u + “7 ( r + d 7 p d ) u d t 6 + x op x o e x ( 丁) 尸x ( 丁) = ef 扛【q + p a + a p + c p c 一( p b + c p d ) ( r + d 肋) 一1 ( b ，尸+ d 垆c ) k + 【( 尺+ d p d ) u + ( b 垆+ d p c ) x ( r + d p d ) - 1 ( 尺+ d p d ) u + ( b 尸+ d p c ) x 】协 + x ：尸x o e x ( 丁) 尸x ( 7 ) 1 9 第2 章随机系统的能榆测性及其应用 因为p 0 是g a r e ( 2 1 3 ) 的一个反馈镇定解，让rjo o ，则可得到( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 式。定理2 3 得证。 2 4 本章小结 本章通过一些例子阐明了随机能检测性、精确能检测性和完全能检测性之间 的关系。文章表明，随机能检测性蕴含了精确能检测性和完全能检测性，但反之 不正确。并应用精确能检测性研究随机l q 最优控制问题，使目前的结果得到改善。 山东轻工业学院硕上学位论文 第3 章状态依赖噪声的随机时滞系统的鲁棒乩滤波 近年来，带多个噪声的随机风控制和滤波设计受到广泛关注，并成为研究热 点，见参考文献【1 3 ，7 ，1 9 2 0 ，5 4 5 6 。在文献【1 ，3 ，7 ，1 9 ，2 0 ，5 4 1 中，由i t o 随机微分方 程表示的系统的鼠控制和玩滤波问题已经得到深入研究。尤其是文献 1 】给出了 一个非常有用的引理，我们称之为“有界实引理( s b r l ) ”。而分别是状态和( 五铭，v ) 依赖噪声的文献【3 】和【5 4 处理的混合皿鼠控制i 这两个文献都得到了混合 马风控制存在的充分必要条件。文献【2 0 】把文献 1 】的有界实引理应用到线性随 机玩滤波设计中。文献 2 0 】出现后不久，文献 7 】就给出了随机n o 系统的非线性 鼠滤波的设计方法。参考文献 2 ，5 5 ，5 6 是关于离散时间随机风控制和滤波的设 计。 我们认为在带多个噪声的离散随机玩控制中取得最大进步的应属于文献 2 】， 它获得一个离散的有界实引理，文献 5 6 就是应用这个引理设计了离散时间静态的 玩滤波。不难发现，到目前为止，对于系统带有附加噪声的离散随机瓯控制和 滤波设计工作，像文献 1 7 ，5 7 】，