（环境科学专业论文）计算浅水中物质扩散输送的耦合格子boltzmann方法.pdf

中山大学博士论文 摘要 经广泛地应用于海洋和水利工程中：河口和近岸的潮流计算，涌波的传播，水跃 问题，以及河流、湖泊、明渠流的计算。最近，预测污染物在水流中的输送扩散 成为了许多工业项目和环境项目一个新的重要的课题。这里对流和各向异性扩散 方程( a a d e ) 成为了适用于多个领域的重要方程。因此，预测水流中污染物扩 散输送情况的数值方法受到越来越多的重视。基于对流扩散方程l b 方法的研究 早期都是围绕热传导模型和化学反应模型展开的，后来i n a m u r o 等提出一个简化 的l b 模型求解对流扩散方程，此模型中平衡分布函数没有流速的二阶项，且精 度与格子空间精度一致，都是二阶精度。但是i n a m u r o 提出的模型没有考虑扩散 系数的各向异性，而在环境污染模拟中扩散系数为紊动扩散系数，具有各向异性 的特点。z h a n g 等提出了针对各向异性对流扩散方程的l b 模型，但由于该方法 是基于原始l b 模型建立，在扩散系数横向和纵向差异较大时( 一般认为 d x d y l o ) 就不能得到正确的结果。因而，在最近g i n z b u r g 针对这一问题提出 了针对a a d e 的满足动量和物质守恒的双松弛时间模型( t w o - r e l a x a t i o n t i m e ， t r t ) 。然而，在实际应用中自由水面及复杂的地形使得水深不断变化，这使得 模型不得不考虑水深变化的影响。另外，在实际水流中，水深的变化带来了水陆 交界处的边界移动，这样的动边界问题也是急需解决的。 在此前提下，本文建立了一个水流水质耦合的l b 模型( c l b m ) 。水流部 分应用通过多松弛时间重构的浅水动力学l b 模型( m r t - s w l b m ) ，并通过修 正提出达到“w e l l - b a l a n c e d 的底坡项处理方法；水质部分本文在双松弛时间 l b 模型( t r t - l b m ) 的基础上提出考虑自由水面水深变化a a d e 的t r t - l b m 模型。此外，对l b 模型中主要曲边界处理方法进行了介绍和比较分析，水流部 分采用较简单的经插值的通用边界条件，水质部分采用g i n z b u r g 提出的针对双 松弛时间的插值边界条件。同时，本文提出更加贴合实际水流的动边界处理方法， 将水流边界概化成岸堤和浅滩两种情况，并通过线性近似底坡变化提出有效的边 界追踪方法。 通过数值计算，证明了底坡项处理方法的正确，并计算一维、二维纯扩散和 对流扩散问题，通过和解析解的对比验证模型的精度，以及分析各主要参数对模 型精度的影响情况。结果证明了模型是守恒并且精度较高的。对于绕流和地形变 化的算例，通过与传统方法的比较证明模型具有模拟复杂问题的能力。最后，将 中山大学博士论文 摘要 模型应用于水东湾这个实际算例，水流部分通过与实测值对比证明模型不但能在 实际复杂地形和边界下进行计算，并能较好的模拟实际水流的变化情况。水质部 分通过与传统方法对比证明了模型在复杂地形和不恒定水流下具有计算污染物 输送扩散的能力。证明模型在环境模拟应用领域具有较好的发展前景。 关键词：数值计算，耦合格子b o l t z m a n n 方法，浅水方程组、对流扩散方程、自 由水深、守恒定律 i l l 中山大学博士论文摘要 a c o u p l e dl a t t i c eb o l t z m a n nm o d e l f o ra d v e c t i o na n d a n i s o t r o p i cd i s p e r s i o np r o b l e m i ns h a l l o ww a t e r m a j o r ：e n v i r o n m e n t a ls c i e n c e n a m e ：y i n e n gl i s u p e r v i s o r ：p r o f p i n gh u a n g a b s t r a c t f r o mt h e19 8 0 s ，t h el a t t i c eb o l t z m a n n ( l b ) m e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e di n t oa l l a l t e r n a t i v ea n dp r o m i s i n gn u m e r i c a ls c h e m ef o rs i m u l a t i o nf l u i df l o w sa n dm o d e l i n g p h y s i c si nf l u i d s h i s t o r i c a l l yi ti so r i g i n a t e da n de v o l v e df r o ml a t t i c eg a sa u t o m a t a ( l g a ) i tc a nb ee i t h e rr e g a r d e da sa ne x t e n s i o no ft h el g a o ra sas p e c i a ld i s c r e t e f o r mo ft h ec o n t i n o u sb o l t z m a n ne q u a t i o nf r o mt h ek i n e t i ct h e o r t y u n l i k e c o n v e n t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do nd i s c r e t i z a t i o no fm a c r o s c o p i ce q u a t i o n s ， l bm e t h o di sb a s e do nam i c r o s c o p i cm o d e la n dm e s o s c o p i ck i n e t i ce q u a t i o n s l b m e t h o dh a sm a n ya d v a n t a g e sa sf o l l o w ：( 1 ) i ts t r i c t l ys a t i s f yt h ee n t r o p yc o n s e r v a t i o n l a ww h i c hd o n tn e e dt om a k et h ea m e n d m e n to ft h ee n t r o p yf o rt h en u m e r i c a lm o d e l ( 2 ) i tu s e s l i n e a rl a t t i c eb o l t z m a n ne q u a t i o n ( s c a l a re q u a t i o n ) a st h eb a s i c m a t h e m a t i c a lm o d e l s i t sn u m e r i c a ls o l u t i o ni s r e l a t i v e l y e a s i e rc o m p a r e dt o n o n - l i n e a rv e c t o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i tc a n e a s i l y e x t e n dt o m u l t i - d i m e n s i o n a ls i t u a t i o n ( 3 ) d i f f u s i v i t ya n dv i s c o s i t yo ft h el bm o d e li si na s i m p l ef o r mo fd i f f e r e n c ea l g e b r a ( t h ec o l l i s i o n ) w h i c hi si nt h ef o r mo fs e c o n d - o r d e r d e r i v a t i v ef o rt h ec o n v e n t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d s ( 4 ) i nt h el bm o d e lt h e i n c o m p r e s s i b l es o l u t i o nc a nb ea t t a i n e db yt h em a t hn u m b e rt e n d st oz e r ol i m i t s o l v i n gt h ep r e s s u r ef i e l do ft h ep o i s s o ne q u a t i o nc a nb ea v o i d e d ( 5 ) i ti st h e p r e f e n e df o r m a tf o rp a r a l l e lc o m p u t i n g ( 6 ) i tc a na c c u r a t e l ys o l v et h es h o c ka n d i v 中山大学博士论文 摘要 n o n c o n t i n u o u sf l o w ( 7 ) l bm o d e ld e a l sw i 廿lt h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni nas i m p l ew a y , a n dr e l a t i v e l yh a sh i g ha c c u r a c y b e c a u s eo ft h e s ea d v a n t a g e st h el bm e t h o dh a s a c h i e v e dg r e a ts u c c e s si ns o l v i n gn u m e r o u sp r o b l e m si nm a n ya r e a si nt h el a s td e c a d e o rs o i th a sb e e np a r t i c u l a r l ys u c c e s s f u li ns i m u l a t i o n so fc o m p l i c a t e db o u n d a r i e s o r a n dc o m p l e xf l u i d ，s u c ha st u r b u l e n tf l o w , m u l t i p h a s ef l o w , m u l t i - c o m p o n e n t f l u i d st h r o u g hp o r o u sm e d i a , c h e m i c a lr e a c t i v ef l o w s ，c o m b u s t i o n s t h a ts h o w sa w i d ea p p l i c a t i o np r o s p e c tt ou s h o w e v e r , t h em e t h o dm a yl e a dt on u m e r i c a l i n s t a b i l i t yw h e nt h ed i m e n s i o n l e s sr e l a x a t i o nt i m ei s c l o s et o0 5 o n ew a yt o o v e r c o m et h e s es h o r t c o m i n g so ft h el bm e t h o di st ou s eam u l t i - r e l a x a t i o n t i m e ( m r t ) v e r s i o nw h i c hn e v e r t h e l e s sr e t a i n st h es i m p l i c i t ya n dc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y o ft h el bm e t h o d i nt h el a s tt w od e c a d e s ，r e s e a r c ho nm e t h o d so fs o l u t i o no ft h es h a l l o ww a t e r e q u a t i o n sh a sr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n t h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n sh a v ew i d e a p p l i c a t i o n si no c e a na n dh y d r a u l i ce n g i n e e r i n g ：t i d a lf l o w si ne s t u a r ya n dc o a s t a l w a t e rr e g i o n s ；b o r ew a v ep r o p a g a t i o n ，t h es t a t i o n a r yh y d r a u l i cj u m p ；a n dr i v e r , r e s e r v o i r a n do p e nc h a n n e lf o w s r e c e n t l y , p r e d i c t i o no fp o l l u t a n tt r a n s p o r ti nf l o w s i san e wa n di m p o r t a n ts u b j e c ti nm a n yi n d u s t r i a la n de n v i r o n m e n t a lp r o j e c t s h e n c e ， s i m u l a t i o no fp o l l u t a n tt r a n s p o r ti ns h a l l o ww a t e ri s r e c e i v i n gm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n a n dt h ea d v e c t i o na n da n i s o t r o p i cd i s p e r s i o ne q u a t i o n ( a a d e ) i sa n i m p o r t a n te q u a t i o nf o rm o d e l i n gp o l l u t a n tt r a n s p o r ti nav a r i e t yo ff i e l d s e a r l i e r r e s e a r c hf o c u so nh e a tc o n d u c t i o nm o d e la n dc h e m i c a lr e a c t i o nm o d e lf o rl bm e t h o d t h e ni n a m u r oe ta 1 p r e s e n tas i m p l i f i e dl bm o d e lt os i m u l a t eo ff l u i df l o w sw i t hh e a t a n dm a s st r a n s f e r , a n df o u n dt h em o d e lc a nb eo b t a i n e dw i t hr e l a t i v ee r r o r so ft h e s a m eo r d e ra st h el a t t i c es p a c i n g b u tm o s to ft h el bm o d e l sp r o p o s e df o r a d v e c t i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o na r el i m i t e dt oi s o t r o p i cd i s p e r s i o n h o w e v e r , z h a n ge t a 1 p r o p o s e da l bm o d e lf o rt h ea a d ei nw h i c ht h es i n g l e r e l a x a t i o n t i m ei sa s s u m e d t ob ed i r e c t i o n a l l yd e p e n d e n t z h a n g sm o d e li sb a s e do nt h es i n g l e r e l a x a t i o n - t i m e l bm o d e l t h i sc a u s e st h ei n c o r r e c tr e s u l tw h e nt h er a t i oo ft h el o n g i t u d i n a la n dt h e t r a n s v e r s a lc o e f f i c i e n to fd i f f u s i o ni sc o m p a r a t i v e l yl a r g e ( d x d y l o ) m o r er e c e n t ， g i n z b u r gp r e s e n t sa ni m p r o v e dl bm o d e lw h i c ht h et w o - r e l a x a t i o n t i m e ( t r t ) v 中山大学博士论文摘要 o p e r a t o ri ss u i t a b l ef o rb o t h , m a s sa n dm o m e n t u mc o n s e r v a t i o nl a w s h o w e v e r , i nt h e p r a c t i c a lw a t e re n v i r o n m e n t ，t h ef r e es u r f a c ew a t e rd e p t hs h o u l db ec o n s i d e r e d b e s i d e s ，i nt h ep r a c t i c a lf l u i d s ，c h a n g e si nf r e es u r f a c ew a t e rd e p t hc a u s et h e m o v e m e n to ft h ej u n c t i o no fl a n da n dw a t e r t h em o v i n gb o u n d a r yp r o b l e ms h o u l d a l s ob es o l v e d u n d e rs u c hc i r c u m s t a n c e sac o u p l e dl a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ( c l b m ) f o rt h e p o l l u t a n t s h a l l o w w a t e r s y s t e m i sf o r m u l a t e da n d i m p l e m e n t e du s i n g t h e m i u _ s w l b mf o rt h ef l o wf i e l dw i t ha m e n d m e n tf o rt h e ”w e l l - b a l a n c e d s o l u t i o no f t h eb e ds l o p ei t e ma n dt h et r t - l b mf o ra a d ew i t hv a r y i n go ff r e es u r f a c ew a t e r d e p t hi nt h i sp a p e r b e s i d e s ，t h em a i nm e t h o d so ft h ec u r v e db o u n d a r ya r ei n t r o d u c e d a n dc o m p a r e di nt h i sp a p e r f o rt h ef l u i d f i e l dt h ei n t e r p o l a t i o ng e n e r i cb o u n d a r y c o n d i t i o ni su s e d f o rt h ec o n c e n t r a t i o nf i e l dt h et h r e ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s i n t e r p o l a t i o ny i e l dd i r i c h l e tc o n d i t i o n sp r o p o s e db yg i n z b u r ga r eu s e d a l s o ，m o r e f i t t i n gm e t h o do fm o v i n gb o u n d a r yi sp r o p o s e di nt h i sp a p e r t h ef l o wb o u n d a r yi s c o n c e p t u a l i z e dt ot w oc a s e s ，e m b a n k m e n ta n db e n c h a ne f f e c t i v em e t h o do f b o u n d a r y - t r a c i n gi sp r o p o s e db yl i n e a ra p p r o x i m a t i o no ft h eb e ds l o p e b yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h et r e a t m e n tf o rt h eb e ds l o p ei t e mi sp r o v e dt ob e c o r r e c t 1da n d2 dp u r ea n i s o t r o p i cd i s p e r s i o na n da d v e c t i o nd i s p e r s i o np r o b l e m sa r e c a l c u l a t e d b yc l b m t h er e s u l t s a r ec o m p a r e dw i t ht h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h ei n f l u e n c e so nt h ea c c u r a c yb yt h em a i np a r a m e t e r sa r ea l s os t u d i e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h i ss c h e m eh a sg o o da c c u r a c ya n ds t r i c t l yo b e y sc o n s e r v a t i o n o fm a s sa n dm o m e n t u m c o m p a r i s o nw i t hc o n v e n t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o di nt h ef l o w a r o u n dar e c t a n g u l a rc o l u m na n dt h ef l o ww i t hv a r y i n gb e ds l o p es h o w st h a tt h el b s c h e m eh a st h ec a p a c i t yt os o l v ec o m p l e xp r o b l e m s f i n a l l y , t h es c h e m ei sa p p l i e dt o s h u i d o n gb a y f o rt h ef l o wf i e l d ，c o m p a r i s o nw i t ht h em e a s u r e dv a l u e ss h o w st h a tt h e s c h e m en o to n l yc a l ls o l v ec o m p l e xt o p o g r a p h yp r o b l e mb u ta l s oh a sg o o dr e s u l tf o r s i m u l a t i n gt h ea c t u a lf l o wp r o b l e m f o rt h ec o n c e n t r a t i o nf i e l d ，c o m p a r i s o nw i t ht h e c o n v e n t i o n a lm e t h o d ss h o w st h a tt h es c h e m eh a st h e c a p a c i t y t os o l v e a d v e c t i o n d i s p e r s i o np r o b l e m si nt h ec o m p l e xt o p o g r a p h ya n du n s t e a d yf l o w t h e s e p r o v e t h a tc l b mh a sag o o dp r o s p e c ti nt h ea p p l i c a t i o no fe n v i r o n m e n t a ls i m u l a t i o n v i 中山大学博士论文 摘要 k e yw o r d s ：n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，c o u p l e dl a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ，s h a l l o w w a t e re q u a t i o n s ，a d v e c t i o na n da n i s o t r o p i cd i s p e r s i o ne q u a t i o n , f r e es u r f a c ew a t e r d e p t h ，c o n v e r s a t i o nl a w v i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式表明。 本人完全意识到本申明的法律结果由本人承担。 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 保密的学位论文在解密后使用本规定。 导师签名：毒夺 b 飘；由年 只暑e l 日 z，rv !久疗莎o ，易水 ，套月 ： 易 名暨 年 者 哆 文 多 论位学 知识产权保护声明 本人郑重声明：我所提交答辩的学位论文，是本人在导师指导下 完成的成果，该成果属于中山大学环境科学与工程学院，受国家知识 产权法保护。在学期间与毕业后以任何形式公开发表论文或申请专 利，均需由导师作为通讯联系人，未经导师的书面许可，本人不得以 任何方式，以任何其它单位作为第一署名单位公布学位论文成果。本 人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 学位：秘够 _ o 昀年6 只匙e l 中山大学博士论文第一章 第1 章绪论 1 1 选题的计算流体力学背景和意义 随着计算机技术的日新月异和数值方法的层出不穷，计算流体动力学 ( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ，c f d ) 已经成为研究流体力学普遍且使用的重 要手段。以模型考虑的尺度为标准，大致可以分为三类模型：以雷诺平均方程 ( r e y n o l d sa v e r a g e dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，r a n s e ) 为代表的基于连续系统 的宏观力学模型；微观的分子动力学模型，如蒙特卡洛( d i r e c ts i m u l a t i o nm o n t e c a l o ，d s m c ) 法、分子动力学( m o l e c u l a rd y n a m i c s ，m d ) 方法等；以及介于 其间的多重尺度模型，尤其以格子b o l t z m a n n ( l b ，l a t t i c eb o l t z m a n n ) 法及大 涡模拟( l a r g e e d d ys i m u l a t i o n ，l e s ) 为代表。其中，格子法因为显式求解容 易实现、压力可直接计算、边界处理方便、并行度高等优点而非常适合大规模粘 ” 性流场计算，近十几年来受到国内外科研工作者的普遍关注，并举行过多次有关 的学术研讨会。 为了使格子法成为一种适用性强的c f d 技术，国内外展开了相关领域的大 量研究工作，主要可概括为四个方面：一是模型的改进，主要针对模型的误差、 稳定性以及如何提高雷诺数等问题展开研究；二是非均匀网格或不规则网格的格 子算法，将传统的有限差分、有限体积法与格子模型结合；三是高精度的边界处 理方法；四是该方法的具体应用研究，扩大该方法的应用范围。 科学家们一直在寻找一个统一的数学工具能描述从简单到复杂的物理现象 ( 包括流体运动) ，而目前只是用不同的方法来解决复杂系统中的不同的物理现 象。格子法基于原始的物理背景，作为一种全离散并行运行的局部动力学模型， 不需要建立和求解复杂的偏微分方程，它为复杂问题提供统一的物理数学模型带 来了可能性。例如，建立一个包括城市管网、地下水和与之连接的实体河流的数 学模型系统，这是目前盛行的单一商业软件使用所不能解决的。因而提高l b 方 法的适用性，特别是在实际河流、海洋以及污染物输送扩散的适用性，扩展其应 中山大学博士论文第一章 用范畴具有一定的科学意义。 近二十年，随着近岸海域的开发、沿岸经济的快速发展，大量的工农业及生 活污水排入近岸海域，近岸水环境的污染已成为世界性的环境问题。近年来，数 值模拟的方法已广泛地用于研究河流和近岸海域潮流、污染物输移扩散等问题。 求解浅水方程组的数值方法研究更是得到广泛的重视。目前，浅水方程组已经广 泛地应用于海洋和水利工程中：河口和近岸的潮流计算，涌波的传播，水跃问题， 以及河流、湖泊、明渠流的计算。最近，预测污染物在水流中的输送扩散成为了 许多工业项目和环境项目一个新的重要的课题。这里对流和各向异性扩散方程 ( a d v e c t i o na n da n i s o t r o p i cd i s p e r s i o ne q u a t i o n ，a a d e ) 成为了适用于多个领域 的重要方程。因此，求解a a d e 的数值方法受到越来越多的重视。 1 2 传统数值方法及其存在问题 为了适当地利用水资源、防止水灾和保护水资源不受污染，一项重要而且迫 切的任务是建立和开发有效的管理水资源的机制，其中最重要、最基础的工作是 研究和掌握水流运动和水中污染物输送的规律。水流运动和水中污染物输送，随 时间和空间变化，是非常复杂的物理现象。人们应用基本的物理定律，如质量、 能量和动量守恒定律来描述这些现象，从而获得一系列的偏微分方程组，这些描 述水流运动( 如浅水方程组或称圣维南方程组) 和描述污染物输送的方程组( 如 对流扩散方程) 都是非线性的( 双曲+ 抛物) 偏微分方程系统，目前在数学上尚 无解析解( 只有在非常简单的情况并在诸多假定下可求得解析解) 。于是，数值 方法便成了求解这些偏微分方程的近似解的基本工具。 水力学问题的数值模型就是利用数值方法求解水流或污染物输送的偏微分 方程的近似解来模拟水流和污染物运动过程的模型。在水力学中，常用的数字是 水深和水面高程、流速和流量、河床、表面应力或内应力、模拟范围和其周边各 部分的质量交换、盐度、温度等。在大多数情况下，这些数字的运算将系统从边 界描述扩展到整个系统的描述，并将系统从某一时刻的描述转换到下一时刻的描 述，以便数值模型追踪这些描述物理系统的数字随空间和时间的变化。相应地， 便可得到各种提议的工程及行动方案的物理变化。 2 中山大学博士论文第一章 早在上世纪上半叶就有人提出浅水方程组在数学形式上和正压气流欧拉方 程组一致，这也是“水气比拟的基础。但只有在宽矩形断面、平底明渠流和正 压气流之间才可直接比拟，互相移植理论和实验结果。而后随着计算气动力学的 产生，“水气比拟 又慢慢成为了浅水动力学的主要研究方向。 对于二维浅水流的数值模拟，其发展经历了几个阶段【l 捌： 有限差法在水流模拟中是用得最广泛的一种数值方法，它以泰勒级数展开为 基础。该法发展了许多不同的差分格式，它们的共同特点是都基于矩形坐标网格 上的有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，f d m ) 。其明显的缺点是，受网格 密度的限制，对平面水体的周边形状逼近较差，且对边界条件的实现或不准确( 尤 其是边界线的转折点) ；此外，为了消除数值震荡、平滑数值解，必须在格式中 加入人工衰减项，这种做法也称之为熵修正。由于人工衰减项是非物理的，很难 确定这种“捏造项 的适当形式，使得所加入的衰减量恰好抵消不稳定性的增长 而又不至于降低格式的精度。 二十世纪七十年代起计算流体力学界开始将有限元法( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，f e m ) 应用于平面流动模拟。f e m 的最大优点是所用的不规则的无结 构网格，易于较准确地逼近浅水体周边地形和水下地形，后者正是决定水体在重 力下如何流动的主要因素。但f e m 虽然在计算固体静力学中很成功，此时则遇 到了两大问题。一是为了使计算量不致太大，f e m 主要用于模拟恒定流( 类似于 模似固体的静应力状态1 ) ，否则每一计算时段都要求解一个庞大的方程组。但直 接求解恒定流方程组存在数学上的困难，通常还是在恒定流边界条件下求解非恒 定流方程组( 称伪非恒定法) ，f e m 计算量大的困难便避免不了。二是基于加权残 差极小化原理的f e m ，主要适于求解椭园方程边值问题，故主要用于不可压流。 对可压流及浅水流这样的双曲初边值问题，标准的g a l e r k i nf e m 相当于中心格 式，需要改造成特殊的f e m 才能相当于逆风格式，甚至可处理间断解。正是由 于此深刻的内蕴而非外在技术因素，使f e m 在浅水流模拟中并未得到推广。 二十世纪八十年代计算气动力学在模拟二维及三维流动时发展了有限体积 法( f i n i t e ，v o l u m em e t h o d ，f v m ) ，它是以往的一维守恒型格式的多维推广。 f v m 早在二十世纪七十年代初开始用于平面不可压流数值模拟，形成了矩形网 格上的s i m p l e 类隐式算法。而后，计算气动力学却采用f e m 网格，沿每个控 3 中山大学博士论文第一章 制体的各个界面的法向，用高性能守恒逆风格式计算跨越界面的质量和动量通 量，然后对每个控制体分别建立质量、动量及能量平衡，得到f v m 方程组，用 于求解计算时段末控制体平均的数值解，并取得成功。当地形有显著不规则变化 时，f d m 必须加密计算点否则无法应用，而f v m 则可直接应用，只需每个控制 体内地形近似线性变化。浅水在重力驱动下和地形制约下流动，故正确估计水体 与床壁之间作用力的水平分量常是数值模拟成功与否的关键，也是水气流动模拟 之间的重大差别。在f v m 的框架下，如在每一时间步长内对逐个控制体进行动 量平衡时，除静水压力外还同时正确考虑这一作用力( 在二维情形要考虑毗邻陆 地边界格子形心处流向不与边界平行所产生的正或负动水压力) ，问题便迎刃而 解，既简单又准确。这为推广f v m 、发挥其优点开拓了道路。推而广之，只要 依据基本力学原理，可考虑计算域内各种局部障碍和阻力( 如边界转折、断面迅 速扩缩等) 所产生的能量损耗。对二维问题可使用f e m 网格和斜底格子以准确拟 合地形；采用一维守恒逆风差分格式( 尤其是高性能特征逆风格式) 来计算跨越控 制体界面的通量，并通过有限控制体的水量动量平衡来建立离散的f v m 方程组 供求数值解使用。f v m 的误差主要来自对界面通量的估算，它严格遵循守恒律， 不存在任何的水量动量不平衡的守恒误差，这不同于f d m 的误差主要来自用差 商逼近偏导数而带来的截断误差，后者使f d m 不适用于时空变率大的情况。因 此，f v m 吸取了f d m 与f e m 的优点，并同时具有自己的独特优点，尤其对二 维及三维问题f v m 可发挥巨大作用。然而，该法在控制体内部变量往往为常数， 在控制体的边界上的通量需要经过插值计算，这对精度有一定的影响，同时，该 法是显格式，对时间步长有所限制，虽然时间步长小可以提高精度，但使得计算 量大大地增大。另外，由于求界面通量是通过求解一维黎曼问题来求得的，故在 模拟溃坝等问题时会在所谓“声点 处产生稀疏波震荡( 黎曼解法考虑了连续波 而没有考虑稀疏波，对此的熵修正不完全) 。 主要传统数值方法的简介见表1 1 。 4 中山大学博士论文第一章 表1 - i 主要传统流体数值方法简介 t a b l e1 - 1t h eb r i e fi n t r o d u c 0 no ft h em a i nc o n v e n u o n a ln u m e d c a im e t h o d si nf l u i d s 特征线法沿特征线积分 有限差法 ( f d m ) 有限元法 ( f e m ) 有限体积法 ( f v m ) 以泰勒级数展开为基础 将计算域分为若干单元并 在每个单元内将微分方程 的变量和参数用多项式内 插来求解 在控制体内积分，求控制体 边界通量 了解波的传播已经显 格式边界条件的沿展 基于矩形坐标网格， 精度高，发展较成熟 处理不规则或复杂的 几何边界能力强 既基于非结构网格， 又严格遵循守恒律 精度不高，难处理复杂 几何边界 对不连续流易产生数值 震荡，网格结构化 对非恒定流计算量大， 计算双曲问题不易稳定 显格式，通量计算是求 解一维黎曼问题，对激 波的计算会产生“声点” 较理想的水力学数值模型除了具有精确度较高、稳定性较好、运算速度较快 的特征外，还能够模拟如下的实际水力学问题【2 】：( 1 ) 复杂地形；( 2 ) 缓流和急 流；( 3 ) 恒定流和非恒定流；( 4 ) 连续流和不连续流( 如溃坝等) ；( 5 ) 洪泛平 原的干湿流；( 6 ) 过建筑物水流：( 7 ) 支流入汇；( 8 ) 环流：( 9 ) 紊流。这些特 征是检验数值模型性能的客观尺度。随着过去几十年间计算机的迅速发展，为解 决以上实际问题，人们提出了许多水流和污染物输送的数值模型，这些模型在计 算水力学的许多方面取得了不同程度的成功。然而，到目前为止尚没有一个模型 能解决上述所有问题【l 】。这都导致了科学家们不断探求新的流体力学数值方法。 1 3 关于宏观与微观的理论格子b o l t z m a n n 方法的提出 尽管物质的空间连续分布与物质的离散结构是不同的，但是，二者有着本质 上的联系，不同的微观本质对应着一定的宏观现象。如何架起宏观和微观之间的 5 中山大学博士论文第一章 桥梁，确定宏观物理量与微观运动特性间的对应关系，使它们能在某种意义上协 调一致，将是建立和发展流体力学的一个根本而关键的问题。传统的流体力学方 法在宏观的视野用宏观的方法得出宏观的物理量，因此，缺少对微观运动和微观 物理量的考虑，使得宏观与微观之间缺少应有的联系。 同时，由于物质结构的复杂性，加上基本粒子的运动规律尚未完全建立，用 完全真实的微观例子运动理论研究流体的宏观性质存在着数学上的困难。 在这种情况下，l b 法是建立宏观微观相互联系的有效尝试。l b 法利用粒子 的简单且规则统一的假想运动模型来代替复杂的真是微观运动，实现模拟宏观物 理现象的目的。 具体来说，流体在物理上是由大量分子构成的个离散系统，分子间的距离 远大于分子本身的尺度，每个分子作无规则的运动，分子之间通过频繁的碰撞交 换动量和能量。因此，流体的微观结构和运动在时间和空间上都非常复杂，导致 流体在微观角度上的不均匀性、离散性和随机性。另一方面，流体的宏观运动和 其它性质是流体分子微观运动的整体平均结果，具有一定的均匀性、连续性和稳 定性。因此，可以从宏观层次的连续性方法和微观层次的分子动力学方法两个角 度来研究流体的运动规律。实际上，流体运动可以