（检测技术与自动化装置专业论文）非完整移动机器人鲁棒轨迹跟踪控制研究.pdf

摘要 本论文研究了非完整移动机器人的轨迹跟踪控制问题，特别是当系统存在不确定性 时的鲁棒轨迹跟踪控制。本文的主要研究内容如下： 针对非完整移动机器人的运动学模型，为轨迹跟踪控制设计反馈速度控制律：建立 了局部坐标系下用直角坐标表示的位姿误差模型，然后应用控制l y a p u n o v 函数方法为 轨迹跟踪误差系统设计了非线性状态反馈控制律，使闭环系统在原点是一致渐近稳定 的，从而保证了轨迹的渐近跟踪。之后的控制律设计都是以此方法为基础的。 基于非完整移动机器人的动态模型进行轨迹跟踪控制律设计，获得动力学系统的实 际力矩控制输入：采用控制l y a p u n o v 函数和反步设计的思想，首先，由控制l y a p u n o v 函数设计出可以保证轨迹跟踪误差渐近稳定的辅助速度控制，然后设计反馈加速度控制 律使移动机器人的实际速度收敛到所设计的辅助控制速度，最后计算力矩获得实际的控 制信号。 针对具有未知外部扰动和惯性参数不确定性的动力学系统的轨迹跟踪问题，设计了 鲁棒自适应控制器，要求不确定性和外部扰动有界；该方法可以克服不确定性带来的影 响，提高控制系统的鲁棒性。 在移动机器人动态模型的基础上进一步考虑了驱动模型的影响，设计以电机电压为 控制输入的轨迹跟踪控制律：针对系统模型具有不确定惯性参数和结构参数的情况，设 计了白适应控制律，保证了存在不确定性时轨迹跟踪的实现。 对本文所设计的控制方案都进行了仿真研究，仿真结果也验证了控制律的有效性。 关键词：非完整系统，轨迹跟踪，模型不确定性，鲁棒自适应，移动机器人 r o b u s tt r a j e c t o r yt r a c k i n gc o n t r o lf o rn o n h o l o n o m i c m o b i l er o b o t s l in a ( d e t e c t i o n t e c h n o l o g ya n da u t o m a t i ce q u i p m e n t ) d i r e c t e db yp r o f l is h u r o n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h et r a j e c t o r yt r a c k i n gc o n t r o lf o rac l a s so fn o n h o l o n o m i cm o b i l er o b o t si s s t u d i e d t h ee m p h a s i si st h er o b u s tt r a j e c t o r y t r a c k i n gc o n t r o lf o rm o b i l er o b o t sw i t h u n c e r t a i n t i e s t h em a i nw o r k so ft h i st h e s i sa r el i s t e da sf o l l o w s b a s e do nt h ek i n e m a t i cm o d e lo fan o n h o l o n o m i cm o b i l er o b o t ，af e e d b a c kv e l o c i t y c o n t r o ll a wi sd e s i g n e df o rt r a j e c t o r yt r a c k i n g f i r s t ，t h ep o s t u r ee r r o rm o d e lo ft r a j e c t o r y t r a c k i n gi se s t a b l i s h e dd e n o t e db yc a r t e s i a nc o o r d i n a t e si nt h el o c a lc o o r d i n a t e s t h e nt h e n o n l i n e a rs t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a wi sd e s i g n e df o rt h et r a c k i n ge r r o rs y s t e mu s i n gac o n t r o l l y a p u n o vf u n c t i o n u n d e rt h ep r o p o s e dc o n t r o ll a w , t h ec l o s e d l o o ps y s t e mi su n i f o r m l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l ea to r i g i n ，a n da s y m p t o t i ct r a c k i n gf o rt h ed e s i r e dt r a j e c t o r yi s g u a r a n t e e d t h ef o l l o w i n gw o r k sa r ea l lb a s e do nt h ep r o p o s e dk i n e m a t i cc o n t r o l l e r b a s e do nt h ed y n a m i cm o d e lo ft h en o n h o l o n o m i cm o b i l er o b o t ，at o r q u ec o n t r o l l e ri s d e s i g n e d ，f r o mw h i c ht h ea c t u a lc o n t r o li n p u to ft h ed y n a m i cs y s t e mc a nb eo b t a i n e d t h e d e s i g n i n go ft h ec o n t r o l l e ri sb a s e do nt h eb a c k s t e p p i n gt e c h n i q u e f i r s t l y , a na u x i l i a r y v e l o c i t yc o n t r o ls i g n a li sd e s i g n e d ，w h i c hc a l lm a k et h et r a c k i n ge r r o ra s y m p t o t i c a l l ys t a b l e t h e nt og u a r a n t e et h ea c t u a lv e l o c i t yc o n v e r g et ot h ea u x i l i a r yc o n t r o ls i g n a l ，a na c c e l e r a t i o n c o n t r o ll a wi sd e s i g n e d ：t h ea c t u a lc o n t r o ls i g n a li so b t a i n e da tl a s tb yt h ec o m p u t e dt o r q u e c o n t r o l l e r t h ep r o b l e mo ft r a j e c t o r yt r a c k i n gc o n t r o lf o rd y n a m i cs y s t e mw i lu l l k n o w ne x t e m a l d i s t u r b a n c e sa n di n e r t i ap a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e si ss t u d i e d ，w i mt h ep r e r e q u i s i t et h a tt h e e x t e m a ld i s t u r b a n c e sa r eb o u n d e d ar o b u s ta d a p t i v ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e d ，u n d e rw h i c ht h e i n f l u e n c ec a u s e db yu n c e r t a i n t i e sc a l lb eo v e r c o m e ，a n dt h er o b u s t n e s so ft h es y s t e mc a l lb e i m p r o v e d o nt h eb a s i so ft h ed y n a m i cm o d e l ，t h ed r i v em o t o rd y n a m i c si st a k e ni n t oa c c o u n t f u r t h e ri nt h ec o n t r o ld e s i g n i nt h i sc a s e ，t h ec o n t r o li n p u to ft h es y s t e mi st h ev o l t a g eo ft h e m o t o r t h et r a j e c t o r yt r a c k i n gc o n t r o lf o rm o b i l er o b o ts y s t e mw i t hu n c e r t a i ni n e r t i a p a r a m e t e r sa n du n c e r t a i ns t r u c t u r ep a r a m e t e r si ss t u d i e d a na d a p t i v ec o n t r o l l e ri sp r o p o s e d f o rt h i sc a s et oe n s u r er o b u s t n e s st ot h eu n c e r t a i n t yo fm o d e lp a r a m e t e r s t h ee f f e c t i v e n e s so fe v e r yd e s i g n e dc o n t r o l l e ri sv e r i f i e db yt h es i m u l a t i o nr e s u l t so f a c t u a lm o d e l s k e yw o r d s ：n o n h o l o n o m i cs y s t e m ，t r a j e c t o r yt r a c k i n g ，m o d e lu n c e r t a i n t y , r o b u s t a d a p t i v e ，m o b i l er o b o t 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 ，若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 盔妇臣 日期： 2 0 0 舅年衫月 石日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期：劢口? 年月日 日期：川年月易日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 许多实际的控制系统常常要考虑与外部环境的接触因素，这类系统带有一定的约束 条件，称之为受限系统。它具有广泛的应用背景，如移动机器人及自动驾驶汽车等。通 常约束条件可以归结为完整约束和非完整约束两类；完整约束只限制受控对象的空间位 置，或者同时限制空间位置及运动速度，但可以通过积分转化为对空间位置的约束，因 此称其为几何约束；非完整约束则是同时限制空间位置和运动速度，并且不能通过积分 转化成对空间位置的约束，称其为不可积约束或运动约束。相应地具有完整约束的系统 称为完整系统，具有非完整约束的系统称为非完整系统。 轮式移动机器人是典型的具有非完整约束的非完整控制系统，即带有不可积约束的 系统，称为非完整移动机器人。轮式移动机器人的非完整本质是与移动机器入的轮子满 足纯滚动无滑动这一假设相关的，这个假设意味着在位姿变量上存在一组不可积的一阶 微分约束。虽然非完整约束限制了移动机器入的瞬时运动，但在位姿空间中移动机器人 仍然是全局可控的【l 】。这一特性使得移动机器人的反馈控制器设计具有挑战性。在实际 中，移动机器人作为能够扩展人类作业空间、增强人类工作能力的一种有效工具，为人 类在宇宙探索、海洋开发、生产及办公自动化、纳米加工以至生物医学工程等各种领域 的活动，提供了强有力的帮助，并将得到越来越多的应用。同时，大量的由移动机器人 从事的实际应用又推动着移动机器人研究领域的发展。因此，研究带有非完整约束的移 动机器人具有很强的理论和实际意义。同时，深入研究非完整移动机器人的控制问题也 是研究非完整控制系统的一个极好的切入点。 在研究和开发移动机器人的过程中，人们逐步认识到移动机器人研究的主要内容是 感知、决策、行动、交互四大技术的结合；而移动机器人最大的特点之一，就是其特有 的空间运动能力，因此其运动控制问题显得尤为重要。轮式非完整移动机器人控制的基 本问题包括运动规划、轨迹跟踪和镇定问题。 运动规划问题是获得一个在给定时间段内将非完整移动机器人从一个初始状态驱 动到一个终端状态的可行路径或最优可行路径。对于一个非完整移动机器人而言，并非 每一个运动都是可行的，只有那些满足瞬时非完整约束的运动才是可行的。轨迹跟踪是 设计一个反馈控制律使非完整移动机器人能够渐近跟踪一条规划好的轨迹。镇定问题是 第1 章绪论 获得一个反馈控制律来保证整个闭环系统的一个平衡点是渐近稳定的。 综合解决了以上三种问题，就可以实现非完整移动机器人从初始位姿出发，沿着规 划的轨迹向指定的位姿运动，并最终稳定在指定位姿。 鉴于移动机器入运动控制的重要意义，本义以非完整移动机器人为研究对象，针对 其中的轨迹跟踪问题进行研究。 1 2 轨迹跟踪控制的研究现状 随着对非完整控制系统研究的深入以及控制对象的复杂化，作为典型非完整系统的 非完整移动机器人受到极大的关注，不断有新的方法应用到非完整移动机器人的轨迹跟 踪控制器的设计中。 根据移动机器人系统是由运动学模型或动力学模型来描述，可以将轨迹跟踪控制问 题分为运动学跟踪和动力学跟踪问题。运动学跟踪问题近年来得到广泛研究。一些学者 借助线性控制理论或反馈线性化的方法进行研究，包括基于线性化模型提出了连续的线 性局部指数控制器【2 】，基于动态反馈线性化方法和微分平坦思想提出了带有奇异点的动 态控制器【3 】等。 非线性状态反馈方法主要是通过非线性状态反馈，基于非完整移动机器人运动学模 型，设计非线性状态反馈控制律，得到一个闭环系统。这里的状态，是指非完整移动机 器人闭环控制系统状态空间方程中的状态向量，用非完整移动机器人期望轨迹与实际轨 迹之间的位姿误差来表示。该方法最大的问题在于如何使系统全局渐近稳定在原点平衡 状态。文献 3 】利用微分平坦的特性，引入动态反馈得到了指数收敛的存在奇异点的局部 跟踪控制律。用一维动态跟踪控制器的方法可以得到闭环系统无奇异点的跟踪控制器， 但该方法要求参考角速度控制输入不能趋于零4 】【5 】，这使得轨迹跟踪中最通常的直线轨 迹跟踪变得不能实现。在文献 6 中，则设计了一种基于反步法的针对更加普遍的链式非 完整系统的半全局化跟踪控制器。 动力学系统跟踪问题在最近几年受到越来越多的关注，原因之一是大多数实际的非 完整机械系统都是动力学系统。当对闭环系统的性能要求比较高时，其动力学描述是不 可忽视的。另外，基于运动学模型的速度控制律也不能直接应用于输入为力矩的动力学 系统。通常，非完整动力学系统的控制律都是通过对运动学系统控制律的简单积分获得。 这种方法需要精确的系统动力学的参数，然而一般这些参数很难精确得到。考虑到在实 际应用中，对非完整移动机器人进行建模的困难以及不可避免的控制中的扰动，需要研 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 究不确定非完整系统的有效的跟踪控制方法。在文献【7 】中研究了带有未知惯性参数的非 完整动力学系统，设计出- - l e 0 自适应控制器。文献 8 】中则研究了不确定非完整系统动力 学跟踪问题，设计出一种鲁棒h o o 控制器。但是以上这两种方法仅能保证系统的部分状 态跟踪上期望的状态。文献【9 中，先设计出运动学控制器，使得实际机器人与参考的机 器人之间的误差趋于零，然后利用反步法设计出力矩控制器，使得移动机器人的速度收 敛到之前运动学控制器所给出的期望速度。文献【1 0 中，讨论了带有动力学不确定性的 非完整移动机器人跟踪问题，通过适当的定义误差和b a r b a l a t 定理提出了鲁棒自适应控 制器。 滑模控制的基本思想是针对不同的非完整移动机器人的模型表达式，设计一个适当 状态空间曲面，称为滑模面，在此基础上利用高速的开关控制律，驱动非线性系统的状 态轨迹渐近地到达预先设计的滑模面，并且在以后的时间，状态轨迹将保持在该滑动表 面上，以实现期望参考轨迹的跟踪。 将滑模控制应用于非完整移动机器人运动学系统跟踪的有：文献 1 1 】提出了一种滑 模控制律来镇定以链式形式描述的非完整移动机器人系统并将其工作扩展到了轨迹跟 踪问题上；文献【1 2 】 1 3 】中提出了应用一个l y a p u n o v 导向函数制定一组期望的轨迹来导 引移动机器人到一个指定的位姿，其中应用滑模控制来保证精确地跟踪由导引函数给出 的轨迹；文献 1 4 禾f j 用移动机器人的微分平坦特性发展了一种滑模控制方法；文献 1 5 提出了一个带有滑模的路径跟随反馈控制器，该控制器对于类车移动机器人的局部化和 曲率跟踪误差是鲁棒的。将滑模控制应用于非完整移动机器人动力学系统跟踪的有：文 献【1 6 】中提出了一个简化的动力学模型来实现非完整系统的同时独立的运动和力控制， 其中设计了一个鲁棒控制律，该控制律是滑模控制的一个光滑实现；文献 1 7 】提出了一 个变结构控制律，该控制律使得移动机器人以有界的位置和速度误差收敛到参考轨迹； 文献 1 8 1 6 0 的位姿变量是在极坐标系下表示的，目的是设计适当的滑模面来镇定所有的 姿态变量，应用滑模控制律使得移动机器人收敛到参考轨迹并具有渐近稳定性。文献 1 9 】 中通过使用计算力矩的方法，移动机器人的误差动态被线性化，并且一个滑模控制律被 应用来镇定移动机器人到一条参考轨迹上，同时补偿存在的扰动。文献 2 0 2 5 1 采用了类 似的方法。文献【2 6 将系统的滑模表示成高阶的形式，并设计了相应的控制律，得出了 高阶滑模面表示法优于低阶滑模面表示法的结论。滑模控制对于系统的模型不确定性和 外部扰动具有很好的鲁棒性，但该方法的主要问题在于控制律中的不连续项会直接转移 到输出项，使系统在不同的控制逻辑之间来回高速切换，引起系统出现不可避免的“抖 3 第l 章绪论 振 现象。 当受控系统的参数发生变化时，自适应控制通过及时地辨识、学习来调整控制律， 可以达到一定的性能指标。文献 2 7 】中给出了存在有不确定性因素的非完整机器入的自 适应控制方法，该方法不需要系统动力学模型信息，只是根据系统性能自适应地调整控 制器增益，具有计算简单和鲁棒性好的优点。但是该方法的实现过于复杂，难于满足一 般的非完整移动机器人控制实时性的要求。 反步设计方法是一种依据李亚普诺夫函数来构造控制器，使积分环节串联的各个子 系统逐级稳定的方法，适用于具有严格反馈结构的系统。文献 2 8 1 2 9 】中给出了基于简 化的动力学模型的反步方法，通过设计合适的辅助速度控制输入来实现非完整移动机器 人对期望轨迹的跟踪。 文献【3 0 】将反步设计的方法应用到了带有未知参数的非完整移动机器人的自适应控 制中。文献 3 1 3 2 】中应用轮式移动机器人模型的标准型以及反步设计方法，提出了一 个自适应鲁棒跟踪控制器，解决了带有不确定动态的轮式移动机器人的跟踪问题，该全 局控制器可以使闭环系统的所有状态渐近地跟踪给定的期望轨迹，由于不涉及系统动态 的信息和计算，该控制器结构简单易于实现。 近年来，人工智能技术有了很大的发展，并应用于机器人领域。智能控制使控制系 统的设计不再依赖于数学模型，摆脱了线性局限，同时也为解决非完整移动机器人运动 控制问题提供了新的手段。对于移动机器人的运动控制问题，主要应用的是模糊控制和 神经网络控制。由于神经网络控制方法的在线学习功能，使其对于各种干扰和模型误差 具有很好的鲁棒性，因而在非完整系统中的应用越来越受到重视。文献 3 3 3 4 1 将多层 神经网络的近似和学习功能应用于移动机器人的轨迹跟踪和点镇定控制，处理在移动机 器人动力学模型中存在各种可变参数和扰动项时的鲁棒控制问题。模糊控制【3 5 1 【3 6 】【3 7 1 可 以利用人类的专家控制经验来弥补机器人动态特性中的非线性和不确定因素，不依赖对 象的数学模型，具有较强的鲁棒性。然而，模糊控制也有其本身具有的缺点，其综合定 量知识的能力差，控制规则和隶属函数一经确定便无法修改，从而限制了其自适应能力。 文献 3 8 4 0 将人工神经网络与模糊控制结合起来，利用神经网络的学习能力来达到调整 模糊控制的目的，一方面使模糊控制具有了一定的自适应能力，另一方面也使神经网络 获得了模糊控制的推理归纳能力。 基于以上的归纳和综述，总结了非完整移动机器人轨迹跟踪控制中的几个重要问 题。首先在实际系统中，模型参数常常是未知或不能精确知道的，如移动机器人的惯性 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 参数、由于磨损等造成的机器人结构参数的变化等。当对控制系统的性能要求不高时， 建立在精确模型上的控制律一般能够达到控制目标，然而当对控制系统性能的要求提高 到某种高度时，参数的不确定性在实际系统中产生的影响就非常明显。同时由于系统通 常会受到外界各种各样的干扰，以及存在难以建模的动静态摩擦等，考虑参数不确定性 和外部干扰同时作用下的控制器设计问题也有待解决。因此，研究带有不确定性的移动 机器人的鲁棒控制方法具有非常重要的理论意义和应用价值。 另外一个重要的因素就是实际控制输入所受到的约束，即在满足控制受限的情况下 为移动机器人系统设计控制器，这又增加了设计的难度。实际系统可能同时具有状态约 束和输入约束，但这种情况目前研究的还很少。 非完整移动机器人的轨迹跟踪控制的研究将沿着由运动学模型到动力学模型，由标 称系统的控制到鲁棒控制，由无控制约束到有控制约束的方向发展。 1 3 本文的主要内容安排 本文研究非完整移动机器人的轨迹跟踪控制，特别是当系统存在不确定性时的控 制；主要内容安排如下： 第1 章介绍了非完整移动机器人轨迹跟踪控制的研究意义和研究现状，以及本文的 主要研究内容。 第2 章介绍了非完整控制系统的基本知识，非完整移动机器人的基本运动控制问题 的定义，并在此基础上，建立了非完整移动机器人的数学模型。 第3 章针对非完整移动机器人的运动学模型，考虑其运动学跟踪问题。应用控制 l y a p u n o v 函数设计反馈速度控制律，实现轨迹的渐近跟踪。 第4 章基于反步设计的思想，进行动力学跟踪控制器的设计，获取实际力矩控制输 入。首先设计了改进的计算力矩法控制器，由于该方法在系统存在不确定性时鲁棒性较 差，又针对系统存在不确定惯性参数和未知扰动的情况，设计了鲁棒自适应控制器。 第5 章在动力学模型的基础上，进一步加入了电机动力学的影响，考虑系统具有不 确定惯性参数和结构参数时的控制，设计了反馈电压控制律。 5 第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章介绍了非完整移动机器人的基本运动控制问题的宏观定义，给出了非完整约束 和非完整控制系统的基本知识，在此基础上，建立了非完整移动机器人在笛卡尔坐标系 下的数学模型，是后续章节进行轨迹跟踪控制的基础。 2 1 非完整移动机器人 2 1 1 非完整系统 定义2 1非完整系统h 1 】：考虑一个机械系统的描述如下 岔= f ( q ，口，u ) ( 2 - 1 ) 其中g 是广义坐标向量，( ) 是代表动态的向量场，甜是一个外部广义输入向量。假设 某些约束限制了系统的运动，如果这些约束满足完全可积性，即它们可以写成如下形式 h ( q ，f ) = 0 ( 2 2 ) 则根据标准术语【4 2 】，这些约束被称为完整的( h o l o n o m i c ) ；对于系统( 2 1 ) ，如果这些 约束不能写成公式( 2 2 ) 的形式则它们被称为非完整的( n o n h o l o n o m i c ) ，系统( 2 1 ) 为非完整系统。 下面描述非完整约束与完整约束对系统的不同影响【4 3 】： 一个机械系统的位姿可以用n 维广义坐标向量描述： q = ( 吼q 2 吼) r ( 2 3 ) 其中g r ”。位姿空间q 是一个n 维光滑流形，局部用r ”表示。一条轨迹g ( f ) cq 上一 点处的广义速度是切向量： 亩= ( 豳圣2巩) r ( 2 - 4 ) 一个机械系统可能存在或者被施加了k 个几何约束： 红( q ) = 0 待1 ，k ( 2 5 ) 并将系统可能的运动约束到一个m k ) 维的子流形上。 一个机械系统也可能服从一组包含广义坐标和它们导数的运动约束，即一阶运动约 束： 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 衫( g ，口) = 0 大多数情况下，这些约束是p f a f f 类型的： ( g ) 口= 0 或者写成矩阵的形式：a r ( g ) 亩= 0 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 即约束在速度上是线性的。运动约束可能是可积的，即可能存在后个函数曩，使得： 塑鲣灶丝鲣：0 ( 2 9 ) 出西 4 在这种情况下，运动约束实际上是几何约束。一组p f a f f 约束如果是可积的，则它们是 完整的，否则就是非完整的。 完整约束和非完整约束以完全不同的方式影响系统的运动性。以一个单一的p f a f f 约束为例： 7 口r ( g ) 口= 0 ( 2 1 0 ) 1 如果约束是完整的，则( 2 1 0 ) 式可以积分为： 办( g ) = c ( 2 - 1 1 ) 其中_ o h ：口r ( g ) ，c 是一个积分常数。这样系统的运动就被限制在h 的一个特定的水平 面上，该水平面依赖于穿过c = 办( g o ) 的初始条件。 2 如果约束是非完整的，则( 2 1 0 ) 式是不可积的。尽管在每个位姿处，系统的瞬时 运动( 速度) 被限制在一个0 一1 ) 维的空间内( 即约束矩阵q ) 的零空间) ，但系统仍 然有可能到达位姿空间q 的任意位姿。 2 1 2 微分约束的可积性判定 上面讲到如果约束可积，就是完整约束；否则就是非完整约束。那么一个微分约束 是否可以积分为有限形式，这是个重要问题。下面分几种情况给出微分约束的可积性的 判定方法【4 9 】。 1 约束a ( x ，) ，) 文+ b ( x ，y ) 夕= 0 ( 2 1 2 ) 对于( 2 1 2 ) 形式的p f a f f 约束，有以下结论： 定理2 1 形如( 2 1 2 ) 的p f a f f 约束一定是完整约束。 第2 章预备知识 2 约束a ( x ，y ，z ) y c + 8 ( x ，y ，z ) p + c ( z ，y ，z ) 三= 0 对于形如( 2 1 3 ) 的p f a f r 约束，有以下结论： 定理2 2( 2 1 3 ) 的约束是完整约束的充要条件是 a 、c o a b 一_ = 0 _ c ) + b 、 o a c 一j o a 一) + c 、a 盘a 一= o i b ) ：o 、瑟 却7 、苏钯7 、咖 彘7 可以得到以下推论： 推论1 ：如果满足条件 8 b8 c 瑟 砂 则约束( 2 1 3 ) 一定可积。 a c 触 o x瑟 o ao b ，= 勿 瓠 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 _ 1 5 ) 推论2 ：如果满足条件 一a a ：0 ，塑：o ，c ：0 ( 2 1 6 ) 瑟瑟 则约束( 2 1 3 ) 一定可积。在推论2 的条件下，就是定理1 的内容。 3 n 个变量的一般p f a f f 型约束 聆个变量的一般p f a f f 型约束表示为： 4 ( 吼，纷一，吼玩= o 定理2 3p f a f f 型约束( 2 1 7 ) 可积的充要条件是 ( 2 1 7 ) 4 ( 娑一婺) + 4 罄一警) + 4 ( 挈一娑) ：0 其中j z ，：1 ，2 ， ( 2 1 8 ) o q lo qro qse q to qro q s 可以得到以下推论： 推论：如果满足条件 娑：娑 其中旷：1 ，2 ，以 o qro q s 则约束( 2 1 7 ) 一定是可积的。 2 1 3 轮式移动机器人的非完整性 种。 ( 2 1 9 ) 根据机器人受到的约束条件的不同，移动机器人可以分为完整约束和非完整约束两 很多实际的惯性系统都要与外部环境接触，都要受到某些力学约束，对系统的位置 8 中田油人学( 乍东) j 位论文 和速度施加了几何的或运动学特性的限制，要对这样的系统进行控制，实现特定的控制 目的或达到某种控制指标，就必须考虑到这些约束条件的影响。 通常约束条件可以分为完整约束条件和非完整约束条件两类。完整约束条件只限制 受控系统的宅问位霄，或者同时限制空间位置和运动速度但可以通过积分全部转化为对 空间位置的限制，用系统的空问位置坐标的时间解析方程来表示，完整约束的物理意义 在于系统不能在任意时刻在空间取任意位置。非完整约束条件是埘受控系统运动速度的 约束，用系统空间位置坐标的不可积微分方程来表示，但对空间位置没有任何限制。 从力学分析和控制论的角度出发，所有的实际系统都可以用状态空间法来描述并都 受到完整约束的限制但完整约束可以降低系统状态空i 白j 方程的维数，而从物理学建模 得到的系统状奄空间描述通常就已经隐含了完整约束，因此可以不对系统的完整约束进 行特殊考虑。但非完整约束就不具有这样的性质，所以必须在系统的数学模型之外还要 考虑非完整约柬。 具有普通轮子的一般轮式移动机器人通常具有这样的非完整约束，即任意时刻移动 机器人的运动方向只能与机器人当前的朝向相一致，是典型的非完整系统。 轮式移动机器人的非完整约束是与其驱动轮满足与地面之间纯滚动无滑动( p u r e r o l l i n ga n db o i l - s l i p p i n g ) 这一物理特性相关的。这样非完整移动机器人的非完整约束对 运动速度的限制表现为，在任意时刻移动机器人只能前后纵向运动和转动，而不能左右 横向运动，如图2 1 所示。 圈2 - 1 移动机器 不能侧向移动 f i 9 2 i m o b i l er o b o tc a l ln o t m o v e l a t e r a l l y 22 非完整移动机器人运动控制问题概述 运动控制问题是非完整移动机器人研究中最基本的问题，也是机器人学中只有依靠 控制理论才能予以解决的问题。非完整移动机器人最大的特点之一，就是其特有的空间 9 第2 章预备知识 运动能力，所以不解决运动控制问题，无论采取怎样的体系结构，最终都无法有效地实 现各种决策意图和规划任务。 非完整移动机器人运动控制问题重点要研究和解决的基本问题根据控制目标的不 同，可分为：路径跟随、轨迹跟踪、点镇定。本节将对这三个基本控制问题的定义进行 概念上的归纳描述，这只是一种宏观定义，具体的数学形式将结合具体采用的模型和控 制方法而定。 1 路径跟随 路径跟随( p a t hf o l l o w i n g ) ，是指根据某种控制理论，为非完整移动机器人系统设 计一个控制输入作用即控制律，使非完整移动机器人能够到达并最终以给定的速度跟随 运动平面上给定的某条路径。移动机器人的初始点可以在这条路径上，也可以不在路径 上。给定的某条路径称为期望路径，是指一条几何曲线厂( ，”，幺) ，曲线方程不包含时 间参数，各个自变量也不是时间的函数，我们关心的只是移动机器人相对于给定路径的 位置，控制的目标是使移动机器人和给定路径之间的距离为零。给定的速度称为期望速 度，即参考控制输入，用u ，= 【匕，q 】2 来表示，从物理上看巧和c o , 的取值变化受 厂( ， ，e ) 的具体形式的限制，同样不包含时间参数，而且要求咋 0 。( ，”，绋) 和甜， 可以预先给出或由路径生成器得到。 图2 2 路径跟随 f i 9 2 - 2 p a t hf o l l o w i n g 2 轨迹跟踪 轨迹跟踪( t r a j e c t o r yt r a c k i n g ) ，是指根据某种控制理论，为非完整移动机器人系统 设计一个控制输入作用即控制律，使非完整移动机器人能够到达并最终以给定的速度跟 踪运动平面上给定的某条轨迹。在惯性坐标系中，移动机器人必须从一个给定的初始状 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 态出发，到达和跟随一条理想轨迹，同样移动机器人的初始点可以在这条轨迹上，也可 以不在轨迹上。与路径跟随问题不同的是，这条给定的轨迹是一条和时间成一定关系的 几何轨迹。给定的某条轨迹称为期望轨迹，是指一条几何曲线厂( ( f ) ，y ，( f ) ，o a t ) ) ，各个 自变量是时间f 的函数，曲线方程是t 的隐函数；给定的速度称为期望速度，即参考控制 输入，用z t r ( ，) = 【( ，) ，q 0 ) 】7 来表示，从物理上看u ( ，) 和q p ) 的取值变化受 f ( x r ( t ) ，y ，( f ) ，谚o ”的具体形式的限制，仍然是t 的函数，通常是t 的隐函数，而且要求 咋( f ) 0 。厂( ( f ) ，y a t ) ，9 0 ”和b r ( ，) 可以预先给出或由轨迹生成器生成。在移动机器人 的轨迹跟踪问题中，移动机器人必须跟踪满足特定时间规律的笛卡尔轨迹，即移动机器 人必须跟踪一个移动的参考机器人。 图2 - 3 轨迹跟踪 f i 9 2 - 3t r a j e c t o r yt r a c k i n g 3 点镇定 点镇定( p o i n ts t a b i l i z a t i o n ) ，是指根据某种控制理论，为非完整移动机器人系统设 计一个控制输入作用即控制律，使非完整移动机器人能够到达运动平面上的任意给定的 某个目标点，并且能够稳定在该目标点保持不动。名称中的点是指给定的目标点，称为 期望位姿g r = 【_ ，y ，绋】2 ，可以预先给出或由路径规划得到，_ 、 和o r 为确定的值。 初始状态 目标 图2 - 4 点镇定 f i 9 2 - 4 p o i n ts t a b i l i z a t i o n 第2 章预备知识 镇定控制与跟踪控制不同，镇定控制的线速度在到达期望位姿之后要求为零，而跟 踪控制的期望线速度是始终不能为零的；镇定控制的目标点是确定的数值，而跟踪控制 的目标曲线的取值是随时间连续变化的。笼统地讲，非完整移动机器人镇定控制属于控 制系统综合中的调节问题，而非完整移动机器人跟踪控制属于控制系统综合中的跟踪问 题。因此不能用一种控制律来解决三种基本控制问题。但是路径跟随和轨迹跟踪同属于 跟踪问题范畴，从直观上看，它们的区别仅在于描述路径和轨迹的曲线方程本身是不是 时间的函数。可以用轨迹跟踪来实现路径跟随的控制目的，即把期望路径加入时间因素 后重新定义成期望轨迹，这样，用同一种控制律来实现路径跟随与轨迹跟踪。 2 3 非完整移动机器人的数学模型 本文以一类典型的两轮驱动的移动机器人为研究对象，如图2 5 所示。移动机器人 小车由两个同轴的驱动后轮和一个辅助前轮组成，两个后轮分别由两个独立的直流电机 驱动以提供所需的力矩，前轮为一个万向轮，可以沿任意方向移动而不对移动小车产生 任何阻力和约束作用。 由于机器人运动本身具有方向性，所以在移动机器人运动的二维平面上，需要用两 个独立的平面坐标系来共同标识出机器人某时刻的位姿。以二维平面上某一点d 为原点 的全局坐标系x d 一】，固定于移动机器人本身的横轴正方向始终与机器人朝向相一致 的局部坐标系瓦一q k 。q 是移动机器人的质心，也就是局部坐标系的原点；c 是两 驱动轮轮轴的中心，原点到c 之间的距离为d 。非完整移动机器人驱动轮的半径为， 两个驱动轮轮心之间的距离为2 l 。 q 在全局坐标系下的坐标( x ，y ) 即为移动机器人的位置，x 轴正方向到轴正方向 的角度0 即为移动机器人的朝向，也称为方向角。非完整移动机器人的位姿g 就可以表 示为【马y ，口】。这样就, - - i p a 把在空间中占有一定体积的非完整移动机器人系统抽象为一 个参考点q ，用参考点的坐标来代表移动机器人。假定非完整移动机器人是刚体，没有 机械形变，则移动机器入系统的数学模型即为参考点的数学模型。 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 x 图2 - 5 移动机器人的结构与坐标系 f i 9 2 - 5 s t r u c t u r ea n dc o o r d i n a t e so ft h em o b i l er o b o t 本文中将非完整移动机器人系统分为三个子系统，分别是运动学子系统、动力学子 系统、电机驱动子系统，如图2 - 6 所示。移动机器人运动学模型的主要特点是由于其轮 子与地面之间的纯滚动无滑动条件而存在的非完整约束；动力学模型则是应用 e u l e r - l a g r a n g e 方程描述的，包含移动机器人的质量、转动惯量、外部输入、约束力等 在内的动力学关系；驱动子系统则考虑了驱动电机动力学。下面分别建立其模型。 移动机器人 输 入 电 信 号 电压 或电流 力矩透厦 位姿 驱动子动力学运动学 系统子系统予系统 图2 - 6 移动机器人的分解 f i 9 2 - 6d e c o m p o s i t i o no ft h ee l e c t r i c a l l yd r i v e nm o b i l er o b o t 具有聆维系统状态的非完整移动机器人的模型可以一般的由具有非完整约束的广 义力学系统来描述： m ( g ) 牙+ 圪( g ，口) 口+ f ( 香) + g ( 9 ) + 吃= b ( g ) t + a r ( g ) 力( 2 - 2 0 ) a ( q ) q = 0 ( 2 2 1 ) 其中：q r “1 是1 1 维的广义坐标，m ( q ) r “”是对称正定的系统惯性矩阵， 1 3 第2 章预备知识 圪( g ，口) r 是与位置和速度有关系的向心力和哥氏力矩阵，f ( 口) r ”1 和g ( g ) r “1 是分别与速度和位置有关系的动静摩擦力项和重力项，乃r 肛1 是包括未建模动力学的 有界的未知扰动，t r “1 是输入向量，曰( g ) r ”7 是输入变换矩阵，a 尺“1 是约束力 向量，a ( q ) r ”是约束矩阵。 a ( q ) g l = 0 表示m 维的非完整的运动约束。 选择满秩矩阵s ( g ) = 【墨( g ) s n - r n ( g ) 1 ，s ( 鸟) r 州”，其中曩( q ) ，i = 1 ，2 ，玎一埘 么( g ) s ( g ) = 0 ( 2 2 2 ) 由l 么( a 们( q s ) d l ( 垡= ) o ：。 可得：存在。一班) 维的速度向量y = h屹一。】r 使得 口= s ( 留) y 9 ) ( 2 _ 2 3 ) 对于本文所研究的如图2 - 5 所示的移动机器人，驱动轮满足纯滚动无滑动约束，即 与地面之间无侧滑。如果以质心q 为参考点，则系统受到的约束为： 一s i n 0 + p c o s 0 一d o = 0 ( 2 2 4 ) 写成么c g ，口= 。的形式： c s 证目c 。s 9 一d ， 薹 = 。 则么( g ) = - s i n 0c o s o d 】。 式( 2 2 4 ) 是一个典型的p f a f f 9 4 3 束，即在广义速度上是线性的。由定理2 2 判断： 痂秒(ocoso一警)+coso(o(-d)80o x 一型0 0 玛+ ( - n ( 笔竽一型o x )匆7 、。、 砂 因此是非完整约束；所有允许的广义速度都包含在约束矩阵a ( q ) 的零空间内。 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 选取s ( g ) 和新的控制输入向量v ( t ) ： ， y ：r - v 1 l 彩j | = 举秭习 协捌 控制输入分别是移动机器人沿主轴方向的速度v 和质心q 点绕两驱动轮轮轴中 点旋转的角速度。s ( g ) 是一个j a c o b i a n 矩阵，将局部坐标系下的速度v 转化为全局坐 标系下的速度口。式( 2 2 5 ) 即为移动机器人的运动学模型。在这