（机械设计及理论专业论文）小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数修正.pdf

小模数弧齿锥齿轮的接触分析与讲削参数修n ： 小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数修正 摘要 由于弧齿锥齿轮具有重合度大、承载能力高、传动平稳、对安装误差 的敏感性小以及噪音小等优点，被广泛应用于机械产品中。目前，我国的 缝制设备、电动工具、小型机械仪表发展迅速，对这些产品的传动质量要 求也越来越高，因此，小模数弧齿锥齿轮得到了广泛的应用。尽管我国对 小模数弧齿锥齿轮的需求量非常大，但是国产的小模数弧齿锥齿轮精度不 高，传动质量较差，无法满足产品质量的要求。 为了加工出高接触传动质量的小模数弧齿锥齿轮，必须合理的选择切 齿刀盘参数和机床调整参数。但是，由于人为计算和生产、调整过程的误 差，一次试切加工出的弧齿锥齿轮一般难以达到最佳的接触传动质量，因 此根据现有切削参数对弧齿锥齿轮进行接触传动的仿真，从而找出较好的 切齿刀盘和机床调整参数是非常必要的。由于小模数弧齿锥齿轮切齿方法 的特殊性，必须有针对性的研究其接触情况以及参数调整方案。 本文根据小模数弧齿锥齿轮的加工过程建立了大小齿轮的齿面方程， 论述了接触分析原理并据此原理用m a t l a b 语言编制了接触分析程序，依据 编制的程序对一对小模数弧齿锥齿轮进行了接触分析并给出了分析结果。 另外，根据对接触传动质量优劣的评价标准，分析了几个主要切削参数对 接触轨迹、传动误差曲线的影响，最后对现有参数进行了修正并给出了修 正后的参数，对原有接触情况进行了优化。 关键词：小模数弧齿锥齿轮；齿冠方程；接触分析；参数修正；接触轨迹： 传动误差 作者：张新桥 指导老师：钱志良 a b s t r a c t t o o t hc o n t a c ta n a l y s i sa n dc u t t i n gp a r a m e t e r sm o d i f i c a t i o no fs m a l l - r n o d u l u s s p i r a l b e v e l g e a r s t o o t hc o n t a c ta n a l y s i sa n dc u t t i n gp a r a m e t e r s m o d i f i c a t i o no fs m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r s a b s t r a c t s p i r a lb e v e lg e a r sa r ew i d e l yu s e di nm e c h a n i c a lp r o d u c t sa st h e s ek i n d so fg e a r s h a v eq u i t em a n ym e r i t ss u c ha st h eb i go v e r l a pr a t i o ，t h eh i g hl o a d i n gc a p a c i t y ，t h e s t a b i l i t yo f t r a n s m i t t i n g ，t h es m a l ls e n s i t i v i t yt o w a r ds e t t i n ge r r o r , t h es m a l ln o i s e ，a n ds o o n a tp r e s e n t ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs e w i n g e q u i p m e n t s ，e l e c t r i c t o o l sa n d m e c h a n i c a li n s t r u m e n t s ，t h ed e m a n do ft r a n s m i s s i o nq u a l i t yf o rt h e s ep r o d u c t si sh i g h e r , s ot h es m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r sa r ew i d e l yu s e d a l t h o u g hc h i n ah a sag r e a t d e m a n df o rt h es m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r s ，t h e s ek i n d so fg e a r sm a d ei no u r c o u n t r yh a v el o w e rt r a n s m i s s i o np r e c i s i o na n dq u a l i t ya n dc a n tm a k et h en e e do fh i 【曲 q u a l i t yo f p r o d u c t s t h ec u t t e ra n dc u t t i n gm a c h i n ep a r a m e t e r ss h o u l db es e l e c t e ds o u n d l yi no r d e rt o p r o d u c et h es m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r sw h i c hh a v eh i g ht r a n s m i s s i o nq u a l i t y h o w e v e r , a sar e s u l to f t h ec a l c u l a t i o na n dr e g u l a t i o ne r r o ro f c u t t i n gm a c h i n e ，t h es p i r a l b e v e lg e a r st h a ta r ep r o d u c e db yc u t t i n go n c ea r ed i f f i c u l ti na t t a i n i n gg o o dc o n t a c ta n d t r a n s m i s s i o nq u a l i t y t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt os i m u l a t et h et r a n s m i s s i o no fr e a lg e a r s a n dt h e nt of i n do p t i m a lc u t t e ra n dc u t t i n gm a c h i n ep a r a m e t e r s b e c a u s eo ft h es p e c i a l c u tm e t h o do fs m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r s ，i t sc o n t a c ta n dp a r a m e t e r sr e g u l a t i o n s e h e a n o sm u s tb es t u d i e d t h et o o t hf l a n ke q u a t i o n so fap a i ro fg e a r sa r ee s t a b l i s h e di nt h i sp a p e ra c c o r d i n g t ot h em a c h i n i n gp r o c e s so f s m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r s ，t h e nt h ep r i n c i p l eo f t o o t h c o n t a c ta n a l y s i s ( t c a ) i sd i s c u s s e d o nt h eb a s i co ft h i sp r i n c i p l e ，t c ap r o g r a mi s c o m p i l e db ym a t l a bl a n g u a g e a tl a s t 。t h et c a r e s u l to fap a i ro fs m a l l - m o d u l u ss p i r a i b e v e lg e a r si sg i v e nb yt h i sp r o g r a m b e s i d e s ，a c c o r d i n gt oe v a l u a t i o ns t a n d a r d so f c o n t a c ta n dt r a n s m i s s i o nq u a l i t y ，c o n t a c tp a t ha n dt r a n s m i s s i o ne r r o rc u r v ea r ea n a l y z e d h t o o t hc o n t a c ta n a l y s i sa n dc u t t i n gp a r a m e t e r sm o d i f i c a t i o no f s m a l l m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r sa b s t r a c t w h e no n eo ft h ec u t t i n gp a r a m e t e r si sc h a n g e d i nt h ee n d ，t h eo l dp a r a m e t e r sa r e m o d i f i e da n dt h en e wp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e d ，t h eo r i g i n a lc o n t a c ta n dt r a n s m i s s i o n q u a l i t yi so p t i m i z e d k e yw o r d s ：s m a l l - m o d u l u ss p i r a lb e v e lg e a r s ；t o o t hf l a n ke q u a t i o n ；t o o t hc o n t a c t a n a l y s i s ( t c a ) ；p a r a m e t e r sm o d i f i c a t i o n ；c o n t a c tp a t h ；t r a n s m i s s i o n e r r o r 1 1 1 w r i t t e nb yz h a n gx i n q i a o s u p e r v i s e db yq i a nz h i l i a n g v 丑拍箱静 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声婀 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：乏隆亟至聋 日期：硝，叼 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 臼期：沙珂巧 日期：2 巫：! 其中i ：o 为大齿轮与产形轮的滚比。 产形轮与大齿轮的相对角速度可以表示为： 塑兰望l ! 堕墅墼墅型堕堑生堑! i 一 ! ：堡墼墨塑堡些丝塑堡墅坌塑兰塑型堂墼竺堡 业： 即： 0 2 = 丽一o 】2 = k 一2 一k p 2 ( 2 1 2 ) 产形轮与大齿轮的相对速度可以表示如下： 一 9 0 2 2 丝“垒一：| ) ：? 2 1( 2 1 3 ) 一w 0 2x7 矗一z 2 0 p 2 研2 在切齿刀盘切削面与大齿轮齿面的接触点处应有以下啮合方程式成 2 n 2 = 0 ( 0 0 2 ，k ，n 2 ) 之o ( p 2 ，t n 2 ，n 2 ) = 0 由式( 2 1 4 ) 可以求得接触曲面参数j 2 的表达式 。一审2 ( 9 2 ，q 2 ) 0 1 1 + 一 v 2 ( q 2 , q 2 ) 2 2 4 大齿轮齿面方程 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 将式( 2 1 5 ) 代入式( 2 8 ) 就得到大齿轮上的一根接触线，当q 2 不 断变化时就得到了大齿轮的齿面。以大齿轮设计交叉点为原点，齿面方程 为： 吒2 + 聊22 屯， ，岛】( m 2 ”+ m 2 ) = 【f 2 ， ，k 2 】r 2 ( 2 1 6 ) 式中r 2 = 鸩”+ m 2 是三阶列矩阵。 至此，建立了大齿轮的齿面方程。根据齿轮啮合原理m “，大齿轮齿 面上m 点的法矢就是切削面的法矢一f 1 2 ，t 一2 是大齿轮齿面上m 点的一个切线 方向，在膨点附近，f ：可以作为齿面的齿高方向，而i i 可以作为齿面 的齿长方向。 2 3 小齿轮齿面方程 2 3 1 加工小齿轮时的坐标系 本论文所研究的小模数弧齿锥齿轮副的加工机床无刀倾机构和变性 机构，并且小齿轮用双面法加工，因此小齿轮的加t 与大齿轮相似。在加 6 兰塑塑堕型坐生逛丝塑些墅坌堑兰坐塾堡至 苎三至塑堕堡塑丝塑塑堕塑堡 工弧齿锥齿轮副中的4 、齿轮时，小齿轮与产形轮之间的位置与运动关系如 图2 6 所示。坐标系d i 万i 空间固定，坐标原点o 与机床中心重合，坐 标平面i i - ，即为机床平面，坐标轴i 通过机床中心d 并指向摇台内。 图2 6 加工小齿轮时的安装关系 图2 6 中，点d o l 是切齿刀盘的刀盘中心，为切齿刀盘的7 3 尖顶 点，它到刀盘回转中心0 0 1 的距离为： r i l l = r o4 - w 2 式中的“”处，取“+ ”表示切削小齿轮齿槽凹面的切削刃的刀尖顶点， 取“一”表示切削4 、齿轮齿槽凸面的切削刃的刀尖顶点。与切齿刀盘相关的 量及其标记方法如下： ，。一刀盘的公称半径： w 一一刀焱刀顶矩： t ，一一小齿轮切齿刀盘切削刃上的切向矢量： 强一一小齿轮切齿刀盘切削刃绕刀盘轴线旋转产生的回转面法肉矢量； 1 7 筇一章弧齿锥斯! 仑的齿血方程 小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数修正 m 。一一切削刀盘刀尖顶点； 肘一一切削面上任一点； a o 】一小齿轮切削刀盘切削刃齿形角： 点o i 一一小齿轮的垂直轮位； d 。l 一小齿轮的轮坯安装角； p ，一一小齿轮轴线方向： 0 l 一一小齿轮设计交叉点； x 且j 一一小齿轮的床位 爿- 一一小齿轮轴向轮位 s l 一一小齿轮的径向刀位； q i 一一小齿轮切齿刀盘切削面上与设计点m 相对应的点的相位角； 吼一一小齿轮角向位移，即摇台的角位移。 2 3 2 小齿轮切齿刀盘的切削面方程 小齿轮切齿刀盘切削面就是小齿轮切齿刀盘的切削刃绕刀盘轴线回转 产生的圆锥面，可确定如下 i 0 、 j om。 遗f x 8 k 缈 ，一q 二 刊大尸 广一 图2 7 小齿轮切齿刀盘坐标系及切削面 以刀盘中心0 0 1 为坐标原点，建立与摇台固连的右手坐标系o o 一孑万砰 小模数弧撕锥幽轮的接触分析与切削参数修萨第二章弧谢锥齿轮的撕面方程 ( 见图2 7 ) 。坐标轴通过刀盘中心o o l 并指向摇台内( 即与坐标轴k 平 行同向) ，坐标平面i 一 与切齿刀盘的刀尖平面重合：起始时，即摇台转 角q 1 2 0 时，坐标轴 与坐标系o i t k l 中的坐标轴i 。共线同向。 由图2 7 显见，切齿刀盘切削刃上点m 在坐标系0 0 ，一i ，川 ，中可表示 成： m l = r o l + s ls i n a o 】，0 ，s lc o s a 1 】 ( 2 17 ) 其中的。o ，和r o ，分别为齿形角和刀尖点的半径，s ，是切削刃参变量。 由图2 7 可见，切削刃的切向矢量t 1 在坐标系0 0 ，一 中可表示成： f 1 = f s i n a o l 0 ，c o s a o l 】7 ( 2 18 ) 切削刃法向矢量h ，在坐标系d 0 ，一j l k l 中可表示成： h l k 【c o s a o j ，0 ，一s i n a 0 1 】7 ( 2 1 9 ) 当刀盘绕轴线( 一k ) 旋转时，式( 2 1 7 ) 切削刃形成切齿刀盘的切削 面。刀盘绕轴线( 一k j ) 旋转可用以下旋转矩阵表示： n l = c o sq 1 一s i n q o o s i nq l c o s q l 0 o ( 2 2 0 ) 又由图2 7 中的几何关系可见，坐标系哦。一孑开砰到坐标系0 一i j lk l 的 交换矩阵为： n o 。d = s i n q l 。e o s q l 0 o e o s q l 0 s m q l 0 0l o0 墨c o s q l 墨s i n q l o l ( 2 2 1 ) 分别取变换矩阵n i 和，。0 。的前三行和前三列组成矩阵l 和0 。7 ，则 切削刀盘上任一点m 及该点的切向矢量i 和法向矢量i 在机床坐标系下可 表示为： f m ，= o o n i m 。7 = p f f i ( 2 ，2 2 ) h 。= 。n i - 即： 第二章弧齿锥齿轮的齿面方程 小模数弧齿锥齿轮的接触分析0 切削参数修i f m = ( l + s 1s i n a 0 1 ) s i n ( q l q 1 ) + s 】c o s q 】 ( 一r o l s js i n a 0 1 ) c o s ( q l q 1 ) + s ls i n q s lc o s a 0 1 l 。=!nsiano皂js i n ：( q 1g-，竺刍， = 降- c o s a 0 1 s i 嚣n ( q i - ，q 一1 纠 ( 2 2 3 ) 其中，s l 、q 1 是切削面的曲面参量，q 1 是切削面的位置参量，也就是说， g l 改变( 即摇台转动) ，切削面的位置也改变。 式( 2 2 3 ) 中，m 1 、1 1 mr i m 分别是切齿刀盘切削面上的任一点及其 该点处沿切削刃方向的单位切线矢量和单位法线矢量在机床坐标系中的表 达式。将上述矩阵形式表示的切削面方程、单位切线矢量和单位法线矢量 改写成矢量形式为： 白= i j ， ，k 】，0 】- m 1 = 【i l ，j lk l 】m 1 ” l l = 【f l ， ， 1 】t l ( 2 2 4 ) = i i ，k l 】 式中，列矩阵m ”是取m 的前三列组成的矩阵。 2 3 3 小齿轮啮合方程式 在图2 6 中，小齿轮轴线方向p ，在机床坐标系中可以表示为： p j = 一c o s d 。】+ s i n d m t = i 】，矗k l 】 一c o s d 0 ，s i n d ，1 t ( 2 2 5 ) = i 1 ，j l ，岔1 j j p l 式中p 1 = 【- c o s d o ，s i n d 。j r 。 设m 。为小齿轮设计交叉点o 一到机床中心o 的矢量0 l o ，则，可以表 小模数弧齿锥撕轮的接触分析与切削参数修币 第二二章弧齿锥齿轮的齿面方程 示为： m l2 0 z o = z ip l - e o l + x b lk l 2 - x j c o s d m l - e o l j 】+ ( x b i + x l s i n d m l ) k l( 2 2 6 ) = i l ，几k 1 - x w o s d 乩巩】，x b i + x j s i n d 。i 】7 = i l ，j l ，k l 】m 1 式中m 1 = 卜肖lc o s d 。l ，一e 0 1 ，x b l + ls i n d 。】7 。 在滚切运动中，设产形轮角速度瓦= 1 石，则小齿轮的角速度可以表示 为： l = o o ( 2 2 7 ) 式( 2 2 7 ) 中i 1 0 为小齿轮与产形轮的滚比，产形轮与小齿轮的相对角 速度可以表示为： o l = o 一l = k l 一1 1 0 p 】 ( 2 2 8 ) 产形轮与小齿轮的相对速度可以表示为： 。竺。竺- - t o t ? ，一 ( 2 2 9 ) 2 o l 。r c l 1 1 0 p 1 m 1 在滚切运动中有如下啮合方程式成立： v 0 1 12 0 即7 ( ( o o l ，r c l ，l i ) 一自o ( p l ，m l ，n 1 ) = 0 ( 2 3 0 ) 由式( 2 3 0 ) 可以接触曲面参数s 。的表达式： 驴燃 ( 2 3 1 ) 1 v 。( q l , q 1 ) 2 3 4 小齿轮齿面方程 将式( 2 3 1 ) 代入式( 2 2 4 ) 就得到小齿轮上的一根接触线，当g l 不 断变化时就得到了小齿轮的齿面。以小齿轮设计交叉点o l 为原点，齿面方 程为： = t + i = 【i i ，k 1 ，( m l ”+ m i ) = f 】，z ，k i 】，r i ( 2 3 2 ) 式中r 1 = m ，“+ m 1 是三阶列矩阵。 2 i 第二章弧齿锥轮的脚阿方碰 小模数弧撕锥齿轮的接触分析与切削参数修正 至此，建立了小齿轮的齿面方程。同大齿轮一样，i 可以作为小齿轮 齿面的齿高方向，f i 可以作为小齿轮齿面的齿长方向。 2 4 本章小结 本章首先简要介绍了弧齿锥齿轮的切齿原理和产形轮、机床平面及机 床中心等概念；进而介绍了在切齿过程中，齿轮副中大、小齿轮与产形轮 的相对安装关系及其所用的坐标系，并通过产形面( 即切齿刀盘切削刃绕 刀盘轴线回转产生的旋转面) 及齿面啮合方程，确定了大、小齿轮的齿面 方程。 小摸数弧撕锥曲轮的接触分析 切削参数修正第三章接触分析原理 第三章接触分析原理 3 1 齿面接触情况分析 3 1 1 大小齿轮齿面坐标系的变换 分析两啮合齿面的接触情况时，首先应将加工好的大小齿轮根据设计 要求安装在一起构成齿轮副，同时把大小齿轮的齿面方程变换到某个坐标 系中统一起来。为了方便表达并减少转化次数，本文把大齿轮齿面所在坐 标系0 2 ( 如， ，k ：) 作为统一坐标系，将小齿轮齿面方程用该坐标系的坐标轴 向量表达。根据大小齿轮加工中坐标系的建立情况，大小齿轮安装在一起 的情况如图3 1 所示： ， 幽3 1 弧齿锥齿轮副的安装关系 大、小齿轮按设计要求安装在一起形成弧齿锥齿轮传动时，大齿轮和 小齿轮的设计交叉点d 2 和0 ，相重合。但为了通过旷卅调整进行齿面接触分析， 齿轮副按设计交叉点0 l 和d 2 不重合的情况安装( 图3 1 ) ，大齿轮轴线p ：和 小齿轮轴线p ，空间相互垂直，：和，。平行同向，f 2 与i 。，k ：与毛之间 存在夹角： = 昙一( 6 ，l + 8 f 2 ) 式中，n 2 为轴交角； 勘为小齿轮根锥角，勘= 如l ；勘为大 第三章接触分析原理小模数弧齿锥曲轮的接触分析与切削参数修正 出图3 1 可见，小齿轮坐标系0 1 ( i ，一j l ，i ) 的坐标轴单位矢量i 、i 与大齿 轮坐标系0 2 ( 一2 ，j 一2 ，k 一2 ) 的坐标轴矢量i 一2 、i 之间有夹角，两坐标系的坐标 轴单位向量相互转换的转换矩阵m 。为： f c o s a 0 s i n a 虬】0 2 。b ：。三 1 ) 为了把小齿轮齿面方程i 、法矢一1 1 1 、齿高方向的单位矢量1 1 以及轴线 方向p 。写到到大齿轮齿面方程坐标系0 2 ( _ f 2 ，j 2 ，k 2 ) 中，先利用上述转换矩阵， 把小齿轮坐标系d l 西，一j l ，i ) 的坐标轴单位矢量用大齿轮坐标系0 2 0 2 ，一j 2 ，k 一2 ) 的 ，万，i f ：m 。：e ，五，i r 再将、j i 、k z 的表达式分别代入、n ，、t ，、p ，中，即可得到用向量i z 、五、乜 表示的新的小齿轮齿面方程、法矢n ，、齿高方向的单位向量t 。和轴线方向p ： 一f i = 医，万，i 】m o l 0 2 t r i i 2 照，型7 幌” ( 3 2 ) i ：e ，万，i 】m 。：，f i 。 。“ p l ：臣，一j 2 ，i 】硝0 1 0 2 t * p l 以下讨论均在该坐标系0 2 ( i ，万，i ) 中进行。 3 1 2 共轭接触关系 把加工好的大小齿轮按标准安装位置安装在一起，大齿轮上的点。村与 小齿轮上的点m 并不一定正好重合，但通过两齿轮的旋转是可以重合的。 设大齿轮饶轴线p ：旋转r 12 角，小齿轮饶轴线p ，旋转n ，角时，大齿轮齿面 上的点肘与小齿轮上的点m 共轭接触。在接触点处大齿轮的齿面方程r ，、 法矢n ，和切矢r 变为尺，、，和瓦如下： r 2 = ( r 2 - p 2 ) p 2 + c o s l l2 ( p 2 。r 2 ) “p 2 + s i n l l 2 ( p 2 “r 2 ) ( 3 3 ) n 2 = ( 一2 p 2 ) p 2 + c o s q2 ( p 2 n 2 ) 。p 2 十s i n 1 q2 ( p 2 1 2 ) ( 3 4 ) 小模数j 皿齿锥肼轮的接触分析与切削参数修正 第三章接触分析蟓理 l = ( t 2 p 2 ) p 2 + c o st 12 ( p 2x t 2 ) 。p 2 + s i nt 12 ( p 2 t2 ) ( 3 5 ) 小齿轮的齿面方程、法矢和切矢t 则变为凡、。和正如下： r l = ( p 1 ) p l + c o s q l ( p l ) p 1 + s i n r l l ( p 1 。) ( 3 6 ) = ( 盯l 。p 1 ) p 】+ c o s t l l ( p 】，1 1 ) 。p j + s i n j ( p l 九i ) ( 3 7 ) 一= ( f l p 1 ) p i + c o s t i l ( p i t 1 ) p 1 + s i n l l i ( p l f 】) ( 3 8 ) 根据齿轮啮合原理，在接触点处，有如下基本方程组成立： 坦r 22 1 0 1d 2 ( 3 9 ) 【n 2 = n i 式( 3 9 ) 是两轮齿面共轭接触的基本方程组。由于方程组中的每个方 程均为矢量方程，因此式( 3 9 ) 包含六个方程，但是由于方程组的第二个 方程中的矢量为单位矢量，因此只有五个方程是相互独立的，而式( 3 9 ) 中有六个未知参数g l 、q 1 、9 2 、q 2 、n l 和r l2 ，因此求解比较困难。 由2 = j 可得： ( 甩? 塑咖t 1 ：型型。丝+ 8 抽 ：喳。3 ( 3 1 0 ) = ( 以i p 1 ) p l + c o s t l ( a 丹1 ) p 1 + s i n t l i ( p l 以1 ) 两边与岛作点积可得： ( n 2 p 2 ) ( p 2 p 2 ) + c o s l l 2 ( p 2 n 2 ) ( p 2 p 2 ) + s i n r t 2 ( p 2 ，h 2 ，p 2 ) = ( 阼i p 1 ) ( p i p 2 ) + c o s q l ( p l 一) ( p l p 2 ) + s i n r l l ( p l ，嚣1 ，p 2 ) 因为p l 与p 2 垂直，所以a p 2 = 0 。又因为p 2x p 2 = 0 ，( p 2 ，h 2 ，p 2 ) = 0 ， p 2 p 2 = l ，所以： s i n l ( p 1 ，n 1 ，p 2 ) + c o s t l l ( p lx n l ) ( p 1 p 2 ) = ( n 2 p 2 ) ( 3 1 1 ) 广：= = = = = = = = ：= = = = ? 一 令： s q t l = i ，( p 1 ，啊，p 2 ) 2 + 【( p lx 啊) ( 岛p 2 ) 】2 _ ， 并引入角0 【如下： s i n a ，：! ! ! ! 堡! ：! t ! 旦2 2 口ac o s c c ，：! 星! ：堡! 旦22 s q t ls q t l 式( 3 】l 两边同时除以s q t l 可得： s i n 讹弘等 第三章接触分析原理 小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数修正 由上式可以解得： t 1 】2s i n ( n 刚2 p 2 ) 一 将式( 3 】0 ) 两边同时与i 作点积，同理可得 ( 3 12 ) 川t 2 = 插i i 万蕊忑瓦丽 。j 。a ，：( 五p 2x 五n 2 ) - ( p 玉2x 五p t ) 、。：! 夏! 五! 五! ( 3 1 3 ) s q t 2s q t 2 ”s 汀1 ( 器h ” 由式( 3 1 2 ) 和式( 3 1 3 ) 可看出，大齿轮和小齿轮的转角r l ：、n 可以由参数g l 、q l 、q 2 和q 2 来表达，当g l 、q l 、9 2 和q 2 求出之后，r l ：、 n - 便可以解出。将n 。、n 。的表达式代入式( 3 9 ) 可以得到一个独立的 矢量表达式： r 2 = r 1 一o i 0 2 ( 3 1 4 ) 式( 3 1 4 ) 是一个包含三个独立数量方程的非线性矢量方程，而方程 中包含四个独立参数9 1 、q l 、9 2 和q 2 。所以在进行t c a 分析时，可以首 先给出一个未知参数的值，比如9 2 ，然后通过式( 3 1 4 ) 的迭代求解获得 g i 、q l 和q 2 三个参数的值，确定了9 1 、q l 和q 2 的值，也就确定了大小齿 轮齿面上的一个接触点。该接触点在大齿轮齿面上的位置由下式表达： r 2 = r 2 ( 口2 ，q 2 ，t 1 2 ) 在小齿轮齿面上的位置由下式表达： r 1 = 蜀( 吼，q 】川，) 弧齿锥齿轮传动是点接触近似共轭曲面传动，从理论上讲，点接触近 似共轭曲面传动的传动比不是恒定的。设大齿轮的角速度为：= m ：p ：，小 齿轮角速度为( o l = m l p t ，则大齿轮上接触点的速度为巧= 2x r 2 = 2 p 2 r 2 ， 4 、齿轮上接触点处的速度为k = 。r ，= p ，r 。因此接触点处的相对速度 为： k2 = k 一心= 0 3 】p 1x r l 一2 p 2x r 2 将k 2 代入啮合方程k ：n 2 = o 可得： 小模数弧齿锥撕轮的接触分析与i ：j j 削参数修j 】第三章接触分析原理 ( i ) 】( p l r 1 ) n 2 一2 ( p 2 r 2 ) - n 2 = 0 所以，大小齿轮的瞬时传动比为： 拈生：堕! 垒塑 0 2 1 ( p 2 ，r 2 ，n 2 ) ( 3 15 ) 3 2 胪日调整 在t c a 时，为了全面分析齿轮传动的接触质量，需要改变t e a 的初始 点在齿丽上的位置，这可以通过改变齿轮副的相对安装位置来实现。齿轮 副的相对安装位置可以由v 、h 、j 三个量来调整，如图3 2 所示。设小齿 轮沿其自身轴线方向p 的改变量为h ( 与p ，同向为正) ，大小齿轮轴线的 偏置距改变量为v ( 与友同向为正) ，大齿轮沿其自身轴线方向p ，的改变 量为，( 与p ，同向为正) 。本文把通过改变齿轮副中两轮之间的相对位置 来改变齿面接触点位置的方法称为卜日调整。 圈3 2 齿轮副作产调整后的位置夭系 从图3 2 可知，当大小齿轮的安装位置变化之后，式( 3 1 4 ) 可表示 如下： 0 1 0 2 = r l r 2 ( 3 1 6 ) 两交叉点之问的矢量o ld 2 又可以表示为： d 1 0 2 = h p l 一矿五一j p 2 ( 3 17 ) 因为一j 2 、p 一2 、p l = 轴互相垂直，式( 3 1 6 ) 与( 一p 2 万) 作点积可得： h = o i 0 2 ( p 2 ，2 ) = ( o i 0 2 ，p 2 ，j 2 ) ( 3 1 8 ) 第三章接触分析原理小模数弧锥撕轮的接触分析与切削参数修正 式( 3 1 6 ) 式( 3 1 6 ) 与( p 。_ ，：) f ：点移 可得： ，= 0 1d 2 ( p ，x 止) = ( d 1 q ，p 。，j 。) 与，：作点积可得： v = 一d 1 0 2 j 2 由以上三式可以看出，y 一调整值均是q ，、q 1 、q 2 和q 2 的参数，在 t c a 中确定了齿面上第一个点后，即q l 、q l 、q 2 和q 2 的值确定后，n 的调接值也随之确定。 3 3t c a 初始点的确定方法 在t c a 时，初始点通常满足以下三个条件： t c a 初始点的位置处在大齿轮齿面的指定位置； 一般情况下，只需要改变v 、h 两个参数就可以改变初始接触点的 位置，因此可以令j = 0 ： 在t c a 初始点处的传动比等于大小齿轮的齿数比。 为了更好的表示t c a 初始点在大齿轮齿面齿长方向上的具体位置，可 以引进齿宽系数 设齿面宽度为b ，则m 点距大齿轮外端的长度为角且 位于齿面中部。小模数弧齿锥齿轮大齿轮轮坯示意图如图3 3 所示： 图3 3 小模数弧齿锥齿轮轮坯及参数 肼为大齿轮中部一点，m 点所在位置节锥上点的齿顶高和齿根高可由 下式计算： ) ) 均 如 3 3 ( ( 小模数弧狮壤凶轮的接触分析与切削参鼗修正 第三章接能分析原理 k = 吃。2 一f b t a n 0 。2 = k 2 一乃t a n o n 又因为m 点位于齿面中部。它到齿根的距离为毕，所以它到节锥 的距离为： 她叫：一半= 学 它到根锥的距离为； 岭坠学 因此可得： 吃o = ( l e 一b ) s i n 8 2 一b h lc o s t 5 2 = 州s i n s ：一坠掣堕 圳 k 2 毒一靠 ：， ：生(h,2+hlz)coso2现 “t a n 8 ，22 s i n 8 ，2 72 当，在( 0 ，1 ) 中取值时即可算出t c a 初始点的r 20 、工2 0 的值。 3 4 初始点处摇台转角蟹、刀盘转角q 的确定 圈3 4 大齿轮齿面点的投影关系 翌主望! 型坌塑堡型 ! ：堡墼翌塑壁塑丝塑量丝坌塑皇塑型墨塾堡互 在2 2 节中已经求出了大齿轮齿面上的任一点的矢量表达式i 。为了 确定齿面上一点的坐标需要将i 向轴线方向和轴线垂直方向投影，如图 3 4 。由图3 4 可知： t 2 = 隆列 l 厶= 疋p 2 ( 3 2 3 ) 在t c a 开始时，可以由式( 3 2 1 ) 、 ( 3 2 2 ) 求得初始r 2 0 、l 2 0 ，在 式( 3 2 3 ) 中令9 2 = r 2 0 、l z = l 2 0 求解该非线性方程组便可以求得初始9 2 、 q 2 。 在卜日检查时，一般不改变大齿轮的安装距即可把接触区移到指定的 位置，即令j = o 。大齿轮和小齿轮在接触分析时的t c a 初始点上，其传动 比等于理论值，即f f = 争( f f 为大小齿轮的瞬时传动比) 。因此，可以通过 求解下列非线性方程组求得初始q l 、q l 。 艇羔 。， 3 5t c a 图形绘制 3 5 1 接触轨迹 由上节的分析，可以求解t c a 初始点以及对应的摇台、刀盘转角参数， 将这些参数代入式( 3 2 0 ) 、( 3 1 8 ) 可以求得该点的矿、日值，并可以 求锝。1 0 2 ，然后在这个安装条件下进行接触分析。首先给参数母：一个适当 的步长，再通过迭代求解非线性矢量方程组( 3 1 6 ) 便可以求得其它参数， 由这些参数又可以求得接触点处的，2 、2 值，由该对值可确定该接触点在 齿面上的位置，一直进行下去直到接触点超出齿面边界。 3 5 1 1 齿面边界 大齿轮的几何参数如图3 3 所示。以大齿轮根锥为轴，以过节锥上 小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数修正 船三群接触分析原理 齿面中点p 且垂直于根锥的直线为过y 轴，z 轴与y 轴交点0 为原点建立 图形坐标系x o y 并画出大齿轮齿面的投影，如图3 5 ： 即 图3 5 大齿轮齿面图形坐标系 由图3 5 和图3 3 可以求得a 、b 、c 、d 四个顶点的坐标分别为 一 b s i n 20 r 2 b 以= h e 2 s i n o f 2 一蒜一2 c 。s o f 2 l = 0 即一b + h i , 2 sinof2一丽bsin20f22coso= 华吨：s i ne，2f2以丽2 子“协o ，： = 0 x c = xb h s i n o n y c = h c o s o ，2 x d = x j 一【 一b ( t a n o ，l + t a n o ，2 ) s i n o ，2 y d = 【 一b ( t a n 0 ，l + t a n o ，2 ) e o s o ，2 a b 边的直线方程为： y 口= 0 b c 边的直线方程为： y c 一一y 一 x f x b x x 8 冶c = 格一臀 3 第三章接触分析麒理 小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数修正 同理： ，c 。j y 。d 一- y c cx + ! ! 粹 格一紫 有了齿面四条边界的直线方程，大齿轮齿面即可在x o y 坐标系中绘出。 在大小齿轮啮合过程中，大小齿轮齿顶与齿根之间有顶隙，超出顶隙的部 分不在齿面的实际边界之内不必绘出，这可以把大齿轮的齿顶线与齿根线 沿j r 轴平移顶隙即可。 3 5 1 2 接触轨迹 两啮合齿面在啮合传动的过程中，大小齿轮的接触点在齿面上是连续 变化的，连续变化的这些瞬时点( 接触斑点) 便形成了一条接触线。对应 于大齿轮接触线上的每一个点都有一对参数g l 、q l 、9 2 和q 2 相对应，因 此，当改变这一组参数时就得到不同的接触点。在计算机仿真过程中只能 离散的求出接触线上的一些点，这些点连起来便形成接触迹线( 接触轨迹) 。 可以改变t c a 初始点处的口2 ，迭代求解非线性方程组式( 3 1 6 ) 可以求得 q 2 、9 1 、q i ，由参数9 2 、q 2 可以求解方程组( 3 2 3 ) 得到，2 、l 2 然后就可 以算出接触点在图形坐标系x o y 坐标系下的坐标值，如图3 6 ： i 刳3 6 接触点在大齿轮上的坐标 接触点在坐标系x o y 下的坐标为： 小模数弧齿锥曲轮的接触分析与刨削参数修i l ：镍三常接触分析原理 j z2 上2 一l 2 m ) c o s 6 厂2 + 也一也，”鲥“6 f 2( 3 2 5 ) i y = r 2c o s 5 - 2 一( 2 + 现) s i n 8 f 2 按上述坐标在齿面区域内绘出该点。增大或减小q z ，再求得组参数 获得另一个接触点，如此循环直到求得的接触点超出齿面边界为止，这些 接触点便形成了接触线。 3 5 2 传动误差曲线 按照齿轮的设计要求，一对弧齿锥齿轮的理论传动比应该等于大小齿 轮的齿数比，但由前面的分析可以看出，在接触分析的t c a 初始点处把传 动比人为的设定为理论值了，在其它位置处的瞬时传动比由式( 3 1 5 ) 确 定。 大小齿轮在切齿开始时，摇台所处位置处的转角称之为摇台角q ：o 、q 齿面上对应于摇台转角q 2 、q t 设计点处的齿轮转角、吼则为： i ( p 2 = i 2 0 ( q 2 一q 2 0 ) 1 牛。= i l o ( g ，一q l o ) 在大小齿轮装配之后，大小齿轮上的接触点为了能够重合必须沿各自 轴线旋转t 1 t 、t 1 - 才进入啮合，因此从调整到啮合大小齿轮分别转过的角度 为： 严2 。平2 + t 1 22 i 2 0 ( 9 2 一q 2 0 ) + t 1 2 【o l = 甲1 + ”1 = i l o ( q l q l o ) + t 1 1 由于t c a 初始点传动比等于理论值，因此把t c a 初始点大小齿轮的转 角中。中，。定为参考值，那么其它接触点相对于参考值的转角为： j 中22 巾2 一中2 0 i o i = d l c d l o 按照理论传动比，当小齿轮转过的角度为中，时，大齿轮理论上应该 转过的角度为： 峨= 争蚺 因此，传动误差为： 第三章接触分析原理小模数弧齿锥齿轮的接触分析与切削参数偿手 中= 中。一叫= 咖z 一百z i 巾， ( 3 2 6 ) 式( 3 2 6 ) 中中即为一对齿轮