（运筹学与控制论专业论文）混沌动力学网络上的几类同步现象研究.pdf

摘要 本文主要研究了一些混沌动力学网络模型的几种同步现象首先，简 单介绍了混沌、复杂网络和同步的研究背景和发展现状；接着，研究了由 两个离散系统构成的简单网络的广义同步；然后，探讨了由一些耦合振子 构成的复杂网络的聚类同步研究工作概括为以下四个方面： ( 1 ) 两个离散系统的广义同步 通过构造合适的非线性耦合项，导出了驱动响应系统获得广义同步的 充分条件在一个正不变的有界集上，许多混沌映射满足这些充分条件 四个例子说明了充分条件的有效性 ( 2 ) 连通混沌网络上实现聚类同步的新方法 通过构造既有合作又有竞争、带权重、反映阿络拓扑的扩散耦合矩阵， 获得了任意选定的聚类同步不变流形存在和全局渐近稳定的充分条件当 聚类的数目大于i 时，聚类同步不变流形内部存在一些不变的子流形然 而，这些不变的子流形都是不稳定的这也就是说，在连通的扩散耦合混沌 网络上，任意选定的聚类同步图案都可以通过合适的耦合方式来实现当 网络实现聚类同步时。由扩散耦合的特点可知。所有结点的动力学仍然是 混沌的例子说明了该方法的正确性和有效性 ( 3 ) 非扩散耦合网络上的聚类同步 通过构造非扩散耦合矩阵，混沌动力学网络上任意选定的聚类同步不 变流形得以存在利用矩阵理论和l y a p u n o v 函数方法，导出了该不变流形 全局渐近稳定的充分条件，从而证明非扩散耦合网络也能实现聚类同步 然而，与扩散耦合情形不同，聚类同步不变流形上可能存在一些全局渐近 稳定的不变子流形这也就是说，在一定的条件下，两个不同聚类的结点可 能是完全同步的此时，这两个聚类合并成一个较大的聚类两个例子说 明，所获得的结果是正确的和有效的倒子也表明，当非扩散耦合网络实现 聚类同步时，一些结点可能涌现出新的动力学行为 ( 4 ) 似星形复杂网络上的聚类同步 对于似星形复杂网络，使用矩阵理论和l y a p u n o v 函数方法，获得了 聚类同步不变流形存在和全局渐近稳定的充分条件例子说明了充分条件 的有效性例子还表明，当似星形网络实现聚类同步时，随着耦合强度的变 化，一些结点的同步状态在混沌态和非混沌态之间变化，有些结点可能涌 现出新的动力学行为 关键词，复杂网络，混沌同步，广义同步，聚类同步，扩散耦合，非扩 散耦合。稳定性。 a b s t r a c t t h i st h e s i si 8d e v o t e dt ot h es t u d yo fs e v e r a l8 y n c h r o n i z a t i o np h e n o m - e l l af o r8 0 m en e t w o r km o d e l sw i t hc h a o t i cd y r m m i c s f i r s t l y , ab r i e fd e - s c r i p t i o no fh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dr e s e a r c hp r o g r e s sf o rc h a o s ，c o m p l e x n e t w o r k sa n ds y n c h r o n i z a t i o ni sg i v e n s e c o n d l y , g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a - t i o uf o ras i m p l en e t w o r kc o n s i s t i n gt w od i c r e t es y s t e m si ss t u d i e d t h e n ， c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o nf o rc o m p l e xn e t w o r k sc o n s i s t e do fs o m ec o u p l i n g o s c i l l a t o r si sd i s c u s s e d t h er e s e a r c hf o c u s e sm a i n l yo nf o u rp a r t s ： ( 1 ) g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no ft w od i s c r e t es y s t e m s b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t en o n l i n e a rc o u p l i n gt e r m s ，s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rd e t e r m i n i n gt h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt h ed r i v e a n dr e s p o n s es y s t e m sa r ed e r i v e d i na p o s i t i v ei n v a r i a n ta n db o u n d e ds e t ， m a n yc h a o t i cm a p ss a t i s f yt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h ee f f e c t i v e n e s so ft h e s u f f c i e n tc o n d i t i o n si si l l u s t r a t e db yf o u re x a m p l e s ( 2 ) an e l l lm e t h o dt or e a l i z ec l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n 仇c o n n e c t e dc h a o t i c n e t w o r k s b yc o n s t r u c t i n ga d i f f u s i v e l yc o u p l e dm a t r i x w i t hc o o p e r a t i v ea n dc o i n - p e t i t i v ew e i g h t - c o u p l i n g s ，w h i c hr e p r e s e n t st o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fan e t - w o r k ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u tt h e e x i s t e n c ea n dg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l - i t yo fa na r b i t r a r i l ys e l e c t e dc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o ni n v a r i a b l e - m a n i f o l df o r ac o n n e c t e dc h a o t i cn e t w o r ki sd e r i v e d w h e l lt h en u m b e ro ft h ec l u s t e r si 8 g r e a t e rt h a no n e ，t h e r ea r es o m ei n v a r i a b l es u b m a n i f o l d si nt h ec l u s t e rs y n - c h r o n i z a t i o ni n v a l i a b l e - m a n i f o l d h o w e v e r a l lo ft h e ma l eu n s t a b l e t h a t i st os a y , a r b i t r a r i l ys e l e c t e dc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o np a t t e r mi nac o n n e c t e d c h a o t i cn e t w o r kw i t hd i f f u s i v ec o u p i n g sc a r lb ea c h i e v e dv i aa p p r o p r i a t ec o u - p l e ds c h e m e s w h e nt h en e t w o r kr e a l i z e sc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n ，f r o mt h e c h a r a c t e r i s t i co fd i f f u s i v ec o u p l i n g s t h ed y n a m i c so fe v e r yn o d ei sc h a o t i c t h ec o r r e c t n e s sa n de f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o di si l l u s t r a t e db ya l le x a m p l e ( 3 ) c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n 如n o n d i f f u s w e 妇c o u p l i n gn e t w o r k s b yc o n s t r u c t i n gan o n d i f f u s i v e l yc o u p l e dm a t r i x ，t h ee x i s t e n c eo fa n a r b i t r a r i l ys e l e c t e dc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o ni n v a r i a b l e - m a n i f o l di nan e t w o r k w i t hc h a o t i cd y n a m i c si sg i v e n ，b yu s eo fm a t r i xt h e o r ya n dl y a p u n o v f u n c t i o na p p r o a c h ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u tt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a - b i l i t yo ft h ei n v a r i a a t m a n i f o l di sd e r i v e d a c c o r d i n g l y , i ti ss h o w e dt h a t n o n d i f f n s i v e l yc o u p l i n gn e t w o r k sc a na l s or e a l i z ec l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n h o w e v e r ，d i f f e r e n tf r o mt h ev a l s eo fd i f f u s i v e l yc o u p l i n gn e t w o r k s , s o m e i n v a r i a b l es u b m a n i f o l d si nt h ed u s t e rs y n c h r o n i z a t i o ni n v a r i a b l e - m a n i f o l d m a yb eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b l e t h a ti st os a y , u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ， t w od i f f e r e n tc l u s t e r sm ri n c o r p o r a t eab i g g e rc l u s t e ri nw h i c ha l ln o d e s a r ec o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n t h ec o r r e c t n e s sa n de f f e c t i v e n e s so ft h et h e - o r e t i cr e s u l t si si l l u s t r a t e db yt w oe x a m p l e s i na d d i t i o n ，t h ee x a m p l e s a l s os h o wt h a t ，w h e nan o n d i f f u s i v e l yc o u p l i n gn e t w o r kr e a l i z e sc l u s t e rs y n - c h r o n i z a t i o n ，s o m en o d e sc a r le m e r g et h ed y n a m i c sb e h a v i o r sd i f f e r e n tf r o m u n c o u p l e dd y n a m i c sb e h a v i o ra ti n d i v i d u a ln o d e ( 4 ) c l u s t e rs y n c h r o m z a t i o nd ，as t a r l i k ec o m p l e xn e t w o r k b yu s eo fm a t r i xt h e o r ya n dl y a p u n o vf u n c t i o na p p r o a c h ，as u f f i c i e n t c o n d i t i o na b o u tt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a lu s y m p t o t i es t a b i l i t yo fac l u s t e r s y n c h r o n i z a t i o ni n v a r i a n t - m a n i f o l di nas t a r l i k ec o m p l e xn e t w o r ki sd e r i v e d t h ee f f e c t i v e n e s so ft h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ni si l l u s t r a t e db ys o m ee x a m p l e s i na d d i t i o n ，t h ee x a m p l e sa l s os h o wt h a t ，w h e nt h es t a r l i k ec o m p l e xn e t w o r k r e a l i z e sc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n ，s y n c h r o n i z a t i o ns t a t e so fs o m en o d e sv a r y b e t w e e nc h a o t i cs t a t e sa n dn o n c h a o t i cs t a t e sa st h ec o u p l i n gs t r e n g t hv a r i e s ， a n ds o m en o d e sc a ne m e r g ef l e wd y n a m i c sb e h a v i o r s k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k s ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，g e n e r a l i z e ds y n - c h r o n i z a t i o n ，d u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n ，d i f f u s i v ec o u p l i n g ，n o n d i f f u s i v ec o u p i i n g ，s t a b i l i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名：刍忠率 本论文使用授权说明 日期：2 一。7 哆 ， 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲弓岳导师繇 咻 ) 唧j | ，哆 第一章绪论 自近代科学诞生以来，人们主要运用还原论方法对客观对象进行分析然而， 人类面临的许多实际问题复杂多变，涉及到多种因素和多方面相互作用( 例如，解释 生物机体的秩序，解决经济、社会等复杂问题) ，通常没法还原而必须从整体的角度 去把握有鉴于此，还原论和整体论之间的交叉研究便在这种背景下开始孕育、生 长，逐渐引起了科研工作者的广泛关注2 0 世纪，出现了以二者相结合为特色的复 杂性科学随着学科之间的相互交叉和不断融合，许多研究人员已经开始对复杂性 科学进行深入研究科学家们预言复杂性研究将在新世纪获得重大的突破，并将展 示美好的应用前景正如当代最富有影响的科学家之一史蒂芬霍金( s t e p h e n h a l t i n g ) 在2 0 0 0 年所指出的，“我认为，2 1 世纪将是复杂性的世界( it h i n kt h e n e x tc e n t u r yw i l lb et h ec e n t u r yo fc o m p l e x i t y l1 ” 复杂系统是复杂性科学的研究对象，不仅包括经济，人脑、免疫系统、生态系 统、细胞，生物群落，也包括人类社会的文化和社会制度，如政党和科学社团等 为了从理论上研究复杂系统，首先要建立相应的模型从现有认识来看，任何复杂 系统都含有许多基本单元以及基本单元之间的相互作用两个部分显然，由这两个 基本部分构成模型应当对复杂系统具有最广泛的意义这种模型，就是现在常常提 到的复杂网络一个典型的复杂网络( c o m p l 旺n e t w o r k ) 由一些结点( n o d e s ，也称 节点) 与连接结点之间的边( e d g e s ) 组成，其中结点用来代表真实系统中的个体，边 代表各个个体之间的相互作用自然界和人类社会中的大量复杂系统可以通过形形 色色的复杂网络加以描述高速公路网，航空线路网、电力网络、神经网络超大 规模集成电路，英特网、万维网，超文本传输协议，食物链网络、基因网络、蛋白 质网络、无线通讯网络、人体细胞代谢网络，流行病传播网络等都是复杂网络近 几年来，随着复杂性科学的兴起以及计算机运算能力的提高，人们开始关注复杂网 络的拓扑结构及其产生机理当前，我们还在继续建立和扩展各种复杂网络，如能 源供应网络、交通网、信息网金融网等这些网络与我们的日常生活密切相关， 这就需要我们深入研究和理解这些复杂网络的拓扑结构、运行机制动力学行为、 抗干扰能力等，以便更好的设计和管理这些实际的复杂网络复杂网络的研究正渗 透到从物理学到生物学的众多不同的学科深入探索和科学理解复杂网络的定性特 征与定量规律以及探讨可能的应用，已成为网络时代复杂性科学研究中一个极其重 1 2 混沌动力学网络上的几类同步现象研究 要的挑战性课题因此，复杂网络将是今后若干年许多研究领域发展的一个主流方 向 很遗憾，到目前为止，科学家们还没有严格定义什么样的网络是复杂网络由 近几年的研究看，复杂网络大致包含以下几层意思。 ( 1 ) 复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础； ( 2 ) 2 复杂网络至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂； ( 3 ) 复杂网络的动力学非常复杂 我们可以很容易地生成规则网络、随机网络，但就我们所知，目前还没有办法生成 完全符合真实统计特征的网络因此，对复杂网络的研究被认为有助于理解。复杂 系统之所以复杂。这一至关重要的问题 复杂动力学网络是复杂网络的一个分支所谓复杂动力学网络，就是指g - + 结 点是个非线性动力系统、结点之间以一定的拓扑关系相连结具有复杂动力学的 网络复杂动力学网络之所以复杂，主要表现在三个方面t ( 1 ) 未耦合时单个结点的动力学行为复杂，如混沌； ( 2 ) 耦合性质复杂，如非线性耦合； ( 3 ) 网络的拓扑结构不但复杂，而且在演化中可变 从非线性动力学的角度来看，研究复杂动力学网络的目标是理解、解释和预测 网络拓扑结构对网络系统的动力学行为的影响由于同步是复杂动力学网络上的一 种非常基本的非线性现象，因此，研究复杂动力学网络的同步行为也就成为重要课 题最近，随着复杂网络研究的深入，许多研究人员开始注意一些令人着迷的网络 同步问题，那就是t 网络的拓扑结构怎样影响网络中结点的同步行为；什么样的网 络易于同步或难于同步，从而可以在网络上刨造有利的同步( 如保密通讯、语言涌 现及谈话的同步，组织管理的协调) 或避免有害的同步( 如英特网或通讯网络中的 信息拥塞、英特网中过程的同步，周期路由信息的同步) ，等等然而，由于网络拓 扑结构以及网络中各结点动力学行为的复杂性和差异性，这些问题至今难以回答， 还有待于大量科研人员深入地研究这些复杂网络的拓扑结构、运行机制、动力学行 为、同步能力、抗干扰能力等，以便更好的设计和管理这些实际的复杂网络，如熊 源供应网络，交通网、信息网，金融网等 混沌动力学网络是复杂动力学网络的一个主流研究方向按照网络拓扑、耦合 方式和单个结点的动力学对网络动力学影响的结果，混沌动力学网络大致可以分成 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 3 下列三种情况， ( 1 ) 无耦合时所有结点具有混沌动力学行为，耦合后所有结点都不具有混沌动力学； ( 2 1 无耦合时所有结点都不具有混沌动力学行为，耦合后一些结点涌现混沌动力学； ( 3 ) 耦合前后总存在一些结点具有混沌动力学 本文第四章和第五章的例子说明上述的三种情况都可能出现 本文主要研究混沌动力学网络上的同步行为进行研究之前，先简单介绍混 沌，复杂网络和混沌同步的研究历史和现状 1 1 混沌概述 混沌( c h a o s ) 是在确定性系统中出现的貌似无规则，类似随机的现象混沌与 相对论和量子理论并称为2 0 世纪的三大发现自然界和人类社会中存在许许许多 多的混沌现象一些数学家和物理学家花费大量时间和精力，深入研究了一些混沌 现象，建立了一大批有关混沌的数学模型其中，比较经典的混沌系统有l o g t s t i c 映射( 参数a = 4 ) 、h d n o n 映射f 1 】l o z i 映射【2 1 、l a u w e f i e r 映射【3 】l o r e n z 方程【4 j c h u a 电路【5 】、c h e l a 系统【6 】、r s s s l e r 系统【7 】等等 上世纪6 0 年代，美国气象学家e n l o r e n z 在研究大气时发现，个描述大气 对流模型的非线性三阶微分方程组，当选取一定的参数时，其长期动力学行为变得 不可预测了这就是著名的蝴蝶效应e n l o r e n z 深入研究了这个三阶微分方程 组，并经过反复的数值试验，终于揭示该现象的真实意义，在耗散系统中首次发现 了混沌运动这一结果解释了长期天气预报始终不能成功的原因，确定性系统中存 在着混沌运动 2 0 世纪7 0 年代，华人数学家李天岩和他的导师美国数学物理学家y o r k ，首次 提出了混沌概念，并对混沌给出了数学定义他们于1 9 7 5 年发表了一篇著名论文t “周期3 蕴涵着混沌”这为后来的混沌研究开辟了道路，从此大批科研人员进入混 沌研究领域，掀起了研究混沌的热潮 上世纪8 0 年代，美国科学家c h u a 首次提出了c h u a 电路这个电路是迄今为 止在非线性电路中产生混沌动力学行为的最简单有效的振荡电路之一当c h u a 电 路的参数变化时，这个电路可出现非常丰富的复杂动力学现象 2 0 世纪9 0 年代，混沌与其他很多学科相互促进，相互渗透有关混沌的研究 4 混沌动力学网络上的几类同步现象研究 遍及自然科学和社会科学的几乎所有领域混沌同步混沌保密通信、混沌控制以 及超混沌的研究成了热门研究领域 然而，到目前为止，混沌还没有一个统一的数学定义下面是几个常见的不同 意义下的混沌定义 定义1 1 设映射f ：j 一，是连续的，其中j 是一维区间称映射f 在t ，上是混 沌的。若 ( 1 ) 任取k = 1 ，2 ，f 总存在周期为k 的周期点； ( 2 ) 存在不可数集i c j ，使得j 不含任何周期点，且满足 i ) 任取p ，q j ，p q ，有 l i m s u pf f ”( 力一f - ( q ) | 0 n l i m i n fl p ( p ) 一p ( 口) i = o ； t ； i i ) 任取p i 和周期点q ，有 l i m s u pl f ，l ( p ) 一p ( q ) i 0 n + o o 定义1 1 是l i - y o r k e 8 1 意义下的混沌定义著名的l i - y o r k e 定理表明；周期 3 意昧着混沌这也就是说，对于维连续映射f ，若f 存在周期为3 的点，则f 是l i - y o r k e 意义下混沌的 1 9 7 8 年，m a r o t t o 把l i - y o r k e 定理推广到m 维欧氏空间 定义1 2 设映射f ：j p 一形。连续称映射f 是混沌的，若 ( 1 ) 存在个正整数，使得对任意正整数k n ，f 有周期为k 的点； ( 2 ) 存在一个不可数的非周期点集s ，使得 i ) f ( s ) cs ； i i ) 任取x ，y 最z y ，有 i m s u pj j ，”( 动一p ( y ) | 0 ， t + i i i ) 任取x s ，f 的任意周期点y ，有 l i m s u pi i f “( x ) 一p ( 洲 0 n 一 i v ) 存在s 的个不可数子集s o ，任取z ，y s o ，有 1 驶i i f ( x ) 一f ( u ) i i = 0 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 5 定义1 2 是m a r o t t o 9 1 意义下的混沌定义 定义1 3 设x 是一个度量空间称连续映射f ：x x 在x 上是混沌的，若 ( 1 ) f 是拓扑传递的，即对任意的开集vcx ，总存在k 0 使得f ( 扩) nv 西； ( 2 ) f 的周期点在x 中稠密； ( 3 ) f 对初始条件具有敏感依赖性，即存在6 0 使得对任意的z x 和z 的任邻 域日( z ) ，总存在y b ( z ) 和n 0 满足i j “( z ) 一j ”( ) l j ，这里i j ”( 功一p ( ! ，) i 表示点p ( z ) 与f “( g ) 的距离 定义1 3 是d e v a n e y 1 0 】意义下的混沌定义对于d e v a n e y 的混沌定义，很多 人做过进一步研究j b a n k s 等证明了定义中的( 3 ) 是( 1 ) 和( 2 ) 的一个推论这 也就是说，若f 有拓扑传递性和稠密的周期轨，则f 具有对初始条件的敏感依赖 性 考虑足“上的向量场 圣= ，( z ) ，( 1 1 ) 或映射 z f ( z ) ( 1 2 ) 设圣( t ，z ) ，t 0 是向量场( 1 1 ) 生成的流，j c 舻是流壬( t ，z ) ( 或映射f ( x ) ) 下的个紧不变集称流垂( ，z ) ( 或映射f c x ) ) 对t ，上的初始条件具有敏感依赖 性，若存在e 0 使得对任意的。j 和z 的任意邻域b ( z ) ，总有y b ( z ) 和 t 0 ( 或n 0 ) 满足| | 西( t ，z ) 一垂( t ，y ) l i e ( 或i l ，”( z ) 一p ( 可) | l f ) 称流 垂( t ，z ) ( 或映射f ( x ) ) 在一个闭的不变集j 上是拓扑传递的，若对任意开集u 和 vc ，存在t r ( 或n z ) 满足圣( ，u ) r l v 妒( 或f “( 矿) n y 庐) 定义1 4 称流西( t ，) ( 或映射f ( 。) ) 在紧不变集了上是混沌的，若 ( 1 ) 流圣( t ，) ( 或映射f ( z ) ) 对j 上的初始条件具有敏感依赖性； ( 2 ) 流量( t ，) ( 或映射f ( z ) ) 在了上是拓扑传递的； ( 3 ) 流圣( t ，。) ( 或映射f ( x ) ) 的周期轨在t ，中稠密 定义1 4 是w i g g i n s 1 1 】意义下的混沌定义 验证个系统的混沌性。可以直接利用上述的一些混沌定义，也可以利用由上 述定义派生出来的方法，例如s m a l e 马蹄存在性，横截同宿轨的存在性以及s n a p 6 混沌动力学网络上的几类同步现象研究 b a c kr e p e l l e r 的存在性等当然，一般说来，任何一种验证方法都是很困难的实 际应用当中，往往用熵和l y a p u n o v 指数等来刻画混沌动力学性质 由以上一些定义可以看出，混沌运动区别于其他运动的本质特征是t 混沌系统 的长期行为敏感依赖于初始条件这一特征意睬着混沌的短期行为是确定的，而长 期行为是不可预测的 1 2 复杂网络概述 一些数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心结点之问有没有边相 连，至于结点到底在什么位置边是长还是短，权重多大等等都不是他们所在意 的在这里，我f l 把网络不依赖于结点的具体位置和边的具体形态就能表现出来 的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构网络的拓扑结构 可以用图来表示传统上，网络的研究归属于图论领域具有不同拓扑结构的网络 1 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 j 有规则网络、随机网络( 图1 1 ) 、小世界( s m a l l - w o r l d ) 网络( 图 1 2 ) 、无标度( s c a l e - f r e e ) 网络( 图1 3 ) 等规则网络有最近邻居网络( 圈1 4 ) 星形网络( 图1 5 ) 、全耦合网络( 图1 6 ) 等c a y l e y 树( 图1 7 ) 显然不是随 机网络，但是也没有规定说它属于规则网络( 图1 1 1 7 来自文献【1 3 ，1 6 ，1 7 】) 大 量的研究表明。现实世界中大多数网络的拓扑结构并不是规则的为此，许多科研 人员投入大量的精力构建真实网络的拓扑结构模型 1 8 1 一【2 9 】 图1 i 随机网络图1 2 小世界网络 1 9 6 0 年，p e r d s s 和a ，p 渔n y i 提出了e r 随机图模型；考虑个结点，每 对结点之间以概率p 相连结e r 随机图的主要特点是t 度分布为正态分布且峰值 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 7 黎o 图1 3 无标度网络图1 4 最近邻居网络 桊国、 图1 5 星形网络图1 6 全耦合网络图1 7c a y l e y 树 取平均值，每个结点有大致相同数目的度到目翦为止。e f t 模型在很多领域中仍 然被广泛应用。而且充当了一些其它模型和经验研究的基点 由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既 不是规则网络，也不是随机网络，而是统计特征与前两者皆不同的网络 1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 受到聚类( c l u s t e r ) 概念的启发，提出了单参数 的小世界网络模型，称为w s 模型这个网络模型介于规则网络和随机图之间，并 在它们之间架起了桥梁原始的w s 模型描述如下t ( 1 ) 初始化；考虑具有个结点的最近邻居耦合的环状网络( 如图1 4 ) ，其中每个结 点i 连结到它的k 个邻近的结点i 1 ， 士2 ，i 士k 2 ，这里k 是个偶数； ( 2 ) 随机化t 以概率p 随机的改写网络的每一条边，即以概率p 将一条现成的边重 新连结到另一个顶点上。同时避免将自己连结到自己或者与已有的边相重合 上述的第二个过程引入了p n k 2 条边，它们连接到新的结点上这些重新连结的 边通常称为捷径小世界网络的主要特点是：它有较短的平均路径长度和较大的聚 类系数w s 网络模型介于规则网络和随机网络之间，它实现了从规则到完全随 8 混沌动力学网络上的几类同步现象研究 机之间的连续演变 1 9 9 9 年，n e w m a n 和w a t t s 改进了原始的w s 模型，称为n w 模型在n w 模型里，用随机的增加一些新边代替w s 模型中改写结点之间的边，即增加捷径， 且不移走已经存在的边显然，若p = o ，则n w 模型变成原始的最近邻居耦台的 环状网络；若p = 1 ，则n w 模型变成全局耦合的网络对于充分小的概率p 和足 够大的n ，n w 模型等价于w s 模型随着结点数的增加，w s 和n w 模型展示 了从呔世界”( 平均路径长度线性增长) 到，j 、世界”( 平均路径长度对数增长) 的 演变 此外。幂律度分布网络的发现向人们提出了构建无标度网络模型的任务1 9 6 5 年，p r i c e 对无标度网络进行了最初的研究，发现了科学论文引用网络的入度和出 度均服从幂率分布后来，他又给出了如今被广泛接受的关于幂率度分布的解释 然而，这一工作在当时并没有引起足够的重视1 9 9 9 年，a l b a r a b a s i 和r a l b e r t 通过对一些符合幂函数分布的现实网络的观察，发现它们是无标度的，从而 提出了个无标度( s c a l e - f r e e ) 网络模型，也称为b a 模型这个模型通过增加薪 的结点而实现网络的不断增长。同时这些新的结点总是倾向于连结已经具有大量连 结的结点b a 模型的具体描述如下； ( 1 ) 增长性t 开始有小数目m o 个结点，在每一个时问步增加一个带有m 条边的新 结点( m m o ) ，同时这个新结点与网络中已经存在的m 个结点相连； ( 2 ) 偏爱性选择t 一个新的结点在选择连结的结点时是有偏好的，它选择某个结点 的概率鼽正比于这个结点i 的度岛，即 鼽2 丽 显然，经过t 个时同步以后，这个网络有t + m o 个结点和m t 条边a l b a r a b i s i 和r a l b e r t 的研究表明，网络最终会演化成一个标度不变的状态，网络的度分布 服从幂律，少数结点有大量的连结，而大多数结点只有很少的连结 一般说来。实际网络系统非常复杂，结点和边在百万计以上，无法通过眼睛观 察和经典方法给出好的结论当前的一些研究主要是运用高性能电脑对真实网络进 行统计分析大量的统计结果表明，真实世界中很多复杂网络的度分布确实是服从 幂律的( 如w 、 n v 、i n t e r n e t 、新陈代谢网络、通信网络等) ，因而可以被认为是无 标度网络当然，也存在一些复杂网络，它们的度分布是指数型的( 如能源网格、 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 9 铁路网络等) 或指数一幂律型的( 如电影演员网络合作网络等) 近几年，许多学者对无标度网络进行了定性和定量研究，并对b a 模型做了一 些扩展和修正，获得了一系列有价值的结果，如无标度网络可以承受意外的故障， 但面对协同式的攻击却很脆弱对无标度网络这些特性的理解，可能导致许多领域 出现新的应用，如计算机专家可能据此设计出更有效的策略，保护因特网免受计算 机病毒的侵害等有关这方面更深入的研究见文献f 1 3 】 当前对复杂网络模型的研究主要集中在小世界网络和无标度网络随着研究的 深入，人们开始考虑真实网络上一系列有趣的问题其中，一个基本的但又是至关 重要的问题是，复杂网络的拓扑结构怎样影响这个网络上的过程和动力学? 举例来 说，就是tw w w 的拓扑结构怎样影响w e b 冲浪和搜索工程，国家问地理关系和 人口结构怎样影响流行病( 信息) 的传播? 食物链的一些环节怎样影响生物【动物 和植物) 数量的动态演变? 销售网络的拓扑结构怎样影响企业收益与利润? 由于人们对复杂网络拓扑结构的认识尚处于初步阶段，有关上述问题的研究也少有 进展 1 3 混沌同步概述 1 3 1 混沌同步研究的起源 事实告诉我们，网络中的每个结点都有自身的动力学行为【1 5 】在网络研究中， 仅仅考虑网络的拓扑结构是远远不够的动力学网络中的每个结点都按照某种动力 学规律随时间而演化由于它们之间的相互作用，结点的动力学演化不是孤立的， 这使得它们的动力学性质表现出某种关系，用动力学的述语就称为同步自1 7 世 纪c h u y g e n s 3 0 1 发现同步现象后的很长一段时期里，有关同步的研究始终是建立 在周期运动的基础之上由于混沌对初始条件具有敏感依赖性，混沌与同步似乎是 互相对立的，因而在上世纪6 0 年代初( 发现混沌现象) 到8 0 年代末( 深入研究混 沌现象) 这2 0 多年里，混沌同步研究少有进展上世纪9 0 年代，美国海军实验室 的科学家l m p e c o r a 和t l c a r r o l l 在实验室的电子线路上首次观察到两个混沌 系统的同步现象由于l m p e c o r a 和t l c a r r o u 3 1 ，3 2 1 在混沌同步方面的开创 性工作，同时考虑到它在保密通讯与控制方面的潜在应用以及复杂系统里图案涌现 ( p a t t e r ne m e r g e n c e ) 的理论价值，混沌同步成了热门研究领域例如在保密通 1 0 混沌动力学网络上的几类同步现象研究 讯方面，通讯部门正在考虑利用混沌同步方法传送保密信息，其基本原理是：待发 送的信息通过加载混沌信号并调制后进入发射器( t r a n s m i t t e r ) ，发射器输出带有 混沌性质的发射信号；接收器( r e c e i v e r ) 接收到发射信号，通过解调并滤去所加 载的混沌信号，还原出保密信息由于混沌具有对初值的敏感依赖性，滤掉混沌信 号这一过程是非常困难和复杂的，因而这为保密通讯提供了可能，也增加了通讯的 难度从本质上来说，加载和过滤混沌信号的过程就是一个驱动响应的混沌同步过 程为了从接牧到的信号中还原出其隐藏着的保密信息，接收入员必须使发射器和 接收器中的混沌信号同步这些潜在的应用为混沌动力学网络中的同步研究展露了 光明的前景因此，研究者对混沌系统同步的实现方法进行深入广泛的研究是非常 必要的 1 3 2 混沌同步研究的现状 所谓混沌同步，指的是两个或多个系统( 其中至少有一个混沌系统) ，在外部 驱动或者相互耦合的作用下，从不同的初始条件出发，它们的部分或全部状态变量 随时间演化时具有某种程度上的一致性因为每一个系统可以看作网络上的一个结 点相互耦合就是网络上结点的相互作用，因此两个或多个系统( 其中至少有一个 混沌系统) 的同步可以统一称之为混沌动力学网络上的同步由于混沌同步具有潜 在的应用前景，有关混沌同步的研究已经遍及从物理学到生物学、甚至社会科学的 各个学科领域这些研究表明，网络上的结点之间存在多种同步现象随着对混沌 同步研究的深入，研究人员相继发现了下列不同类型的同步1 3 3 1 一f 4 3 jt 完全同步 ( c o m p l e t eo ri d e n t i c a ls y n c h r o n i z a t i o n ) 聚类同步( c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n ) 、相同 步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) ，时滞同驭l a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 、广义同驭g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ) 、间歇时滞同步( i n t e r m i t t e n tl a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 不完全相同 步( i m p e r f e c tp h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) 和几乎同步( a l m o s ts y n c h r o n i z a t i o n ) 等 由近几年的研究看，混沌完全同步的研究已经由两个系统发展到多个系统，再 发展到复杂网络上的系统删一f 5 l 】；聚类同步，相同步、不完全相同步主要在多个耦 合系统构成的网