（机械设计及理论专业论文）数字化共轭曲面求解研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 t 本课题来源于国家自然科学基金项目数字化共轭曲面展成研究( 编号： 5 0 0 7 5 0 3 1 ) 。共轭曲面广泛应用于机械设计和机械制造领域内，诸如工具衄面、轧钢 辊子曲面以及各种啮合曲面等。共轭曲面求解问题是从机械设计和机械制造中抽象出 的基本问题之一，其研究成果将会对生产实践中的共轭曲面设计和加工产生重大影 响一一一 本文通过发挥计算机在离散数据处理方面的强大功能，应用曲面插值和优化设计 等数学方法，最后实现数字化共轭曲面求解的目的，由此提高共轭曲面设计的自动化 程度，并拓宽其适用范围。作为研究成果之一，本文提出的数字化共轭曲面求解的原 理和方法，实现了“全数字化”的求解过程，使得已知曲面的坐标点测量、共轭曲面 求解和共轭曲面的数控加工成为一个衔接紧密的有机整体；而且，它更适于计算机编 程实现，可以在很大程度上减少人工计算量，同时它又具有很强的适应性，通过修改 输入参数就可以方便地实现多种形式的共轭求解。 利用数字化共轭曲面求解的原理和方法还可以对共轭曲面的一些特性进行研究， 使之成为研究共轭特性的新的途径。本文在这方面也进行了初步的探索。 在理论创新的基础上，本文用v i s u a lc + + 和m a t l a b 开发了套共轭曲面求解 软件c o n j u g a t e r l 0 ，它能够进行轧钢辊子曲面、铣刀加工面以及鼓形齿面等的自动 求解和辅助设计，实现了数字化共轭益面求解的实用化。 关键词：共轭曲面数字化m a t l a b曲面插值优化 - + r i 华中科技大学硕士学位论文 = = = = ；= = ；= ；2 = = = ；= = = = = ；= = = = = = = = = = ； a b s t r a c t t h i sr e s e a r c hs u b j e c td e r i v e sf r o mr e s e a r c ho ng e n e r a t i n gm e t h o do fd i g i t 拓e ds u 咖c e s ， w h i c hi s s p o n s o r e db yn a t i o n a l s c i e n c ef u n dc o m m i t t e e ( s e r i a ln u m b e r ：5 0 0 7 5 0 31 ) c o n j u g a t i n gs u r f a c e s a l e w i d e l yu s e di nm e c h a n i c a ld e s i g na n dm a n u f a c t u r e ，a n dm a n y t o o ls u r f a c e s ，r o l l e rs u r f a c e sa n dt o o t hs u r f a c e sa r et h ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n so ft h e m c o n j u g a t i n gs u r f a c e sd e s i g ni s o n eo ft h ee l e m e n t a r ya b s t r a c tp r o b l e m so fm e c h a n i c a l d e s i g na n d m a n u f a c t u r e t h em a i n g o a l o ft h i s s u b j e c t i s d e s i g n i n g am e t h o dt os o l v e d i g i t i z e d s u r f a c e s c o n j u g a t i n gp r o b l e m s d u r i n gt h er e s e a r c h ，i n t e r p o l a t i o na n do p t i m i z ea r eu s e dt oa c h i e v e t h e g o a la n dad e s i g nm e t h o do fd i g i t i z e dc o n j u g a t i n gs u r f a c e si sp r o p o s e d i ti s af u l l y d i g i t i z e ds o l u t i o nt h a tn o to n l ye n h a n c e st h ei n t e l l i g e n c ea n da u t o m a t i o ni nc o n j u g m i n g s u r f a c e sd e s i g nb u ta l s om a k e s d i g i t i z e dm e a s u r eo f k n o w n s u r f a c e s ，c o n j u g a t i n gs u r f a c e s d e s i g na n dd i g i t i z e dm a n u f a c t u r ea no r g a n i cw h o l e i t ss u i tf o rb e i n g r e a l i z e db yc o m p u t e r p r o g r a m m i n ga n ds o f l e x i b l et h a tu s e rc a nd e s i g nm a n yt y p e so fc o n j u g a t i n gs u r f a c e s c o n v e n i e n t l yb yp u t t i n gi nv a r i o u sp a r a m e t e r s t h i sd e s i g nm e t h o dp r o v i d e san e w w a y t os t u d yp e c u l i a r i t i e so f c o n j u g a t i n gs u r f a c e s t h i s p a p e r h a s g i v e na ne l e m e n t a r ys t u d y o ni t o nt h eb a s i so ft h e o r e t i ci n n o v a t i o n ，c o n j u g a t e r l 0 ，aa p p l i c a t i o ns o f t w a r ef o r d i g i t i z e d c o n j u g a t i n gs u r f a c e sd e s i g nh a sb e e nd e v e l o p e db yu s i n gv i s u a lc + + a n d m a t l a b t h i s a p p l i c a t i o ns o f t w a r e ，w h i c hc a np e r f o r m a i d e dd e s i g no fs u r f a c e so f r o l l e r , m i l l i n ga n dg e a r , i sa p r a c t i c a la p p l i c a t i o no fg e n e r a t i n gm e t h o d o f d i g i t i z e ds u r f a c e s k e yw o r d s ：c o n j u g a t i n gs u r f a c e s ；d i g i t i z e d ；m a t l a b ；i n t e r p o l a t i o n ；o p t i m i z e 1 1 华中科技大学硕士学位论文 一：自= = = ；= = ；= = = = = = ；= ；= = = = = = ；= ；= = = j 1 1引言 1 绪论 两个相互运动且保持相切接触的曲面互为共轭曲面。共轭曲面广泛应用于机械设 计和机械制造领域内，诸如工具曲面、轧钢辊面以及啮合曲面。共轭曲面问题是从机 械设计和机械制造中抽象出的基本几何问题之一。 圈l l两曲曲的共轭运动 如图1 1 所示，s o 为基坐标系，s 与母曲面，固结，s 2 与创成曲面，固结。在 基坐标系中，曲面。作y ，( f ) 运动( 包括移动和转动) ，又有曲面：作矿2 ( f ) 运动。若在 运动的每一瞬间，两曲面都沿一条曲线( 或点) 相切( 一般情况下，在，= t o 时沿g 。相切； 在f = ，t 时沿g 相切) ，这时我们就称曲面与，互为共轭曲面，n ( ，) 与矿：( ，) 为共轭 运动，g 称为接触线，g 在基坐标系& 形成的曲面c 称为接触轨迹曲面或啮合曲厩。 在切削加工过程中，刀具表面和工件表面就是一对共轭曲面，它们各自相对于机架的 运动，就是共轭运动；在机械传动中，两运动构件的接触表面也是共轭曲面，两者相 对于机架的运动是共轭运动；在轧钢加工中，轧辊表面和轧件表面也是共轭曲面，它 们在空间中的运动是共轭运动。 在共轭曲面问题中，基本的参量共有5 个：。、：、矿一( f ) 、v z ( t ) 、，已知其 中的三个参量，就可以求出另外两个。根据不同的已知条件和求解要求，可以组合为 5 类问题： 华中科技大学硕士学位论文 = = ；= = = j = = # = = = = = = = = = j j = ；= # = = = = ( 1 )已知。和矿一( ，) 、v 2 ( t ) ，求2 和y , c 。这类问题是机械设计和机械加工中最 常见的问题，如已知工件表面和机床的运动形式求成型刀具表面，已知轧件表面和轧 机的运动求解轧辊表面，已知一个齿面和两齿轮的运动，求与已知齿面啮合的另一齿 面等。 ( 2 )已知和矿- ( ，) 、v 2 ( t ) ，求和z2 。主要用于泵齿设计。 ( 3 )已知芑，、：和y t ( r ) ( 或v 2 ( t ) ) ，求和v 2 ( t ) ( 或矿- ( ，) ) 。在机械传动的接 触状况和传动精度分析，以及在测量精密复杂曲面( 即采用运动学测量法) 中大量遇 到此类问题。 ( 4 )已知l 、c 和矿- ( f ) ，求：和v 2 ( t ) 。在控制切削加工所得曲面表面光洁度 时，遇到此类问题。 ( 5 )已知，、：和，求n ( ，) 和耽p ) 。这类问题主要应用于数控加工中的程 序编制。 本文主要讨论第( 1 ) 类问题，即共轭曲面，的求解，它是生产实践中最常用和最 基本的问题。 1 2 共轭曲面求解的研究概况 根据研究角度的不同，共轭曲面求解方法有许多种，常用的有运动学法和包络法， 可以证明，它们的共轭条件是等价的。 具体的求解方法有以下几种： ( 1 )完全解析法“”利用解析表达的已知曲厦和运动参数，经过一系列公 式推导和大量的数学运算，计算出同样是由解析式表达的共轭曲面。这是共轭曲面求 解的传统方法，它要求计算者掌握共轭曲面原理和微分几何知识，计算量非常大，而 且如果已知曲面或运动参数发生变化，整个求解过程就要重新计算。 ( 2 )离散解析法。”“在解析法的基础上引入优化设计方法，把共轭曲面的 求解建立成为适于计算机运算的优化数学模型，通过求解这一数学模型，最后得到离 散表达的共轭曲面。但它的已知曲面也必须是解析表达的曲面。 ( 3 )分解重构法“” 由已知的解析曲面得出若干个曲面上点的位置向量和法 向量，通过矩阵变换和序列求极限，得出已知曲面上点所对应的共轭点，足够多的共 - 2 - 华中科技大学硕士学位论文 轭点就组成了所要求的共轭曲面。 f 4 )标杆线汇法m 设想在未知曲面的回转轴线上发射出若干射线，按照两 醢面的运动关系，在运动过程中，这些射线会被已知啦面连续截取，经过完整的运动， 射线被截取所剩余的最短线段的端点就是已知曲面的共轭点，取足够多的射线就组成 了所要求的共轭曲面。 以上这些方法各有特点，但共同的不足之处是已知曲面郡必须是解析表达的曲 面，当已知曲面是数字表达的曲面时，以上方法就无法适用。 1 3 数字化共轭曲面求解的意义 传统的共轭曲面求解方法是基于解析表达式描述的已知曲面的，通过人工的公式 推导，得到共轭曲面的解析方程或数据。当已知曲面由一系列离散数据点来描述时， 这种方法就无法适用，也就是说它的适用范围有很大局限性。另一方面，因为共轭曲 面求解涉及繁琐的公式推导和大量的数学计算，对一般的工程技术人员来说，掌握这 一套理论和计算方法有一定难度，而且人工计算很容易出错，所以共轭求解的计算机 化是有必要的。而在利用计算机求解实现方面，由于解析方程式及其推导计算的多样 化，传统的共轭求解方法也很难建立通用性较强的计算机算法。 本文旨在突破这局限，一方面使共轭曲面求解在已知曲面是数字化曲面的情况 下依然能够应用，即拓宽共轭啦面的适用范整；另一方面，增加共轭曲面求解的自动 化程度，使得从得到已知曲面数据和运动参数到求解出其共轭曲面这一过程都可以由 计算机自动完成，用户只用改变输入参数就可以方便地得到各种共轭曲面。 同时，这种“全数字化”的求解过程，使得已知曲面的坐标点测量、共轭曲面求 解和共轭曲面的数控加工成为一个衔接紧密的有机整体，这对共轭曲面的后续加工非 常有利。 1 4 本文的主要工作 本文数字化共轭啦面求解研究的研究目的，是基于数字描述的已知曲面，将 - 3 华中科技大学硕士学位论文 共轭求解中复杂的推导和计算过程尽可能地交由计算机完成，增强计算机对于各种已 知曲面和各种曲面共轭运动的适应能力，以减轻工程人员的负担和增强计算的准确 性，为进一步的共轭曲面数字化制造技术提供技术基础。 本文的主要工作有： ( 1 ) 在传统解析共轭曲面求解原理的基础上提出适用范围更广、自动化程度 更高的数字化共轭曲面求解的原理和方法； ( 2 ) 利用数字化共轭曲面求解的原理和方法对共轭曲面的一些特性进行研 究，不但使数字化共轭曲面求解的原理和方法成为求解共轭曲面的一种工具，而且使 之成为研究共轭曲面特性的新的途径： ( 3 ) 编制一套有良好性能和友好界面的共轭曲面求解软件，使数字化共轭啦 面求解的原理和方法实用化。 一一 4 2 共轭曲面求解基础 本章介绍共轭曲面求解的基础知识。包括曲线论、曲面论等共轭曲面求解中要用 到的微分几何基础以及曲面的共轭条件。 2 1 曲线论 对曲线和曲面基本性质的研究是数字化共轭曲面的求解的基础。 设空间笛卡儿直角坐标系为 d ；工只z ，而且 f x = 工( ，) y = y ( f ) ， i z = z ( ，) a f 。，e - ) f 以d t d t 啪是单调递 l1 增函数，从而s = s ( f ) 的反函数f = f g ) 必存在，将它代入益线参数方程，我们便得到同 曲线以其弧长j 为参数的方程 5 一 华中科技大学硕士学位论文 ，= ，g ) 。 ( 2 - 3 ) 通常称弧长参数s 为曲线的自然参数，它既不依赖于参数t 的选取，又同坐标系的 选取无关。7 1 8 9 1 2 1 1主法向量、从法向量与f r e n e t 标架 设曲线c 的参数方程是，= ，b ) 。c 在任何一点的单位切向量rr 0 ) 记为r ( s ) 。当 ，”o ) 0 时，向量，g ) 上的单位向量j g ) = ，”g ) 称为曲线在，g ) 处的主法向量，过，g ) 以g ) 为方向的直线叫主法线。称b = r g ) g ) 为r g ) 处的单位从法向量。过点 ，( j ) 而以b ( s ) 为方向的直线称为从法线。 这样，过曲线c 的任何一点，( j ) 我们就有三个两两正交的单位向量 r g ) ，g ) ，居g ) 。我们称 ，g ) ；r g ) ，g ) ，b g ) 为曲线在s 处的f r e n e t 标架。通过点，b ) 且由这点的切向量与主法向量张成的平面，称为曲线在这点的密切平面。通过点，b ) 且 由切向量与从法向量张成的平面，称为从切平面；通过点，( j ) 且由主法向量与从法向 量张成的平面称为法平面。 当参数值s 在正则曲线上变动时， ，g l r g ) j v g ) b g ) 。在研究曲线在一点邻近 便利的工具。 我们便得到一活动f r e n e t 标架 的几何性质时，f r e n e t 标架是一个十分 2 1 2 曲率与挠率 设，= r g ) 是曲线c 的参数方程。称g ) = l ，7 g 】为曲线c 在s 点的曲率。当t g ) o 时，其倒数p b ) = 击称为曲线在s 点的曲率半径。 i jj 设r ”0 ，则由b g ) = 一r g ) g ) 所确定的函数z g ) 称为曲线在s 处的挠率。 曲率和挠率有明确的几何意义，曲率七( s ) 度量了曲线在其两邻近点的切向量的夹 角对弧长的变化率，即它表达曲线的弯曲程度；挠率的绝对值度量了曲线在其两邻近 点的从法向量的夹角对弧长的变化率，它表达了曲线的“扭转”程度。 由主法向量、从法向量、曲率和挠率等的定义，可以得到被称为曲线论基本公式 的f r e n e t 公式 - 6 - 华中科技大学硕士学位论文 ：= = ；= = = = = ；= = = 自= = ；自= = ；= ；2 ；= = = ；_ fr =七 j n ，- 一k t+ t b 。 ( 2 - 4 ) 【口，_ 一t n 2 2 曲面论 设d 是平面r 2 中的一个区域，它的坐标为g ，v ) ，而空间r 3 中的坐标是( x ，y ，z ) 。 如果从d 到r 3 的可微映射，表示为 r ( u ，v ) ；0 0 ，v ) ，y 0 ，v ) ，：0 ，v ) ) ， ( 2 5 ) 其中z 0 ，v ) y 0 ，v ) ，z 0 ，v ) 都是甜，v 的可微函数。那么r ( u ，v ) 的轨迹就构成了r 3 中的一个 曲面。式( 2 5 ) 称为曲面的参数方程，“，v 称为曲面的坐标或参数a 如果映射厂的j a c o b i 矩阵 瓠劬8 z 0 u 锄动 0 x 玉0 x 西0 v 加 的秩在曲面上的某一点r 为2 ，那么最就称为的一个正则点，否则就称为奇点。 仅由正则点所构成的曲面称为正则曲面。1 2 2 1 曲面上的参数曲线网 已知曲面：，= ，0 ，v ) ，设r 是曲面上的一点，它的坐标是g ，v ) 。如果在曲面的 参数方程中令v = v 0 ，而只让“变动，就得到了曲面上的一条过r 点的曲线 r = r ( “，v 0 ) ，( 2 - 6 ) 称它为过晶点的“坐标曲线，简称“曲线。同样，在曲面的参数方程中令“= , t 。，而 只让v 变动，就得到过只点的v 曲线 ，= ，协o ，v ) 。( 2 7 ) 因此，过曲面z 上每点有一条甜曲线和一条v 曲线，它们构成曲面上一个参数曲线网。 这两条曲线在最点的切向量分别是 ：= 及，v l ：，这两个向量线性独立的充要条件就 7 华中科技大学硕士学位论文 ：。i = = ；= = ；= ；= ；# = 4 目= ；= ；= ；# 是映射的j a c o b i 矩阵在r 点的秩为2 。因此蜀点是正则点的条件也可表示为 ，：i 曙，瞄u = m o o 。 ( 2 - 8 ) 2 2 2 切平面、法向量 设p 0 是曲面上的一点，过蜀作在上的曲线c ，它在晶点的切向量是曲面在p 0 点的一个切向量。过晶点的所有切向量组成切平面s 。在空间坐标系下曲线c 的方 程是 ，= ，0 ( ，) ，v ( ，) ) 。 ( 2 9 ) 可以证明，切平面恰为由l = 和i = 张成的平面。切平面的法向量，称为曲 面在只的法向量，所以单位法向量可定义为 一：# 譬。 ( 2 1 0 ) 2 2 3 曲面的法曲率和挠曲率 2 2 3 1曲蔼上的活动标架( 坐标系) 曲面的 去或蛙 k = 切面的法盏拄 一 凼 f 翻2 1曲面的一种活动标架图2 - 2 法曲率的几何意义 设有曲面( 如图2 1 ) ，在其上一点m 的单位法向量为一，曲面上过m 点的某 曲线厂在m 点的单位切向量为d 。我们令刀= 口 ，口= 愀疗，订= 口v ，则口，b 一 构成一个右旋标架，称为曲面的一个活动标架。该标架因曲面上点的位置不同或点相 8 华中科技大学硕士学位论文 = ：= = = = = = # = = ；= = = ；= = ；= = = = # ；= # ；= ；一 同而切方向不同而不同。由a , v 决定的平面称为曲面在点m 的切面，由a , n 决定的平 面称为曲面在点m 沿a 方向的法平面，由以，v 决定的平面是曲面在点m 另一法平面， 称为副法面。 2 2 3 2 曲面的法曲率与挠曲率 设在曲面的点m 有单位法向量n ，顺口方向沿曲线厂运动到点m 。，变为单位法 向量n ，如图2 1 所示。设m 与m 距离为曲，对于d n = 吃一刀，因为露为单位变量， 所以有d ，l 上一。将d 一投影到a , v 决定的平面上，然后将d n 的投影分解到a , v 方向， 则有 掣= 一七。口+ o v 。 ( 2 t t ) j 一= 一丘帕口+ r 舻v 。 【z 我们把式中的k 称为曲面在m 点沿口方向的法曲率，f g 口叫做曲面在m 点沿口 方向的挠曲率( 也称短程挠率) 。 因为法曲率k 。是单位法向量增量d 一在吐方向上的投影，所以法曲率k 。表示曲 面在吐与h 所决定的法平面内的弯蓝程度。由公式( 2 一1 1 ) 可知七。= 一托疽= n 扛。对 比曲线在点m 的盛率公式七= i t ”0 】可知，当该髓线的切线取口方向时，k = c o s 移k ， 其中曰是曲线的主法向量声与曲面的单位法向量厅的夹角。对于法平面( 由吗麻所决定) 所截得的法截线厂o ，在假定一指向曲面凹侧的条件下，曰= o ，k 。= k o 。 所以，曲 面在法平面内的弯曲程度，可用它的法截线的弯曲程度来度量。假定用法平面将曲面 连同它的切面庀。一起截切，就得到了图2 - 2 。设曲面法截线在d s = l 的地方到切平 面的距离为a h 。因为法截线的曲率半径p 。= ，则有 尤o 皓矗 2 ： 书2 耐= 寿叱 陆四 略去二阶无穷小量( 2 ) ，得k o = 2 a h ，即一。k 。= 2 a h ，可见以。越大矗越大，曲 面在相同的出的地方距离切平面愈远，也就是曲面在点m 沿口方向愈弯曲。 进一步还可看出当n 指向曲面的凹侧时，0 = o ，k 。= k 。为正值( 因为k o 总是为 正) ，说明在这时法截线弯向曲面法向量，l 的指向一侧。反之，当押指向曲面的凸侧时， 0 = 石，k 。= - k o 取负值，说明法截线弯向曲面法向量n 指向的相反一侧。可见法曲率 全面描述了曲面上法截线的弯曲程度和方向。 一9 - 华中科技大学硕士学位论文 挠曲率t 。正比于v 的变化量d v 在n 负方向的投影长度，它表示切平面丌，。沿 曲线厂向a 方向移动时右旋角度的变化率。f 。愈大，切平面沿口移动相同的距离由 时，右旋转角愈大。这说明曲面沿口方向愈翘曲。 可以证明，在曲面上过点m ，沿曲面的任一切方向口一定有条曲线，。，在 a = a 吩，= p 强的情况下，该衄线的曲率和挠率分别等于曲面在该方向的法曲率和 挠曲率。这时，我们称曲线f 。为曲面在该切方向a 的短程线，它是曲面上相邻两点 问的最短连线。 2 2 ，4 两曲面的相对曲率和诱导曲率 2 2 4 1 相对曲率 若曲面z i 与2 在p 点相切，过p 点在公切面上给定一方向窿，两曲面沿口方向 的法曲率分别为砖和”，则称它们的差为两曲面在p 点沿口方向的相对法曲率， 记为 世) = 七? 一七? 。( 2 1 3 ) 相对法曲率的大小，反映了两个曲面在切点附近相对的弯曲程度。般来说，在 切点沿着不同的方向，相对法曲率大小也是不一样的。在应用上，相对法曲率取得最 大值与最小值及其相应的方向，是重点内容。 在切点的公切面上，使相对法曲率取得最大值和最小值的方向，称为曲面，的 相对主方向，相应的相对法曲率，称为相对主曲率。或者称为第一相对主方向与第二 相对主方向，相应的相对法曲率称为第一相对主曲率与第二相对主曲率，分别记为 七等，, r 。( 1 2 2 ) 。 2 2 4 2 诱导曲率 若曲面与：沿着一条空间曲线c ，相切，则称c f 为两曲面的接触线，并称有接 触线存在的两个曲面为共轭曲面。两曲面在c ，上任点的相对法曲率相对主曲率和 相对主方向，分别称为诱导法曲率，诱导主曲率和诱导主方向。诱导主方向、诱导主 曲率与相对主方向、相对主曲率所用符号相同。 接触线上任一点p 的切线方向口是一个诱导主方向，相应的诱导主曲率等于零。 与接触线c ，切线方向相垂直的方向就是另一个主方向，相应的诱导主曲率达到最 大值( 绝对值) ，称此诱导主曲率为曲面，与：的综合曲率。综合曲率是衡量两个曲 1 0 华中科技大学硕士学位论文 面在接触线上任一点附近相对的弯曲程度和综合指标，它对研究曲面性质及应用都起 着重要作用。 2 3 曲面共轭条件 共轭曲面理论的一个重要内容是共轭条件( 又称包络条件、特征方程) 的建立和 变换。下面分别介绍运动学法和包络法的曲面共轭条件，这两种共轭条件的基本原理 是一致的，只是各自分析问题的出发点不同。 2 3 1 运动学法共轭条件 线接触啮合传动的共轭曲面必须符合下列条件： ( 1 ) 。，均为正则曲面； ( 2 ) 在每一时刻，。，：沿一条接触线c ，相切，且c f 无奇点； ( 3 ) c ， 是正则的曲面族： ( 4 ) 。，：可以由曲线族 c f 产生。 从上面给出的共轭曲面的定义可知，共轭曲面，在相对运动中始终保持接触， 因此，它们的对应共轭点在接触位置必须重合( 这是重合条件) ；在接触点处，两曲面 必须相切，并且为避免相互干涉，的实体部分还必须相互错开( 这是相切条件) ； 两齿面既然在共轭点相切，则它们在共轭点必然有公共的切线和法线，而它们要能连 续地相切传动，既不产生干涉，又不相互脱开，则它们在这些切点的相对运动速度p ， 一定要在公切线方向，或者说，y ，要与公法线垂直，用向量式表示，这个条件就 是 n y 1 2 = 0 。 ( 2 1 4 ) 式( 2 1 4 ) a 0 为曲面共轭条件。它是共轭曲面求解的理论基础。“儿3 “” 2 3 2 包络法共轭条件 2 3 2 1 曲面族的表示 若空间曲面以参数r 运动( 或变化) ，就会形成一族曲面。对于某个f ，会有确定 华中科技大学硕士学位论文 的曲面与之对应，则称这族曲面为单参数曲面族，记为溉 ，s 为某个，相应的族中曲 面。6 1 曲面族可以表示成向量方程 ，= ，0 ，h f ) = 扛0 ，v ，f ) ，j ，0 ，v ，f ) ，z 0 ，v ，) 。 ( 2 1 5 ) 其中，0 ，v ) u 是曲面族的形状参数，t e d 是曲面族的运动参数，u 和d 都是实数集 合。 若空间曲面以参数 ，r ：，运动( 或变化) ，在空间形成一族曲面。对于指定的 一组参数值( f 。，f ：，f 。) ，会有确定的一个族中曲面与之对应，则称这族曲面为聍参数 曲面族。 聍参数曲面族的向量方程为 ，= r ( u , v , t 1 ，t 2 ，) 。 ( 2 - 1 6 ) 2 3 2 2 单参数曲面族的包络 定义：对于给定的单参数曲面族溉) ，如果空间存在一张曲面，对于任意的点 b ，有族中曲面s 在该点与相切：对于任意的，d ，必有点只墨，使得在 该点与s 相切。则称是单参数曲面族溉 的包络，n n n n , 专。 如果单参数曲面族溉 是用参数式( 2 1 5 ) 表示的。若& 的包络存在。那么，在切 点p ，0 ，v ) 处，必有确定的族中曲面s 与在该点相切，参数，由点p ，的曲线坐标0 ，v ) 唯一确定，即t = ，( “，v ) ，此时，包络的向量方程为 ，+ = ，0 ，v ，0 ，v ) ) 。 ( 2 1 7 ) 由此得到包络在点只0 ，v ) 的u 线及v 线的切向量为 fa ，西 i _ = 吒+ c _ 雾抛a ( 2 - o t 1 8 ) ia ， 。 。 【- n - 2 ，v + 面 而族中曲面s ，在切点n 0 ，v ) 的两个切向量为与，由于s ，与在a 点相切，因此， _ c 3 r ，! ；，v 这四个向量必共面，有 敞端， p 柳 1 2 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = ；= = # = = ；自= = = = ；= = = = = 将( 2 - 1 8 ) 式代入上式，得到亿而) d o ：t = 。，瓴，) 考= 。式中t 言，言不能同时为 零，这是因为如果妻：o 与i o t ：o ，会得到f = 屯( 常数) ，那么砖) 将不是曲面族，而 翻卵 只是某个曲面，与题设中的曲面族及其包络存在相矛盾。 妒0 ，n r ) = 也，) = o 。 因此，得到纯量函数 这就是由曲面包络原理推导出的单参数曲面族的包络条件( 也即共轭条件) ， 络存在的必要条件。 ( 2 2 0 ) 它是包 满足上式的点的坐标0 ，n ，) 既在包络上，也在族中曲面s 上，因此，包络的 向量方程为 西：嚣裟。 亿：， 由隐函数存在定理，对于函数西0 ，v ，) ，如果哆0 ，v ，r ) 0 ，则由( 2 2 1 ) 第二式可解 得，= t ( u ，代x ( 2 2 1 ) 中的第一式，可得到的向量方程为 ，= ，0 ，v ，0 ，v ) ) ， ( 2 - 2 2 ) 那么，在切点只0 ，v ) 的“线与v 线的两个切向量( 2 - 1 8 ) 必定存在。由恒等式 咖0 ，v ，t ( u ，v ) ) s 0 ， ( 2 2 3 ) 分别对“和v 求偏导，有 嘉= 詈；熹= 詈， p 2 4 ， 抛垂。a v西 如果哆o ，则亳，熹有确定的值。则由( 2 - 1 8 ) 式，曲面的两个切向量等，g a 7 - 可由删 u u 吒，线性表示，则要，娑与屯，共面，即曲面与族中曲面s 在只0 ，v ) 点相切， 是溉) 的包络。 由以上可知，单参数曲面族，= ，0 ，v ，f ) 的包络存在的充分条件为西= ( ，u ，) = 0 ， 哆0 ，v ，) 0 。 一1 3 2 4 共轭曲面求解的解析法 如图2 - 3 建立坐标系，s 为基坐标系，母曲面。与坐标系s 固结，共轭曲面：与 坐标系最固结。在s 坐标系中，母曲面，向量方程为 = 矿( 坞v ) ， ( 2 _ 2 5 ) 其中“，v 为曲面形状参数：上标表示所属坐标系，下标表示向量端点所在曲面， 以下同。 图2 - 3 共轭曲面的坐标系与向量 在s 坐标系中，母曲面向量方程为 舻= f “h f ) = 2 ( f ) + a i ( ，) ，l ( “( m 力 式中 矗2 ( f ) 坐标系s t 原点在坐标系足中的位置向量： 4 。( r ) 由坐标系墨到是的变换中的旋转变换矩阵； “，曲面族形状参数： t 曲面族运动参数。 由包络法得到的共轭条件为 h 譬，9 ，1 2 ) ) ；0 ， 式中譬，宁，孵1 分别表示函数向量。对参数屿q 的偏导数a 根据运动学法，共轭条件也可写成 r 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 1 4 华中科技大学硕士学位论文 = = = = ；= = = = = = = = = ；= ； ；# = = 自；= ； n v ，：0 ， ( 2 - 2 8 ) 式中 n 两曲面上任一接触点的公共法向量， v 1 2 两曲面上任一对接触点在接触时刻的相对运动速度。 上面( 2 2 7 ) 、( 2 - 2 8 ) j 琦式是完全等价的。 将共轭条件式与已知曲面。在坐标系是形成的曲面族方程联立，就得到所求共轭 曲面的解析方程： 藩，端龄 p z ， 1 ，毋， 字) = o 。 卜” 1 5 3 数字化共轭曲面求解原理 当已知曲面是用解析式表示的连续曲面时，传统的解析方法和参考文1 r 2 4 ， 2 5 ， 2 6 1 ， 2 7 】可以求出其共轭曲面；但当已知曲面为离散化的数字曲面t 即曲面由一系列 离散的测量坐标值表示时，上述方法都不能直接使用。 这就使得我们以另一种角度考虑共轭曲面求解的问题，并尽可能的借助计算机和 一些专业的计算软件来提高计算的适用性和精确度，以实现数字化曲面共轭求解的目 的。 数字化曲面上的点是离散的，我们可以根据运动参数分别考察曲面上每一个点的 运动特性，求出每一个点在运动过程中对应的共轭点的位置( 如果有的话) ，那么当 所有的共轭点都求出来后，也就自然而然地求解出了已知数字化曲面对应的共轭曲 面，这就是数字化共轭曲面求解的整体思路。 但在共轭曲面求解过程中，孤立的点及其运动并不能提供求解所需的全部条件， 例如曲面在该点的法向量。在考察曲面上单个点的运动特性之前，有必要对数字曲 面进行曲面插值，以期间接得到一个连续的曲面，从而获取已知曲面的某些整体特性。 针对法向量的求解，本章提出了曲面插值的降维插值法，它能在满足共轭求解功能 要求( 即提供已知曲面在一点的法向量) 的同时，大大减少插值的计算量。 除了法向量外，共轭曲面求解中的另一个关键量是益面上一点的运动轨迹的切 向量，本章将根据三维数组与曲面族的对应关系，提出切向量n ：的求解方法。 最后介绍数字化共轭曲面求解的数学模型和求解步骤，以及用数字化方法求解啮 合界限的方法。 3 1 关键量的求解方法 3 1 1用降维插值法求法向量 曲面插值面临的主要问题是计算量大，下面提出基于已知数字曲面求其共轭曲面 的降维插值方法，用曲线插值替代曲面插值。 1 6 华中科技大学硕士学位论文 降维插值法就是从己知的数字化离散曲面出发，将数字曲面分别沿不同的方向 “。v 构造一个整体上具有二阶连续导数的三次样条插值曲线。两条交叉的插值曲线在 交叉点的切向量的向量积，就是数字化曲面在这一点的法向量，如图3 1 。根据三 次样条插值的唯一性，由曲线插值所求得的法向量与由曲面插值所求得的法向量是相 等的。然后按照曲面相对运动过程的共轭条件，建立求解极小值的数学规划模型，应 用优化算法，即可求得与已知数字化曲面芑相共轭的数字化曲面，。 这样，就将具有双几何参数曲面上一点几何性质的讨论转化为关于具有单几何参 数的两条曲线交点几何性质的研究，从而降低了计算的复杂程度。 图3 l 用雠维插值法求曲面在节点处的法向量 以“方向为例介绍三次样条插值：“2 3 根据“方向的一+ 1 个数据点0 ，) ，( f = o ，l ，盯) 构造的三次样条插值函数s ) 满足 下列条件 ( 1 ) s 0 ，) = z ，i = 0 , 1 ，”i ； ( 2 ) 在每个小区间l 。，“。】上是三次多项式； ( 3 ) s 0 ，) c 2 【口，6 】，【口，6 】为整个插值区间，即插值函数在整个区间有连续的2 阶 导数。 插值多项式可用线性方程组表示： ( 1 一九。比1 + 2 m ，+ 九，m = 6 f l u h ，q ，“+ l 】j _ l 2 ，n 1 。 ( 3 1 ) 式中，丑= 囊：老，m o = o ，l ，珂) 表示s g ) 的二阶导数在地的值，k 一1 ，即q + ，】表示 “，+ l 一“卜i 、 + 4 一jr 卜，”。，”j 十j j w j 一一 1 7 华中科技大学硕士学位论文 二阶差商。这是关于m ( f = o ，l ，行) 的线性方程组，共有刀一1 个方程，比未知参数个 数”+ 1 少2 ，一般可用附加边界条件给出所需的二个方程，这样就能唯一地确定。 根据给定的已知曲面上的节点坐标值，分别沿“= “。，v = v ，构造关于几何参数“，v 的三次样条插值函数：c u ( u ，c v 叫。，则曲面在点“，v j ) 处的法向量 ：蚓。生蚓 d u l “= v ，d vl ( 3 2 ) 这样，用降维插值法就可以求出曲面在任一节点b ，v j ) 处的法向量。再利用两曲 面的运动关系，通过坐标变换，就可以求出在运动过程中对应各个，的曲面在- ，v j ) 的 法向量。 3 1 2 相对运动速度v ： 随着运动参数，的变化，已知曲面，在未知曲面：的坐标系是中的运动轨迹形成 曲面族位， ， 。 可用坐标变换来求出。 下面以空间变换为例介绍坐标变换： 图3 - 2 空间坐标的平移 图3 - 3 空闻坐标的旋转 ( 1 )平移 设墨，是中对应的坐标轴平行，且有相同的正向，坐标系是的原点d 2 在坐标系s 中 的坐标是( 口，b ，c ) ( 如图3 2 ) 。若有一点m 在s ，最中的坐标分别为“，m ，z 。) 和 沁，儿，z ：) ，则它们的变换为 一1 8 华中科技大学硕士学位论文 瞄啡器 p 。， 如图3 - 3 ，两坐标系s i ，是原点重合，各坐标轴之间正向夹角如下表所示： 表3 - 1 空间两坐标系的各轴夹角 而y l毛 而q属y i y 2口2反y 2 z 2口3屈y 3 则空间坐标系的旋转交换可以表示为 f = x 2 c o s 嘶+ 儿c 。s 哆+ z 2 c o s t 2 3f x 2 ；x i c o s a + y ，c o 句g + z i c o s ，。 y l = x 2 c o s i + y 2 c o s p 2 + z 2 c o s 墨或 北= x i c o s t 2 2 + y , c o s f l 2 + z l c o s 9 2 。 ( 3 - 4 ) 【：l = x 2 c o s y l + y 2 c o s y 2 + z 2 c o s y 3【2 22 五c 0 8 + y l c o s p 3 + z l c o s ) 3 由式( 3 - 4 ) 可以看出，坐标旋转之后，点的坐标之间的变换关系可以归结为以下直 观的描述： 点在新坐标系中的x 坐标等于该点在旧坐标系中的_ y ，z 坐标分别与三个系数的 乘积之和，这三个系数分别是旧坐标系中x , y ，z 轴与新坐标系中x 轴的夹角的余弦； 同样，点在新坐标系中的y ( 或z ) 坐标等于该点在旧坐标系中的马y ，z 坐标分别与三 个系数的乘积之和，这三个系数分别是旧坐标系中z ，y ，z 轴与新坐标系中y ( 或z ) 轴 的夹角的余弦。 坐标变换可以用矩阵来表示，用一个四阶方阵表示平移和旋转两种变换之和，即 而 y 1 z i 1 c o s o r c o j 崩 c o s g l o c o s 口， c o s p 2 c o s 儿 o c o s 口， c o s , b s c o s 扎 0 ( 3 - 5 ) 简记作墨= a 曼，它表示直角三维等测度的两坐标系之间的变换，又叫齐次坐标 变换。 这样，通过坐标变换，得到。在s ：中对应于每一个，的位置坐标，把这些位置记 1 9 毛儿之 计川w 钏址 华中科技大学硕士学位论文 录下来就得到了在& 中运动而形成的曲面族。 若已知曲面，由一系列离散的坐标值表示，则规则化后的坐标值系列可以写成二 维数组的形式，二维数组的各维分别对应“，v ，二维数组中各元素分别对应曲面上节 点的坐标；那么曲面，在坐标系s ，中运动形成的曲面族 。 可以用三维数组表示，三 维数组的各维分别对应u p v ，并且曲面族中的各点与此三维数组的各个元素在空间结 构上是一一对应的，如图3 - 4 所示。 路 e i 盈 忍 图3 - 4 三维数组与曲面族的对应关系( 以x 方向坐标为例) 设此三维数组为肘，则取t ；t k 时，膨退化为一个二维数组，它表示曲面族拉l 中 对应t = t k 的曲面；如果考察已知曲面上一点“，v j ) ，即取“s “，v ；y ，则m 退化为一 维数组，它表示曲面上点- ，v ，) 在坐标系s 2 中对应于运动参数，的一系列位置向量， 也即点h ，v ，) 在坐标系s ：中的离散运动轨迹。 这样，取得点恤，v ，j 的离散运动轨迹后，利用三次样条曲线插值，就可以得到以， 为自变量的连续函数c f ( ，) ，它表示点的连续运动轨迹：然后求取o “) 对运动参数，的 导函数，就可以得出点( m ，v ，) 运动轨迹的切向量函数。 那么t = t 。时点协。，v ，j 运动轨迹的切向量为 h ) = 簧。 这也就是曲面艺。上一点协，_ ) 在，= 时相对于曲面：的运动速度。 ( 3 - 6 ) 2 0 华中科技大学硕士学位论文 3 2 数字化共轭曲面求解 3 2 1 数学模型 根据以上论述的曲面共轭条件和关键量的求解方法，构造如下的共轭曲面求解数 学模型 惑契花黜兰0 。 p ， 【西0 ，v ，r ) = 0 ，v ，) 一：0 ，v ，f ) = 9 式中， 一2 0 ，v ，f ) 已知曲面，在坐标系岛中形成的曲面族； n ( u ，v ，) 在