（应用数学专业论文）两类拟线性发展方程的混合元方法.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 聚。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作：毒枷新粹墨丈 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 酉家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权羔 芷可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 荧扫地等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲毒物 签字同期：2 0 0 7 年4 月f z 日 铆签字= 毒爻 ，v 7 一 签字日期：2 0 0 7 年手月，z ，日 山东师范大学硕士学位论文 两类拟线性发展方程的混合元方法 姜艳 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 “ 摘要 本文中我们采用混合体积元方法和混合有限元方法模拟了二阶拟线佐s d 6 口f e r 问 题和均匀棒纯纵向运动初边值问题，得到了这两类问题离散解的误差估计 第一章讨论二阶拟线性s d 6 d f e 问题 ( n ( “( z ，) ) v “+ 6 i ( “( z ，) ) v “ = ，( ，t ) i 2 ( o 7 1 ( z ，) 舰z ) ， z n 在矩形网格剖分下的混合体积元方法在本章中我们给出了二阶拟线性s 0 6 0 胁，方程 的混合体积元格式，证明了广义混合体积椭圆投影解的存在唯一性，并得到了其冀船 与离散解的最优( d 伯) 模和口误差估计 第二章讨论均匀棒纯纵向运动初边值问题 口) e ”= 2 芏：+ ，( t b ) 。，( z ，) ( o ，1 ) f o ，刀 6 ) 钍( z ，o ) = “o ( z ) ，1 t ( z ，o ) = “l ( 。) ，z ( o ，1 ) ， c ) “( 0 ，) = “( 1 ，) = 0 ，【0 ，7 1 的混合有限元方法，证明了离散格式解的存在唯一性，给出了广义混合椭圆投影，得 到了混合有限元解的l 2 模误差估计 v 仉 蛳 一 = f f 一” p 文 墨 “酚0，； ，ii-ilj(1_iil、 山东师范大学硕士学位论文 关键词，拟线性，s 0 6 0 2 e 方程，均匀棒纯纵向运动初值问题，混合体积元方法， 混合有限元方法，误差估计 分类号，0 2 4 1 8 2 山东师范大学硕士学位论文 a p p l i c a t i o no ft h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r t w ok i n d so fq u a s i l i n e a r j i a n gy a n s c h o o lo fm 8 地e m a t i c ，s h a n g d o n gn o r m 8 lu n i v c r s i t y j i n a n ，s h a n g d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，pr c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d 盯t h em j x e dm o v o l u m em e t h o da n dm i x e d6 n i t ee l e m e n t m e t h o df o rt h eq u a s i l i n e a rs o b o l e ve q u a t i o na n dt h ei n i t i “v a l u ep r o b k m so fp u r e l y l o n g t u d i n a im o t i o no fah u m o g e n e o l l sb a r ，a i l do b t a i n e dt h ee r r o re s t i m a t e so ft h i s t w od i s c r e t es 0 1 u t i o l l 8 ， i nc h a p t e ro n e ，w ec o n s i d e rt h em i x c dc o v o l u m cm e t h o df o rt 1 1 ef 0 i i o w i l l gq u a s i i i n e a rs o b o l e ve q u a t i o n ， i ( d ) 蛾( z ，) 一v f n ( “( z ，) ) v 嘶+ 6 l ( “( z ，) ) v n ) = 工 ( z ，) n ( o ，卅， ( 6 ) u ( z ，) = o ， ( z ，f ) ，n z i ( c ) 乱( z ：o ) = t 幻( z ) ， z n u t c 舀v ct h em i x c dc o v o l u m cs c h c m cf o r h eq u a s j e a rs o b d c vc q u a t j o n ，a n dp r o v c t h cm i x e dc o v 0 1 u m od n p “cp r o j c c t i o nh a sau n i q u os o l u t i o n w ea l s o 舀v c h ce r r o f a n a l y s i so ft h es o l u t i o no ft h em i x e dc o 她l u m ee 】e m e n ts c h e m ea n dg e co p a m a lc r r o r c s t i m a t f o r h cd i s c r e t es c h e m ei nl 2 一n o r m sa n di n 日( 威f ) 一n o r m s ， h lf 血a p t e rt w o ，w ec o ，l s i d e rt b cm i x e d6 n i t em e h o d 胁t h ef o j k ) w j n gj n j j 8 】一v a 】u c p r o b l c m so fp u r e l yl o n g t u d i n a im o t i o no fah u m o g e n e o u sb a r ， i ( o ) t “= “z “+ ，( “。k ， 0 ，f ) ( o ，1 ) f o ，巧， ( 6 ) t ( 。，o ) = 缸o ( z ) ，“t ( z ，o ) ：= t 1 ( z ) ， z ( o ，1 ) ， 【( c ) “( o ，) = t ( 1 ，) = o ， t 【0 ，? 】 w bp r o v ct h ed i s c r e t ef o r m u i a t i o nh 嬲8u n i q u es o l u c i o n ，g i v ct h em i x e dd 2 j p t j cp r 0 j c c t i o n ，a n dw bg i v et h ee r r o ra n a l y s i so ft h es o l u t i o no ft h en l i x c d 矗n i t ee j e l l l c n t 山东师范大学硕士学位论文 s c h e m ea n dg e te r r o r 髑t i m a t e sf o rt h ed i s c r e t es c h e m e ml 2 一n o r m s k e y w o r d s ：q u 豁i l i n e a r ，s o b o l e 、re q u 8 t i o n ，t h ei n i t i a l - 、，a l u ep r o b l e m so fp u r e l y 1 0 n g t u d i n “m o t i o n o fah u m o g e n e 0 1 l sb a r ，m i ) c e dc o v o l u m em e t h o d ，m e d 矗n i t ee l 争 m e n ts c h c m e e r r o r 铝t i m a t e c l a s s i e c a t i o n ：0 2 4 l ，8 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章拟线性s 0 6 d f e ”方程在矩形网格剖分下的混合体积元方法 考虑下列拟线性s 0 6 0 2 即方程 1 1 引言 缸t ( z ，t ) 一v o ( u ( z ，t ) ) v t + 6 l ( u ( z ，t ) ) v t ) = ，( z ，) q ( o ，7 1 ( z ，) a q z “( z ，0 ) = t 幻( z ) ， 。n ( 1 j 1 1 ) 其中n 为r 2 中的有界轴平行域；t 是固定的正常数；o ( “) ，6 - ( “) ，都是关于u 连续 可微的有界函数，并且函数n ( u ) 具有正的上下界( 即存在正常数匈，c l ，满足o 印 。( “) c i o 。) 和函数g 与6 i 以及他们的偏导数光滑有界， ， o 为已知的函数 我们假定垤，o e 1 ，对任给_ r h ( n ) ，( 1 1 1 ) 存在唯一解 ，抖5 ( 2 ) 在许多实际问题中，我们需要的是获得向量变量p = 一( n ( u ) v 毗+ 6 1 ( 乱) v u ) 的 高精度近似。而不是标量变量本身，为此将问题( 1 1 1 ) 改写成下面的系统 + 出 p = 口( “扣+ v 嘶+ v ( 6 0 ) f ) + 。( “) “= o ， u ( z ，) = 0 ， “( z ，o ) = 其中n ( t ) = o ( t ) ，b ( u ) = o ( u ) b t ( ) ，c ( u ) 引入函数空间 ( z ，c ) q ( o ，丁】， n 。( o t7 1 ， ( 1 1 2 ) ( 士，) a q ( o ，t 】， t 工0 ( z ) ， z q 窖一v b ( t 工) h ( d f ；n ) = u ( l 2 ( q ) ) 2 ；出口口l 2 ( q ) ； y = h ( 出口；n ) ； 日1 ( 出 ；q ) = ( l 2 ( q ) ) 2 ；击 ”1 ( q ) ) = ( n ) 5 仰 ，lilji_l-，、_i-lil 山东师范大学硬士学位论文 从而对应于( 1 1 ，2 ) 的弱形式为：求( p t ) y 满足： i ( d ) ( 口( u ) p 1 ) 一( 地+ 6 ) t ，击口秽) + ( c 0 ) n ， ) = o ，b 勺y ( 6 )( t 上t ，柚) + ( 出甜p 叫) = ( 叫) ， v 埘弭： ( 1 1 3 ) i i ( c )t ( z ，o ) = t o ( z ) ， z n 本文是考虑拟线性抛物问题( 1 1 ，1 ) 在矩形网格剖分下的混合体积元方法混合 体积元方法是舭s s e f 在文献【1 5 j 中首先引入，后来j d n e s 在f 1 6 ，l7 | 中通过数值例子 验证了此方法的优越性这种方法的主要技巧是通过引入一个将试探函数空间映射到 检验函数空间去的迁移算子讹，将j d e z r 口一踟拓庸伽格式与标准有限元g h 把r 后胁法 或混合元法联系起来由于这种方法不但继承了有限元法的高精度以及差分法的计算 简单的特点，还具有其独特的优点：保持物理量问的局部守恒性因而自从此方法诞生 之日起就引起了学术界的广泛重视，耳前已获得了很大的发展，例如c 。ud n d 叫砒 在【1 8 】中针对椭圆问题研究了基于三角形网格剖分的误差估计，在【1 9 】中，他又将其 推广到矩形网格以及一般的四边形网格； 【2 0 】中耳”n 七研究了拟线性椭圆问题；芮 洪兴【2 1 】研究了抛物问题在矩形网格下的对称的混合体积元格式；姜子文1 2 2 2 3 1 研 究了s o b d f e 方程以及积分微分方程但是到目前为止。对于拟线性问题所做的研究 由于其复杂性，研究者甚少 本章的主要框架； 1 2 提出混合体积元格式；1 3 引入一些引理，5 1 4 引入广 义混合体积元椭圆投影，并证明其与真解的误差，1 5 给出了连续时间的误差估计 对文中出现的记号做一些说明， ( ，) 表示l 2 ( q ) 空间的内积，其相应的范数为 ”弘c 表示不依赖于 ，的常数，在不同的地方有着不同的值 整数m ，令n ( q ) 表示通常的s o b o l e v 空闽，其范数为”。n ( 若不加说明， 将省略下标q ) 日“( q ) 为h 。( q ) 的对偶空间，范数为”i 一，= s u p * 掣 o 何( n l “” i 2 混合体积元格式 令n h = q d ) 是n 的矩形原始剖分， q 巧k 一1 ，2 ，z 件l ，2 jx 融一l ，2 ，鲍+ i 2 6 山东师范大学硕士学位论文 其中q = ( 甄，蜥) ，令 q 士l 2 j = ( 。注1 2 ，协) ，c i ，士i 卢= ( 研，胁士i 2 ) ， 为q o 四条边的中点 假定为拟正则的，即存在两与 无关的正数c 。，勿满足 c l 矿i q u i sc 2 铲，v q 。q ，( 1 2 1 ) 其中i q 巧i 代表q 巧的面积， ，l = 吧警( 饧，磅， i j 。 。 畅，屹分别为q 的宽和高 基于原始剖分q 选择最低阶的r t 混合元空间作为试探函数空间k - 货“， 其中 k = 扣矿；口沲彩= ( 口+ 如，c + 匆) q ，( 1 2 2 ) w 么= ( w i 训k = c 。n s ，铷吼 ( 1 2 3 ) 定义r 一丁投影7 r h ：y 一咕“，满足， ( d i ( u 一丌 让) ，t 口) = 0 ，v 叫i ； 定义2 正交投影珊：h ，一哳。满足， ( p h x x ，t t i ) = 0 ，v 叫i “； 则有下面的性质【2 4 ，2 5 ，2 6 2 1 ： ”烈一丌h “i i c 矗i f “ | l ，( 1 ( n ) ) 2 ； h 出 ( u 一百h t 王) “c “出u u l ，v “( ，1 ( d 口；q ) ) ； 0 p x o o 口c o x i i o ，口，v x w 1 口s + o 。； f f 芦 x x 一l + p x xj js 。愚2 f 阪j i t ，y x h 1 u 2 ) 1 1 7 r 乜l | 0sc 0 1 上1 1 1 ，l ，v u ( 计7 1 ，1 ( q ) ) 2 ( 1 24 ) ( 1 25 ) ( 1 ，2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 7 山东师范大学硬士学位论文 下面构造对偶剖分以及检验函数空间 令 q h j ，= 陋 ，。件l 】【勘一，的+ j 】nn ， q ，j + = 陋一，墨+ j 阮，转+ l 】n q 矩形q 件；j ，q t j + ，q 巧分别称作t 一体积， 一体积，p 一体积如图 图1 最后，在对偶单元和原始单元上分别积分( 1 1 2 6 ) 与( 1 1 ，2 口) 有 上“，心帅等掣怕虻。， ，陋( u ) b 十皇掣+ q ( “) u 】= o ， j q 件j j 。g 小时觑耻o ( 1 2 1 1 口) ( 1 2 1 1 6 ) ( 1 2 1 1 c ) 基于原始剖分及对偶剖分，选择空间嘶作为检验函数空间，其中 = ( u ，) ：u l 2 ( q ) 在 一体积上为分片常数， l 2 ( n ) 在口一体积上为分片常数 8 山东师范大学硕士学位论文 定义迁移算子似：k h = ( 让如钰搬) = ( 讯( q + 扣) 瑟+ ；d ，( 岛种；) x 订+ ) 蚶幻 其中 = ( “ ，) ，x 件 j ，x l j + ；分别为q t + j 和q j + 的特征函数则佻为一对 一的，即讹= k 在算子伽的帮助下，( 1 2 1 1 a ) ，( 1 2 1 1 b ) 可写成 ( 口( 缸) p + v “t + v ( 6 ( u ) t ) + c ( t 工) t ，7 h ) 0 ，忱k ( 1 2 1 2 ) 应用g r e 公式，有 ( v 饥+ v ( 6 ( u ) u ) ， ) = 从而( 1 2 1 2 ) 可写成 ( q m ) p 饥) + 6 ( “，u + 6 ( “) “) + ( c ( “) “，饥) ；o ， v u ( 1 2 1 3 ) 于是问题( 1 1 1 ) 的混合体积元格式为求。( r ，t ) i “满足t n ) ( “ ) r ，肌) + 6 ( 讹地，u 埘+ 6 ( t ) u h ) + ( c ( u ) t 正 ，) = 0 ， v “k ， 6 ) ( 让捌， ) + ( d 如昂， ) = ( ， t ) v 姚n _ ， c ) ( “ 扛，0 ) 一“o ，t i ) = 0 v 叫w 么 ( 1 2 1 4 ) 由引理1 ，31 可知 6 口，) ；一 口口，撕) 铷，蛾 若引入插值算子玩：日3 ( n ) cl 。( n ) 一i ，其定义为j r p ( 。，) = p ( c i j ) ，v ( z ，) q 。，则有下述估计 9 s i y 如咖啪噤 曲 肌 慨 m 如型 蝴 吣 一一一 礓一 厂如 钆厂k 似 吖吼一 山东师范大学硕士学位论文 引理1 2 1 【2 1 1 当 充分小时有 6 ( 讹口 ，r p p ) c 旷l 协摹+ 1 1 1 秒 睢8 = 1 ，2 ，v t 幢坛 ( p p ，t d ) c 2j p 8 2j | 0 ，v t h 仉么 从而混合体积元格式( 1 2 1 4 ) 可改写成 ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) i ( n ) ( g ( “ ) 最，) 一( 出口椎，u f + ( 岛6 ( ) ) ) i + 6 ( 伽饥，( 6 ( “ ) 一r 庙( “ ) ) “h ) + ( 。( “ ) “ 仇” ) = o ， 讹 坛， ( 1 2 1 7 ) i ( 6 ) ( t t ，姚) + ( 战u r ，叫 ) = ( ，姚) ， ， l i ( c ) ( u ，o ) 一u o ，t ，) = o ，v t l i 住， 我们可以看到上面的系统与标准混合元的唯一的不同在于：检验函数为饥而 不是，此格式的好处是它保持了物理量间的局部守恒性 1 3 一些引理 本节我们将给出几个重要的引理 引理1 3 1 f 1 斜 6 ( y ，p ) = 一( d f u ，p h ) ，、，p i 仉 引理1 3 2 【1 q 饥为自共轭算子，即 ( 嵌，协) = ( “ ，强) ，v 如，地 特别地当h 为分片常数向量函数时， ( t l ，( ，一讹) ) = 0 ，v 存在与 无关的正常数c 和印满足 0 h t i lsc 0 “ 0 ，、忆h ， ( t ，一y h “ ) 印f f “ 0 2 ，勺 引理l 3 3 【1 q 存在正常数c 满足 ( ，御 一饥) 如l i | ，v u ( 1 ( q ) ) 2 ， ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 1 0 山东师范大学硬士学位论文 0 “一m n u o o ，口sc 0 t 上f i l ，口v u ( i 矿1 9 ( q ) ) 2 ，1 g 。 引理1 ，3 4 1 q 存在与矗无关的常数e 满足 i i ( ，一饥) 0 0 圳h 忆 ，铷 ， i ( u ，( ，一) 讥) i c 圳“ f 叭v t 蜥， f 仁，( ，一) 铣) l s 曲牡川j 锨肌乜1 ( 哟， 1 4 混合体积元椭团投影 为了数值分析，引入变分问题( 1 1 3 ) 的混合体积元椭圆投影 设( f ，回：【o ，习一坛满足 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( ) ( o ( 矗) 尸一口( u ) f1 h t ，) 一( 击u ”，玩+ 6 ( 动行一魄一6 ( “) t ) ) + ( c ( 蠢) 面一c ( 乱) u 1 r ) = ( o ( ) p 1 ( ，一) ) + ( c ( t ) u ，( ，一饥) ) + 6 ( 讹u ，风6 ( 回矗一6 ( 矗) 石) + ( d ，兄 6 ( 司在一6 ( 矗) 矗) ，v ， ( 6 ) ( 击 ( 尸一p ) ，叫) = o ，v t u w ， ， ( c ) ( “( o ) 一石( 0 ) ，训) = 0 ，v 叫 ( 1 4 1 ) 由带积分余项的泰勒展开式，我们有 其中 因而 口( 印一口( 材) = a 。( “) ( 砭u ) 瓦( u ) = z 1 “石州“一驯以 ( a ( 在) 一口) ) 芦= ( a ( 动一a ( “) ) ( 芦一p ) + ( a ( 石) 一n ( “) ) 尸 = a 。( u ) ( 在一t ) ( 声一p ) + 在。( n ) j p ( 苞一乱) ， 山东师范大学硕士学位论文 同理 还有 以及 6 ( 司石一6 ( u ) u = 6 ( 司何一u ) + 6 ( 司t t 一6 ) t l = ( b ( 苞) 一b ( u ) ) ( 西一u ) + b ( t 工) ( 石一u ) + ( b ( 冠) 一b ( 札) ) u = 瓦( u ) ( 豇一u ) 。+ ( 6 ( “) + 瓦( “) “) ( 矗一u ) c ( 司石一c ( 札) = 瓦( t ) ( 菘一t ) 2 + ( c ( 钍) + 瓦( t ) t ) ( 面一“) 6 ( 动面一6 ( 动石 = 【r 6 ( 动一6 ( 动】( 石一t ) + f 心6 一6 ( 动】让 = ( r 6 ( i 刁一6 ( u ) 】一【6 ( 花) 一6 ( “) 】) ( 石一“) + ( r 厶( t t ) 一厶( f t ) ) ( 五一“) + 露 挣( 回一6 ( 翟) j 一洚( 劭一5 ”) “+ ( 取6 ( 口一6 ( 缸) ) “ = 【( r k ( “) ( 苞一让) 一九( “) ( 石一t ) ) ( 面一) + ( 尺扣( “) 一6 扣) ) ( 石一“) + ( ( 风k ( “) ( 石一“) 一儿( “) ( 石一u ) ) + ( r 6 ( “) 一6 ( “) ) “j = ，l + 如 则( 1 4 1 ) 可写为 令 ( d ) ( d ( ) ( j p 一尸) ，y n ) 一( d f u u ，讯一抛) 一( d u ，( 6 。( t 上) + 6 ( “) ) ( 舀一“) + ( f a 。( t ) p + 瓦( “) “+ c ( “) ( 石一“) ，y ) = 一( 。( u ) ( 面一“) ( 声一p ) + 瓦( ) ( 石一缸) 2 ，1 h 砂) + ( d z u 口，瓦( u ) ( 矗一钍) 2 ) + ( q ( ) j p + c ( u ) ，( ，一1 ) ) + 6 ( 7 m ，l + 如) + ( d t ，1 + ，2 ) 。v ， ( 6 ) ( 出u ( p 一尸) ，t ) = 0 ，v 加仰， ， ( c ) ( u ( o ) 一石( 0 ) ，叫) = o ，v 加仰i ( 1 4 2 ) r l = 瓦( t 正) 仳+ 6 ( u ) ，r 2 = 鑫。( “) p + 己( u ) “+ c ( “) 1 2 山东师范大学硬士学位论文 定义映射圣：kxp 一kxh 名，令圣以= 函，力是以下方程的唯一解 ( 口) ( 口( “) ( y 一万再p ) ，7 m ) 一( 击掣掣，匆只 “f ) 一( d 主口 ，r 】( z p “) ) + ( r 2 0 一只 u ) ， ) = ( a ( u ) ( p 一“尸) + r 2 ( u 一丌 u ) ，1 h ) 一( 瓦( t 工) ( p t 正) ( p p ) + 瓦( “) ( p u ) 2 ，7 ) + ( 出 口，h ( u ) ( p 一牡) 2 ) + ( 8 ( “) p + c ( 札) u ，( ，一1 h ) u ) + 6 ( 7 ，( 风6 ”( t 上) ( p 一“) k ( u ) ( p u ) ) ( p 一让) + ( r 6 ( u ) 一b ( u ) ) ( 肛一u ) ) + 6 ( m 。 ，( 厩6 。( t 正) ( ，一t ) 虬( u ) ( p t ) ) u + ( r h b ( u ) 一6 ( ，t ) ) t ) ) + ( d 锄u ，( 风6 。( “) ( p 一) 6 。( “) ( p 一“) ) ( 卢一“) + ( 玩6 ( “) 一6 ( “) ) ( p 一“) ) + ( d n ，u ，( 风6 。( “) ( p 一一k ( u ) ( p u ) ) u + ( r 庙( u ) 一6 ( “) ) u ) 一( 出u 钉，r l ( u p u ) ) = g ( ) ，v t j h ， ( 6 ) ( d i 廿( 7 r p y ) ，t ) = 0 ，v 叫w ， ， ( 0 f 芦( o ) 一z ( o ) ，埘) = 0 ，￥m 讳名， ( 1 4 3 ) 易看出，假如我们能证明西是将x - 中的一个半径为j 的球映射到自身的映射， 则利用b r 叫埘e r 不动点定理即可得证格式( 1 4 2 ) 解的存在唯性 在证明( 1 ，4 2 ) 解的存在唯性之前，我们需要如下的引理 引理1 4 1 令2 毋 0 且充分小时( 依赖于 ) ，西是将w 么中半径为j 的球 映射到自身的映射 证明：令口= 竽，因此；+ 壶= 若 j 1 7 r p p | 1 hs6 o 的假设下，文【3 得到了问题( 2 1 1 ) 全局弱解的存在唯一性；文【4 】用g 训e r k n 方 法，研究了方程( 2 1 2 ) 的初边值问题周期边值问题和初值问题，并在函数厂如) 下方 有界的假设下得到了全局强解的存在唯一性；文 5 j 在有限区域【o ，l j 【0 ，7 1 o ) 上研究了问题( 2 。1 1 ) 的有限差分法，用离散泛函分析和先验误差估计技巧得到了差 分格式的收敛性；文f 6 】研究了问题( 2 1 1 ) 的有限元方法。给出了有限元解的误差估 计， f 7 】研究了问题( 2 1 1 ) 的有限体积法，给出了有限体积解的误差估计 山东师范大学硕士学位论文 本文研究问题( 2 1 1 ) 的混合有限元方法第2 2 节中。提出了问题( 2 1 1 ) 的半 离散混合有限元格式，并证明了该格式解的存在唯性；在第2 3 节中，给出了广义 混合椭圆投影及其性质；在第2 4 节中，给出了混合有限元解的l 2 模误差估计 2 2 混合有限元格式与解的存在唯一性 本文我们总是假设函数，( s ) 满足o fs ，( s ) sl ，i ，“( s ) i 肘，“o ，“- 硪( d ， 其中，= 0 ，1 】 为提出与混合元方法相应的( 2 1 1 ) 的弱形式，令p = “。，则问题( 2 1 ，1 ) 可写为 如下的混合一阶系统 ， i ( o ) “= m t + ，p ) 。， ( z ，) ( o ，1 ) 【0 ，q i ( p 一缸z = o ， p ，) ( o ，1 ) f o ，研 1 ( c )仳( z ，o ) ：= t 幻( z ) ，t ( z ，o ) = t l ( z ) ，z ( o ，1 ) ， l ( d ) t ( o ，t ) = t 上( 1 ，t ) = o ，【0 ，t j ， 令y = 仃( 出口，) = 日1 ( ，) ，且= l 2 ( ，) 则问题( 2 1 1 ) 的弱形式为：求解 p “ ： f 0 ，明一y 满足 ， l ( 口)( 泓伽) = ( p “，t j ) + ( ，p k ，叫) ，v 彬i eo s r ( 6 )，u ) + ( t ，u ；) = o ，v o o s f ( 22 1 ) i l ( c )牡( o ) = t 0 ，m ( o ) = ”i 为了定义 “) 的一个适当的逼近过程，我们考虑将区间，= 【o 1 做剖分n ，其 节点为0 = 知 z l 0 使得 0 p 一庐 i e r l i pj l l ，l rs 克， ( 2 3 1 0 ) | 扫t 一蟊p f i e 7 川p 川r + i ，1sr 七， ( 2 3 1 1 ) 山东师范大学硬士学位论文 0 p ；磊。i h o 。sg 矿i | i p | l i r + l 。，1 r 七， ( 2 3 1 2 ) 扫一氟) n 0s i ? 仇l l p “，1sr s 七， ( 2 3 1 3 ) 其中，j | 驯| j 口= ( o ) l l 。，q + l f p t l | m ，p 打，m = r ，r + 1 ，g = 2 ，o 。 证明：由( 2 2 6 ) 和( 2 ，3 1 n ) 可得 ( ( 7 r 印一m ) “埘 ) = 0 ，v 虮晰。， ( 2 - 3 1 4 ) 从而 ( 7 r 槽一甄) 。t = o ， ( 2 3 1 5 ) 对( 2 3 1 6 ) 关于t 求导并取= ( 丌 p a ) t ，则由( 2 2 4 ) ，( 2 2 ，7 ) ，( 2 3 ，1 5 ) 可有 j i “鼽一m ，- 炉= ( ( n p 一甄) t ，( ”印一氟) t ) = 一( 矶一7 r h n ，“p c 一甄t ) c 0 p t 一“a 洲“p i a 。c 玑 因此我们能得到 0 m 一庐 ，。0 l | a 一7 h a + f | 7 r n m f i | s gj j p t 一7 r 矶| is e 0 矶0 ， ( 2 3 1 6 ) 利用( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 1 c ) 可碍 肋( 0 ) 一蕊( o ) j j 2 = 扣( o ) 一蟊( 0 ) ，p ( o ) 一磊( o ) ) = ( p ( 0 ) 一乒h ( o ) ，p ( o ) 一7 r p ( 0 ) ) + p ( o ) 一西。( o ) ，” p ( o ) 一声 ( 0 ) ) = ( p ( o ) 一m ( o ) ，p ( o ) 一口 p ( o ) ) l l p ( o ) 一m ( o ) i | n p ( 0 ) 一”h p ( 0 ) 从而 0 p ( 0 ) 一西( o ) 0 f 防( o ) 一7 r p ( o ) | | 所以 l 协一蕊j l i i p ( o ) 一庐 ( o ) l l + e j ：i l p c 一痧 0 打 s0 p ( o ) 一w p ( o ) 0 + c h j ：f l n h r a 阡sg 7 i | 旧i i i r ， 即( 2 3 1 0 ) 式得证下证( 2 3 1 1 ) 式，由( 2 2 5 ) 。( 2 3 1 0 ) 能得到 f f m t 一而= 0 t 一忍m t f i “m t 肛sc 矗rj 慨+ t ， 山东师范大学硕士学位论文 f 阪一蟊。0sh 纯( o ) 一磊；( o ) 0 + e 露0 m c 一磊一8 打 c 0 p ( o ) | i r + l + c 垤片 i 如r + 1 出g 川尹川，+ 1 ， ( 2 3 ，1 1 ) 式得证同理可得 l i p 。一声 声n 0 ，o o i | p 。( o ) 一庐 声( o ) l i o + g j ：i i p 矗一西t l i o ，o o 打 c ，1 7 0 p ( o ) l | r + l ，o 。+ e 旷j ：l i p c 0 ，+ l ，。d r e