（机械设计及理论专业论文）弹性效应与弹塑性断裂破坏.pdf

摘要 摘要 孔洞、裂纹、应力集中等问题是引起工程构件失效的主要原因之一。因而，关于这 些弹塑性问题的研究具有重要工程应用背景。在弹塑性理论分析中，往往采用全塑性的 方法，例如在弹塑性裂尖( h r r ) 场的导出过程中，与泊松比v 相关的弹性项完全被舍弃。 与此相关的另一问题是，全塑性模型把变量仃：【仃，+ 仃pj 设为常数o 5 ，后来一些高阶 场也沿用了全塑性观点，即用关系式o z ( 仃，+ 仃日) 2u 5 计算面外应力o z 和等效应力 q 。 裂尖能量密度场的研究发现，韧带区附近存在一个弹性变形主导区，因此传统观点 ( 包括h r r 解) 中忽略弹性效应的做法是不准确的。鉴于此结论，引用反映弹性变形与塑 性变形比率的参数“弹塑性泊松比”。，并介绍了用比拟方法得到的、，。表达式的过程。 将裂尖场的结论推广到一般弹塑性场，即将。应用到一般弹塑性平面应变问题的 求解。面外应力仃：的表达式变为仃：= ，印( 仃，+ ) 。由于，。，可以由面内应力表达，因此 面外应力仍然可以只用面内应力来表达。在此思想引导下，得出了用面内应力表达面外 应力的表达式，并由线性强化模型推广到幂硬化材料，增加了本理论的适用范围。 以上结果可以应用于一般弹塑性平面应变问题整个“屈服区”解析解的获得，并可 以应用到弹塑性裂纹、孔洞等问题的研究。本课题的研究不仅对塑性力学、弹塑性断裂 力学等基础学科的发展有基本理论意义，同时可促进和加强在工程结构断裂破坏失效分 析和疲劳寿命评估等相关方面的研究工作。 关键词：弹塑性问题平面应变弹塑性泊松比弹性效应线性强化模型面外应力 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ec o m m o nv i e wo fe l a s t i c p l a s t i cf r a c t u r ei st h a tt h ep l a s t i ce n e r g yi sm u c hl a r g e rt h a n e l a s t i ce n e r g y a n de l a s t i cd e f o r m a t i o nw h i c hi sr e l a t e dt op o i s s o n sr a t i ow a st o t a l l yo m i t e di n h r rm o d e l a n o t h e rp r o b l e mi st h a tt h ef u l l p l a s t i cm o d e lo f 仃：( 仃，+ 仃日) = 0 5 a r e w i d e l ye m p l o y e di ny i e l dz o n e s t h i sa s s u m p a t i o ni sa l s oe m p l o y e di nh i g h o r d e rt e r mf i e l d s a n d 呸 + ) = q 5i se m p l o y e dt oc a c u l a t eo u t - o f - p l a n es t r e s s 仃= a n de f f e c t i v es t r e s sc r f i ne l a s t i c p l a s t i cp l a n es t r a i np r o b l e m s t h ee n e r g yd e n s i t yd i s t r i b u t i o ni nt h ef r a m ew o r ko fh r rm o d e li so b t i o n e d t h e a n a l y s i s i n d i c a t e st h a tt h ee l a s t i c e n e r g y i sm u c hl a r g e rt h a np l a s t i ce n e r g yn e a rt h e l i g a m e n t s o e l a s t i cd e f o r m a t i o nc a nn o tb eo m i t t e di nt h es o l u t i o n so f e l a s t i c p l a s t i c p r o b l e m s t h ee l a s t i c p l a s t i cp o i s s o n sr a t i ow h i c hr e p r e s e n t st h er a t i oo fe l a s t i ct op l a s t i ci s e m p l o y e di nt h i sp a p e r e l a s t i c p l a s t i cp o i s s o n sr a t i oi se m p l o y e di np l a n es t r a i np r o b l e m s aw a yt od e t e r m i n e o u t - o f - p l a n e s t r e s s e sf o rp l a n es t r a i nb i l i n e a re l a s t i c p l a s t i cp r o b l e m si sp r o p o s e d t h e r e l a t i o nb e t w e e no u t - o f - p l a n es t r e s s e sa n di n - p l a n es t r e s s e si se x a m i n e di nd e t a i l a n dt h e e x p r e s s i o no fo u t - o f - p l a n es t r e s s e si sd e r i v e d t h e s er e s u l t si n d i c a t et h a to u t - o f - p l a n es t r e s s e s c o u l db ee x p r e s s e dd i r e c t l yi nt e r m so fi n p l a n es t r e s s e s ，a n dt h ed i s t r i b u t i o n so fo u t o f - p l a n e s t r e s s e sa r en e a r l ys t r a i g h tl i n e s t h e s er e s u l t sc o u l db ee m p l o y e d t o o b t a i na n a l y t i c a ls o l u t i o n so ft h ee l a s t i c p l a s t i c p l a n es t r a i np r o b l e m s t h ep r e s e n tr e s u l t sm i g h th a v ep r a c t i c a la p p l i c a t i o ni nt h ea n a l y s e so f s t r e s sf i e l d sn e a rah o l e ，c r a c ke t c a a n dt h i si saf u n d a m e n t a li s s u ei n e l a s t i c - p l a s t i c m e c h a n i c s ，a n d t h er e s u l t sm i g h tb eu s e f u li n a n a l y s i n gf a i l u r em o d e so fe n g i n e e r i n g s t r u c t t l l i e s k e y w o r d s ：e l a s t i c - p l a s t i cp r o b l e m s ，p l a n es t r a i n ，e l a s t i c - p l a s t i cp o i s s o n sr a t i o ，e f f e c to f e l a s t i c ，b i l i n e a r , o u t - o f - p l a n es t r e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签 名： 三垫婴 导师签名： 日期： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 结构的破坏控制一直是工程设计的关键所在。工程构件中难免有孔洞、裂纹或缺陷， 从而会产生应力集中、结构失效等问题。孔洞、裂纹或缺陷既可能是结构零件使用前就 存在的，也可能是结构在使用过程中产生的。但裂纹或缺陷的存在并不意味着构件的报 废，而是要求我 l i r a - 准确地预测含裂纹构件的使用寿命或剩余强度。针对脆性材料的研 究已有完善的弹性理论方法，并获得了广泛的应用。但对于工程中许多由韧性较好的中、 低强度金属材料制成的构件，往往在孔洞、裂纹或缺陷处先经历大量的塑性变形，然后 才发生断裂破坏或失稳等。这说明，韧性较好的金属材料有能力在一定程度上减弱裂纹 或缺陷的危险性，并可增大结构零件的承载能力或延长其使用寿命，这也是韧性材料的 优点所在。但与此同时，这给预测强度的力学工作者带来了更复杂的问题，即不可逆的 非线性塑性变形，这也是开展工程构件弹塑性变形分析的原因之一。 因而，裂纹、孔洞和应力集中等问题的弹塑性变形研究具有广泛的工程应用背景和 重要的理论意义。作为研究弹塑性物体应力和变形规律的一门科学，即弹塑性力学，它 是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。但是，用一般弹塑性问题的理论进行分 析难度很大。弹塑性变形研究范围很宽，本文仅针对孔洞、裂纹或缺口等问题，且只限 于弹塑性平面应变情况。这方面的早期研究成果有n e u b e r 方法【1 2 】和等效应变能密度法 e s e d 3 j 及其深化研究【4 ，一1 。工程中，对于一个含切口的受力构件来说，若能知道切口根 部附近应力场的理论表达式，则不仅能够知道切口根部应力集中的程度，而且还能知道 其附近区域应力分布的特征，从而可在合理设计构件，预防断裂事故等方面提供指南， 并起到重要的理论指导意义。 1 2 研究历史、现状与存在的问题 断裂理论是损伤容限等的设计基础。1 9 2 1 年，g r i f f i t h 研究了玻璃脆性断裂问题， 提出了著名的能量断裂准则，揭开了断裂力学研究的新纪元【6 ，7 1 。i r w i n 在1 9 4 8 年提出 了应力强度因子理论1 8 9 j ，为线弹性断裂力学奠定了基础。其后，w i l lj a m s 在1 9 5 7 年给 出了各向同性线弹性材料平面裂纹的k - t 解【l 0 1 。 d u g d a l e 和b a r e n b l a t t ( d - b ) 分别提出了条带模型【l l ，1 2 】，p a r s 等在1 9 6 1 年得到了 裂纹扩展经验公式【1 3 】。1 9 6 8 年，e l b e r 发现了裂纹闭合现象【1 4 , 1 5 】，r i c e 提出了j 积分【16 1 ， h u t c h i n s o n 、r i c e 和r o s e n g r e n 给出了幂硬化弹塑性材料平面裂纹的h r r 解【1 7 l 引，奠定 了弹塑性断裂力学的基础。在7 0 年代s i h 等编著了应力强度因子手册1 1 9 , 2 0 j ，断裂力学 更趋成熟。9 0 年代，a 1 一a n a m 和h a n c o c k 提出j - t 理论1 2 l j ；s h i h 等对幂硬化材料的 双参数理论进行了大量系统的研究，提出了和线弹性材料相对应的j - q 理论 2 2 2 3 j 。对应 变硬化材料c h a o 、y a n g 和s u t t o n 提出了j a 2 理论1 2 4 1 。x i a 、w a n g 和s h i h 等得到了裂 尖场高阶解【2 5 1 ，弹塑性断裂力学得到了进一步发展。但是在断裂问题求解过程中用到的 堑壹厶堂堡主堂堡迨塞 基本弹塑性理论普遍采用了全塑性模型。 孔洞的应力应变场比裂纹问题复杂。孔洞的理论研究局限于一些简单情况，比如薄 板孔受内部压力或双轴张力。孔洞塑性应力应变的早期研究主要是针对理想塑性材料或 厚壁筒的，认为v = o 。对于弹塑性应力集中问题，已经得到确切的解，根据此理论， 又研究了受均布力的带孔无限平板的弹塑性解，将这个结论扩展到到带冷挤压孔的有限 板。但是这些结论只限于平面应力问题，目前还没有得到带孔平板在更真实的应力约束 和材料的确切解。 裂纹和孔洞应力场求解与一般的弹塑性场分析密切相关，要获得它们的解析解必须 借助于一般弹塑性问题的解型2 6 j 。 但是由于数学解答上的困难，弹塑性理论所得的许多解析解只限于平面应力问题。 对于三维或平面应变弹塑性问题来说，求得其解析解是很困难的。许多弹塑性解只限于 简单的问题 2 7 - 3 4 j ，求解过程和所得表达式都很复杂，而且大多数只能得到数值解。 对于弹塑性平面应变问题，弹塑性本构通常依赖于面外应力仃，而且仃，很难消 除掉【3 5 , 3 6 】。通常的方法是采用不可压缩模型中简化的本构方程，同时忽略与静水应力相 关的体积变形，即在“屈服区”取吒( q + 吼) = 0 5 【了m 2 l ( q ，仃：是面内应力，v 为泊松 比) 。对于金属材料，实验已证明，体积应变是完全弹性的，静水应力不产生塑性变形 ( 经典弹塑性理论不涉及孔洞或塑性体积变形) 。由于弹性变形被忽略，不可压缩就是 全塑性假设。但事实上，所谓的塑性区域内同时存在有塑性变形和弹性变形，并非仅有 塑性变形发生。尤其是对于平面应变问题，有时弹性变形的比例会很大。而且，塑性变 形只代表材料变形历史，导致材料最后发生断裂或破坏的动力是由于结构内部储存弹性 势能的释发，而塑性功在某种意义上只是改变了材料的力学性质( 如强化提高了材料的 屈服极限) 。可见，尽管塑性功有时相对弹性变形能大许多，但所谓塑性区内的弹性变 形也有很重要的地位，对其展开研究也是很有必要的，不能一味地采用忽略弹性变形的 传统思路。为避免混淆，不妨把所谓的塑性区改称为“屈服区”。因而，在弹性区仍取 仃3 ( q + 仃2 ) = 、，在屈服区内，则把y 。，= 仃3 ( q + 仃2 ) 作为基本变量。屈服区内某点 的“弹塑性泊松比”，。值对应着该点弹性变形与塑性变形的比例，这点有其物理上的合 理性。 解决弹塑性平面应变问题的另一种常用方法是幂级数展开方法。但是高次解也是近 似解，只能利用许多项数来保证精度。为了简化数学计算过程，首先对应力函数作可分 离变量的假设【4 3 , 4 4 】，但是这种假设可能导致结果不准确，尤其是在需要考虑屈服区的弹 性体积变形时。另外，幂级数展开法中需要额外假定一个仉的应力函数，但太多的应力 函数必然使获得解析解更加困难。 因此，对于平面应变问题，为了获得更合理的弹塑性解，我们需要设法确定面外应 力叮，。c a p s o n i 和c o r r a d i 根据面内变量得到了本构关系的平面应变形式。在他们的 文献中，增加了一个面外塑性应变分量，同时用面内应力和应变来表示面外应力仃，而 不仅仅只用面内应力。本文工作重点之一是找到一种用面内应力直接表达面外应力皿的 2 第一苹绪论 方法，用以分析非线性弹塑性平面应变问题，这也是弹塑性力学中的一个基本问题。 综上所述，本文的出发点是必须在“屈服区”内放弃不可压缩假设。 1 3 本文的研究内容及方法 1 鉴于前人在弹塑性裂尖场的研究结果和得到的一些近似解答，考察弹性变形的相 对地位和作用，从中得出：所谓的塑性区内的弹性变形有时会很大而不可以忽略，且它 和断裂破坏的力学机理密切相关。这些研究结果表明，在真正弹塑性意义下的弹塑性场 和不可压缩全塑性解答有时会出入很大。 2 根据上一阶段得到的结论，即采用能反映屈服区内弹性、塑性变形比例的参量 “弹塑性泊松比”，得出用面内应力表达面外应力的公式，并且由线性强化弹塑性材料 推广到幂硬化材料，从而可以应用于求解一般的弹塑性场的问题。 3 对于一般弹塑性平面应变的问题，用以上的研究成果和方法展开进一步的理论 研究，考察弹塑性场中的弹性效应并寻求更为合理的弹塑性问题解答。并在一般弹塑性 场的问题分析的基础上，进一步分析弹塑性裂端场的问题。 总之，如果能提出一个求解平面应变弹塑性场的方法，利用该方法获得的解答能揭 示出一些经典弹塑性理论未能很好反映的、但却是弹塑性变形中很重要的物理现象。 1 4 课题的意义 鉴于弹塑性变形研究广泛的工程背景，可尝试将本课题提出的方法应用于复合型裂 纹、应力集中、缺口问题以及工程结构等问题的弹塑性力学行为和断裂疲劳破坏机理的 研究分析之中。裂纹缺陷形态各异、无处不在，如集成电路板、电子元器件中的微裂纹； 牙齿中牙质与珐琅质问的界面裂纹；飞行器、轮船、列车、压力容器等各种机械结构中 的疲劳裂纹；建筑混凝土、钢架、砖木等土木结构中的宏观裂纹等。研究裂纹的萌生、 扩展对保障含裂纹结构安全非常重要。因而，本课题的研究不仅对塑性力学、弹塑性断 裂力学等基础学科的发展有一定的理论意义，同时可促进和加强在工程结构断裂破坏失 效分析和疲劳寿命评估等相关方面的研究工作。 江南大学硕十学位论文 第二章弹性效应在弹塑性断裂中的作用 2 1 弹塑性断裂力学的h r r 理论 2 1 1 积分 图2 1 裂纹尖端及j 积分路径i 。 f i g 2 - 1c r a c k t i pa n dj i n t e g r a lp a t h r j 积分在弹塑性断裂力学发展中起着重要作用。在j 积分的定义过程中，r i c e 假设 了材料满足全量塑性理论的应力应变关系。在这种模型中，应力与应变仍有一一对应 的关系，但它不允许卸载发生。因此，在计算裂纹尖端应力场时，要求结构体始终处在 加载且是单调加载状态下。根据这一特点，在小变形下定义如下应变能密度： w = w ( e ，) w = n d 勺 q 。 那么应力应变关系式可以表示成 挑 2 瓦 2 - 2 ) r i c e 定义了下列j 积分去描述平面裂纹尖端附近的力学状态 j = f ( w 砂一丁挚) ( 2 - 3 ) 上述积分对路径r 守恒，即选择不同的这种曲线，积分值保持不变。这是积分的路径 无关性。 在线弹性条件下，积分与应变能释放率g 和应力强度因子k 之间的关系为 ，= = 半k i = g i ( 平面应变情形) ( 2 - 4 a ) 4 第二章弹性效应在弹塑性断裂中的作用 1 j = = 亡k j = g i ( 平面应力情形) ( 2 - 4 b ) 丘 1 上面两式表明线弹性材料与g 等价，即它代表裂纹应变能释放率。基于这一事实， 可以说在材料非线性情形下，是由k 或g 推广而得到的，这也表明线性断裂力学在 裂纹问题研究中具有基础的意义。 2 1 2 全量塑性理论裂纹尖端分析的渐近解一一h r r 解 线弹性断裂力学建立在裂纹弹性解的基础上。同样，塑性断裂力学也是建立在裂纹 塑性解的基础上，不同的是，非线性问题的严格解是很难得到的，只能得到渐近解，所 得到的渐近解中就会有某些待定的因子，而这些因子却无法由远处所施加的载荷得到。 h u t c h i n s o n 、r i c e 和r o s e n g r e n 同时发表了i 型裂纹在弹性全量塑性理论框架下的 渐近解【4 引，虽然它们的求解方法不同，但所得的结果相似，所以称为h r r 解。由于这 两个解相似，我们大概介绍一下h u t c h i n s o n 解，在这个基础上，讨论弹性应变能密度在 裂尖场的分布。 f i g 2 - 2c r a c k - t i pc o o r d i n a t e 在裂纹尖端建立坐标系( 厂，0 ) ，如图2 - 2 所示。略去体积力和惯性力时，在此坐标 中，平面问题的平衡方程为 一a o - r + ! 监+ 曼二鱼：o l 釜c 3 0 , o 强+ 立：。 p 5 ， 一+ 三亟+ 盈：o i 一 西，- a 臼厂j 引进应力函数矽( r ，臼) ，得到各应力分量： 其州= 拿，( 。) = 旦c 3 0 0 r 。 仃，= 吾+ 吉方r厂一 = 矽” 仃，8 = 一( 三参) ， ( 2 6 ) 江南大学硕士学位论文 由上式定义的应力函数多( r ，0 ) 自动的满足了平衡方程。为方便下面的讨论引进无 量纲量： 己，= gr | 6a ，己e = 68 | ga ，己r 8 = g 电| g 、，冬= 奄| 6x a 了= v | a、 其中c r g ) ，尸代表了有量纲的应力分量、应力函数、矢径；a 为裂纹长度，为屈服强 度。本节中除特别说明，所有带“一变量都是无量纲的。 小变形下的应变位移关系为 d 甜， s ，2 _ = 钞 铲等弓鲁 7 1 7 i 丽a u r + 鲁一争) 其中，“，和代表无量纲的位移分量。 由此可以得到小变形下的相容方程 ( 2 8 ) 吾( r 日) 一+ j 茸一吾s ：一- - 厂- 2 2 ( r 叠加) = 。 ( 2 - 9 ) 弹塑性硬化材料的单轴拉伸应力- 应变曲线由r a m b e r g o s g o o d 经验公式描述 s = s ( 8 + s ( p ) = 仃+ a 仃”( 2 1 0 ) 其中上标“e 代表弹性，“p ”代表塑性，a 和门为材料硬化系数与硬化指数，由实 验测出。把单轴下的应力应变关系推广到三维，可以得到全量塑性理论的应力应变关 系为： 毛= ( 1 川写+ 1 - j 2 vf f 从f i ! ，+ 三a 耳一弓 ( 2 - 1 1 ) 其中，万= s ，s o = e ，互= 盯，弓= 屯。这里氏代表屈服应变，s i j 代 表应力偏张量，皿为等效应力，即： 屯= 仃一j 1 仃从6 妒l屯2 仃 ，一j 仃从d 妒i 旷( 号嘞啪2i 以上都是基本的方程组，我们主要研究平面应变下的裂纹问题。为此，在平面应变条件 下有： 呼v 暑鬻8 意兰c = 0 p 仃：= ，( 仃，+ 仃8 ) ，仃日= = 仃c = j 、 。 在塑性理论中，一般假定体积应变为弹性的，如果略去体积应变的贡献，则认为 ，= 0 5 。这样 6 第二章弹性效应在弹塑性断裂中的作用 仃：= = 虿1 ( 仃，+ 。口) ，仃肚= j 3 ( 仃，+ ) s 。= s ，r = 仃，一三仃触= 三c 仃，一仃口， s 2 ：= s 鲫= 仃日一三叮七七= 一丢c 仃，一仃日，= 一s 。 2 = 仃，日，s 3 3 = s 1 32s 2 320 在略去弹性变形之后，由应力应变关系，有 f 1 - - f , r = 要a 仃，一( 盯，一仃p ) = i a 仃，1 ( 盯r 一仃p ) s ：= = - - ；- a 仃，( 一q ) s 2 = = 4 ：一( 一仃r ) s ，2 = ，8 = 姜a 仃，仃帕 ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) 仃，= ( 昙吩吩) “2 = 3 ( 0 r - - o 0 ) 2 + 3 仃名 1 2 ( 2 1 6 ) 先将应力分量表示成应力函数，则( 2 1 5 ) 成为应变与应力函数之间的关系式，再将应 变代入应变相容方程( 2 9 ) ，可以得到最终由应力函数表示的控制方程 7 1 万0 2 7 1 瓦0 7 1 矿0 2 ( r ) 仃y ( 吾7 + 吉砌 ( 2 - 1 7 ) 一”) + 弓 厂( 仃，一) 7 7 = 0 用特征展开项作为( 2 17 ) f 拘近似解： ( r ，0 ) = 4 r 卸+ 2 咖( p ) + 4 尸5 2 + 2 欢( p ) + ( _ s 2 ) ( 2 1 8 ) 若仅取第一项作为解，即 妒( r ，0 ) = k r 5 + 2 ( 臼)( 2 1 9 ) 实际上，这一项代表了控制项，其中k 与s 待定。将此式代x ( 2 1 7 ) 中，得到关于 ( 0 ) 的4 阶非线性常微分方程如下： - 万d 2 - n ( s - 1 ) ( n s + 2 ) 子? 。1 一s ( j + 2 ) 石+ 万) ( 2 2 。) + 4 ( s + 1 ) ( n s + 1 ) ( e 7 1 畛p ) ，日= 0 其中口表示对1 5 l 求导，以此类推。 把( 2 - 1 9 ) 代入( 2 6 ) 中，各应力分量形式上的表达式如下： 江南人学硕士学位论文 巧，= k r l ( s + 2 ) 驴+ 畛阳 = k r 5 子，( p ) l 薯!。嚣嚣d?=kers6棚o(krk r 尹 p 2 ， 仃加= 一5 ( s + 1 ) 砂日=5 厅，日( p ) i 仃，= 缸5 ( 6 ；+ 子；一号，子日+ 3 - ，2 口，! 2 = k r 5 方，( 9 ) j 其中，角分布函数子打( p ) 为 子，( p ) = ( s + 2 ) + 砂i 厅p ( a ) = ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( 2 2 2 ) 6 加( 9 ) = 一( j + 1 ) 哆日l 若应力存在奇异性，则s 0 ，另外，在裂纹尖端的应变能密度取有限值的条件下， s 必须满足以下条件： 一2 ( ，2 + 1 ) j o o 且i p l 万2 ( 2 3 1 ) 。 u e o t o l n ， 。 。 q 是根据有限元的结果，按下式计算： q ：亟立 亟k ( 2 3 2 ) 0 0 其中，( 仃8 ) 删为有限元计算的环向应力。 然而，s h a r m ae ta 1 【4 9 】和n i k i s h k o ve ta 1 【5 0 】指出，在大载荷下，方程中的参数q 是 与裂纹尖端位置相关的参数。图2 3 也表明对于行= 1 2 的材料，当仃= 6 8 8 0 m p a ，加 载至j = 1 5 7 8 n m m 的情况下，q 的值在区间o 。 ， j o - o 且1 9j 7 r 2 ( 2 3 3 ) 其中，( 仃打) 跚为小范围屈服下的应力场。 后来，0 d o w d t 5 2 1 指出两个q 的差别：( 2 3 1 ) 式和( ( 2 - 3 3 ) 式中的o 仅仅相差一个常数 ( ，2 ) ，这是一个只关于材料常数刀的函数，即 q 愀= + ( 朋) ( 2 - 3 4 ) 因此，两个q 并没有本质的差别。例如，对于挖= 1 0 ，a o = - 0 2 。尽管参数q 是与 距离有关( 也就是，在裂纹尖端各个点上，o 的值并不是唯一的) ，一q 解还是可以作 为工程问题的近似解答。j o y c e 和l i n k 【5 3 ，5 4 1 用o 作为约束参数，列出了不同断裂试样在 断裂发生位置的约束带来的影响。 应该注意的是，p 也是与载荷有关的，随着载荷发生变化，并且在裂纹扩展时无 法保持为一个固定的常数。在大范围屈服的情况下，q 是一个强烈依赖于载荷的参量。 l o 第二章弹性效应在弹塑性断裂中的作用 当试样或结构中的裂纹扩展时，具有良好塑性的材料往往经历大范围屈服的情形，此时 裂纹尖端的q 值不断变化，这使得用q 参数分析裂纹起裂、扩展的断裂问题时困难重 重。 因此，在分析断裂问题时，p 不适合作为一个理想的约束参数。但过去的学者在这 方面做了大量的工作，并且发展j q 断裂准则，这方面的经验值得借鉴。，一q 方法 仅仅建立在数值分析的基础上，而且参量q 与各种因素有关，使得用j q 方法分析材 料的断裂问题显得很不方便，且没有严格的理论依据。 鉴于h r r 场认为裂尖区是一个塑性区，而一q 方法应用很不方便，本文拟采取 方法以得到更合理的弹塑性裂尖场的解析解答。 2 2 裂纹尖端区域弹性能密度分布 弹塑性断裂理论的传统观点是裂尖区塑性功远大于弹性能，因而往往忽视弹性变形 的存在。在h r r 场的导出过程中，与泊松比v 相关的弹性项完全被舍弃。与此相关的另 一问题是，全塑性模型把变量仃：仃，- i - 1 3 日设为常数o 5 ，后来一些高阶场【5 5 ，5 6 ( n o e 文 5 5 1 是，一q 两项式的理论基础) 也沿用了全塑性观点，即用关系式仃：= o 5 ( 仃，4 - 仃日) 计算 面外应力仃：和等效应力仃，。文献1 5 7 中分析指出，裂尖前方区的弹性应变一般并不可忽 略。而且随试件几何、硬化程度、载荷等的变化，尽管裂尖场大部分区域内万( 仃，- t - ) 可以接近o 5 ，但在裂尖前方韧带处某区域万，( 仃，4 - ) 值明显低于0 5 5 s 】。在整个裂纹 尖端场内，1 3 二( 仃，4 - ) 值随各点的屈服深度仃，仃。变化而变化，它又是反映弹性与 塑性变形比例的参量【5 9 ，6 0 1 。此外，三轴应力仃。仃，被广泛应用于弹塑性裂尖场的分析中， 比值叮= ( 仃，+ ) 与仃册仃f 有固定的关系，而在h r r 场以及一q 场中，认为前者是 常数，后者却是个变量( 代表裂尖约束的典型参数) 。目前，弹塑性裂纹尖端场的解答己很多， 但许多问题尤其是关于弹性项的作用尚未有明确的结果。本节讨论弹性能在裂尖区域的 分布，及弹性效应的重要作用。其中，弹塑性断裂力学变形几何关系仍用线性方程，仅 应力应变关系为非线性，即只考虑了物理非线性效应。 幂硬化材料的应力应变关系为 詈= c - w ，翌o o + 孚垒o o 吒+ 孚2 q c 毒厂詈 c 2 扔， s o j 。 l 仃o 仃。 公式中应变张量s ，与应力偏量s ，相关，应力偏量s ，与应力张量万，的关系为 s n = 仃口一仃。6 ，平均应力表达式仃。= p ，+ 4 - 仃：) 3 ，仃，为面内应力，仃：为面 外应力。通常，e ，v 为弹性模量和泊松比，为起始屈服应力，其对应应变氏= c r 0 e 。 公式右侧前两项和最后项分别对应弹性应变e 。和占。，以叱和w 。分别代表弹性能 密度和塑性能密度，其定义式为 江南大学硕士学位论文 t ：；( 1 + v ) 开+ 昙( 1 2 v ) 甓 耳= n 生+ l n 。o q f 2 3 6 1 其中或2 w 仃。o ，_ p2 k 仃。s o 。在尖端月 近区域，墟常认为s p 】s 。而忽略e 。r 即采用不可压缩全塑性模型来获得h r r 奇异解。 孚= ( = ! r 一一) 古舌( 8 ，h ) ( 2 3 7 ) 叮0a 1 月盯0 8 0 r 。 其中是材料常数；疗“徊，h ) 可以由式( 2 - 2 2 ) 币3 ( 2 2 7 ) 确定，而h u t c h i n s o n 己得到 了厅，吃，t 的表达式。将( 2 - 3 7 ) 带入( 2 3 6 ) ，得到h r r 场的弹、塑性能量密度为 ( 冠) 。：见( 。，h ) ：卜g 一) i 川幔，h ) i ”： ( 2 _ 3 8 ) ( 哆) 一2 b ( r ，。， ) 2 去嘭( 。，”j 在没有特殊说明的情况下，以下省略掉符号一”，霞( 0 ，h ) ，吃( d ，h ) 只与材料有关， 且无量纲。 咖) _ 2 3 ( 1 - 2 v ) i ：( 蛳) 十半鳅) 去产l 一 咿川2 斋去l ( 蛳j 如果存在( 也) 。则与全塑性假设矛盾，因为全塑性模型认为尖端区域有s 。口s 。而 忽略弹性应变。衷2 1 中的( 仃。) 。值表明了( 心) ，的存在。 ( 2 - 3 7 ) 式变形得： ( o - , a , o - i ) 协。2 ( 去 去) 如 ( 2 - 。0 ) 当口。e ，a 分别取0 0 0 2 ，3 7 时，由式( 2 4 0 ) 解得口一口。，仃，的值如表2 - 1 ： t a b l e2 - 1t h es t r s e $ o nt h el i g a m e n li nh r rf i e l d n 3 3 1 3 1 3 ，4 ( 3 - 0 j 2 5 2 5 o - u foo 57 46 3 0 7 28 8 仃，盯n 0 8 06 4 10 4 o9 8 6 m f ) - n 72 72 2929 丝三童登堡鏊堕垄登望堡堕! 型主塑堡塑 平面应变情况下，仃。值通常根据不可压缩模型计算，h r r 场也是如此，即 厅。= 方：= 0 5 ( 5 ，+ 吒) 。表2 一l 中万，仃。1 0 表明韧带区材料接近屈服，而此时的 仃。仃。远远大于o ，仃。说明包含韧带区的某狭窄区域内( 心) 远远大于( w ，) 片。换言 之，对于不同材料( n = 3 ，1 3 ) 在塑性区存在一个3 叮。口6 0 r 。大小的高静水应力场。这样 一直以来认为裂纹前端部分是一个塑性变形主导区的想法是不准确的，它实际上是一个 局部弹性区。 上文中如果没有特殊说明仍然采用不可压缩模型来计算，泊松比，取为o 3 ，由 h u t c h i n s o n 知h r r 奇异场的方，或，子，值，仃o e ，a 分别取0 0 0 2 ，3 7 ，将这些值带入 公式( 2 - 3 9 ) ，获得随臼变化的吃，仍p ，再代入( 2 3 8 ) ，得到( w 。) 和( w p ) ，其结果如图 2 4 所示： h r rf i e l d s o r , e = 0 0 0 2 一- 一- , o + 一- 一- ： ，= 3 ：= 跏础 。、。、叼k 1 c k 叫- 、q l 6 16 、6 一寺古1 6 r 啮一6 洋峰曲群蝉帕。诺d l2 345 6 r 0 4 l3 h r rf i e l d s o o e = 0 0 0 2 = ( 叱+ w p ) 一一。一一刀= 3 _ - - ，= 1 3 r 吒j 图2 - 4h r r 模型裂尖前端能量密度的韧帚分布 f i g 2 4t h el i g a m e n td i s t r i b u t i o no ft h ee n e r g yd e n s i t i e sa h e a do f ac r a c kt i pi nt h ef r a m e w o r ko fh r r m o d e l 图2 4 ( a ) 比较了