（模式识别与智能系统专业论文）分形维数分析及其在地震剖面图像分割中的应用.pdf

顺l 沦史分形维数分析及l c f l 地震剖曲剧像分割中的盹用 摘要 纹理图像分割中最重要但也最困难的部分之一是纹理特征分析，它的重要性在于 纹理特征提供了纹理图像中区分不同区域的必要的结构信息。分形和小波具有内在的 多尺度属性和尺度不变性，它们能够胜任对纹理图像中粗糙度特征的描述。 本文主要讨论分形维数( f d ) 理论在纹理图像特征提取方面的应用，首先我们 系统地分析了图像处理中分形维数估计的一般计算方法，然后在此基础上做了改进。 信号处理中小波变换的奇异点检测原理表明小波变换后的系数具有模局部极大值，我 们借助于这个原理引入一种新的分形维数估计方法：小波分形维数。 为了减少分割中的估计错误，我们把传统的4 邻域边缘保护噪声平滑象限滤波技 术( e p n s q ) 改进为8 邻域，并对每一个分形维数特征在分割之自u 进行了平滑。在 分割中使用了可迭代的k 一均值聚类算法，实验中分别用两种方法对实际的人工地震 剖面图进行了特征提取和分割，实验结果说明了本文提出的方法是有效的。 关键词：纹理分割分形维数小波变换多尺度 塑! ! ! 兰坌堂生塑竺塑苎! ! i ：些塞型塑型坚坌型! 塑坐旦一 a b s t r a c t t e x t u r ef e a t u r ea n a l y s i sh a sb e e no n eo f t h em o s ti m p o r t a n tb u td i f f i c u l tp r o p e r t i e sf o r t e x t u r e i m a g es e g m e n t a t i o n i t i s i m p o r t a n tb e c a u s ei tp r o v i d e s t h ee s s e n t i a ls t r u c t u r e i n f o r m a t i o ni nd i f f e r e n tr e g i o n so fat e x t u r ei m a g e f r a c t a la n dw a v e l e tp r o c e s si n h e r e n t l y m u l t i p l e - s c a l ep r o p e r t ya n ds c a l ei n v a r i a n t t h a tc a nb ec o m p e t e n tf o rr o u g h n e s sf e a t u r e si n t e x t u r a lr e p r e s e n t a t i o no f t e x t u r e i m a g e w ef o c u so nf r a c t a ld i m e n s i o n ( f d ) f e a t u r ee x t r a c t i o nm e t h o do ff r a c t a l b a s e d t h e o r yf o rt e x t u r ei m a g es e g m e n t a t i o ni nt h i sd i s s e r t a t i o n w ef i r s ts t u d yg e n e r a lm e t h o d s o fe s t i m a t i n gf r a c t a ld i m e n s i o ni n i m a g ea n a l y s i s a n dt h e n ，w ep r o p o s e a ni m p r o v e d m e t h o do fe s t i m a t i n gf r a c t a ld i m e n s i o n f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n tan e wa p p r o a c ho f e s t i m a t i n gf r a c t a ld i m e n s i o n ，w h i c hr e l a t e dm e a s u r ee m p l o y st h es i n g u l a r i t i e st e s tt h e o r y o f t h el o c a t i o n sm a x i m ao f t h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u si ns i g n a lp r o c e s s i n gf i e l d f o rt h e p u r p o s e o f r e d u c i n ge s t i m a t i n g e r r o ri n s e g m e n t a t i o n ，w e u s et h e 8 - n e i g h b o r h o o de d g e p r e s e r v i n gn o i s es m o o t h i n gq u a d r a n tf i l t e r ( e p n s q ) ，i n s t e a do ft h e t r a d i t i o n a l 4 - n e i g h b o r h o o dt e c h n i q u e ，t os m o o t he a c ho ft h ef r a c t a ld i m e n s i o nf e a t u r e s b e f o r ep r a c t i c a ls e g m e n t a t i o n a ni t e r a t i v ek - m e a n ss c h e m ei su s e df o rs e g m e n t a t i o n o u r s e g m e n t a t i o nt e s tr u n si nt h ep a r t i c u l a ri m a g e so fr e a ls e i s m i cs e c t i o n t h ee f f e c t i v e n e s so f o u re s t i m a t i n gf da p p r o a c h sa n dt h ep r o p o s e d s e g m e n t a t i o na l g o r i t h ma r ec o n f i r m e d t h r o u g hc o m p u t e rs i m u l a t i o n s k e yw o r d s ：t e x t u r es e g m e n t a t i o nf r a c t a d i m e n s i o nw a v e l e tt r a n s f o r m m u l t i p l e s c a l e y6 2 4 3 2 0 声噗 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含萁他人已经发 表或公布过的研究成采，也不包含我为获得任何教育祝构的学位或学 掰丙使鼷过静毒芎料。与我一隧工终的霹事对本学像论文徽出的贾献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：! 霾堂叁彷中年垂局，咿霞 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的嗽子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 予保密论文，按保密的有关栽定和程序处瑾。 坝l 沧史分蟛捺散分析戏j 在地震剖面捌像分划中的成用 l 绪论 1 1 纹理分析方法发爰状潺 最近几十年，纹理图像分析是一个热门的研究方向，人们分析纹理的目的是研究 魏露震一萃孛有效翡手段采摸羧久藏理惩绞遴特征夔戆力，倍饕诗冀穰强大靛数据楚疆 能力，达至i 对纹理快速、准确、有效的识别，以提取各种不同的有用信息。纹理分析 之所以重要，怂因为它被广泛应用于医疗、遥感图像以及工业应用中。 人工地震刺慝圈豫是根攒入工爆炸掰产生嚣地震波深入地层，褒不越深度反射回 柬的数据生成的，是典型的纹理图像，在这类图像中，大部分纹理疑有承平方向，但 是山于地质构造不同以及地壳运动，纹理的疏密、方向也不相同，不同的纹理区域代 表着不同的地质构造那些纹理方向或结构发生突变的地方，也意睐菪地质构造的突 变，这些癌惠对予寻我石演袋天然气是耄要弱。 传统的人工地震剖面图像是由人工解释的，随着石油工业的发展，需要处理的数 据越来越多，人工解释已经避远不能满足要求，因此找寻一种好的淤别和分割技术， 代餐传统的由人互进行的诲多工 乍，不仅可以节省大量瓣入力、物力和瓣力，更蕊要 的怒可戳更精确她进行地下她震的劫壹。这萃申需要促使我们探索新的方法用于地震削 面阁的分割研究。 本文皆在搬数字图像处蠼和模式识别领域的纹理图像分割技术应用到人工地震 粒搽镶蠛懿裁甏潜缘努褥中去，戮达到对滚震搿面强中不褥静圭蠡震信号跨篮区域鹃有 效分割，定量地研究地下地鼷的地质特征 对于纹理特征的描述与识别。现有的方法大致可以分为四类：结构法、统计法、 模型法和频谱波。 结构法萋予形式语言理论，认为图豫纹理是由纹理元( t e x e l ) 和配簧规则产生舱。 这一观点符合人们对大多数纹理的直观认识，但在具体用于纹理描述时却遇到很大阑 难，原因在于对大多数纹理来说，其各个“纹理基元”并非完全一致，嗣时其排列媲 露也不是严绉斡蠲麓丞鼗，袋多或少蒂喜浆些随撬性。瓣入在这方纛馓了大量兹工俸 4 2 ，但一般认为这种方法对规律较强的人工纹理效果鞍好，但在处蠛自然纹理时就 显得力不从心。 统计分援法通过运弱数骥统诗理论，诗粪出图豫中像素点和荻浚豹掇率分囊谤 浇，对图像绞璎避行分析。常用的方法育空间获度共生斑阵法f 堋。常厢的统计量有： 扶度直方图、默媵共生矩阵、荻度差直方围、傅立叶能谱等。这些方法的缺点在于不 能提供图像纹理的结构与相对位置、分布等信息。大多数纹理分折方法的文献都是鏊 颧l 沧史分蟛维数j ； 析教j 搬地震割盘鹫缘分割巾柏麻埔 于统计的方法【l 3 - js l ，结合不同的统计量可以定义各种纹理特征，进而用于图像的分割， 大鬣的实验表明：统计的方法比结构的方法更加实用。例如陈腰秋等人1 9 9 5 提出统 计尼悸特征湖f s t a t i s t i c a lg e o m e t r i c a lf e a t u r e s ) 来描述绞璞，该方法蓠先摇获度露豫转 变成一个二值图像栈，然后用相连区域的个数和一种不规则度的统计量来描述纹理。 该方法在b r o d a t z 纹理全集上的正确率达剿8 5 ，6 ，是当时性能最好的图像纹理特征。 颓域分援浃遇过僖立畸交换，或通过滤波器获褥戮缳爨菝逶，然嚣鼹羲遵中获敬 纹疆信息。纹理楚灰度变化黼空间分钸，那么描述绞理龄特征应该完全包含空间分柿 信息，由于一幅闺像的空间频率域( s p a t i a lf r e q u e n c yd o m a i n ) 的巢特定分量包古 了图像空间的分南情况，因此，从频率域寻技一个合理的纹理特征憝可行的。如髑部 功率灌静总霸、漓等，良及e = | 功率谱蜂俊褥缝纛形状褥副豹特餐量，关键是设计邋合 的簿子，并用该算子与原始图像卷积。如聚对卷积后图像中在以各个像素为中心的窗 口区域来求取些统计量，就可以根据统计值进行分割。这方面的工作见文献f 2 0 l 。 基于摸受瓣分援法通过梭造纹理摸黧，黠霆缘孛瓣纹理送行分爨。其性能取决u _ j 二 所樯筑的模型对纹理的刻画能力，以及参数估计算法的性能。近年来，纹理分析按术 的主要发展是在模型方法的撼础上，构造了一系列纹理的统计模型。如自回归模型 2 | l 、 马尔可夫随机场模型2 2 心1 ，g i b b s 随音几场模型【2 4 ，及分形模型f ：5 】等。这些基予摸 黧黪方法翡实验缝粟卡劳密畿。英绞瑾分潮静正确率畿逸至9 0 以一h 。 在地震剖两图像分割方硒。近年来也有些研究躁知幸4 6 1 用统计的方法定义了 两个不同的统计量：游程长发和能量对地震剖面进行了分割，但该方法对方向敏感， 鄂不能分裁鞍颓鼹静裁瑟。 p i t a s 等袋耀最小躅学习怒到帮区域釜长技拳，z h 。n z h a n g t ”使用了种基于知识的系统来分割地震剖面图，e r i km o n s e n 等m 使用数学形 态学领域的分水岭( w a t e r s h e d d i n g ) 技术怒个新的尝试，但我们从他们实验结粜柬 着毒不是缀理想。 1 2 本文所傲的工作 扶上节约敷述中，我粕霹潋懿遵不论楚滋秘绞理分援方法都毒英特点农不嗣黪 疲掰领域r 并没脊通用的分割方法适用予所有类型的纹理图像，本文尝试把分形横挺 应用到地震剖面图像分割中，目的是得到好的分割结果，提高解释的智能化和定墩化 水平。 分彩理论耀予纹理蚕豫鲶建静研究受到越来越多戆鬟撬。分形瑗论的广泛应用依 赖于分形图像的提取、处理与分形维数的计算。简而言之，分形是指熊分形维数严格 大于其拓扑维数的集台。自相似性是分形最麓要的特征，纹理图像除了包含灰度信息 钤，还可以提取大量黔结秘镶惑，由予分澎缳数买考尺度不交牲，对瓣豫电具有定 竺! ：篷茎 竺丝鎏塑坌塑茎! ! i ：些篓型窒型堡竺型妻墼! ：! 望 一一 的尺寸不变性，分形维数的掇出为纹理分析提供了新的思路，有效地体现了纹理的复 杂魔和粗糙度，揭示了纹理内在的自相似性。关于分形维数在图像处理方面的研究， 藤久己经骰了大量懿工作，杰密匏代表育：p e n t l a n d 拉“”、b b c h a u d h u r i 露 n s a r k a r 3 33 4 , 3 5 1 以及m a l l a t 3 7 , 3 8 3 9 1 等。从这贱学者的研究中，我们可以尝试了解分形模 型构造的一般形式，并尝试构造不同的分搿互模型以得到不同的估计分形维数的方法。 杰怼嚣久王 乍大量殛究秘分撬兹基磁上，我们议为8 ，b 。c h a u d h u r i 帮n 。s a t - k a r 提 出的采用微分计盒维数( d i f f e r e n t i a lb o x c o u n t i n g ，d b c ) 方法来键取纹理图像的分 彤维数特征，从时间复杂性年口空间复杂性练合考虑，是很优秀的方法。所以，本文沿 蔫计盒维数方法发展的历程，较详细的介缁了d b c 方法和在这种方法之后x c j i n 簿阑静裙关徽分计盒缍数( r e l a t i v e d i f f e r e n t i a tb o x c o u n t i n g ，r d b c ) 方法，弗黯这 两种方法做了一些比较和改进，改进后的方法我们称之为改进的微分计盒维数 ( i m p r o v e dd i f f e r e n t i a lb o x c o u n t i n g ，i d b c ) 方法。通过实验证明了我们改进的有效 熏。 在这之后，我们更迸一步在分形维数的计算中引入了小波变换，利用一种小波和 分形混合的方法来求分形维数。m a l l a t 把小波引入了图像处理领域 3 7 1 ，在纹理图像分 割方面的许多文章都使用了小波【i “”l ，但是这方面的磷究更多的是基于正交小波和 m a l l a t 静会享塔分解稻重穆瑗论的。枣滚在信号处理中的重要主毪位爱众所属豁的，l 、 波用于信号奇舜性检测的研究有很多【3 8 , 3 9 从小波变换的奇异性检测原理出发，我们 介绍了一种新的测度模型，一种新的估计分形维数的方法，我们称之为“小波分形维 数”方法。实验结象表骥了我翻嚣提取分形维数特征载稳定瞧。在这警我们统一了多 尺度的概念，小波理论中有多分辨分析和尺度函数的概念，分形理论中刚使餍多尺度 的概念，在我们的方法中，同时使用了小波和分形的遮两个概念，为了避免概念上的 混淆，我们一律称之为多尺度分析，其实，我们只要明囱，不论小波还是分形，挪是 对黼像链理懿一萃孛工兵，多尺廑分褥是它们共有鲍内程特质。 为了更好地对纹理图像谶行分割，我们对提取的特征向量进行了平滑，在文【4 1 1 中使用了边缘保护的噪声平滑技术( e d g e 。p r e s e r v i n gn o i s es m o o t h i n ga u a d r a n t ， e p n s q ) ，鉴予我们要分割搿豫嚣边缘可熊缀复杂，我 f 】在4 邻域e p n s q 方法靛鏊 础上+ 使用8 邻城e p n s q 方法，给出了实现的计算公式。 在传统的k * 均值聚类算法基础上，程我们的分割实现中，使用了一种新的可迭 代孙均值算法。目的是更多敬保护边界傣息。我们分别月i d b c 提墩分形维数特镬 方滚和小渡据歌分形维数褥缎方法对真实的人工遣震割黼图进行了分割。实验结栗袭 明我们工作的有效性。 本文兹绥秘安撼魏下： 弼， 沦芷 分蟛蠛数分手厅艇j 矗一地蕊剂盘拦像分捌中嘏戍瑷 第一章绪论音| j 分简要介缁了纹理图像分析目前的研究情况和本文所做工作袋解 决的问题。 第二章蓠蠢奔缮了分形瑷论，摇整分彩模型对绞瑗疆豫分氍豹鸯效性，荠贫缁了 分形维数的几种定义方法。 第三章讨论图像分析中分形维数的一般估计方法，较详细的讨论了d b c 方法、 r d b c 方法以及它髓熬垅缺点等，劳在此蒸毯上提氆了一静改遂方法：i d b c 方法。 第四蠢构造了一种新的分形维数估计方法。小波交换用来提取图像在不同尺度时 的细节信息，储助于信号局部奇异性检测原理中小波变换模局部极大值的概念，构造 了种与尺度棚关的测度，利用该测度的对数值相对于尺度对数值的斜率来求褥到分 形维数。 第五章应用所提取的特征进行图像分割，改进了一种特征平滑算法，介绍了般 图像分割的方法，并引用了一种可迭代的k 。均值算法用于我们的图像分割。 第六章糁瓣嚣章节豹理论鳃识应爱予实际人工遗震割藿图豹分割。题瑟瑟部分遗 容：分形维数特征的计算机模拟和分割实验分析。 在本文的最后，我们对我们工作做了个回顾并指出今后工作的重点和方向。 颇i 沦_ i =分，嚣维数静析垃j 扣攮震翱商 ! | 豫 割中豹廊嗣 2 分形理论基础 2 1 分彤理论 2 。1 。1 分形初步 现实生活中，许多自然现象，例如：树叶、云彩、羽毛、不规则的海岸线等，都 其考极不媛建豹轮熬萼冬，疰，毽藏嚣雩又其有部分瓣足度不窝瞧懿叁穗似结稳。 b b m a n d e l b r o t 创立的分形几何学 j ，为分析自然僚观的尺度不变性奠定了基础。其 后，分形联论又从许多相邻学科，如符号动力学、燕整化群、样祭插值理埝中吸收了 一些成果，楣似性的檄念也已从几俺形状的相似性扩充到功能、时间或信息、统计特 性等方蘑。囱予分形为入嚣j 提供了分芋行鸯然现象静新方法，分形理论近十年来越来越 受到重视，在许多自然科学领域，例如应用物理学、医学信号分析、高分子化学、信 号处理及图像分析和处理等领域取得了系列成功的应用，近年柬有些学者锻至把分 黟理论应鼷予享会科学镁域。 普通的几河对象，疑有整数维数。零维的点，一维的线，二维的面，三维的立体， 乃至四位的“时空”，都是人们熟知的例子。然而近二十年来，鼹有不必是憋数的分 数维的几俺对象一一分形( f r a c t a l s ) ，s 超了研究畿躲援大重我。“分形”璃是出美 蓉数学家转b 。m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年最先提出的。f r a c t a l 出自拉r 语f r a c t u s ，含有“碎 化、分裂”的意思。现程似乎没有个公认的分形的严格定义，一般按照m a n d e l b r o t 在1 9 8 6 年给出的定义，所谓“分形”，指的是一类“其组成部分与整体相似的形态 ( s h a p e y ，是“其帮分与整薛寿耀曩冀往豹蕊系。” 从数学上讲，分形研究的是那些不够光滑和不够规则的集合或函数。分形一般具 有以下的特征1 4 1 ”1 ： ( 1 ) 分彤是筒单空越( 例如r ”，c ) 中的复杂足俺体； ( 2 ) 分形具有任意小尺度下翡缁节，或者浇它有精细弱结构； ( 3 ) 分形集不能用传统的几何语言描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也 不是任何简单方程的解集； ( 4 ) 分澎襄夔分彩缎数( 有关分影维数静赣念，我嚣姆在2 。2 ，2 节奔绥) 一般大予 其拓扑维数； ( 5 ) 分形集可以具有形态、功能、信息等方面的自相似性，这种自相似性可以是 严格的，也可以楚绫诗意义上的，劳可班有屡次与级裂上的鞭裁： 6 ) 在人们感兴趣豹大多数情况下，分形集可以出非常简荦的方法定义，通过迭 垫! 。壁兰 坌丝兰鲞2 堑苎! ! ! 兰! 燕型望鳖簦! ! ! 坚：塑坐望 代的变换丽产生。 芽不是所有的分形都其有上述的全部性质，从研究手段的一致性出菱，有时撼 蹙只巽有部分上述性质的集合或函数也称为分形。 研究分形，最重要的概念是自相似性，其本质是多尺度的思想，下面我们介绍多 尺度描述。 2 1 2 多尺度描述 多尺度( 多分辨) 分解使我们能够对图像进行尺度不变的描述。图像的尺度跫 个嚣鬻重要懿参数，入类鹃磁爨系统买套这释尺度不交瞧，这是一个众所瘸知酶事实。 人类对可视信息的感知并不依赖于投影在视网膜上的图像的大小，这个原理在一个有 限的尺度范围内有效。我们可以把尺度理解为照相机的镜头，当尺度由犬到小变化时， 就稳当子蛰照矮羧镜头蠢远及送建接近鏊标。奁丈足囊空阑，对应远镜头下蕊察翻髓 翻标，只能看到舀标大致的概貌：在小尺度空阳j 罩，对应近镜头下溅祭目标，可观测 到目标的细微部分。因此，随着尺度由大到小的变化，猩各尺度上可以由粗及精地观 察瓣耩，对基瓠尺菠靛改变仪仅是对磊搽缎节浍尺度辍终变换。翻聚我嬲爱这葶孛方法 在所有尺度下分析这些细节，目标信息的解释不应浚改变口”，这就怒多尺度的思想。 多尺度描述对阐述图像信息提供了个层次架构 3 “在某种意义上，在粗糙尺度 ( 糖糙分辩率，鼗大的尺度) 时图像豹细节提供了浚图像的一个“鹜景”，同时鞍糖 缀鞫像羚绥节怒帮这释特定懿“霾往”疆一致的。穰魏，在一幅图像中，如鬃不能籁 先确认房子这个“背景”，我们就很难确认浚图像中的个小矩形燕这个房子的一个 窗户。因此对图像的分析，先分析粗糙尺度时图像的细节，然后增大尺度分析较精细 足壤( 较小豹足壤) 露图豫懿麴营，这撵鼢分辑过程是个由疆裂纲瓣处理蓑戆，在 糯鹣尺度时，图像细节被较少的样本点来刻画，因此糯糙信息可以被快速处理完成， 较精细信息用较多的样本点米刻画，因此需要较长的分析时间，但是可以利用“背淤” 中包古的较前处理的信息束加快较糖细尺魔时的计算速度。这季申凝糙剃精缀的处躞繁 臻，使我们可以鲶理最，j 、数薰瓣群本点来完成一个臻意瓣任务，也藏蹙漫，魏桑我们 能够从一个粗糙描述中识别一个物体，那么我们不需要分析较精细图像的细节。 6 坝h 仑史分形维数分析及j d - 地震剖由l 芏| 像分剖中的j 、v 用 2 2 分形模型 2 2 1 分形模型 对于个模型来说，首先遇到的一个问题就是它的适应性，即它的表示范围的大 小。b b m a n d e l b r o t ”提出：许多基本的物理过程，如布朗运动等都会产生分形表面， 因此，大多数自然景物的表面纹理具有分形特征。同时，在计算机图形学中，利用分 形几何绘制出了逼真的高山、森林、湖泊等，使人们更加有理由相信分形模型是表示 自然景物的理想模型，它抓住了自然纹理的本质特征。a r p e n t l a n d 2 6 , 2 7 论述了绝大多 数自然景物的表面是各向同性的分形曲面，并进一步证明了这些表面的投影图像仍然 是分形曲面，这一工作奠定了使用分形模型进行图像纹理分析的基础。 a d c b e 倒2t i i 不同粗糙度曲面的分形维数。曲面e 的粗糙程度逐渐变人 分别具有分形维数2 i 、23 、2 5 、2 7 和2 9 。 霸i 论文分彤撼数分丰厅技j 蝴- 地震剖面筮缘分割中的应用 在使用分 l ；模型进行纹理分割时，分形的维数参数具有重要的地位。纹理的一个 熏要特征是粳檄度，而分形缎数恰烩对应了人们对物体袭煎粳糙度稳度的感受。如图 2 1 ，l ，l 所示，麴嚣a 、b 、c 、d 帮e 分弱巽有分形缠数2 1 、2 3 、2 1 5 、27 帮2 9 。 由于分形艇有尺度上的自相似性，因此分形模型还有许多优秀的性质。 a p p e n t l a n d 2 6 】将一幅5 1 2 5 1 2 的图像亚抽样至2 5 6 2 5 6 ，发现估计出的维数参数保 持稳定，爱澍撵麴阕埴遣雩亍分割，结橡大致糖霜，孬憋潮豫受撼梯楚1 2 8 1 2 8 、6 4 6 4 ，仍然得到了类似的结粜。x cj i n 等例将图像的歇度级压缩至1 2 8 级，以至6 4 、 3 2 、1 6 级，发域分形维数的计算结果相麓无几。以上这些实验说明：分形模型对纹 理圈像的分辨窀、亮度等困索不敏感。 2 2 2 分形维数 m a n d e t b r o t 鬯经提出一个著名豹阚题：“大不刊颧的海岸线到底有多长? ”溅量 海岸线的长度，一股采用的楚折线近似的办法。假设折线的每一段长度为占，如果总 共有( ) 段，就认为海岸线的长度为( 嚣) = ( s ) g 。实际上，海岸线是由许多海 湾海角组成的，当用大些的尺度无法度量小的海湾及海角时，就把这些小的海湾和海 角忽貉捧了，掰以溅量蘸瑟暴是不确定黥。话懿大小避然与占鹣墩僮有关。黢 认为随着占的减小。三叠) 会很快的趋溉于一个确定德即这段海岸线的“真i f ” 长度。其实不然，随着占的越来越小，感到分子、原予水平，能够测量到的海湾、 海角逢越柬越多，以至数不渣，妇也越来越大。如袋以一个典型熬k o c h 麴线表示 海岸线，其长度将趋于无穷大。事实上，在对折线近似海岸线的研究中已经提出：陪1 疗“= 常数，其中，指数d 是不随s 的变化而变化的，一般也不是一个整数， m a n d e l b r o t 认为这就是分形维数，它才是海岸线的一个冀正特征量。 分影戆跨豫浚震霞葵不糍震酱逶酶藤积、俸积、导数等概念泉对箕逡季亍撵述，蠢 需豢寻找一类新的研究和描述工具。而分形维数就是其中最重要、也是最常用的工具， 特别是在图像处理与分析应_ 碍j 领域。其原因有三： ( ) 分形维数避一静可强塌实验手段定爨佶诗熬数毽参数； ( 2 ) 鹜像分形维数的大4 、与人眼对物体表面柜糙度大小的感受密切稻关： ( 3 ) 分形维数的大小对图像的尺度和线，陂变换具有稳定性。 分形维数有诲多弛定义的方法。这里浅识先就最般的分形缨数终一简要介缨 2 9 1 。 1 h a u s d o r f f 缎教见 设f 为欧式窆阈r ”孛翦个子集，s 为一j 受数，怼任褥艿 0 ，宠义： 丝! 婆苎竺堑堡墼竺堑苎! ! 鱼垫篓墼查型堡坌塑主墼坐望一一 。( f ) = i n f 1 ， 其中u ，为r ”中的集合，并有f c u u ，阿f 表示配的露径，即 i f i | z | = s u p x y | ；善，岁u ，； ( 2 2 2 1 ) 鼠o l u ，f 占， u ， 称为f 的个万一覆盖。式( 2 2 2 ，1 ) 表示在f 的所有d 一覆盖 中，求解满足该和式的下确器。令j 叶0 ，式( 2 2 2 1 ) 的极限值h 。 ，) 称为集会f 熬s 维测蹙。可驻涯饔，对予巢台f ，存在灌一匏j 受实数，满足麴下经矮： ( 1 ) 若o s s ( q ( 4 3 1 1 ) 需要说罗的是，( 1 表示辣术平均，对予每一q - q ，对应的r 国) 燃透过这样汁赣鸵：计 算点对l e 器文l 。g ( 1 f ( z + s 2 ) 一，f s ，2 i ” ) 酌最佳毅合蹇线静斜率。在传统的分彤分帮亍 中，信号懿f ( t + s 2 ) 。t s 2 ) 是信号f f t ) , u 舢尺度滤波器作卷积的结果，这晕s 尺度滤波 器所需要的冲击响应为 ( f ，j ) = 占( f + s 2 ) 一j ( ，一s 2 ) ，其中，艿( ，) 是单位脉冲函数 滤波器磊，s ) 能够矮小波扩0 ，s ) 伐馨，章，s ) 是毫聚平海函数静娃羚霉数3 截( n ：l 。2 其有优秀瓣频域局部憔。褶应的，( 厂o + s 2 ) 一，( ，一s 2 j 被( 陟( ，。) + 厂t 1 ) 所替代 8 点移动平均滤波器和商斯平滑滤波器如图4 31 1 ( a ) 所示，相对应的冲击响应 “ 和一次指数小波o ，s ) ，如匿4 3 i 。i ( b ) 所示。 高期平滑甬翡 州一p 爿 悖。 塑! ! 堡! 坌堂堡塑坌塑丝! ! 生些重型塑堕堡竺塑世里业型旦一 的。阶导数定义作n 次指数小波【3 8 ，后面我们将用到这个高斯平滑函数。 ( a ) s 一尺度高斯平滑滤波器和s 一尺度移动平均滤波器( b ) 0 ，s ) 和h ( t ，s ) 图4 311 滤波器平| 1 冲击响廊 4 3 2 在1 d 的区域模局部极大值测度和分形维数 有时候，一个纹理由相当大的对象组成，粗糙度仅仅是对象边缘的突然变化或转 变 3 8 1 ，而且，粗糙度是与尺度不变的统计纹理属性不相关的。这种变化的视觉效果依 赖于两个特征，我们分别记做转换频率( t r a n s i t i o nf r e q u e n c y ，t f ) 和转换长度 ( t r a n s i t i o nl e n g t h ，t l ) 。 t f 决定了一个转换出现的频数。在图4 3 ，2 1 ( a ) 和( b ) 中，分别描述了一个高一t f 信号，：( ，) 和一个低t f 信号 ( f ) ，信号也可能出不同t f 的信号叠加而成，图4 321 ( c ) 中信号 ( ，) 即是由；( ，) 和厶( f ) 叠加组成的。为了分离在频率，附近的t f ，需要一个 中心频率在，：附近的滤波器，也就是说，一个具体尺度( 对应一个滤波器) 能够检 测一个转换( 对应一个频率) ，从上一节小波变换的介绍，我们可以知道，小波能够 很好的把一个信号分解成不同尺度分量，它能够胜任这个任务。图4 3 2 1 ( d ) 和( e ) 是 信号分解成不同t f 的例子，在图4 3 2 1 ( d ) 中，当用一个大尺度小波( s = 5 ) 来过滤信号 时，函数陟( ，s ) + 厂( f l 的峰值转换在低一t f 分量处，图4 3 2 1 ( e ) 中，当用一个小尺度 小波( s = 1 ) 过滤信号时，函数j ( f ，j ) + 厂( ，l 的峰值转换出现在高。t f 分量处。 在信号被分解成不同t f 后，我们可以用信号的t l 来刻画这种转换。函数 1 w ( t ，s ) + 厂( l 的峰值出现在转换处，而且转换的越突然，峰的宽度越窄，图4 3 2 2 ( a 1 展示了一个缓慢转换信号一( ，) ，图43 ，2 2 ( b ) 是一个突然转换信号 ( ，) ，图4 3 2 2 ( c ) 和( d ) 则表明：( c ) 中 w ( t ，s ) + 叫函数的峰值宽于( d ) 中函数l ( ，s ) + r ( t 】，这样，结论 是：越缓慢的转换导致越宽的陟( ，s ) + 厂( f ) 函数的峰值。 我们对边缘检测中小波变换的模局部极大值点的概念进行拓展，考虑在一个区f b j ( ，一占，+ ) 内的模局部极大值与该区间之间的关系。定义算子m a xr e 【。1 ( ) 表示在区 间( ，一s ，+ s ) 内某一命题的最大值，把该算子应用于函数i ( f ，5 ) + 厂( ，】的目的是加宽 函数1 w ( t ，s ) + 厂( f l 的峰值宽度s 越大，峰值越宽。在图4 3 2 2 ( e ) 和( g ) 中分别是s = 4 f ；i i j 论史分彤维数分辑蕊j # 靠地震潮商翻像分割中翡斑用 和s = 2 时的m a x 沁。叫吵0 ，5 ) + z 0 l ，( f ) 积( h ) 中分别是8 = 2 和s l 时鲍 m “扣。训1 w ( t ，j ) 4 、磊章 。获图4 , 3 2 ，2 ( e ) 一馥) 中，可以发瑶，对予同样翡s 变纯搴，宽 峰值函数( 阌4 3 22 ( c ) ) 和窄峰值函数( 图4 32 2 ( d ) ) 峰值宽度变化的速率是不一样的。 ( a ) 璺有高捌转换的信号；( f ) ，( b ) 具有低频转换的信号 o ) ，( c ) 信号 ( ，) = ，d ) + ( ，) ， ，：p j 平 ( ，) 分别为高频和低频转换信号( d ) 大尺度小波过滤信号的峰值，( e ) 小尺度小波过滤 僖号的峰毽 圈4 3 + 2 转换频率的捌子 疆) 快速转换傣号z 章) + ) 橙速转换售号五f f ) ，( c j 鲻，j 、波过滤售号0 ) 靛峰菹，( d ) 潮小渡过 滤信号 p ) 的峰值- ( e ) m a x 州。) 眇o ，s ) + z ( ，j ，f 一4 ( f ) m a x 州。j ；) 陟o ，s ) + ( ，】， 占= 2 ，( g ) m a x , , “_ “叫j 缈( ，j ) + 一( ，】，f = 2 ，( h ) m a ) ( 耐h ”。) f 矽( ，占) + 0 】，f = l 。 黧4 3 2 ，2 换逵转换霹l 攫速转换携掺l 子 顺 论迁 分辑维数分辑技i 斑地震澍盘鹫嫩分割中曲蝇奠 l ( m a x r 【。；) 1 w ( t ，j ) 4 ，( ，】) 是一个区域测度，它是在整个峰值区域或峰值振幅范围 内敬溅漤。为了镬浚溅凄仅仅依蔌予t l ，也就楚仅仅莜赖于占( 后面我们可以看爨， s 即为分形尺度) ，我们对该测度加以限定，我们把该测度和参数s 之间的关系近似 为能量规律形式，遮正是多尺度分形的分析方法。 m a x 小“川陟o ，j ) + 凡j ) s n( 4 3 2 1 ) r 。是小波尺度s 下的粗糙度特征，我们称之为小波分形维数，它用束评估测度 m a x 。( 。) i 矽( ，s ) 4 ，( ，j ) 随s 的变化率，谯i 可以这样潞，兄。是t l 的平均测度，如果 ! w ( t ，s ) + 厂叫由搴蜂缀或( 短t l ) ，溅凄( m a x 商。) 矽0 ，s ) s ，q ) 淹s 麓增攘显著增 加， r 。是较大的；如暴吵o ，s ) + 厂( ，l 由宽峰组成( 长t l ) ，测度 m a x 。( 。；l 矽p ，s ) 4 厂( 硝) 将不会随s 增加厦著增加r 。是较小的，这可以由式( 4 3 21 ) 得到。特锰是，是独立于售号或豢滢是独立予痿号峰篷攘抠的，霹为郢筏f f t ) 被a f f t ) 替 换( a 是常数) ，r ，不变，这同样符合分形尺度不变性的思想。 要待射强调的怒；这晕要搞清楚两个尺度f 和s 之间的不同，尺度s 并不等同于 尺发s ，尺度苫是基予分形思怒懿尺度，焉s 是小波静足度。它们是爝来刻蕊信号的 不同工具的不问参数，是完全不同的。 4 3 3 在2 - d 的区域模局部极大值溅度和分形维数 在这一节，我们把i - d 区域模极太值和分形尺度f 之间的能量关系推广到2 - d 。 这榉作的隧的怒用类 娃子i - d 镬髑小波约方法，奁多个方囊计算溺痉。翁先我们介绍 方向分形维数。 耗式 4 3 1 2 ) 推广，尺度s 时二维高斯平滑函数定义作： 她p 一等 浍乎海函数，y ，s ) 懿x ，y 方两( 方辩o 摹弱9 0 ) 分剐定义两个小波 ( 4 3 3 i ) 嘛”) 一驾掣一sp 卜等2 s ，m 0 wi “ l 、7 嘛”，。掣一蚓一等 。，。， 3 0 埘! i 沦正 分形奎佟数分析艘c 一地震剖面幽像分削中的臆用 下标表示小波的方向角，因为微分和卷积是线性运弊： 吼( w 、s ) + f i x , y ) 一旦噬掣f i x , y 户l - l ：x ，川+ 厂o ，y ) ( 4 3 3 4 ) “ u 岷。s ) 懈，y ) = 篙o 掣v 帅) = 昙骶肿厂 ( 4 3 点s ) 却 + 因此，( x ，y ，5 ) + f ( x ，y ) 和g ，弘s ) + f ( x ，y ) 是庐0 ，y ，j ) + f ( x ，y ) 分别在方向o 。, 1 1 9 0 时 的撵度篷，恣可| 薹这撵说，逡簿豹结系是分剃镬瘸滤波器g ，y ，s ) 和强。0 ，弘。) 对信 号f ( x ，y ) 过滤。在任意方向计算滤波厝信号需要使用小波 ( z ，只s ) = 弦) ( x c o s o + y s i 峨一z s i n t g + y c o s 0 ，j )( 433 6 ) 鸯然t 卷酸和，只s ) 厂扛，y ) 是0 ，y ，s ) s x ，y ) 沿x + ；x c 。s o + y s i n 疗方向的梯度值。 这个运算可以通过o 。和9 0 。方向的梯度的线性组合得到，即： 繇白，弘s ) + ，y ) = 帆0 ，s ) + ，0 ，岁) 】c 。s 0 + 陬。o ，弘s ) ；f ( x ，朔s i n 0 ( 43 3 7 ) 运用式( 4 3 3 7 ) 可以节省橹当多的时间。 类叛豹，我们考虑该平滑函数的其他方向小波： 嗽棋萨墨笔乒2 扣 一之爿 ， ( 4 3 3 9 ) 萨苎鹄掣。睁* p 一之纠 蹲粥， 可以容易的看i 熬 舢mx ，y ，j ) 2 0 c 。s 0 + y s i n 0 ，一工s i n 睁+ y c o s o ，j ) 舯。( 置y ，j ) 眠y ) = 陬。扛棋s ) + g ，y ) j c 。s 2 0 + 。5 阢+ 。，夕，s ) 4 ，0 ，y 麓一撅。g ，只s ) + 和，删；s i n 2 0( 4 3 1 3 i | ) 等 ，了 妒一一掣 触| 淹支分蟛橥数分析疑j c 矗? 地震剐越警豫分别中的扣丽 我们定义蕊数f ( x ，y ) 在尺度s 和方扁拶时的小波变换如下 彤x ，y ，s ) _ 扛，y ，s ) 最x ，y ) 彤( 曩只s ) = 。( 曩y ，s ) + f ( x ，y ) 用类似式( 4 3 2 1 ) 的方式，我们褥到如下形式 ( m 。a x 、眵彤s l s 8 ： 管麓矧。 ( 43 3 1 2 ) ( 4 3 3 t 3 ) ( 4 ，3 ，3 1 ( ) 运算表示n x n 窗口内的空域算术平均，i 一1 , 2 ，分别对应式( 4 3 3 1 2 ) 和式 ( 4 3 3 ，1 3 ) ，方向分形缀数群可逶过这样计算：计算点对 卜，慨镰烈唰刚，札卜佳拟合感线的糍 竺! ，堡!竺丝丝墼竺堑丝丛! ! ! 篓型墅墅堡! ：型宣箜坐曼 5 纹理分割技术 s 。1 一种改进的特捱馕平湃技术 当我们鹬上一嚣得到的分形维数特征值直接用于图像分割时，在送域的内部或边 爨可能发生误分现数豇1 。特征乎潺可以解决区域瘛部瓣润题。一般不经霞移劝斡鬻嗣 来平滑，因为可能引起边界模糊。有几种保护边界平滑的技术，w i l s o nr 蒋4 1 使用 了一种瀚邻城鹃边羿傈护磉声平淆象限滤波技术( e p n s q ) ，为了更好的保护边缘信 息，我们这里将其改进为八邻域抟e p n s q 。妇凝5 。l 。l 瘊承， 幽5 1 1r * r 窟日内的特，碰悠平瓣 对予图像的任鬈点特惩篷分量厶( f ，) ，驳以蕤为中心静窗盈r 。r r ：2 甜) ，在每 个领域l 8 内计算领域内特征的方差一? o ，) 和均值爿? ( f ) ，其中下标灯表示邻域标 号r p 为该像素点的特征个数，各个分量计簿公式如下： 枷，小7 2 耄砉珊吐川) 秣小素薹砉m 川) 础埘寺薹喜厶小，) 舶，小2 刍。萎k 小f ) 圳弓塞静川 啪弓薹拟小) 鬈。，歹) = 了2 刍t , ”k 厶。+ 藏歹一) 绯加砉塞喜脚咄川) 羔卫型之l j ! ! ：! 隧坌堑些! ! 垒垫篓型塑望墨竺塑妻整塑嬖 u 7 ( “) = 砉荟0 萎k 厶( f 七+ ，) 一( “) 】2 吁o ，班砉砉薹f 厶( f 咄川) 叫( ，埘 嘲，疹手荟萎【f a i 拖川) 一霹】2 w ( f ，) = 了2 刍 o 善k 【厶( f + 女，+ ，) 一髫扛，歹) 】2 曙( “) 2 手荟萎( 厶( f + 一，) 一彤( “) 2 曙。，) = 2 刍e a 萎j 。f 厶( f + 七，_ ，一f ) 一鬈。，) 】： ( f ，) 寺荟0 萎k f 厶囊毒，歹一，) 一月? 和，j ) l ： 繇暴矿”g ，) 是曙，力中最小的，那么按照e p n s q 标准，在( i j ) 点的特征值旃被 矿”( f ) 所对应的彤o ) 取代，p 为该像繁点的特征个数q 为邻域标号。这种平滑 滤波爨饶点