（应用数学专业论文）三维ginzburglandau方程的整体吸引子及其维数估计.pdf

三维g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体吸引子及其维数估计 摘要 g i n z b u r g - l a n d a u 方程具有十分丰富的物理背景和内涵，它出现在流体力 学系统及等离子传播和超导体理论已有很长的历史。许多物理学家和数学家对 其物理性质和数学理论进行了深入的研究，取得了丰硕的成果 本文主要研究以下三维g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体吸引子及其维数估 计： t t = 肛+ ( 1 + 钾) t 一( 1 + 弛) 阻i ”“， u ( o ，z ) = t 0 ( z ) ，z q ， t ( z ，t ) 是似周期的，n = ( 0 ，l 1 ) ( 0 ，l 1 ) ( 0 ，l 1 ) n 其中u ( t ) 是定义在三维空间胪1 的未知复值函数，是舻的拉普拉斯算子 p 0 ，7 ，p 是实参数 本文共分为两章。第一章是本文的概述，叙述了无穷维动力系统，g i n z b u r g - l a n d a u 方程的历史，物理背景及研究状况，介绍所取得的主要结果 第二章是本文的主体部分，共分为四节 第2 1 节是引言，给出了本文所考虑问题的假设条件，为下文做好必要的 准备 第2 2 节证明三维g i n z b u r g - l a n d a u 方程的局部解的存在唯一性 第2 3 节利用先验估计的方法证明三维g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体解的 存在性 第2 4 节证明三维g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体吸引子的存在性并对其维 数进行估计 关键词：复值g i n z b u r g - l a n d a u 方程三维空间整体吸引子h a u s d o r i f 维数 g l o b a la t t r a c t o rf o r t h r e ed i m e n s i o n a l g i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o na n dt h ee s t i m a t eo f t h ed i m e n s i o n a l i t yo fa t t r a c t o r a b s t r a c t g i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o nh a sv e r ya b u n d a n tp h y s i c a lb a c k g r o u n da n d c o n n o t a t i o n ，w h i c ha p p e a r sa th y d r o m e c h a n i c ss y s t e m ，p l a s m ap r o p a t i o na n d s u p e r c o n d u c t o rt h e o r yf o ral o n gh i s t o r y m a n yp h y s i c a la n dm a t h e m a t i c i a n s h a v es t u d i e di t sp h y s i c a lp r o p e r t ya n dm a t h e m a t i c a lt h e o r yd e e p l ya n do b - t a l n e dp l e n t e o u sr e s u l t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ea i mt os t u d yg l o b a la t t r a c t o rf o rt h r e ed i m e n s i o n a l g i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o na n dt h ee s t i m a t eo ft h ed i m e n s i o n a l i t yo ft i sa t - t r a c t o r ，t h ee q u a t i o na sf o l l o w i n g ： m = 芦+ ( 1 + i y ) a u 一( 1 + i p ) i t 叫幻t ， u ( o ，z ) = t 幻( z ) ，z q ， “( z ，t ) i sf 2 - p e r i o d i c 。q 芝( 0 ，l 1 ) x ( 0 ，l 1 ) x ( 0 ，l 1 ) q w h e r eu ( t ) i sa nu n k n o w uc o m p l e xf u n c t i o nw h i c hi sd e f i n e di nt h r e ed i m e n - s i o n a ls p a c er 3 + 1 ，i sal a p l a c i a no p e r a t o ri nj 矽，p 0 ，1 ，弘a r er e a l p a r a m e t e r s t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft w oc h a p t e r s t h e 丑r s tc h a p t e rd e v o t e st oi n t r o - d u c et h es u m m a r i z eo ft h ed i s s e r t a t i o n w er e c o u n ta b o u tt h eh i s t o r y , p h y s i c a l b a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tc i r c u s t a n c eo fu n l i m i t e dd i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s - t e r na n dc i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n ，i n t r o d u c es o m em a i no b t a i n e dr e s u l t s t h es e c o n dc h a p t e ri st h ep r i m a r yp r o p o r t i o no f t h i sp a p e rw h i c hc o m p o s e d o ff o u rs e c t i o n s ， t h e2 1s e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o nw h i c hg i v e st h ec o n d i t i o n sw ew i l ln e e d i no r d e rt od i s c u s st h ep r o b l e md i r e c t l yi nt h ef o n o w i n gs e c t i o n i nt h e2 2s e c t i o n ，w ep r o o f t h a tt h el o c a ls o l u t i o nf o rt h i st h r e ed i m e n s i o n a l g i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o ni se x i s t e n ta n du n i q u e i nt h e2 3s e c t i o n ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o nf o rt h i st h r e e d i m e n s i o n a lg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o nb yu s i n gt h em e t h o do f p r i o r ie s t i m a t e 。 i i lt h e2 4s e c t i o n w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o rt h i st h r e e d i m e n s i o n a lg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o na n de s t i m a t et h ed i m e n s i o n a l i t yo f t h i s a t t r a c t o r k e yw o r d s ：c o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n ；t h r e e - d i m e n s i o ns p a c e ；g l o b a la t t r a c t o r ；t h ed i m e n s i o n a l i t yo fh a u s - d o r f f 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相关 知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的 研究内容除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含本人 为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已 在论文中明确说明并致谢 论文作者签名，李本图 瑚年 月2 1 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存，使用学位论文的规定，u p , 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版。并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印，缩印，数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间。 吨住口时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名； 毒本团导师签名：去拣弋游5 月2 1 日 广西夫学硕士学位论戈 三雏g i n z b u r g - l a n d a u 方程的叠俸嚷，i 子曩其维敦估计 第一章绪论 1 1无穷维动力系统 在过去四十年里，由耗散微分方程描述的数学物理问题已赢得广泛研究且已经取得 了很大进展。数学的两个已有的分支在其中起着重要作用首先是常微分方程的定性理论 及其与之密切相关的动力系统，另外，就是偏微分方程理论应用这些关系，数学家们已 成功地应用了动力系统概念和技术到演化偏微分方程在无穷维空间产生的半群的研究 在近十年来。学者们已经探索和发展了有限维动力系统和无穷维动力系统的结合在现代 物理和数学中，有许多问题需要研究，倒如解的整体存在性，长时间行为，显示精确解， 等等使用偏微分方程理论，我们能研究这些问题特别地，应用无穷维动力系统理论。 我们能研究出现在物理数学问题中的耗散偏微分方程的长时间行为而对于保守系统，由 于其轨道可能充满整个相空同或它所在的区域，这给研究带来很大困难近二十年来，r t e m a n ，c f o i a s ，a e d e n ，pc o m s t a n t i n ，m i v i s h i k ，a v b a b i n ，等学者在无穷维动 力系统的研究取得可喜的成绩，其代表文献有【6 】一【2 1 】无穷维动力系统的长时间行为表 现为整体吸引予，指数吸引子，惯性流形和近似惯性流形而整体吸引子是描述发展方程 的长时间行为的重要概念对于在有限空间中给定的偏微分方程( p d e ) ，空间整体吸引 子x 是h i l b e r t 空同日中的一个紧集，当t o o ，它吸引p d e 的来自初始条件的所有 解整体吸引子是一个复杂的集合，它可能包含动力系统的不动点( 即方程的稳态解) ， 极限环( 即周期解) 。环面( 即拟周期解) 。等等它具有分形结构，也是引起混沌行为的 一个重要应用，因此，我们必须研究整体吸引子以了解非线性发展方程的混沌行为 1 2g i n z b u r g - l a n d a u 方程的物理背景及研究状况 g i n z b u r g - l a n d a u 方程具有十分丰富的物理背景和内涵，近2 0 年来特别引人注 目许多物理学家和数学家对其物理性质和数学理论进行了深入研究，取得了丰硕成果 在流体力学系统。相位跃迁和超导等理论中的混沌，是由于不稳定性导致的，而描述 不稳定性的开端附近的一般的振幅方程便是如下的复值g i n z b u r g - l a n d a u ( c g l ) 方程； 毗= p u + ( 1 + i y ) a u 一( 1 + m ) l 缸i 缸t ( 1 2 1 ) 其中p 0 ，7 ，p 是实参致“( z ，t ) 是未知复函数，口是非线性项的阶致这个方程在物 理学中有很长的研究历史，在非线性偏微分方程理论中，它作为。湍流”动力模型被提出 l 广酉夫拳硕士学位论文 三堆g i n z b u r g - l a n d a u 方程曲整体哑引子置其堆数估计 来加以研究它是一个特别有趣的模型。因为它是耗散化的非线性s c h r s d i n g e r 方程一一 个在有限时间内具有形成局部奇性解的h a m i l t o n i a a 方程 对于矿= 1 的情形，1 9 6 9 年，n e w e l l ，w h i t e h e a d 【1 】和s e g e l 【2 l 首先提出了实 系数的情形g i n z b u r g - l a n d a u 方程描述p m y l e i g h - b 6 n a r d 对流1 9 7 0 年s k o g e l m a n 和 r c d i p r i n m | 3 1 在研究t a y l o r - c o u t t e 流时获得实系数情形的g i n z b u r g - l a n d a u 方程 1 9 7 1 年。n e w e l l ，w h i t e h e a d 4 t 和d i p r i m a ，e c k h a u s ，s e g e li s 提出了复系数情形 的g i n z b u r g - l a n d a u 方程描述平面p o i s e u i l l e 流其他化学湍流的问题，非平衡态中的相 变，等离子体中的飘移耗散波，以及在发热的放电器中的电离波和激光的研究等就如何导 致g i n z b u r g - l a a d a u 方程作的介绍。均可在文献中找到，在这里就不一一列举了 已发表的关于g i n z b u r g - l a n d a u 方程的文章有很多文章多集中在低维( 1 d ，2 d ) 空间中进行研究。而在高维的研究则相当困难 g h i d a g l i a 和 k 0 m 【2 2 ，d o e r i n ge ta l 【2 3 】，p r o m i s l o w 【2 4 】，等在一维和二维空问研究 了带立方非线性项p = 1 ) 的复值g i n z b u r g - l a n d a u 方程 撕= p u + ( 1 + i t ) a u 一( 1 + l p ) l u l 2 钍 ( 1 - 2 2 ) 的有限维整体吸引子和相关动力系统b a r t u o c e l l i ，c o n s t a n t i n ，d o e r i n g ，g i b b o n 和g 珏 s e l f 赳t 【2 5 1 在d ( d = 1 ，2 ) 维空间的周期区域1 0 ，1 p 研究了这个方程。软”的和。硬”的湍 流行为j g i a i b r e 和g v e l o 【2 6 】在当初值和解属于局部空间时研究方程( 1 2 2 ) 。即函 数空间仅满足局部正则条件，并没有限制函数在无穷远处的行为使用特有的局部估计和 紧性的扩展方法，证明初值是局部正则的解的整体( 时同) 存在性s i r o v i c h 和r o d r i g u e z 2 7 1 考虑( 1 2 2 ) 的两个初边值问题，对每种情况通过致值计算研究分岔。进行谱分析和 h a u s d o r t t 维教估计 c b u 【2 8 】在二维空间中考虑如下柯西问题： 撕一( 王，+ i a ) a u + ( p + i 3 ) l u l 幻u q u = 0 当g = 1 和口= 2 ，n 卢 0 ，或l 例s 乎时的整体存在性 d o e r i n g ，g i b b o n 和l e v e r m o r e 3 0 】，提出了满足一定条件的非线性项的口 0 是一 正整数时的方程( 1 2 1 ) 在所有空间的在分布意义下的弱解的整体存在性( 唯一性问题仍 是公开问题) 及其古典解的局部存在唯一性i j e v e r m o r e 和o l i v e r 3 1 】概述了此时方程 2 广西大学硕士学位论丈 三雏g i n z b u r g - l a n d a u 方程的鼙体嚷5 l 子曩其雏戟估计 ( 1 2 1 ) 在所有空间的解的适定性和正则性，给出了古典解整体( 时同) 存在的条件，给出了 先验估计之间的关系m i e l k e 【3 3 】，1 3 4 在加权空间留和一致局部空间上讫中讨论( 1 2 1 ) 的解，并推出一些新的界来考察吸引子的性质，等等 在众多物理领域，通过对复值g i n z b u r g - l a n d a u 方程的研究，为了更准确的刻画物质 运动规律，必须考虑多种因素的影响于是。便出现了广义复值g i n z b u r g - l a n d a u 方程 b r a n d ，d e i s s l e r 【3 5 】在1 9 8 9 年首次提出了如下广义复值g i n z b u r g - l a n d a u 方程在 一维空间的形式 饥+ l ，= x u + ( * + 咄) u 。一( 屏+ 礁) l 缸1 2 t l 一( 露+ f 最) i “1 4 t 一( + i ) i u 2 一( m + i m ) u 2 记( 1 2 3 ) 其中，m ，屏，展，品，也，k ，脚，胁是实数文f 3 5 】通过数值实验研究出现在行波 亚临界时该方程的局部解的相互作用，找到了局部解相互碰撞前后，大小和形状保持不变 的参数范围而此范围之外，局部解相互碰撞后，则会出现熄灭该系统是不寻常的耗散 系统，性质上也不同与完全可积系统的孤立波 方程( 1 2 3 ) 的更一般形式阳唧是 啦= a o u + 口1 t 正甜+ q 2 i 训2 t + 。b l 缸1 2 t k + 0 4 u 2 瓦k + 0 5 i “i 缸，( 1 2 4 ) 其中口 0 ，啦= m + 玩，i = 1 5 ，m 0 ，a 5 0 及咖= a o ，0 4 ，玩是实系数对 于盯= 2 的情形， 3 7 1 - 【4 2 1 的作者们研究了整体解的存在性，有限维整体吸引子。解的 g e v e r y 正则性，指数吸引子决定点的个数，惯性流形当条件4 8 1 a 5 慨一b 4 ) 2 成立 时，d u a n ，h o l m e s 和t i t i 【3 7 】获得这个方程在有界区域及适当的边界条件下的整体解的 存在唯一性d u a n 和h o l m e s 【3 8 证明了( 4 ) 的c a u c h y 问题也是适定的，郭柏灵和高洪 竣 3 9 】在以上条件下讨论了( 1 2 4 ) 的有限维行为，且证明了整体吸引子的存在性，它有 有限的h a u s d o r f f 维数和分形维致如果劬= 0 3 = 口4 = 0 ，那么方程( 1 2 4 ) 可以推得 方程( 1 2 1 ) ，方程( 1 2 4 ) 不仅形式上推广了( 1 2 1 ) ，而且更加准确地反映客观的物理 运动 可见，g i n z b u r g - l a u d a n 方程有着丰富的物理背景，有着广泛的应用，对它的解的性 态的充分研究是非常必要的，也是十分有意义的 3 广西太率硕士拳位论文 三肇g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体嘎5 i 子夏其雏救估计 相应地，在二维空间出现了带导致项的广义复值g i n z b u r g - l a n d a u 方程 饥= p “一( 1 + i t ) a u 一( 1 + l p ) i t i 缸钍- i - d a l v ( 1 u 1 2 u ) - i - z ( , x 2 v ) l - 1 2 ，( 1 2 5 ) 其中p 0 ，7 。p ，口，卢是实参数，a 1 ，九是实向量 郭柏灵和王碧祥 4 4 】，【4 5 】等在二维空间中研究了方程( 1 2 5 ) 当a , 7 ，p 满足( a ) 。 0 ，那么存在一个正数 j 0 ，使得 ! 杀 仃t 1 + v q - 石 l + 踹一1 2 成立时，在f f 2 的整体解的存在性和最大吸引子的存在性其中彻 0 ，啦= m + 风，i = 1 6 ，a l 0 ，o , 6 0 及矿 0 ，m ，玩是实数进一步获得整体吸引子的存在性，且对吸 引子的维数进行估计 郭柏灵和袁荣 4 s l 等在二维空间中研究了方程( 1 2 5 ) 加上周期外力项，当a , 7 ，p 满 足( a ) ： 71 吾知 2 ( a 2 ) ：一1 一，y p 0 ，使得 口取( i ) ，( i i ) 的最小值 一曼品 。 a 5 ( 1 3 4 ) 广西夫拳硕士学位论丈- - mg i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体哑引子夏其雏教估计 是s c t ) 在日1 ( n ) 上大一个最大的，紧的，连通的整体吸引子其中闭包是取在日1 ( n ) 接着。我们对整体吸引子进行维数估计，有如下结论t 定理3 ( 维数估计) 对于某一m ，数 = l i r a 州s u p s u p ：。( 新r e t r f ( 时) ) o 驯r ) d r ) 是非正的，那么，a 的h a u s d o r f f 维致小于或等于m 这里m 由 m 一1 0 ，使得 口取( i ) 。( i i ) 最小值 矿品 。 矿 万震1 丽 7 广育大拳硬士学位论丈 三单g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体嘎5 i 子爰其堆教估计 2 2局部鹪的存在唯一性 令h = 工备( q ) ，h = 上( q ) 表示通常的s o b o l e v 空间，而i i - l l 表示工2 ( n ) 一范， ( ，) 表示l 2 ( n ) 的内积 文中需要a g m o n 不等式， i t b ( n ) 0 ，以及三维空间g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式 l l v j 乱1 1 ，c i i v 训刚“旷， 这里 !=；，口(；一詈)，了1-a-4-p ， 一n i j 一 孑 r 孑 g ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 在h = 定义一个线性算子a u = 一( 1 + 竹) “，d ( a ) 舻由l u m e r - p h i l l i p s 定理知，a 是强椭圆算子且一a 在日上产生一收缩的解析半群，线性算子一a 是收缩连 续半群s ( z ) = 唧( 一a z ) 的无穷小生成元，z = z ：ia r g z i 一i a r c t 姐7 l ，令 f ( ) = p u 一( 1 + i u ) l u l “ u ，这样( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 可改写为； 地4 - a u = f ( 牡) ，u ( o ) = u o ( 2 2 5 ) 为了证明对每一t o 日2 ( q ) 的初值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 局部解存在唯一性，需要非线性 算子f 的特性 引理2 1 非线性映照f ) 映日2 ( n ) 到日，且对于札， 俨，满足 i i f ( - ) i | c l l u l l 伊， i i f ( u ) 一f ( v ) l i c ( 1 l u l l , 弘，i i v l l , 妒) l l u 一 0 伊 8 三堆g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体曩，i 子晨其雉教估计 证明设b 是日2 中的有界集，即i i i i 伊k ，v u b ，由于日2 。一i 户，那么存在一个 常致- ，使得i i “0 p 耳肌8 伊，v “b ，有 l l f ( u ) l l 万；孑2 4 u 峪 而驯“峪c - 伊 以及 f ( t ) 一f ( v ) = ( 1 + i p ) ( i u i 知t 一pj ” ) ( 2 仃+ 1 ) ( 1 + i u ) s u p ( 1 u l 缸，i v l ”) ( “一口) t - i ：意到俨一俨，即有i i i i 垆霄，i i 口i i l * 霄，v u ，口b ，从而 l i f ( - ) 一f ( v ) l l ( 2 盯+ 1 ) 、1 + 旷s i l p ( 8 “| | 蝥，i l + l l 蛩) l l u v l i ( 2 u + 1 ) 、1 + p 2m p ( 1 l l l 象，i i v l l 参) l l - 一”| i 舻 s 厨i i t 一v l l , p 这样完成引理的证明 由 1 4 】的正则性理论以及【1 6 】局部存在性定理【定理6 3 1 】。有 m j lj 哩2 2 对于每一u o 上产( n ) ，存在初值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的唯一解，使得对于t 【o 矗。) 有t “e 1 ( 【o ，2 k ) ：h c f z ) ) n c ( 【0 ，z ；。) ：日( q ) ) ， 且有要么冗。= o o ，或者如果瓦。 0 ，牌s u p i i - ( t ) l l m c m 9 广西大学硕士学位论丈- - i i ig i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体嚷5 i 子爰其雏数估计 2 3先验估计 首先证明t ( t ) 在日是有界的，然后证明k c - ( t ) ) 【见引理3 4 是有界的。这样t ( t ) 在日1 ( q ) 仍然有界，最后证明 ( t ) 在h 2 ( q ) 有界 + j i m3 1 假设t 0 l 2 ( q ) ，那么问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解世( t ) ，有( t ) 0 t 1 ，l i w + ( t ) 1 1 2 d t i i ( 8 ) 1 1 2 + c c t s ) ，i i 让( t ) i | 2 2 。o + + 2 2 d si i ( 8 ) 1 1 2 + c ( t s ) 其中j h 不依赖于初值，t t 依赖于兄，0 咖i i r 证明：在日中，式( 2 1 1 ) 与t 作内积并取实部，得 翔u i l 2 = p fl “1 2 一i i v u i l 2 一儿i 一 由y o u n g 不等式，推得 i 让1 2 = l - t 2 1s 去l 乱i 幻+ 2 + c 。 从而 ；面d 1 1 2 删v u i l 2 + m 一= p ”i ；m 讲2 + c 文中，c 总表示依赖于初值及仃，p ，y ，p 的常数 ；磊d 忆1 1 2 + i i v 让1 1 2 + ；川 t 1 ( 2 3 8 ) 2 ) 的解u ( t ) 满足 叫喀鲍，v t t 2 ， 其中”b 是口( n ) ，1 p o 。的范数，鲍不依赖于初值，如依赖于r ，i i 蜘i l p r 证明直接计算有 渤训；= 血儿i 嘞。础 一 1 1 广哆奎拳硬士学位论丈 三堆g i n z b u r g - l a n d a u 方程的整体嚷；l 子夏其堆敦估计 = _ u l v - 2 u * ( p u + ( 1 + i y ) a t 一( 1 + i p ) 评4 t ) = pi i “峪一 1 u l 瘤+ r e ( 1 + i 7 ) 1 u i 缸t + t 计算( 2 3 9 ) 的最后一项，有 r e j r ( 1 + i 们l u i 孙n + = 一m ( 1 + 竹) fi v 圳“p 2 - - r e ( 1 - 4 - i 7 ) 譬i u i p - 4 u , v 圳训2 = 一, v “mp - - 2 q 互1 扫一2 ) 力u 阳v 2 + 一2 ) j 厂m ”吲u 1 2 如v 矿一矿v 珏) = 一；川”4 ( p 1 ) t v j 砰1 2 - ，y 0 , 一2 ) v l “j 2 i ( u v u * - - u * v 让) + l u v u * 一u * v u l 2 1 ( 2 3 1 0 ) 的最后一项被积函数是一二次型，当p 弓 芝毛，它的二次型矩阵 、，1 十r i ( ；怠。，如，) 是非负定的此时，忽略( 2 3 9 ) 的最后一项，得到 ：勃u l 墨s 川u i i ；圳u o 麓 由带的y o u n g 不等式 j 培去肛| | 船+ 岛( 川- s 易m 帕+ 0 则有 d l l 训曙+ 卯i l u g 一 0 是 一致紧的这样，由【8 】的结论，得到s ( t ) 的整体吸引予的存在性 定理4 2 假设( a ) 成立，那么w 一极限集 4 = “，( b ) = nu8 ( t ) b 0 2 u # 三 是s ( t ) 在日1 ( n ) 上大一个最大的，紧的，连通的整体吸引子其中闭包是取在日1 ( q ) 要建立吸引子4 的h a u s d o r f f 维数估计，首先，考虑问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的第一变分方程 地= f 7 ( t ( t ) ) ( 2 4 2 ) 初值条件 v ( o ) = 咖z 圩；( 2 4 3 ) 周期条件 其中 口是q 一周期的 ( 2 4 4 ) f m ( ) ) 口= p v + ( 1 + i y ) a v 一( 1 + 讪) ( 1 + 力j u i ”口一( 1 + i * ) a l u l 知一2 “2 矿 应用标准的方法，能证明v v o 日。初值问题( 2 4 2 ) ( 2 4 4 ) 具有唯一解口( t ) ，使得 v ( t ) 三2 ( o ，t ；1 - 1 2 ) n 工。( 0 ，r ；日) ， v t 0 v v o 日，用g ) 珈表示问题( 2 4 2 ) 一( 2 4 4 ) 的解首先，能证明半群s ( t ) 在一4 是一致 酬e t 可徽的即对于撕，蛳a ，有 咝堕鼍塑蓦芈坚剑k i l w o - u o l l v0ts正iw o t l o 2 一。一一 其中依赖于资料( 口，n “p ，n ) ，l 和r 。而0 4 0 伊r 那么，根据【8 】知t 1 7 三攮g i n z b u r