（计算数学专业论文）特殊矩阵若干问题的研究.pdf

d i s s e r t a t l 0 nf o r d o c t o rd e g r e e ，2 0 11 i | i | | f i | i | 川l | l i f | f | l i f f f i i i | i f l l | j i l y 19 0 3 6 0 2 s c h o o lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n td ：5 2 0 6 0 8 0 1 0 11 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y s o m er e s e a r c h e sf o rs p e c i a lm a t r i c e s d e p a r h n e n t ： m a t h e m a t i 鹳 m a j o r ： s u b j e c t ： t | i l t o r ： n u m e r i c a lm a t h e m a t i 岱 n 岫e r i c 砒a l g e b r a 州岫e r l c a ia l g e b r a p r o f e 鲻o rg u o u 锄gc h e n a u t h o r ：l i 】n 1 mz h a o a p r - i ，2 0 11 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文特殊矩阵若干问题的研究，是在华东师范大学 攻读硕士咿请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：f 年上月z 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 特殊矩阵若干问题的研究系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完 成的硕士博圳请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意 华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图 书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版：允许学位论文进入华东师范 大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文 共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其 它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文， 于年月曰解密，解密后适用上述授权。 ( 叫2 不保密，适用上述授权。 导师答名7 喀挈庄 导师签名 z ! 兰丝本人签名叁塑盈 f f 年，月2 日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 赵盛瑾博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 邵嘉裕教授同济大学主席 魏木生教授上海师范大学 薛军工教授复旦大学 张晓东教授上海交通大学 任韩教授华东师范大学 摘要 摘要 随着特殊矩阵在数值分析、优化理论、自动控制、系统辨识、工程计算等领 域的广泛应用，特殊矩阵及其上的矩阵方程求解问题已成为矩阵论和数值代数的 热点问题，并得到越来越多的关注本文主要研究了特殊及特殊矩阵类上矩阵方程 的求解问题、特殊矩阵的逆特征值问题、部分矩阵逆的填充问题等具体内容如 下： ( 1 ) 定义了一类新的矩阵：( 只q ) 正交对称矩阵，利用它与对称矩阵之间的关系 以及子空间投影理论，得到了( 只q ) 正交对称矩阵类上矩阵方程a r x 口= c 的最小 二乘解、最小二乘最佳逼近解、最小二乘极小范数解的表达式与算例 ( 2 ) 利用特殊矩阵的结构特性以及子空间的基方法，研究了结构动力模型 五= m x 的h 跚 i l i t c h 卸m 锄1 矩阵和子矩阵约束下对称矩阵的逆特征值问题与 最佳逼近问题，得到了问题可解的条件和解的表示 ( 3 ) 借助于矩阵广义逆及相关投影，在文【5 5 ，8 7 】的基础上，讨论了特殊矩阵方 程脑+ f 8 = c 和朋治+ c x r d = e 的可解性问题，得到了若干可解条件：研究了 算子方程a x + r b = c 的可解性；给出了在相位约束下矩阵方程似= 占的极小范 数最小二乘解 ( 4 ) 利用二次多项式根与系数的关系以及二次多项式函数的性质，给出了两特 殊矩阵等能量的充要条件 ( 5 ) 得到了下面两类填充问题可解的充要条件， ( a ) 给定a = a 煳，j 5 i = 矿伊p ，c 伊如，求x 伊p 使得 x 1 - 1 = f ? 丑j【p ( b ) 给定a 9 煳，曰c ，l x 叠，c 煳，g l c ，l 冲，g 2 口煳，g 3 9 煳，其中 n + p = m + 鼋，求x 伊砷使得 小( ；州会小( 1 ，| ，a g 27j 【c小心 从而解决了文【9 3 】提出的相关问题另外，据我们所知，在a 一1 存在，d c a 一1 曰为 摘要 非零奇异矩阵的条件下，给出分块矩阵m ：l abl 的d r a z i i l 表示仍是一个公开 l cd j 问题本文利用d 阳z 面的反序律，给出了上述问题m d 存在的条件及其表示，并得到 了在秩等式约束下m d 的一些表达式 ( 6 ) 利用特征值分布的b m a l d i 定理，给出了两个非负矩阵h a d 跏d 积谱半径 的新估计，解决了文【7 5 】提出的问题 关键词：( 只q ) 正交对称阵；h e n 血t e h 锄i l t o n 矩阵；自反矩阵：最小二乘解；子矩阵 约束；逆特征值问题；正则矩阵束；相位约束；能量；矩阵填充；非负矩阵：谱半径 a b s t r a c t a b s t r a c t w 也m er a p i dd e v e l o p m e n to ft t l ea p p l i c 撕o nd i s p h n e sf i d r 吐l cs p e c i a lm a t r i c e si n n u m e r i c a l 卸a l y s i s ，o 皿m i z a t i o n 廿1 e o 啦肌t o m a t i cc o n 仃0 l ，s y s t e mi d e n t i f i c a l i o n 卸de n g i i l e 丽n gc a l c l l l a 曲n s ，i ti sb c c o i i l j h gaf o c i l s m em 撕xm c 0 巧觚d 吐l e 删丽c a l a l g e b mt 0 鼬e rs m d y 廿圮s p e c i a l 删c e s 趾dn l a n 奴e q u a l i o n so ns p e c i a l m 叔s e t s 讹c hh a v eb n 蜥v e dn 1 0 r ea n dm o r ea ：t t e n d o n s h 吐l i s l e s i s ，s o m es p c c i a l 以l l l 撕o n s 孤dm a 位b 【e q u a d o n s s o n 圮畔i a lm a 仃故 s e t s ，i i i v e 幡ee i g e m 试u ep r o b l e 扣吣o ft w os p i e c i a lm a t r i c e s 趴dt t l em 耐xi i e r s ec 0 i n p l e - d o np b l e m sa 陀i i i v e s d g a t e d i tm a i l l l yi i l c l u d e s ： ( 1 ) b yu s i n gt l l e 他l 撕o n s h i pb e 哪e 吼( 只q ) o m l o g o n a ls y 玎衄e 砸cm a t r i c e sw h i c h a r en e w l yd e f i n e d 锄ds y 玎姗e t r i cm 嘶c e s ，p r o j e c t i o nt i l c o r e mi ni n n e rs p a c e ，m eg e n e r a la 【p r e s s i o n sf b rt 1 1 el e 蹈t 跚【u a 他( 只q ) 一0 n h 0 9 0 n a ls 弘m n i 疵l u d o n s ，l e 弱ts q u a 佗 0 p 血瑚印p m ) 【i m t es o l 血o n ，l e 硒ts q u a r e 砸t l lm j m n 棚n - n 咖l u t i o f l em a n 奴 e q u a t i a r 船= ca r e 蛐e d s o m e 肌m e l i c a l r e s l l l t sh a v cb c e ng i v 饥 ( 2 ) h 螂ee i g p f o b l e m sf ；d rh 血d 髓h 粕m t o nm a t r i c e sa n ds y m m e t r i cm ；曩缸i - c c sw i 也s u h 刎血c o n s 劬i n t0 f 麟= m 从i i ls 仇l c n l r a ld y 玎a m i cm o d e lu p d a t i n ga 亿 s n l d i e d 丽mm eh e l po ft t l e i rs p e c i a ls 臼m c m r e s 锄dm eb a s em e 也o d ，锄dt 1 1 es o l v a b i l i 哆 c o n 雠o n s 狮dt l l eg e n e r a le x p 他s s i o n so fs o l u d o n sf - o rm e s e 咖oi n v 口s ep b l e m sa 陀 d e d v 习 ( 3 ) b yu s i i l g 血em 0 0 犯一p c m s eg 胁翻l h z e dj 慨锄d i t sr e l 狐通p r o j e c t o r s ，b 弱e d 【5 5 ，8 7 】，血e l v a b n i 锣o f m c 毗c q u 砸。璐似+ x r 丑= c 如d a x 曰+ a p d = e a 托d i s 饥s s e 也趾d m es o l v a b i h 哆c o n d i d o n sa 他d e 小e d 山朗t l l e l v a b i l i 哆f b rm e o p 啪觚e q p a l i 似+ r 曰= c i s 咖d i e d ，a t l a s t t l l e l 砸0 f ac o m p l 弧妇s q u 眦s 丽m c o n 咖池e d p h 撇0 fa x = 曰i s 酉啪 ( 4 ) b yu s i n gt l l er e l 撕0 n s m pb e 锕e e nr o o t s 粕dc o e f ! f i c i e n t s0 fq u a d r a l i cp o l y n o i i l i a l 锄di t sp r o p c n i e s ，l en e c e s s a 巧强ds u f f i c i e n tc o n d i t i o 璐f o rt 1 1 ee q u i e n e 喀出ce q u a t i o n o f 铆。删a l 训c e sa 佗酉v 髓 ( 5 ) t h en e c e s s a 哆锄ds u 伍c i e n tc 0 n d i t i o n sf ；d r 吐l ef o l l o w i n g 咖。虹n d so fi n v e r s e c o m p l 舐p r o b l e i 璐a 北o b t a m e d n u s ，s o m e0 f l ep r 6 b l e m sp m p o s e di n 【9 3 】a r e s 0 1 v e d 一m 一 ( a ) a = a + c ，l 拥，曰= 士伊c p p ，c c ，i p ，f j n dx c 研p 蛐c h 1 a t ( 二小b 玎 ( b ) 曲跚a c ，i 煳，b p ) c 覃，c 伊x 珥，g 1 c ，l p ，g 2 口期，g 3 c ，l 煳，w h e r e 以+ p = m + g ，f i n dx 伊mm c hm a t ( 会呈) 一= ( ；专) ，( 三呈) 一= ( 三；) ，( 三呈) = ( ? ；) 鼬e 姗o r e ，t 0 o u rk n o w l e 趣e ，i ti ss t i l l 锄o p e n p r o b l e mt 0 丘n d 加懿p l i c i tf 0 加u l a r o r 血e 一研肘= l 会三l 讧r 1 丽s t s 觚d 龀s c 蛔c o m 4 e m e n t 。一以- - 曰 i ss i n 叫越b y u s i n gt l l e 嗍eo 柑盯l a wo fm ed r a 2 i ni i i 慨，龀c o n d i d o n sf o rm e 耐s 劬c e 如d 咄蛐0 f 懿p r e s s i o n s0 f 胪i nm e 唧p r o b l 锄眦g 慨，觚ds 伽e 唧陀s e n t 撕o n sf o r 血ed l 御妇i i l ：v e r s eo fml l i l d e rm 】咄e q u a l i 妙c s t r a i n t sa 佗a l s oo k t a i n e d ( 6 ) b yu s i i l gm eb n i a l d i l r e m ，t i 啪i 1 1 e q u a l i 石e s 五d rm es p e c 缸试m d i u s0 f h 删删u c t o fm en 锄e g a 觑m 撕c e s 勰6 b t a i l l 乩m u sm e p r o b l e 麟即p o s e d i n 【7 5 】a 托s o l v 甜 墨的w b r d s ：僻q ) o r d h o g o n a ls y m m e 砸cm a 仃 x ； i e m i t e h a m i l t o nm a _ t r i x ；r e 日e x i v e m a m x ；l c a s t 叩a r e ss o m o n ；s u b 似血c s 仃痂t ；曲c r s ee i g e n p 毗l e m ；r e 耻盯p e n 跚； p h 蹴c o n s t r a i n t ；e n 豇g y ；砒c o m m 砸；n 0 皿e g 西e 蛐；s p e c 砌础u s 一1 v 一 目录 目录 摘要 i a b s 仃a c t i i i 目录、，i 主要符号对照表、，i i 第一章前言1 1 1 背景知识1 1 2 本文的主要工作4 第二章特殊矩阵类上矩阵方程的求解 5 2 1 问题i 的解 6 2 2 问题、的解 9 2 3 数值例子一1 7 第三章结构动力模型更新中两类特殊矩阵的逆特征值问题2 0 3 1h 明 1 l i t e h 卸m 锄矩阵的逆特征值问题2 1 3 2 子矩阵约束下对称矩阵的逆特征值问题2 9 3 3 小结与展望3 4 第四章特殊矩阵方程的求解3 6 4 1 矩阵方程a x + x r 曰= c 的可解性3 6 4 2 算子方程从+ r 召= c 解的探讨4 5 4 3 矩阵方程似曰+ c f d = e 的可解性及其自反解5 2 4 4 方程似= 占的相位约束极小范数最小二乘解6 2 4 5 小结与展望6 6 第五章特殊矩阵的能量问题6 8 5 1 预备知识6 8 5 2 主要结果7 0 5 3 小结与展望8 2 第六章部分矩阵逆的填充及分块矩阵d i 讹m 逆的表示8 3 6 1h e n m t e 块矩阵逆的填充8 3 6 2 斜h e n i 】i i t e 块矩阵逆的填充8 8 6 3 含有一个不确定块的矩阵逆的填充9 0 目录 6 4 分块矩阵d r a z i l l 逆的表示9 9 6 5 小结与展望1 0 6 第七章非负矩阵h a d 锄蕊积谱半径的估计1 0 8 7 1 预备知识1 0 8 7 2 主要结果1 0 9 7 3 小结1 1 5 参考文献1 1 6 在学期间的研究成果1 2 6 致谢1 2 7 一、n 一 主要符号对照表 彤( c ，i ) 舻煳 c m 湖 d 舻湖 矿期 s 彤湖 伊期 a ( a ) 彪) i i aob aob v c c ( a ) = ( 口 ，口：) r a a 阻i a t a d 尺( a ) 或i n l ( a ) 似) 或k c r 似) 廿似) 或劬c c ( a ) a ( 【1 ，r 】) 水) 或捌咄( a ) 酗) 主要符号对照表 实( 复) n 维空间 m 刀实矩阵的集合 m n 复矩阵的集合 九阶实正交矩阵的集合 n 阶酉矩阵的集合 万阶对称实矩阵的集合 n 阶h 锄【i l i t e 矩阵的集合 矩阵a 的特征值 矩阵a 的谱半径 f r o b e n i u s 范数 a 和j 5 l 的k r o n e c k 髓积 a 和口的h a d a m a r d 积 矩阵a = 0 l ，) 的向量表示 a 的转置矩阵 a 的共轭转置矩阵 a 的行列式 a 的m 0 0 佗p e 哪广义逆 a 的d ：妇j 笾 a 值域 a 的零空间 矩阵a 的迹 矩阵a 的r 阶顺序主子矩阵 矩阵a 的秩 矩阵a 的能量 一v u 主要符号对照表 一v m 第一章前言 1 1 背景知识 第一章前言 特殊矩阵是计算数学的重要组成部分，它在数值分析、优化理论、自动控制、 数字信号处理、系统辨识、工程计算等领域中的应用越来越广泛，所以对特殊矩 阵的研究具有重要的应用背景和较深的理论意义本文涉及的特殊矩阵类主要有： 僻q ) 正交对称矩阵、h e 皿i t c h 如m t o n 矩阵、子约束对称阵、自反矩阵、( 0 ，1 ) 矩 阵、非负矩阵等矩阵方程来源广泛，并且不同的应用背景产生不同类型的矩阵方 程求解问题例如，在极点配置、测量反馈等控制领域涉及到l y a p u i l o v 、砒c c a l i 方程的求解；在均衡器的可控和可观测性问题，参量变化的稳定设计问题以及奇异 系统的控制等问题中涉及到s t e i i l 方程、s y l v e s t e r 方程的求解；在利用实测的模 态信息修正初始结构力学的模型问题中，根据不同的修正对象和修正要求涉及到 m x 2 + a 队+ 积= o 和麟= 膨x 的求解：在代数特征值反问题、偏微分方 程、科学与工程计算等领域的研究中都涉及到线性矩阵方程的求解 特殊矩阵类上的矩阵方程求解问题越来越广泛地应用于自动控制、结构设 计、有限元模型修正、经济、统计等诸多学科领域在过去的三十年中一直是 非常活跃的研究领域近年来，对称矩阵【3 4 】、中心对称矩阵【2 】、双对称矩阵 【1 2 】、r - 对称【1 1 1 】、( m 忉一对称【8 3 】、正交对称【8 6 】、自反和反自反阵【8 4 】等矩 阵类上的矩阵方程的求解得到了越来越多的关注本文，我们定义了一类新的矩阵： ( 只q ) 正交对称矩阵，并研究了这类矩阵上矩阵方程的求解问题，僻q ) 正交对称是 对称矩阵在形式上的推广 矩阵逆特征值问题就是根据给定的谱数据构造矩阵的问题，它主要来自于离散 的数学物理反问题、系统参数识别、地震断层成像技术、主成分分析与勘测、结 构分析、电路理论、机械系统模拟等许多应用领域，有着重要的应用背景由于所 给条件和应用背景的不同，矩阵逆特征值问题有着不同的提法比较经典的逆特征 值问题是似= x 八 这类逆特征值问题在复原矩阵元素的过程中，不仅用到了特征 值的信息，还用到了矩阵特征向量的信息国内外许多专家、学者已经研究了它在 不同矩阵集合中的求解问题，具体可见【3 ，3 8 ，9 4 ，1 0 7 ，1 1 1 ，1 1 7 】 当用有限元方法对力学结构进行动力模型分析时，可以建立一个广义特征值 模型而x = 刎吃工，其中艺，尥分别表示刚性矩阵和质量矩阵然而该有限元模 型的固有频率往往与实验测得的频率不一致，工程技术人员希望改进刚性矩阵和 质量矩阵以使得更新后的模型更接近结构的动力行为，这就是模型更新或称为 第一章前言 模型修正问题，它可以看成是一种广义的逆特征值问题，已有大量的文献研究，见 【5 ，8 ，2 0 ，4 2 ，6 3 ，6 4 ，6 8 ，1 0 0 ，1 0 1 ，1 1 6 】，其中文【8 ，4 2 ，6 3 ，6 4 ，1 0 0 】用的方法都是从整 体上调整质量矩阵和刚性矩阵关于模型误差的分析方法有l u b e r 等提出的敏感性 分析【7 7 】、u i l l 【的剩余因子方法【7 2 】和最小二乘方法【8 2 】等在实际中，由模型误 差引起的结构元性质变化的部分表示在工程中更有应用价值，基于此用测得的数据 调整兄，尥的部分元素是实际所需要的，这也是一种比较实用的模型修正方法，称 之为部分修正，它等价于子矩阵约束下的矩阵方程问题子矩阵约束下的矩阵问题 就是给定矩阵a 的一个子矩阵a o ，再求关于a 的某个约束矩阵方程解的问题，这 类问题最早来源于系统的扩张问题【3 0 】，具有一定的实际意义和重要性本文讨论 了动力模型孟= m x a 的 i e l m i t e h 锄i l t i 油矩阵整体修正和子约束下对称矩阵部 分修正问题以及它们的最佳逼近问题 矩阵方程似+ x r 曰= c 和似曰+ c x r d = e ，在观察器设计【2 3 】，特征结构 设计【4 0 】，带有输入约束的控制理论【3 5 】，故障检验【4 1 】等领域中有着广泛的应 用文献【9 8 ，7 0 ，1 0 6 】利用共轭梯度法和层次分离原理得到了它们的迭代解但 是，在某些实际应用中。我们还是需要知道它们的可解条件和解的表达式而通常 所用的矩阵分解法只能研究它们的一些特殊情况，例如在控制论中有重要作用的 a r x + f a = 曰、a r x b + b r 碧= c 等对于矩阵方程似+ 妒曰= c ，目前我们查 到的有关其解析解的文献只有【8 7 ，5 5 ，9 2 】具体如下：2 0 0 7 年，朴等【8 7 】在c = c r 的条件下，通过广义逆给出了方程可解的条件以及一般解的描述2 0 1 0 年，弛r 锄0 v 【5 5 】利用正则矩阵束a + 脑r 的性质，得到了其唯一可解的条件，但是他没有讨论 一般解2 0 1 1 年，t e r 锄和d 0 p 油【9 2 】研究了方程c a x + f c a = 0 的一般解，其中 c a 是a 的合同标准型在方程a x + x r b = c 漂亮形式和非凡特性的吸引下，本文 将继续讨论上述两类特殊矩阵方程的可解性及通解表达式 随着科学与工程技术的不断发展，新的约束矩阵方程问题不断地提出在某些 实际应用中，常常期望解x = f ) 的每个元素鼍f 的相位参数一致，这样就产生了相 位约束相位约束是一个非线性问题b y d d e r 【1 1 】和文【1 0 9 】分别利用直接法和高 斯牛顿迭代方法研究了线性方程a 工= 易的相位约束解，它们在磁共振成像水，脂肪 信号的分离中有很好的应用本文研究了相位约束下矩阵方程a x = b 的最小二乘 解 矩阵a 的能量定义为a 的所有奇异值之和，即s 似) = 毋( a ) 1 9 7 8 年，( 沁缸n 勰 【4 6 】引入了图的能量，即文g ) = s ( a ( g ) ) ，其中a ( g ) 为图g 的邻接矩阵，它是对角元 为0 的对称( 0 ，1 ) 矩阵从这种意义上讲，研究图的能量实质就是研究某特殊矩阵的 能量图的能量有一定的化学背景，例如：若我们把化合物的分子结构用m 0 l e c l l l e 一2 一 第一章前言 图来表示，那么图的能量越大，相应化合物的稳定性就越强另外，在新药开发时它 也可用于考量一批指标，虽然能量本身不一定是其中的一个指标，但它可能与某些 指标( 如沸点) 有一定的统计关系，又如新药要求某一指标m 在区间【口，剀内，由统计 规律又知要使m 陋，剀，能量应在区间【c ，棚内，这样在筛选时可大大缩减搜索范 围两个图的能量相等，等价于它们所对应的两特殊矩阵的能量相等2 0 0 9 年，l i 和 s o 【6 7 】给出了图麒( n ，s 。r ) 与它的子图咒酞n ，s ，r 1 ) 能量相等的条件随后，詹兴 致教授提出如下问题：在什么条件下，图雕( n ，s ，r ) 与它的子图孟瞰万，s 一口，r 一功能 量相等，其实质就是研究两特殊矩阵等能量的问题，本文我们围绕上述问题展开了 讨论 部分元素给定而其余元素为自由变量的矩阵称为部分矩阵部分矩阵的填充 问题就是选取自由变量的值，使得填充后的矩阵具有某种给定的性质，如具有给定 的行列式、秩、值域、逆、范数、特征值、奇异值等它在算子理论、数值分析 【1 】、生物【3 1 】、控制分析【8 8 】和统计【9 0 】中有应用，最近又出现在数据挖掘和图 像处理中【7 9 】关于部分矩阵的填充问题已有许多文献研究【1 】，【4 】，【1 8 】，【2 6 】，【4 3 】， 【4 7 】，【5 3 】在众多矩阵填充问题中，矩阵逆的填充是非常自然也是具有基本重要性 的问题，相关结果参见【4 】，【2 1 】，【3 9 】，【9 3 】但是仍有一些问题没有解决本文研究解 决了文【9 3 】提出的若干待解决逆的填充问题的一部分 蛐逆在很多领域中都有重要的应用背景，如m 砌【0 v 链、迭代算法、偏微 ，4曰、 分方程、奇异微分方程等设m = i l 为任意的2 2 分块矩阵，其中a ，d 为 l cdj 方阵1 9 9 1 年，c 锄p b d l 和m e y e r 在文【1 3 】提出：如何用子块a ，曰，c d 的d i 龀i n 逆表示m 的呦逆，这一问题得到了国内外众多专家学者的关注，已取得了许 多成果，具体见【1 9 ，3 3 ，4 5 ，4 8 ，4 9 ，6 9 ，1 0 3 】据我们所知，在a 一1 存在，d c i a 一1 曰为 非零奇异矩阵的条件下，给出m 的d r a z i i l 表示仍是一个公开问题本文利用蛐 的反序律，给出了上述问题m 的d 】勉i 1 1 逆存在条件及表示，同时也得到了分块矩阵 m 在秩等式约束下c 拥z i n 的一些表示 h 加a m 积在周期函数的回旋三角时刻、成品内核的积分方程、偏微分方 程的弱最小原则、概率论中的特征函数以及复理论中都有重要的应用【5 2 】，【1 1 4 】， 【1 1 5 】早在八十年代，h 咖和j o h n s o n 【5 2 】就给出了两个非负矩阵h a d 锄a r d 积谱 半径的一个简单估计2 0 0 7 年，方【3 7 】利用特征值分布的圆盘定理给出了一个更好 估计2 0 0 9 年，刘【7 3 】利用特征值分布的c a s s 砬卵形定理又进一步改进了文【3 7 】 的结果，并在博士论文【7 5 】提出这样的问题：可否利用特征值分布的b n l a l d i 定理， 得到p 似。司更好的估计，本文我们给出了肯定的结论 一3 一 第一章前言 1 2 本文的主要工作 第一章主要介绍了研究问题的背景知识 第二章研究得到了( 只q ) 正交对称矩阵类上矩阵方程a r x 召= c 的最小二乘 解、最小二乘最佳逼近解、最小二乘解极小范数解的表达式，并给出了算例 第三章主要研究了在结构动力模型更新中h 锄血倍h 觚l 丑t o n 矩阵、子矩阵约 束下对称矩阵的逆特征值问题及其最佳逼近问题，得到了问题可解的条件和通解表 达式 第四章首先讨论了矩阵方程舣+ 妒曰= c 和算子方程a x + r b = c 的可解 性问题，然后给出了方程a x 日+ 似r d = e 可解的一些条件以及它的自反、反自反 解的迭代算法，最后研究了在相位约束下矩阵方程a x = 曰的极小范数最小二乘解 第五章利用二次多项式根与系数的关系以及函数的性质，分析了两特殊矩阵 等能量的充要条件 第六章主要解决了文【9 3 】提出的部分矩阵逆的填充问题，最后利用d i 讹i n 的 反序律，给出了分块矩阵在秩等式约束下蛐的一些表示 第七章利用特征值分布的b m a l d i 定理，给出了两个非负矩阵h a d 锄a r d 积的 谱半径上下界的新的估计，解决了文【7 5 】提出的问题 一4 一 第二章特殊矩阵类上矩阵方程的求解 第二章特殊矩阵类上矩阵方程的求解 特殊矩阵类上矩阵方程的求解问题广泛应用于自动控制、结构设计、有限元 模型修正、经济、统计等诸多学科领域在过去的三十年中一直是一个非常活跃的 研究领域本章，我们定义了一类新的矩阵：僻q ) 正交对称矩阵，利用它与对称矩阵 之间的联系，并借助于矩阵的分解、广义逆以及子空间投影理论给出了僻q ) 正交 对称矩阵类上矩阵方程a r 船= c 的最小二乘解、最小二乘最佳逼近解以及最小 二乘极小范数解的表达式 早在上个世纪八十年代，d 0 n 【3 4 】和m a g n u s 【7 8 】就研究了矩阵方程a r x b = c 的对称解和卜结构解2 0 0 3 年，邓等【3 2 】给出了该方程的最小二乘对称、斜对称 和半正定解2 0 0 6 年，彭等【8 5 】讨论了矩阵方程a r 胎= c 的正交对称最小二乘问 题，随后在【8 6 】中又给出了该方程的正交对称解本章，我们将定义一类新的矩阵： 僻q ) 正交对称矩阵，它是对称矩阵在形式上的推广 设p 殿期，若，= p 且产= ，则称p 为广义反射阵所有挖阶广义反射阵 的集合记为s 凹期给定只q s d 舻期，设x 彤期，若 ( p x q ) r = 以q 则称x 为( 只q ) 正交对称阵所有n 阶( 只q ) 正交对称阵的集合记为s f 瑚( 只q ) 本章。我们主要研究以下几个问题： 问题i 给定只q sd ! 舻期，a 舻煳，召彤灯，c 俨，求x s 彤期( 只q ) 使 得 a r x b c1 1 2 = m i l l ( 2 1 ) 此时，我们称x 是方程a r x 曰= c 的( 只q ) 正交对称最小二乘解 问题给定只q s d 舻煳，a f 煳，曰舻灯，c 舻，求】，s 彤期使得 i l ( 鼢) r 】，( q 动一c 2 = m i n ( 2 2 ) 其中s 彤瑚表示n 阶对称矩阵集 最佳逼近问题是在对电学、光学、自动控制等线性系统或结构振动系统进行 测试、复原、设计或校正时，由于原始数据不全或要对已有数据进行核检而提出的 一5 一 第二章特殊矩阵类上矩阵方程的求解 一个数学问题，问题i 的最佳逼近问题可描述为： 问题给定r p 煳，求戈s e 使得 幢一r 1 1 2 = 艘忪一r 1 1 2 这里，s e 为问题i 的解集， 问题求贾s 层使得i i 贾1 1 2 = 曲 2 1 问题i 的解 本节，首先利用( 只q ) 正交对称阵与对称阵之间的关系，得到问题i 与等价 然后我们只要研究其中一个问题的解即可 定理2 1 1 问题i 有解当且仅当问题有解 征设x 问题i 的僻q ) 正交对称最小二乘解，则x 满足( p x q ) r = 以q ，且满 足 i ia r 舳一c 2 = m i n ( 2 3 ) 令】，= 以q ，则矿= y 根据( 2 3 ) ，可得i l ( p a ) r y q b c1 1 2 = m i i l ，从而得y 是问题 的最小二乘对称解 反之，若问题有解y 则p = y 且满足 l ( 以) r y ( q 功一c 2 = m i n ( 2 4 ) 令x = p y q ，则( 以q ) r = 翩c q 根据( 2 4 ) ，我们有i ia r x 曰一c0 2 = n l i n ，从而得x 是问题i 的最小二乘( 只q ) 正交对称解综上可得问题i 与等价 口 引理2 1 2 设d l = d i a g ( 口l 砚，) 0 ，d 2 = ( 1 i a g p l ，幻，) o ，e 殿期，则存在唯一的对称矩阵s 使得 0d 1 s d 2 一e1 1 2 = m i n ， 并且 s = 妒o ( d 1 d 2 + d 2 e r d l ) ， 这里。表示矩阵的h 删积，妒= ( 妒u ) ，锄= 甭刍再，i ，j = 1 ，2 ，万 一6 一 ( 2 5 ) 第二章特殊矩阵类卜矩阵方程的求解 征对任意的s = ( j u ) s 舻煳，e = ( 已巧) p 期， d - s d 2 一e 2 = 似t j u 一已盯) 2 i - 1 户l = 他s 豇协一已矗) 2 + 【( 碍碍+ 弓砖) 弓一2 幻叼+ q 易t 印) + ( 弓+ 弓) 】 括l 1 f 可j 毋 从而可得，存在唯一的解s 使得( 2 5 ) 成立，且 叻= 帮一u 姐 即s = o ( d 1 e d 2 + d 2 e r d l ) 下面，根据【1 0 2 我们给出矩阵对【烈，q 明的广义奇异值分解( g s v d ) 口 引理2 1 3 【1 0 2 】设p q ，a ，曰为问题i 中给定的矩阵，则矩阵对【p a ，q 明的 g s v d 分解为 鼢= w ，p a u r ， q 曰= w z q 占y r ， ( 2 6 ) 其中w 为刀阶非奇异矩阵，u d 舻煳，y 删f ， 跏= i d p 0 0 f s ， = r s f 万一r 0 d q b l 0 f 占 r j f n r 这里，r = m k ( 【户a ，q 明) ，墨= m k ( j 嗡) + 戌m k ( q 功一r f = 砌k ( p a ) 一岛d h = d i a g 1 ，眈，口。) 0 ，d q 丑= d i a g 够1 ，屈，居) 0 ，l 口1 之眈劬 0 ， o 0 ， 今= d i a g 修1 - ，乃) ，o o ，e ，e 日f 瑚，则存在唯一的 矩阵g s f 一使得 并且 g ( g ) = 0g e1 1 2 + d g f 2 + g r d 一日0 2 = m i i l ， g = 三忱。( e + 矿+ d ( f + 矿) + ( ，+ 奶d ) ， 其中忱= ( 妒u ) ，蛳= 1 ( 1 + 碍+ 弓) ，( f ，j f = 1 ，2 ，帕 定理2 2 9 给定r 舻期，矩阵只q ，a ，曰，c 如问题i 所示将m r 以q m 依 据p 的行进行如下分块 矿腭q m = 嘞) 6 6 其中m 如( 2 1 4 ) 所示，则问题的唯一解爻可表示为 殳= p m c l l c 1 2c 1 3 盔4 盘5 1 4 一 ( 2 1 8 ) m r q ，( 2 1 9 ) 碍轧如丸 5 5 5 5 _ 6兜鬼血盘弼觑段轧超磙 3 3 4 5 3恕耘颤怒如恕怒超怒 r 屹r b r m r 塔 n躲稚国 第二章特殊矩阵类上矩阵方程的求解 这里 恕= 三参。【；渤+ 砭) ；+ 2 ( a j ；+ 2 ) 一j 傀2 + 霹) 碍一；( 羁+ 忌5 ) 小 恕= 三；( 显。+ 羁) + 人，一三人a 瞰+ 憨，) ， 盘5 = ( 矗一c 2 a j ) 筇1 ，恕= ( 一怒) 筇1 ，如= ( 一憨人j ) 每1 ， 其中= ( 参玎) 尺舢，乱= 1 ( 碍田+ 碍碍+ 碍砰) ，瓴j f = 1 ，2 ，j ) ，未知阵 岛= ；嘞+ 骜) 辽易证解集s 是一个非空闭凸集，故问题有唯一解由定理2 2 2 ，我们知 道问题i 的解集与相容方程( 2 1 2 ) 的( 只q ) 正交对称解集相同根据定理2 2 6 ，由正 交矩阵的保范性以及( 2 1 8 ) 式，可得 则 i ix r1 1 2 = i im r 以q m m 7 肘q m1 1 2 等价于 c 1 l 一墨1 c 矗一是- c 毛一忌- 磙一豆- 磙一忌 c 3 l 一甄l c 1 2 一墨2 如一如 磁一是2 砭一盂2 砭一是2 c 3 2 一x 6 2 c 1 3 一墨3 杨一如 恐3 一玛3 码一盂， 砭一忌3 c 3 3 一酝 墨4 一墨4 如一勋 妇一戤 一 砭一凰 砭一忍 墨5 一墨5 杨一如 曷5 一玛5 五5 一 墨5 一恐5 磁一 x r1 1 2 = m i n ，v x s 碍一蜀6 一氟 一高6 一 玛6 一 比一 凰一毛2 = m i n ，f = 3 ，4 ，5 ，6 i i 黾一而1 1 2 + i l 霸一蜀f1 1 2 = m i n ，f - l ，2 ，3 粕一岛1 1 2 + 碣一戥1 1 2 ：m i n ，i = 5 ，6 一氟2 + 磙一瓦1 1 2 = m i n ， 一1 5 一 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第二章特殊矩阵类上矩阵方程的求解 和 以及 如一勘1 1 2 + l l ( 一砭) 筇1 一氟1 1 2 + i i 每1 ( 一勘) 一忌2 2 = i i l i i l ， ( 2 2 4 ) 0 黾一忍2 + 0 每1 ( 一人j 杨) 一忌31 1 2 + i i 磁一岛21 1 2 + i i ( 一砭) 筇1 一岛51 1 2 = m i n ( 2 2 5 ) 由( 2 2 0 ) 式，得= 盛，f = 3 ，4 ，5 ，6 由引理2 2 7 ( 1 ) ，可得( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 的解均可表示为， 岛= 三嘞+ 霉) 由引理2 2 8 得( 2 2 4 ) 式的解为， 恕= 三参。【；沌+ 砭) ；+ 2 ( 锄；+ ；) 一( 寇2 + 题) ；一；( 羁+ 是s ) 小 其中参= ( 参巧) 天舢，锄= 1 ( 砰田+ 碍田+ 碍一) ，( f ，j = 1 ，2 ，墨) 由引理2 2 7 ( 2 ) 以及( 2 2 5 )