（应用数学专业论文）一维plaplacian方程奇异边值问题的正解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 一维p - - l a p l a c i a n 方程奇异边值问题的正解 摘要 非线性泛函分析是现代分析的个熏要分支，因其髓很好的处理现实世界 中各种各样的非线健阏题雨受到了越来越多的数学工作者约关注其中，一维 奇异p l a p l a c i a n 非线性边值阉题来源于应用数学和物理的多个分支，是现代 分析中较为活跃的研究领域之利用变分方法、锥理论和l e g g e t t w i l l i a m s 定 理，我们在本文中矫究了一维奇异p l a p l a c i a n 菲线性边值问题正解的存在性 耀鼷，得到了一些新成果。 本文共分为四章 在第一章中，我们讨论了一类具p l a p l a c i a n 算子型的奇异边值问题 l 一( 茹”( 母i 一2 。”( t ) ) ”：= f ( t ，嚣( 部) ，t ( 0 ，1 ) ， l ( o ) = g ”( 1 ) = 0 古典正勰约存在性，其申蘧数( t ，“) 可能在一0 ，t 都有奇点 在第= 章中，我们利用锥上的不动点定理，获得了奇异边值问题 i ( 如( 一( t ) ) ) + ( t ) ，( t ，( t ) ，矿( t ) ) = 0 ，0 t l ， l ( o ) 一g t ( x ( o ) ) = o ，x ( i ) + 船( 茹( 1 ) ) 。0 存在个或者多个正解的充分条件闻题的关键是非线性项，依赖予未知遴数 的一鼢导数 在第五章中，我们研究了类具有p - l a p l a c i a n 算子氆泛时微分方程的奇 异边值闻蘧 l ( 靠( ) ) ) + h ( t ) f ( y t ) = 0 ，0 1 利用锥上的不动点定理，我们得到 了这类边傀问题存在一个或者多个正解的充分条件 曲阜师范大学硕士学位论文 在第四章中，我们利用l e g g e t t w i l l i a m s 定理，建立了一维奇异p - l a p l a c i a n 非线性边值问题 i ( ( u ”) ) + d ( t ) ，( 让) = 0 ，0 t 1 关键词：p - l a p l a c i a n 算子；奇异边值问题；l e g g e t t w i l l i a m s 定理；泛函微分 方程；正解；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t h 1 r 、 一 i o n e - ul m e n s i o n a lp - l a p l a c i a n a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i s i ta r o u s et h ea t t e n t i o no fm o r ea n dm o r em a t h e m a t i c a n ss i n c ei tc a nd e a lw i t h a l lk i n d so fn o n l i n e a rp r o b l e m si nr e a l i t y t h en o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sw i t ho n e - d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a nc o m e sf r o ma p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c sa n di sn o wo n eo ft h em o s ta c t i v er e s e a r c hf i e l di nm o d e r n a n a l y s i s i nt h i st h e s i s ，u s i n gt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d ，c o n et h e o r ya n dl e g g e t t w i l l i a m st h e o r e m ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c ep r o b l e mo fp o s i t i v es o l u t i o n so f n o n l i n e ，a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f o n e d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a na n d g e ts o m en e wr e s u l t si nt h i sf i e l d t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u rs e c t i o n s i nc h a p t e r1 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o ras i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a n j 一( 矽( t ) r 2 ( 亡) ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， ix n ( o ) = z ( 1 ) = 0 ， w h e r et h ef u c t i o nf ( t ，u ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，1 i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i - t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fo n eo rm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s i ( 如( ( 亡) ) ) + h ( t ) f ( t ，z ( 亡) ) = 0 ，0 t 1 ， iz ( o ) 一g l ( x ( o ) ) = o ，、x ( i ) + 9 2 ( x ”) ) = 0 a r eo b t 越n e d i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s s o fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h 曲阜师范大学硕士学位论文 p - l a p l a c i a n l ( 如( ) ) ) 7 + h ( t ) f ( y t ) = 0 ，0 亡 1 ， i 可( ) = 肛( 亡) ，- - t t 0 ，( o ) 一g l ( y 7 ( o ) ) = 0 = 可( 1 ) + 9 2 ( y 7 ( 1 ) ) b yu s i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fo n eo rm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eg i v e n i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gl e g g e t t w i l l i a m st h e o r e m ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h es i n g u l a rn o n l i n e a rp r o b l e m sw i t h p - l a p l a c i a n i ( 咖( u ) ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 1 k e yw o r d s ：p - l a p l a c i a no p e r a t o r ；s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； l e g g e t t w i l l i a m st h e o r e m ；f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p o s i t i v es o l u t i o n ； c o n e 第一章一维p - l a p l a c i a n 方程奇异边值闻题戆吉典正解 1 1 引富 我锯考露始下挈一轴睿勰 蠢魏邃篷辩蘧 叫p ，( d | p 吨以) ，吖。滞o ) ) j 引0 ，1 ) ，( 1 1 1 l 国) 一( 1 ) _ 0 古典藏解的存在性，其中p 1 ，f a ( ( o ，1 ) i o ，+ o o ) ，f 0 ，十o 。) ) 虽可能在 t = 0 ，1 跨有奇佳我船说醋数。罴( 1 1 1 ) 盼古典解，如祭。c o ，1 】n 俨( o ，1 ) ，l ( o l - 2 x , ( o c 2 ( o ，1 ) 且满足边值条件 蠢予具有p - l a p l a c i a n 算子垄静奇异逮德闯题寄广泛静数学与锈遴应屉 背景，近年来碍l 起了人们的广泛注意，宥大量文献研究了这类奇异边值问题正 解豹存在佳。毽大多都瘸藩s c h a u d e r 不凌熹定理、藏数形式瓣键控律秘锤舔 缩不渤点定理，不动点指数定理等获得了正解存在的充分条件利用变分方法 来研究这类鸯簿透蘧麓题歪繇瓣存在拣瓣文献还不多毙，本交瘸焉交分方法寒 讨论边值问题( 1 1 1 ) 古典正解的存在性 黠弓二丞数歹，奉章戆袈浚 ( f ) f g ( ( o ，1 ) 【o ，+ o 。) ，f o ，+ o 。) ) ，a ( o 1 ) sf ( t ，t ) 曼n ( t ) ，2 ( “) ，其中 五，磊联羚，+ ) ，泠，+ 0 0 ) ，a g ( 筑1 ) ，国，十o c ) ，a 霹毙在# = 0 ，1 处有毒 性且满足 一 溉矿q z 8 国斑= o ， ，l 一 识 f 器 = l i r a i n f 等，肛l i r a s 。u p 磐； 鬈= 嶝磐，惑= t 絮p 磐 定义带权的1 7 空间醒：= 如i 片a ( s ) l z ( s ) l d s + ，其上的范数为 嗣时= 嚣a ( s ) l z ( s ) ld s , 。港s o b o l e v 空羯；瑶聋黪莲数势| | | | | | 霉= 片旷( s ) i ，如 ； 第一章一维p - - l a p l a c l a n 方程奇异边值问题鳗宣基堡堡 将，作零延拓成( 0 ，1 ) ( 一o o ，+ o 。) 上的函数，仍记为，令f ( t z ) = 譬f c t ，8 ) d 8 考虑嚼护上的泛函 ，( z ) = ；z 1 i 矿( 圳出一z 1 f ( 岛z ( 啪出 当对 0 ，则( 旧”( f ) i p 以矿( f ) ) ” a ( t ) ，有z ( t ) a ( t ) 设伽( t ) 为( 1 2 4 ) 式 中的特征函数，类似于上面的讨论，存在q 0 ，对于t 0 ，司和【1 6 ，1 】， 有v j c t ) q ( 力令 口= 幽 爰，。黜司器) ， 可知$ 2y n 咖，得p 8 似st y 冬p z ，即a ( 等) 南咖，从而 o e c p 6 ( 磐) 南，令仃_ + ，得啪0 ，矛盾从而茁三0 3 主要结果 定理1 3 1 设条件( f ) 满足，且有 付 a ，二s 站 - b o o ， 见i 边值问题( 1 1 1 ) 至少有古典正解 证我们分五步来证明此定理 第步，证，是孵伊上的伊泛函，且对v 妒嚼护，j 的f r 6 c h e t 导数 有如下表示 ， ，( z ) ，妒) = 矽( t ) p q ( t ) 矿( t ) d t 一f ( t ，$ ( 0 ) 妒( t ) 出 ( 1 3 i ) j 0j o 由站 + o o 知，存在常效c ，使得0 f ( t ，u ) s ( t ) 一，0 f ( t ，u ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( t ) i t | p 由引理( 1 1 1 ) ，雎孵护上有定义对v 妒孵p ，有 孝【，扛+ 盯妒) 一j ( z ) 】 = 刍z 1 i + c r y i k i 泖i 出一：1 f 0 1 f ( 如+ 喇一即出 = 躲f m 舭一0 1c 厂m 舭 = i z ”+ 日1 盯矿j 一2 i d + o z 盯妒”l 妒”出一，o ，z + 如盯妒) 妒d t ， 其中0 0 1 ( t ) 1 ，0 如( 力 1 ，口充分小显然 矽+ 0 1 0 o ”r 1 ( 矿i + l 矿l y ，i f ( t ，z + 如盯妒) ( t ) ( - 1 - ) ， 以及 ，i，1 (ii+i,fip-10) i 矿陋 + o o ，j o 口( o ( 蚓+ 例) p - 1 酬出 0 ，使得站+ 占 0 ，当 让m 时。f ( t ，u ) ( 站+ ) 凸( t ) 矿设妒- 馆p 且妒0 ，可得 k | p - 2 矿出( 站+ e ) 口( t ) ( 砧) ，- 1 妒d t + c o ( t ) ( 霜) q 础+ d ( 1 ) j o s 瞄b “s 肼 易知，引2 ：l p 2 碟) 是l p p 1 中的有界集， ( 露) p 1 ) 是删p _ 1 中的有界集， 所以在盟伊1 中有l 碟i ，一2 碟一l i ，一2 ；在露p 一1 中有( 兹) ，一1 一( z + ) p - 1 令 ， a n - - - 川0 | 圳坼绷护；篙# a ， 可得 ，l ， 。口( t ) ( 兹广1 妒出= 口( t ) 毋乒触 j o i $ ：i t ，。n s 肘 j o 对于0 m 时，f ( t z ) ；( 站+ ) g ( t ) 矿于是 z 1 警等踯业p i 厂0 1 ( 钠p d t + c 蜓f 瞄协；盯( 扩1 蚀 在职中设_ z ，可得a 站+ s 矛盾 第四步。证i 的平凡解口不是全局极小 、 取妒为引理( 1 1 1 ) 中的特征函数，取s 0 ，使得疗一e a ，取盯 0 ， 使得当0 t 仃时，f 0 ，。) ；疗一e 口( t ) 妒，因此我们有 f ( 仃纠 - 三p 矿z 1 i 矿l ，出一；( 石一e ) 矿z 1 凸( t ) 矿彬 = 三刚圳一耐1 ；1 【，o _ 一。圳刚 = p 兰刚妒一字) 0 第五步，i 下方有界且满足p 条件，又i 是强制的，因此i 达到下界， 又因为i 的平凡解口不是全局极小。从而i 的全局极小点是非平凡解 定理1 3 2 设条件( 聊满足，且有 芷 a 凡选取m 0 ，使得当霉 m 时，f ( t ，t ) ( 疗一s ) a 0 ) 矿设妒孵一且妒之0 ，由( 1 3 9 ) 式可知 j i ，- 2 矿出 = 1 裂- o d t + o ( 1 ) = 丘i 对1 枷s 肼毛貉妒出+ 丘心k 。；：盯酢) ( 砖) p - l 妒d t 扣( ) 口( 力( 砖) p 1 础 j o s i ，卞l 口，n s j i f + ( 疗一占) 凸( 亡) ( 右) 一1 妒疵+ o ( 1 ) j o sj 2 ；1 4 轴之 f - - ( t ；- 一s ) 口( t ) ( 茄) - 1 妒d t c 口( t ) ( 露) p 1 妒d t + d ( 1 ) j 0 j o s l l i l ，h s m ( 3 1 1 ) 9 第一章 一维p - l a p l a c z a a 方程奇异边值问题的古典正解 让n _ + o o ，有 ，l r j l 少1 9 2 少d ts ( ，二一e ) 口( t ) ( 。+ ) ，一1 肚，v 妒w 学护，妒0 ( 1 3 1 2 ) 在( 1 , 3 1 2 ) 式中取妒= 石一，可得f oi 少f 以0 一) ”d t 0 由于矽i ，2 ( z 一) ，s 0 ，所以。三z + 及 厂1 l z ”p 一2 ，矿疵s ( 仨一g ) f z a ( t ) 矿一l 妒出，如佴学一，妒o ， 由引理( 1 2 4 ) 知z 兰0 矛盾 以下同定理( 1 3 1 ) 的第二步可知 ) 在孵护中有收敛子列，从而j 满 足p s 条件 第三步，证在个小球上，有正下界 取言 0 ，使得站+ 0 ，使得疗一 a ，当 忱 0 时雕，牡) ( 疗一e ) a ( t ) 矿1 一g 口( t ) ，f ( t ，i 1 j o - 一e ) 口( t ) 矿一 c o ( t ) 0 ，可得 j ( t 妒) = 三t 。) z 1 i c ( t 3 1 ，蹴一f 0 1 f ( t 和( 枷出 尹l i 妒卜j c f ( 。，和( t ) 膨 s 三f8 妒i i ，一三p ( 疗一。z 1 可口( 力矿出+ 口z 1 5 口( 力出 曲阜师范大学硕士学位论文 选取j 和充分大的t ，使得 f l - 8 i i 妒i i 一( 疗一e ) o ( t ) 矿出 0 ， ；p 妒i i ，一( 疗一s ) z 1 一口( 矿矧+ g z l 4 口( 句d t 。 定义c 2 爨；。哿】，( ，y ( 。) ) ，其中r = ，yi ，y c ( 【o 1 】，孵一) ，y ( o ) = 以7 ( 1 ) = 孔，) ，由山路引理，c o 是_ r 的临界值，从而，有临界点u 满足i ( u ) = c u 是方程( 1 1 1 ) 的古典正解 第二章非线性项含未知函数一阶导数的p l a p l a c i a n 方 程的正解 2 1 引言 考虑p - l a p l a c i a n 算子型奇异非线性边值问题 ( i 纬( o ) ) ) ，+ o ) ，( 舌，z ) 一o ) ) = 0 o 。 1 记( 如) _ 1 m ) = 如( t ) ， ；1 + ；= k 文献【2 1 对非线性项，不含未知函数的一阶导数的边值问题 ( 如( 伽o ”) ，+ ( 亡) ，o ，硼( 磅) ；o o 1 ( 2 1 ，2 ) 【叫( o ) 一g t ( w ( o ) ) = 0 ，w ( i ) q - 9 2 ( w ( 1 ) ) = 0 两个正解的存在性进行了研究，得到了如下定理； 定理( 见文 2 】中定理3 1 ) 假设 ( q ) 砌g ( 【0 ，+ o o ) ，i o ，+ o o ) ) ，j = l ，2 且 1 嘧p 鹳一- l t i m m s 。u p p 一2 ( 1 _ _ _ a ) ( c ) b ( 【o ，1 】，i o ，+ o o 】) ，j = 1 ，2 ( 仍) 存在0 c l5 饧，0 伽 ( b m ) 一 曲阜师范大学硕士学位论文 则边值问题( 2 1 2 ) 至少存在两个正解 本章对非线性项f 含有未知函数的一阶导数的边值问题( 2 1 1 ) 进行研究， 利用锥上的不动点定理，得到了其存在个或者多个正解的充分条件 2 2 预备知识 设e = g ( 【o ，1 】，冗) 是个b 勰a c h 空间，其范数定义为0 妒1 1 2d m 。刚a xi 妒( t ) “ 令k = 扛elz 是 o i1 1 上所有非负凹函数) 这里f o ，1 】上的凹函数。是 按下述方式定义的，对l ，如，r 【0 ，1 】， $ ( 7 t 2 + ( 1 一r ) t 1 ) 佗( t 2 ) + ( 1 一下) 茁( t 1 ) ， 显然，k 是c o ，1 】上的锥，且对忱k ，毒0 ) - i iz0g ( 亡) ，05t 1 ，其中 g ( t ) 2 r a i 、n 。 t ，1 一班o t 1 假设 ( f 1 ) ，是定义在e 上的非负连续泛函； 、 ( f 2 ) g l ，仍是定义在( 一，+ o o ) 上的j b 减连续奇函数，满足 m 缸k 华，器芈) ； ( f 3 ) _ i l ( t ) 是定义在( 0 ，1 ) 上的非负连续函数，允许 ( t ) 在t = 0 ，1 点具 有奇性，存在亡o ( 0 ，1 ) ，使得h ( t o ) 0 ，且满足詹 ( t ) 班 由( f s ) 知存在0 f f 7 1 使得0 露 ( t ) d t o 为叙述方便，我们再引入下列记号和条件( 下面的d 0 是实数) ： m 觚扣j i m s u pm a x s 哪u p t e u , l j 帮i i ；u 训+- e 冠v 。 幽，o 刮妇i n f 吲r a i n ，m i n 丑f 01 掣； o - + o t i i 口h 儿p 一肛h m s u p 。m a xs u 朗p u - - - ，+ e o踹；c i ”，叫f e 尼i l i i ， 删n 厶一i n f r a i n 帅i 酿z f f 铲帮 口- + + e 1 0 1 l 兄仳p j ( 吼) 对任何固定的t o ，1 j 辄 o ，+ o o ) ，：有s u p ( t ，t ，) + o 。 口r f9 1 ( 九妒 ( 仳) 弛 一) 砒】) m ，一二辫凇：讨一 0 巾) 】； 【 + 正1 如l 层。) ) ， ，为。7 ) 如1 幽，t p ( z ) ，1 】 巾，= ：嘲嚣 硎钮( 九胁r 删州) 叫) + 小价下) ，( 俐( r ) ) d r l d s 胚川； 勿( t ) - - 9 2 ( 如r 珩脚) ) 司) + z 1 如r ) ，( 俐删叫d s ，吣 1 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 对任意z 西( 西g ) 印) 在( 0 , 1 ) 上是连续非增的且( 圣z ) ( 仃( z ) ) = o ； ( 3 ) 圣在k 中的不动点是边值问题( 2 1 1 ) 的解 由引理( 2 2 1 ) 的( 1 ) 和( 2 ) ，我们有，若z 耳，则由是【o ，1 】上的非负 凹函数且 i i 圣。1 1 2o m 、。a 、x ( 圣z ) o ) = ( 圣z ) ( 盯( 茹) ) 本章定理的证昵匿要用到下面的引理， 引理2 2 2 s l ( 范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理) 设e 是b a n a c h 空间，尸是e 中的锥，设q l ，q 2 是e 中有界开集，而且0 q l ，_ 1cq 2 ，a ： p n ( 殇1 ) - p 金连续如果满足下列两个条件之一， ( i ) i | a xi j 0z v 窖p n a q l ；f l 圣。0 0zi i ，v z k 1 3 a q 2 ； ( i i ) 0a z0 l | z v z p n a 匾b ；| i 垂函0 | iz 玑锰k n a q l 那么五在pn ( - 2 q 1 ) 中必具有个不动点 记 2 3 主要定理 吼= 伽g 卜l l j ：f i zh ( b ) p ，m a x 厶 0 ，使得当t e ，0s i lt | i p l 时，有 ( t ，口) ( ai it 咿 0 垂zi i = ( 圣z ) ( 口( z ) ) = 玑( 妒。m 4 c u ，c ，z c 廿，z 7 c u ，d q ) + 厂如旷m 叩州叫幽 鲰0n 彬“m 加协) ) 叫) + 九【( i ( h ) ，( 缸，z ( 峨一( ) d 刁幽 郫+ 1 ) ( 如队彬“刊删) 叫) 刘叫刨圳0 1 m ，叫) 因此k n 加。，有0 西z i i - - - i i g 由m i a z ， ( b ) _ 1 知对咖r ，j 砌 m ，使得 f c t ，u ，t ，) ( bl l ul i ) p 对。k ，i iz0 = j 口2 ，根据圣的定义，我们考虑下列三种情况t 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i ) 如果盯( 弘) 碡，啊，那么对比f k ，有 z “九i 州“ ( u ) ，( ，茹( ) ，一( “) ) 砒i 出 + f a , i f ，。，讹) m “u ) ，州) 叫如 z 4 扛。l 4 。 ( ) ，( u ，z ( 让) ，一( u ) ) d ul c b + 詹a 阪) m ) ，( 舭似) ) d u d o 。叫 b 町l 圳z 州“九i ，巾 c u ，咖l 如 + 乞，如圪m ) d u d s 2 a 9 1 c r o m = 2 伽= 20 z ( i i ) 如果仃( z ) 【o ，目，那么对v 。q 阳，有 0 垂z0 = ( 雪z ) ( 盯( z ) ) f ，l 时如 z ：， ( u ) ，( “，z ( u ) ，z ( u ) ) d u d s z ”。m 5 ( 让) ，m ，z ( u ) ，z 7 ( u ) ) d u d s ( 3 2 ) w i l f 如盱u ) d u d s = b a 9 1l i 。a ( f ) 2 町1 c r o 砌= 2 p 2 砌= i i 岳i i 1 7 第二章非线性含未知函数一阶导数的p l a p l a c i a n 方程的解 ( i i i ) 如果a ( x ) h ，1 】，那么对v $ q 舶，由( 2 1 ) 式，有 0 西z i l = ( 西z ) ( 仃( z ) ) 广如旷m 叩叫幽 2 小胁彬m n u ) ) d q d s 刎圳如旷m ) 小 。删 = b 石10zi la ( ，7 ) 2 a ( 1 印比 = 2 p 2 m - - i iz0 因此，无论哪一种情况，坛kna q 。都有i i 西zi i 0 岔i i 由引理 ( 2 1 2 ) 知，圣有个不动点z k n ( r k q p 。) 满足0 p 1 i i 卫i | m 假设条件( h 2 ) 成立，则由m a x f o 0 ，使 得当e ，0 n 时，有 y ( t ，t l ，t ，) ( ：al it i i ) 9 一1 选择优满足 以 2 ( d + 1 ) m a x p - 1 ( t ，t ，t ，) ：0 - - - i ft 0 ) 幽f ( t ) 酬 1 8 曲阜师范大学硕士学位旌! ：! 塞 蚤霪= ( 蚤砖 莎霉) ) 划；_ 旷删郴，司) + z 州“幽m 一 ( 弛，霉硝妨) 叫幽 s ，( 母q f 0 1h ( 田，( u ，霉，( 钍) ) 叫) + 九 f 1 扣) ， ，喾( 珏) ，一。) ) 如l 凼 n ( 髓) ，以，霉o ) ，一( “) ) 如十j f l l 别l _ n ) ，( t ，髫o ) ，一( t ) ) 幽j o 泣十1 ) 到a 嚣i i $ f q l h 司 g + 1 ) m a x f 卜；敬霉，硝：8 - i j 髓l 墨 壤l f l 鑫蝴q s 秘十1 ) 鲁l | 掣| | 欢f o 珏) 叫+ ；融 扣gu + ；m 冬m w 1 因此帆kna n 瑚有i i 圣霉ij - - ( b r l ； ( 巩) 存在爷l 0 ，对抛：0 n 口i l 蕊a ，有，弛, ) ( 却1 ) ，- 1 受f 边值问题( 2 1 1 ) 至步有两个芷解 第= 章非线性含未知函数一阶导数的p - l a p l a c i a n 方程的解 证由( h 3 ) 知，存在0 r 1 i2m v x k n a q 同样，由( h 3 ) 知，存在r p l ，使得当l i 缸| 1 r 时，我们有f ( t ，u ，t ，) ( 占j | 妒j i ) p ，从而仿( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 的推导可得 0 圣茁捡冗= 0z 扎 因此比k n a q 冠，有f | 锄险0 写m 由( h 4 ) 知，忱k n a 。，有 0 圣。0 = ( 圣茹) ( 盯0 ) ) = 吼0 a 比9 c u ，c z c ，一c u ，叫) + 厂如4 c f f i ) h m 血蝴，叫幽 鲕0m 1 ，“。，一) 叫) + 如泓彬小( ) 叫幽 烈+ 1 ) m 1 川m 州蛾以奶叫) 球删却t ( 如叫) - - p t = 0z l i 由引理( 2 1 2 ) 知，西有两个不动点茹l ，勋，其中岳l kn ( 蕊。n ，) ，现 k n ( 孬r n 。，) ， 2 0 曲阜师范大学硕士学位论文 即o 0z li i p 1 0 ，v t ( o ，1 ) t = l ，2 则3 ：1 ，z 2 是边值问题( 2 1 1 ) 的两个正解，且满足0 0x li i p 1 0x 2 i 定理2 2 3 假设( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 成立，如果满足下列条件 ( h 8 ) 惚h n s u p 。器 舻- - 1 l i 川r a 。s + u 。p 等 0 ，对v 妒：g o p 2 - 1 记( 如) _ 1 = 如( 牡) ，；1 + i 1 = l 文献( 5 j 对具有下述边值条件的p - l a p l a c i a n 算子型泛函微分方程 i ( 如( 矿( t ) ) ) ”一r ( t ) ，( 轨) 一0 ，0 t 1 ， iv ( t ) = p ( d ，一r t 0 ，v ( o ) = y ( 1 ) = 矿( o ) = 掣”( 1 ) 正解的存在性进行了研究，得到了容易验证的充分条件本文对具有非线性边值 条件的p - l s p l s c l a n 算子型泛函微分方程的奇异边值问题( 3 ，1 1 ) 进行研究， 利用锥上的不动点定理，得到其存在个或者多个正解的充分条件 令 3 2 预备知识 设e = c ( - r ，o 】，目是b a n a c h 空间，其范数定义为0 妒h 。= s u pf 妒p ) 一r 日 o 矿= 妒e ：妒( 0 o ，f 【一l0 】) ； g = 弘 o ，1 】，0 t + 口1 ，一r 口o ) = p ，l 】 曲阜师范大学硕士学位论文 假设 ( h - ) ，是定义在e + 上的非负连续泛函； ( h 2 ) g l ，9 2 是定义在( 一，+ o 。) 上的非减连续奇函数，满足 m a x s u 。p 华，s 啪u p9 2 。( 1 ) ) o o ； ( h 3 ) ( t ) 是定义在( 0 ，1 ) 上的非负连续函数，允许危( t ) 在t = 0 ，1 点具 有奇性，存在t o ( 0 ，1 ) ，使得h ( t o ) 0 ，且满足詹h ( t ) d t 0 0 由( h 3 ) 知存在0 亭 7 1 ，使得0 鬈h ( t ) d t 0 定义3 2 1 称函数( t ) 是边值问题( 3 1 1 ) 的个解，如果它满足以下 条件t ( 1 ) g 【一t 0 1 ； ( 2 ) ( 如( t ) ) ) + h ( o f ( y , ) = o ； ( 3 ) z ，( t ) = p ( t ) ，t 【- - t ，o 】；( 如( 矿( t ) ) ) + 危( t ) ，( 玑) = o ； ( 4 ) y ( o ) 一夕1 ( ( o ) ) = 0 = y ( 1 ) + 夕2 ( 矿( 1 ) ) 更进一步，如果一个解( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，则称( t ) 为正解 容易验证，边值问题( 3 1 1 ) 等价于下面的积分方程- 9 ( t ) = m ( 如) 叫) + 詹九i r 。 ( t ) ，) 如i 如， 啦( 如 筘们 ( u ) ，( 钆) 砒】) + 口如l h ( u ) ( y ) d u i 幽， 0 ， t 【o ，盯( 可) 】； t p ( ) ，1 】； t 【一r ，o 】 第三章一维p - l a p l a c i a n 泛函微分方程奇异边值问题的正解 嘶，= r 浆爱 否则盯( ! ，) 是方程z d t ) 一勿( t ) = 0 的唯解，其中 州力= 9 ( 妒。比咐* ) 叫) + z 如m m ) ，( * ) 叫d s 。t - ； 硼h ( 九r ) ，( * ) 叫) + z 1 九价r ) f ( y ) d r d s ，0 令 仲，= 芝魏 则妒( t ) 是边值问题( 3 1 1 ) 当，三0 时的解设y ( t ) 是边值问题( 3 1 1 ) 的一 个解，令z f t l = f 一砂f t l ，则 z ( t ) = ：舷 嚣掣h ( u ) ，( f ( 巩x u 美御d s ，。吨删；+ 露如l r 妇)+ 也) d u l ，t 【o ，口( ! ) 】； 啦( 如 岛) ( u ) m ”+ 札) 也】) ( 3 2 2 ) + 片如l 层，) ( u ) ，( 茹u + 仉) 砒id s ，t p ( 可) ，1 1 ； 0 ，t 一一0 1 取定盯( m a x 字，i ，1 ) 满足妒( t ) = o ，t g 。，其中 g ，= 0 g ：1 一盯t + 口玛一丁口o ) = 【1 一盯+ 下，卅 e 。= 妒e + ：0 a o0 妒i i c - i iy0 口( ) ，一r t 1 其中 m ，= 州k 芝畚 在条件( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 下，定义算子圣：k _ + c - v ，1 】如下， ( 西g ) ( t ) = g tb 哆。 ( u ) m 。+ 钆) 叫) + 片如i r 妇 ( u ) ，( + 九) 如id s ，t 0 ，盯( z ) 】； 卯( 妒。【驻们 ( “) ，+ 钆) 叫) + f 如l 层们九( u ) ，( z ”+ 讥) 叫d s ，t p ( ) ，1 1 ； 0 ， t 一下，o 】 由k 的定义，有圣( k ) c k 设z k ，易知在假设( h i ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 下， y = z + 妒是边值问题( 3 1 1 ) 的解当且仅当西z = 。 引理8 2