（材料学专业论文）激光相变硬化的数值模拟.pdf

西北工业太学硕士学位论丈 激光相变硬化的数值模拟 摘要 激光相变硬化是一个多参数综合作用的工艺过程，目前，在实践中仍主要 依靠试验和经验来获得激光处理参数。激光相变硬化的计算机数值模拟，对研 究激光相交硬化过程，合理制定工艺参数有着重要意义。 本文根据激光淬火的实际过程，将激光束的匀速扫描简化为间歇、跳跃式 运动，分别考虑试样下底面为自然冷却和强制冷却两种隋况，建立了三维有限 尺度板状试样激光相变硬化模型，并根据有限单元法的基本原理，推导出所建 模型的有限单元方程，进而研制开发出了激光相变硬化有限元模拟分析软件 q i u j i e ，实验结果表明该软件是可靠实用的。 文中以g c r l 5 钢为例，对激光相变硬化过程进行了模拟计算分析。研究了 温度场和硬化层分布规律；分析了试样厚度和试样底面边界条件对温度场和硬 化层深度影响作用，结果表明试样厚度和底面边界条件对厚度小于5 m m 的试样 的影响显著；通过分析激光工艺与硬化层深度和表面峰值温度的关系，确定出 激光功率和扫描速度对硬化层深度和表面峰值温度的经验关系表达式。 关键词：激光相变硬化温度场数值模拟有限元法 n u m e r i c a is i m u l a t i o ni nl a s e rp h a s et r f i n s f o r m a t i o n h a r d e n i n g p r o c e s s a b s t r a c t l a s e rp h a s et r a n s f o r m a t i o nh a r d e n i n gp r o c e s si sa f f e c t e db ym a n yf a c t o r s a t p r e s e n t ，t h ep a r a m e t e r so fl a s e rp r o c e s s i n ga r ec h o s e nm a i n l yb ye x p e r i m e n ta n d t h r o u g he x p e r i e n c e n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni nl a s e rp h a s et r a n s f o r m a t i o nh a r d e n i n g p r o c e s s i s s i g n i f i c a n tf o rs t u d y i n gm e c h a n i s ma n do p t i m i z i n gp a r a m e t e r so fl a s e r t r a n s f o r m a t i o n h a r d e n i n g i nt h i sp a p e r , t h el a s e rp h a s et r a n s f o r m a t i o nh a r d e n i n gp r o c e s si ss t u d i e d ，a n da t h r e e d i m e n s i o nt e m p e r a t u r ef i e l dm o d e lo ff i n i t es i z ep l a t em o d e lf o rf e m ( f i n i t e e l e m e n tm e t h o ma n a l y s i si se s t a b l i s h e d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ns o f t w a r en a m e d q i u j i ei sd e v e l o p e d ，w h i c hi sb a s e do nt h em o d e la n dt h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o no f t e m p e r a t u r ef i e l de d u c e df o r m t h ep r i n c i p l eo ff e m t l ”m s n i to f e x p e r i m e n ts h o w s t h a tt h es o f t w a r ei sr e l i a b l ea n d p r a c t i c a l t h ep r o c e s so fl a s e rh a r d e n i n g , t h r o u g hg c r l5s t e e l ，i ss i m u l a t e da n ds t u d i e d w i t ht h es o f t w a r e ，i n c l u d i n gt h ed i s t r i b u t i o nr u l eo f t e m p e r a t u r ef i e l da n dt h eh a r d e n l a y e r , t h ee f f e c to f t h et h i c k n e s so f w o r k p i e c ea n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o no f l o w e r s u r f a c e 1 1 1 er e s u l t ss h o wt h a tt h et h i c k n e s sa n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o no fl o w e r s u r f a c eh a v es i g n i f i c a n te f f e c t t h ee x p r e s s i o n so ft h er e l a t i o n sa m o n gl a s e rp o w e r , s c a n n i n gs p e e d ，a n dh a r d e nl a y e r , p e a kt e m p e r a t u r e a r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：l a s e rp h a s e t r a n s f o r m a t i o n h a r d e n i n g ，t e m p e r a t u r ef i e l d ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ，f e m 西北工业大学硕士学位论文 第一章资料综述 1 1 引言 热处理是将固态金属( 包括纯金属和合金) 在一定的介质中，通过特定的加 热、保温和冷却方法，使之获得需要的组织，从而获得工程技术上所需性能的工 艺过程的总称，是零件生产中不可缺少的工序，具有悠久的历史 1 。随着科学 技术的进步和生产发展的需求，作为传统加工制造业的热处理正面临着新的挑 战，发展先进的热处理技术己成为时代的要求 2 。 。 激光自上世纪六十年代问世以来，激光技术作为一门举世瞩目的高新技术几 乎在各行业都取得了重要应用。美国通用公司于1 9 7 1 年首次用一台2 5 0 wc o ，激 光器成功的进行了激光热处理试验，三十多年来利用大功率激光器实现材料表面 激光热处理已在实践中得以证实，激光热处理技术以其特有优越性在许多工业部 门得以广泛的应用，国内外学者对该项技术进行了大量的理论和应用研究，其中 激光热处理温度场由于对显微组织、性能和残余应力等起着决定性作用，成为重 要内容瞳。 激光热处理主要包括激光相变硬化( 激光淬火) 、激光熔凝、激光非晶化和 微晶化、激光冲击硬化等多种工艺，其中金属材料的激光相变硬化的研究和应用 最为普遍。激光相变硬化本质上和普通淬火工艺一样，都是通过控制加热和冷却 两个过程来改变材料的性能，但是由于激光相变硬化受到如激光束的功率、模 式、波长、光斑尺寸、扫描方式及扫描速度、材料的冶金及热物理特性、试样的 几何尺寸及其表面状态等多参数的综合影响，另外激光加热和冷却速度很快 ( 1 0 4 1 0 6 s ) ，导致人们难以用实验的方法直接测量其瞬时温度分布，难以 对相变过程和机理进行深入研究。而在实际生产过程中由于所采用的激光器、导 光系统、监测系统的不同，导致实验得到的激光热处理工艺移植性很差，目前在 实践中仍主要依靠实验和经验来获得最佳的激光处理参数，造成了大量的人力物 力浪费，限制了激光淬火工艺的推广应用h 。 近三十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法己成 为求解科学技术问题的主要工具，一些与热处理数学模型相关的学科，如有限元 法、计算传热学、热弹塑性理论、相变原理、流场动力学等在我国都进行了较深 入的研究，为热处理计算机模拟技术的发展提供了基础。利用计算机模拟技术对 激光淬火过程进行模拟，不仅可以研究激光淬火过程的变化规律，为合理制定激 光淬火工艺提供参考，而且能够节约大量的人力、物力，有可能使激光热处理摆 脱目前主要凭经验进行生产的落后状态，向在正确预测工艺结果的基础上进行精 确控制的方向飞跃，激光热处理智能化将成为信息时代热处理技术发展的重要方 向3 ，4 。 激光热处理数学模型和计算机模拟是开发高度知识密集型的激光热处理智能 技术的关键，为各国热处理界所重视。开发以数学模型为知识表达式，以计算机 模拟为决策依据的智能激光热处理技术为实现激光热处理智能化的合理途径，也 是机械制造行业实现智能化的重要环节。激光热处理的计算机模拟发展前景诱 人，潜力巨大，但它还是一种很不成熟甚至可能存在误区的技术，许多关键技术 尚待经过长期的艰巨努力才可望解决，非线性问题的算法、流场动力学与界面换 热不均匀性的模拟，以及对流、辐射、导热的耦合、形状复杂的多物体间的辐射 等方面都还有许多难度很大的课题有待进一步深入研究口 。 1 2 激光相交硬化的优点及适用范围i s , 7 8 激光相变硬化与普通淬火工艺相比具有独特的优越性：其一硬化层组织细 化，其硬度比常规淬火提高1 5 2 0 ，铸铁材料激光淬火后其耐磨性可提高 3 4 倍。第二低成本材料可通过激光相变硬化来代替渗碳、气相沉积等复杂工 艺，简化工艺，降低成本，可对工件局部表面进行加热淬火，且硬化层可精确控 制。第三激光淬火后工件变形小、几乎无氧化脱碳现象，只要不发生熔化，对工 件表面得粗糙度没有太大的影响，可成为工件加工的最后工序。第四对工件的特 殊部位，如槽壁、盲孔、深孔以及腔简内壁等，只要激光光束能照射到的部位均 可进行处理；极快的加热速度( 1 0 4 1 0 6 s ) 和冷却速度( 1 0 6 1 0 8 s ) ， 与感应加热相比，生产率高，工艺过程易实现计算机控制，自动化程度高。另外 由于金属材料具有优良的导热性，可使中断加热后，加热部位迅速冷却，实现自 冷淬火，不需要油或水等淬火介质，避免了环境污染。 从目前研究和应用的情况来看，激光相变硬化的材料主要是钢铁材料和铸铁 材料，一些有色金属如钛合金、铝合金、镁合金、锆合金也可进行激光表面强化 处理。目前，国内外广泛用于处理汽车、机车、机床及其配件、刀具、模具、轻 工、农机、军工等许多工业部门。美国已采用相变硬化取代渗碳、渗氮等化学热 处理方法来处理飞机、导弹的重要零件。在我国，激光相变硬化在航空、航天、 兵器等行业也都有一些应用实例。 1 3 激光相变硬化理论基础 1 ，3 1 激光的原理与特性8 9 】 激光是受激辐射引起的并通过谐振“放大”了的光，由激光发生器产生。激 光器主要由激活媒质、激发装置和光学谐振腔三部分组成，当激活媒质受到外界 ( 例如光或电激发) 的激发后，便可使某两个能阶间处于高能阶的粒子数多于低 能阶的粒子数，如这时有光子趋近高能阶的粒子，且光予频率又符合某种条件， 西北工业犬学项士擘住论文 便会产生受激辐射，即高能阶的粒子跃迁的低能阶上，与此同时发射出一个同样 的光子( 频率、传播方向和振动方向均相同) 这样。加上原入射的光子就成为 两个光子，从而得到增益。这时在光学谐振腔内其传播方向与腔体轴向相同的光 子碰到反射镜片后便被反射这回，经两个反射面的相互反射而往返运行，在此过 程中又将引起其它激发态的激活媒质产生感应跃迁( 即受激辐射) 而获得增益。 如果这种增益能补偿由其它原因( 如界面透射、吸收、散射、衍射等) 造成的损 失，则这种传播就会持续地进行下去，形成光振荡，并由输出端给出，形成激 光。 垒 反 射 镜 图卜1c 0 2 激光器原理图 实用的激光器有红宝石激光器、钕玻璃激光器、掺钕钇铝石榴石激光器和 c 0 ，气体激光器。由于c 0 ，气体激光器电光转换效率高( 理论值为4 0 ，一般可 达1 0 一2 0 ) ，输出功率大( 可达几十千瓦) ，能长时间连续工作，易于控 制，因此在工业上用来进行材料表面处理的多用此类激光器。c o 。激光器输出的 激光波长为1 0 6 pm ，属于中红外线范围，其原理图见图卜l ，这种激光器的激 活媒质是c 0 ，气体分子，其光学谐振腔是由激光器腔体和在轴向两端的反射镜组 成。 激光不同于普通光源，它具有( 1 ) 高方向性：一般光源发出的光具有发散 性，而激光则具有高度的方向性，其光束的发散角可小于几个毫弧度，故可认为 光束基本上是平行的；( 2 ) 高亮度性：从激光器发射出来的光束可以通过聚 焦，使其汇聚到一个极小的范围，因而可具有非常高的能量密度，高功率激光束 亮度可达1 0 “w c m 2 s r 2 ：( 3 ) 高单色性：从激光器发出的光的频率非常窄，输出 的是步调一致的光束，在其波前上各点之间有固定的位相关系，使其相干性非常 好。激光的这些特性使其可以作为加热源，对被处理件表面进行短时、局部加热 的热处理，如激光相变硬化、激光涂覆等。 1 3 2 激光与金属材料的相互作用嘲 金属材料是通过金属键相结合的，其中存在着大量的自由电子，在入射激光 强度不引起金属晶体结构发生重构的情况下，金属对激光的吸收将由光子与自由 电子的相互作用决定。自由电子受入射激光的作用产生次波，形成强烈的反射波 和较弱的透射波。透射波部分在很薄的金属表层被自由电子吸收，使电子由原来 的能级状态跃迁到高能级状态，这时激光对金属作正功而将激光能量传递给金 属。金属吸收激光能量后，将吸收的能量转化为晶格的振动，使表层金属温度升 高，形成一热层。 对于波长为0 2 5 “m ( 紫外) 1 0 6um ( 红外) 波段的测量表明：光波在 金属中的穿透深度约为l o n m 数量级。由于电子平均自由时间极短( 1 0 1 3 s ) ，这 种热传换与热平衡的建立非常迅速，理论上讲金属表面在激光作用下可在几微秒 甚至更短的时间内达到相变温度，甚至熔化温度。 1 3 3 激光快速加热对钢组织转变的影响 激光加热的主要特点就是加热速度快 ( 1 0 4 1 0 6 s ) ，在这样的加热速度 下，金属的相变不再是一般的平衡相变， 而是非平衡相变。相应的相交温度、相变 过程和相变产物、组织、性能均会受到加 热速度的影响 g “。 ( 1 ) 加热速度对钢相变点的影响 随着加热速度的增加，钢的a 。、k 和a 。上升。图1 - 2 是钢的非平衡加热状 态图。加热速度在2 0 0 s 以下时，随加 热温度的上升，不同含碳量的k 和k 大 致保持平行上升。加热速度高于2 0 0 s 时，a 。和a 。仍随加热速度的提高而上 升，但低碳钢( c 0 4 ) 的a c 3 和过共析 钢的a c 。值与含碳量无关，数值大体上保 持一致。加热速度达到1 0 3 s ，c a 。， 作为判断硬化区和非硬化区界面的标记，即从金相上观察到的淬火马氏体组织和 基体组织之间的分界线即是最高温度值为a 。i 的等温线。 另外，文献 5 1 认为在激光相变过程中，由于加热、冷却速度很快，相对 于其它因素对温度场变化的影响，相变潜热较小，因此，作者将不考虑相变潜热 的作用。 2 1 4 边界条件及初始条件的确定 激光作为一种载能流，对工件的热作用可以看作是- - # p 2 n 的热流密度项函 即在三维板状试样的激光束斑覆盖区( 图2 - 3 中阴影区) 满足第二类边界条件： 一k 竺l ，：q ( 2 - 1 ) 0 n 吖 式中，r 为物质边界，方向向外：q 为边界上热流密度( 已知) ，方向为边 界外法线n 的方向，即热流向外流出( 热量从物体向外流出者为正，热量从外流 第二章激光相变硬化模型的建立 入取负号) 。 月 图2 - 3 边界条件示意圈 四个侧面、上表面( a b c d ) 的非激光束斑覆盖区按照自然换热表面处理，即 满足第三类边界条件： 一k 娑卜ac r t s ) ( 2 2 ) u n 式中口为己知换热系数。对于试样下底面( a bc d ) ，根据激光淬火实际情况，考 虑强制冷却和自然散热两种情况，分别按照满足第一类边界条件式( 2 3 ) 和满 足第三类边界条件式( 2 2 ) 处理。 r i t , = l ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 中，疋为确定温度值。 在激光开始加热处理之前，假设材料各处温度分布均匀且等于大气温度t 。 即初始温度满足： ，i 。= 乃 ( 2 - 4 ) 2 2 热传导微分方程的确定3 1 ，5 2 对于有移动热源的三维热传导问题。 e 。+ e 。= e 。t + e 。 必须满足下列能量平衡方程： ( 2 - 5 ) 其中，符号上的圆点表示时间速率：或为流入系统的能量；鼓为系统内产生的 能量；或。为流出系统的能量：也为系统内能的变化。 在没有任何材料质量的纯运动情况下，热流密度与温度梯度成正比，即满足 傅里叶定律： 吼= 也( r ) 罢，乱= 吨( 砷詈，吼一姒r ) 罢， ( 2 - 6 ) 西北工业大学硕士学位论支 式中，孙昵分别为x 、y 、z 方向上的热流密度，即单位时间通过单位面积 上的热量；一、以、也分别为x 、y 、z 方向上的导热系数：t 是温度。由于热量 是由高温向低温方向流动，故上式右端取负号。 图2 - 4 六面件单元示意图 在试样中任意取一六面体微兀d x d y d z ，如图2 - 4 所不。对于等压过程，根 据能量平恒方程，微元体在单位时间内接受的热量d o a + d q 。应等于其热焓的变化。 即：d o + d q ，= d u ，式中：d q 为在dt 时间内由外界导入的并留在微元体内的热量； d q 。为在dt 时间内由微元体内热源释放出的热量；d u 为在dt 时间内微元体物 质热焓的变化。 设导入微元体各侧面的热流密度分别为q 。、q ，和q ：，在与其相对的侧面上 导出的热流密度分别为q ；、q ，和q ：，如图2 - 4 所示。应用泰勒级数展开，并 取前两项，则： 以：“女= 叽+ 孕出； 护码+ 詈方； ( 2 _ 7 ) 护虬m + 警出 在d 一时间内导入和导出微元体各侧面的热量为各热流密度乘以相应的侧面 积： a o ，a y 出d f ；d q 咱，+ 警疵) 删f ； 蜴= g ，出捌f ；蟛= ( 矿鲁咖) 捌f ； ( 2 _ 8 ) 第= 章激光相变硬化模型的建立 媲= qd x d y d r ；d q ( 吼+ 警d z ) d x d y d f ； 经过dr 时间留在微元体内的热量为： 幻。= ( 垓一倒) + ( 坦，一坦：) + ( 坦：一划) ( 2 9 ) 将式( 2 - 7 ) 和( 2 - 8 ) 代入式( 2 9 ) 中，整理后得： 蛔。：一( 孕+ 孕+ - 萼- ) d x d y d z d f ( 2 _ 1 0 ) c r y o z 在d r 时间内，在微元体内由内热源产生的热量为：蛔。= g ，d x d y d z d r ，由 于导热和内热源使微元体在dr 时间内热焓发生变化，体积为d x d y d z ，密度为 p ，定压热容为c 的微元体内的热焓变化为：战，= c p - 兰d x d y d z d f 故： 叩署=丽c8(t_cot0o x ) + 嘉( b 等) 十鲁( t 署) + g 。 ( 2 1 1 ) f甜卯+ 删。z 式( 2 一i1 ) 称为三维导热控制微分方程，它确定了发生导热过程的物体内任 意一点的温度随时间和空间的变化关系。 对于本文所建立的有限尺度板状试样激光相变硬化模型，将材料视为各向同 性的均匀体，忽略了相变潜热的影响，将导热系数k ，密度f a 及比热容c 视为常 数，则由式( 2 - 11 ) 可得其导热控制微分方程为： c p o t ：七( 婴+ 宴+ 箕) ( 2 1 2 ) 。p 瓦2 七( 可+ 矿+ 可) 皑一 该方程在给定的初始条件和边界条件下有唯一确定解，通过一定的方法对之 求解，就可以获得所建模型的温度场分布。 2 3 本章小结 本章在分析激光相变硬化实际隋况基础上，通过适当的简化处理，建立了 有限尺度三维板状试样激光相变硬化模型： 1 激光相变硬化试样为有限尺度的平板状试样； 2 忽略相变潜热对温度场的影响，将各热物性参数视为常数； 3 对于能量输出模式为多模输出的激光器，其能量视为均匀分布，激光束 截面形状简化处理为矩形； 4 将激光束的匀速运动，简化为间歇跳跃式运动； 5 确定了边界条件和初始条件，将激光对试样的加热看作外加的热流密度 项，处理成第二类边界条件，试样下底面考虑自然散热和强制冷却两种 情况，分别满足第三类和第类边界条件，其余面为自然散热面，满足 苎兰三兰查兰罂主兰兰竺圭 第三类边界条件； 6 建立了激光相变硬化温度场的微分方程，从而将该物理过程的描述转变 为对热传导控制微分方程的求解问题。 第三章激光相变硬化温度场模型的有限单元法求解 第三章激光相变硬化模型的有限单元法求解 激光相变硬化模型的有限单元法求解是根据有限单元法的基本原理，通过单 元划分、温度插值函数的选择、有限单元基本方程的建立、有限单元总体合成公 式的推导等步骤，将所建立的相变硬化模型( 偏微分方程) 问题转化为对线性方 程组的求解。 3 1 单元划分 单元划分也称连续介质的离散化( 或 求解区域的离散化) ，是将连续介质或求 解区域分成很多个小单元，从而将连续 介质问题简化为有限个未知数问题。 单元类型和形状的选择依赖于结构 或总体求解域的几何特点、方程的类型 以及求解所希望的精度等因素 2 9 o 根据 所建立的激光相变硬化模型，为了简化 计算，方便计算机处理时单元及结点有 关数据的存储，作者采用八节点正六面 体单元，如图3 一l 所示。 图3 1 体单元示意幽 图3 - 2 单兀划分不惹型 对于所建立的平板状试样模型，整个求解区域就可咀划分为n m 1 个等参 正六面体单元( 1 2 、m 、1 分别为求解区域在x 、y 、z 方向上分成的份数) ，如图3 2 所示。y 方向为激光扫描方向。x o y 面为激光照射面。所有单元( n x m 1 个) 和所有结点( n + 1 m + 1 i + i 个) 都有自己确定的编号( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、 ( 4 ) 等，对于每一单元的八个结点又按照右手螺旋方向进行编号，如第i 号单 元的八个结点，分别为i 1 ，i 2 ，i 3 i 7 ，i 8 ( 如图3 1 所示) 。 西北工业大学硕士学位论文 整个求解域的外表面相应地被离散为部分体单元的单元面( 正方形) ，这些 构成求解域外表面的单元面也都需要给予确定的编号。另外，按照右手螺旋方向 ( 拇指方向为单元面的外法线方向) 分别对这些面单元的四个结点进行编号，如 图3 3 所示： l 芏| 3 - 3 面单兀编号示意l 笙| ( f 表可亡第f 个单元) 3 2 温度插值函数的构造 选择插值函数，利用结点条件将插值函数中的待定参数表示成场函数的结点 值和单元几何的函数，从而可以将场函数表示成由其结点值插值形式的表达式。 有限单元法的插值函数的选择取决于单元的形状、结点的类型和数目等因素。 3 2 1 面单元上插值函数的构造 由于所选取的面单元为四结点的正方形单元，可以利用双一次l a g r a n g e 多 项式构造这些单元面的插值函数嘲，单元面上任意一点( x ，y ，z ) 处的温度f 可 表示为： f = n i z + n 2 e + n 3 正+ n 4 五 ( 3 1 ) 式中：正为第i 号结点处温度值( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，结点编号如图3 - 3 ，n ；一 般称之为形函数。取单元边长为b ，根据双一次l a g r a n g e 多项式的定义，可将 形函数用直角坐标表示出来，对于平行于x o y 面的单元面有： n = ( j j l 一鳓( y y l 一钟b 2 n ：= 一( j x i ) ( y y i 占j b 2 ( 3 - 2 ) n = ( x x i ) ( y y 】) 口2 n 。= 一( j x l b x y yj ) b 2 对于平行于y o z 面的单元面有 u口世口口。 第三章激光相变硬化温度场模型的有限单元法求解 l n j = ( z 一= l b ) ( j jj b ) b 2 j 22 一( ：一：i ) ( x x l b ) b 2 f 3 2 ( f f 1 h f r l ， 【n 日= 一( ：一zj b ) ( x x 】) ，b 2 式中，x 。y 。，z 。分别为单元面上第f 号结点的坐标值。 ( 3 3 ) ( 3 - 4 ) 3 2 2 体单元内插值函数的构造 对于所选取的八节点正六面体单元( 如图3 一l 所示) ，可以采用三维 s e r e n d i p i t y 单元的插值函数呻 ，单元内单元面上任意一点( x ，y ，z ) 处的温度 ，可表示为： t = n 1 t i + n2 t + n3 l + 4 l + n5 t + n 6 l + n 7 一+ s 咒 ( 3 - 5 ) 式中：r 为体单元第j 号结点的温度( i _ l ，2 ，3 ，7 8 ) ，根据三维s e r e n d i p i t y 单元插值函数的定义，形函数m 可求出为： n i = ( x j 】一b x 一一j ，l + b ) ( = 一：l b ) 日。 n 2 = 一( j 一并i x ，一，l + 占) ( = 一：l 一口) 口3 _ v ，2 ( 。一。1 ) ( ，一y 1 ) ( z 一= 1 一b ) ， ( 3 - 6 ) n 4 = 一( j j l b ) ( y y 1 ) ( z z l b ) b n j = 一( j xj b ) ( y y i + b ) ( z 一= 】) b 3 n 6 = ( x 一，】) ( ，一y i + b ) ( z 一：1 ) b 3 n 7 = 一( t z 】) ( y y 【xz 一= 1 ) b 1 n e = ( j xl b ) ( y yl ) ( ：一= i ) b 5 3 3 三维温度场有限元基本方程的建立 根据有内热源的三维导热微分方程： t ( 窘+ 窘+ 害。叩鲁( 3 - 7 ) ( 式中：p 为材料密度，p 为定压比热容，膏为导热系数) ，作者采取加权余量法 中的g a l e r k i n 法，来建立温度场有限单元基本方程： 根据加权余量法的定义及式( 3 - 7 ) ，余量函数为： 印( w 川h ( 窘+ 窘+ 窘m ，一肛詈 ( 3 _ 8 ) 日 0 括 日， ， 一占： i _ 毛一占一 一毛： ：一t_x 蹦譬邯 r 儿h 儿 y y 一 一 ， y 一一 = 1 i = = ：= 西北工业太学硕士学住论文 取试探函数 尹( 墨k40 易易易彩 ( 3 9 ) 、为n 个待定系数，对于三维温度场问题，实质上 ? ：为第，号结点的温度。 根据加权余量法的定义，令： w ，d ( t ) d x d y d z = 0 ( 3 一l o ) 式中以为加权函数( f _ l ，2 ，3 n ) ，q 为空间温度场的定义域。 将( 3 9 ) 式代入( 3 8 ) 式，再代入( 3 一l o ) 式中可得： t c 警+ 等+ 等，一等：。 根据g a l e r k i n 法对加权函数的定义： 彬= a 于a 乃，( ，= l ，2 ，3 ，4 ，5 ，n ) ， 以及空间格林公式，可对( 3 - 1 1 ) 式作如下改写： t 业譬盟+ 型苦业+ 业譬盟j 蝴 一眇c 警譬+ 等蒡+ 誓参吨+ 眺扪部 a * a y a z = 。( s 叫z ) 式( 3 1 2 ) 中的第一个积分式，根据空间格林公式可以作以下变形： 帅华+ 塑o y + 华，出州 = 吵彤( 罢撇+ 等妣+ 暑蚴) = 扩彤c 篆c o s 口+ 詈c 。s 卢+ 警c 唧冲 = 盯t a f 锄出 ( 3 1 3 式中：是求解域q 的整个边界曲面的外侧c o s 口，c o s ，c o s 7 是z 上点( x ，y ，z ) 处外法向量的方向余弦，行为曲面相应点处的外法线方向。 将( 3 1 3 ) 式代回到( 3 - 1 2 ) 式中，可得： 筹= 一驴c 警豢+ 等雾+ 警a 出y ) - q w ，+ p c w t o 胁阳一 + 舒k v e , a y a ”d s = 0 ( 3 一1 4 ) 式( 3 1 4 ) 即为有内热源的三维温度场有限元基本方稗。 第三章激光相变硬化温度场模型的有限单元法求解 3 4 三维温度场有限元法总体合成公式的建立 由式3 1 4 ) 可知：笨；可以表示为求解区域内面积分项和体积分项两部 分a 其中，体积分项可进一步表示为所有单元体积分项之和的形式： 霎第= 喜眇学譬+ 等雾+ 警参可嘭+ 声嘶薯 c 。m ， 面积分项可表示为求解区域外表面离散到各单元面的积分项之和： 描= 薹奶誓出= 。 这样，式( 3 1 4 ) 就可变形为体积分项和面积分项两部分： 筹。姜蒂+ 薹茄= 一姜俨c 警誓+ 等雾+ 警参孵+ 等，枞 + 量f 阿，譬出：o ( 3 - i 7 ) + 萎胛，等把o 3 4 1 单元体积分项的计算： 根据选取的八结点正六面体单元和插值函数( 式( 3 5 ) ) ，由加权函数的定 义：彬= a f a h ，可得： l ；n l = ( x x l b ) ( y y l + 口) ( 。一r 一毋) 日3 2 = n2 = 一( 一z l my yj + b ) ( ：一：i b ) b 3 j = n ，= ( j x ，) ( y y ) ( ：一。一引，口3 ( 3 1 8 ) = n 。= 一( j j l b ) ( y 一，1 ) ( z 一：一b ) 矗 j = n5 = 一( t x i 一占my y i + 占x = 一z ) ，占 w = n6 = ( j j l xy y 】+ 口) ( ：一：) ，b 3 w 7=n 7 = 一( j x i ) ( y y i ) ( = 一：1 ) b 3 w b = n t = ( 一j j 一日) ( y y 】) ( = 一：j ) b 3 将以( f = 1 ，2 ，3 ，7 ，8 ) 分别对，y ，z 求导可得： 鲁叫y z 1 3 警= ( y y l x = 1 1 郇0 ， 一 毛， 占 1 屯 一 占 一 毛 一 = 一 “ = 一 蹦 1 卜 蹦 n 且 + ： k + 占 一 心h h n + _ y y 一 一 y 一 ， 一 ， y 一 叫叫叫 一弘生打虬生丛“生打 西北工业太肇硕士学位论文 a w a w ， a w ， a w a w 。 盟生： a w ， 业i ： ( j j 一且) ( = 一= l b ) b 一( j x lh ：一：l 日) ，b ( 一x lh = 一= i b ) 日1 l j 一，一b ) 【二一= i 一日】，占 一( j 一一日) ( = 一= 1 ) 8 ( j 一) 【：一：1 ) 占 一( j 1 ) ( 二一= 1 ) 日3 ( z j 一口) ( ：一：) 占3 婴：( j j 一b ) ( y y 。+ 占) 日， 婴：一【j x ，) ( y 一，。+ 引，占， 婴：( x j 。) ( ，一，) b ， 婴：一( j j 一b ) ( y y ，) ，b ， 尝：一( x j 。一占) ( y y + b ) 口3 婴：( j x ) ( y y l + 引8 ， 孚：一( t j ) ( ，一，) ，e ， 婴：( j j 一b ) ( y y 。) ，b ， 将f 分别对x ，y ，z 求导可得 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) l = “y 一，】+ b ) ( z z l 一占) l 一( y y 1 + b xz z i 一占) l + ( y y i ) ( ：一：l b ) l 一( ，一，l x ：一：i b ) l 一( y y l + b ) ( ：一：1 ) l + ( y y 十且) ( = 一：j ) r 一( y y i ) ( ：一= 。) n + ( y y i ) ( ：一：】) ) 口1 = ( ( j j i b ) ( z 一：i 一日) l 一( j j l ，一，l + 口) l 掣 十( x j k z 一= l b ) l 一( j x l b ) ( = 一z i b ) 一一( j j l 一口z 一= i ) t + x x x = 一：1 ) 疋一( x x 】) ( ：一= 1 ) l + x x 】一8 xz 一= 1 ) l ) ，b 5 芸= ( j x t b ) ( y y i + b ) 一( j j i ) ( y y i + b ) t 2 + ( j j ) ( y y 1 ) 丁3 一( x x l 一引( y y 】) 4 一x x 】一8 ) y y 1 + 8 ) r ， + ( x 一) ( y y l + 口) l 一( j 一l m ，一y 1 ) l + ( j j l 一口) ( y y 1 ) l j ，b 3 ( 3 - 2 2 ) 将式( 3 - 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 、( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 分别代入单元体积分项掣兰中的 d ， 毋陬警芸+ 等雾+ 警鲁刀一部分，然后求积分，可得 第三章激光相变硬化温度场模型的有限单元法求解 曼暑! ! 皇! ! 苎! ! 詈皇! ! ! ! ! 苎! ! 鼍! 皇! 竺! ! ! ! ! 皇! ! 暑! 苎詈! 苎! 鼍! ! 曼! ! 詈曼! ! 鼍苎! 毫苎! 胪( 警芸+ 等等+ 警笔) 】妫出。西r k ( 4 正一瓦一瓦一l 一瓦) 【f ：叭等等+ 警雾+ 警篆) 】埘庙。卺( 。正一l l l l ) 肌( - 。g 吼z g 玎- ，+ 等等+ 百o w 3 瓦o t ) 】蚴庙笔( 一l + 4 瓦一瓦一瓦) 舻t 警豢+ 鲁雾+ 警出蛐2 告c 一疋+ 4 l 一正一瓦一正， j 5 j 【t c 警芸+ 等雾+ 警誓， 妣弛5 老( 一疋一瓦一_ + 。瓦一耳) 瞰警鲁+ 警孑+ 警鲁) 】也拙。等( 一正一正一l “瓦一瓦) 眇女( i o w 7 石0 7 7 + 等等+ 等譬) 蚴他2 老( 一五一l l 瓦“l ) j 瞰警等+ 等等十警詈) 】幽尬2 老( 一正一正一正一瓦“瓦) 当忽略相变潜热时，叮f o 故嫂j 吼一出方出。仉( 3 - 2 4 ) 由式( 3 - 5 ) 和式( 3 - 6 ) 可得： o a tn 鲁+ - v ：鲁+ 虬詈+ 川詈+ 儿詈+ n 。a a t , 。+ m 詈+ n 。a 盘t , - 一 ( 3 - 2 5 ) 将上式代入到面积分项中求积分项中曩f 胪m 等。批，分别求积分可得： 肛h 詈舭= 案c s 署+ 。鲁+ z 鲁+ 。鲁+ 。署+ z 鲁+ 鲁+ z 鲁， f 肛k 挚枇= 案c 。鲁+ s 警+ 。鲁+ z 鲁+ z 鲁+ 。鲁+ z 鲁+ 鲁， 舻雕挚舭= 案c z 鲁+ 。詈+ s 誓+ 詈+ 鲁+ z 誓+ 。詈+ z 警， 肛孵等蝴= 案c t 等+ ：鲁+ t 鲁+ s 鲁+ z 鲁+ 誓+ z 鲁+ 。鲁， 肛- - d y 出= 篆c 一鲁+ z 警+ 鲁+ z 鲁+ s 鲁+ 一鲁+ ：鲁+ 。鲁， 西北工业太擘硕士学位论文 互肛峨争蛐= 案c z 鲁+ 。鲁+ z 鲁+ 鲁+ 一詈+ s 鲁+ n 鲁+ ：鲁， 妒争舷= 案c 詈+ z 詈+ 。鲁+ z 鲁+ ：詈+ 。誓+ s 鲁+ 。鲁， 驴暇秘啦= 案c z 鲁+ 鲁+ z 鲁+ 。鲁+ 。鲁+ z 鲁+ 。鲁+ s 鲁， ( 3 2 6 ) 将式( 3 4 2 3 ) 、( 3 - 2 4 ) 、( 3 - 2 6 ) 的结果代回到体积分项中，用矩阵形式 可表示为： f 4 i o a j “一b 斌0 瓦2 _ i o i 一 + ( 3 2 7 ) 对于单元温度变化率i 塑il 采用对时间的差分格式展开为： j a t i 盟a t = ( 矿一) r ( 3 - 2 8 ) 式中，才和正“分别为k 时刻和( k 一1 ) 时刻f 号结点温度。将式( 3 2 8 ) 代入式 一3 卜 一t乃瓦瓦耳瓦 一 一 一 o o 一 0 4 ：1 一 一 o 一 一 o 4 0；l o 一 一 0 4 o 一 1 0 一 一 一 4 o o i i o o 4 一 一 一 01： 一 o 4 0 一 一 0 一；l o 4 o 一 一 o 一 一 亟=毯里即亟钟亟印识百瓴百盟研亟部 2 2 4 4 2 4 8 ，2 4 2 2 4 s 4 2 4 2 ，4 8 4 2 4 2 2 8 4 2 4 4 2 4 8 2 2 4 2 4 8 4 2 4 2 4 8 4 2 2 4 2 ， 8 4 2 4 4 2 ，2 第三章激光相变硬化温度场模型的有限单元法求解 ( 3 2 7 ) 中，可得 等：瞳r p r + 。 01oo- 1 1 一l 4ol 一10 1 一l lo40 1 1ol p v b 2 1 6 f p r 6 为k 时刻单元内结点温度所组成的列向量， 龇七1 ) 慧 ( 3 2 9 ) ( 3 - 3 0 ) ( 3 3 1 ) 3 4 2 单元面积分项的计算 对于二维板状试样，式悟中的面积分项姜f t 彬誓出等于位于六个 外表面上的单元面的面积分之和，分别计算如下： 根据选取的八结点正六面体单元和插值函数( 式( 3 2 ) 、( 3 3 ) 、( 3 4 ) ) ， 由加权函数的定义彬：a f a i ，可分别将平行于x o y 、y o z 和z o x 面的单元面 的权函数求出，对于满足第一类边界条件的单元面，根据ti = l 筹5 ”誓出2 。 2 ，2 4 4 2 4 8 2 4 2 2 4 8 4 2 4 2 4 8 4 2 4 2 ，2 8 4 2 4 4 2 4 8 2 2 4 2 4 8 4 2 4 2 4 8 4 2 2 4 2 l 8 4 2 4 4 2 ，2 0 o o 4 l l 一 一 0 4 0 l l o 4 o l i 一 4 0 一 o 4 一 一 一 o i i i o 一 一 o 一：i 一 一 o 一 一 4 0 0 0 一 一 一rr上瓢e 一 = 舯 ” 砰时口群譬硭芹曙 ，。l 、llllllllllllllll 2 2 4 4 2 4 8 l 2 4 2 2 4 8 4 2 4 2 4 8 4 2 4 2 1 2 8 4 2 4 4 2 4 8 2 ，2 4 2 4 8 4 l 2 4 2 4 8 4 2 2 4 2 1 8 4 2 4 4 2 l 2 得 一口 o ) = 弛 堡却 西北工业大学硕士学位论文 带 第三章激光相变硬化温度场模型的有限单元法求解 爸j q 0 t “ a j “ a7 1 2 a j e l c 3 t 。3 o d “ _ 3 t 。4 a b 2 3 6 4 2 24 l2 2l 12 2l 42 2 4 一 t t l o r b 。 4 7 1 ， t l t i t = k l i r + m ( 3 3 7 ) 3 4 3 总体合成公式的建立 根据以上推导，可以得到有限单元法计算激光相变硬化温度场的总体方程： ，r n 罢务= 吡 7 1 l + p l = 0 ( 3 3 8 ) u 式中：系数矩阵 七】，称总体温度刚度矩阵：扩l 为求解区域内划分的所有未 知温度值的各结点温度所组成的列向量：妇) ，为己知列向量；下标f 表示各矩阵、 向量均取同一时刻 的值。其中： 【七 ，= 七k + 【明，。，+ 昧】，+ t 】。， ( 3 3 9 ) 一1 睁】归】e = l 【p ，= p 。+ ( p ) ；，：+ j d ) x o y 3 ) r = le = l + ( p ) ，：+ 讲，) + (