（应用数学专业论文）超平面构形的orliksolomon代数与φ3不变量的计算.pdf

学位论文数据集 中图分类号 0 15 2 5 学科分类号 0 7 0 l 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 0 7 0 6 6 0 密级无 学位授予单位代码 1 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名张曦学号 2 0 0 4 0 0 0 6 6 0 获学位专业名称 应用数学 获学位专业代码 0 7 0 1 0 4 课题来源 自然科学基金项目研究方向奇点理论及其应用 论文题目超平面构型的o r li k - s o l o m o n 代数与由，不变量的计算 关键词超平面构形，偏序集，图构形，o r li k s o l o m o n 代数，九不变量 论文答辩日期 2 0 0 7 0 6 0 2 论文类型基础研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称 工作单位学科专长 指导教师 姜广峰教授北京化工大学奇点理论 评阅人l孙华飞教授北京理工大学几何学 评阅人2许兰喜教授北京化工大学偏微分方程 评阅人3 牛兴文副教授 北京化工大学代数学 评阅人4 评阅人5 答辩委员会主席孙华飞教授北京理工大学几何学 答辩委员l许兰喜教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员2牛兴文副教授北京化工大学代数学 答辩委员3 答辩委员4 答辩委员5 注：一 四 论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 中图分类号在中国图书资料分类法查询 学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 - 9 ) 学科分类与代码中 查询 论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成 北京化工大学硕士学位论文 超平面构形的o r l i k - s o l o m o n 代数与九不变量的计算 摘要 本文第一章介绍了超平面构形和与之相关定义和例子，分别用偏序 集、麦比乌斯函数、蓬加莱多项式等组合工具对超平面构成的特征做了进 一步的说明。在第二章中，首先对o s 代数做了介绍，描述了0 5 代数的 构造方法，进而说明它的组合与拓扑含义，最后给出了一个计算0 5 代数 的算法，且给出了算法的程序设计。对于构形4 的o r l i k - s o l o m o n 代数， 计算了顶点数小于8 的带号完全图构形的o r l i k - s o l o m o n 代数，进行了初 步分类，找出n - - 5 时6 、7 条边各一对代数等价但格不等价的特例。在第 三章中，介绍了有关超平面构形的死不变量的计算的相关内容，说明计 算九不变量的意义，给出了关于超平面构形不变量九的一个算法。作为 一个应用，对于图构形么不变量，证明了在所+ 1 个顶点的轮式图中有 么= 2 m 。 关键词：超平面构形，偏序集，图构形，o r l i k - s o l o m o n 代数，九不变量 a b s t r a c t i n c h a p t e ro n e , w ei n t r o d u c eh y p c r p l a n ea r r a n g e m e n t s i n c l u d i n g d e f i n i t i o n s ，e x a m p l e s ，a n dr e l a t e dm a t e r i a l s ，e g ，t h ep a r t i a lo r d e r e ds e to f t h ei n t e r s e c t i o n s ，i t sm 6 b i u sf u n c t i o na n dp o i n c a r 6p o l y n o m i a l ，w h i c ha r c c o m b i n a t o r i a li n v a r i a n t so ft h ea r r a n g e m e n t i nc h a p t e rt w ow ei n t r o d u c et h e o r l i k - s o l o m o na l g e b r a , d i s c u s st h ec o m b i n a t o r i a la n dt o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o fo r l i k s o l o m o na l g e b r a i nt h ee n do f c h a p t e rt w ow eg i v ea na l g o r i t h mf o r c o m p u t i n go r l i k - s o l o m o na l g e b r a , a n dt h es p e c i f i cm a t l a bp r o g r a m t h i s p r o g r a mw a su s e dt oc o m p u t et h eo r l i k - s o l o m o na l g e b r ao fa r r a n g e m e n t s a s s o c i a t e dw i t hs i g n e dc o m p l e t eg r a p h i ca r r a n g e m e n t so n nv e r t i c e sw i t hn 8 ， m e a n w h i l ew ef i n ds o m ep a r t i c u l a re x a m p l e s i nc h a p t e rt h r e ew ed e s c r i b e d a na l g o r i t h ma b o u t 九，w h i c hi sa ni n v a r i a n to f h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，a n d r e a l i z et h ep r o g r a mo nc o m p u t e r a sa na p p l i c a t i o n ，w ef o u n da n dp r o v e dt h a t 唬= 2 m o nw h e e lg r a p h i cw i t hm + 1v e r t i c e s k e yw o r d s ：h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，p o s e t ，g r a p h i cg r r a n g e m e n t ， o r l i k - s o l o m o na l g r b r a ， h o m o t o p y ，九i n v a r i a n t 目录 第一章超平面构形引论l 1 1 超平面构形1 1 1 1 引言1 1 1 2 定义和例子3 1 2 组合工具4 1 2 1 偏序关系5 1 2 2 麦比乌斯( m 6 b iu s ) 函数( 而y ) 7 1 2 3 蓬加莱多项式万( a ，t ) 7 1 2 4 图构形g ( 4 ) 9 第二章o r l i k - s o l o m o n 代数及其计算方法1 l 2 1 0 rl ik - s o lo m o n 代数11 2 1 1 引言1 1 2 1 2o s 代数的构造12 2 20 ri k - s o io m o n 代数的计算方法14 2 2 1 算法综述1 4 2 2 2 程序设计2 0 第三章超平面构形，不变量的一个算法2 2 3 1 矽3 不变量意义2 2 3 2 九的算法2 2 3 2 1 算法综述2 3 3 2 2 具体步骤2 3 3 3 定理证明及例子2 5 参考文献。 附录 。3l j 。一。3 2 1 o riik - s o i o m o n 代数的计算程序一3 2 2 、不变量诲的计算程序3 4 致谢。3 6 研究成果及发表的学术论文3 7 作者和导师简介。3 8 苎塞垡三奎堂堡主兰垡迨壅 一一 _ i _ l _ _ _ - - l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - _ - _ _ _ _ _ _ - - - _ - - - - - - - - _ _ _ 。_ _ _ _ 。_ 一一。 c o n t e n t s c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n ”1 1 1h a p y e r p l a n ea r r a n g e m e n t s 1 1 1 1i n n o d u c 廿o n 1 1 1 2d e f i n i t i o n sa n de x a m p l e s 3 1 2c o m b i n a t o r i c s 5 i 2 1t h e p o s e t - 5 1 2 2t h em o b i u sf u n c t i o n 8 1 2 3t h ep o i n c a r 6p o l y n o m i a l 9 1 2 4g r a p h i ca r r a n g e m e n t 11 c h a p t e r 2t h eo r l i k - s o l o m o n a l g e b r a s 1 2 2 1o s a l g e b r a s - 12 2 1 1i n t r o d u c t i o n 12 2 1 2t h es t r u c t u r eo fo sa l g e b r a 13 2 2t h ea l g o r i t h mf o ro sa l g e b r a - 15 2 2 1 a l g o r i t h m 15 2 2 2t h ep r o g r a md e s i g n 2 1 c h a p t e r3 a na l g o r i t h mf o ri n v a r i a n t 以2 3 3 1i n t r o d u c t i o n 2 3 3 2t h ea l g o r i t h mo f 识2 3 3 2 1a l g o r i t h mi n t r d u c t i o n 2 4 目录 3 2 2a l g o r i t h mi m p l e m e n t 2 4 3 3a p p l i c a t i o na n de x a m p l 伪2 6 1 h 舭i e r e n c e s 。 a p p e n d i x 气 ，_ 3 3 1 p r o g r a m f o ro s a l g e b r a 一3 3 2 p r o g r a mf o ri n v a r i a n t红3 5 a c k n o w l e d g e m e n t ：1 6 r e s u l t so fr e s e a r c ha n dp u b l i s h e dp a p e r 3 7 a u t h o ra n da d v i s o r si n f o r m a t i o n 。3 8 c o m m i t t e e resolution。：190m t t e er e s o l u t i o n- ：i 北京化工大学硕士学位论文 符号说明 超平面构形 超平面 矢量空间 4 定义多项式 a 的势 4 关于x 的限制 构形的补 s 导子的模 房间的集合 构形三元组 偏序集 秩函数 a 的中心 麦比乌斯函数 蓬加莱多项式 特征多项式 图构形 外代数 构形a 的o r l i k - s o l o m o n 代数 代数a 的理想 长度为3 的极小圈 破圈 非破圈基 第二个怀特尼数 线性映射 a日州删删州删删酬州g粥脚a 目录 北京化工大学硕士学位论文 1 1 超平面构形 1 1 1 引言 第一章超平面构形引论 一个有限的超平面构形4 是在某一万维向量空间v 兰k 4 中的有限个仿射超平面 的集合，其中足是一个域。我们不考虑无限的超平面构形、一般子空间的构形或其他 的构形。因此，在本文中的构形仅代表有限超平面构形通常我们假设域足为实数域 j i c ，但是我们会发现在研究一些拓扑性质时，在其他数域( 复数域) 会更加方便。为了 明确超平面的含义，我们定义一个超平面为y 的一个( 刀一1 ) 维子空间： h f f i v gv ：a u = o ， 其中口是y 中一个给定的非零向量，口d = ( q ，吒) ( q ，) = q p ， 在三维实空间中它的几何意义很明显，即所有与给定向量口垂直的向量u 的集合， 就是与向量口垂直的平面h 。一个仿射超平面，是一个超平面日的变形： j = o gv ：a d = ， 同样口是y 中一个给定的非零向量，ek 若超平面定义多项式依次设为厶( x ) = 口i ，l ( 工) 皇口_ ，其中工= “，) ，则多 项式级( 工) = ( 厶( j ) 一口i ) ( l ( x ) 一口_ ) 称为构形a 的定义多项式。 偏序集是一个集合“p ”和一个关系“s 一满足如下性质： ( 1 ) 自反性工sx ， ( 2 ) 反身性若工s y 且y 工，则工= y ， ( 3 ) 传递性若工s y 且y s z ，则工z 若在尸v ex y ，( 闭) 区间【毛j ，】如下定义：【而y 】= z p ：x zs y ) 有了偏序集的概念，我们可以构造一个关于超平面构形4 的相交偏序集( a ) 。 三( 4 ) 是4 中所有超平面的非空交的集合，包括v 本身。偏序关系为反包含关系，若 工2 y ，则x y 。称三( 4 ) 为构形4 的交偏序集。 定义了交偏序集工( 4 ) 以后，我们要进一步研究偏序集中元的性质，首先给出偏 序集p 中麦比乌斯函数的定义。：p j p j z 定义如下： 对所有的工p ，( x ，x ) = l ， 对所有在p 中的x y ，( x ，y ) + ，斑，( x ，z ) = o 同时也可以写成：对所有在p 中的x j ，幺s ，( x ，z ) = o 第一章超平面构型引论 我们把上面讨论的偏序集p 用超平面构形4 的交偏序集三( 4 ) 代替，就能得到交 偏序集( 4 ) 中元的麦比乌斯函数值。 2 个交偏序集与其麦比乌斯函数值 若偏序集p 有最小元0 ，我们记z ( x ) = ( 6 功上图为定义多项式为 级( 工) = 护o + j ，) 的构形4 中所有x 三的麦比乌斯函数值( 工) 。定义了交集格元的 麦比乌斯函数值，我们可以进一步定义蓬伽莱多项式万f 4 ，t 1 如果存在保序双射：( 4 ) 一三( 召) ，则称4 与召是三一等价的。l 一等价可以推出 万一等价，反之则不然。下面是一个反例，在射影平面上的俩个构形： 一4 构形 8 构形 它们的定义多项式分别为： q ( 4 ) = x y z ( x - z ) o + z ) ( y z ) y + z ) ， q ( 1 3 ) = x y z ( x + y + z ) ( 工+ y z ) ( x - y + z ) ( x - y - z ) 显然， 两构形不是一等价的，因为4 构形明显没有三重点。但是，两构形的蓬伽莱 多项式相同，均为： 丌( 4 ，f ) = ( 1 + f l + 3 f ) ( 1 + 3 t ) = l + 7 t + l s t 2 + 9 ，3 判断两个构形是否同构最本质的方法就是通过比较交集格，哈斯图就是用来研究构形 格的工具。但是，在高维而且超平面较多时，相交偏序集比较复杂，很难进行比较。 在上面的例子中我们又无法通过计算蓬伽莱多项式区分不同的构形，因此就需要一种 比蓬伽莱多项式更强的条件来判断构形的本质。后面我们讨论的代数和a 不变量 就是有关构形的组合和拓扑性质。 2 北京化工大学硕士学位论文 1 1 2 定义和例子 1 1 中心与仿射构形 如果超平面构形中所有超平面的交是非空的，则称此构形为中心构形否则称为 非中心构形。 尽管许多结论可以拓展到非中心构形上，但是一些重要的构造仅仅对中心构形成 立。我们可以将中心构形简称为构形，仅在构形非中心时，或在一些关于仿射的场合 时，我们才把仿射两字加上 首先考虑一些实构形即k = 尺如果n = l ，则仅有的非空构形就是超平面 o 对 于n = 2 ，3 。y 就是我们通常所讲的二维和三维实空间比如在三维实空间中，对空 间v 中的坐标而，屯，毛，我们习惯使用x ，y ，z 表示。下面就是几个有关低维空间中的 超平面的例子，一个实2 构形是有限条直线的集合，见例l 、例2 。 例1 定义4 ：q - x y ( x + j ，) ，它包含过原点的三条直线，见图l 。 例2 定义以：q = 秒o + y 1 ) ，它包含三条仿射直线，见图2 。 图1 实2 - 构形q = x y ( x + y )图2 实2 - 构形q = x y ( x4 - y 1 ) 在三维空间中，实3 构形是一些平面的集合，它体现了一般构形的复杂程度。 例3 设足3 有一组基，考虑顶点为( 1 ，士l ，1 ) 的立方体，其9 个对称平面由下面定义： 蘑 r ( r n 卜 又i孓 图3b 3 构形投影的象 它的定义多项式为：q = x y z ( x + y ) ( x - y ) ( x + z ) ( x - z ) ( y + z ) ( y - ：) ，以上9 个平面交于 第一章超平面构型引论 直线，分别都是此立方体的对称轴，这个立方体的对称群为且型c o x e t 汜r 群，此构形 称为墨构形。 例4 设 为布尔构形，由q = 毛毛定义，构形 是f 空间中的坐标平面的集合 例5 对l i j sn ，定义凰，= 龇一) 构形 的定义多项式如下： q 暑兀“一_ ) 此构形由完全图产生，与分割格有关，它也与辫群有关，所以我们 1 9 匕f ；f 称之为辫构形。 1 2 删除与限制 设( 4 ，y ) 是一个构形，如果8 c 4 是子集，( 召，矿) 称为4 的子构形。x l ( a ) 定 义了两个a 的子构形： 1 ) = 日e i 石c ) 2 ) 4 工= ( x n h l 日4 一 ) 我们称4 工是4 关于x 的限制构形，此种删除限制的方法经常用于归纳法证明中。 1 3 构形的补 ( 么) = uh ，令m ( 么) = y 一( 4 ) ，膨( 4 ) 称为构形4 的补，是拓扑地研究复 构形的重点课题，在后面的讨论中会多次用到。 1 4 反射构形 下面我们定义一个具有良好性质的超平面的集合。设g l ( v ) 定义了v 的一般线性 群。一个元素jeg l ( v ) 是一个反射，如果它有有限阶且它的固定点集是一个超平面 皿，我们称以为s 的反射超平面。 若子群gcg ( y ) 由反射生成，则称为映射群 设g c g l ( v ) 为一有限反射群，集合4 = 4 ( g ) 是g 的反射超平面的集合，称为g 的反射构形。一个基本的技巧就是删除限制法，它允许对构形的研究中对超平面的个 数做归纳。它使用了三元组f 4 ，4 ，4 。) 。 1 2 组合工具 在这部分我们先介绍一些组合学的必要工具。交偏序集l ( a ) 是构形a 的一个重 要的组合不变量，我们在本节研究它的性质。在1 2 1 中我们定义( 4 ) 一种偏序关系 即反包含关系，且当构形4 为中心构形时三( 4 ) 是一几何格。我们也定义了超可解构 形，在1 2 2 中我们定义麦比乌斯函数并且研究它的性质。1 2 3 中我们定义蓬加莱多 项式，它与另一个组合函数称为特征多项式有关。最后我们介绍了图构形的定义和例 子。 4 北京化工大学硕士学位论文 1 2 1 偏序关系 2 1 偏序关系 设4 为一个构形，厶暑( 4 ) 为所有a 中元素非空交的集合，定义上一个偏序 关系如1 1 1 ，此为一反包含关系，因此最小的是y 2 2 秩函数 定义一个秩函数如下，( 柳f f ic o d i m ( x ) 这样厂( n 墨0 ，( ) 暑l 称日e4 为的一 个原子。定义联为石v 】，= xnr 和集厶x r = n zlz l , x uycz ) 2 3 设a 为一中心构形，且记工= 三( a ) 则： ( 1 ) 对每一个xel ，所有最大线性顺序子集v = x o x i 正 i i 肛d肝】k j f i y 暑d l lil l l y l 图sq = x y ( x + y ) 的哈斯图 图6q = x y ( x + y + 1 ) 的哈斯图 2 4 哈斯图 设0 ( 4 ) = x el ( a ) lr ( x ) = p l ( a ) 的哈斯图是由( 么) 中的元素做为各层的 顶点，如果对x ，】，有x y ，且x 与】，之间没有其他元，就有一条连接x 和】，的线。 例：历构形，它的定义多项式为：q = x y z ( x + y ) ( x - y ) ( x + z ) ( x - z ) ( y + z ) ( y - z ) ，它的 哈斯图见图7 。 5 第一章超平面构型引论 图7 马构形的哈斯图 如果4 是一仿射构形，不是每一个( 4 ) 中元的对都有一个联，所以( 4 ) 不是 格，称为半几何格。 如果a 由多项式q ( 4 ) 定义，有时由等式出发去标明元素会更方便。例1 1 ，1 2 ， 1 3 的哈斯图对应在图5 , 6 ，7 中。 例6 布尔构形的格 设q = k 砥毛) ，i = 毡，毛。) ，l s 毛 f p n ，h i = h nn n 日驷，格l 由所 有的2 一个子空间构成。 2 5 格同构 称 ， 为格同构如果它们有同构的格( ) 兰( ) 。 例7 辫构形的格同构于分割格。 2 6 设一个准几何格三和x l ，设： 厶= z liz x ，所有包含工元构成厶； = z e l l z x ) ，所有被石包含的元构成 2 7 设么是一个构形，x 三( 4 ) 有 ( 1 ) l ( a ) j = 以 ) ， ( 2 ) 从4 ) j = 三( 4 j ) ， 6 。4 的 的当且 仅当它有一个线性无关的超平面，即r ( 彳) = 0 2 9 相关数 如果x y 或y x 成立，称x ，】r 工( a ) 为相关的相关数c - 是三，中与中m 个元相关的元素的个数。在岛构形中有c 2 ，2 = 6 和= 7 说明这样的事实：每个- - + 面中有6 条线，在每个三平面中各有7 条线。 2 1 0 构形的积 设( ，k ) ，( ，k ) 为构形，设v = 巧o 定义构形的直积( ，v ) 为： = 骂。匕l 墨e ) u k0 日：l 马 ) 在三( ) 工( ) 中存在自然偏序，对于o l ，x 2 ) ，而e 三( ) ，“，屯) s “，儿) 营玉s 乃 且毛s 儿 2 1 1 设 为构形，存在一个自然数的格同构：l ：( ) 工( ) 专( ) 映射万o l ，x 2 ) = 而x 2 提供了所要求的同构 1 2 2 麦比乌斯( m 6 b iu s ) 函数( 而y ) 设4 为一构形，麦比乌斯函数p = p ：l l 如1 1 1 中定义。注意，固定了工的 函数u ( x ，j ，) 的值是可以用递推算法求出的，它说明如果v 是另一个满足的定义的函 数，有= ，定义只需要一个偏序集，因此它对仿射构形也是有定义的 2 1 2 麦比乌斯函数值的符号 由工l 定义z ( x ) = ( 1 ，x ) ，显然有( y ) = l ，z ( h ) = - 1 ，且如果，( 曲= 2 ，则 4 x ) 爿a zi _ 1 在图7 中，例1 3 的u ( x ) 的值对于所有的x el 已经给定。通常不 能给出4 x ) 的计算公式但是我们可以计算出布尔格中所有的u ( x ) 。如果x y ，这 使p ( x ，y ) o ，有s 枷( p ( x ，】，) ) = ( 一l ，砷叫n 1 2 3 蓬加莱多项式万( 一4 ，t ) 2 1 3 蓬加莱多项式 设4 为格的一构形，它的格为l ，麦比乌斯函数为，设t 为未定元，定义蓬 7 第一章超平面构型引论 加莱多项式为； 万( 4 ，f ) = z ( x x - t ) 7 由1 1 1 知，多项式的系数非负，对仿射构形可以定义同样的多项式。 例8 如果a = 以是空构形，万( 4 ，f ) = 1 例1 的蓬加莱多项式为万( 4 ，f ) = l + 3 t + 2 t 2 = ( 1 + t x l + 2 t ) 例2 的蓬加莱多项式为万( 4 ，f ) = l + 3 t + 3 t 2 例3 的蓬加莱多项式为砜a f ) = l + 9 t + 2 3 t z + l 妒= ( 1 + t x l + + 1 5 户) 布尔格的蓬加莱多项式为烈a d = ki ，= ( 1 + 矿 这些例子容易让人产生错误的印象，那就是似乎每一个中心构形都包含像( 1 + b t ) 这样的式子其中b 为整数，如果将例3 齐次化并添加无穷远直线，则q = x y z ( x + y + z ) 定义的构形4 为万( 4 ，f ) = ( 1 + f ) ( 1 + 3 f + 3 f 2 ) 不难证明0 + f ) 整除中心构形的万( 4 ，t ) ， 但是在一般情况下，另外的因子( 1 + 加) 不存在。 2 1 4 特征多项式 定义特征多项式为：颤4 ，t ) = f 一万( 4 ，( o ) - 1 ) = o y 叫刖 注意x ( a ，f ) 是一个首项系数为l 的刀次多项式，它与我们一般格三的特征多项式 有一些不同，但当r a n k ( a ) = 刀时是一致的。 例9 设4 是一个辫构形，它的蓬加莱多项式和特征多项式分别为： 万( 么，f ) = 0 + t x l + 2 f ) ( 1 + ( 刀一1 ) f ) 颤4 ，f ) = t ( t - d ( t - 2 ) ( f o - d ) 2 1 5 删除限制定理 ( 4 ，4 ，4 。) 为构形的一个三元组，则有x ( a ，f ) = 缸4 。，) 一a 。，t ) 2 1 6 ( 4 ，4 ，4 。) 为一构形三元组，有万( 4 ，t ) = 万( 4 ，f ) + 坊( 4 。，f ) 2 1 7 ( 4 ，4 。，4 。) 是与h 有关的三元组。如果有兀a ) 叠以a ) 则称h 为分离子 2 1 8 ( 4 ，4 ，4 l 是与日对应的三元组： ( i ) 日为分离子，则( 4 ) = 一( a ) ，因此i ( 4 ) h ( 4 ) 1 ( i i ) 日不是一个分离子，则( 4 ) = z ( a ) - z ( a 。) ，且i ( 4 ) h ( 4 ) l + i ( 4 。) i ，、 弋夕 。i) 图8q ( ) = x y z ( x z ) o + z ) o - z ) f y + z ) 8 例l o 三一等价有万一等价的，反之不成立。 q ( ) = x y z ( x z x x + z ) t v z x y + z ) 正k ) = 习瞄( x + y z ) ( 工+ y + z ) ( 工一y z x x y + z ) 孬a 贬夕 图9q ( 4 ) = 习踢( x + y + z ) ( 工+ y z x x y + z x x 一) ，一z ) 可以证明：万( ，t ) = 万( ，f ) = ( 1 + ，) ( 1 + 剪) 2 ，但它们的格不同构。 2 2 0 超可解构形 设4 为一构形，( a ) = ，( r ( a ) ) = f 若存在模元极大链： 矿= 五 五 五 x t = r ，则称4 为超可解构形 例1 1q ( 4 ) = 舻( 工+ z ) ( y z ) ( y + z ) 为超可解构形，模元极大链为： y x = o x - - - - z = o o ( 模元极大链一般不唯一) 1 2 4 图构形g ( 4 ) 2 2 l 有限简单无圈定向图g = ( 一目，其中： y 是顶点集y = l ，2 ，刀) ，e 是边集e = ( f ，_ ，) i f ，_ ，e n 例1 2 完全四边形，墨= y ，e ) ；e = l ，2 ) l ，3 ) l ，4 ) 2 ，3 ) 2 ，4 ) 3 ，4 ) 1 2 2 图g 的相伴构型 g = ( y ，e ) 为有刀个顶点的图，a ( g ) = 毛- x j 霉0m ，n e ) 叫做图g 的相伴构型 ( g 的图构形) 。 彳( k 4 ) = “一而= o ，而- x 3 = 0 ，毛一= 0 ，而一x 3 = 0 ，而一毛= 0 ，而一毛= 0 ) 任意一个图构形都是某辫构形( 完全图) 的子构形。 例1 3 图g = ( y ，f 2 j ) ，e = 囝无边，x ( g ，f ) = t ” 例“g 为有一个项点的完全图x ( g ，f ) = t ( t - 1 ) ( f 一刀+ 1 ) 9 第一章超平面构型引论 1 2 3 删除- 收缩运算 ( 1 ) g 关于气的删除图：g 墨 v ，g 概) ( 2 ) g 关于的收缩图：g - = 缈- f f - ) 占- = 佤刃i 仞雩) 8 e o ， p 一= 虿p = q 或仞，g ) = 佤n 例1 5 2 口34 i 一 2 34 图构形删除收缩 图l o 图构形的删除与收缩 1 0 2 = 3 2 1o r l i k - s o l o m o n 代数 2 1 1 引言 我们在上一章中讨论了构形a 的一些组合性质，如我们在前面定义的偏序关系、 交集格、麦比乌斯函数等，但是在某些例子中我们看到只用上述组合工具来区分一些 特殊的构形并不方便。如例1 0 ，在此例中的两个构形有相同的蓬加莱多项式，但是它 们的格是不同构的，这就说明它们不是同一构形这一事实只能用比较它们的相交偏序 集来区分。虽然我们可以借助哈斯图来研究构形的格结构，但在高维和构形的超平面 个数较多时，哈斯图将非常复杂以至不利于交集格的比较和分析，如图7 。为了进一 步分析不同构形的特性，我们使用一种代数工具来研究，这种代数就是构形4 的 o r l i k s o l o m o n 代数。 在这一章中我们讨论有关构形月的一个代数性质这种代数是建立在构形的基础 上的，它是由一组和构形中的超平面一一对应的基元构造的，而且它是一种分次的代 数结构。它是在数域尺上的代数，我们还将说明x 代数o s ( 4 ) 是一个分次k 向量空 间，它的p o i n c a r 营多项式等于万( a t ) ，这就给了万( 4 ，t ) 多项式中的系数的一个解释 下面我们逐步说明o s 代数的构造方法，以及它的组合和拓扑意义，最后给出关于0 8 代数的一个算法和计算程序的实现。 对构形4 = 甄，以) 引入线性序为：凰 何，当且仅当f ，对p 元组 s = ( q ，日p ) ，若 吼 以则称s 是标准p 元组，s 的最大元记为m a x , ( q ，h 。) 是线性相关的，但对某个l s 七s p ，p - i 元组j = ( q ，吼，坼) 是无 关的，则称s 是一个圈。 如果存在hea ，有m a x , h 且( s ，日) = 喝，4 ，是一个圈，则称s 是一个 破圈b c ，显然每个破圈可以通过删除一个圈的最大元得到。 为了构造傩代数的基，定义尽向量空间c 如下：c o = k ，c o 是以 乞e i s 是 标准的p 元组且不包含任何破圈) 为基的自由尽向量空间的集合( p 1 ) ，c = o p 卸q ， 则 e 。+ ，ed s l j 是标准的p 元组且不包含任何破圈 是傩代数作为一个分次k 向量空 间的基，此基称为非破圈基，简称为n b c 基。 既然o s ( 4 ) 是一个自由分次k 向量空间，我们用破圈( b r o k e nc i r c u i t ，) 来构造一个 第二章o d 址- s o l o m o n 代数及其计算方法 尺一基组，由此确定构造的分次代数的维数分次代数傩= o s o + o s l + + 鸺对应 c = g + q + + g 由破圈和线性序的定义，标准p 元组包含最大元就可以避免破圈 的出现，这也是我们在0 5 代数的算法中的主要思路。 下文中先介绍了超平面构形o s 代数的构造，以及0 5 代数的组合和拓扑意义。给 出了求0 , 7 代数的一个算法，以及对应算法的m a t l a b 程序，并且对图构形关于0 5 代 数的分类做了初步研究。 2 1 2 傩代数的构造 定义1k 是域，外代数定义如下： e o = k ， 巨= 如。磁o o 弛一 q 岛la , 研， 易= 翰哗， 历= k e , e ja e k = e l 岛， 耳= 如“ ， e 坷= 0 国i ) ， e = e oo 五o o e 2 合互 记u v = u v ，露= o ，x c h ，k e ，气= - e x e u en q 做e , 上的外代数，e 为域足上的 分次代数。 定义2 定义k 一线性映射砧= a ：e e ： o l = 0 ， o e , = l ， a ( e t 2 。) = 圭( 一l y e t 乞。 。e n e l 3 + + ( 一1 ) p 1 q i e l 2 。局( 产1 ) 定义3 定义标准p 元组：s = ( 且，以) ，i e l s l = p e s = e e f l s = h , n n i t , 若p = o ，s 是一个空组，e s = l ，r f i s = y 定义44 是中心构形，对所有s 有f l s l 若r ( n s ) = l s l ，称p 元组s 无关。若 1 2 北京化工大学硕士学位论文 ，( n s ) 例，称p 元组s 相关p 元组s 是无关的当且仅当与其对应的超平面组的线 性形式q ，是线性无关的让代表所有p 元组的集合，s f f i u p 卸s 定义s4 是一个构形，定义，暑，( a ) 是代数e 的理想。，由集合p 心) ls 线性相关 生成，为分次理想，记譬j n 耳，有，暑o 苗t aft n , ， ) 为彤上的中心 构形，记q = e l l , ，4 一e ( 4 ) ，j = 毡，) - q ，) 如果q ，线性相关， 则称j 相关记，为集合p ( q l ，) i 风，。相关) 所生成的e 的理想o s ( a ) = e ， 叫做4 的o r l i k - s o l o m o n 代数。 定义6 - - + p y u 坌i i s f ( h , ，以) 是一个圈当且仅当它是极小相关的。既( q ，以) 是 线性相关的，且对l s 七p 此( p 1 ) 元组( q ，丘，一) 是线性无关的。 定义7 给定s = ，以) ，m a x $ 是在线性序搿 一下4 中的最大元。 定义8 一个标准p 元组s 是一个破圈当且仅当存在日e 么，使得m 觚s 日且( s ，h ) 是一个圈。 定义9 一个标准p 元组是z 无关的当且仅当它不包含任何破圈。记： c ，= 拶qi s 是标准的且z - 无关) 即为构形a 对应的代数的舫c 基( 非破圈基) 。 第二章o f l i k - s o l o m o n 代数及其计算方法 2 2 o r l i k - s o l o m o n 代数的计算方法 2 2 1 算法综述 为了在计算机中方便地表示数据，将超平面q 编码为f 外代数e 中元乞编码为 仉，p ) 。用z 表示构形的维数，靠表示超平面的个数。它们在算法中是会被自然区分 开的，不会引起混淆。 我们要求的构形4 的o s 代数，要通过c 决定。因为向量空间c 为自由分次的， c f f io 脚q ，而c o = l ，q 是以如ils f 毋为基的自由忌向量空间。p ，+ l 时， q = 0 ，所以只需要考虑2 p s z 的情况。 首先我们要得到q 中的彻c 基，从代数傩( 4 ) 找出标准p 元组，看它们是否满 足下面的两个条件： i ) 标准p 元组线性无关； i i ) 包含4 中的最大元。 满足条件的组就是模c 。中的n b c 基。遍历4 中的所有情况，把所有满足条件的向量 组记下。 接下来我们要求c 的各个次数的子空间。从c 。的n b c 基组中生成矿l 元组，由 分次代数空间的定义和我们前面的讨论，此p l 元组就是要求的q 上代数傩( 4 ) 的 n b c 基。遍历所有情况，把不重复的n b c 基记下。 从而代数o s ( a ) 的n b c 基可以分成如下步骤来求： ( 1 ) 求出代数d s ( 4 ) 在q 上的n b c 基 a ) 生成构形4 的标准z 元组 从矩阵前一1 行中选出