（机械设计及理论专业论文）小波技术在机械系统参数识别中的应用.pdf

小波技术在机械系统参数识别t 啪应朋 摘要 摘要 小波分析是种信号的时一频分析方法，它具有很多优良的 特性，因此在实际的工程中得到了广泛的应用。 本文将小波理论引入到系统参数识别领域，以时域信息为基 础分别对线性、非线性系统的各个参数进行了识别。 文章的第一部分犍小波理论应用于线性系统的模态参数识 别中，提出了基于小波脊的模态参数识别法。首先对含有噪声的 系统的自由响应信号进行阈值去噪处理，然后将去嗓后的响应作 基于m o r l e t 小波的时频分解，再由小波系数模的局部极大值求 得小波脊，最后求出系统的各阶模态的固有频率及阻尼比。为了 验证该方法的有效性，在仿真计算的基础上本文还给出了一个悬 臂梁实验模型，仿真计算和实验结果都取得了很好的一致性。 文章的第二部分将小波理论应用于线性时变系统及一些简 单的非线性系统的参数识别中。首先将系统的微分方程投影到由 d a u b e c h i e s 尺度函数张成的子空闻中去，并利用d a u b e e h i e s 小 波的性质将系统微分方程转变为由未知参数构成的一个超越代 数方程组，然后根据系统的输入及输出，求出与尺度函数支集相 对应的各个微小时间段上微分方程的系数，从而最终实现在整个 时间段上系统时变参数的识别。最后列举了常见单自由度及多自 由度系统的仿真计算，结果验证了此方法的有效性。 关键词：小波变换；小波脊：d a u b e e h i e s 小波；尺度函数；参数识 别 作者：邹甲军 指导老师：冯志华 垒! ! ! ! 竺! ! ：鲨垫查鱼翌燮墨竺至墼兰! 墅翌塑生塑 t h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ti np a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no fm e c h a n i c a ls y s t e m s a bs t r a c t w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni sat i m e f r e q u e n e ys i g n a la n a l y s i s i th a s m a n yd e s i r a b l ep r o p e r t i e s ，a n dh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di nm a n yf i e l d s o fe n g i n e e r i n g i nt h i st h e s i s ，t h et h e o r yb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e d i n t oa r e ao fp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n t w ow a v e l e t - b a s e dp r o c e d u r e s a r ep r e s e n t e df o ri d e n t i f y i n gt h em e c h a n i c a lp a r a m e t e r so fl i n e a ra n d n o n l i n e a rs y s t e m sa c c o r d i n gt ot h et i m er e s p o n s er e s p e c t i v e l y t h ef i r s t p a r to ft h et h e s i s i sm a i n l yc o n c e r nw i t ht h em o d a l p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no fl i n e a rs y s t e m s i nt h i sp a r t t h em o r l e t w a v e l e ti su s e dt od e c o m p o s et h ed e n o i s e dr e s p o n s eo ft h es y s t e mi n t o t h et i m e - s c a l ed o m a i na tf i r s t ，t h e nt h es o c a l l e dw a v e l e tr i d g ei s o b t a i n e df r o mt h ew a v e l e tt r a n s f o r m ，a tl a s tt h em o d a lf r e q u e n c ya n d d u m p i n gr a t i oc a nb ei d e n t i f i e db yt h eo b t a i n e dr i d g e b o t hs i m u l a t i o n a n de x p e r i m e n tr e s u l t sb a s e do nc a n t i l e v e rb e a ms h o wt h ee f f i c i e n c yo f t h i sa p p r o a c h t h et e c h n i q u ep r o p o s e di nt h es e c o n dp a r tc o n s i s t so fp r o j e c t i n g t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h a l i n e a r t i m e v a r y i n go ran o n - l i n e a rm o d e lo nas u b s p a c es p a n n e db yaf i n i t e n u m b e ro fd a u b e c h i e sw a v e l e t s ，t h er e s u l t i n ga l g e b r a i ce q u a t i o n sa r e t h e nr e w r i t t e nw i t ht h ep a r a m e t e r so ft h es y s t e ma su n k n o w n s t h e c o r eo ft h ei d e n t i f i c a t i o na l g o r i t h mi st h ee s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r s o ft h e e q u a t i o n s f r o m i n p u ta n do u t p u tm e a s u r e m e n t s f i s t ，t h e p a r a m e t e r so v e rt i n yt i m ei n t e r v a l sa r ei d e n t i f i e d ，a n dt h e nt h e e v o l u t i o no ft h ep a r a m e t e r so v e rt h ew h o l ed u r a t i o nc a nb ee s t i m a t e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sd e m o n s t r a t i n gt h ea p p l i c a b i l i t yo ft h em e t h o dt o 1 i ! ：婆垫查鱼垫越墨竺叁墼望! 型生塑生旦垒堕! 翌堕 s i n g l ea n dm u l t i d e g r e e o ff r e e d o md y n a m i c a ls y s t e m sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；r i d g e ；d a u b e c h i e sw a v e l e t s ；s c a l e f u n c t i o n ；p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n 1 1 i w r i t t e nb yz o uj i a j u n s u p e r v i s e db yf e n gz h i h u a ! ：墼丝_ 术鱼垫塑墨竺窆塾望型：! ! 塑生旦一堑= 童型一 第一章绪论 1 1本课题研究的背景及意义 任何机器、结构都可以看成是由若干个具有一定惯性、弹性或阻 尼特性的元件或单元按照一定方式相互联结而成的机械系统。这种系 统当其受到外界干扰激励或动载荷作用时，将会产生不同程度的振 动，因此该系统又称为振动系统。 当系统阻尼比较小，外界激励频率与系统本身的固有频率相近 时，系统将会产生共振现象，一般情况下，共振对系统的危害是相当 大的，它直接影响到结构或机器的工作性能、精度、使用寿命以及安 全性及可靠性，因此，对于多数机械设备和工程结构而言，一般要求 将其可能产生的振动量级控制在一定的范围内，严格避免共振现象的 发生。 在进入二十一世纪的今天，人类在技术的各个领域都取得了巨大 的成就，其中的一个突出表现就是在机械、航空、航天、土木、建筑、 造船、化工等领域的工程结构都在向高速化、大型化、复杂化和智能 化的方向发展，同时机构的工作环境也更加复杂，因而机械机构振动 的问题日益突出。统计资料表明，飞行器所发生的事故中约4 0 与振 动有关：在动力装置中，因发动机在高速旋转过程中发生过激振动而 造成直接经济损失和人员伤亡的事故普遍存在：在机械剑造生产中， 机床的过激振动不仅严重影响产品的质量，而且可能发生设备和人员 伤亡事故。振动问题还将产生诸多负面效应：强烈的振动将影响仪器、 仪表的正常工作；影响乘员的舒适性及工作环境；危及机械机构的安 全可靠性：影响产品的功能和质量，因振动而引起的重大事故不仅造 成巨大的经济损失，还将产生不良的社会影响，并对工作人员产生巨 大的心理压力。 因此，为了消除故障隐患，在机械设备的设计阶段就应该分析并 使其满足动态特性的要求，并在机械设备的运行过程中适时监测其动 态特性的变化。由于结构的各个参数表征了结构的动力学特性，直接 影响到结构的工作性能，因此，系统的参数不仅成为分析结构动态特 性的一类很重要的参数，而且还成为结构设计中所必须考虑的设计参 数。所以，参数识别的研究越来越受到人们的重视。此外参数识另i 还 笙二皇堑堡 尘垫垫查垒垫堡墨笾塑墼望型生盟堡旦 为机构系统的振动特性分析、振动故障诊断及预报提供依据。 一般而苦，对于工程结构的振动问题，参数识别就是通过对结构 的激励信号( 即输入) 和响应信号( 即输出) 的分析，估计结构的各 阶参数。 1 ，2参数识别研究概况 振动系统参数识别技术是从2 0 世纪6 0 年代后期发展起来的。它 和有限元分析技术一起，已成为动力学中的两大分支。系统参数识别 是动力学中的一种“逆问题”分析方法，它与传统的“正问题”分析 方法不同，是建立在实验( 或实测) 的基础上的，采用实验与理论分 析相结合的方法来处理工程中的振动问题。其主要工作就是通过研究 能有效表达结构动态特性的数学模型及其参数，优化结构动态特性， 使其能够安全、高效、高精度地工作。目前这一技术已发展成为解决 工程中振动问题的重要手段，在机械、航空、航天、土木、建筑、造 船、化工等工程领域被广泛应用【l 2 】。 对于线性系统的模态参数识别已经有了许多比较成成熟的方法。 按照输入数据的来源可将参数识别方法分为两类：频域识别方法和时 域识别方法。 比较常用的频域识别方法有：分量分析法、导纳圆法、正交多项 式曲线拟合法、基于加速度响应互功率谱频域识别法【3 1 和频域多参考 点模态参数识别法等。 时域法主要有：i t d 法、单参考点复指数法、多参考点复指数法、 特征系统实现算法、a r m a 时序分析法等1 4 】。 此外，随着神经网络技术的飞速发展，许多学者将其广泛应地应 用到系统参数识别领域。例如直接使用b p 神经网络模型实现结构系 统输入参数与输出参数之间的非线性映射，而无需建立系统的数学模 型。 近来也有不少学者将时域法与频域法相结合，提出了模态参数的 时频识别方法。例如张志谊、续秀忠等利用g a b o r 变换的时频特性对 多自由度系统进行参数识别【5 ；陈隽、榱幼麟利用h h t 方法对系统 结构参数进行了识别1 6 l ；s t a s z e w s kwj 以连续小波变换为基础对 多自由度系统的各阶模态阻尼进行了识别【7 】；同样，s l a v i cj 对含有 噪声的多自由度系统的阻尼用g a b o r 小波变换的方法进行了识别【”。 小波技术在机械系统参数识别t l ，的成j l l 撼章封 论 以上的识别方法只是针对线性时不变系统的，然而在现实的复杂 的工作环境下许多工程结构的参数是随时间而变化的，而且许多情况 下结构参数的这种变化对结构振动特性的影响是不可忽略的。例如： 机械工程中常用的机构如连杆机构、凸轮机构、车床切削系统加工不 对称元件( 如曲轴) 、齿轮的啮合以及起重机的吊臂的展开与回收等 都会产生结构系统刚度阵和质量阵的时变性。此外，在对一个振动系 统进行分析研究时，其阻尼力和弹性力有时可线性化，有时则必须考 虑其非线性性质( 何时考虑力的非线性特性。决定于所研究问题的性 质和所要求的精度) ，另外，在工程实际中也存在着很多不能线性化 的系统。侧如当系统中具有间隙或存在着像堆形弹簧、柔性弹性梁、 收缩管道等非线性元件时一般不能将其视为线性系统【9 】。一般情况 下，对于线性时变系统与非线性系统我们都可以归结为广义上的非线 桎系统。 非线性系统有许多本质上不同于线性系统的现象。例如：单自由 度非线性系统中固有频率随振幅而变化，次谐，超谐现象的产生：多 自由度非线性系统中的组合共振，模态间的强耦合及渗透等问题。这 些都是基于线性系统模态分析与模态识剐方法无法解决的问题。 由于非线性系统的复杂性，非线性系统参数识别方面的研究报道 还不多见。比较早的有吴志剐、于建新将菲线性系统等效为线性系统， 然后用等效参数法和直接时域法对比较简单的单自由度非线性系统 进行参数识别【1 0 l 。但因为等效的可靠性、合理性的缘故，这两种方 法在处理一些较复杂的非线性系统时往往不是很准确。陈隽、李杰引 入了松弛法的思想，构造了一类不同于线性化方法的迭 弋方法对桁架 桥机构进行了识别】，该方法将相互耦合的系统未知参数在识别过 程中依次放松约束，因此其收敛性有时得不到保证，r o g e rg 、 f r a n e c s c or 在文【1 2 ，1 3 】中以g a l e r k i n 方法为基础对线性时变系统及 非线性系统的参数进行了识别该方法对变化比较缓慢的时变参数识 别精度比较高而且具有很强的抗干扰能力，但当参数变化较快时往往 识别精度不是很高，而且该方法计算量很大。 1 3本文研究内容 本文将小波理论运用到系统的参数识别领域，对线性系统、非线 性系统用小波的方法进行系统参数识别。主要内容包括以下部分： 第一章绪论 小波技术在机械系统参数口 别中的麻j j 一首先，在引入小波变换定义的基础上，介绍了小波的时域 及频域的一些基本特性，并引入了离散正交小波变换的定义，然后介 绍了几种比较常见的小波。 二其次，在文章的第二部分探讨了小波去噪的一般原理，利 用m a t l a b 强大的小波去噪功能将线性系统在随机激励下的响应进行 阈值去噪处理，提取出自由响应，然后将去噪后的自由响应作基于 m o r l e t 小波的时频分解，再由分解后得到的小波系数模的局部极大值 求得小波脊，最后由各阶模态的小波脊求出线性系统的各阶模态的固 有频率及阻尼比，其识别示意图如图1 1 所示。本章的最后给出了一 个仿真实例及悬臂梁实验来验证说明该方法的有效性。 图1 1 线性系统的参数识别示意圈 三最后，在文章的第三部分将小波理论应用于非线性系统的 参数识别中。利用d a u b e e h i e s 小波的时频局部化特性，首先将系统 的微分方程投影到由d a u b e c h i e s 尺度函数张成的子空间中去，将微 分方程转化为一个超越代数方程组。然后根据方程组中的各个方程， 求出与尺度函数支集相对应的各个微小时间段上微分方程的系 数，最终实现在整个时间段上系统时交或非时交参数的识别。对于非 线性系统文中提出将系统微分方程中的非线性项用已知函数代替的 思想，从而将系统中的非线性因素等效为加载在线性系统上的虚拟的 外激励。最后列举了工程结构中常见系统的仿真计算，来验证此方法 的有效性、广泛适应性。 4 小波技术在机械系统参数识别中的麻川第二二章小波理论 2 1 引言 第二章小波理论 小波变换的概念是1 9 8 4 年法国地球物理学家m o r l e lj 在分析处 理地球物理勘察资料时提出来的。小波变换的数学基础是创建1 9 世 纪的傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 。 小波变换采用改变时间一频率窗口形状的方法，很好地解决了时 间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域里都具有较好的局 部化特性。它对信号中的低频成分采用宽的时间窗，得到较高的频率 分辨率和较低的时间分辨率：对信号中的高频成分采用窄的时间窗， 得到较低的频率分辨率和较高的时间分辨率。小波变换的这种自适应 特性，很适合探测正常信号中夹带的瞬态信息并展示其成分，所以其 在工程技术及信号处理等方面获得了广泛的应用。 2 2 连续小波变换的定义1 4 , 15 , 16 设函数矿( r ) 口( 晨) ，满足下述条件 i g ( t ) d t = 0 ( 2 - 1 ) 则称p ( f ) 为基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 函数，引入尺度因 子a 和平移因子b ，a 、b 满足：口，b r 且a 0 。 将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族 ( f ) = 去虮t - _ _ 口2 b ) ( 2 - 2 ) 称虬，。( f ) 为分析小波，系数下1 为归一化常数，它使得对所有的尺度参 一d 数a 和平移参数b ，下式成立 h 峥肛。州2 d t = 抄( r ) 1 2 d t ( 2 - 3 ) 笙三童尘鎏堡垒 ! ：婆垫查垄塑! 塑至竺窆垫望型主塑堡型 通常取l 川2 d t = 1 ，使妒( f ) 具有单位能量。 函数，的连续小波变换( c w t ) 定义为 帅沏= ( 眠，a ) = 去l ，( f 阿( 字) d f ( 2 - 5 ) 式中矿( f ) 为( f ) 的共轭函数，若y ( f ) 为实函数，刚矿( f ) = ( f ) 。 若基本小波l f ，( 刚菏足下述条件： 【铧叭o 。 协a ， 则连续小波变换孵( 口，6 ) 存在逆变换。其逆变换公式为： ，( f ) = f 去觯) ( 玛6 ) 等 ( 2 7 ) q = l d o ) 0 。 4 ，能量守恒 2 d t = f f 1 w ：o2 警( 2 - 1 0 ) 5 冗余性 连续小波变换是把一维信号变换到二维空间，因此连续小波变换 中存在多余的信息。称为冗余度。 2 4 连续小波变换的时间一频率特性 从小波变换的定义式( 2 - 5 ) 可以看出，小波变换是时间参数和 尺度参数的函数，因此，它是一种时间一频率的变换。设t o 和。分别 表示妒o ) 的中心位置和半径，钱和；分别表示沙 ) 的中心频率和半 径，则可以证明，虬 ( f ) 的中心及半径分别为b + a t o 和a a ，护 ) 的 中心及半径分别为，口和k ，口。这说觋，当足度口增大时，在时域 上，。o ) 的宽度增大，小波变换的时域分辨率降低，而在频域上， 矿。( m ) 的中心降低，宽度减小，小波变换的频率分辨率提高，也就是 说，当尺度a 较大时，小波变换以较高的频域分辨率和较低的时域分 辨率来分析信号的低频分量。当尺度。减小时，在时域上，y 。“) 的 7 第二章小波理论 小波技术在机械系统参数识别中的应川 宽度减小，小波变换的时域分辨率提高，而在频域上，驴。洄) 的中心 升高，宽度增大，小波变换的频率分辨率降低，也就是说，当尺度n 较小时，小波变换以较高的时域分辨率和较低的频域分辨率来分析信 号的高频分量。由此可以看出，小波变换可以根据信号自动调整时频 分辨率。当8 固定b 发生变化时，虬。( f ) 的中心在时域上平移，但其宽 度不变，痧。( ) 的中心及半径均保持不变，因此，b 的变化可以使我 们在时频分辨率不变的情况下沿着时问轴观测信号的不同部分。 当分析高频信号时，希望时域分辨率较高，而当分析低频信号时， 希望频域分辨率较低。但一般的时频分析方法时频分辨率都是固定 的，根据测不准原理，它们的时域分辨率和频域分辨率又不可能同时 达到最佳，二者的乘积有一个上限。小波变换多分辨率的特性正好在 符合测不准原理的前提下满足信号分析的这要求，这也是小波变换 优于其它时频分析方法的原因。 2 5 离散正交小波变换 连续小波变换中以( n ，6 ) 中的参数a f f 4 b 都是连续变化的值。实际 的应用中信号厂( f ) 是离散序列，a 和b 也必须离散化，成为离散小波变 换。通常，把连续小波变换中的尺度参数口和平移参数b 进行如下离 散化取样： 口= a g ，b = k b o a ga o 0 ，b o r ，_ ，k z ( 2 - 1 1 ) 对应的离散化的小波函数，。( f ) 为 少似( f ) = a g 2 0 i t k b o ) 而离散小波变换的系数则可以表示为 c j ，t = ( 厂( f ) ，y 小( f ) ) = l ，( f ) 计( t ) d t 其重构公式为 ( 2 1 2 ) ( 2 13 ) ，( f ) = c y ( r ) ( 2 - 1 4 ) 在离散小波变换中，一种方便的方法是取d 。= 2 ，b 。= 1 ，即 卅( f ) = 2 - j 2 妒( 2 t 一七) ( 2 15 ) 尘鲨茎查垒! ! 塑墨竺叁墼塑型生箜壁型 箜_ 二皇尘垫墨! 垒 此时得到的小波及小波变换便称为二进小波和二进小波变换，二进小 波变换是一正交变换，不存在冗余性a 2 6 几种常用小波 1 ，m o r l e t 小波 m o r l e t 小波是商斯包络下的单频率复正弦函数，它的函数为 矽( 国) = 2 e 一”哪。2 ( 2 - 1 7 ) 一t 2 其中g ( f ) = e 了为高斯函数。m o r l e t 小波是一种常用的小波，因为它的 时域和频域的局部性能都比较好( 虽然严格地说它不是紧支撑的) 。 尽管这种小波不满足容许条件，即矿 = 0 ) 0 ，但实际的应用中只要 取，7 5 就近似满足容许条件。另外，由于矿细) 在甜= 0 处的斜率很小， 所以矿) 在t o = o 处的一阶导数、二阶导数也近似为0 。 2 m a r r 小波 m a r r 小波是高斯函数的二阶导数，其形式如下： f i l ；，( 幻= ( 1 一f 2 ) e i 其f o u r i e r 变换为： g ( c o ) = 芝而2 口”2 ” ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 它在缈= o 处妒( ) 有二阶零点，满足容许条件，且其小波系数随在国衰 减得较快。m a r r 小波比较接近人眼视觉空间响应特性。 3 h a r r 小波 h a r t 函数是一组相互正交归一的正交函数集，h a r r 小波正是由 它衍生而来的。h a r r 夺波是紧支在f 【o i 】范围内的单个矩形波，即 帅，= ： ：忌等1 鲁( 2 - 2 0 ) 其f o u r i e r 变换为： 9 )6 l - 2( 班 e 兰： e = 俨 8 ) p g = )p n神m y 为 涣 变 盯 nu0f 其 第一：章小波理论 小波技术在机械系统参数识圳t 1 j 的应j 讨 m ) = ，丢s i n2 ( 等矿2(221q- ) 珊 由于j e ( o d t = o ，但f t v ( t ) d t 0 ，因此，驴( ) 在国= o 处只有一个零点。 h a a r 小波在时域上是不连续的，因此作为基本小波性能并不好， 但它的主要优点是计算简单，且y ( ) 不但与v ( 2 ，0u z ) 正交，而且与 自己的正整数平移形式正交，即 b o 妒( 2 ，f ) d f = 0 ( 2 - 2 2 ) b ( f 妙o k ) d t = o ( 2 - 2 3 ) 因此。( f ) 在口= 2 ，的多分辨率系统构成一组最简单的正交归一小波 族。 4 d a u b e c h i e s 小波 d a u b e c h i e s 函数是由世界著名的小波分析学者i n r i dd a u b e c h i e s 构造的小波函数，它提供比h a a r 小波更有效的分析和综合。除了 d b l ( 即h a a r 小波外) ，其它小波没有明确的表达式。但它满足以下特 点：时域上是有限支撑的；在频域上有n 阶零点；有正交规一基。 5 d o g ( d i f f e r e n c eo fg a u s s i a n ) 小渡 它是两个尺度差一倍的高斯函数之差 矿( 归。一手一委。( 2 - 2 4 ) 矿( ) = 伍( e 一”一b “2 ) ( 2 - 2 5 ) 它保证矿 ：o ) ：o 及垒鍪堕 ：o ) ：o ，即在珊：o 处有两阶零点。 1 0 尘鳖竺查鱼垫塑墨竺塑鍪兰! 型! ! ：塑生塑 堡兰里垩王尘望堕塑查兰墼兰! 型 第三章基于小波的模态参数识别 3 1前言 在信号的传输、变换及测量过程中由于噪声及干扰的叠加，真实 信号总是无法避免地受到了污染。如何去除测量信号中叠加的嗓声及 干扰成份，是建立系统高精度模型及准确识别参数的关键。滤波器去 噪是在实际中广泛应用的一种去嗓方法，它是从纯频域的角度来分析 应该去除哪些频域范围内的噪声的，因而时常在滤除噪声的同时导致 了有用信号的失真。小波变换具有良好的时频局部化特性并且有多分 辨率分析的分层特性，因而在处理含有噪声的信号时可以将噪声分解 到不同的频率通道。这就意味着对小波系数进行阈值处理可以在小波 变换域中去除常见的噪声信号【1 l 1 8 】。 本章采用小波阈值去噪的方法，在m a t l a b 环境下，首先对含有 噪声的线性时不变系统的自由响应作去噪处理，然后再以小波脊为基 础对去嗓后的信号进行模态参数识别。 3 2 小波去噪的原理【1 9 , 2 0 假设要研究的信号为f ( t + ) ，实际测量得到的含有噪声的信号为 y ( t ，) ，则 y ( t ) = f ( t f ) + s e ( t f ) i = 0 ，n ( 3 - 1 ) 其中e ( f 。) 为服从n ( o ，1 ) 分布的最常见的叠加性高斯白噪声，占为噪声强 度t 为采样信号的长度。为了从含噪信号y 纯) 中还原出真实信号 f ( t ，) ，可以利用信号和噪声在小波变换下的不同特性，通过对小波变 换系数进行处理来达到信号和噪声的分离目的。 在实际的工程应用中，有用信号f ( t ，) 通常表现为低频信号或是一 些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号，所以我们可以 对含有噪声的信号进行小波分解( 如进行三层分解) ： y = c 4 + 鹕= 鸣+ c d 2 + 吗= 鹤+ 如+ c d 2 + 吗 ( 3 - 2 ) 第三章基于小波的模态参数诌 别小波技术在机械系统参数谚 别中的心用 其中c a 为分解的近似部分，c d , 为分解的细节部分，则噪声部分通常 在细节部分中。因而可以用闽值的方法对小波变换的系数进行处理。 具体可以分以下几步实现： 1 ) 对式( 3 1 ) 作小波变换 阡：( 口，b ) = r ( a ，6 ) + 占纾：( 口，b ) ( 3 - 3 ) 2 ) 对小波系数髟作门限阈值处理町，。哆。 3 ) 对经过处理的小波系数作逆小波变换多= w 1 玩。，重构原信号。 3 3 阂值的选取及量化【2 i - 2 3 1 小波去噪方法的关键就是阁值的选取及量化问题。阂值选择太大 了，会使过多的小波系数被置零，这样就破坏了太多有用信号的细节； 阈值选择太小了，又不能达到预期的去噪效果。 ( a ) ( b ) ( c ) 图3 1 阐值处理示意图 ( a ) 原始信号( b ) 硬阈值信号( c ) 软阈值信号 小波技术在机械系统参数识别巾的成并j舅三三塞茎于小波堕塑查叁! ! 翌型 根据被估参量和闽值比较后的不同处理办法，通常可分为硬阈值 准则和软阂值准则。 硬闽值准则只保留大于阈值的小波系数，并将小于阈值的小波系 数黄零，具体为： c w ，卟 抽i - ，t p 4 ， 软闽值准则将小于阔值的小波系数置零，对大于阈值的小波系数 向零作收缩，具体表达式如( 3 5 ) f w - f ，w f 珂s ( w ，t ) = 0 ，w t ( 3 5 ) 1w + f ，w f 其中为t 为所选的门限阚值。软阈值和硬阈值处理方法的直观形式如 图3 1 所示，其中闽值t = o 2 8 。从图3 1 中可以看出软阈值处理是一 种更为平滑的形式，在去噪后能产生一种更为平滑的结果，而硬阈值 处理能够更多地保留原始信号中的突变成份。 对于阈值t 的选取有多种不同的方法。下面是四种比较常用的不 同阈值的确定规则，m a t l a b 也提供了这四种阈值的算法函数2 ”。 1 通用阈值( s q t w o l o g 规则) 设含噪信号f ( t 。) 在尺度l m ( 1 m j ) 上通过小波分解得到的小 波系数的总和为 l ，j 为二迸尺度参数，附加噪声的标准差是盯，则 通用阈值为： ，= a 4 2 1 n ( ) ( 3 - 6 ) 该方法的原理依据是个具有独立同分布的标准高斯变量中的 最大值小于t 的概率随着的增大而趋于i 。 2 s t e i n 无偏风险阈值( r i g r s u r e 规则) 它是一种基于s t e i n 无偏似然估计原理的自适应阔值选择。对于 一个预先给定的阈值i ，得到它的似然估计，再将非似然f 最小化，就 得到所选的阑值t ，它是一种软件阈值估计器。 3 试探法的s t e i n 无偏风险阈值( h e u r s u r e 规则) 它是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择。当信噪比很 第三章基t - d , 波的模态参数谚 别 小波技术在机械系统参数识别中的庸用 小时r i g r s u r e 估计有很大的噪声，这时h e u r s u r e 采用固定闽值 s q t w o l o g 。 4 最大最小准则阈值( m i n i m a x i 规则) 和s q t w o l o g 一样也是一种固定的闽值，它产生一个最小均方差 的极值，计算公式为： f ：o 3 9 3 6 + o t l 8 2 9 1 0 9 2 ”3 2( 3 - 7 ) 一、 l0n 3 2 n 意义同上，为所得的小波系数的总和。 3 4 利用小波去噪提取线性系统的自由响应 出线性系统的理论可知，一个线性系统在任意激励下的响应由以 下两部分组成【2 5 】： ( 1 ) 初始状态引起的自由响应； ( 2 ) 外激励而引起的强迫响应； 此外，考虑到实际的情况，响应还应包括： ( 3 ) 实际测试时的噪声及干扰。 当外激励是随机时，( 2 ) 、( 3 ) 两部分显然亦为随机的，假设自由 响应信号为f ( t ) ，( 2 ) 、( 3 ) 两部分随机响应之和为e ( t ) ，则实际测量 到的信号为y ( f ) 为 y ( t ) = ，( f ) + s e ( t ) ( 3 - 8 ) 式( 3 8 ) 和式( 3 1 ) 具有完全相似的形式，所以利用小波去嗓的原 理，可以从实际测量得到的含有噪声的响应信号y ( f ) 中提取出自由响 应的信号f ( t 、。 3 。5 小波脊 对于任一实信号，( f ) ，我们都可以将其写成时变振幅a ( o 与时变 相位妒( f ) 的乘积1 2 6 1 f ( t ) = a ( t ) c o s ( t ) ( a ( t ) 0 ，甜( f ) = 矿o ) 0 ) ( 3 - 9 ) 将式( 3 - 9 ) 代入小波变换的定义式( 2 - 5 ) ，并利用f o u r i e r 变换 的性质可得到f ( t ) 的m o r l e t 小波变换为： 4 小波技术在机械系统参数识别i | i 的成用第兰章辇，小避；蝉态墅! ! 望型 啾 ) = 雩删e x p 8 触) 】毒研f 叫) + 地锄( 善= r l l s ) ( 3 - 1 0 ) 其中占( “，舌) 为校正项。当a ) 、( “) 在吼，的支集内有较小的相对变差， 一 且，( “) 国，s 时，可以忽略不计【2 6 1 。奎( 街) = 磊8 丁为式( 2 - 1 6 ) 中 的商斯函数g ( f ) 的f o u r i e r 变换，为；的带宽，满足：h a c o 时， g ( 国) 1 e 为了简化起见，记： 丁，掌) ：堕掣( 孝：可s ) ( 3 川) 吖s 将( 3 1 1 ) 式中的w f ( u ，j ) 用式( 3 - 1 0 ) 代入并忽略校正项e ( u ，善) 得： 丁( ”，毒) = j 1n ( “) ；( s 【毒一妒( “) 】j ( 3 - 1 2 ) 令塑兽乎：o ，可得丁( ”，孝) 掣渺啊) 一翱：o ，也即是： d 0亡一 孝( “) = 矽( ) 此时相应的点( 掰，善躯) ) 称之为小波脊。将孝= r l s 代入式( 3 - 1 3 1 ) 可以 进一步得到： 丽r = = = 国( ”) 从式( 3 一1 3 ) 可以看出，在时频平面内信号的小波脊( “，g u ) ) 就对 应着其瞬时频率的曲线m ，c o ( u ) ) 。所以对于任一实信号不管其频率在 整个时域上是恒定的或时变的，我们总可以根据此信号的小波脊得到 其瞬时频率曲线。在实际的应用中，小波脊可以通过小波交换系数的 模极大来获得f8 1 。 现以信号i 厂( f ) = ( 3 1 2 + 5 l + 1 0 ) s i n ( 2 5 t 3 ) 为例，其时域图如图3 2 所示 ( 采样周期为0 0 0 2 5 s ，取其前1 0 2 4 个点) 第二章基1 ：小波的模态参数面 别堂技壹! 鱼塑l 械歪竺坌鍪望! 型! ! 堕堕塑 图3 - 2 信号厂( f ) 的时域图 信号，( f ) 的小波变换系数如图3 3 ( a ) 所示( 在计算小波系数的过 程中在每个尺度区间f 2 i , 2 一】内再取1 2 个中问尺度，共计7 2 个尺度， 图中的尺度数为自然数，在1 7 2 之间取值，例如尺度数为2 0 表示第 2 0 个尺度) ，由图3 3 ( a ) 的小波系数求得的小波脊如图3 3 ( b ) ，从图 3 - 4 ( b ) 可以看出f ( t ) 的小波脊与信号的理论频率吻合得比较好。 ( a ) 时同t ( s ) ( h i 图3 - 3 信号f ( t ) 的小波变换图( a ) 小波变换系数( b ) 小波脊 3 6 基于小波脊的线性系统的模态参数识别2 7 时域模态参数识别法与频域方法不同，它无需将所测得响应与激 励的时间历程信号变换到频域中去，而是直接利用响应与激励在时域 中进行参数识别。这就避免了由于数据变换( f f t 变换) 而引起的截 断误差如泄漏等。本节以小波脊为基础采用时域法对线性单自由度及 多自由度系统的参数进行了识别。 小波技术在机械系统参数谚 别巾的应用 筇三三章基于小波的模态参数识别 3 6 1 单自山度系统 对于单自由度粘性阻尼系统的自由振动，可以归结为如下二阶线 性常系数齐次微分方程的初值问题 2 8 1 絮善裟。(3-14)x0【x ( o ) =，j ( o ) = 五 式中m 、k 、c 分别为质量、阻尼及剐度，其解为 “( f ) = a e l “s i n ( m a t + p ) ( 3 15 ) 其中f 为阻尼比，。为固有频率，振幅口= 、磊+ ( 墨二皇翌) z ，初始向位 角州a n 。去，自然频率= 乒再。 将式( 3 - 15 ) 代入式( 3 ，1 2 ) 得到 黜固= 扣咖阻掌一】) | ( 3 1 6 ) 由式( 3 - 1 6 ) 可知，在时频平面内，当 毒( “) = 印d( 善= 里)( 3 - 1 7 ) 成立时，式( 3 1 6 ) 将达到最大值 5 r ( “，善) 。= l ，a e 一甜耋( o ) ：导n e 一虹r ( 3 ，18 ) 其中占= ；( 奶。= ；( o ) ，由此根据自由响应的小波脊可求得系统的自然 频率国。 在识别出自然频率后对( 3 - 18 ) 式两边同时取自然对数可以得到： l n 0 7 ( “，孝) 1 ) ：一。；幻i + l n ( 昙一) ：k u + c( 3 - 1 9 ) 式( 3 1 9 ) 是关于m 的一个次线性表达式，斜率七= 一扣。，c ：i n ( a a ) 。 由此在求自然频率及与之对应的斜率七后，根据哟：i 蕊 及式( 3 - 1 9 ) 可以得到一个关于固有频率。及阻尼比f 的一个二元一 次方程组 f 一向。= t 哟= 而。 ( 3 。2 0 ) 解方程组( 3 2 0 ) 可得 筇兰章基】二小波的模态参数u 别小波技术在机械系统参数酞别r | 1 的应用 k = 以2 十珊； ， 一 ( 3 2 1 ) 铲丽 由此，根据自由响应信号的小波变换脊最终可以对系统的固有频 率甜。及阻尼比f 进行识别。 3 6 2 多自由度系统 对于一个n 个自由度的线性系统其振动方程可概括为： m y ( t ) + c k ( t ) + k x ( t 1 = 0 ( 3 - 2 2 ) 其中m 、c 、k 分别为质量、阻尼及刚度矩阵。当系统的阻尼是比例 阻尼或其粘性阻尼很小时，在自由振动情况下某一个自由度上的自由 响应总可表示为 2 8 ： x ( f ) = 彳，p 一叫s i n ( r a a t + 矿i ) ( 3 2 3 ) 同理，将式( 3 - 2 3 ) 代入式( 3 - 1 2 ) 可得 崩=势e蛳1一到(3-24)t(u l g ( o d i = 1 ，毒) = e “一半i ) | 与 l i 如果对所有的“有悟( s 【一o ) d j 】) f 1 ，( 1s f 、j n ，f _ ，) 即 任何两个不相同的自然频率之差都要比g ( s ) 的带宽大( 各个自然频 率互相充分分开) ，则当毒( ”) 在z ( r ) 的第1 个小波脊上取值，即 孝( “) = 叻( 善= 翌) 。 时，由g ) 的紧支性可得，g ( q 1 一二】) “o ( ，= ( 3 2 5 ) i ，j i ) ，即式( 3 2 4 ) 中除了第i 项外其余各项均近似为0 ，所以在时频平面内式( 3 - 2 4 ) 此 时将达到它的第f 个局部最大值 r ( u ，f ) = 寺一f p 。；( o ) = 睾一f p 嗝 ( 3 - 2 6 ) 对式( 3 - 2 6 ) 我们可以用类似于对式( 3 18 ) 的处理方法，得到 一个关于系统第i 阶固有频率曲。及阻尼比的一个二元一次方程组， 其形式与式( 3 - 2 0 ) 相似解此方程组最终可得。、f 。 由此根据，( “，善) 的所有局部最大值可以得到与各阶模态频率对应 小拔技术在机械系统参数识埘巾的心脂 批= 章基t 讣被的横态参数 荆 的小波脊，由各个小波脊又可以迸一步求得各阶阻尼比，从而最终实 现各阶模态频率的滤波以及各阶模态的解耦，也即是将对“个自山 度系统”的参数洪别转变为对“n 个单自由度的系统”的参数识别。 3 。7 程序及算法 本文所有的的程序都在m a t l a b 平台上进行编制与开发的。其参数 识别程序框图如下： 3 8 仿真实僦 图3 - 4模态参数识别流程周 以下通过一个简单的两自由度线性系统的仿真实例来验证该方 法。 对一个两自由度的比例阻尼线性系统，在一给定的初始条件下的 自由响应可以表示为：x ( f ) = 4 p 吖s i n ( c ，f + 妒1 ) + 4 p 岛“l s j 耵( ，+ 仍，。 第三章基 小波的模卷参数口 别小波技术在机械系统参数b 别巾的蠛用 设其中的各个参数的值为：a ，= 3 ，a 2 = 5 ，。= 1 5 0 ，脚。= 3 5 0 ，卣= 0 0 2 ， ，：0 0 1 ，识= 妒，= r e 2 ，如图3 5 ( a ) 所示。 在数值计算中模仿实际环境在响应中添加了一个强度为1 的高 斯白噪声a ( t ) ，则最后所得的响应为y ( t ) = x ( t ) + 仃( f ) ，如图3 5 ( b ) 所示 ( 采样率为1 1 0 2 4 s ，0 f 1 ) 。在利用小波去噪原理对_ y 【f ) 进行去噪 计算时，首先将y ( f ) 进行三层小波分解，根据噪声的特点我们选用软 阈值法，利用m a t l a b 中的t h s e l e c t 函数可以得到y ( f ) 的基于s t e