（应用数学专业论文）符号空间一类稠密混沌系统的矩阵刻画.pdf

华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人痘垩! 通向本学位论文答辩委员会提交 题为! 瘟墨望圆二主竭鳖选鱼盔函豳簦醢訇亘2 的硕士论文， 经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。 耋蔫? 篮签名主席】司( 缁 委协 论文指导老师( 签名) ： 知，年石月f日 摘要 本文运用矩阵作为工具对符号空间有限型子转移具有 稠密混沌的系统作了具体的刻画，得到了些结论 a b s t r a c t i ns y m b o l i cs p a c ed e n s e c h a o t i cs y s t e m sw i t hr e s p e c tt o s u b s h i f t so ff i n i t e t y p ea r es t u d i e d u s i n gm a t r i c e s a st h e m a i nt o o l ，w eg i v eac o n c r e t ed e s c r i p t i o no fs u c hs y s t e m s ， a n do b t a i ns o m ec o n c l u s i o n s 2 序言 f 一1 背景回顾 “混沌”亦写成“浑沌”它足自然界中一火类现象，它比有序更为普通 因为在现实中，绝大部分现象不是有序的、稳定的和平衡的，而是处于无序 的、变化的和涨落起伏之中的 1 9 世纪中期，自然科学家首先讨论混沌问题的是热力学热力学的平衡 态实际上是一种混沌态此外，像布朗运动等现象也与混沌有关，都是一种 混沌无序的状态1 9 世纪末2 0 世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌 问题他把动力系统和拓扑学有机地结合起来，指出在三体问题中，其解在 一定范围内是随机的实际上这是一种保守系统中的混沌 1 9 6 3 年，美国著名的气象学家洛伦兹在数值实验中首先发现，在确定性 系统中有时会表现出随机行为这一现象，他称为“决定论非周期流”呲在 这一论点的支配下，洛伦兹曾提出：“气候从本质上是不可预测的”后来人 们意谚 到，洛伦兹所发现的“决定论非周期流”现象其实就是一种混沌现 象，揭示了气候系统对初始条件非常敏感，初始条件的极微小差别会导致巨 大的天气变化这混沌运动的基本性质 1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和美国数学家j y o r k 发表了题为“周期3 蕴涵 混沌”的著名文章，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程他们在此 文中绘出了混沌的一种数学定义，就是我们通常所说的l i y o r k 混沌该定 义从严格的数学意义上，阐述了混沌现象的复杂特征：不可数多的点，在同 步迭代下，若即若离，飘忽不定，时而聚拢，时而分离文章标题中的“混 沌”( c h a o ) 一词便正式出现在科学语汇之中自此以后，人们着重研究系统 如何从有序进入新的混沌与混沌的各种性质和特点，以及借助于( 单) 多标度 分形理论和符号动力学，进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结 进入2 0 世纪9 0 年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形 式，对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展，而且其他学科的发展又促进 了对混沌的深入研究混沌与其他学科相互交错，渗透，促进，使得混沌不仅 在数学、生物学、物理学、信息科学，还在经济学、美术等多个领域得到 广泛的应用 动力系统是非线性科学的一个重要组成部分符号动力系统是由有限符 3 号空问上转移自映射所生成的迭代系统，是非常特殊的一类动力系统它具 有广泛的应用，包括在混沌学、计算机科学乃至编码学等学科和分支中的 应用，也包括在一般动力系统理论研究中的应用在动力系统研究中，符号 动力系统既是一个重要研究对象，又同时是一个强有力的研究工具，它可以 说是介于特殊系缆和一般系统之间的个窗口和试验区 ( 二) 文章概述 不同领域的学者基于各自对混沌的理解，而对混沌作了各色各样的定义， 至今还没有统一的定义在这些混沌定义中，较为著名的几个有：l i y o r k 混 沌向、d e w n e y 混沌【3 、熊意义下的混沌【1 1 】、分布混沌f 4 】、w i g g i n s 混 沌【5 】等 而通有混沌( g e n e r i cc h a o s ) 最先是l a s o t a 6 j 在研究为模拟血红细胞数 目增长而建立的动力系统模型的混沌性质时引进的后来。从这个概念 h 发，s n o h a ，8 】定义了6 通有混沌、稠密混沌f d e n s ec h a o s ) 及6 一稠密混 沌正如下面的定义4 所看到的，这些概念都涉及到l i y o r k e 对在积空自j 中 的稠密程度对于紧致度量空间上的连续自映射，已有它们的关系图表如下： 拓扑混合= 拓扑弱混合号5 - 通有混沌兮通有混沌 uu 6 一椭密混沌号稠密混沌辛l i y o r k 混沌 并且，m u r i n o v a 9 l 给出了是通有混沌而不是6 一通有混沌的例子而s n o h a 8 证明了对于区问自映射，正通有混沌、通有混沌和d 一稠密混沌均是等价的， 并且提供了稠密混沌非通有混沌的例子 本文运用矩阵作为工具，对符号空间有限型子转移具有稠密混沌的系统 作了较为完整的刻画，得到了一些结论全文主要分为三部分第一部分 是预备知识的简单总结第二部分是在拓扑传递系统的情形下讨论，得到 了稠密混沌等价于拓扑混合( 定理1 ) ，因而此时稠密混沌系统相应的矩阵刻 画是非平凡的本原矩阵；同时得到了，当方阵的阶不大于3 时，稠密混沌才 与l i y o r k 混沌等价第二部分是在般系统的情形下讨论，得到了稠密混 沌的一个充要条件( 定理2 ) ，相应的矩阵刻画是对矩阵的下三角标准形附加 一些特征而得 4 预备知识 下面只给出一些主要的定义，更详尽的内容，可参阅文 1 0 或 1 9 】n 表示 自然数集，也即非负整数集 设t ：x x 是一个映射，其中x 是一个集合对于每一个n n ， 我们按如下方式归纳地定义一个映射p ，称为r 的第n 次迭代：令 t o ：x x 为恒同映射；对于每一个n l ，设p _ 1 已经定义好，令 t n = t 。t ”1 ，其中o 表示映射的复合运算 定义1 设x 是一个拓扑空问，t ：x x 是x 上一个连续映射称 x 上的迭代映射序列p ，t 1 ，t n ，为x 上由t 生成的一个( 离散 半) 动力系统，记作( x ，t ) 若y 是x 的一个非空闭子集，且t ( y ) cy ，则把y 上的限制映射 t y ：y y 所生成的系统( t i y ) 称为系统( x ，t ) 的子系统 对于每一点茹x ，集合 z ，t ( z ) ，p ( z ) ，) 称为z 在r 作用下 的轨道 定义2 设x 是一个拓扑空间，t ：x x 是连续自映射 ( 1 ) 如果对于任意非空开集u y ，存在n n ，使得 了m ( u ) n y 口， 则称丁为拓扑传递的： ( 2 ) 如果对于任意非空开集以y ，存在n n ，使得当n n ， ? ”( u ) n v 0 ， 则称t 为拓扑混合的； ( 3 ) 如果t t 是拓扑传递的，则称r 为拓扑弱混合的； ( 4 ) 如果x 的每一点的轨道都在x 内稠密，则称t 为极小的 定义3 设t ：x x 是紧致度量空间( x ，p ) 上一个连续映射 x ，y x 和j 0 如果 l i m s u p p ( p ( z ) ，p ( ) ) 6 ，且l i m i n f p ( p ( z ) ，p ( ) ) = 0 n _ o 。 一w 5 则称( x ，y ) 为一个模dl i y o r k e 对 如果存在某6 0 ，使得( z ，y ) 是一个模dl i y o r k e 对，则称( z ，y ) 为 一个l i - y o r k e 对( l i y o r k ep a i r ) 所有模jl i y o r k e 对组成的集合记为l y ( z6 ) ，所有l i y o r k e 对组成 的集合记为l y ( t ) 设k 是x 的一个子集，如果对于任意的x ，y k ，茁y ，( x ，y ) 是一个 l i y o r k e 对，则称是一个攀援集( s c r a m b l e ds e t ) 设g 是x 的一个子集，如果g ( 相对x ) 的余集是x 的第一纲集，则 称g 是一个剩余集( r e s i d u a ls e t ) 定义4 设t ：x x 是紧致度量空问上一个连续映射，d 0 ( 1 ) 如果存在一个不可数的攀援集，则称t 是l i - y o r k e 混沌的； ( 2 ) 如果l y ( t ) 是x 2 的一个剩余集，则称t 是通有混沌( g e n e r i c c h a o s ) 的； ( 3 ) 如果l y ( t ，d ) 是x 2 的一个剩余集，则称t 是6 一通有混沌的； ( 4 ) 如果l y ( t ) 是x 2 的一个稠密集，则称t 是稠密混沌( d e n s ec h a o s ) 的： ( 5 ) 如果l y ( t ，d ) 是x 2 的一个稠密集，则称t 是6 一稠密混沌的 根据定义可明显看到，d 一通有混沌蕴涵通有混沌和d 一稠密混沌而6 一稠密 混沌蕴涵稠密混沌这又蕴涵l i y o r k e 混沌 设a = ( 。蚶) 。是n 阶非负方阵对任意的n 0 ，记a ”= ( 蚶) _ x n 定义5 设a = ( o 话) 是阶非负方阵 ( 1 ) 如果对任意的0 i ，j 0 ，使得( n ) 0 ，则称a 是 不可约的 ( 2 ) 如果存在n o ，使得对任意的0si ，j 0 ，则称 a 是本原的 设n 2 ，令 s = 0 ，l ，一，一l ， 赋予离散拓扑，并称s 为由v 个符号组成的状态空问令 6 & ：l | e 其中对每一个i 兰0 ，& = s 则是一个紧致的可度量化的拓扑空间，称 之为由n 个符号生成的( 单边) 符号空问 e 上的转移自映射口为： f f ( x o x l ) = ( x l x 2 ) ，v 嚣= o o $ 1 一 在上定义一个与其拓扑相容的度量p 如下：对于任意的z = 茹o $ 1 ，翟= 珈翟1 ，+ n ， p ( z ，可) = o i l 拼 z 。y k = m i n i l x t 玑 设a = ( a j ) j v 。_ 是一个阶o ，1 一方阵令 e = z = 正o z l - e n i a 。+ 1 = 1 ，v i o 则e 是对口不变的闭子集令 o a = d i e ， 称之为由方阵a 所决定的有限型子转移 命题1 对于任意的6 ，0 6 1 ，删有 阻，o a 是6 一通有混沌等价于口 是j 通有混沌 俐o a 是d 一稠密混沌等价于o a 是一稠密混沌 证由a 上的已定义的度量，对于任意的5 ，0 d l ，刚对于任意的x = x o x l x 2 ee a 及任意的i 0 ， x i a 【x m + i a 舍有p ( a a ) 的元紊当且仅当d i m 证( 必要性) 当d m 时，对丁任意的( x ，y ) k 陋。 ，其中 z = z i z t + l x i + 2 - x d a ，y = 叭+ m 虮+ m + i y i + m + 2 - i x i + r n a 令 y 2x i x i + l x 件2 - - x i + m - 1 y l + m y i m + 1 则y e 陬】 假设存在某个k 0 ，使得z = y + 。+ k ，则南引理3 ， d 忡+ m + k ) 一( i + 女) ，即d i m 这与df ? - t 2 矛盾因此，对于任意的 0 ，翰+ k y i + 。+ t ，所以l i m i n f p ( o a ”( z ) ，o - a “( ) ) 0 ，即( x ，y ) 掣p ( 口_ ) 故对任意的i 0 ，k 2 5 m + i 1 a 不含有p ( o a ) 的元素 ( 充分性) 当酬m 时，令a 盖= a 矗，由于g c d ( 等，等) = 1 ，故由引 理1 ，a 盖是拓扑混合的又南弓f 理4 ，则有一j 是稠密混沌的，即p ( 一j ) 在 axe a 中稠密又由于p ( 盯盖) cp ( a a ) ，而k 】a x m + i 】a 足axe a 的开集，故对于任意的i 0 ， x i 】 x 【x m + i 】a 必含有p ( a a ) 的元素 口 定理1 设f f a 是由不可约的0 ，一方阵a 决定的有隈型子转移对于任 意的6 ，0 1 ，其 中p 1 ，p 2 ，m 足9 的所有不可约周期取a a 的。相对柱形 x o i x l 】 由命题2 ，此时m = 1 且d 十1 可知 x o a 【x 1 a 不含有 尸( 口 ) 的仟何元素又注意到，k o a 陆1 1 是e a a 的开集，因此p ( c r a ) 在 a 中不稠密 hl y ( a a ) cp ( o a ) ，战l y ( t t a ) 也不在ax a 中稠密这与o - a 是稠密混沌矛盾 口 从定义可以看到，在拓扑传递情形卜，稠密混沌系统对应的矩阵刻画是 非平凡的本原矩阵并且此时，稠密混沌与l i y o r k e 混沌的关系如下 推论1 对于南不可约的仉i 一方阵a = ( a t j ) n 。n 决定的有限型子转移 口a 而言，当l n 3 , o r a 是稠密；琵湾的等价于口 是l i y o r k e 湿地的， 证当n = 1 时， 是单点的平凡空间，我们依然认为，此时稠密混沌 与l i y o r k e 混沌等价 当2 n 3 时，由引理2 和定理1 ，立即可得稠密混沌与l i - y o r k e 混沌 等价 口 当n 4 时，对每一个，构造例子表明稠密混沌的确不与l i - y o r k e 混 沌等价 例1 取a n = ( ) ，其中 a 0 12a 1 2 。- 2 n 一3 n 22a n 3 nl 2 a n 一2 ，0 2 a n 一1 ，0 21 l l 其他项均为0 即形如 a 0l0 0o1 000 1o0 1o 0 o0 o0 。 11 o0 00 易看到，( 012 _ 3 _ 2 ) 且( 012 一3 l 一1 ) 是口a 。仅有的两个不可 约周期节因此，由方阵a n 决定的有限型子转移0 a 。的所有不可约周期 就是v 一1 ，南引理1 ，d a 。不是拓扑混合的显然，0 - a 。不是极小的j j ! f j 根 据定理1 ，o 。足l i y o r k e 混沌但菲稠密混沌的 1 2 一般的情形 a = ( i i | ) ， 取任意一个。一l 方阵a 一( 。玎) n 。，如果a 中第i 行的元素全为o ， 0 i n ，则符号i 不出现存e a 的点中故此种情形可退化为状态空问 抹掉符号i 的较低阶符号动力系统去讨论如果a 中第i 列的元素全为o ， o n 我们把第i 列及第i 行划掉得到低一阶的方阵a o ，此时可以自 然地将状态空问抹掉符号i 的系统( ，。a 0 ) 视为( a ，o - ) 的| 系统则 有 命题3 若。一1 方阵a 有某一列的元素全为o 把这一列及相应的行剐掉 得到低一阶的方阵a o 则。a 与9 山具有相同的通有混沌性r 或稠密混沌 性j 证首先，矿( ) = 山，又由l i y o r k 对的定义，n 一时，可以忽略 掉前面有限项故立即可得 口 记刀为阶单位方阵对任意的0si ，j 0 ，a ，为不可约非负方阵，i = 1 ，2 ，8 ， a k l k 一，a h k 中至少有一个不是0 矩辟，f = r + l ，r + 2 ，s 设a = ( 。，) _ 。足每一行和每一列的元素均不全为。的一个o ，1 一方阵， 且具有如引理5 的下三角标准形根据a 的下三角标准形，可以将底空r n j s = o ，1 ，一1 ) 分解为成不相交的s 组子集： m 1 = o ，l ，k l 1 ， m 2 = k l ，k l + 1 ，- ，1 + 2 1 ， m s = k l + k 2 - 4 - 十k s 一1 ，一，女1 + 如+ 十也一1 xk l 阶方阵a h ( 0 m a x ( m ，n ) ，使得i ，j m l 且 i o i l ，i t 】 c 【 i o i l t m 】 ，d o j l 负1 a j o j z j 。1 a 此时，由于 b c 是山，p a 。，的一个丌集，同理它也含有至少一 个l i - y o r k e 对，不妨设为l 一，埘，) 不难看出， 1 5 就是 i o i l 引 xb 叮1 】a 的一个l i y o r k e 对 因此，o a 足稠密混沌的 ( 必要性) 先证结论( 1 ) 成立，分为两种情形 情形1 ：若不可约方阵a k ，是平凡的，即a 的下三角标准形是如下形式 p n ) 1 也容易验证，例如取e ax a 的开集 1 】 2 】 ，它没有含有任意的l i y o r k e 情形2 ：若非平凡的方阵a k 。不足本原的，由定理1 ，。山，不是稠密混沌 下证结论( 2 ) 假若r 2 ，则a 的下三角标准形包含有如下的子方阵 ( 等1 ：。) 譬如取i o m l ，j o 如，则【i o a 是e 的一个开集，但它 不含有任意的l i - y o r k e 对，因为对任意的z i o ，y 3 0 a ，z 与y 的各 坐标分量上的符号分别取自 矗和m 2 ，即相应位置上符号始终都不相同 在此一般情形下，我们再来比较一下稠密混沌与l i - y o r k e 混沌各自的矩 阵刻画的异同 有限型子转移o a 是l i y o r k e 混沌的矩阵刻画如下，相关内容可参阅 文 1 6 】：设0 - 1 方阵a 己化成下三角标准形，则口 是l i y o r k e 混沌的，当且 仅当存在某个。血是l i y o r k e 混沌的，也即当且仅当存在某个a 岛，它的 某一行或某一列上至少有两个1 ，其中1 f s 为了形象地理解稠密混沌，我们引入如下的记号在方阵a 的下三角 标准形中，对于1 i j 玉s ，如果a k ，不是0 矩阵，则反映m 子系 统 。中有一部分的点经有限次迭代后将会进入子系统 。中，用记 1 6 号a ，一a k 。表示根据定理2 ，如果。a 是稠密混沌的，则对所有的z 2 f s ，a h k 一，a h k 。中至少有一个不是0 矩阵因此，对所有的l 2 z 曼s ， a h o ：o a b 。 有限个一 譬如，如果a 的下三角标准形如下： a b a 。 a k 5 3a 5 4a 蚝 其中标出来的分块矩阵都不是0 矩阵，而未标出来的全为0 矩阵则我们可 以得到如下的关系图： f - 夸k 一a b 和a h 一牟b 至此，我们可以从另一个侧面看钊，在有限型子转移的符号空间中稠密 混沌系统的各传递系统子系统中有一个子系统是产生稠密混沌的核心，备 子系统之问有着一定的联系，并且晟终归附于核心；而l i y o r k e 混沌系统的 各传递子系统中虽然也有一个子系统是产生l i y o r k e 混沌的核心，但是各 子系统之间可以互相没有联系而保持各自独立 1 7 船 脚 a a 知舢舳 ，-i 参考文献 l o r e n zed e t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o w j j o u r n a lo ft h ea t h m o s p h e r i cs c i e n c e s ，1 9 6 3 ：1 3 0 1 4 1 l ity y 0 r k ej ap e r i o dt h r e e i m p l i e sc h a o s j 1 a m e t m a t h m o n t h l y , 1 9 7 5 ，8 2 ( 1 0 ) ：9 8 5 9 9 2 d e v a n e yr l a ni n t r o d u c t i o nt oc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m sf s e c o n d e d i t i o n ) m a d d i s o n - w e s l e yp u b l i s h i n gc o m p a n ya d v a n c e db o o k p r o g r a m ，r e d w o o dc i t y ，c a ，1 9 8 9 s c h w e i z e rb ，s m f f e dj m e a s u r eo fc h a o sa n das p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n o fd y n a m i c a ls y s t e m so nt h ei n t e r v a l j t r a i l s a m e r m a t h s o c ， 1 9 9 4 3 3 4 ( 2 ) ：7 3 7 _ 7 5 4 w i g g i n ss i n t r o d u c t i o nt oa p p l i e dn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sa n d c h a o s m t e x t si na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 0 p i o r e kj o nt h eg e r e r i cc h a o si nd y n a m i c a ls y s t e m s j u n i v 1 a g e l a c t am a t h ，1 9 8 5 ( 2 5 ) ：2 9 3 2 9 8 s n o h al g e n e r i c c h a o s j c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n a e ， 1 9 9 0 ，3 l ( 4 ) ：7 9 3 8 1 0 s n o h al d e n s e c h a o s j c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n a e ， 1 9 9 2 ，3 3 ( 4 ) ：7 4 7 - 7 5 2 m u r i n o v ae g e n e r i cc h a o si nm e t r i cs p a c e s j a c t au n i v m b e l i ， 2 0 0 0 ( 8 ) ：4 3 5 0 b l o c kls ，c o p p e lw a d y n a m i c si no n ed i m e n s i o n m l e c t u r e n o t e si nm a t h e m a t i c s s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 2 x i o n gjc 。y a n g zg c h a o sc a u s e db yat o p o g i c a l l ym i x i n gm a p s a l ， i nd y n a m i c a ls y s t e m sa n dr e l a t e dt o p i c s ，s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c p r e s s ，1 9 9 2 ：5 5 0 5 7 2 x i o n gjc ，c h e nec c h a o sc a u s e db yas t r o n g - m i x i n gm e a s u r e - p r e s e r v i n gt r a n s f o r m i o n j ，s c i e n c ei nc h i n a ，1 9 9 7 ( 4 0 ) ：2 5 3 2 6 0 x i o n g jc ac h a o t i cm a pw i t hp o s i t i v ee n t r o p y j ，a e t a m a t h s e i e n t i a ，1 9 8 6 ( 6 ) ：4 3 9 -