（发酵工程专业论文）霉菌菌落分形及雅致小克银汉霉深层发酵动力学的研究.pdf

摘要 摘要 通过对根霉、黑曲霉、产黄青霉、小克雅致银汉霉、深黄被孢霉、米曲霉3 0 4 2 、 河内自鞠霉和红曲茁丝霉蓥落生长过程豹扫描图像用图像软件p h o t o s h o p 处理，蒜用灰 度统计和盒子维数的计算方法算出它们在不同生长时间的菌落分维数。 以上霉菌的培养采用p d a 培养基：2 0 0 9 马铃薯提取液1 0l ，葡萄糖2 0 o g ，琼 艏1 5 0g 。培养温度分别为2 5 、3 0 和3 5 。 在本论文中，利用分形理论对几种不同罄蓥蔻落的形态特 芷遴行数据处理，褥到不 同时间菌落的分维数，从而绘制出霉菌生长过程的分维数随时间的变化。结果发现菌落 的分维数与菌落的形态特征有密切的联系，菌落生长过程的分维数变化与其生长曲线十 分相戗。跎较了不同霉蔼静生长过程的分维数涟时闯的变化，以及同一种霉蔼在不同培 养条件下的分维数随时间的变化。证明了分维数可以用来定薰描述霉菌的生长过程。 通过对雅致小克银汉霉与其它菌种比较，从中筛选出适用于p 亚麻酸发酵的生产菌 种。通过对雅致小克银汉霉菌丝体进行液体深层发酵，以菌丝干重和总脂得率为指标， 选择出雅致小克银汉霉发酵的最佳种子培养条侔和最佳发酵条件。雅致小克镶汉霉适用 于二级发酵，最佳种子培养条件为l 孢子菌悬液接种，加入0 2 t w e e n 8 0 ，并用八层 纱布封口，3 0 下，1 8 0 r m i n 的恒温摇床振荡培养4 8 h 。最佳发酵条件为1 0 的接种量， 加入0 1 t w e e n 8 0 ，最适c n 为3 3 1 ，最适p h 值为5 4 6 0 ，2 5 下，1 8 0 f f m i n 摇床 发酵培养7 天时，蓝丝干重和总脂得率最大，分别为3 5 7 5 3 9 l 和1 5 ，9 8 0 9 【。实验测缮 4 天培养菌体得率平均为2 6 l ，油脂含量为4 3 0 干菌体，y 一亚麻酸比率为2 1 o 总脂， 从v 亚麻酸得率的角度优于深黄被孢霉。 关键词：霉萤，菌落，分形，分维数，r 亚麻酸，雅致小克银汉簿，深层发酵 a b s t r a c t a b s t r a c t w eu s et h ei m a g es o r w a l ep h o t o s h o pt oh a n d l et h es c a l ai m a g eo f t h eg r o w t hp r o c e s so f d 5 p e r g i l l i u mn i g e r , a s p e r g i l l u so r y z a e , r h i z o p u s , p e n i c i l l i u mc h r y s o g e n u m , a s p e r 西t l u s o r y z a e a a s 3 0 4 3c u n n i n g h a m e t l ae l e g a n s , m o r t i e r e l l ai s a b e f l i n a , m o n a s c u s a n k a n a k a z a w as a t oc o l o n i e s ，t h e nu s et h eg r a y * s c a l es t a t i s t i c sa n db o x 1 c o u n t i n gd i m e n s i o n t oc a l c u l a t et h e i rf r a c t a ld i m e n s i o n so f t h ec o l o n i e si nd i f f e r e n tc u l t u r et i m e m o u l dc u l t u r ea d a p t sp d a m e d i u m ：2 0 0 9p o t a t op i c k i n g u pl i q u i d 0l ，g l u c o s e2 0 ，0 9 ， a g a r1 5 0g ，c u l t u r et e m p e r a t u r e 2 5 ，3 0 ca n d3 5 。c i nt h i st h e s i s t h ef r a c t a lt h e o r yi su t i l i z e dt h ed a t eh a n d l i n g 静t h em o r p h o l o g y c h a r a c t e r i s t i c so f af e wd i f f e r e n tm o u l dc o l o n i e s ，t h e nw ea c q u i r et h ef r a c t a ld i m e n s i o n so f t h e c o l o n i e s 泌d i f f e r e mc m t u r et i m e 。t h u sw ee a r ld r a wt i m e - - c u r w eo ff r a c t a ld i m e n s i o no ft h e g r o w t hp r o c e s so fm o u l d 。w ef i n dt h er e s u l tt h a tb o t hc o l o n ym o r p h o l o g ya n di t s f r a c t a l d i m e n s i o nh a v eac l o s er e l a t i o n s h i p ，t h ec h a n g i n go ff r a c t a ld i m e n s i o n si ss i m i l a rt ot h e g r o w t hc u r v eo ft h ec o l o n y c o m p a r e dt h ef r a c t a l d i m e n s i o n so ft h eg r o w t hp r o c e s so f d i f f e r e n tm o u l dw i t ht h ev a l i s t yo ft i m ea n dt h ef r a c t a td i m e n s i o no fs a n l ek i n dm o u l du n d e r d i f f e r e n tc u l t u r ec o n d i t i o n s 诚t ht h ev a r i s t yo f t i m e t h e nw op r o v et h a tf r a c t a ld i m e n s i o ne a n b eu s e dt h ef i x e dq u a n t i t yt od e s c r i b et h eg r o w t hp r o c e s so f m o u l d ， c o m p a r e dc u n n i n g h a m e l l ae t e g a n sw i t ho t h e rc u l t u r e ，w es e l e c tt oa p p l yt oy - l i n o l e n i c a c i df e r m e n t a t i o np r o c d u c t i o nc u l t u r e 。w ec h o o s et h eb e s ti n o c u l u mc u l t u r ec o n d i t i o n sa n d t h eb e s tf e r m e n t a t i o nc o n d i t i o n sb ys t u d y i n gt h ed e e pf e r m e n t a t i o no fc u n n i n g h a m e l t a e l e g a n sm y c e l i aa n dt h et e s t sa d o p tt h ed r ym y c e t i ap r o d u c t i o na n dt o t a l f a ta s i n d e x e s c u n n i n g h a m e l l ae l e g a n si sa p p l i c a b l et os e c o n dc l a s sf e r m e n t a t i o n , t h eb e s ti n o c u l u mc u l t u r e c o n d i t i o n sa l e 协a d o p t1 s p o r ec u l t u r el i q u i dt oi n o c u l a t e , j o i n i n g8 2 t w i n 一8 0a n d s e a l i n gw i t he i g h tl a y e rg a l l z e s ，3 0 ，1 8 0r r a i n ，s h o c k m gc u l t u r e4 8 hi nt h ec o n s t a n t t e m p e r a t u r es h a k e sb e d 。t h eb e s tf e r m e n t a t i o nc o n d i t i o n sa r e t oa d o p tt 0 i n o c u l a t i n g q u a n t i t y ，j o i n i n go 1 t w e e n 培o ，m em o s ts u i t a b l ec ni s3 3 1 ，t h em o s ts u i t a b l ep hi s 5 4 6 。0 ，2 5 ，1 8 0r r a i n , f e r m e n t i n gc u l t u r e7d a y si ns h a k eb e d ，w eg e tb i g g e s tm y c e l i a l i 一一盎堕竺! y i e l da n dt o t a lf a t ，3 5 7 5 3 l ，15 9 8 0 lr e s p e c t i v e l y w em e a s u r eb yt h et e s tt h a tt h e m y c e l i ay i e l do f c u l t u r e4d a y si s2 6g le q u a l l y ，t h eg r e a s ec o n t e n ti sd r ym y c e l i ao f 4 3 o - y - l i n o l e n i ca c i dr a t i oi st o t a l 斑o f2 1 o f r o mt h ea n g l eo fy - l i n o l e n i ca c i dp r o d u c t i o n a n g l e ，c u n n i n g h a m e l l ae l e g a n si sb e t t e rt h a nm o r t i e r e l l a 缸a b e h m a k e y w o r d s ：m o u l d ，c o l o n y ，f r a c t a i s ，f r a c t a ld i m e n s i o n r - l i n o l e n i ca c i d m o r t i e r e l l ai s a b e l l i n a , d e e pf e r m e n t a t i 0 1 1 i i ! 关于硕士学位论文使用授权的说明 论文遂日；鋈董蓖菱登垄基笺筮尘巍堡邀篓逐屋麓醛盈凌堂塑避塞 本学经论文 乍者宠全了解大连轻王堑学院有关僳警、使耀学盥论文的 规定，大连轻工业学院有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩窜或扫描等复制手段保存、汇 _ f t 编学蕴论文，并显本人电子交挡熬阿骞露纸凄论文的起器穰一致。 # 保密的学像论文在解密质也遵守此规定。 日 7 是衙保密( 农) ，保密期至 年月日为止。 0 学生签名：嫠呈警师签鬈； 伽g 年够月f 猸 第一章文献综述 1 1 分形理论概述 第一章文献综述 分形理论( 不规则碎片形理论) 由法裔美国科学家曼德勃罗( b b m a n d e l b r o t ) 创 立于7 0 年代中期，其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的无序而具有自相似性 的系统。定量描述分形所具有的自相似性的参数是分维( 不规则碎片形尺寸) 。物质世 界本来是复杂奇异的，常常具有受分形规律制约的无穷层次结构，在这里传统学显得苍 白无力。分形论借助相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构，为人们从局部认识 整体，从有限认识无限提供新的方法论，为不同学科发展的规律性提供崭新的语言和定 量描述，为现代科学技术提供新思想、新方法。分形论和耗散结构、混沌一起被称为7 0 年代科学上的三大发现【l j 。， ， 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然 界普遍存在，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。与传统几何学相比，分形学理 论更真实、更深层次的描述自然界非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体的本 质特征【2 1 。分形是对没有特征长度，但具有自相似特征的图形和结构的总称。m a n d e l b r o t 引入分形( 不规则碎片形) 一词，其原意为不规则的，支离破碎的意思。m a n d e l b r o t 将 分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集 合1 3 1 。对于分形的本质特征，李后强认为自仿射性应是其本质特征 4 1 。 、 分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而 且在实用上都具有重要价值。分形理论以特有的手段，从整体与局部的关系上来分析阿 题，打破了各传统学科间的壁垒，是一种新方法论。其研究领域涉为自然科学、哲学和 社会科学各个学科，以新的驱动力推动各学科的新发展。 1 2 分形的定义 分形( 不规则碎片形) 一词最早用来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述 或者描述不准确的一大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平 第一章文献综述 的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人 眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些 对象都是分形。也就是说分形是对一些不具有特征长度但是在一定意义下具有自相似性 图形和结构的总称( 所谓特征长度，是指所考虑的物体各自的长度代表。例如：一个正 方体可以用它的边长作为它的特征长度，球体可以用它的直径作为它的特征长度) 。 分形几何与传统的欧几里德几何有以下区别：从整体上看，分形几何图形是处处不 规则的。例如，河流，云朵，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。 在不同尺度上进行分析研究，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从 近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然， 也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象 的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。上面所提到的几何形体难以用欧氏几何 去研究、刻画。分形几何恰是研究一类不规则的、无特征长度的几何形体【5 】。 因此，与传统的几何相比，应用分形理论可以更真实，更准确，更深层次的描述自 然界中非线性系统几何物体的本质特征。 分形方法揭示的有组织结构的特征之一是自相似性。例如，从飞机上拍摄的山地照 片，与碎石堆的照片，以及显微镜中粗糙岩石表面的照片，是极为相似的，有时根本就 无法区分。再如，将海岸线的照片，与其放大l 倍，2 倍，5 倍的照片放在一起，从其 曲折的特征上看，也是无法区分的。另外，对于同一段海岸线，如果分别用l m ，0 5 m ， 0 2 m ，o 1 m 等的尺子测量其长度，则测量的结果是不一样的，尺子越短，测量的长度 越长。上述自相似现象，在许多领域中都可以发现，因此他们都可以用分形方法来统一 处理。 值得注意的是，分形理论中有关“自相似性”的结论还可以产生有关“相似性”的 结论。“自相似性”指的是局部和整体的相似。既然每个局部都与整体相似，那末局部 与局部之间就是相似的。也就是说任何物体在一定的程度下，其整体与局部以及局部与 局部之间有一定的联系，这种联系就是“相似性”。复杂系统的总体与部分，这部分与 那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性，或者说从整体中取出的局部( 局域) 能够 体现整体的基本特征即几何或非线性变换下的不变性：在不同放大倍数上的性状相似 包括几何结构与形态，过程，信息，功能，性质，能量，物质( 组份) ，时间，空间等特 征上，具有自相似性的广义分形。自相似性的数学表示为：其j 垆j ：( 一，或乃，。其 中2 称为标度因子，新6 ；为标度指数( 分维) ，它描述了结构的空间性质。函数加是面 积，体积，质量等占有数，量等性质的测度。 2 第一章文献综述 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来 看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与 整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表 现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。但是，表征自相似系统 或结构的定量性质如分形维数，并不会因为放大或缩小等操作而变化【这一点被称为伸 缩对称性1 ，所改变的只是其外部的表现形式。自相似性通常只和非线性复杂系统的动 力学特征有关1 6 1 。 曼德勃罗曾经为分形下过两个定义【。7 】： ( 1 ) 满足下式条件 一 ， 、 d i m ( a ) d i m ( a ) 的集合一，称为分形集。其中，d i m ( a ) 为集合4 的h a u s d o f f 维数( 或分维数) ，d i m ( a ) 为其拓扑维数。般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分数。 ( 2 ) 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 它突出了分形的自相似性，反映了自然界中广泛存在的一类“事物”的基本属性： 局部与局部，局部与整体在形态，功能，信息，时间与空间等方面具有统计意义上的自 相似性。它与欧氏几何中的。相似”不同。 ， 但是，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义不够准确，很难包括分形如此 丰富的内容。实际上，何谓分形? 目前还没有严格的数学定义，只能给出描述的定义。 租略的说，分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。 m a n d e l b r o t 最先引入分形( f r a c t a l ) 一词，意为不规则的、支离破碎的，并建议将分形 定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的白相似集合。 f a l c o n e r 8 1 认为，分形的定义应该以生物学家给出“生命”的类似方法给出，即不寻求分 形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看成具有如下性质的集合： ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( 2 ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹， 也不是某些简单方程的解集。 ( 3 ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计意义下的自相似 ( 4 ) 一般分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能是递归 的。 。 第一章文献综述 图1 1v o n k o c h 曲线 v o n k o c h 曲线是1 9 0 4 年v o n k o c h 通过初等方法构造出来的处处不连续的曲线，并 且讨论了它的性质。由于该曲线构造非常简单，所以改变人们认为连续不可微的曲线一 定很复杂。更可贵的是该曲线是第一个人为构造的具有局部和整体相似的例子，被人们 称为自相似结构。 1 3 分形理论的提出 9 分形”( f i - a c t a l ) 一词最早由美籍法国数学家芒特勃罗( b e n o i tb m a n d e l b r o t ) 于 1 9 7 5 年提出。根据他本人解释，该词具有“支离破碎”、“极不规则”的含义。他在研究 海岸线等曲线时，发现这类极不光滑的曲线具有“自相似性”，即取出该图形的任何一 个部分，放大到原来的尺度后，所得的图形与原图形惊人的相似。用不同的单位长度去 测量这类曲线的长短，结果也不同，因为所用的单位长度越小，图形的精细结构就越明 显，曲线就显得约崎岖，因此总长度也越大进一步研究揭示了这类“病态图形”的另 一个重要性质：它们是“分维”的，它们的维数并非整数。同年，他出版了专著f r a c t a l s ： 第一章文献综述 f r o m ，c h a n c e ，d i m e n s i o n 。这是分形理论诞生的标志，这部专著的发表标志着分形几 何作为独立的学科开始发展。二十多年的发展，分形理论已经应用到许多科学领域，显 示了其强大的生命力。有科学家曾预言，分形理论将会引起未来的一场科学革命。 1 4 分形理论的发展过程 被誉为大自然的几何学的分形( f r a c t a l ) 理论，是现代数学的一个新分支，但其本 质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承 认世界的局部可能在一定条件下，过程中，在某一方面( 形态，结构，信息，功能，时 间，能量等) 表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是 连续的，因而拓展了视野。近年来，它在科学上的地位已变得越来越重要。分形的思想 和方法正日益影响着现代社会的生活，分形的理论已被广泛应用于自然科学和社会科学 中。分形几何的研究可追溯到上个世纪，它的发展大致可分为三个阶段1 9 j 。 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并力图 对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。h v o nk o c h 于1 9 0 4 年通过初等 方法构造了如今被称为v o nk o c h 曲线的处处不可微的连续函数，并讨论了该曲线的性 质。由于该曲线的构造极为简单，改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂 的看法。特别重要的是该曲线是第二个人为构造的具有局部和整体相似结构的例子。( 如 图1 所示) p e a n o 于1 8 9 0 年构造出填充平面的曲线，这一曲线出现后，人们提出应正确 考虑以前的长度与面积的概念。c a n t o r 于1 8 7 2 年引入一类现金称为c a n t o r 三分级的全 不连通的紧集。这类集合在象三角基数的唯一性这样重要问题的研究中不仅不能忽略， 而且起着非常重要的作用。由于非常“复杂”集合的引入，长度、面积等概念必须重新 认识，从而产生了m i n k o w s k i 容度、h a u s d o r f f 澳e 度和h a u s d o r f f 维数。这些概念指出， 为测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。在分形几何发展的 第一阶段，人们已提出了典型分形对象及相关问题，并为讨论这些问题提供了最基本的 工具。 第二阶段大致为1 9 2 6 年至1 9 7 5 年，这一阶段更为系统、深入研究深化了第一阶段 的思想，逐渐形成了理论，并将研究范围扩大到数学的许多分支中。b e s i e o v i t c h l l 0 1 等人 研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构以及在数论、调和分析、几何测 度论等方面的应用。这些研究结果极大的丰富了分形几何的理论，同时维数理论也得到 了进一步发展并日臻成熟。1 9 2 8 年至1 9 5 9 年先后引入了b o u l i g a n d 维数【1 1 】、覆盖维数、 5 第一章文献综述 熵维数。刻画集合“大小”的容量及其容量维数也引入到分析中来。同时，维数的乘积 理论、投影理论、位势方法、网测度技巧、随机技巧均先后建立并成熟，已使分形集合 的研究具有自己的特色与方法。 第三阶段为1 9 7 5 年至今，使分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独 立学科的阶段。m a n d e l b r o t 将前人的研究进行总结，集其大成，于1 9 7 7 年以分形： 形成、机率和维数( f r a c t a l s ：f o r m , c h a n c ea n dd i m e n s i o n ) 为名发表了他的划时代专 著【1 2 l 。第一次系统的阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着 分形几何作为一门独立的学科正式诞生。自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础 还是在应用方面都有较快的发展。 一 1 9 8 2 年，曼德尔布罗特的新著自然界的分形几何出版，将分形定义为局部以某 种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列 集盒维数与集所在空间维数相掣1 3 l 。为避免这一缺陷，1 9 8 2 年特里科特( c t r i c o t ) 引 入填充维数，1 9 8 3 年格拉斯伯格( e g r a s s b e r g e r ) 和普罗克西娅( i p r o c a c c i a ) 提出根据 观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1 9 8 5 年，曼德尔布罗特提 出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。 1 9 8 2 年德金( e m d e k k i n g ) 研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范 围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1 9 8 9 年，钟红柳等人解决了德金 猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与 改进，1 9 8 2 年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的 维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机 性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1 9 6 8 年，曼德尔布罗特研 究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1 9 7 4 年他又提出 了分形渗流模型。1 9 8 8 年，柴叶斯( j t c h a y e s ) 给出了详细的数学分析。1 9 8 4 年，扎 乐( u z a h l e ) 通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模 拟自然现象。 分形理论真正发展起来才十余年，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的 是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更 新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便， 可操作性强，是许多分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计 算、估计、分形重构( 即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集) 、j 集和m 集及其 6 第一章文献综述 推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。 多重分形理论的完善，以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的 兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点【1 4 1 。 分形的发展离不开计算机的发展，随着分形与计算机的紧密结合，分形理论一定会 更快的应用在各个领域。特别是在物理，地理，天文，自然，医学等学科已经产生了大 量与分形几何有关的问题，因此，迫切的需要分形理论的发展来解决这些问题。 1 5 分维数 1 5 1 分维数的提出、 对于传统几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度要描述的对象。 但用这种办法对分形的细节做出准确的测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定 而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特 征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几 何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象，例 如：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、 压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d 。 例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维 结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的，应该是连续分布 的，零维到一维，一维n - 维，二维到三维之间应该是过度的，而不是突变的。传统的 “拓扑维”很难准确的描述自然界中复杂纷繁的事物。特别是由于分形几何对象更为不 规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维( 简称“分维”，记为d ) 不小于它的拓 扑维，即眨j 1 5 1 。 维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为，、面积 为1 2 的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。如果用长度，去测面积，就会 得到无穷大；而如果用户去测这块面积，结果就是零。这就表明，用疗维的标准体， 去测量一个几何对象，只当甩与拓扑维数d 一致时，才能得出有限的数值。如果n 巩则结果为零分数维也是按照这个要求来定义的。由于分 形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出很多不同定义的分维概念，从不同的角度表 示分形的不规则性以及“自相似性”。通常用的是“容量维”。简单地说，分维所表示的 7 第一章文献综述 不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一条光滑的一维直线，完全不能占领空 间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限 的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一 维，又小于二维，它的容量维为1 2 6 1 8 ，这看来是理所当然的。海岸线的分维数通常在 1 1 5 到1 2 5 之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分 维表示的不规整程度却是一个常量。这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念 的客观现实特性。分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。一个分形的曲线意味着 一种有组织的结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。 1 5 2 分维数的定义 我们知道0 维是点，一维是线，二维是面，三维是空间。那么，谁能告诉我1 5 维 是什么? 一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样 的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积 数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我 们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长 度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。 我们有下式： 7 口 田画 i 0 9 4 l 0 9 2 - - - 2l 0 9 8 l 0 9 2 = 3 这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义：测度维的概念。为了定量地描述客观 事物的“非规则”程度，1 9 1 9 年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数 扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 如果某图形是由把原图缩小为l n 的相似的b 个图形所组成，有；彳y = k ，其中d 为维数，且d = l o g k l 0 9 2 ， 为线度的放大倍数，k 为。体积”的放大倍数。 我们还可以这样推广：如果把一个物体的边长分成一个相等的小线段，结果可得到 与原物形状相同的m 个小物体。把m 写成以栉为底的指数形式：肝- ，( 或庐l g m l g n ) 8 第一章文献综述 则指数d - = i g m i g n 称为这个物体的维数。由于l g m l g n 不一定是整数，因此就会出现维 数为分数的情况。以科赫的三分曲线为例，把它的边分成3 等分后，产生了4 个与原来 曲线形状相同的小曲线，所以它的维数是d = 1 9 4 1 9 3 2 1 2 6 ，所以科赫的三分曲线的维数 是分数维而不是整数维。 再回到海岸线长度的问题。当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往 往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。这时，海岸线长度增 加程度近似于一个固定的倍数。对于英国海岸线来说，其值约为2 7 ，而l 0 9 2 7 1 0 9 2 = 1 4 1 ， 1 4 l 就是英国海岸线的维数。1 4 l 由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数 维。还有其他一些分数维的定义方法，但得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的 基本参数之一。自然界的山，其分形维数在2 2 维左右，但从2 1 维到2 5 维画出来的都 有一定的山的效果1 1 6 1 。 1 5 3 分维的推导 1 ) 新的维数( 全维数：整数维+ 分维) a 由欧氏几何的“整数维”引出的非欧几何分维： a 1 欧氏几何的“整数维” 欧氏几何学是- f 具有2 0 0 0 多年历史的数学分支，他是以规整几何图形为其研究 对象的。有线性和曲线两大类。这些规整几何图形的点，直线，平面图形( 曲线) ，空间 图形的维数( 欧氏维数) 都是整数维，分别为0 ，1 ，2 ，3 。对规整几何图形的几何测量是 指长度，面积和体积的测量。则上述两类几何图形的测量结果，可以归纳简化表述为如 下两点： ， i 长度= l ，面积= 1 2 ，体积- 1 3 。 i i 长度( 半径) 寸1 ，面积刁矿，( 球) 体积刊3 ) 册户 上述各种关系的量纲分别是长度单位l 的l ，2 ，3 次方，即这些方次恰与该几何图 形的欧氏维数相等，并且是整数。 归结上述两点，各类几何图形的测量都是以长度，为基础的。所以，欧氏几何中对规整 矾何图形的测量，可以概括表述为 。 长度爿面积_ 口f 2体积肛舻 式中口和b 为常数，称为几何因子，他与具体的几何图形的形状有关。如圆筛；球b = 4 x 3 。 以上都是欧几里得几何规则图形的整数维。而对于不规则的非欧几何图形，其维数关系 9 第一章文献综述 也就不那么规整了，即欧几里德测度的长度，宽度，厚度都不能抓住不规则形状的本质， 于是曼德勃罗特转向新的想法，即关于维数的新想法。 ， b ) 非欧几何的“分维” 欧氏几何中的空间是3 维的，平面是2 维的，直线是1 维的，而点是0 维的。那末， 一个线团的维数如何呢? 这与观察方法有关。远看，他是一个点，是0 维；近些看，象 球，有空间3 维感；再近看，就看到了绳子，又成为l 维的了。引发人们注意到几何中 也具有“相对关系”，以及维数的多样性。曼德勃罗特“越过”了0 ，l ，2 ，3 ，的 “传统整数维”( 同时也超越了传统观念) ，进入了看起来象是不可能的“分数维数”，分 维出现了。对数学家或该行业保守的专家，可能会不懈一顾，不予考虑。而事实证明前 者的方法和策略有极为强劲生命力。 分维与古典的欧几里德维数是有联系的。将欧氏维数统一扩展成 怍产 则由对数定义可知，指数d 可以表示为以，为底的，m 的对数，即d = - l o g l m 经用换底公式换底，就可以得到关于维数的解析通式， 分维中广泛使用的关系式赤- - i n m i n l 它可以被看成是各种维数的综合表达式，即广义维数( 欧氏维数及各种分维) 的由来 或基准式。分维是一种量度，是用来测量其它方法不能明确定义的一些性质( 一个对象 粗糙，破碎或不规则程度等) 的手段。即对某种特征性的粗糙度的量度。是有规则的不 规则性的反映。此法的关键要点就是使在不同的尺度上( 放大或缩小) 不规则( 图形，功能 等) 的程度保持恒定。给我们在定性或定量的描述自然界的事物带来方便。 2 1 拓扑维和豪斯道夫维数 时间，空间是连续的，空间维数也是连续的，不是间断离散的。 拓扑维数是比分形维数更基本的量，以历表示，它取整数值，在不作位相变换的基础 上是不变的，即通过把空间适当地放大或缩小，甚至扭转，可转换成孤立点那样的集合 的拓扑维数是0 ，而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是l 。所以，拓扑维数就是几 何对象的经典维数d 尸讥拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数。 对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺”去度量，则可得到 一确定的数值若用低于它维数的“尺”去量它，结果为无穷大；若用高于它维数的 “尺”去量它，结果为零。其数学表达式为：n ( r ) r - d h 上式两边取自然对数，整理 后可得 d h = l n n ( r ) l n ( 1 r ) 1 0 第一章文献综述 、 或， d h = l i m 1 n n ( o ) l n ( i 0 9 旷o 式中的d h 就称为豪斯道夫维数，它可以是整数，也可以是分数。欧氏几何体，它们光 滑平整，其d 值是整数。人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此时的协 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人把该维数称为分数维数。当然还必须看其 是否具有自相似性和标度不变性。 1 5 4 维数的其它定义o ” ( 1 ) 信息维数d = l i r a ( ep i l n p i l n0 ) ( 2 ) 关联维数d g = l i m ( 1 n c ( o ) l n ( i r a ) ) ( 3 ) 相似维数9 , = h a , v , a n ( 1 ，) ( 4 ) 容量维数眈= l i m ( h - u v ( e ) , a n o t ) ) 耽d o ”o o h - o a p - o ( 5 ) 谱维数d ( 分形子维数卜是研究具有自相似分布的随机过程，如随机行走的 粒子的统计性质，可用渗流模型来描述的多孔介质，高聚物凝胶( 经络的通道及传质) 等 一类“蚂蚁在迷宫中”的问题。 。 ( 6 ) 填充维数一由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数 称之为填充维数( p a c k i n gd i m e n s i o n ) ( 7 ) 分配维数d r 可以看成是利用两脚间隔距离为。韵两脚规测量曲线c 所得的 “长度”。即定义为 d a = l i m ( i n m o ( c ) ( - i n a ) ) 旷o 曲线的分配维数至少等于盒维数。， ( 8 ) 李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 维数d f 一一是作为混沌的吸引子维数，他是利用 l y a p u n o v 指数来定义的奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的( 经络的断面切片) ，因 此就可以测定其分形维数。 1 5 5 分形维数的测量 1 基本方法 分形维数的定义有很多，但适合所有事物的定义还没出现。每个维数的测定对象常 是不同的，所以要区别对待，物适其用。 第一章文献综述 实际的测定分形维数的方法，大致可以分成如下五类： ( 1 ) 改变观察尺度求维数：是用圆和球，线段和正方形，立方体等具有特征长度的基 本图形去近似分形图形。 ( 2 ) 根据测度关系求维数：这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数 的。 ( 3 ) 根据相关函数求维数；c ( r ) o c r - a ，a = d - d ( 4 ) 根据分布函数求维数；p ( ，) 印( p o c ，d ( 5 ) 根据频谱求维数。 2 盒维数( 计盒维数，k o l m o g o r o v 熵，熵维数，度量维数，对岷数密度等) 3 函数图的维数 4 码尺与分形维数的关系分形维数的不确定性对实际分形体而言，测量的分形 维数值随码尺而变化，也就是说，对同一分形体由于选取的码尺不同，会得到不同的 分维值。原因是结构层次不同，自相似的程度不同。测量时要注意。 1 6 分形的应用 自1 9 7 5 年b b m a n d e l b r o t 提出分形学的理论以来【1 8 1 ，这一理论在社会科学和自然 科学的诸多领域均得到广泛的应用。如在图像数据分割【1 9 】、图像数据压缩 2 0 1 及计算机视 觉【2 1 1 方面都有广泛的应用前景。分形理论的提出到现在不足三十年的发展时间，在这 期间分形理论不断完善，特别是维数理论的研究获得了丰富的成就。分形的发展与其它 学科联系越来地应用于数学，化学，气象学，地质学，天文学，经济学，医学，生物学 和哲学等众多学科领域圆。分形学的发展前景是非常光明的，下面简单列举分形学在几 个方面中的实际应用1 2 3 1 。( 1 ) 分形图像模拟。最早的分形图像都来自于纯数学领域。对 一些数学模型通过迭代和回归产生了许多迷人的数学图像。另外，用分形几何由计算机 模拟出来的自然景象1 2 4 1 ，如山、水、云、植物等，简直可以与艺术家们的作品想媲美。 ( 2 ) 地球物理学。应用分形理论主要研究了选矿、河流的分布规律、地震的预测预报、 岩石的破裂过程、地表的形状等的分形特征。( 3 ) 材料力学【2 5 】。用分形来研究材料的力 学行为时，主要研究了材料的韧性、断裂韧性和强度这三方面。( 4 ) 哲学。人们的兴趣 在于白相似性的普适性，m 集和j 集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性， 多重分形相变与突变论的关系，白组织临界( s o c ) 现象的刻画以及分形体系内部的各 种矛盾的转化等。( 5 ) 生物学。生物器官如血管、肺、脑组织等宏观器官显示出明显的 第一章文献综述 分形特征。分形利用到医学上的疾病的病理分析和疾病的监控上将是医学上的巨大进 步。微观细胞、基因、生物大分予如蛋白质显示出分形元的特点，现已测定出相应的分 形维数，初步摸清了其分形分布规律。这对于深入了解人自身的结构，理解中医治病的 科学性有很大的帮助。内蒙古大