（检测技术与自动化装置专业论文）基于小波分析的间谐波检测与去噪研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 随着非线性负载的大量使用，电网中的谐波问题越来越复杂。问 谐波作为一种特殊的谐波，其频率是基波频率的非整数倍。间谐波的 大量存在会使电能质量恶化，引发闪变，引起继电器误操作等。目前 间谐波问题已经引起了人们的广泛关注，对其进行精确检测和分析具 有十分重要的意义。 论文以问谐波为研究对象，简述了其主要来源和危害，分析了经 典的傅里叶变换方法用于间谐波检测的不足，选择了小波分析方法研 究间谐波问题。小波变换是傅里叶变换的继承和发展，具有良好时频 局部化特征及多分辨率特性j 在间谐波检测中获得了广泛应用。 论文针对间谐波信号含高斯白噪声情形研究了信号去噪问题，提 出新阂值函数用于信号降噪；因小波基函数的不理想紧支性，连续小 波变换方法用于间谐波检测存在一定的局限。小波包具有更为精细的 频带划分特性，可将信号分解至不同子频带。结合连续小波变换和小 波包的优点，本文采用了改进的小波变换方法检测问谐波参数。 仿真结果表明，基于小波分析方法进行问谐波检测和分析是行之 有效的，完成了信号降噪和频率等参数的精确检测，为间谐波测量提 供了一种有效的解决方案。 关键词：问谐波，傅里叶变换，小波变换，多分辨率分析，阈值去噪， 小波包 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ew i d e l yu s i n go fn o n l i n e a rl o a d s ，t h ep r o b l e m so fh a r m o n i c sh a v e b e c o m em o r ec o m p l i c a t e di n p o w e rs y s t e m i n t e r h a r m o n i ci sas p e c i a lk i n d o f h a r m o n i cw h i c hi s n o n - i n t e g e ro ft h ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c y am a s so ft h e i n t e r h a r m o n i c st h a te x i s t e dm a ym a k et h ep o w e rq u a l i t yw o r s e ，r e s u l t i n gi nf l i c k e r a n dt h ew r o n gr u n n i n go fr e l a y r e c e n t l y , t h eh a r m so f i n t e r h a r m o n i c sh a v eb e e n a t t r a c t e de x t e n s i v ea t t e n t i o n i t si m p o r t a n tt od e t e c ta n d a n a l y z et h e ma c c u r a t e l y t h ep a p e rd e s c r i b e dt h em a i nr e s o u r c e sa n dh a r m so fi n t e r h a r m o n i c s t h e s h o r t c o m i n g so ff o u r i e rt r a n s f o r ma d o p t e di nt h e i rd e t e c t i o n sw a sa n a l y s e da n dt h e w a v e l e tm e t h o dw a ss e l e c t e df o ri n t e r h a r m o n i c s t h ew a v e l e tt r a n s f o l i nw a s i n h e r i t e da n dd e v e l o p e df r o mt h ef o u r i e rt r a n s f o r m ，i th a sg o o dt i m e - f r e q u e n c y f e a t u r e sa n dm u t l i - r e s o l u t i o n s ，a n dh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h em e a s u r e m e n to f i n t e r h a r m o n i c s f o rt h ec a s eo ft h ei n t e r h a r m o n i c sw i t hg u a s sw h i t e - n o i s e ，an e wi m p r o v e d w a v e l e tt h r e s h o l df u n c t i o nw a sp r o p o s e df o rs i g n a ld e n o i s i n g ；f o rt h en o n i d e a l c o m p a c t l ys u p p o r t e dp r o p e r t yo ft h ew a v e l e tf u n c t i o n ，t h ec o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m ( c w t ) w h i c hi su s e di nt h ed e t e c t i o n sh a ss o m el i m i t a t i o n s ，w h i l et h e w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m ( w p t ) h a sm o r ed e t a i lp a r t i t i o n sw h i c hc o u l ds p l i tt h e f r e q u e n c yi n t ot h en o n z e r ob a n d c o m b i n e dw i t ht h em e r i t so fb o t hm e t h o d s ，a n i m p r o v e dm e t h o dw a sa d o p t e dt om e a s u r et h ep a r a m e t e r so fi n t e r h a r m o n i c s t h er e s u l t ss i m u l a t e db ym a t l a br e v e a l st h a tt h em e a s u r e m e n t sa n dt h ea n a l y s i s o fi n t e r h a r m o n i c sb a s e do nw a v e l e tm e t h o da r ev a l i d w a v e l e ta n a l y s i sc a nb eu s e df o r s i g n a l - d e n o i s i n ga n dd e t e c tf r e q u e n c ya c c u r a t e l y , t h e r e f o r ei th a ss u p p l i e da ne f f e c t i v e s o l u t i o nf o rt h em e a s u r e m e n to fj n t e r h a r m o n i c s k e yw o r d s ： i n t e r h a r m o n i c s ， f o u r i e r t r a n s f o r m ，w a v e l e t t r a n s f o r m ， m u l t i 。r e s o l u t i o na n a l y s i s ，t h r e s h o l dd e n o i s i n g ，w a v e l e tp a c k e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 学位论文作者签名：水准禽 呷年占月尸日 哜钟 是 帽 钒 y 膨 细 教 年 撒 严 匕h p 拱 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：杨念含 日期：少叮年占月 江苏大学硕士学位论文 1 1 选题背景和意义 第一章绪论 现代社会中，电能己成为种必不可少的重要能源。一方面，随着科技的发 展，各种复杂精密的、对电能质量敏感的用电设备越来越普及，从而对电能质量 的要求更加苛刻；另一方面，随着生活水平的提高，人们对电能的需求量同益增 加，对电能质量的要求也越来越高。目前，电能质量问题已引起广泛关注，改善 电能质量对保证电气设备安全运行和保证居民正常生活具有重要意义i 。 电力系统中的电能质量问题主要可分为稳态和暂态两大类。稳态电能质量问 题以波形畸变为特征；暂态电能质量问题通常是以频谱和暂态持续时间为特征。 其中谐波属于稳态电能质量问题的范畴。大量非线性负载和大功率用电设备启停 等使得电网中谐波i 、u j 题变得越来越复杂。 i 日j 谐波是一种特殊的谐波，其频率是皋波的非整数倍。间谐波广泛存在于电 网中，对电能造成了严重污染，其不仅具有类似谐波的危害，而且还可能引发闪 变等一系列电能质量问题。因此，对问谐波进行检测和分析具有十分重要的理论 和现实意义，可以为谐波抑制与综合治理提供依据，从而有效的改善电能质量。 1 2 国内外研究现状 目前，间谐波问题已引起了国内外的广泛关注【2 ，3 1 ，其主要原因如下：一是 随着非线性设备和波动负载的增加，电网中出现大量的i 、i l j 谐波；二是间谐波不但 有类似谐波的危害，还可能导致电压闪变、引起感应电动机噪卢和振动、产生冲 击性转矩和造成继电器误动作等。从某个程度上讲，问谐波比谐波的危害更大； 三是系统内间谐波频率足随着产生间谐波的没备运行状况而变化的，具有不确定 性，导致难以准确检测和消除间谐波1 4 , 5 1 。 为了认识间谐波的特性，人们进行了大量研究工作，主要包括以下几个方面： ( 1 ) 分析了由高压直流输电、电弧炉和频率转换装置产生的间谐波 6 - 8 1 ； ( 2 ) 研究了闪变和f l l j 谐波之间的关系9 , 1 0 1 ； ( 3 ) 探讨了间谐波对继电保护装置的影u 向j ； ( 4 ) 研究了间谐波潮流的计算方法1 1 2 】； 江苏大学硕士学位论文 ( 5 )间谐波相序特性的研究1 1 3 】； 国内对间谐波的研究始于上世纪末，目前主要工作集中在间谐波检测和估计 方面。对于问谐波的检测和估计，主要是检测间谐波的幅度、相位和频率，其中 频率检测是检测其他参数的基础。 经典傅里叶变换用于谐波检测技术已经较为成熟，选择合适的采样频率即可 获得精确的测量结果。对于间谐波检测，如果选取合适的采样频率并进行同步整 周期采样，也可以取得较满意的结果。但是由于间谐波频率未知，且整周期同步 采样难以实现，从而傅罩叶变换方法对其进行检测存在局限性，可能出现严重的 频谱泄漏和栅栏效应，产生原信号中并不存在的间谐波频谱成分【l4 1 。基于此， 相关学者提出了一些傅罩叶改进算法用于检测问谐波。文献 1 5 和 1 6 给出了基 于差值f f t 的改进算法，该方法通过选择合适的窗函数来减少频谱泄漏，有效地 抑制噪声的干扰，在一定程度上提高了问谐波的检测精度，其不足之处在于分析 窗的宽度一般要达到几十个周期，因而其频率分辨率与信号长度成反比，并且当 问谐波频率接近谐波频率时，要准确检测必须进一步增加窗宽，从而实时性也很 难保证；文献 1 7 给出了基于短时傅里叶变换( s t f t ) 的间谐波测量方法，s t f t 是对经典傅里叶算法的改进，该算法具有时频特性。但因采用固定窗，其时问和 频率分辨率存在相瓦制约的关系，不能同时兼顾高的时间分辨率和频率分辨率， 且不存在快速算法，从而使s t f t 的应用具有一定的局限性。 除了傅罩叶变换以外，间谐波检测还有一些其他的方法。文献 1 8 - 2 1 给出 了用于问谐波检测的谱分析方法，其中包括a r 模型分析和特征分解法。相关谱 分析方法及其改进算法进行问谐波检测取得了一定的成效，但是由于谱分析方法 对噪声比较敏感，在强噪声环境下甚至会导致p r o n y 等检测方法失效，而实际电 网中的电压和电流信号中都存在随机噪声。因而，使用谱分析方法分析间谐波必 须先对原始信号进行去噪处理，目前广泛使用的是基于小波分析的去噪方法。 随着人工智能的发展，神经网络被用于检测问凿波 2 2 , 2 3 l 。使用人工神经网 络检测问谐波具有较高的精度，但人工神经网络的建模和训练工程具有不确定 性，且计算量大。 小波分析是8 0 年代后期迅速发展起来的新兴学科，它是继傅罩叶变换之后 的重大突破，克服了傅咀叶变换和短时傅罩叶变换的缺点，同时具有时频局部化 2 江苏大学硕士学位论文 特征，且具有多分辨率分析特性，可以由粗及细的分析信号，具有“数学显微 镜”的美称。随着小波理论体系的不断发展和完善，小波分析已被广泛应用于工 业控制和应用的各个方面。 通过对间谐波特性的分析，并结合小波变换的优良时频特性，国内外对小波 分析用于间谐波检测进行了大量的研究1 2 4 铷1 ，讨论了连续小波变换及多分辨率分 析等方法用于间谐波检测的优势和不足，并提出了一些改进的算法【3 l - 3 5 1 。小波分 析及其改进算法用于间谐波检测取得了良好的效果，本文也是在连续小波变换的 基础上，采用小波与小波包相结合的分析方法对间谐波信号进行检测和分析。 1 3 本文研究的主要内容 间谐波作为一种特殊的谐波，对电网的安全稳定运行产生了一定的影响。国 内对问谐波的认识尚处于初级阶段，没有统一的标准和测量方法。但是电力电子 装置和非线性负荷的大量使用，使得间谐波产生的危害不容忽视。因而，本文以 问谐波为研究对象，采用小波分析方法对问谐波进行检测和去噪研究，其中重点 在于间谐波信号噪声的预处理及频率检测两个方面。全文共分六章，具体内容安 排如下： ( 1 ) 第一章是绪论，概述了本课题的选题背景和意义，介绍了目前国内 外间谐波检测的研究现状，给出了本课题所需要完成的工作。 ( 2 ) 第二章阐述了间谐波基本问题。简述了间谐波基本概念、主要来源 及危害，并给出了间谐波检测的相关标准，说明问谐波检测的重要性。 ( 3 )第三章是间谐波检测理论基础，对比研究了用于间谐波检测的傅里 叶变换和小波变换方法，分析了小波变换用于间谐波检测的优势，详述了小波变 换及小波包变换的相关概念和特性，为后文去1 噪及间谐波检测做好理论基础。 ( 4 )第四章主要是对信号进行去噪处理。实际的电网信号总是存在噪声， 对问谐波进行精确检测的前提是对信号进行有效的去噪预处理，提取出有用信 号。本章针对含高斯白噪声信号模型，通过对d o n o h o 阈值法的研究，提出改进 的小波去噪方法，并用于间谐波去噪。 ( 5 ) 第五章主要是对f n j 喈波信号各频率分量进行检测。本章在分析了连 续小波变换和小波包变换的基础上，结合各自的优点，互补不足，采用基于改进 江苏大学硕士学位论文 的连续小波变换方法进行间谐波检测，并进行仿真分析，验证该方法的有效性。 ( 6 ) 第六章总结了本文所完成的工作，阐明研究中存在的问题和不足之 处，对问谐波检测的后续工作和发展趋势作出展望。 其中，第四章和第丘章是本文的重点内容，其仿真是基于m a t l a b 7 0 及小波 工具箱3 0 ，对给定信号进行仿真和验证。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章电力系统中间谐波问题概述 随着电力电子技术的飞速发展及各种非线性元件在电力系统中的广泛使用， 由此产生的谐波对电能质量的污染越来越严重。间谐波作为一种特殊的谐波，大 量存在于电网中，给电力系统安全、经济地运行带来极大危害，已经引起人们的 广泛重视。本章就间谐波的基本概念、来源、影响及相关标准作了简译的介绍和 分析。 2 1 间谐波的定义 i e c6 1 0 0 0 2 - 1 将间谐波定义为：在电压和电流信号的谐波分量之间存在着 频率与基波频率不成整数倍关系的信号，它们以离散频率或连续频带的形式出现 1 3 6 1 。随后，i e c 一6 1 0 0 0 2 2 将间谐波重新定义为：任何非整数倍基波频率的频率 成分阳。i e e e 间谐波工作组已经采用此定义并推荐i e e e5 1 9 标准修订时采用 1 3 8 - 4 0 l 。间谐波作为非整数倍基波频率的特殊谐波，它与其它频率信号之问的关系 如表2 1 所示，其中次谐波是问谐波的一种特殊情况，指频率低于工频的问谐波。 表2 1 间谐波与其他频率信号的关系 工频谐波间谐波次谐波 fk f ( k ：正整数) 1 9 f ( p ：非正整数)q f ( 0 q 1 ( o c ) 。当l 两端电压升高或l 线圈出现涌流时，铁芯 可能饱和，感抗随之减小，当减小到缈三= 1 ( a , c ) 时，满足串联谐振条件，l 和c 两端形成过电压，发生铁磁谐振，该现象是电网中间谐波的主要来源【4 4 1 。 e 图2 7 串联铁磁谐振回路 大部分间谐波源( 各种凋速装置，电弧炉等波动负荷) 产生间谐波的幅值和 频率是随时间变化的，具有时变特性，从而对间谐波特性的认识和准确检测具有 一定难度。同时，各种间谐波源的广泛存在，给公用电网注入了大鼍的问谐波， 从而严重影响了电网的安全和稳定运行。从某种程度上讲，f 自, l - n 波对电网的危害 更甚于谐波。 2 3 间谐波的危害 间谐波和基波是非同步变化的，因而会导致波形正负半波幅值发生变化及过 江苏大学硕士学位论文 零点偏移，使采样数据或过零工作的数字继电器产生误差，甚至误操作造成事故， 还会影响到传统谐波测量装置的结果和准确度；间谐波电流会引起导体额外发 热，影响电气设备的负载能力和绝缘。除此之外，间谐波会在变压器电抗和电容 组i i j 激励难以预料的谐振；当间谐波频率接近皋波或谐波频率，会发生l 、人j 变；频 率低于基频的谐波会使汽轮发电机发生转矩扭振，给变压器和电动机带来额外的 损耗，致使其绝缘水平下降，引起感应电动机噪声和振动，引起滤波器过载失效， 甚至损坏。 2 3 1 波形畸变 图2 8 所示是含有1 2 倍工频的f h j 潴波波形图，其中y = 2 2 0 s i n ( 1 0 0 t n ) ， m = 2 2 0 s i n ( 1o o n t ) - i - 11s i n ( 5 0 r r t + o 0 2 ) 。由图2 8 可知，问谐波的存在不仅会导 致基波过零点偏移( 图2 8 ( b ) ) ，而且会使正负半波幅值发生变化( 图2 8 ( c ) ) 。 放 图2 8 含有5 的1 2 次间谐波波形图 2 3 2 闪变 当间谐波频率接近谐波或基波频率时，就会引发闪变。目前国外对问谐波引 起的闪变问题进行了广泛的研究和探讨【4 5 , 4 6 】。 闪变分为电压闪变和光闪变。当电压基波叠加谐波分量时，会呈现电压波动 的状态，即电压的均方根值或峰值的包络呈j 下弦周期性变化，电压闪变即理解为 快速的电压波动。设某信号含有频率为力的间谐波，则该信号波形的包络就会以 厶= i 彳一五i 的频率波动，其中五为与间谐波石频率接近基波或谐波频率。 光闪变则足人对光亮度或光色波动现象的主观视感，人眼对在8 h z 频率附近 的灯光i 、人j 烁较为敏感。如果l 、i j 谐波与基波或谐波之问的频率差值在8 t t z 以内，人 的视觉就会受到严蕈的干扰。例如有一信号为s i n ( 2 x 6 0 t ) + o 3 s i n ( 2 n 1 7 4 t ) ，其波 1 2 江苏大学硕士学位论文 形如图2 9 所示。 i n t e r h a r m o n i c = 17 4 h z 图2 9 间谐波引起的灯光闪烁 由图可知，波形的包络线明显有6 h z 的波动，即每隔0 1 6 7 s 波动一次。同 光灯对这一值变化敏感，会引起灯光闪烁，干扰人的视觉。 2 3 3 对电动机的影响 间谐波对电动机噪声和振动影响很大。气隙磁通和转子电流因间谐波的存在 而相互作用产生的力可分解成多频分量，若力的分量频率与电动机定子的固有频 率很接近，且在“圆周振型”阶数上耦合较深，则会产生很强的噪声和振动。 2 3 4 对无源滤波器的影晌 目前工业上广泛采用由电容、电感和电阻构成的无源滤波器来吸收谐波和提 高用电功率因素。这些滤波器只能对某几次主要的谐波( 通常为整数次谐波) 有 明显的滤波效果，而对白j 谐波可能有放大的作用，在更严重的情况下，会使滤波 器过载而不能投运，甚至很快损坏。为了抑制滤波系统对i 、r j 谐波的谐振放大，通 常在单调谐滤波器的基础上增加阻尼来解决此| 、口j 题。 2 3 5 对功率因素的影响 由于间谐波引起波形畸变，从而降低负荷的功率因数，增加各种能量的损耗。 2 3 6 对测量仪表的影响 问谐波因改变电压过零点而易使采样数据或过零工作的数字继电器产生误 差，甚至误操作造成事故，而且还会影l 相传统谐波测鼍的结果和准确度，以及使计 量仪器发生计量误差。间谐波电压还会引起电视机图像滚动以及无线电收音机或 其它音频设备的噪声。 江苏大学硕士学位论文 除以上影向以外，间谐波对电力系统的危害还表现在：线损增加、变压器寿 命降低、继电保护和自动装置的误动作等。f 、h j 谐波在电网中的广泛存在，对电网 的安全经济运行产生了重人的影响，间谐波检测势在必行，但目前间谐波检测尚 缺乏相关的统一标准和限定。 2 4 间谐波相关标准 间谐波及其影响广泛存在于电力系统中，而现行国家标准电能质量公用 电网谐波( g b t1 4 5 4 9 9 3 ) 只对谐波规定了限值和测量方法。在i e c1 0 0 0 4 - 7 谐波和间谐波测量及仪器通用导则中也只对测黾不同性质谐波的f f t 仪器的 窗宽提出了基本要求。间谐波的研究尚处于起步阶段，目前还缺乏统一的标准和 有效的测量手段【4 7 1 。 研究证明【4 8 】，间谐波电压必须限制到足够低的水平： ( 1 ) 2 5 h z 以下间谐波应限制到0 2 以下，以免引起闪变； ( 2 ) 对于音频脉冲控制的接收机，间谐波电压应限制到0 3 以下，否则会 被干扰； ( 3 ) 2 5 k h z 以下的问谐波电压应不超过0 5 ，否则会干扰电视机，且引起 感应式电动机噪声和振动以及低频继电器的异常运行； ( 4 ) 2 5 , - 一5 k h z 的问谐波电压如超过0 3 ，则会引起无线电收音机或其他音 频设备的噪声； ( 5 ) 当有非线性负载时，频率为以的问谐波会产生频率( 以2 顽) 旁频带 成分( n ：l ，2 ，) ；这些旁频的幅值可能和f n j 谐波的幅值非常接近，则对于闪 变频带的幅值而言相当于扩展到基波的四倍，对于音频控制频率的幅值而言也扩 展到同样的倍数。因此间谐波的影响将更为扩大。 鉴于以上研究结果，i e c6 1 0 0 0 3 6 建议将间谐波电压水平限制在0 2 以下。 2 5 本章小结 问谐波广泛存在于电网中，其对电能质帚的影响和污染不容忽视。本章从间 谐波的基本概念出发，对问谐波的来源和危害进行了较为详尽的分析，并给出了 问谐波的相关标准，对间谐波的检测与分析具有重要意义。 1 4 江苏大学硕士学位论文 第三章问谐波分析与小波变换理论 谐波检测在电能质量分析中占有重要的地位，在采样频率和窗函数选择合适 的情况下进行等问隔采样，选用傅里叶变换方法能够精确检测各项谐波参数。但 由于问谐波是非整数倍的特殊谐波，且其频率具有不确定性，因而傅里叶变换方 法用于间谐波检测具有一定的局限性。 小波变换是在傅里叶变换基础上发展起来的一种新的信号处理方法，文中通 过小波变换与傅里叶变换的比较分析，说明具有时频特性的小波分析更适合进行 f , j i 皆波检测。本章主要研究小波变换基本理论，其中重点阐述小波多分辨率分析 特性，分析了连续小波变换及小波包变换的概念和性质，为后文使用小波分析方 法完成信号降噪和问谐波参数检测奠定理论基础。 3 1 傅里叶变换及其改进算法 3 1 1 傅里叶变换 1 8 8 2 年，法国工程师傅早叶( f o u r i e r ) 指出，一个非周期信号f q ) 都可以 分解为无穷多个不同频率j 下弦信号之和，这就是谐波分析的基本原理。目前，傅 里叶变换用于谐波检测已经取得了较好的效果，但是将该方法直接用于问谐波检 测，会存在很大的误差，甚至出现被测信号中并不存在的频率分量。 设连续时问信号f ( t ) e l i ( r ) ，则其傅罩叶变换定义为： f ( ) = c 儿弘咖d t ( 3 1 ) 傅晕叶逆变换定义为： ，( f ) = 去e 即户d ( 3 屯) 傅罩叶变换存在的条件是f q ) 在r 上绝对可积，从式( 3 一1 ) 可以看出，傅 罩叶变换是把信号从时域完全转化到频域进行分析，是整个时域上的积分，丢弃 了时域的所有信息。 在对信号厂( f ) 进行傅早叶变换或者逆变换时，计算机不可能对无限长连续信 号进行计算，而实际得到的信号也大多足经过采样之后的离散信号，从而引入离 1 5 江苏大学硕士学位论文 散傅里叶变换( d f t ) 。 对厂( f ) 进行每周期n 点采样( ，o ) ，力= o , 1 一1 ) ，采样周期互= r ， 则离散傅里叶变换定义为： k = 0 ，1 一一1 ( 3 - 3 ) 离散傅罩叶反变换为： m ) 一万1n 磊- i f ( 。) 护州以= o ，1 一1 ( 3 4 ) 如果t 为一个周期时长，则输出频率只含基波频率整数倍分量，角频率分辨 率为= 了2 u ；如果时长t 是p 个周期的信号，则频率分辨率变为= 吾。 式( 3 3 ) 也可以写成矩阵形式，令；e - 1 百( 又称为碟形因子) ，则： ，一j f ( w k ) 一罗，( ，z ) w “ 七= o 1 v 一1 ( 3 5 ) 铺 可以看出，d f t 需要计算n 2 次复数乘法和n ( n 一1 ) 次复数加法，在n 较大 时，计算量将会变得非常巨大。 快速傅罩叶变换( f f t ) 是离散傅里叶变换( d f t ) 的快速算法。直接进行 d f t 变换时是一个繁复的过程，f f t 的提出大大提高了计算速度。利j f j 睇的周 期性时一时卅：皑+ 加和对称性峙+ i = 一时，将n = 2 ”点的d f t 分解 为m 个2 点的d f t ，称为基2 的n 可。对于同样的n 点数据，f f t 的计算量为 ( n 2 ) l o g ：n 次复数乘法和nl o g ：n 次复数加法，相较于d f t 运算其计算量大大 减少。 f f t 算法通常可分为按时问抽取的f f t 运算( d l t ) 和按频率抽取的f f t 运算( d i f ) 两种方法1 4 舛。 3 1 2d f t f f t 检测间谐波的局限性 傅里叶变换是目前用于谐波检测最常用的方法。f f t 算法以频点的方式处理 频域信息，对采样数据有严格的要求。在选择合适的采样频率和频率窗函数，并 且进行整周期同步采样的条件下，f f t 算法能实现整数次谐波的精确捡测，反之 1 6 i玎玎2 “ p - 、 ” t， m 篇 篇 、- 、i 、 f 江苏大学硕士学位论文 则存在测量误差。而间谐波是非整数倍的谐波，它与相邻谐波之间的频率宽度小 于基波频率，要检测出相关的问谐波分量，则必须增加分析窗的宽度，使之包含 多个信号周期。即便如此，对于间谐波的同步采样仍然难以实现，f f t 算法的频 谱泄漏不可避免，从而导致在检测信号时淹没信号本身存在的间谐波，甚至产生 一些原信号中并不存在的频率分量，当间谐波频率接近谐波频率时，问谐波的检 测就更加困难，且易引发闪变。 例如，对于含有问谐波的信号f ( t ) 一s i n ( 2 a r 5 0 t ) + 0 1 5 s i n ( 2 a 7 5 t ) 进行分析， 其中基波为5 0 h z ，如果选取采样窗宽为4 0 m s ( 即为2 个信号周期) ，则频率分辨 率为1 1 2 t 一2 5 h z ，此时可以得到该信号中含有的7 5 h z 信号( 如图3 1 所示) 。 如果将该信号中的问谐波频率改为 9 0 h z ，信号为 ，( f ) 一s i n ( 2 n - 5 0 t ) + 0 1 5 s i n ( 2 ：r 9 0 t ) ，仍然以4 0 m s 窗宽进行采样。由于此时9 0 h z 信号不是2 5 h z 的整数倍，从而不能完整重复的采集到9 0 t z 分量，即不能实现整 周期采样，使得检测的信号中出现一些虚假的频率分量，如图3 2 所示。该图中 出现了原信号中并不存在的l o o h z 频率分量，实际的9 0 h z 间谐波被淹没1 4 0 】。 r e q u e n c y ( il z r e q u e n c y ( ii zl 图3 - 17 5 h z 间谐波频谱图图3 - 29 0 t t z 间谐波频谱图 根据以上分析可知，当对信号进行非整周期采样后，使用f f t 方法检测问谐 波，由于频谱泄漏和栅栏效应会产生额外的频率分量或虚假的问谐波分量。因此， 傅罩叶方法用于间谐波检测具有一定的局限性。 3 1 3 短时傅里叶变换算法 傅罩叶变换架起了信号时域和频域之闽的桥梁，在谐波检测应用中取得了良 好的效果，对于具有不确定性的间谐波信号，傅旱叶变换的局限性显而易见，因 1 7 m 憾 怖 惴 川 ol、ilil；jz 江苏大学硕士学位论文 此，仅考虑信号在频域内的局部性远远不够。为了同时研究信号在时域和频域的 局部化特性，o g a b o r 于1 9 4 6 年提出了短时傅里叶变换( s t f t ，s h o r tf o u r i e r t r a n s f o r m ) ，也称为加窗差值傅晕叶变换。s t f t 的提出，将信号的时域特征和 频域特征有机结合起来，是对傅罩叶变换的改进。 s t f t 变换将非平稳的信号看作一系列短时平稳信号的叠加，这个过程通过 加时间窗来实现，且所加窗为固定窗。设窗函数为g ( f ) ( 一般选取能量集中在低 频的实偶函数作为窗函数) ，则s t f t 变换定义为： g 厂( 叩) - = 。f ( t ) g ( t f 。甜疵一仁f ( t ) g 。j ( t ) d t ( 3 6 ) ，一”，一 其反变换为： m = 长仁何( 郇) 卯吖矿d w d z ( 3 - 7 ) 短时傅罩叶变换示意图如图3 3 所示。 溺 薯 珏 q ：气? ： ： 、，一 t 0 !、 ： ；气 ， 二 j 时阅 图3 3s t f t 变换示意图 根据信号的h e i s e n b e r g 不确定性原则，基于固定时| 日j 窗的s t f t 变换时间分 辨率和频率分辨率存在着相互制约的关系，不可能同时在时频空间以任意精度逼 近被测信号，需要对时问或频率的精度做取舍，从而使得短时傅里叶变换的应用 受到制约。 基于傅里叶变换及其改进算法进行时频分析的局限性，提出了小波分析算 法。小波分析可以根据需要选取时f h j 和频率的精度，以任意尺度逼近被测信号。 3 2 小波变换基本理论 小波分析是8 0 年代后期迅速发展起来的新兴学科，它是继傅艰叶变换之后 的重大突破1 5 0 1 ，是傅罩叶分析发展的一个崭新的阶段。小波变换克服了傅罩叶 变换和短时傅里叶变换的缺点，具有良好的时频域局部化特征，是一种崭新的时 频分析方法1 5 l l 。可以根据信号的不同频率成分，在时域和频域自适应调节取样 1 8 江苏大学硕士学位论文 的疏密，由粗及细逐步观察信号，以任意尺度逼近被测信号，聚焦到信号的每一 个细节，有“数学显微镜 的美称。 3 2 1 小波变换的概念及特点 3 2 1 1 小波变换的产生与发展 小波变换于1 9 8 4 年由法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部特性时 首先提出，其研究热潮出现于1 9 8 6 年以后。1 9 8 6 年，m e y e r 创造性地构造出了 具有一定衰减性的光滑函数，其二进伸缩和平移形成l 2 ( r ) 空间的币交基， l e m a r i e 和b a t t l e 也分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年m a l l a t 巧妙地将计算机视觉领域的多分辨率分析思想引入到小波函数的构造及信号的 小波分解与重构中，得到了离散小波变换的快速算法m a l l a t 算法。m a l l a t 的 工作统一了在此之前由s t r o m b e r g 、m e y e r 、b a t t l e 和l e m a r i e 等人分别提出的小 波函数的构造方法，研究了小波变换的离散化情形，并成功地将m a l l a t 算法用 于图像处理。1 9 8 8 年，比利时数学家1 d a u b e c h i e s 成功地构造出了具有紧支集的 正交小波基，将小波分析工作带入了一个新的阶段，特别是1 d a u b e n c h i e s 在美 国所作的关于小波分析的系列讲座一“小波十讲”1 5 2 1 ，极大地推动了小波理论 研究和工程应用的发展，在小波发展史上具有里程碑的意义。而后，c o i f m a n 、 w i c k e r h a n s e r 等人将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法，这样小波分析 的系统理论就初步建立起来了1 5 3 】。 3 2 1 2 基小波及小波变换的定义 设妒( f ) r 俾) ，且满足容许性条件： c 妒一f 瞥 8 ， 则妒( f ) 称为基小波( 小波母函数或小波基函数) ，其中妒( ) 是妒( f ) 对应的傅 立叶变换。小波牲函数是一个衰减的波形，仅在有限区域内存在，其均值为零。 由基小波伸缩变换生成的小波函数可表示为： i p o , b ( t ) ：i 口- v 2 妒( 丝) ( 3 9 ) 其中口r 一 0 1 称为尺度因子，b e r 称为平移因子。 则小波变换可以表示为( p a r s e lv a l 恒等式) ： 1 9 江苏大学硕士学位论文 晰( 口= i 口i - 1 7 2 c 厂( f 渺( 学妙= ，吵咖扭1 幼 乡，妒：，p ( 3 一l 。) 小波函数一般具有以下特点： 1 紧支撑，小波函数都具有紧支集或近似紧支集，u p , i , 波函数一般是具有 时域和频域紧支撑的函数，如图3 4 为d b n 族小波函数( d b 4 ) 时域图。 图3 4 具有紧支撑的d b n 族小波函数( d b 4 ) 2 波动性，由于小波基函数需满足容许性条件( 3 1 1 ) ，则必须有 纱( 唬：o = 0 ，也即直流分量为零，因此小波必须具有正负交替的波动性。 3 不唯一性，小波函数由小波基函数经伸缩平移变换得到，是一个小波函 数族，具有不唯一性。小波基函数的不同选择直接影响了小波变换的结 果，如何选择最优小波基函数也是小波变换的一个难点，目前采用的方 法主要是通过大量仿真验证，寻找最合适的小波基函数。 3 2 1 3 小波变换的特点 根据小波变换概念及小波函数特性可知，小波变换具有如下特点： ( 1 ) 基于变换。由式( 3 - 1 0 ) 可知，小波变换也是基于变换的分析方法， 其示意图如图3 5 所示。通过信号和小波函数的卷积实现对信号的分析，将时 域信号转化到尺度一幅值的二维空问。 粤 墨 时f u l 型 型 时问 图3 5 小波变换示意图 ( 2 ) 自适应性。参数口，b 分别影响了小波函数在频率和时间上的位置，通 江苏大学硕士学位论文 过变化a ，b ，可实现任意尺度上对任何频率信号进行检测，从而小波变换具有 时频可调和自适应特性。 ( 3 ) 数字滤波与多分辨率特性。小波基函数一旦确定，用于分解和重构 的低通及高通滤波器就已经确定。多分辨率是将信号在不同尺度上进行分解， 投影到不同的频率空间。每级分解都是一个滤波的过程，因此小波变换过程实 际上就是一个数字滤波的过程。 小波分析是对纯频域分析的傅立叶变换和采用固定时窗分析的短时傅罩 叶变换( s t f t