（金融学专业论文）利率衍生产品定价的影响因素研究.pdf

摘要 摘要 利率衍生品占全球金融衍生产品的大部分，我国2 0 0 5 年起也逐渐推出了 一些银行间利率衍生品，3 年多来发展迅速。研究利率衍生品的定价是金融研 究中最具有挑战性的课题之一，利率具有复杂的随机行为，均值回复且不可 直接交易，这意味着利率衍生品的定价复杂程度远远超过其他种类的衍生产 品。利率衍生品定价的基本方法有数值法和偏微分方程法两种，数值法分为 树图法、蒙特卡罗模拟法和差分法三种。偏微分方程法根据标的资产和衍生 品各自的特点建立不同的偏微分方程，根据不同的边界条件求解，当然很多 偏微分方程求解析解有相当的难度，可以求助于数值方法。 传统的利率衍生品定价是基于b l a c k - s c h o l e s 公式，但是这个公式把利 率和资产价格波动率设为常数，不符合利率的运动特征。由此发展出了一系 列关于利率期限结构的模型和波动率模型。目i j l 有众多类型的期限结构模型 来解释利率的动态过程，大体上分为均衡模型和无套利定价模型两类。均衡 模型中，初始期限结构是模型的一个输入，在无套利模型中，它是模型的一 个输出。期限结构模型是从特定的经济条件假设下的均衡的动态结果，但因 为其参数是用历史数据估计得出的，可能与实际中的真实期限结构不匹配； 无套利模型的优点是能精确地与现实期限结构相符合。这两大类模型中的单 因素模型容易分析以及使用方便，但其缺陷是很难拟合观测到的收益曲线以 及利率波动。多因素模型能够较好的弥补单因素模型的缺陷，但通常很难求 解。各模型均有优缺点，可根据实际情况选择模型。波动率是b s 公式中唯 一不能直接观察到的变量，一般通过历史波动率或隐含波动率求取。针对b - s 公式波动率为常数的不足，有两个办法改善：一是丌发更复杂的模型比如随 机波动率模型，二是交易人员在b s 公式上开发出来的一些校正波动率的技 巧，利用波动率与执行价格和有效期限的关系进行校正。 本文介绍了我国几种已有的利率衍生品的定价公式，包括可转换债券、 利牢衍生产品定价的影响凼素研究 利率互换、远期利率协议、远期债券。分析了我国这几种利率衍生品的市场 发展情况，指出了它们在市场交易中都存在价格失准的现象。针对基准利率 在利率衍生品定价中的重要作用，本文比较了我国的几种主要利率：一年期 定期存款利率、国债现货和国债回购利率、s h i b o r 利率是否符合基准利率的 要求。最后总结了我国利率衍生品定价存在基准利率建设有缺陷、交易主体 同质性强、信用体系缺失、市场机制存在弊端等市场方面的影响因素。 关键词：利率衍生品利率期限结构波动率 2 a b s t r a c t i n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e si nt h eg l o b a lf i n a n c ia ld e r i v a t i v e sa c c o u n tf o rm o s to f o u rc o u n t r ys i n c e2 0 0 5h a sg r a d u a l l yi n t r o d u c e dan u m b e ro fi n t e r b a n ki n t e r e s t r a t ed e r i v a t i v e s ，3y e a r sd e v e l o p e dr a p i d l y r e s e a r c hi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e s p r i c i n gi saf i n a n c i a ls t u d yo ft h em o s tc h a l l e n g i n go n eo ft h et o p i c st h a ti n t e r e s t r a t e sh a v eac o m p l e xr a n d o ma c t so fm e a n r e v e r s i o na n dc a nn o td e a ld i r e c t l y , w h i c hm e a n st h a tt h ei n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e sp r i c i n gc o m p l e x i t yt h a no t h e r t y p e s o fd e r i v a t i v e sp r o d u c t s i n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e sp r i c i n gt h eb a s i cm e t h o d so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dn u m e r i c a lm e t h o da r ed i v i d e di n t on u m e r i c a l m e t h o d st r e em e t h o d ，m o n t ec a r l os i m u l a t i o na n dd i f f e r e n c eo ft h r e e a c c o r d i n g t ot h el a wo nt h es u b j e c to fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa s s e t sa n dd e r i v a t i v e st o b u i l dt h e i ro w nd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a c c o r d i n g t ot h ed i f f e r e n tc o n d i t i o n sf o rs o l v i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n a l y t i c a ls o l u t i o n y o uc a nr e s o r tt on u m e r i c a lm e t h o d s t h eb o r d e r , o fc o u r s e ，al o to fp a r t i a l f o rac o n s i d e r a b l ed e g r e eo fd i f f i c u l t y , t r a d i t i o n a li n t e r e s t r a t ed e r i v a t i v e s p r i c i n g i s b a s e do nt h e b l a c k s c h o l e sf o r m u l a b u tt h ef o r m u l at oi n t e r e s tr a t e sa n da s s e tp r i c e v o l a t i l i t ya sc o n s t a n t ，i n t e r e s tr a t e sd on o tm e e tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h em o v e m e n t t h i sl e a d st oas e r i e so fi n t e r e s tr a t eo nt h et e r ms t r u c t u r eo fv o l a t i l i t ym o d e l sa n d m o d e l t h e r ea r em a n yt y p e so fm o d e l st oe x p l a i nt h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s t r a t e s ，d y n a m i cp r o c e s s ，i sd i v i d e di n t og e n e r a le q u i l i b r i u mm o d e la n d t w ot y p e so f a r b i t r a g ep r i c i n gm o d e l e q u i l i b r i u mm o d e l ，t h ei n i t i a lt e r ms t r u c t u r ei sam o d e io f i n p u ti nt h en o a r b i t r a g em o d e l ，i ti sam o d e lo ft h eo u t p u t n o a r b i t r a g em o d e lh a s t h ea d v a n t a g eo fr e a l i t ya n db ea b l et oa c c u r a t e l ym a t c ht h et e r ms t r u c t u r e t h e s e t w ot y p e so fs i n g l e f a c t o rm o d e lo ft h em o d e la n a l y s i s ，a n de a s yt o u s e ，b u ti t s d e f e c ti sv e r yd i m c u l tt of i tt h eo b s e r v e dy i e l dc u r v e a sw e l la sf l u c t u a t i o n si n i n t e r e s tr a t e s m u l t i - f a c t o rm o d e lb e t t e ra b l et om a k e u pf o r t h es i n g l e f a c t o rm o d e l o ft h ed e f e c t ，b u ti so f t e nd i f f i c u l tt o s o l v e t h em o d e lh a sa d v a n t a g e sa n d r e s e a r c ho nf a c t o r so fi n t r e s tr a t ed e r i v a t i v e sp r i c i n g d i s a d v a n t a g e s ，a c c o r d i n gt ot h ea c t u a ls i t u a t i o nm a yc h o o s et om o d e l v o l a t i l i t y 0 fb sf o r m u l ac a nn o tb ed i r e c t l yo b s e r v e d t h r o u g ht h eg e n e r a lh i s t o r yo f v o l a t i l i t yo ri m p l i e dv o l a t i l i t y s t r i k e b sf o r m u l af o rf l u c t u a t i o n si nt h er a t e c o n s t a n tf o r t h el a c ko fi m p r o v e m e n ti nt w ow a y s ：f i r s t ，t h ed e v e l o p m e n to fm o r e s o p h i s t i c a t e dm o d e l ss u c ha ss t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ，a n dt h eo t h e ri st r a d i n gi n t h eb sf o r m u l ad e v e l o p e do ns o m eo ft h ev o l a t i l i t yo ft h ec o r r e c t i o nt e c h n i q u e s ， t h eu s eo fv o l a t i l i t ya n dt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ep r i c ea n dd u r a t i o no ft h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o r r e c t i o n i nt h i sp a p e r , s e v e r a lo fo u re x i s t i n gi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e sp r i c i n gf o r m u l a ， i n c l u d i n gc o n v e r t i b l eb o n d s ，t h ei n t e r e s t r a t es w a p ，f o r w a r dr a t ea g r e e m e n t s ， l o n g t e r mb o n d s a n a l y s i so fc h i n a st h e s et y p e so fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e sm a r k e t d e v e l o p m e n t s ，p o i n t i n go u tt h a tt h e i rt r a n s a c t i o n sa r ei nt h em a r k e tp r i c eo ft h e e x i s t e n c eo fi n a c c u r a c y b e n c h m a r ki n t e r e s tr a t e si nr e s p o n s et oi n t e r e s tr a t e d e r i v a t i v e sp r i c i n gi nt h ei m p o r t a n tr o l eo ft h i sa r t i c l ec o m p a r e dt h en u m b e ro f c h i n a sm a i ni n t e r e s tr a t e ：o n e y e a rt i m ed e p o s i ti n t e r e s tr a t e s ，g o v e r n m e n tb o n d s a n dt r e a s u r ys t o c kr e p u r c h a s er a t e ，s h i b o ri n t e r e s tr a t e si nl i n ew i t ht h eb e n c h m a r k i n t e r e s tr a t e f i n a l l y , s u m m e du pc h i n a si n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e sp r i c i n g b e n c h m a r ki n t e r e s tr a t e st h e r ea r ec o n s t r u c t i o nd e f e c t s ，t h e s t r o n gh o m o g e n e i t y o ft h e t r a d i n gp a r t s ，a n dl a c ko fc r e d i ts y s t e m ，m a r k e tm e c h a n i s m s ，s u c ha st h e e x i s t e n c eo f t h ed e f e c t so fm a r k e tf a c t o r s k e y w o r d s ：i n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e s t e r ms t r u c t u r e v o l a t i l i t y 2 西南财经大学 学位论文原创性及知识产权声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。因本学位论文引起的法律结果完全由本人承担。 本学位论文成果归西南财经大学所有。 特此声明 学位申请人：谢镇 2 0 0 8 年1 2 月8 日 l 导论 1 1 研究目的和意义 1 导论 1 、利率衍生证券是金融衍生证券交易中的主要品种，无论是交易所交易 还是o t c 交易，利率衍生证券的名义数量占到总数量的6 0 7 0 ，成交金额占 到总余额的j 0 一6 0 ( 如图1 ) ，因此研究利率甜生证券的意义重大。利率具 有复杂的随机行为，不可直接交易，动态复制更为复杂，从而利率衍生证券 的定价比股票衍生证券等其它衍斗证券可竹杂。我国发展利率衍生产品对于 麻对全球经济、金融的一体化，加入w t o 扁、t 融市场及其它市场的逐步开放， 公司、企业、金融机构以及个人的风险管理及投资需求，融资方法的需求等 都体现出了必要性。 昌置嗣勇嗣_ 一 目柬源：e l s ( b n n kf o ri n t e r n a t i o n a is e t t e 畔n t s ) 困w 礴算镕扦 利率衍生产品定价的影响因素研究 2 、2 0 0 5 年以来，我国先后推出了债券远期、利率互换，人民币远期利率 协议等利率衍生交易，从无到有，交易量迅速增大，发展势头良好( 如图2 ) 。 因此研究利率衍生工具定价对于我国健全和完善金融市场，为参与各方更好 利用转移方法管理利率风险的工具具有重要意义。在利率市场化改革稳步推 进，债券市场等各类金融市场迅速发展的形势下，商业银行，保险公司，投 资基金等金融机构以及众多非金融企业所面临的利率风险日益加大，由此滋 生出巨大的利率风险管理需求。虽然对利率风险进行管理可以有多种方法， 但国外大量实践经验表明，利用利率衍生工具进行风险转移是利率风险管理 各种方法效率最高也是最灵活的一种，这也是利率衍生产品持续发展的根本 动力所在。我国推出的这些利率衍生产品交易为参与各方提供通过管理利率 风险的工具，进一步丰富了金融市场价格发现功能和避险功能。 图2我国利率衍生品交易表 债券远期利率互换远期利率协议 金额 名义本金额名义本金额 交易笔敛交易笔数 交易笔数 ( 亿元) ( 亿元)( 亿元) 2 0 0 5q -1 0 81 7 7 9 9 _ _ 2 0 0 6 钲3 9 86 6 4 4 61 0 3 。3 5 5 7 _ 2 0 0 7 年1 2 3 82 5 1 8 0 91 9 7 82 1 8 6 91 | l1 0 5 2 0 0 8 年第季度4 4 i1 5 1 2 7 25 9 18 3 7 1 6 2 41 4 1 2 0 0 8 年第：季度 3 1 31 2 0 8 3 29 4 41 2 6 5 9 3 1 43 4 5 总计 2 4 9 86 0 8 1 5 83 6 1 64 6 4 5 6 9b 25 9 1 数据采源：中国外汇交易中心。 3 、在没有利率衍生产品的情况下，为了管理利率风险，国内机构投资者 常用的措施有：资产与负债相匹配；出售长期债将债券资产的久期不断缩小； 调整固定利率债券和浮动利率债券的比例，加大浮动利率债的比重；不再买 入长期固定债券，等等。而根据国外的成功经验，有效的利率风险管理工具 主要有：远期利率协议、利率互换、利率期货、利率期权等利率衍生产品。 这些工具最基本的功能在于对未来利率的波动进行保险。远剪! 刊率协议、利 率期货、利率期权等主要用于管理短期利率波动的风险；而利率互换、利率 期权主要用于管理长期利率波动的风险。目前我国已推出债券远期、利率互 2 1 导论 换、远期利率协议。利用利率衍生品管理利率风险，将会比传统方法更主动、 更方便。利率衍生品对市场各主体有如下的意义： ( 1 ) 增强商业银行管理利率风险的有2 j ，对冲商业银行未来的利率风 险。随着我国利率市场化程度的推逆：育业银行西；：i 缶着更大的利率波动，若 商业银行利用利率衍生古由，锁定未来朵一时刻的利率，就可以通过利率衍生 品套期保值，比变动现券的头寸来得方便和成本较低。 ( 2 ) 帮助企业规避利率风险，增加商业银行的中间业务收入。随着利 率市场化改革，存贷款利率会逐步市场化，企业客户对利率衍生品的需求也 会大大增加。比如一家企业预期未来个月内将借款而该企业担心未来个月内 市场利率上升，为了规避这种潜在的利率风险，企业可以向银行购买利率衍 生品，锁定未来的借款成本，而银行通常会向企业收取一定的佣金。 ( 3 ) 商业银行和企业可以根据判断未来利率的走势，运用利率衍生品 来盈利。商业银行和企业一样，也有追逐彳j 润的驱动，基于对未来利率走势 的预期，商业银行和企业可以应用灵活的利率衍生品来盈利。比如预期未来 利率上升，商业银行可以买人远期利率协议，利率期货期权等等。 ( 4 ) 有利于促进市场的价格发现，为中央银行的货币政策操作提供参考。 各种利率衍生品交易所达成的利率水平集中体现了来自套期保值、套利、投 机等各方面的需求，是各种市场信息和对未来预期的综合反映，有助于促进 市场的价格发现，其价格水平的变动可以为中央银行的货币政策操作提供重 要的参考。 1 2 利率衍生产品的概念及其主要种类 利率衍生产品是金融衍生产品之一，它是指其收益在一定程度上取决于 利率水平的金融衍生工具。若按照标的变量的不同，可将利率衍生产品分为 两类：一类是收益仅与利率水平相关的金融品种，如：远期利率协议( f o r w a r d r a t ea g r e e m e n t f r a ) 、利率互换( 利率掉期i n t e r e s tr a t es w a p ) 、利率上 限( i n t e r e s tr a t ec a p s ) 、利率下限( i n t e r e s tr a t ef l o o r s ) 以及利率上 下限( i n t e r e s tr a t ec o l l a r s ) 等。另一类是收益取决于利率水平和标的资 产的含权利率衍生品，如：债券期权( b o n do p t i o n ) 、可转换债券( c o n v e r t i b l e 利率衍生产品定价的影响岗素研究 b o n d s ) 、可赎回债券，以及互换期权( s w a po p t i o n ) 等。主要的利率衍生品 如下： ( 1 ) 远期利率协议：是一种远期合约，买卖双方约定将来一定时间的协 定利率和参考利率，在清算同根据所约定的期限和名义本金金额，由交易的 一方向另一方支付协定利率和参考利率利息差额的现值。其主要特点是：在 交割时，不需要实际支付本金，用l i b o r 将利率协议期第一天确定的利率与 该同前两个营业同时的l i b o r 之间的利息差额贴现为现值，然后据此进行交 割。 ( 2 ) 利率互换：是双方订立的，在一定时间后进行的支付协定。协定中 所支付的金额是依据一定的利率和一定量的本金来计算的。在标准的利率互 换中，一方依据浮动利率指数( 如l i b o r ) 计算支付的金额，而另一方则依据 固定利率( 票面息率互换) 或是另一种浮动利率指数( 基差互换) 确定支付 金额。利率互换的特点是双方支付的是同一种货币，仅向各自支付不同利率 水平确定的利息，而不发生本金的交换。 ( 3 ) 利率上限：是一种期权协议，按照此协议，如果在合约存续期i 自j 双 方所协定的某一利率指标( 如l i b o r ) 超过约定利率，那么利率上限的卖方同 意向买方支付两个利率的差价。利率上限的特点是，它能够使得资金借入者 在利率超过约定利率时将融资成本锁定为约定利率，而当利率低于约定利率 时，能够享受到低利率的好处。利率上限的实质是一系列基于某种利率指数 基础上的欧式买入期权的总和。 ( 4 ) 利率下限：是一种期权协议，按照此协议，如果在合约存续期间双 方所协定的某一利率指标( 如l i b o r ) 低于约定利率，那么利率下限的卖方同 意向买方支付两个利率的差价。利率下限可以为投资者消除短期利率下跌的 风险。其实质是一系列基于某种利率指数基础上欧式卖出期权的总和。 ( 5 ) 利率上下限：也被称为利率领式合约，它由利率上限和利率下限组 合而成。在买入一个利率上限的同时卖出一个利率下限，用出售利率下限的 收益来全部或部分冲消买入利率上限的成本。对于资金借入者而言，利率领 式合约与利率上限相似，能够防止因为利率上升而带来的损失。与此同时， 对于利率领式合约的持有者而言，利率领式合约把由于利率下降而可能获得 的最大收益限定在下限的水平上。此外，还有利率廊式合约，它是指同时买 4 1 导论 入和卖出约定利率不同的两份利率上限合约。两个不同的约定利率之间的差 值就相当于“走廊”区间，故而称为利率廊式合约。反向的利率领式合约， 它是指出售一个利率上限的同时买入一个利率下限。该合约对于认为未来短 期利率将下降的投资者具有吸引力。阶梯式利率上限合约，它是指有多个约 定利率的利率上限期权合约。 ( 6 ) 利率互换期权：是关于利率互换的期权。它给予持有者在未来的某 个时间，按照特定的期限和利率，进行某个利率互换的权利。与其他期权类 似，利率互换期权也可以分为买入期权和卖出期权。按能否提前执行，又可 分为美式利率互换期权和欧式利率互换期权。 ( 7 ) 债券期权：是指给予持有者在该期权到期日或到期日前的任何时间， 以固定价格( 执行价格) 购入( 买入期权) 或卖出( 卖出期权) 特定债券的 权利。债券期权是基于长期利率基础上的期权，其标的债券常常是政府债券。 投资者可以利用债券期权将其利率风险进行重新组合包装和分配，从而无需 出售债券就可以改变自身的利率风险暴露情况。 ( 8 ) 可转换债券：是指发行人依照有关法定程序发行的、在一定期间内 依据所约定的条件可以转换为公司股份的债券。可转换债券允许债券持有人 在一定时间内，按照事先确定的价格将其所持有的债券转换为公司股票。如 果债券持有人在规定的时间内没有执行转换权利，那么公司会继续按照条款 支付利息，并到期还本附息。可转换债券与一般债券相比，其最显著的特点 在于债券持有人可以将债券转换为股票。因此，可转换债券除了具有一般债 券性质之外，还兼有股票的性质。 1 3 本文研究的内容与创新之处 一本文研究内容简述如下： 1 研究利率衍生品定价的意义，利率衍生品的种类。 2 利率衍生品定价的主要工具b s 公式，以及公式中各个变量对期权价 格的影响。 3 利率衍生品定价的的两种方法：数值法和偏微分方程法。 4 b s 公式对于利率衍生品定价的不足之处，主要是从短期利率r 和波 利率衍生产品定价的影响因素研究 动率0 认为是不变的常数两个重大缺陷提出后续各种改进模型。 5 介绍了各种动态利率期限结构模型，各自的优缺点和运用。 6 介绍了波动率的计算和校正。 7 我国几种己推出的利率衍生品的理论价格、市场交易和定价方面存在 的问题。 8 我国的基准利率情况，重点比较了国债回购利率和s h i b o r 。 9 总结影响我国利率衍生品定价的市场因素和提出政策建议。 二创新之处： 本文把利率衍生品定价的数学推导和我国利率衍生品市场的发展状况相 结合，不仅从数学公式上、理论上，而且从现实状况上说明我国利率衍生品 定价的诸多实际影响因素。 6 2 利率衍生品定价的一般理论 2 利率衍生品定价的一般理论 2 1 利率衍生产品的基本定价模型：b l a c k s c h o l e s 模型 目前为止，大多数的利率衍生产品的定价问题都是在b l a c k - s c h o l e s 的框 架下进行的，并在实际应用中证实了它的实用价值。其中，期权定价问题是中 心问题，它的定价模型和结果可以直接的或者稍加改造就可以应用到很多其 他的利率衍生品上。因此，分析利率衍生品定价的影响因素很大程度上也是 针对b - s 模型来分析。 ( 1 ) 传统的定价方法不考虑债券价格运动的特殊性，简单的应用布莱克 一斯科尔斯( b l a c k s c h o l e s ) 公式对债券期权进行定价，或者把它转化为期货 期权，利用布莱克( b l a c k ) 推广的期货期权定价公式进行定价。b - s 公式实际上 就是求得的满足b s 期权定价偏微分方程的解析解。 b l a c k s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 模型 用于估价纯折现债券期权的最简单的模型是b l a c k - s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 模 型，他们认为债券价格服从对数正态分布，从而对其进行建模。b l a c k - s c h o l e s 模型最初是作为对股票期权进行估价而提出的，并且假定标的证券的收益率 方差是一个常数。另外，该模型还假定在时刻s 支付1 单位货币的折现债券 在时刻的净价( 也就足扣除应计利息) 为p ( 乙曲服从一个常见的几何布朗 运动，且其常数漂移为p ，方差为0 ，具体形式如下式。 d p ( t , s ) ：n a c t + c r d z p ( t ，s ) 。 出表示在较小的时间增量以内的维纳过程增量。如果在期权的有效期 内( 其到期日为t ) ，没有收到任何息票支付，则b l a c k s c h 0 1 e s 模型可以 得到执行价格为j 的欧式看涨期权和看跌期权价格的解析解，如下所示： c ( t ，t ，s ) = p ( t ，s ) n ( d 1 ) 一e - r ( t , t x t - t ) x n ( d 2 ) 7 利率衍生产品定价的影响阗素研究 dl：一ln(p(t,s)x)+(r(t,t)+0502)at，d2：atl一盯石 = 1 = ，一， 2i 一仃v l a 4 a t 其中，r ( t ，7 ) 是适用于与期权同时到期的无风险投资的当f ； 利率水平。 ( 2 ) b - s 模型中各变量对期权价格的影响 从b - s 公式可很容易推导出相关变量对期权价格的影响，即对于b - s 公 式，标的资产价格s 、执行价格x 、期权有效期& 、标的资产波动率0 、无 风险利率，= r 的变化对于期权价格c 的偏导数。西o c ，瓦o c ，面o c ，万o c ，瓦o c 。 最简化的b l a c k s c h o l e s 公式为 c = s n ( d 1 ) 一x e 一玷7 n ( d 2 ) ， dl：一ln(sx)+(r+0502)at，d2：一ln(sx)+(r-05a2)t：dl一盯石 c r 4 a t o & c 为欧式看涨期权价格，n ( ) 为标准正态分布的累积分布函数。 ( 一) 标的资产价格变动对期权价格的影响 o c 瓠= n ( d 1 ) + s n ( 删筹一。w ( 西o d 2 ( 1 ) 因为搀d l - a 叫- m ，故繁2 面a d 2 ，又( 删= 去p 们2 ， 。( 删= 去p 妒 故。( d 1 ) ：n ( d 2 ) e - i 2 口届+ 口2 “，y d 1 2 ：d 2 2 + 2 d 2 盯4 - a 7 + 口2 f 将上述等式代入( 1 ) 所以詈= ( d 1 ) 因为n ( d 1 ) 为标准正态分布的累积分布函数，大于等于0 。只要d l 0 ， 豢= n ( d 1 ) o 。说明c 与s 是正向变动关系，即标的资产价格越高，看涨期 d j 权价格越高。值得注意的是型o s = ( d 1 ) ，说明n ( d 1 ) 实际上是标的资产价 格的动态保值匹配率。 ( 二) 执行价格变动对期权价格的影响 8 2 利率衍生品定价的一般理论 对b l a c k s h o l e s 公式求c 对x 的偏导数 瓦o c 划( 州詈一n ( d 2 ) e - r ，_ x e 砌n ( d 2 ) 等2 一n ( a 2 矿珊。 故c 与x 成反向变动关系，期权执行价格越高，看涨期权价格越低。 ( 三) 期权有效期变动对期权价格的影响 嚣= x e 。出 r n ( d 2 ) + 0 5 一5 v ( 蚴】 0 故看涨期权的价格与期权有效期长短呈正向变动关系，到期时间越长， 看涨期权的价格越高。 ( 四) 标的资产波动率对期权价格的影响 _ o c ：x e 讪n ( d 2 ) 厄0 故看涨期权的价格与标的资产波动率呈正向变动关系，标的资产波动率 越大，看涨期权的价格越高。 ( 五) 无风险利率变动对期权价格的影响 箜：膨砒，t n ( a 2 ) 0 丹 故看涨期权的价格与无风险利率变动呈正向变动关系，无风险利率越大， 看涨期权的价格越高。 2 2 利率衍生产品定价的数值方法和偏微分方程( p d e ) 方法 随着利率衍生产品在金融市场中的地位和作用同益重要，如何合理而准 确地对利率衍生产品进行估值和定价已成为人们的迫切需要。但是，由于利 率行为复杂且利率受到诸多因素的影响，对利率衍生产品的估值与定价比较 困难。具体原因如下： ( 1 ) 利率的行为变动方式比股票价格的行为变动方式更加复杂。 ( 2 ) 必须具备描述整条收益率曲线的模型，即期限结构。 ( 3 ) 收益率曲线上不同的点具有不同的波动率。 ( 4 ) 利率即可用于贴现，又可用来定义衍生产品的收益状况。 在利率衍生产品定价研究中，通常假定证券市场是完备的，即市场没有 9 利率衍生产品定价的影响闪索研究 摩擦；没有交易成本和税收；交易不需要花费时间；证券的卖空数量不受限 制；买卖证券的数量可以无限小，不受任何限制。所有这些都是对实际的证 券市场的良好近似，可以使分析大大简化。实际上，完备市场的深层含义是 指市场中任何形式的资产均可由市场上的基础证券( 股票、债券) 和其衍生 产品来复制，这也表明完备市场是衍生产品定价的一个充分条件，它保证了 等价鞅测度和复制策略的存在。 利率衍生产品的常用定价方法有两种：偏微分方程法( 简称p d e 法) 和 数值方法，下面分别对这两种方法进行介绍。 一、利率衍生产品定价的数值方法 在利率衍生产品定价过程中，各种定价模型经常会出现不存在解析解的 情况，此时就应当使用数值方法来计算求解。用于利率衍生产品定价的数值 计算方法常见的有三种，分别是树图法、蒙特卡罗模拟法和有限差分法。以 下将分别探讨用三种数值计算方法对利率衍生产品进行定价的基本思想、应 用范围及其局限性。 ( 一) 树图法，又可分为二叉树和三叉树，以更常见的二叉树为例 用二叉利率树为利率衍生产品进行定价要考虑以下前提条件： 不考虑交易费用和税收； 假定所有债券收益的变化完全相关； 所有同周期证券的期望收益值都相等； 短期利率在任何时刻都服从对数正态分布。 在此前提条件下，二叉利率树定价的基本思路：首先，利用给定现行的 市场期限结构得到一个短期利率二叉树；然后，再利用所得到的短期利率二 叉树中的利率作为贴现率，采取向前滚动贴现法就可以算出各个结点的证券 价值。最后根据买权，或者卖权的执行价格，就可以求出买权或者买权的价 格。 利用二叉树法进行定价需要明确以下几个问题：在已知短期利率的情况 下，如何对利率衍生证券进行定价；在未知短期利率情况下，如何根据期限 结构来得出完整的短期利率二叉树；如何依据期限结构计算所得的短期利率 二叉树求解期权的价格。 二叉树法假定交易离散进行，尽管其有着易于计算的优点，但它是一个 l o 2 利率衍生品定价的一般理论 单因素模型( 只有一个不确定性) ，同一随机波动的因子支配所有的债券价格， 所有债券价格的回报率是完全相关的，这与实际情况不大符合。例如1 0 年期 和5 年期的回报率趋向于一起向上或向下波动，但不完全相关。 树图方法既可为欧式衍生产品定价，又可为美式衍生产品定价，而且特 别适合应用于变量具有对数正态分布的单因素利率模型的定价问题。但树图 方法的局限性在于当衍生产品收益状态是非马尔可夫型时，即依赖于状态变 量的过去历史和当前值时，应用树图方法计算会不太方便，而且在对三个以 上变量进行计算时，费时很大，效率不高。此外，在构造三叉树时，存在着 时间步长没有一个精确选择标准的技术性难题。 ( 二) 蒙特卡罗模拟方法 在对欧式衍生产品定价时，蒙特卡罗模拟法具有以下优点：其一，当有 三个或三个以上随机变量时，蒙特卡罗模拟法比其他数值分析法更有效率。 这是因为随着变量个数的增长，蒙特卡罗模拟运算时间近似为线性增长，而 其他方法的计算时间呈指数增长。其二，蒙特卡罗模拟法能给出估计值的标 准差，并适用于复杂随机过程以及复杂终值的计算。但该方法的局限性在于 它只能用于欧式衍生产品的定价而不能用于美式衍生产品的定价。 ( 三) 有限差分方法 有限差分法定价的基本思想是将利率衍生产品所满足的微分方程转化为 一系列的差分方程，再用迭代法求解出这些差分方程，从而达到为衍生产品 定价的目的。它的计算是从衍生产品有效期的最后时刻开始，倒推回衍生产 品有效期的初始时刻，从而计算出衍生产品的价格。 由于有限差分法与树图方法类似，从而有限差分方法同样能够解决树图 方法所能解决的衍生产品定价问题，它既能处理欧式衍生产品，又能处理美 式衍生产品定价问题，也可用于多个标的变量的衍生产品定价问题。但在计 算时，有限差分法效率不高，特别是对三个以上变量进行计算时，计算时间 会大增。此外，当衍生产品的收益取决于状态变量的过去历史时，使用有限 差分法也会变得十分不便。 利率衍生产品定价的影响【犬| 素研究 3 种方法的比较 数值计算方法 应用范围 估计值的标准筹多变量时的效率 欧式、美式、非路径 树图法不能给出差 依赖型 蒙特卡洛模拟法 欧式、路径依赖趟能给出 好 欧式、美式、非路径 有限差分法不能给出差 依赖型 因此，在实际利率衍生产品定价过程中具体选择数值计算方法要取决于 被定价的利率衍生产品的特性及所要求的精度和计算成本等。 二、 利率衍生产品定价的p d e 方法 p d e 法是根据不同的利率期限结构模型，以及不同的利率衍生产品与短期 利率的关系，确定利率衍生产品的价格与短期利率之间的函数关系，再利用 i t o 引理确定其满足的p d e ，并根据各自的边界条件，即可解出衍生品的价格。 在无套利条件下，衍生品价格所满足的p d e 中的漂移项系数与扩散项系数之 间通过风险市场价格兄联系，五：丝! 。 d 设短期利率r ( t ) 满足：d r ( t ) = p r d t + 瓯龙 其中以，盯，是r ( t ) 和t 的函数，衍生产品的价格用f 表示，则f 是r ( t ) ，t 和到期期限t 的函数。在无套利条件下，f 满足下列p d e ： 1 f t 七0 l lr 九a 、fr 七三o2 r f 。? 一r f = 0 二 债券虽然一般不作为利率衍生品，但其价格b ( t ，t ) 同样满足上面的p d e ， 边界条件是b ( t ，t ) = 1 ，对于零息债券的欧式看涨期权，设协议价格为k ，基 础证券的期限为t ，而期权的期限为z ，则边界条件是： f i = m a x b ( t c ，y ) - k ，0 1 ，显然要求t t ，对于其他的利率衍生品，同样 也可以得到相应的边界条件。 2 3b l a c k s c h o l e s 模型应用于利率衍生品定价的缺陷 虽然b s 模型存在很多问题，但由于它的较强简易性，使得从业者还是更 经常地利用b s 模型来对债券期权进行定价。 1 2 2 利率衍生品定价的一般理论 假设债券的价格p 按几何布朗运动变化，或者假设在期权到期日债券价格 遵从对数正态分布，则我们可以利用b s 公式对该债券期权进行定价。假如 期权的到期日远早于债券的到期日，而且期权的有效期相对较短时( 如在时刻 t 1 与t 2 之间，见图1 ) ，那么这种方法对债券期权的价格能给出较好的描述。 图l在0 和7 时刻，o = 0 ，而在t l 与2 之间，可以近似认为。为常数 但是该模型用于对利率衍生品定价时，难以回避下面的模型缺陷： 1 、债券与股票的区别之一是股票没有到期同而债券一般有到期日。如果 我们在今天( 时刻0 ) 考察时刻t 到期的债券的价格波动，可以预见：在今天附 近债券价格一般不会大幅度变动。由于债券到期时偿还票面金额，债券在快到 期时价格会向面值收敛，在快到期前的一段时间罩，价格的不确定性较小，故 债券价格也不会大幅波动。只有在离今天较远且离t 较长的那一段时间里，价 格的波动率才较大。即随着时间的变化，债券价格波动性先上升后下降，而在 今天与时刻t ，波动率均为0 。债券价格波动率。与时间关系如图1 所示。而 随着时间的增长，股票价格波动率不会减小。也就是说若与股票价格相比，则 随着期限的延长，股价变得更加不确定，而债券价格的不确定性却是先上升后 下降。因此，债券价格运动与股票价格运动有着本质的区别。 这说明b s 公式对债券价格的波动率。为常数的假设与现实不符合。用 利率衍生产品定价的影响w 索研究 b s 公式得出的利率衍生品价格也必然产生偏差。波动率0 是影响利率衍生品 定价的一个重要因素。 2 未考虑债券价格与利率之间的相关性，当距到期日还有较长时间时，债 券价格对当前利率的变动相对不敏感，但随着到期同时问的缩短，当前利率水 平变化对债券价格的影响逐渐显著。 3 模型无法对路径依赖型衍生工具定价。路径依赖型衍生工具的收益取决 于标的变量的历史路径和当前价值，这就意味着必须要在此类衍生品的整个 有效期内说明标的变量的不确定性，即必须给出期限结构模型。即对利率衍 生品定