（机械设计及理论专业论文）强非线性齿轮系统周期解结构及其稳定性的研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文摘要 摘要 本文主要针对单对齿轮副间隙非线性的单自由度动力学模型，对系统状态空 间中同时存在的多重周期解及系统周期运动的稳定性分叉问题进行了研究。 通过引入伪不动点追踪算法，研究了系统状态空间中多重周期解的共存问题， 为研究非线性动力学系统中的周期解结构问题提供了一种新的思路和方法。本文 基于这一思路，在算法中增加了对时间历程进行数值模拟，可以剔除一些虚假的 周期解，使得计算结果更能有效地用于分析周期解的结构。先用布鲁塞尔振子模 型的算例验证了算法的有效性，然后用该算法研究了单自由度间隙非线性齿轮系 统的周期解结构问题，比较了阻尼比和激励频率的变化对周期解结构的影响，并 由此引出进行稳定性分叉规律研究的必要性。 本文中还将用于周期解求解及判稳的数值分析方法p n f ( p o i n c a r 6 n e 、v t o f 卜- f 1 0 q u e t ) 、分叉延续算法和二分法相结合用于判稳及分叉的研究，确 定准确的分叉点，通过对布鲁塞尔振子模型进行研究，验证了算法的有效性后， 将该法用于齿轮系统的分析，从而得出了所研究的单对齿轮间隙非线性动力学模 型的分叉规律，对非线性动力系统通向混沌的倍周期分叉进行了探索性的研究， 为强非线陛齿轮系统稳定性分叉问题的研究提供了较好的数值工具。 关键词：强非线性齿轮系统多重周期解稳定性分叉 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o rm a i n l ys t u d i e st h e s i n g l e f r e e d o m n o n l i n e a r d y n a m i cm o d e lo f as p u rg e a r p a i rw i t hp i e c e w i s e l i n e a rc l e a r a n c e t w op r o b l e m sa r e s o l v e di nt h i sp a p e r ( 1 ) t or e s e a r c ht h es t r u c t u r eo f p e r i o d i c s o l u t i o n ；( 2 ) t or e s e a r c ht h e p r o b l e mo f s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no f t h eg e a rs y s t e m t h ep e r i o d i cs o l u t i o ns t r u c t u r ei sr e s e a r c h e db yu s i n go ft h eq u a s i - f i x e d p o i n t t r a c em e t h o d i nt h i sp a p e r , t h em e t h o di s i m p r o v e dt oa n a l y s i st h ep r o b l e mm o r e a v a i l a b l a tf i r s t t h r o u g ht h ee x a m p l eo f b r u s s e l sm o d e l ，t h ev a l i d i t yo f t h em e t h o di s v e r i f i e d t h e n ，t h em e t h o di su s e dt or e s e a r c ht h eg e a rs y s t e m t h ep e r i o d i cs o l u t i o n s t r u c t u r et h a th o wt oc h a n g ew i t ht h ef r e q u e n c ya n dt h e d a m p i n g r a t i oi sd i s c u s s e d t h em e t h o do f p n f ( p o i n c a r a - - n e w t o r r - - f l o q u e t ) ，w h i c hc a ns o l v et h ep e r i o d i c s o l u t i o na n d j u d g e i t ss t a b i l i t y , u n i t e dw i t ht h ep r i n c i p l eo ft h ec o n t i n u e db i f u r c a t i o n m e t h o da n dt h ed i c h o t o m y ，i su s e dt or e s e a r c ht h ep r o b l e m o f s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o n o fp e r i o d i cm o t i o n t h em e t h o do f c p n f ( c o n t i n u e d - - - p o i n c a r & - - n e w t o n - - f l o q u e t ) p r o v i d e sa b e t t e rn u m e r i c a lt o o lf o ra n a l y z i n gt h en o n l i n e a r d y n a m i cs y s t e m k e yw o r d ：s t r o n g - n o n l i n e a r i t y g e a r s y s t e m s t r u c t u r eo f p e r i o d i cs o l u t i o n s s t a b i l i t y b i f u r e a t i o n 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 本文的研究意义 现代工业向大功率、高速度、高效率方向不断发展，对工业设备的动态性 能提出了更高的要求，而齿轮系统是各种工业设备中应用最为广泛动力和运动 传递装置，其工作对产生的振动是造成设备动态性能恶化的最主要因素，因此 现代工业对齿轮系统动态性能方面的要求就更为突出，这样研究齿轮系统的动 力学行为就更加受到人们的关注3 t 4 ，5 1 。 齿轮传动系统的工作状态极为复杂，导致其动力学行为就更为复杂。不仅 有载荷工况和动力装置引入的外部激励；而且齿轮副本身会产生各种内部激励； 同时由于润滑和安装的考虑以及齿轮传动过程中的磨损，齿轮副中不可避免地 存在齿侧间隙，这就在动力学系统中引入了强非线性因素。当齿轮系统处于低 速、重载的工况下。间隙非线性对齿轮系统的动态性能不会产生严重影响，传 统的线性动力学模型可以较好地反映齿轮传动的动态性能。然而在工程实际中， 齿轮可能处于高速、轻载的工况下，这时间隙引发的冲击会严重影响齿轮的工 作性能和可靠性，传统的线性模型和线性理论不能真实可靠地反映齿轮的性态， 从而促使人们对齿轮传动的间隙非线性产生了足够的重视。 对于齿轮系统的间隙非线性问题，传统的线性振动理论已不再适用，这就 要求必须用非线性动力学的理论和方法来研究这种非线性动力学行为。由于非 线性动力学系统本身的复杂性，因而系统的解往往因问题而异，至今没有一个 合适的通用解法。于是就促使各个领域的研究人员纷纷探求新的理论和方法来 研究所遇到的问题。 为了解非线性系统动力学行为的现象及实质，本文将针对齿轮非线性动力 系统的建模、系统稳态解的形式、性态及求解方法、解的稳定性和分岔、不同 参数和初始条件对系统解的影响等问题进行研究，并通过分析，进一步揭示非 线性动力学行为的机理，从而推动非线性动力学理论在工程中的应用。 1 2 齿轮系统动力学的研究现状 一、系统模型： 关于齿轮动力学的系统研究始于1 9 世纪2 0 年代和3 0 年代早期，在这期间 的研究主要通过分析和实验的方法来确定动载荷，用冲击作用下的单自由度系 统的动态响应来表达系统的动力学行为。在2 0 世纪5 0 年代，t u p l i n 提出了第 一个弹簧一质量模型用于动载荷的计算，由此齿轮系统动力学的研究进入了 一个新的阶段。 以后相继出现了许多进行其他动力学分析的齿轮动力学模型。在这一段时 期内，研究者在理论和实验上都取得了大量的成果。自2 0 世纪7 0 年代至今， 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 人们围绕齿轮动力学提出了更为复杂的模型，均是离散化的单自由度或多自由 度模型，按照研究对象的复杂程度的不同，可归类如下：动载荷系数模型、齿 轮副扭转振动模型、传动系统模型、完整齿轮系统模型。在上述四种模型中， 除动载系数模型外，其余三类均是目前常用的。其中齿轮副扭转振动模型最简 单，常用于传动轴和支承系统刚度较大的齿轮系统的建模，研究轮齿啮合的动 态特性。 在振动理论的范畴内齿轮系统的动力学模型又经历了由线性振动到非线 性振动，由定常系统向参变系统的发展，可归类为：线性时不变模型、线性时 变模型、非线性时不变模型、非线性时不变模型 5 i 。 齿轮系统包含许多的非线性因素，如齿侧间隙，滚动轴承和滑动轴承的间 隙，摩擦及轮齿的时变啮合刚度等。在现有的研究中，人们大多把啮合刚度的 时变性的影响处理为线性问题的参数振动问题，而主要考虑齿侧间隙的非线性 影响，并据此建立分析模型。齿轮系统间隙非线性动力学的研究，就是以具有 齿侧间隙的齿轮系统为对象建立数学模型进行其动态特性的研究。目前，在齿 轮的间隙非线性模型方面，主要集中在单对齿轮传动系统，a k a h r a m a n 等建 立了单自由度、两自由度和三自由度模型 3 , 4 1 ，本文用于研究的模型为单自由度 间隙型强非线性模型。 二、研究概况： 对齿轮系统动力学的研究就是要确定和评价齿轮系统的动态特性，从而为 设计高质量的齿轮系统提供理论指导。对齿轮系统的动态特性的研究包括四个 方面的内容：即固有特性、动态响应、动力稳定性、系统参数对齿轮系统动态 特性的影响。 齿轮系统间隙非线性动力学问题在力学上处理为振冲问题：振冲 问题的研究是齿轮系统间隙非线性动力学研究的基础和重要组成部分，采用两 种力学模型进行研究，一类是刚性冲击模型，另一类是弹性冲击模型。我们通 常所考虑的模型主要是弹性冲击模型，这类模型的研究实际上构成了齿轮系统 间隙非线性动力学问题的基础。对这种模型的研究，重点是求解方法和动态特 性。目前用于求解“振冲问题”的方法主要有三类：即数值方法，解析方 法和实验方法。 齿轮系统间隙非线性动力学的研究始于1 9 6 7 年n a k a m u r a k 的研究。在随 后的三十多年内，许多科学家主要研究了系统的动力学模型，动态响应以及各 种参数对系统动态特性的影响，发展了各种有效的数值和解析求解方法，如分 段线性法，谐波平衡法，增量谐波平衡法以及a o m 方法等m 9 ，1 4 1 1 1 2 1 。关于齿 轮系统动态特性主要研究内容之一的动力稳定性问题，1 9 8 4 年，k u c u k a yf 在 进行高速齿轮系统间隙问题的研究中，考虑了啮合刚度的时变性并研究了由于 西北t 业大学硕士学位论文 第一章绪论 啮合刚度时变的参数激励而引起的动力稳定性问题 1 3 】；2 0 0 0 年，t h e o d o s s i a d e s s 等用解析方法研究了单自由度齿轮系统的动力稳定性问题【1 4 1 。近年来，随着 计算机技术的不断进步，以分叉，稳定性及混沌理论为代表的非线性动力系统 现代理论及分析方法越来越被广泛地应用于各个学科非线性问题的研究之中。 三、研究动向： 对于强非线性齿轮系统的非线性研究，当前的研究工作者都致力于拓展和 加深研究的内容，探索新的研究方向，以下仅概括出几个方面的内容： 1 、应用现代分析方法和理论对齿轮系统稳定性进行实用性的研究。 运用现代分析理论和方法迸型齿轮系统的非线性研究目前大多限于理论性 的分析和讨论，与工程应用的要求还有一段距离，因此，开展工程应用的研究， 把先进的科学理论转化为生产力，将是一个重要的研究方向。 2 、对齿轮系统非线性动力学行为进行全局分析。 要揭示齿轮动力系统的非线性本质，就必须对其动力学行为进行全局分析。 进行状态空间中多重周期解的结构及其稳定性的研究，寻找其稳定性分叉规律 的内在联系，探求吸引子的吸引域，等等，无疑都是进行全局分析必不可少的 内容。 3 、对齿轮系统的监测和控制进行研究。 齿轮系统是机械传动系统中最为重要而且应用最为广泛的动力和运动传动 装置，我们对齿轮系统进行非线性研究的最终目的就是保证系统的运行安全和 具有良好的工作性能，因而，将研究的成果应用于系统的监测和控制势在必行。 1 3 本文的主要内容 为了更清楚的揭示阻尼比、激励频率等参数对系统动力学行为的影响，本 文的研究主要针对单对齿轮间隙非线性的单自由度动力学模型。具体内容包括 以下几个方面： l 、介绍了用于非线性动力系统周期解结构分析的现代理论和方法，包括周 期解的求解方法、稳定性的分析的一般方法及分叉规律研究的理论等； 2 、建立了系统的单自由度间隙非线性动力学模型，得到了系统运动的微分 方程； 3 、引入了一种分析状态空间中多重周期解共存问题的新的方法：伪不动点 追踪算法，并对其作了一定的改进工作，补充了进行时间历程的验证，使得计 算结果更能有效地用于分析周期解的结构。首先用布鲁塞尔振子的计算结果验 证了算法的有效牲，然后将此方法用于齿轮系统的分析，比较了阻尼比和激励 频率的变化对周期解结构的影响，并由此引出进行稳定性分叉规律研究的必要 性； 4 、引入一种新的用于进行稳定性分析和分叉规律研究的新方法：c p n f 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 ( c o n t i n u e d - - p o i n c a r & - n e w t o n - - f l o q u e t ) 。该方法是将用于周期解求解及判稳 的数值分析方法p n f ( p o i n c a r 6 - - n e w t o r v - - f l o q u e t ) 与分叉延续算法的思想相 结合用于判稳及分叉的研究。通过对布鲁塞尔振子模型进行研究，验证了算法 的有效性后，将该法用于齿轮系统的分析，从而得出了所研究的单对齿轮间隙 非线性动力学模型的分叉规律。 西北工业大学顶士学位论文第二章非线性动力系统的数值研究方法 第二章非线性动力系统的数值研究方法 2 1 引言 非线性动力系统的运动可分类如下： 周期运动 定常运动 各态历经运动( 拟周期运动) 1 混沌运动 其中，实践中最为常见的定常运动状态是周期运动，拟周期运动和混沌运动这 两种稳态运动形式和周期运动有着直接的联系。拟周期解一般由周期解经h o p f 型分叉而产生，而混沌解的三条产生道路也均是由周期解开始的，一是倍周期 分叉道路( 即周期解不断裂解，周期不断加倍，最终进入混沌的道路) ，二是拟 周期分叉道路( 即由周期解经h o p f 型分叉产生拟周期解，再经h o p f 型分叉产 生混沌的道路) ，三是阵发性道路( 表现为周期解与混沌的交替产生) 【”】。因此， 对周期解及其稳定性分叉规律的深入研究将有助于对拟周期解和混沌解的认 识。本章的主要内容就是介绍周期运动的求解及其稳定性研究的一般方法和理 论。 2 2 求解周期运动的一般方法 一、近似分析方法： 对于非线性动力系统周期运动的定量计算，传统采用的是以种类繁多的摄 动法为代表的近似分析方法 1 6 a 7 j 。 分析方法的优点：通过少量计算即能得到有关解的性质及其与一些参数之 间定量关系的一个概貌。 分析方法的缺点： 1 、计算精度不可能很高。如果为了提高精度而在近似展开式中取较多的项， 一方面会大大增加推导和计算工作量，另一方面这样得到的解与参数之间的关 系不再明白易见，从而失去分析方法的主要优点； 2 、非线性多半不能很强，因为这些方法的基础几乎总是在于对线性解作修 正： 3 、非线性一般需用解析函数表达，因为用分析方法处理非解析函数总是困 难的； 4 、对于多自由度系统，用分析方法一般只能求一阶近似解，求高阶近似解 的工作量很大。 二、数值计算方法： 随着电子计算机的广泛采用和计算数学的迅速发展，通用性强、精度高的 西北t 业大学硕士学位论文第二章非线性动力系统的数值研究方法 数值方法得到越来越广泛的应用。点映射法和打靶法是两种适用于非线性动力 系统定常运动求解的数值方法1 1 5 , t 6 , 1 9 ，它们各自的适用范围如表2 1 所示： 表2 - 1 两种数值方法的比较 定常解周期解 各态 稳定不稳定 解 周期已知周期周期 历经混沌解 屠 周期未知 解 有阻尼无阻尼 已知未知 点映射法较差不适用适用 打靶法好不适用 1 、点映射法： 点映射法就是求出每一周期( 一般为强迫项的周期) 末相空间中系统的状 态的集合( 一般称为p o i n e a r 6 映射) ，并由此研究系统的性态。显然，在非定常 运动消失以后，r 周期解的庞加莱映射就是相空间中的, 个点。这种方法的缺 点一是不适于研究不稳定运动，二是收敛较慢，亦即到达定常解需要较长时间。 当事先并不知道将出现的是某种周期解或混沌性态时，可由此法作一个大致的 判断，但并不适宜对周期解作精确的定量分析。它更适宜用来对全局性态和混 沌性态进行研究。徐皆苏等人由此发展了用于全局分析的胞映射法和广义胞映 射法。 2 、打靶法 1 6 , 1 9 1 ： 打靶法又称为直接数值积分法，是用来求解非线性动力系统周期运动的有 效方法，不仅可求得稳定周期解，而且可以求解不稳定周期解。 求非线性动力系统的周期解，实质上就是求解如下形式的常微分方程的边 值问题： f 幸= 厂o ，z )x r “，2 r r ”呻r ” 卜= 4 0 ) 一x p ) ( 2 1 ) 其中t 为周期解的周期，x ( 0 ) ，x 口) 分别为周期解周期初始和周期未了的两个 边值矢量。两点边值问题( 2 1 ) 可用打靶法有效地解算，引入肌维参数向量j ( 常 取m ：h ) ，取定s 的值，也就取定了相应的x ( o ) 值，常微分方程就有了足够的 初始条件而可作为初值问题计算，然后根据边界条件来迭代改进j ，直到精度 要求满足从而也就相应地得到了足够精度的x o ) ，而可毫无困难地得到精确 周期解的数值解。在计算中基解矩阵的特征根0 l l 约与i l a xia x p + t ) l a x ，仃) 成比例，可看成为不稳定性的一种度量。 2 3 周期运动稳定性及分叉分析的方法和理论 一、非线性动力学系统稳定性分析的一般方法 1 6 a 8 2 0 ： 西北工业大学硕士学位论文第二章非线性动力系统睁数值研究方法 利用庞加来映射口”，连续动力系统( 2 2 ) 可转化为与之完全等价的离散动 力系统( 2 3 ) ，故对连续系统的分析可以通过对离散系统的研究来进行。一般 来 号；= f 0 ，国) ( ，x ，珊) r x r ”r “ ( 2 2 ) x ( k + 1 ) ：p ( ) z ( 2 3 ) 说，非线性问题的稳定性研究工作本质上都是利用线性化的摄动方程来进行的。 1 、连续形式的摄动方程： 对于( 2 2 ) 所表示的连续动力系统，假设工。( f ，珊) 是系统的一个稳态解， 给定一个小摄动量掰皿r 4 ) ，由( 2 2 ) 可以得到： 堑警型：f 慨国) ( 2 4 ) 假设摄动很小即d x _ 0 ，我们可以得到； f 0 ，工8 0 ，国) + 砑，) 圭f 0 ，x 。o ，国l 甜) + e 。( f ，工，) c 掰 ( 2 5 ) 联立式( 2 2 ) 、( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，可得到连续形式的摄动方程： 掣= 嘶枷) 砑 ( 2 6 ) 2 、离散形式的摄动方程： 对于式( 2 3 ) 所表示的离散动力系统的不动点z ，有下式成立： z ( t k + r ) = x + o 。) = z ( 2 7 ) x 恤) = x + “) + 田x ( t k ) = x + 占r e ( 2 8 ) 爿l + 1 j = x o i + ，) + x r ( t i + r ) = 互+ + 吼“ ( 2 9 ) 由式( 2 3 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) 联立，可得下式； + 耐。= p ( x + 吼)七z 鼢正整数) ( 2 1 0 ) 假设摄动很小，即五k 斗0 ，我们可以得到： p 讧+ 甄) 圭p ( x ) + - 6 x 。= 石+ 哎耐。 因此，这里可以得到离散形式的摄动方程： 耐= e 霸 其中p ：为庞加来映射算子j p 在x + 处的雅可比矩阵。 式( 2 6 ) 和式( 2 1 1 ) 分别为连续和离散形式的摄动方程 价的，通过对摄动方程的讨论就可以判别稳态解的稳定性。 二、对周期运动稳定性分叉问题进行研究的现代理论与方法： ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 两者是完全等 西北工业大学硕士学位论文 第二章非线性动力系统的数值研究方法 对于自治系统平衡点解分叉产生稳态周期解的问题，用h o p f 分叉理论进行 研究，对摄动方程中的雅可比矩阵直接分析就可确定稳态平衡点解的稳定性及 分叉j 商界点，然而，对于稳态周期解的稳定性及分叉情况，问题远为复杂，因 此引进一种新的分析方法f l o q u c t 分叉理论 i g , 2 2 , 2 3 i ( 平衡点解的h o p f 分叉 可以归结为这类分叉问题的个特例) 。 1 、f l o q u e t 理论： 对于式( 2 。2 ) 所示的系统，假设给定外参数o j = n 和这时的稳态周期解x ， ( 周期为t ) ，即满足： x ，o ) = x 9 ( f + r ) ( 2 1 3 ) 其摄动方程为： 掣t x p , 力) 耐= 一o ) 醑 ( 2 1 4 ) 其中，4 ( f ) 是一个周期为t 的矩阵函数，即满足下式： 一o ) = 4 0 + 丁) ( 2 1 5 ) f i o q u e t 定理指出，若4 ( ，) 是摄动方程( 2 1 4 ) 的一个基解矩阵，即： 掣：( f ) 4 0 ) ( 2 1 6 ) 则必存在一个非奇异的t 周期矩阵中( r ) = 嘶+ 丁) 和一个常矩阵d ，使得： a ( t ) = 西0 ) e o ( 2 1 7 ) 将d 0 + r ) 代入摄动方程( 2 1 4 ) ，同时考虑a ( t ) 的周期性( 2 1 5 ) ，有： 掣：a o + r ) o + 丁) ：一o ) 4 e + r ) ( 2 1 8 ) 所以4 ( f + r ) 也是摄动方程( 2 1 4 ) 的一个基解矩阵，则4 0 + r ) 也满足式( 2 1 7 ) 所示的关系，即： o + f ) = 驴o + r ) - e ( + 7 p ( 2 1 9 ) 再考虑函( r ) 的周期性，则： 4 0 + 丁) = 中( f + r ) e “7 ) d = 西o ) e 。e 。= 4 0 ) e ” ( 2 。2 0 ) 设e ”= c ，则( 2 2 0 ) 可以简记为： 0 + r ) = 4 0 ) - c ( 2 2 1 ) 其中c 是一个常矩阵。 任取方程( 2 1 4 ) 的两个基解矩阵4 ( f ) 和4 ( f ) ，则对应地有满足方程( 2 2 1 ) 的常矩阵c 】和c 2 ，使得： p ? 钉) _ e 啵c 1 ( 2 2 2 ) 1 4 0 + 丁) = 4 0 ) c ： 同时一定存在非奇异的常数矩阵s 使得： 西北工业大学硕士学位论文第二章非线性动力系统的数值研究方法 d ：? ) 2 、 ( 2 ) 【a 2 0 + t ) = 4 ( t + ，) - s 由( 2 2 3 ) 第一式可得： 4 ( f ) = 4 0 ) s “ ( 2 2 4 ) 将( 2 2 4 ) 代入( 2 2 2 ) 第一式，可得： 4 0 + 丁) = 4 ：( f ) - s - c 1 ( 2 2 5 ) 将( 2 2 5 ) 代入( 2 2 3 ) 第二式，可得： a 2 ( f + 丁) = 4 2 0 ) s c i s ( 2 2 6 ) 比较( 2 2 2 ) 第二式和( 2 2 6 ) ，可知： c 2 = s c l - s ( 2 2 7 ) 因此，对应于不同基解矩阵的常矩阵c 是一族相似矩阵，同理d 是一族相似矩 阵，即它们的特征值与所给的初始条件和基解矩阵的选择无关，而是由摄动方 程中的4 ( r ) 唯一确定。 定义c 为摄动方程( 2 1 4 ) 的离散状态转移矩阵，其对应的特征值五为 f l o q u e t 乘子；定义d 为摄动方程( 2 1 4 ) 的连续状态转移矩阵，其对应的特征 值仃为f l o q u e t 指数。利用五和盯就可以判断( 2 1 4 ) 的任意解对原点的稳定性， 并进而分析原动力系统( 2 2 ) 或( 2 3 ) 稳态周期解的稳定性和分叉情况。 2 、周期解的稳定性判据和分叉条件【嵋i ： 令基解矩阵o ) 在初始时刻时为一单位矩阵，离散状态转移矩阵为c ， 即： 4 ) = ( 2 ，2 8 ) 则该基解矩阵也应该满足( 2 2 1 ) 所示的关系，即： 4 “+ 丁) = 一o o ) c = ，c = c ( 2 2 9 ) 又设一0 ) 为某一时刻f 的小扰动，哦( f + 丁) 为4 ( f ) 经一个周期r 后的小扰动，则： a ( t 。+ r ) + 4 “+ 丁) = 瞄( f 。) + 4 0 。) 】c ( 2 3 0 ) 将( 2 。2 8 ) 和( 2 ，2 9 ) 代入( 2 3 0 ) ，可得： 4 纯+ r ) = 一( f 。) c ( 2 3 1 ) 因此： 1 1 4 ( t 。+ r l 4 纯圳c 0 ( 2 3 2 ) ( 2 _ 3 3 ) 札 硎 次 钟 嘬 扎 的 锗一 ： 1 1 设 垌 霉 旨 西北工业大学硕士学位论文 第二章非线性动力系统的数值研究方法 s 。= i l c l l = 缎帆1 ) ( 2 3 4 ) 设原动力系统( 2 2 ) 的周期解为x 9 ，其稳定性可由其对应f l o q u e t 乘子模 的最大值川。来判断： 若川。 1 ，z 9 不稳定： 若川。= 1 ，x 9 处于临界稳定状态t 随着外参数的变化，周期解也会发生失稳而产生多种多样的分叉现象，根 据模最大的f l o q u e t 乘子穿出单位圆时的位置不同周期解并，的失稳分叉方式 可分为以下三种： 当一个模最大的f l o q u e t 乘子由( 1 ，o ) 穿出单位圆时，周期解失稳分叉方 式表现为鞍结型分叉( 视系统的不同有鞍结分叉、叉型分叉、对称破损 分叉等多种情况) ； 当一个模最大的f l o q u e t 乘子由( 一1 ，o ) 穿出单位圆时，周期解将通过倍 周期分叉而失稳。此时，经过分叉点后，r 周期解将通过轨道裂解变成 2 丁周期解，2 r 周期解又变成4 f 周期解，这种倍周期分叉的结果 最终将导致系统的混沌运动； 当一对最大的f l o q u e t 乘子以共轭复数在复平面内穿出单位圆时，周期 解将经过h o p f 型拟周期解分叉产生拟周期解。 这样，我们得到了利用f l o q u e t 乘子对周期解进行稳定性及其失稳分叉判别 的判据，在本文后面的研究中将用到这些结论。 3 、延续算法1 2 2 , 2 4 1 ： 对于单参数的非线性代数方程组： f ，) = 0白，“) r r “ ( 2 3 5 ) 的求解，目前比较成熟的方法就是预测校正法。预测步骤的计算公式如下所示： 一+ ，= 一k h 地 - ix e h ，蜥) a c o ( 2 舶) l q + l = 婊+ a c o 在一步步的求解过程中，可以不时地进行牛顿迭代的修正，直到满足精度要求， 校正步骤的计算公式如下所示： 西北工业大学硕士学位论文第二章非线性动力系统的数值研究方法 “2 “) = “ 一k h ，砖) ) 1 f k ，) ( 2 3 7 ) 在实施上述算法时，由于存在解的分叉及多解共存现象，要选取恰当的步长 4 珊。 2 4 小结 1 、本章讨论了非线性动力系统几种定常运动状态中的周期运动，介绍了用于周 期解的求解的几种算法( 解析法、点映射法和打靶法等) ，它们各有其自己 的特点。在第四章的研究中将涉及以此为基础发展的几种方法，比如不动点 迭代法可以有效地求解系统的周期解，伪不动点追踪法可用于研究系统多重 周期解共存的问题； 2 、引入了通过摄动方程对周期解的稳定性进行研究的一般方法； 3 、着重介绍了对周期运动稳定性分叉问题进行研究的现代理论与方法：f l o q u c t 分叉理论。得出了对周期解进行稳定性及其失稳分叉判别的判据； 4 、本节在最后还大致介绍了分叉延续算法的基本思想。在后面对系统稳定性分 叉问题的研究中要用到延续算法的思想。 西北工业大学硕士学位论文第三章强非线性单对齿轮副动力学模型的建立 第三章强非线性单对齿轮副动力学模型的建立 3 1 引言 本章的主要内容是建立单对齿轮副的间隙非线性动力学模型，包括物理模 型和数学模型( 运动微分方程) ，为后面的动力学分析提供基础。 对于单对齿轮副的间隙非线性动力学建模问题，a k a h r a m a n 等建立了单自 由度、两自由度和三自由度模型1 4 , 5 j ，本文用于研究的模型为单自由度间隙型强 非线性模型。 3 2 单自由度间隙非线性动力学物理模型的建立 典型的单对齿轮传动系统包括箱体，轴承，支撑轴，齿轮副等零部件。就 整个系统而言，系统具有明显的质量集中的特点，因此，可以采用集中质量法 建立齿轮传动的动力学模型，即认为系统是由只有弹性而无质量的弹簧和只有 质量而无弹性的质量块组成的。建模时采用以下假设： 1 、齿轮系统的传动轴和轴承的刚度足够大，即齿轮的横向振动相对于扭转振 动可以忽略不计，进而可以认为两齿轮的中心是固定的，其运动只有扭转 运动而没有横向的运动； 2 、不考虑运动时由支承轴承所产生的摩擦的影响； 3 、啮合的两齿轮均为渐开线直齿圆柱齿轮，齿轮之间的啮合力始终作用在啮 合线方向上，两齿轮简化为由阻尼和弹簧相连接的圆柱体，阻尼系数为两 齿轮啮合时的啮合阻尼，弹簧的剐度系数为啮合齿轮的啮合刚度。 则可得到其动力学模型州，如图3 1 所示。 图3 - l 单对齿轮动力学模型 o 、月“ 图中，h 、小鼠和z 分别为主动轮的基圆半径、转动惯量、扭转角位移、和 作用于其上的扭矩；：、，：、岛和正分别为从动轮的基圆半径、转动惯量、 扭转角位移、和作用于其上的扭矩：c ，为齿轮啮合的阻尼系数；七一) 为齿轮的 啮合刚度；e ( f ) 为齿轮啮合的综合误差。 对于齿侧间隙的定义和度量，根据目的不同，所定义的方式和测量方式也 不相同。在我国国标g b l 0 0 9 5 8 8 中，侧隙的定义是：对于装配好的齿轮幅，当 西北工业夫学硕士学位论文 第三章强非线性单对齿轮副动力学模型鹊建立 一个齿轮固定时，另一个齿轮的晃动量，其度量以分度圆上对应的弧长来计算。 在实际的应用中侧隙的大小也可以用沿啮合线上测得的位移值来表示，或者 在用齿轮中心测得的角度来表示。在齿轮动力学中，一般均是考虑各齿轮在啮 合线上的运动垆j ，因此，除非特别说明，在本文中所提到的齿侧间隙均是指在 啮合线上度量所得到的值。 3 3 系统的运动微分方程 由3 2 中得到的动力学模型，根据牛顿力学定律，可得系统的运动微分方 程【6 】为： f 1 1 0 1 + c 。k 吐r 。2 0 2 一j ( ) j 吃。+ 七( r ) ，k ，只- r b ：一e ( f ) 】= 互，。、 1 - ：哦一qk 。反一吃：兜一。o ) 】矗：一j | ( r ) ，k ，0 1 一：o z e p ) 】：- - - - t ： 、 式中，是具有齿侧间隙时轮齿啮合力的非线性函数，它有分段线性特征，若 假设齿轮副的齿侧间隙为2 b ，则可表示为： 肚一bx b ) ，( x ) = 0 ( - b xs b ) ( 3 2 ) x + b0 一6 ) 形式如图3 2 所示。 定义主、从齿轮在啮合线上的位移分 别为x 1 、x ，即令 。t 2 r 5 1 0 , ( 3 3 ) l x 2 2 r 6 z o z 令方程( 3 1 ) 中的第一式两端同除以。， 第二式中两端同除以屹：，则可得： f 幢j 一h、 b ： 图3 2 间隙非线性函数 鲁e + c s k - 哦一屹z d z e 。) 】+ 后。) ，k - q 一吃z 岛一e ( f ) 】2 毒?。4 ， i 专旗k 小柏嘶) 】啦) 旭岛飞吼嘶粒导 对上式进行代换，可得： 髓m 2 ，罐。专赫撇之赫量 s ， 1：一c 辟。一戈：一d ( f ) 】一后( f 沙k 一x ：一s ( f ) 】= 一f 2 。 式中，码= 等、e = 1 分别为主动轮的当量质量和其上作用的啮合力； 瞄r b l 州，：牟、只= 生分别为从动轮的当量质量和其上作用的啮合力；c = c 。为啮 b 2 。6 2 西北工业大学硕士学位论文第三章强非线性单对齿轮副动力学模型的建立 合阻尼。 在方程( 3 5 ) 中，置与x ，所进行的运动之间并不是相互独立的，也就是说， 一与叠在运动过程中，由于啮合状态的变化，如轮齿之间要发生如碰撞，脱啮， 再啮合，再碰撞等关系。再者，五与x ，在运动过程中是不断的增大的，为了得 到轮齿之间间隙变化的动态响应，需要消除刚体位移，同时也为了求解方程的 需要，我们把x 。与如转化为一个独立的坐标。为此，引入传动误差( t r a n s m i s s i o n e r r o r ) 的概念。传动误差是指在轮齿啮合的过程中，被动齿轮的理论位置与实 际位置之间的误差值，该误差通常表示为齿轮啮合线上的直线位移。假设在传 动过程中，被动齿轮的理论位置提前于实际位置时，传动误差为正，落后于实 际位置时为负。进行如下的运算与代换。 设传动误差为函则有： q = x 】一x 2 一e ( f ) = r b r 6 2 吼一e ( r ) ( 3 6 ) 对( 3 5 ) 式进行变换，可以得到： 开t 茸+ c 尊+ 七( f ) 厂( g ) = f ( f ) ( 3 7 ) 式中，卅：盟为齿轮副的等效质量； m i + 州2 f ( r ) = 旦e + 旦只一坍芑 ( 3 8 ) m i 。m 2 令： f a r ) = 兰e + 旦b ( 3 9 ) 玳im 2 e ( f ) = 一m k ( 3 1 0 ) 则有： f ( r ) = e ( f ) + 兀( f ) ( 3 1 1 ) 其中e ( f ) 为外部激励，即是由于输入和输出力矩的波动而引起的对系统的激 励；e ( r ) 为内部激励，它是由于齿轮本身在制造及安装过程中所产生的误差而 引起的对系统的激励。 在一般情况下，内部激励和外部激励都是时间的周期函数，当然两者的周 期并不一定相同，它们可分别表示为傅立叶级数的形式： 只( f ) = c o + 【e 2 f _ ic o s ( i c o 。f ) + 只2 fs i n ( i r a 。f ) “ ( 3 1 2 ) 吒( r ) = e o + 【瓦2 j - 1c o s ( i c o h r ) + e 2 ，s i n ( i c o h r ) 齿轮的啮合刚度是随时间变化的，它也表示为傅立叶级数的形式： t ( f ) = + ic o s ( i c o r ) + k 2 ，s 叫f 拼) 】 ( 3 1 3 ) 在上面的( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 式中，n 表示傅立叶级数中所取的谐波项数，根据 各个函数的状态不同，其所包含的谐波项数可以各不相同。q ，乩，珊分别对应 着各自变化的频率，在同一个齿轮副中，和是相同的，都等于啮合齿频。 在系统的运动微分方程中，由于各个系数的数值互相差别较大，并且为了 研究的方便，有必要对方程进行量纲一化处理。 西北工业大学硕士学位论文 第三章强非线性单对齿轮副动力学模型的建立 由方程( 3 7 ) 可知，单自由度齿轮动力学模型的固有频率为： x 2 瓦q ，f 2 毒，f 2 去川砷= 等，荆= 嚣 ，一， 亩：字：安妥d(bcx)d(rco)：bcjd 1 出譬，打t d r ” ( 3 1 5 ) 亩= 矿d o 掣等吐膏 q ：堕，q 。：旦 ( 3 1 6 ) 妒p ) = + 【1c o s ( i f 2 f ) + 妒2 fs i n ( i 9 1 f ) 】 e a t ) = 只。+ e 2 i _ ic o s ( i f l 。f ) + 只2 fs i n ( i q 。f ) 】 ( 3 1 7 ) 只( r ) = 只o + 【b 2 j - 1c o s ( i f 2 f ) + 只2 。s i n ( i 9 2 ，) = 1 ，妒，= ( ，= 1 , 2 ，2 竹) 托0 巳= 击，= 去泸0 ，2 ，勘) 将( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 、( 3 1 7 ) 代入方程( 3 7 ) 中，可得 m 屯m ：膏+ c 6 。0 9 。土+ k ( r ) f ( x b 。) = f ( r ) 膏+ 2 毋+ 掣厂( 工6 。) = p ( f ) 口。 进而可得： j + 2 f 童+ 妒o ) - 厂( 功= 尸( f ) 其中： p o ) = o ) + 只( f ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) f x fbf ) s ( d = o( - i s x f ) ( 3 2 3 ) i 石+ 百b f o ) 膏“+ f ，五) 是屯时刻由。上出发的点z 经一段时间r 后到达的位置。 d , o ( r ，x ) 表示“时刻由。上出发的点x 经一段时间f 后到达的位置 j 离其初始出发点肖的距离。 2 、距离标量函数的性质： 所定义的距离标量函数是一个关于( f ，x ) r r ”的门+ 1 元的多元函 数。我们假设d 。o ，x ) 对于( f ，x ) r x r ”充分光滑，则该距离标量函数具 有下列性质： ( 1 ) 民o ，x ) 0a 当且仅当j ( f 0 + f ，工) = x 时叱o ，) = o 。 ( 2 ) 若系统有周期解：即肖o + z 1 ) = x ( f ) ，且其在。上的穿越点为 。，贝l j a , o ( t ，工) 当，。t 时，在五处取得极小值0 。即： 膏“+ r ，x 。) = x 。 j n p 。p ，工”= d 。p ，x o ) = 0 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 3 ) 当r 斗。且f o 时，使丸o ，x ) 6 t , l 、的点”? a f ( t o ，x ) = 0 ( f 即式( 4 1 ) 右端的矢量场) 的点x ”，其极小傻吐。( f ，) 趋近 西北工业太学硕士学位论文第四章用伪不动点追踪算法对周期解结构的研究及应用实例 x o “斗卫f 0 ( f 斗0 ) ( 4 1 9 ) 嘲m i n 缈工) j 咄( 0 ) = 。 ( 4 2 。) 3 、不动点和伪不动点定义及其性质： ( 1 ) 不动点 2 8 1 的定义： 设映射f ：r ”斗r ”，若存在x r “满足工= f ，t ) ( 4 2 1 ) 即满足i if ( x ，f ) 一x l l = 0 ( 4 2 2 ) 则称x + 为映射f 的不动点。( x 也称为周期解点，r 为周期解的周期) ( 2 ) 伪不动点的定义： 设映射j 。( r ，工) ：r x r ”盐月”，若存在x “r “满足下式 睁瓴o ，x ) ) = 屯0 ，z ”) 爿lj 。( f ，互“) 一x ”忙0 ( 4 2 3 ) 则称x ”为映射置在时刻f 的伪不动点。 ( 3 ) 伪不动点连续定理： 若系统在f = 时刻的伪不动点为x 。”，即满足 睁轨“，棚= 吐。0 。，x ”) ( 4 2 4 ) 在f = r + a t 时刻的伪不动点为互2 ”，即满足 哑n p “+ a t ，x ) = 吒i 。+ 址，j ：”) ( 4 2 5 ) 则当f 斗o o 斗 ) 时工2 ”斗x l ”，且 j 觋晦n 丸“+ 址，x ) ) j = 。l i m 。e 、d , ，( t + 址，x ：”) = 一。“，x 。”) ( 4 2 6 ) 则称系统的伪不动点满足连续定理。 4 3 用于求解周期解的不动点迭代法 一、不动点迭代法 2 9 j 的基本原理： ( 利用近似线性映射的基本思想) 对于订阶自治的非线性系统：贾= f 伍) ；丑”；f ：r ”斗胄”) ，”阶非 自治的非线性系统：岩= f ( f ，工) ；r “；f r ；f ：r x r ”斗r ”j 均满足解的 存在性，唯一性以及对初值的连续依赖性。 l