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哈尔演理工大学理学硕士学竹论文 时滞线性系统及关联系统的鲁棒控制 摘要 本文主要研究了在控制理论中较为重要的线性不确定时滞系统的鲁棒镇 定、不确定变时滞关联系统的分散鲁棒控制和不确定关联系统的分散鲁棒 保性能控制问题。 全文主要结果分为三部分： 首先对于含时变非结构不确定性变时滞线性系统的镇定问题，考虑了控 制项也含不确定性的动态变时滞系统，在一定的假设下，利用l y a p u n o v 方 法，结合r i c c a t i 方程的处理方法以及不等式技巧，给出了使系统渐近稳定 的无记忆控制器设计方案。 接着针对不确定变时滞关联系统，基于l y a p u n o v 稳定性理论，讨论了 强结构不确定性、矩阵多胞型结构不确定性和范数有界不确定性。结合不等 式处理技巧，使得存在分散鲁棒控制器的判别条件等价为组线性矩阵不等 式( l m i ) 的可行性，给出了无记忆分散鲁棒控制器的设计方法，并讨论了各 种不确定性情形下系统的最优分散鲁棒控制，得到一组凸优化模型。 最后讨论了不确定关联系统的分散鲁棒保性能控制问题，针对范数有界 不确定性、强结构不确定性和矩阵多胞型结构不确定性，给出了以l m i 形 式表示的系统存在保性能控制器的充分条件，并提出了系统最优保性能控制 器的设计方法，同样给出组凸优化模型。 文中结论大多以l m i 形式给出，可用m a f l a b 软件计算，求解方便易 行。相关算例验证了设计方案的可行性和有效性。 关键词时滞系统；关联大系统；分散鲁棒控制：保性能控制；l m i 竺竺篓些三查兰些兰堡圭兰篁篁兰 r o b u s tc o n t r o lo fl i n e a rs y s t e mw i t ht i m e - d e l a y a n di n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e sr o b u s ts t a b i l i z a t i o no fl i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m w i t ht i m e d e l a y , d e c e n t r a l i z e dr o b u s ts t a b i l i z a t i o no fu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e d s y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y sa n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fi n t e r c o n n e c t e d s y s t e m s ，w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h ec o n t r o lt h e o r y t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e rj n c l u d et h r e ep a r t s ： f i r s t l y , s t a b i l i z a t i o no fl i n e a ru n c e r t a i ns y s t e mw i t ht i m e v a r y i n gd e l a yi s r e s e a r c h e d ，a n d t h e u n c e r t a i n t y u n d e rc o n s i d e r a t i o ni s t i m e v a r y i n ga n d u n s t r u c t u r e d ，w h i c hc o n t a i nn o to n l yi ns t a t et e r m sb u ta l s oi nc o n t r o lt e r m o na c e r t a i na s s u m p t i o n ，b yu s i n gl y a p u n o vm e t h o d ，r i c c a t ie q u a t i o na p p r o a c ha n d s o m ei n e q u a l i t i e sa r ed e v e l o p e dt op r o p o s eam e m o r y l e s ss t a b i l i z a t i o nc o n t r o l l e r w h i c hr e n d e r st h es y s t e ma s y m p t o t i c a l l y t h e ni nt h er e s e a r c ho fu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e ds y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n g d e l a y s ，h i g hs t r u c t u r e du n c e r t a i n t y , m a t r i xp o l y t o p es t r u c t u r e du n c e r t a i n t ya n d n o r mb o u n d e du n c e r t a i n t ya r ed i s c u s s e do nt h eb a s i so fl y a p u n o vs t a b i l i t y t h e o r e m c o m b i n i n gw i t hi n e q u a l i t i e s ，t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so fc o n t r o l l e r sa r e e q u a lt o t h ef e a s i b i l i t yo fas e r i e so fl m i s ( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ) ，a n d m e m o r y l e s sd e c e n t r a l i z e dr o b u s tc o n t r o l l e r sa r eg i v e n ，m o r e o v e r ，t h eo p t i m a l d e c e n t r a l i z e dr o b u s ts t a b i l i z a t i o ni sd i s c u s s e da n das e to fp r o t r u d i n go p t i m i z e m o d e l sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , h i g hs t r u c t u r e du n c e r t a i n t y ，m a t r i xp o l y t o p es t r u c t u r e du n c e r t a i n t y a n dn o r mb o u n d e du n c e r t a i n t ya r ed i s c u s s e di nd e c e n t r a l i z e dr o b u s tg u a r a n t e e d c o n t r o l l i n go fu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n s o f g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r se x p r e s s e da sl m ia r eo b t a i n e d ，i na d d i t i o n ，t h ed e s i g n m e t h o d so fd e c e n t r a l i z e dr o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r sa n dt h eo p t i m a l g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r s a r ep r o p o s e d w ea l s oo b t a i nas e to fp r o t r u d i n g o p t i m i z em o d e l s t h ec o n c l u s i o n si n t h i sp a p e rm a i n l ye x p r e s sa sl m l s ，t h e r e f o r em a t l a bc a n - l i 哈尔滨理工夫学理学硕士学位论文 b eu s e dt o g e tt h es o l u t i o n sc o n v e n i e n t l y t h e nw eg i v e 母l a t i v en u m e r i c a l e x a m p l e st od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h er e s u l t so b t a i n e d k e y w o r d st i m e - d e l a ys y s t e m ；i n t e r c o n n e c t e dl a r g e - s c a l es y s t e m ；d e c e n t r a l i z e d r o b u s tc o n t r o l ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；l m i 1 1 1 - 啥尔滨理t 大学理学硕士学位硷文 1 1 课题背景 1 1 1 课题来源 第1 章绪论 本课题来源于国家自然科学基金项目，属于理论研究范畴，主要研究不确 定变时滞线性系统的鲁棒控制，不确定时滞关联大系统的分散鲁棒控制及其保 性能控制，给出相应系统的控制器设计方法，并以数值算例验证所得方法的有 效性。 1 1 2 研究的目的及意义 1 1 2 1 不确定性的客观存在及其对系统稳定性的影响在实际问题中，各种工 业生产过程、生产设各、运输系统以及其他众多的被控对象，它们的动态特性 一般都难以用精确的数学模型进行描述，有时即使能获得被控对象的精确数学 模型，但由于过于复杂，利用现有的控制系统设计手段也无法实现，因而不得 不进行简化，比如将非线性系统转化为线性系统；此外，随着生产过程中工作 条件环境变化，控制系统中元器件老化或损坏，被控对象本身的特性也会随之 发生变化；众多因素导致所建立的数学模型和实际的被控对象之间不可避免地 存在误差及不确定性。我们所建立的系统称为名义系统，而考虑了不确定因素 的系统称为实际系统。不确定因素会对系统性能产生影响，包括对系统稳定性 的影响，这就要求系统具有一定的鲁棒性，即系统中存在不确定因素时，系统 仍能保持正常工作性能的一种属性。 鲁棒控制器是控制理论的一个重要问题，就是针对一个动态系统设计一个 控制器，使闭环系统在受到不确定因素时，只要不确定性在一定范围内变化， 系统仍然稳定。 1 1 2 2 时滞的存在及其对系统稳定性的影响时滞现象存在于许多系统中，如 化学反应过程、柔性机器人、神经网络、最优控制和气动传动等各种工程系统 中，且实践证明，时滞往往是系统失稳的重要因素之一。因此研究时滞系统的 ! 至堡矍三奎兰堡兰丝圭耋堡篁圣 鲁捧控制成为控制理论中的重要内容之一。 1 1 2 3 大系统分散控制的重要性随着科技的发展，各领域相互渗透，实际系 统越来越复杂、越庞大，即所谓大系统普遍存在，其体现为一方面系统维数过 大，另一方面系统结构复杂，系统内部仍有系统。系统是由相关联的若干子系 统构成的。那么对于高维或具有复杂内部结构的系统，大系统的研究就显得很 必要了。在大系统研究中遇到的最基本问题就是计算量大，可靠性低，通常把 它分解成一些关联的子系统，通过对子系统的分散控制来控制整个大系统，分 散控制具有巨大的吸引力。 1 1 2 4 保性能控制的研究意义在实际的控制系统设计中，不仅要求控制系统 闭环稳定，往往还要求闭环系统满足定的性能指标，使其性能指标不超过某 一个已知界，这种控制称为保性能控制，保性能控制也是不确定时滞系统控制 的一个重要方面。 综上所述，研究时滞系统的镇定，不确定关联时滞系统的分散鲁棒控制及 保性能控制具有重要意义。 1 2 背景综述 1 2 1 线性时滞不确定系统的鲁棒稳定性研究综述 6 0 年代以来，通过结合实际工程问题和数学理论鲁棒控制理论取得了令人 瞩目的发展，在线性时滞不确定系统的研究中有多种划分方法。按系统时滞是 否与时间有关，可以划分为常时滞系统和变时滞系统；按时滞的多少，可将系 统划分为单时滞系统和多时滞系统；按系统方程中函数的线性性质又将系统划 分为线性系统和非线性系统；而不确定性又可以划分为四种：非结构不确定 性、强结构不确定性、矩阵多胞型结构不确定性和范数有界不确定性。时滞系 统的鲁棒稳定性判据和控制器设计又可以分为时滞独立的和时滞相关的两种， 前者的结果与时滞无关，但会带来一定的保守性。后者的结果与时滞相关，保 守性较小，研究难度较大，应用起来也比较麻烦。 关于线性时滞不确定系统的鲁棒控制研究已有很多的成果。鲁棒控制器设 计是在八十年代发展起来的，近十几年得到了迅速发展。1 9 8 5 1 9 8 8 年， p e t e r s e n h o l l o t ，s c h m i t e n d o r t t 1 【2 l 【3 】【4 1 找到了一种有效的方法，用线性控制器镇定 不需满足匹配条件的不确定线性系统，他们考虑的是时变不确定系统，依据 r i c c a t i 方程的解得到线性反馈控制器。1 9 8 9 年，c h e r e s 等人针对带有时滞和 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 非线性扰动的线性系统，利用l y a p u n o v 和r a z u m i k h i nt y p e 理论给出扰动界， 来判断系统稳定性，并且分别讨论了四种结构，给出界的计算方法。1 9 9 1 年， s h e n 等人嘲将文献【1 4 的方法扩展到不确定动态时滞系统，得到一个无记忆线 阽状态反馈控制律。 1 9 9 5 年，吴韩盛等人利用与文献 5 相似的手法获得了 一个保守性较小的扰动界。1 9 9 3 年，田连江等人嘲研究了具有一般摄动表达式 的时滞不确定系统，将不确定项分解为“秩1 ”形式，利用l y a p u n o v 方法和二 次镇定，求得了较为完善的充分条件。1 9 9 7 年，曹登庆州研究不确定变时滞系 统的镇定问题，将不确定性划分为匹配和不匹配两部分，所以对非结构不确定 也适用，只要求不匹配部分的界满足与r i c c a t i 方程的解矩阵有关的显式准 则，利用l y a p u n o v 泛函提出了使其闭环系统渐近稳定的无记忆线性反馈控制 律，结果也适用于变时滞系统，并且不要求r i e c a t i 方程的可解性。 1 2 2 不确定关联系统的分散鲁棒控制研究综述 早在1 9 8 7 年，c h e n f ”1 首先提出了不确定关联系统的分散控制，他在不确 定性满足匹配条件的假设下，探讨了大规模不确定动态系统的分散鲁棒控制器 设计问题，提出了局部设计和全局设计两种方法。局部设计就是利用每个子系 统的局部状态作为反馈信息来设计控制器，以保证整个复合系统的实际稳定 性：全局设计不仅利用局部状态，而且也利用关联子系统的状态作为反馈信息 来设汁控制器，以保证整个复合系统的实际稳定性，前者适用于子系统之间的 关联影响不很大的情况，后者适用于一般的关联系统。然而他所得到的控制器 为非线性的。1 9 8 8 年，l e e 和r a d o v i c i “1 的结论要求子系统之间的关联具有一定 的结构即关联系统是通过输入通道关联复合得到。特别地，对一类通过输入 关联构成的不确定关联系统，1 9 9 5 年，俞立等人【1 2 】不仅证明了这样的一类系统 定可以用无记忆的分散线性状态反馈控制律鲁棒镇定，而且给出了鲁棒稳定 化无记忆分散控制律的一种简单有效的设计方法，得到的结果具有较小的增益 参数，事实上这样的结果也可以用于无时滞的不确定关联系统。1 9 9 4 年。h u 【1 3 试图消除输入通道的结构限制，提出了一个系统分散能镇定的条件，但只能应 用于很少的一类关联系统，接着1 9 9 5 年，t r i n h 和a l d e e n 1 4 1 基于文献 1 3 提出了 一个改进的结果，但文献 1 l 1 4 】总的思想是对含有一个待定正定矩阵且具有给 定结构的分散线性反馈控制律，采用估计l y a p u n o v 泛函导数界的方法，导出 系统分散能镇定的充分条件，这种对结构的事先预定会引进一定的保守性。 1 9 9 7 年俞立5 1 对于般结构的分散线性定常状态反馈控制律，导出了一类关联 哈尔滨理工大学理学硕士学戗论文 时滞系统分散能镇定的条件，进而证明了该条件等价于一个r i c c a t i 方程的正 定解的存在性。 由于用r i e c a t i 方程或不等式给出的判定条件需要事先对系数作调整， 对计算和实现带来了不便。之后有很多学者将l m i ( 线性矩阵不等式) 方法应 用到控制器设计中去，并得到了很多好的结果。1 9 9 9 年谢永芳等人m 1 对一 类满足匹配条件的时变不确定系统，给出了其分散状态镇定的充分条件，即 一组l m i 有解，同时通过求解一个凸优化问题，给出了具有较小反馈增益 的分散稳定化状态反馈控制律的设计方法。2 0 0 0 年叶卓映”1 将类似结果推 广到带有状态滞后且不满足匹配条件的不确定关联大系统，针对强结构型不 确定性，得到了具有较小反馈增益的分散无记忆状态反馈控制律的设计方 法。胥布工 1 ”等针对线性时滞大系统，给出了分散无记忆状态反馈控制器的 设计方法。2 0 0 1 年，c h e n g 等人【1 9 1 针对矩阵多胞型结构不确定性，考虑了带 有控制滞后的线性不确定关联大系统，应用l y a p u n o v 稳定性理论，以l m i 的形式给出了系统稳定的时滞无关判别条件，并得到了系统的无记忆状态反 馈控制器设计方案。2 0 0 2 年桂卫华等人删应用l m i 方法研究一类强结构型 不确定性但不满足匹配条件的时变不确定关联时滞大系统的分散鲁棒稳定化 问题，提出了该类大系统的分散鲁棒控制器的l m i 设计方法胥布工等人口1 1 又应用此方法研究了具有未知常时滞的关联大系统，建立了可由l m i 表示的 分散镇定条件。 尽管很多学者在不确定大系统的分散鲁棒控制方面作了不少工作，对于 更为般的带控制滞后的时变不确定关联时滞大系统的鲁棒控制却少有研 究。 1 2 3 不确定系统保性能控制的研究综述 不确定系统保性能控制的基本思想是设计系统的一个状态反馈控制器，使 系统在此控制器的作用下稳定，并且对所有允许的不确定性，闭环系统的性能 指标不超过某个确定的上界。 保性能控制概念首先由c h a n g 等人阱3 于1 9 7 2 年针对自适应系统的控制提 出，但在很长一段时间内，该问题并没有得到很好的解决。随着不确定系统鲁 棒控制研究的深入，不确定系统的保性能控制再次得到了关注，取得了较好的 发展，保性能控制也越来越受到人们的重视。俞立等人口”在1 9 9 7 年研究了一 类不确定离散系统的保性能问题，通过转化，采用h 。状态反馈控制给出了保 ： 堕垩堡矍三奎兰堡兰垒圭兰堡堡圣 性能控制律的设计方法。之后俞立等人在1 9 9 8 年针对一类具有时变参数不 确定性的时滞系统，结合范数有界不确定性，提出了通过求解r i c c a t i 方程正 定界的保成本状态反馈控制律的设计方案。同年，俞立等人1 又研究了不确定 离散动态系统的保性能控制，采用r i c c a t i 方程处理方法，导出了状态反馈控 制器的存在条件，应用离散系统日。状态反馈控制律的设计方法得到所需的保 性能控制。1 9 9 9 年，俞立等人 2 6 1 针对文献 2 3 】中存在的不足，对不确定离散系 统，采用线性矩阵不等式方法，得出了存在保性能控制律的一个充分必要条 件，进而证明了该条件等价于一个线性矩阵不等式的可解性问题，在此基础上 通过建立并求解一个凸优化问题，给出了最优保性能控制律的设计方法。接 着，2 0 0 0 年，俞立又对线性不确定系统给出了与文献( 2 6 平行的结果。以上 研究都是针对范数有界不确定性进行的，2 0 0 1 年，陈振毅等人1 考虑了具有参 数不确定性的连续时滞系统，通过构造参数l y a p u n o v 函数得到了新的保性能 控制存在的充分条件。2 0 0 2 年，陈国定等人【2 9 1 对具有范数有界时变参数不确定 离散系统，研究了输出反馈控制器的设计，并证明了该保性能控制器的存在性 等价于一个线性矩阵不等式的可行性，利用此解给出了控制器的构造方法和闭 环性能指标的上界。2 0 0 3 年，关新平等人【3 0 1 通过引入动态输出反馈控制器，研 究了不确定离散时滞系统的输出反馈保性能控制问题，采用l m i 的方法，得 出系统存在保性能控制律的充分条件。 虽然对离散系统的保性能控制的研究已有不少，连续系统也有涉及，但一 直以来，对大系统保性能控制的研究尚不多见。2 0 0 2 年，陈国定等人 3 t 1 针对一 类不确定离散关联大系统的分散保性能状态控制器设计问题，采用l m i 的处 理方法，导出了分散控制器存在的充分条件，并给出了一组分散保性能控制器 的参数化表示，又通过建立和求解一个凸优化问题得出了使闭环系统性能指标 最小化的最优保性能控制器的设计方法。而连续型关联大系统的保性能控制却 还没有相关研究，这也是本文所要做的一个方面的工作。 1 3 本文主要工作 ( 1 ) 研究不确定变时滞线性系统 j o ) = a + 爿p 0 ) 凇( f ) + 阻。+ z s a 。g ( f ) ) k 0 一r 0 ) ) + 陋+ 占( w o ) ) k ( f ) ( 1 1 ) 其中不确定性为非结构型，即 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ! ! ! ! = = = = = ! = = = ! ! = = = = = = 2 = = ! ! ! 一：一 渊ls a ， 已知常数n 为不确定界 针对非结构型不确定性，研究上述系统( 1 1 ) 的镇定问题，给出它的无记忆 状态反馈控制器设计方案。 ( 2 ) 研究由个子系统r 构成的不确定变时滞线性关联系统 。：- i o ) = 阻；+ 鲋；w ；( f ) j 0 ) + 陋，+ a b ，g 。o ) 地j o ) + b d i + 衄“仉帆m 薯帆+ 埘“) ) z ，e d # o ) ) i = 1 ，2 ， ( 1 2 ) 主要研究其分散鲁棒控制器的设计，以线性矩阵不等式的形式给出结论并 且依据不确定性的不同假设，分别讨论三种情况 1 ) 强结构不确定性： i i s d ； 2 ) 矩阵多胞型结构不确定性： 2 巨； i 3 ) 范数有界不确定性：= d f e f 7 f s i 。 在章末对这三种情况讨论了系统( 1 - 2 ) 的最优控制，并给出了最优控制 的模型。 ( 3 ) 研究由j 、r 个子系统一构成的不确定关联系统的分散保性能控制 z ：毫o ) ；“+ 觇o ) k ( f ) + ( 马+ 蛆。m ) + 荟n 如工， ( 1 - 3 ) i = 1 ，2 ，n 并且依据对不确定性的不同假设，分别讨论三种情况 1 ) 强结构不确定性： l ls d 2 ) 矩阵多胞型结构不确定性： 3 ) 范数有界不确定性 如幅； = d f e f 1 fs i 。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 在章末对这三种情况讨论了系统( 1 3 ) 的最优控制，并给出了最优控制 的模型。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章时滞线性系统的鲁棒控制器设计 2 1 问题描述与导出 考虑不确定变对滞系统 j ( f ) = 【a + 鲋( r o 跏( f ) + a + a a ，( s ( f 跏( 卜r ( f ) ) + 陋+ 曲( w 0 跏( f )( 2 1 ) x o ) = 妒( f ) ，h t 0 式中工o ) r “是系统在时刻t 的状态向量，“( f ) r 是控制向量，4 ，爿1 和b 为给定的具适当维数的常数矩阵，妒( f ) 为连续的矢量初值函数， 州( ，0 ) ) ，a a 。o ( f ) ) 和曲( “f ) ) 为不确定的连续函数矩阵，( r ( f ) ，s ( t ) ，w ( t ) ) nc r 9 为不确定参数矢量，并且是l e b e s g u e 可测的，q 是r9 的紧子集， r ( f ) 有界，且存在常数h 和k ，对任意f t o ) 有 0 sr ( t ) h ( + ，i 0 ) k 0 ，r i c c a t i 矩阵方程 a 7 p + p a d p b b 7 p + ( 3 + 2 叩) ，= 0 存在唯一的正定矩阵解p 。其中，为单位矩阵。 2 2 主要结论 ( 2 _ 4 ) 对于由式( 2 - 1 ) 描述的系统，有如f 定理 定理2 1如果系统( 2 1 ) 满足条件i 和条件i i ，且对任意( ，( f ) ，5 ( ，) ， w o ) ) q ，满足 口m i i 赫咖i i + i ii i | ) + * m 击徊l | i p | 肌c i i 班叩( 2 - s ) 则无记忆线性反馈控制器 “( f ) = * + 击+ d ) b 7 戥( f ) ( 2 - 6 ) 使系统( 2 1 ) 的闭环系统渐近稳定。 证为了描述的方便，我们记 x 0 ) = lx ( t f ) = ，d ( r ) = d ，g ( s ) = g ，h ( w ) - - 日 似( r ) = a a ，a a 。( 5 ) = a a ，出( w ) = 篮( r ) = 血，面( s ) = 面，4 ( w ) = 篮 在控制器( 2 6 ) 的作用下，系统( 2 1 ) 的闭环系统为 j = - + 出k + 【爿+ 创，k ，一圭( a + 击+ d 弘+ 衄p a c z 忉 取l y a p o n o v 函数 矿( t ) = x t p x + ( 2 + 善) 卜7 p k ( 口p 口 其中舌= 刚p 1 1 + | | 颤 沿系统( 2 7 ) 对v ( x ，) 求导，并结合r i c c a t i 矩阵方程( 2 4 ) ，有 ) + 鲋7 尸k q b i p 蝴尸k 一圭( 口+ 击+ 刁 - 工7 册陋7 + 凹h + x t 阻+ 蹦k + x t 陋。+ p a l l j ：c ， 一三( a + 击+ d 卜陋+ 加】口7 既( 2 + 号鼽_ ( 1 一t ( f ) 船，】 “a r p + 剐一( n + 击+ 刁脚饥t p x 亿7 p 陋“郇t 】- ( n + 击+ d p p b a b 7 r ( 2 + 芎) 0 一o m ，t x ， “心+ 击 脚7 p + ( t - 2 q - 1 ) ，卜z 巾+ 幽) c + b e + j 。+ b g + 瓯k 。】一( n + 击+ d p 船陋7 曰7 + 庙7 h 一( 2 + ；x l t 0 ) h 。t x 。 由于对任意恰当维数的矩阵e 和f 及任意正常数s 0 ，都有 e t f f t e s e t e + 6 f t f 占 因此有以下不等式成立 2 x 7 p b d x x t p b d d 7 8 7 p x + l l x l l 2 2 工7 p b e x ，击z 7 p b e e w r + ( 1 一k ) l l x ，2 2 x r p b g x ，s 两1 x 7 p b g g r b r a + ( 1 一硎2 - 1 0 。星量堡矍三查兰矍兰堡圭兰堡篁兰 2 x 7 p 删x 2 a l l x l l ：x 7 颤 z l l 甄。商。击2 + ( t 一七) i 2 z x 7 p 面皤z 州阳叫击2 + ( 1 一帅，州 x 7 p b h 7 8 7 p x i i h i ii i b i l 2 岬i x c 俐2i m 2 w 工7 船篮7 m - yl i b i ii t p i l 2 2 结合以上不等式，得 唯廖m 心击 ，+ 肋7 + 鱼警卜啦：v 协l | p | | + 哗笋+ 卜击劬b i i m 卜m 旷 + 【2 ( 1 一女) + ( 1 一尼灿l | p | | + 问旷( 2 + 舌x l 一 肌，o 2 z + 籀( 蚓砂1 l a + 去讪刚p l l 2 ( cl i b i i + y ) 一, 7 l l x l l 2 则当 口i i p i i + 亲硎+ * m 剖岬p 冲脚 成立时，对任意( r ( r ) ，s o ) ，“r ) ) q ，矿g ，) 负定，系统( 2 1 ) 渐近稳定。证 毕。 推论2 1 如果系统( 2 1 ) 对于条件i 和条件i i 成立，且不确定性满足匹 配条件，即 旃( r ) = 厦= 篮( w ) = o = = = ：。：竺堡矍三查兰矍兰竺兰兰堡篁塞 则若满足 赫蚓+ 圭( 口+ 击+ d h 占f f 2 | f 机叩 陋s ， 不确定变时滞系统( 2 - 1 ) 可由无记忆线性反馈控制器( 2 6 ) 镇定。 如果将控制不确定项分解后，矩阵有范数l ( 叫j 兰c 】，令 x 船日7 8 7 p x x 7 p b b 7 p x cx r p b b r p x 类似定理2 1 证明，此时有 定理2 , 2 如果系统( 2 1 ) 满足条件i 和条件i 【，且对任( r ( f ) ，s ( f ) ， w ( t ) ) q ，有 d 怫i i 赫i i + ) + 病( a + d + l - - 妥) | | p | | 2 叩陋， 则不确定系统( 2 - 4 ) 在无记忆线性反馈控制器 “o ) 一志卜击叫b r p x ( t ) ( 2 - 1o ) 的作用下渐近稳定。 证明从略。 推论2 2 如果系统( 2 - 1 ) 满足条件i 和条件i i ，且对任意( r ( f ) ，s 0 ) ， “f ) ) q ，不确定性满足匹配条件，即 4 爿( r ) = a a l = 4 曰( w ) = 0 则若满足 0 ，a b d 一1 c 0 或a o ，d c a 一1 b 0 引理3 2 哪! 若n x m g r n n a 4 n , gl a a i d ，则 削鲋is q la , 4 7 鲋s r ( d ) 式中 竺堡堡堡三查兰塞兰堡圭兰丝篁兰 7 h 。， 妇( d ) = i 胛出昭( d d ) ， 厂( d ) = j j d d 7 慨。 n 岫g ( d d ) 其它 i d 7 d 8l 。，i p 7 d 8 ， m d i a g ( d 7 d ) ， 其它 其中d i a g ( r ) = d i a g ( r 。，匕：，k ) ，r = h ) 。 m , z i a g ( d 7 d 1 引理3 3 对于适当维数矩阵zy 和z ，以及正常数口，卢，以下不等 式成立 x t y 七y t xso t x + o 【。1 y t y 2 2 7 y y z 7 z + 口一1 y 7 y 引理3 4a 和删为月m 阶矩阵，假设不等式刨倒7 j 2 成立，j 是 一个半正定对称阵，于是对任意正数0 s l ，我们有 ( a + 删x 爿+ 倒) ( i - 占) 1 a a 7 + 占“j 2 证 ( a + 州n + 鲋) 7 = 爿爿7 + 一削7 + 删7 + 纠鲋 由引理3 3 得 彳幽7 + 州爿7 蔓a a a 7 + a 一删剑7s 口制7 + 口 令= 1 一，得 a + i 证毕。 3 2 主要内容 ( 彳+ 4 爿x 一+ 4 4 ) 7 ( 1 一占) - 1 a a 7 + 6 - i 万2 本章主要考虑一类由个子系统。构成的变时滞不确定关联大系统 1 6 r，：l ： 堕堡堡堡三查兰些兰竺圭兰堡篁奎 。：j 。( f ) = a + 爿iw 。0 冲。0 ) + 陋，十a b ( s ；o ) 地。( f ) + 阮+ 峨t o 壮，o d ，o ) ) + n ，+ 州，( f ( f ) ) ) _ 【f d u o ”i = 1 ，2 ，( 3 - 1 ) 其中t ( f ) r “为状态向量，“，( f ) r “为控制向量，a ，且，和h f 为具有 适当维数的矩阵，矩阵对( 4 ，目) 是可控的，a a 。w 。o ) ) ，衄( s o ) ) ，a b 。( ( f ) ) 和埘口也( f ) ) 为时变不确定项，且 w j ( f ) 谚r “，s i 0 ) 妒，r n - 0 ) 妒讲r 9 “， f f 0 ) 妒”r 9 ” 谚，识，和妒m 为紧集。 变时滞满足 0 d i ( f ) 虿 栅，0 d i ( f ) h 。 1 0 d f ( f ) 瓦 佃，0 c i 口( f ) h 2 f 1 为了描述的方便，我们简记x i ( f ) = x ，“，( f ) = “。，州，( w j ) = 州 a b ，s ，) = a b 。，a b 。( ) = a b d i ，删口( f f ) = 埘f ，d ，o ) = d 。，d f o ) = d 口。 本章主要工作是针对不确定性结构的几种假设给出系统( 3 - 1 ) 的分散鲁 棒无记忆控制器设计方案。 3 2 1 强结构不确定性 假设系统( 3 - 1 ) 中不确定性满足 堕查堡矍三奎耋堡兰堡圭兰堡篁三i a a 。i c i ，i 删。l d f ， a b 卜e ，1 4 b 。lc g 其中c i ，d 。，e 。和g 。为相应维数的己知非负矩阵。 定理3 , 1对于满足强结构型不确定性的关联大系统( 3 - 1 ) ，对每一个i = l ，2 ，n ，如果都存在对称正定矩阵x 和矩阵r 以及正数a 。，屈，使 下而l m i 成立 其中 i j ，( c ) j1 7 f ( e 。) ix 7f 7 厂( e ) i x ；一q，0 00 r ( e t ) i y j 0 一_ 8 ：j 0 0 x。0 0 一g d l 0 r 00 0 一g 。 g ，2 丽2 ，g z ，5 蔷瓦2 ， 0 ( 3 - 2 ) j ：4 ；置+ x j 爿j + 量+ y r 彰+ ( 吒+ 届) ，+ 兰陋f h 。t + q ( d p ) 拈。磁+ q ( g ，) ，= l 则系统( 3 1 ) 在分散鲁棒控制器 u j = y ? x i 。x 的作用下渐近稳定。 证对系统( 3 1 ) 采用控制律“。= k 。x 。，闭环系统为 ，：i 。= 爿+ 削，k 。+ 【b ，+ a b ，k + b 。+ a b 。k 。_ o d ，) ( 3 3 ) + 羔f + 埘f b ，( f d 口) f _ 1 ，2 ，( 3 4 ) j = i 取l y a p u n o v 泛函 1 8 堕堡篓矍三奎兰矍兰堡：耋堡篁兰 悱如取+ 去。p 嘶心，出 “ 系统( 3 - 4 ) ，对v ( x ，) 求导可得 吩f ) = 善q 附瓦2 工 k r 酗一剖矾一删足 姜掣吼乜m 叫 ( 3 5 ) ：n 扛j i 一4 + a s p , + 只鲋。+ a t p , + p , b 。k ，+ ? 丑j # + 只舳， + k ，r 曲j 只k + 2 x 7 p , ( b 。+ 曲。皿 ( f d 。) + 2 ，j p 兰口+ 日。) 吼乜) + 瓦2 柱陬一掣珊_ 肌 ( f + 善意1 h 石j 矿 智一2j ，7 。 略k ，( f d 。) 根据引理，有下列不等式成立 只删。+ 州? 只c t i 只只+ 口。- i r ( c ，) p 。a b f k f + k ；r z i b ，t p 。属只只+ i l l - 1 k r i - ( e f 皿 2 x j 鼻羔帆+ a j - t 。k ，( f 兰k j 只。；+ 州，埘j k p2 x y ( t 1 9 d 。b ，( f d ，) 凼 hn 3 ， ，l r 如去 。爿 0巧 上也 。一 警 。一 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 nk 只。h 。r + n ( d 。_ + 2 。j ( f j = l d u k ，o 一毛) 】 2 x r ip ，( b 。+ a b 。皿 ( f d ，) x j 只0 。b 。r + q ( g ，) k x + 2 x r ( t d ，) k f k x o d ) 善喜南如= 静in ；南 结合以上式子可得 矿( _ ) 善nw k 4 + 爿j 只+ 鼻e 足，+ k t b p i + o ，+ 屈地j d 十r ( c ，) + 去足j r 陋皿r 鸯去，+ 去叫一 使矿( x ，) 负定的充分条件是，对每一个i = 1 ，2 ，n ，都有 p j a j + a ：p j + p , b j k j + k r br p i + 咄l + 8 j 1 p j p j + l r ( c 、 口 + 去k j r ( e 弦，+ 只p m b ；十q ( g 。) k + k j g ，即g ：， + 兰只陋，；+ q ( d ，抛 0 令x = p ，r = k 。x 。，在式( 3 6 ) 左右两边同乘只，得 a i x 。+ x j j