（计算数学专业论文）若干发展方程的谱方法和谱元法.pdf

摘要 谱方法是求解偏微分方程的重要数值方法它的主要优点是高精度，这使得该 方法能够与有限差分、有限元一起而成为偏微分方程的三大数值方法之一它的缺 点是不能灵活地适应复杂的计算区域。从而阻碍了它的广泛应用和发展解决的办 法之就是将同题所在的区域分解成若干子区域，在每个子区域上使用谱方法这 种技巧通常叫做谱元法 当针对具俸的阿题建立了谱( ，昏方法的数值格式以后，格式的误差分析就非常 重要关于谱方法和谱元法的误差分析已经有大量的工作，但丰满的最优的收敛阶 估计并不很多，尤其对于非线性问题。好的结果更少本文就致力于若干个发展方 程的谱( 元) 方法，讨论其误差分析，即格式的数值稳定性和收敛性( 收敛阶) 特别 关注的是非线性问题以及收敛阶的最优估计 本文的主要工作为t 首先对五阶k d v 方程建立了l e g e n d r e - p e t r o v - g s l e r k i n 谱方法，该方法是三阶 k d v 方程建立的l e g e n d r e - p e t r o v - o a l e r k i n 谱方法【6 4 】的自然推广我们证明了该格 式的数值稳定性以及收敛性结论表明，收敛阶是最优的 其次，讨论了一维情形的对流一耗散方程的谱元法证明了该方法的收敛性与 稳定性并给出了收敛阶的很好的估计另外，由于谱元法中区域的分解。算法的 并行化显得更为重要我们根据算法的犄点，描述了数值实验中并行化的过程数 值例子也验证了方法的有效性 再次，对于二维的线性s d 味峥方程，空间上采用谱元法，时问上采用c r a n k - n i c o l s o n 离散得到的全离散格式，证明了格式在工2 以及日1 意义下的稳定性和收敛 性得到了最优的收敛阶估计为了计算上的简化，利用算子分裂，将交替方向方 法应用于格式设计，并证明了交替方向的谱元方法在驴以及置1 意义下的稳定性 和收敛性同样得到的收敛阶也是最优的该工作目前尚未觅文献发表 接着，对类非经典非线性抛物型方程建立了k 触谱方法的g a l e r k i n 离散 格式，推导了格式的稳定性。得到了收敛阶估计同时也给出了c h e b 邪h e v 拟谱格 式和c h e b y s h e v - l e g e n d r e 拟谱格式，进行了数值实验在这类方程数值求解的研究 中，我们尝试应用谱方法理论结果和数值实验表明。这种应用是很成功的 最后，对于无界区域上的1 3 u r g e n 方程，给出了一种稳定化的h e r m i t e 谱方法 该方法首次直接使用h e r m i t e 多项式作为基函数来逼近问题的解，解决了格式的数 值稳定性问题，并得到了格式最优的收敛阶估计。数值结果验证了理论的正确性 发展方程的谱方法和谱元法 接着讨论了拟谱方法以及混合的h e r m i t e 谱方法 在整个误差分析中我们使用的是传统的能量估计方法对于非线性问题，稳定 性是指郭本瑜提出的广义稳定性 关键词：谱方法，谱元法，稳定性，收敛性，对流一耗散方程，s c h r 6 d i n g e r 方程。非 经典抛物型方程，b u r g m s 方程，交替方向隐方法。h e r m i t e ，c r a n k - n i c o l s o n 格式 a b s t r a c t t h es p e c t r a lm e t h o di so n eo fi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o i v t n gp a r t i a ld 加h e a t i a le q u a t i o n sw h i c hc o n s t i t u t e dal a r g ep a r to fc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s t h em a i n a d v a n t a g eo fs p e c t r a lm e t h o di ss o - c a l l e d ”s p e c t r a la c c u r a c y ，w h i c hi sc o m p e t i t i v ew i t h t h i t ed i f f e r e a c ea n df i n i t ee e l n 棚tm e t h o d h o w e v 日，t h es p e c t r a lm e t h o df a i t st ot h e p r o b l e m sd 蚯n e do i lc o m p l e xg e o m e t r i e s s ot h e r ea f el i m i t st oi t se x t e l i v ea p p l i c a t i o n s ak e yt ot h i si st h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u ew h i c hf i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e d o i l n o wt h i si st h es p e c t r a le l e m e n tm e t h o d i ti sv e r yi m p o r t a n tt oa n a l y s e 口t o ro c c u r r e db yt h es p e c t r a l ( s p e c t r a le l e m e n t ) d i s c r e t es c h e m ef o rac e r t a i np r o b l e n lt h e r ea m8l o to fw o r k sa b o u tt h i s b u ti nw h i c h n om u c hi ss u b t l ea n do p t i m a l s p e c i a l l y , f o rn o n l i n e s rp r o b l e m s t h e r ei s o n l yaf e w b e a u t i f u lw o r k t h ed i 棚既t l i 七i 皿i sd e v o t e dt os p e c t r a lm e t h o d sa n ds p e c t r a le l e m e n t m e t h o d s f o r s o m e e v o l u t i o n a r y e q u a t i o n s w e t a k e i ne n a u a l y s i s o f t h e s p e c t r a lr a e h t o d 8 a n ds p e c t r a le l e m e n tm e t h o d s ，g i v es t a b i l i t yr e s u l t sa n d 口 理舭o r d e r t h em a i no o n t 2 n t 8o ft h ed i s s e r t a t i o nma 8f o l l o w i n g ： f i r s t l y , al e g e n d r ep e t r o vg a l e r k i ns p e c t r a ld i s c r e t es c h e m ef o rf i f t h - o r d e rk d v e q u a t i o ni ss e tu p t h em e t h o di sag e n 口a l i z a t i o no fl e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i nf o rt h i r d - o r d e r k d v e q u a t i o n 删s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e o f t h e m e t h o d a r e p r o v e d t h e o r e t i c a l l y i ts h o w st h a ta no p t i m a lo r d 目o fc o n v e r g e n c ei so b t a i n e d s e c o n d l y , w ed i s c u s sas p e c t r a le l e m e n td i s c r e t i z a t i o nf o rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o nt y p e e q u a t i o n si no n es p a c ed i m e n s i o n a l e r r o ra n a l y s i si sp r e 船- n t e df o rt h e8 a 丘d j 丑c 硪a n d f u l l y 枞s c h e m e a n d o p t i m a lo r d e ro fc o n v e r g e n c ei so b t a i n e d c o n c e r n i n g w i t ht h ei m p l e m e n t a t i o n0 ft h ea p p r o a c h 。p a r a l l e lp r o g r a mi sd e s i g n e d e f f i c i e n c yo ft h e a p p r o a c hv e r i f e db yn u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h i r d l y ，f o rl i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni nt w os p a c ed i m e n s i o n a l ，w et a k ec r a n k - n i c o l s o ns c h e m ef o rt i m ed i s c r i t l z a t i o na n ds p e c t r a le l e m e n ts c h e m ef o rs p a c ed i s c r e t i z a - t i o n s t a b i l i t yo ft h es c h e m ei se x a m i n e da n do p t i m a lo r d e rap r i o r 胪一a n dh l e r r o r e s t i m a t e sa te a c ht i m es t e pa r ed e r i v e d m o r e o v e f ，w ec o n s i d e ra l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni r a - p h d ts c h e m eh m t e a do fc r s n k - n i c o l s o ns c h e m e e r r o ra n a l y s i sg i v e st h eo p t i m a lo r d e ra p r i o r 工p a n d 日l e r r o re s t i m a t e s t h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ea d is c h e m ei sd i s c u s s e d n ow o r ka b o u tt h i sh a sb e e nf o u n di nc u r r e n tl i t e r a t u r e n e x t ，w ee s t a b l i s hal e g e n d r es p e c t r a la p p r c o d m a t i o nf o rac l a s so fn o n c l a s s i c a l1 1 0 1 1 - m i v 发展方程的谱方法和谱元法 l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si no n es p a c ed i m e n s i o n a l s t a b i l i t yo ft h es c h e m e 扭a c m i n e da n do p t i m a lo r d e ro fc o n v e r g e n c er a t ei so b t s i n e d t h e nc h e b y s h e vp s e u d o s p e c t r s l m e t h o da n dc h e b y s h e v - l e g e n d r ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o di se s t a b l i s h e df o rt h ee q u a t i o n s n u m e r i c a lt e s tt e l l se f f i c i e n c yo ft h em e t h o d s i na l lt e n t a t i v es t u d yo ft h en u m e r i c a l s o l u t i o nt ot h ep r o b l e m s i ti sv e r i f i e dt h es u c c e i f l l la p p l i c a t i o no fs p e c t r a lm e t h o db x n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n dt h e o r e t i c a la n a l y m f i n a l l y , w ep r e s e n tas t a b i l i z e dh e r m i t es p e c t r a lm e t h o df o rt h eg e n e r a l i z e db u r g e r s e q u s t i o n si nu n b o u n d e dd o m a i n w et r yt ou 8 eh e r m i t ep o l y n o m i a l sd i r e c t l ya sa p p r c - i m a t i o ns o l u t i o no fp r o b l e mi nt h em e t h o d w eo b t a i ns t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h e m e t h o d e r r o re s t i m a t es h o w s8 no p t i m a lo r d e ro fc o n v e r g e n c er a t eo ft h em e t h o d n u - m e d i c a le x p e r l m e n t sv e r i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s a l s ow ed i s c u s st h ep s e u d o - s p e c t r a l m e t h o d sa n dc o m p o s i t eh e r m i t es p e c t r a lm e t h o d i nt h ed i s s e r t a t i o nc o n v e n t i o n a le n e r g ye s t i m a t em e t h o di su s e dt oe s t a b l i s hs t a b i l - i t ya n dc o n v e r g e n c er e s u l t a n dt h es t a b i l i t yf o rn 0 1 l i n e 鱼rp r o b l e m si si nt h es e n s eo f g e n 日a l i z e ds t a b i l i t yp r o p o s e d 培g u ob e n - y u k e yw o r d s ：s p e c t r a lm e t h o d ，s p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ，s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e ， a d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ，s c 虹戗l i n g 口e q u a t i o n 。n o n c l a s s i c a l p a r s b o l i ce q u s t i o n ，b u r g e r se q t m t i o n ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t m e t h o d ，h e r m i t e , c r a n k - n i c o l s o ns c h e m e 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 签名； 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章引言 1 1 谱方法与谱元法简介 1 1 1 谱方法 用于数值求解微分方程的谱方法其原型是著名的f o u r i e r 方法它将近似解表 示为截断的f o u r i e r 级数，而未知元就是展开系数f o u r i e r 基函数是适合于周期阿 题的对于非周期问题，普遍使用的是c h e b y s h e v 或l e g e n d r e 多项式实际上，谱 方法的基本思想是很古老的早在计算机出现之前，在数学物理尤其是流体力学的 理论研究中就已经广泛地使用了级数展开这些研究曾经推动了”特殊函数”理论 的发展，从而形成了十九世纪以及二十世纪前半叶数学分析的一大领域 然而，因为在截断级数的求和以及非线性项处理上的计算困难，级数展开方法 的应用和发展受到了极大的限制这种限制一直持续到计算流体力学的早期阶段那 时侯，虽然计算机已经出现，但是其性能却不足以有效地使用级数展开法结果，跟 有限差分和有限元这些离散方法相比。级数展开法不受人们的重橇和欢迎但是， 这些离散方法( 有限差分和有限元) 由于其相对比较底的精度，越来越不能满足人 们的需求尤其在流体力学的许多问题中，人们需要精确刻划具有细微结构的复杂 流于是，大概在二十世纪七十年代，人们看到了f o u r i e r 方法的复苏tf o u r i e r 方 法被直接用于湍流的数值模拟【7 3 f o u r i e r 方法成功地用于湍流计算归于两个原 因t 计算机计算能力的增加和快速f o u r i e r 变换( f f t ) 在计算求和时的高效率对 于通过拟谱技术来计算菲线性项，这些改进是很基础的 谱方法之所以成为可与有限差分有限元竞争的数值计算方法之一，其主要的 吸引人之处是大家称之为的”谱精度”即收敛率只与所逼近问题的光滑性质有 关。原问题的解越光滑，收敛率就越高如果原问题的解是无穷光滑的，则收敛率是 指数阶的众所周知，快速收敛是f o u r i e r 级数的主要特征之一对于无穷可微的函 数，其收敛率是指数的这是有限差分和有限元都无法相比的优势僵对于非周期 问题，在区域边界上g i b b s 振荡的出现会破坏f o u r i e r 级数的指数收敛率g o t l i e b 和s h u 等人( 1 3 2 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 】) 对如何恢复指数精度进行了研究另外一个途径就 是选择c h e b y s h e v 和l e g e u d r e 多项式作为基函数这些选择可以消除区域边界处的 g i b b s 振荡本质上，c h e b y s h e v 多项式就是f o u r i e r 多项式在不同坐标下的表现， 所以可通过f f t 来实现c h e b y s h e v 算法至于l e g e d r e 的情形，a l p e r t 和r o k h l i n f 2 l 也发展了相应的快速算法这些多项式都和f o u r i e r 多项式有着类似的性质 近年来，随着实际应用的推广，谱方法的数值分析理论也得到了快速的发展 1 2 发展方程的谱方法和谱元法 早期的工作是g o t t h e b ，o r 峨c a n u t o ，q u a r t e r o n i , m a d 掣等人开展起来的1 9 7 7 年，g o t t h e b 和o 嗽吣的专著【2 7 l 之后，m a d a y 和q u a n e r o m 的【6 9 ，7 0 ，c a n u t o 和 q u a r t e r o m 的【1 5 ，1 6 l 对谱方法的多项式逼近以及应用f o u r i e r 方法对n a v i e r - s t o k e s 方程、b u r g e r s 方程以及k d v 方程等的求解进行了理论分析，得到了笫比：协步的 结果，开刨了谱方法的数值分析后来，1 9 8 8 年c a n u t o ，h u s h , h i ，q u a r t e r o m 和 z a n g 的专著f 1 4 j 广泛的介绍了流体力学中的谱方法九十年代之后，关于谱方莹的 文献数量迅速增长数学上严格进行分析和证明的著作有b e m a r d i 和m a d a y 的【7 ， 郭本瑜的f s 3 】，中文专著有向新民的【9 7 i 脚d 的著作f l t l 对c h e b y s h e v 和f o u r i e r 谱方法的理论及应用作了大百科的描述 1 1 2g a l e r k i n 方法与拟谱方法 谱方法按照使用的基函数的名称被特征化为，f o u r i e r 谱方法，c h e b y 8 h e v 谱 方法，l e g e n d r e 谱方法，j a c o b i 谱方法，等等但按照确定未知元的方式被 分成三类；g a l e r k l n 方法。r 方法和拟谱方法( p s e u d o - s p e c t r a lm c t h o d ) ( 或配置法 ( c o l l o c a t 缸nm e t h o d ) = ) 习惯上，人们认为r 方法是g 自d e r k m 方法的一种修正这三 类都属于口q 做赋权余量法( w e i g h t e dv 目i d m d sm e t h o d ) 的如果我们定义了内积， ， ( u ，口) 。= fu 扛扣o ) ( 刁如， ( 1 1 1 ， 其中j 是某给定区间，w ( z ) 是定义在i 上的权函数将u 的近似解表示为个截 断的级数t = 颤饥( 茹) ， ( l 1 2 k f f i 0 函数氟( z ) 被称为试探函数( t r i a lf u n c t i o n ) 或基函数( b a s i 8f u n c t i o n i 谱方法总是选 择在内积( 1 1 1 ) 下正交的多项式或它们的简单组合来作为试探函数的通常的选择 包括， 1 f o u r i e r 三角多项式：它们是在，= ( o ，2 7 ) 上关于 = 1 正交的 2 c h e b y s h e v 多项式，它们是在f = ( - t ，1 ) 上关于 = 南正交酶 3 l e g e n d r e 多项式它们是在j = ( 一l ，1 ) 上关于 = 1 正交的 4 l a g u e r e 多项式，它们是在j = ( o ，) 上关于t ，= e - 蕾正交的 5 h e r m l t e 多项式- 它们是在i = ( 一，o o ) 上关于 = e 一一正交的 在表达式( 1 | 1 2 ) 中，需要确定的未知元是展开系数稚通过u 和蛳来定义余量， 例如定义余量为， 扁v 扛) = ( 甸一u ( z ) 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 3 赋权余量法就是在某种近似意义下让余量为零， ( 丑。，咖) 。= j k 也弧出= 0 ，t 知( i i 3 ) j j 函数讥( 2 ) 称为检验函数( t e s tf u n c t l o n ) 权因子弛的选择与方法和试探函数有关。 集合厶的大小取决于具体问题方程( i i 3 ) 是个包含未知元缸的方程组，这个 方程组可以求解出讯g s l e r k i n 方法和配置法可通过选择不同的检验函数和权因 子来得到 1 g s l e t k i n 方法t 取检验函数与试探函数相同，面对应的权是与正交性相关的权 函数，印 砒= 九，饥= 2 配置法，取检验函致是d i r a cd e l t a 函数6 ，权因子为单位l ，即 戗= 5 扛一以) 蛾= l 实际中，谱方法总是要充分利用试探函数的正交性的在g s l e r k i n 方法中。正交性 的利用是显然的；在配置法中，正交性的利用体现在配置点我的选取上通常配置 点总是选为某种g a u s s 类型的求积公式的节点由于可以利用求积公式的精确性， 在很多具体问题中这种特殊配置点的配置法等价于或等效于o a l e r m 方法，从而称 为拟谱方法 1 1 3 谱元法 利用张量积可以很自然地将正交多项式拓展到二维、三维等高维情形，并以此 为基础建立起多维问题的谱方法但这种扩展也连带了定义区域。直线上的区间笛 卡儿积为平面上的矩形于是谱方法应用到二维情形只限制在矩形区域上这种对 区域的要求是阻碍谱方法普遍应用的个主要因素谱元法正是在这种实际需要的 背景下产生的顺便指出。利用区域嵌入技术，即将实际问题中复杂的几何区域 嵌入割个规则的矩形区域里，也可以在一定程度上解决谱方法对区域的要求，这 方面的工作参见b u e n o - o r o v i o 和p 6 r g 妇的【1 2 l 以及相关文献) 谱元法试图将谱方法和有限元结合起来。从而使得谱方法能够和有限元方法一 样灵活地应用于各种实际问题，并保持谱方法的高精度许多工作已经在这方面取 得了一定的进展早期的工作如( 7 4 1 文献【鸫，7 5 】考虑了非光滑区域上的谱元法， h e 6 t h s w n 4 9 ，5 0 提出了使用开边界条停的区域分解的谱方法，b l a 出f 9 i o 考虑 了使用l e g e n d r 方法来匹配谱元法的界面条件，还有c z 3 ，1 7 ，5 】等的工作谱元 法被广泛用于可压流和不可压流体的数值模拟( 1 0 0 ，2 2 ，8 7 ，1 0 1 ，9 5 1 ) ，波的传播 4发晨方程的谱方法和谱元法 ( 1 1 0 2 ，1 0 3 ，7 7 ，6 7 ，2 6 ，叫) ，以及其它如特征值问题( 【5 2 1 1 ，水平集方程( 删) b o u s s i n e s q 类型方程( 2 4 1 ) ，蛐e r - p o i e s o n 类型的方程( 【1 3 1 ) 等普遍认为，第一次使用谱 元法( s p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ) 的是p a t e r a 7 4 1 谱元法的第步像有限元一样将区竣剖分成有限个单元，然后在每个单元上应 用谱方法若假设同题所在的区域为d ，它被分割成互不重叠的c 个子区域( 单 元) i l k ： 西= ij 矗bj u t ( n i ) n i n t ( f l j ) = o 佧j ) ， = l 般来说，有限元对区域的剖分要求很少，仅仅要求是相容的，正则的或者拟致 的这样一些轻微的条件平面上有限元的单元有两种三角形单元和四边形单元 要在三角形单元上使用谱方法，必须建立起三角形区域上的正交多项式这一方面 的研究可参考s h e r w i n 和删a k i s 的【8 6 可以想象，这些多项式必然具有很复 杂的形式，因此并不一定有利于设计好的谱方法相比之下，在四边形单元上使用 谱方法更自然些实际上，将参考单元n = ( r ，。) ：一1 r , 8 1 ) 通过映射 一( 1 - ：r ) ( 1 - ：s ) f + 学掣v 2 + 掣掣v 3 + 掣( 字! 4 ) 可映为以v 1 ，v 2 ，v s ，一( 按逆时针方向排列) 为顶点的四边形同时，利用同样的变换 将定义在参考单元n 上的正交多项式变为般四边形上的正交多项式 有了区域的剖分，接下来就是构造适当的谱元空间( 这相当于有限元方法的有 限元空问) 及其基函数( 有限元方法中的形状函数( s h a p ef u n c t i o n ) ) 这是谱元法能 够成功的关键在早期p a t e r a 7 4 的工作中，基函数定义在每个单元上，它们是变换 到单元上的g a t t * l o b a t t o 点上的l 8 弘g e 插值多项式在p e t e r s e n 等的论文【碉 中，作者们还对比了各种不同的形状函数及其使用效率 谱元法的精度既可以通过增加每个单元上谱方法的自由度也可以通过增加单元 的数目来取得最好的情形是每个单元上可以自由地调节而不会相互制约这样的 谱元法才具有足够的灵活性 1 1 4 无界区域问题的谱方法 无界区域或半无界区域上的i 可题广泛地存在于科学技术与工程中的许多领域 里，例如海洋工程、大气科学、矿山开采，水秘水电，电磁技术等这许多同题都 归结为的偏微分方程近年来，随着科学技术的发展，无界区域问题的数值计算也 越来越受到科技工作者及数学工作者们的广瑟关注且前解决无界区域同题的方法 大致有下面几种， 1 通过设置人工边界条件把无界区域问题变为有界区域问题显然，人工边界条 2 0 0 7 上海大学博士学位论文5 件的优劣直接影响到问题求解的精度许多工作一直在探索如何精确地添加人 工边界条件例如阻，4 5 ，4 6 | 等 2 通过某些将无界区域变为有界区域的变换，把无界区域问题变换为有界区域问 题一般情形下，这种变换具有某种奇异性，面变换后的同题也具有一定的奇 异性这方面可参见郭本瑜的工作【删及相关文献 3 有理谱方法通过有理变换把有界区域上的正交多项式变换为无界区域上的正 交的有理函数，建立类似于通常的谱方法的计算格式在b o y d 的著作( 1 1 l 以及 郭本瑜等的工作【3 9 ，4 0 ，4 l 】中了解细节 t 以无界区域上的正交多项式和函数系作基函数的谱方法通常对于半无界区域 使用l a g u e r r e 正交多项式或l a g u e r r e - g a u m 类型的函数，对于全直线或整个平 面上的问题使用h e r m i t e 正交多项式或h e r m i t e - g a u m 类型的函数关于这方面 的工作在本文最后一章描述 l 2 研究的主要内容和特点 当谱方法( 谱元法) 越来越广泛的应用于各种数学物理同题的数值计算时，从理 论上分析相应的离散格式的数值稳定性以及估计格式收敛速度就显得非常重要另 方面。单从数学角度看。离散格式的数值误差如何变化就是个很有趣的问题很 多计算数学工作者以及应用数学家都在从事着谱方法以及谱元法的数值分析工作 关于谱方法和谱元法的误差分析已经有大量的工作，但精致的最优的收敛阶估 计并不很多，尤x - x , j 于非线性问题，好的结果更少该论文就致力于几个发展方程 的谱方法和谱元方法，讨论其误差分析，即格式的数值稳定性和收敛性( 收敛阶) 三阶微分方程的谱方法或配置方法的误差估计很长时间以来都没有取得实质性 的进展，文 5 7 1 中得到了比较细致误差估计当方程的解属于日r 时，误差的驴范 数以o ( 舻一) 的速度收敛这是一个谱精度的估计，但并没有最优的收敛阶文f 6 4 l 中改进前面的估计，得到了三阶k d v 方程在1 , 2 范数下的最优的收敛阶d ( 一) 我 们在第二章考虑了五阶非线性k d v 方程。建立了l e g e n d r e - p e t r o v - g s l e r k i n 谱方法， 该方法是文1 6 4 】中建立的l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法的自然推广我们证明了 该格式的致值稳定性以及收敛性结论表明，收敛阶是最优的 谱元法一直是数值工作者以及工程计算上的重要方法即使是一维问题的谱元 方法。也很有意义因为通过一维问题的研究可以帮助了解二维的谱元法我们在 第三章里讨论了一维情形的对流耗散方程的谱元法证明了该方法的收敛性与稳 定性并给出了收敛阶的很好的估计另外。由于谱元法中区域的分解，算法的并 6发晨方程的谱方法和谱元法 行化显得更为重要我们根据算法的特点，描述了数值实验中并行化的过程数值 例子也验证了方法的有效性 尽管有许多关于s c h r 投u n g e r 方程的数值方法研究( 阳，1 3 ) 及其参考文献) 但关 于s c h r 6 d i n g e r 方程的谱元法盼数值分析尚未见发表我们在第四章考虑了二维的 线性s c h r 6 d i n g e r 方程。空间上采用谱元法，时间上采用c r a n k - n i c o l s o n 离散得到的 全离散格式，证明了格式在护以及日1 意义下的稳定性和收敛性得到了最优的 收敛阶估计由于交替方向的隐格式的简单且容易实现，我们利用算子分裂，将交 替方l 每方法应用于格式设计。并证明了交替方向的谱元方法在工2 以及目1 意义下 的稳定性和收敛性同样得到的收敛阶也是最优的 另外，我们在第五章讨论了类非经典非线性抛物型方程的谱方法利用传统 的数值方法来求解非经典抛物线方程的的结果并不多见我们尝试使用l e g e n d r e 谱 方法的g a l e r k i n 离散格式，证明了格式的稳定性，并得到了收敛阶估计同时也给 出了c h e b y s h e v 拟谱格式和c h e b y s h e v - l e g e n d r e 拟谱格式，并进行了数值实验数 值实验表明，这些格式实际上是非常有效的 最后。对于无界区域上的b t t r g e r s 方程，给出了一种稳定亿的h e r m l t e 谱方法。 该方法首次使用h e r m i t e 多项式作为基函数来逼近问题的解，解决了格式的数值稳 定性同题，并得到了格式最优的收敛阶估计，数值结果验证了理论的正确性接着 讨论了拟谱方法以及混合的h e r m i t e 谱方法这是第六章的内容 除了二维s c 蛐g e r 方程外，本文中所考虑的一维问题都是非线性的它们包 括t 五阶k d v 方程，非线性对流耗散方程，非经典抛物型方程以及广义b l ，r g e r s 方程 1 3 论文的结构 本文共分为六章t 第二章是五阶k d v 方程的l e g e n d r ep e t r o vg a l e r k i n 谱方法 第三章是一维对流耗散方程的谱元法第四章是二维s c h r 6 d i n g e r 方程的谱元法 第五章是一类非线性非经典抛物线方程的l e g e n d r e 谱方法第六章是无解区域上 b u r g e r s 方程的h e r m i t e 谱方法 第二章五阶k d v 方程的p e t r o v o g a l e r k i n 谱方法 本章讨论五阶k d v 方程的p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法由于奇数阶导数在对应的 变分形式中的双线性型没有通常偶数阶那样的对称性，所以选用试探函数空间与检 验函数空间不相同的p e t r o v - g a l e r k i n 方法更为合理在第一节中给出了微分方程及 其变分形式第二节是这类方程的p e t r o v - g a l e r k i n 方法。并分析了该方法的数值稳 定性和收敛性第三节是小结 2 1 问题描述 考虑如下类型的微分方程； l 国c ，扛，t ) + ，a k f ( + 7 a 2 ，扛，t ) 一a a ! 耋矿( 王，t ) = 0 ， 2 a ，t ( o ，卅， c ，( 士1 ，t ) = 如矿( 士1 ，t ) = 磋u ( 1 ，t ) = 0 ，t 【0 ，列， ( 2 1 1 ) 【u ( 霸0 ) = 扣) z a 其中f ( z ) 是个关于z 的光滑函数a = ( 一1 ，1 ) 是实数轴r 上的开区问a i = 番，磋= 蕞该方程的出现在许多物理领域之中，倒如水波、等离子体( p l a s m a p h y s i c s ) 以及非谐格( a n h a r m o n i cl s t t i c e s ) 等 当 = 0 时，方程( 2 1 1 ) 变成了三阶k d v 方程 i a c ，扛，t ) + _ i l a k f ( r ) + 7 谚u 扛，力= 0 ，j ，f ( 0 ，t 1 ， c ，( 士1 ，t ) = 岛u ( 1 ，t ) = 0 ，。 te 【0 ，卅， ( 2 1 2 ) 【u 伽，0 ) = u 0 c z ) ， a 当7 = 0 时，方程( 2 1 1 ) 变成了五阶k d v 方程t la t u ( 王，t ) + l 瓦f ( c ，) 一磋c ，扛。t ) = 0 ， 霉f ，t ( 0 ，明， 矿( 士1 ，t ) = a k ，( 士1 ，t ) = 噻u o ，t ) = 0 ，te 【o ，卅， ( 2 1 3 ) i ，扛，0 ) = u o 扛) ， a 对任意非负整数r ，矿( a ) 一 2 ( a ) 和塌( a ) - 矸酽( a ) 都是通常的s o b o l e v 空间，其上的范数与半范数分别用和l i r 来表示对于定义在a 上的个正 的权函数u 0 ) ，赋权的平方可积的函数空间圮( a ) 上的内积与范效定义如下 似，”k = n ( 咖( z ) u 扛) 妇，k = ( ：瓦 ， 当l ，扛) 1 时我们省略下标设 瑶3 ( a ) = ( 口点p ( a ) l 口( 士1 ) = a o ( 士1 ) = 磋”( 1 ) = o ) 7 8 发晨方程的谱方法和谱元法 考虑方程( 2 1 1 ) 的变分形式，求u ( o 瑶，3 ( a ) ，使得对所有v j i i 孑( a ) 都满足 吼m ) + 胞f w ) 一1 诬以魄删砷一0 ，t ( 0 孔 ( 2 1 q l ( ，( 0 ) ，= (