（机械设计及理论专业论文）粘弹性传动带的非线性动力学的研究.pdf

摘要 摘要 粘弹性传动带和磁带存储装置等多种工程系统，由于在运动过程中可以忽略 弯曲刚度，因此其动力学模型可以简化成为具有粘弹性特性的轴向运动弦线，这 种弦线沿轴向方向平移运动，承受很大的轴向力作用而张紧，因此会产生横向振 动。传动带系统在机械系统中是一个无法替代的传动装置，它可以代替齿轮传动 和连杆机构传动等，但反之不然。研究粘弹性传动带系统和轴向运动弦线的动 力学建模、横向非线性振动及其控制问题县有着重要的理论意义和实际应用价 值。本文研究了粘弹性传动带的非线性动力学特性，主要研究内容有以下几方面。 综述了轴向运动弦线振动及基于g a l e r k i n 截断的粘弹性结构动力学的研究进 展和研究成果。 分别运用牛顿运动定律和广义h a m i l t o n 原理详细推导得到了运动微分方程， 并将利用这两种方式得到的运动微分方程结果与已发表文献的结果进行比较。 综合运用多尺度方法和g a l e 幽n 离散法对横向振动的非线性偏微分方程进行 离散和摄动分析，得到了三种共振情况下的平均方程。这三种共振情形分别是 l ：1 内共振和主参数共振；1 ：2 内共振和主参数共振：1 ：3 内共振和主参数共振。 利用共轭算子法和逐项消去法等规范形理论研究了含有三次非线性项的四 维系统的规范形，给出了利用m 即l e 符号推导程序所得到的计算结果。 利用数值模拟方法研究了粘弹性传动带系统的混沌运动。数值模拟结果证实 了系统存在混沌运动。 关键词粘弹性传动带；轴向运动弦线；规范形；m 印l e 程序；混沌运动 北京工业大学工学硕士学位论文 a b s 丁r a c 丁 m o v i n g b e i t su s e di np o w e rt r a l l s m i s s i o n sa r ea ne x a m p l eo fac i a s so fm e c h a i l i c a i s y s t e m sc o m m o n l yr c f e r r e dt o a sa x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l s o n em a j o rp r o b l e mi nt h i s s y s t e m i st h eo c c u r r e n c eo fi a r g et r a n s v e r s eb e l t v i b f a t i o n s ，w 王l i c hr e s u j tf 而mt h e t i m e d e p e n d e n tc r a l l ) ( s h a f t d r i v e nb e l tt e n s i o n s u c hv i b r a t i o n sa r et e 咖e da sd a r 锄e t r i c v i b r a t i o n s d y n a m i cp r o p e r t i e sa s s o c i a t c dw i t hp a m m e t r i c “b f a t i o n sa r eo fp m a r y c o n c e mi n e n g h e e r i n g t h ed y n a m i cp r o p e r t i e so fp a r 咖e t r i c a l l ye x c i t e dv i s c o e i a s t i c b e “sa r ei n v e s “g a 把di nt l l i sd i s s e n a d o n 1 、h em a i 工lc o n t e n t sa r ea sf o n o w s w e g i v e ar e v i e wo fm er e s e a r d h e so na x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l ss y s t e ma n dm e r e s e a r c h e sb a s e do ng a l e r k i na p p r o a c ho nd y n 锄j c so f v i s c o e l a s l i cs n l l c t u r e s w ed e d v ea n do b t a i nt h ee q u a t i o no fm o n o nf o ras p a no f b 出s d yu s i n gn e o n p r i n c j p l ea n d t h eg e n 嘲l i z e dh 锄i n o n s p 订n c i p 】e 。 t h e n ，w e u s e b o 也恤m 如0 do f m u m p l es c 如e s 蛳d 也e g 越e 憾n 印p o a c h 、o 咖e t h ep e m l r b a t i o na | 1 a l 埘so fn l e g o v e m i l l gp a n i a l d i 腩r e n t i a l e q u a t i o n w eg o t t h e a v e r a g e de q u a t i o n so fm es y s t e m i nt 虹e et e s o n a n tc a s e s t h 0 3 e 舡ep 记d p 吐p 越燃沁 f e s o n a l l c ea 1 1 d 1 ：jj n t e m a ir e s o n a i l c e ，p r i n c i p a lp a 舢e 岫c 化s o n a n c ea n d1 ：2 j n t e m a l r e s o n 8 n c ea r np r i n c i p a lp a r a m e 城cr e s o i 娜瑶e a n dl ：3i 1 1 协m a l s o n a n c e n l et 1 1 e o r yo fn o 肌a lf b 咖a r eu s e dt oi n v e s t i g a t c d 龇n 0 i m a if o r m si n 血ef o u r d l r n c n s i o n a ln o n l i n e a r 科s 钯m sw i t hc 曲i cn o n l i n e a r i t i e s w b 酉v et h ec o m p u t i 工l gr e s u l 招 o fm 印l e p m 萨吼sb yl l s i n gm ca d j o i n to p e r a t o r m e m o d t h ec h a o t i cm o t i o n so f 址蛇s y s t e ma r ei n v e s t i g a t e db yu s i n g t h en u m e r i c a i s i m u l a t i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sr e s u l t ss h o w t h ee x i s t e i l c eo f c h a o t i cm o t i o n s k e y w o r d s v i s c o e l a s t i cm o v i n g b e l t s ，a x i a l l ym o v i n gs t r i n g ，n o 衄a lf o n n ， m a p l ep r o g 眦n ，c h a o t i cm o t i o n s u 第1 章绪论 第1 章绪论 本章概述了问题的工程背景，综述了轴向运动弦线振动及基于g a i e r k i n 截断的粘 弹性结构动力学的研究进展。首先从线性振动和非线性振动两方面的研究总结了轴 向运动弦线的一些研究成果，然后从粘弹性结构的稳定性和混沌运动两方面概述了 该领域的研究成果，最后给出了本论文的主要研究内容。 1 1 前言 粘弹性传动带和磁带存储装置等多种工程系统，由于在运动过程中可以忽略弯曲 刚度，因此其动力学模型可以简化成为具有粘弹性特性的轴向运动弦线。这种弦线沿 轴向方向平移运动，承受很大的轴向力作用而张紧，因此会产生横向振动。传动带系 统在机械系统中是一个无法替代的传动装置，它可以代替齿轮传动和连杆机构传动 等，但反之不然。研究粘弹性传动带系统和轴向运动弦线的动力学建模、横向非线性 振动及其控制问题具有着重要的理论意义和实际应用价值。汽车发动机中的皮带驱 动系统是汽车中的重要部件，它不可能利用其它传动装置来代替，其工作质量的优 劣直接影响汽车及其发动机运行的平稳性，而皮带的横向非线性振动将影响发动机 和整车的振动，加大汽车的噪声，降低汽车的行驶速度和平稳性。在磁带存储装置中， 磁带的横向振动可以导致信号失真并加速磁带的磨损。因此，从2 0 世纪8 0 年代以来， 随着汽车行驶速度从低速向高速发展，为了提高乘坐舒适性和行驶平稳性，粘弹性 传动带系统的动力学问题已经引起了美国和加拿大等发达国家的高度重视，例如， 美国的u n i v e r s i t ) ，o fc a l i f 疏i aa tb e r k e l e y ，u n i v e r s i t yo fm i c l l i g a l l a ta n na r b o r c a r n e g i em e l l o nu i l i v e r s i t y ，加拿大的u n i v e r s 酊o ft o r o n t o 等世界一流大学均开展了 一系列的传动带系统动力学问题的研究工作，并且取得了许多进展。由于我国汽车工 业和i t 产业的独立自主的研究和开发工作严重滞后于世界汽车工业和i t 产业的发展， 对传动带系统动力学的研究到目前为止还基本上处于空白状态。 传动带是由粘弹性材料构成的，其本构关系是非线性的。传动带系统在高速运转 时，将会产生很大的横向振动，皮带中的张力呈现出周期性的变化。因此在传动带 系统中必需考虑非线性因素的影响，而且是一个时变的非线性系统，呈现出分叉和 混沌现象。由于需要考虑粘弹性材料的非线性特性，以及主动轮、从动轮和张紧轮 的影响，因此粘弹性传动带系统的动力学建模和非线性动力学分析是很复杂的。 北京工业大学工学硕士学位论文 1 2 轴向运动弦线线性振动问题的研究进展 轴向运动弦线横向振动的研究起源于1 8 9 7 年s k u t c h 的工作。轴向运动弦线横向 位移较小时，可采用线性振动模型。主要研究内容包括自由振动的固有频率和本征 函数，受迫振动的稳态和瞬态响应，受较复杂约束弦线和弦线与其它元件耦合的振 动，轴向张力涨落和轴向运动速度变化导致参数振动的稳定性等。 考虑长度，、单位长度质量为岛、轴向张力为p 、以匀速c 运动的均匀弦线，设 它受分布力f 伍，丁) 作用，若其横向位移c ，丁) 较小而可以略去高阶量时，动力学 方程为 岛偿拙淼) 一( p w 2 擘= 毗巩 ( 1 ， 其无量纲化形式为 窘+ 2 v 意一謦= ， ( 1 z ) 西2良西、7 彘2 7 、7 其中 工= 芋，“= 等，r = 手j 丢，厂= 警，v = c j 争， ， 工2 了”了扛了1 百2 下怛。、节 ( 1 。 最基本的边界条件是两端固定的情形，此时 “( o ，f ) = o ，“o ，f ) = o ( 1 4 ) 早期的轴向运动弦线的研究工作主要是讨论振动的频率和对各种具体激励的响 应。s k u t c h 利用两个波反向传播的方法得到了该系统的基频。s a c k “1 研究了一端受 简谐横向位移激励时运动弦线横向振动的响应，由共振关系得到了该系统的固有频 室 铲讣譬 居 s ， m a l l a l i n g 锄川以轴向运动弦线为力学模型研究动力传输链的振动，由于齿轮上的链为 多边形而非理想的圆形，弦线在两端边界受到同频异相横向位移激励的作用，所以 用叠加的方法可以得到系统响应，他还在考虑阻尼的情况下发现共振振幅随轴向速 度增大而减小，这与实验结果一致。m c h i b a l d 和e n s l i e 用变分原理建立了运动弦线 的动力学方程，并分析了轴向运动对固有频率和本征函数的影响。s w o p e 和a m e s “j 用运动弦线为模型讨论纺织工业中纤维的不稳定问题，他们分析了波在运动介质中 第j 章绪i 仑 的传播，发现波的传播速度与弦线运动速度相等时会出现纤维不稳定现象。 w i c k e n 和m o t e 采用连续陀螺系统模态分析的方法确定了轴向运动弦线对一般 激励的响应。式( 1 2 ) 可写作无穷维陀螺系统 m 窘+ g 詈+ 胁= 厂 s ， 其中质量算子m 为恒等算子，陀螺算子g 和刚度算子k 分别为 g 功丢，k 一( 1 嚣 ( 】7 ) 进一步可将式( 1 6 ) 用状态变量表示，在给定的边界条件下( 例如( 1 4 ) ) ，可导出系统的 本征值和本征函数。采用模态分析的方法”1 可得到对任意作用力的满足任意初始条件 的响应。利用0 r e e n 函数可给出响应的积分表达式。随后w i c l ( e 而钌m o t e j ”又对模态函 数的选取作了改进。这一工作不仅解决了均匀运动弦线在两端固定约束下的线性振 动响应问题，而且它还是研究更为复杂的约束和耦合问题的基础，同时也是用近似 解析方法研究轴向运动弦线横向非线性振动的基础。 轴向运动弦线横向线性振动的研究近来主要集中在较为复杂的约束问题上。较 早的工作主要考虑端点支撑的弹性。m o t e ”1 首先研究了运动弦线端点的弹性对振动固 有频率的影响。s c h a i e r “”给出在弹性支撑小孔问轴向运动弦线的固有频率和模态的 近似解，p e r k i n s 和m o t e “给出了精确解。随后分布在弹性基础上运动弦线的振动问 题就有了若干个研究。b h a t 等”2 1 采用有限差分方法将问题离散化，然后用数值方法 求得运动，但他们考虑的是非线性自由振动。p e r k i n s “分别研究了具有多个离散的 弹性支撑和连续的弹性基础上的运动弦线的自由振动及对端点简谐运动的稳态响 应。w i c k e 一”用模态分析的方法研究弹性基础上的运动弦线，讨论了自由振动和对 端点简谐运动和弦线上一点简谐激励的稳态响应。z h u 和m o t e ”研究了受单侧约束 时运动弦线对任意分布力和边界激励的瞬态响应，并采用模态分析的方法，在刚性 约束和柔性约束的情形下，分别导出描述系统振动的时滞方程和时滞积分方程，后 者在不计约束惯性时可退化为时滞微分方程。l a k s h m i k u n a r a n 和w i c h e 一”研究了具 有气体支撑的运动弦线，用模态分析方法讨论了自由振动，并进行了实验验证。c h e n ”、 研究了受静态载荷系统约束惯性的运动弦线，静态载荷系统包括质量、弹性、阻尼 和与弦线的干摩擦，基于模态分析方法分桥了静态载荷系统参数对弦线横向振动频 率的影晌。此外，l ，觚g “”建立了分布陀螺系统的本征值包含原理，并应用于分析增 加弹性约柬对轴向运动弦线横向振动固有频率的影响。 轴向运动弦线横向线性振动近来研究较多的另一类问题是弦线与其它部件的耦 合振动。工程问题中具有非均匀分布质量的运动弦线可以模型化为附加个质点的 运动弦线，w i 出e n 和m o l e “”先将这一系统的自由振动问题依据弦长的不同归结为弦 3 北京工业大学工学硕士学位论文 线中行波在质点处的反射和在质点处衔接的两弦线，前者用谐波散射求解，后者在 质点质量及弦线轴向速度较小时可得到本征方程的渐近解，一般情形可用g a l e r k i n 方 法离散后求数值解。随后，w i c h e 嗣i 口m o t e 。”采用模态分析方法研究受迫振动问题， 导出耦合系统相互作用力满足的带时滞的v o l t e 咖积分方程，在质点质量及弦线轴向 速度较小时可得渐近解，一般情形可求数值解，并进行了实验验证。z h u 和m o t e “ 研究了轴向运动弦线附加一质量一弹簧阻尼振子的情形，导出耦合系统相互作用力满 足的时滞积分微分方程，并进行数值求解。动力传输装置可以模型化为运动弦线振 动与圆盘转动振动的耦合，b e i k m a n n “2 等研究了不考虑带上激振的情形，采用基于 h o l z e r 方法的双重迭代求解本征值问题，结果与实验值吻合。z h a n g 和z u 综合离散 陀螺系统模态分析法及运动弦线的模态分析法，建立了显示的频率方程，并得到对 任意激励的响应和对简谐激励的稳态响应。他们还进一步研究了有阻尼的情形，提 出了非自伴的混杂系统的模态分析法“。 轴向运动弦线横向线性振动研究的一个特殊方面是运动过程中能量变化的分析。 在忽略阻尼的情形时，轴向静止的振动弦线机械能守恒，丽轴向运动弦线的机械能 周期性变化。c h u b a c h i 和m i 脚1 k c r “2 ”分别研究了匀速和变速轴向运动弦线机械能变 化的周期性。m i 删 1 1 ( e r 的工作忽略了支承处能量的变迁，在匀速轴向运动的情形， w i c h e r t 和m o t e 考虑这种变化而得到运动弦线的机械能变化与边界值的关系，及每个 模态的机械能变化，他们的结果也可以推广到变速轴向运动的情形“。l e e 和m o t e “” 进行了更一般的分析和数值验证。r e n s h a w o ”等对能量关系进行了更准确地阐述，并 定义了一个在振动过程中的不变量。能量及守恒量的研究为稳定性分析及其控制系 统设计提供了依据。 在式( 1 1 ) 中取j d = 户( f ) = 只+ 鼻c o s q f 可知，轴向张力的涨落可导致小位移的轴向 运动弦线出现参数振动。m a h a l m g a m 首先指出轴向张力存在周期性涨落时，弦线的 横向振动可由m 砒i “方程描述，但没有进行研究。m o t e 首先研究了该问题。“。 n a g u l e s w a r a n 和w i l l i 锄s o ”用静止弦线本征函数进行4 阶g a l e r 虹n 展开发展了确定参数 共振不稳定区的数值方法。u i s o y 。”等研究了带有张紧轮的动力传输、具有参数振动 的稳定性，建立了考虑带与轮耦合并计及阻尼因素的数学模型，用空间和时间的有 限差分进行数值求解，实验结果证实存在轴向力周期涨落会导致参数振动不稳定。 i a r a t n a m 和a s o k a n t h a n o ”研究链驱动的动力稳定性，将计及轴向力周期涨落的动力 学方程进行2 阶g a i e r k i n 截断，然后利用接触变换解耦，基于平均法进行稳定性分析， 得到了亚谐共振、和型组合共振、差型组合共振的稳定性条件及非共振时的响应。 轴向运动速度的变化也可以导致参数振动。若弦线平移的速度f 为时间的函数 c ( f ) ，系统的动力学方程为 第1 章绪论 日( 害+ 嘉筹他p ) 器 一c p 唧2 謦= 毗r ) ( 1 s ) 故产生参数振动。m o t e 。53 首先分析了速度变化对振动稳定性的影响。p a k d e m 等。“ 研究了轴向速度周期变化时弦线横向振动的稳定性，并采用g a k e r k i n 方法将偏微分方 程截断为常微分方程，然后用数值方法计算f i o q u e t 乘子并判断稳定性，将数值结果 与含小参数时经典的解析结果。7 1 进行了比较。他们发现由于陀螺项的存在，偶数阶 g a l e r k i n 截断得到较好的结果，分别进行的2 阶、4 阶、6 阶和8 阶截断比较，高阶截断 给出较好的结果。p a k d e m i r l i 和b a t a n ”用同样的方法研究了轴向匀加速运动时弦线横 向振动的稳定性。w i c k e r t 1 得到了一般的陀螺系统在支承扰动下的近似解，并应用 于匀加速轴向运动弦线。p a k d e m i r l i 和u l s o y “”研究了当轴向速度为在固定值上附加小 周期性涨落情形的运动弦线的参数运动，对于主共振问题，分别用先模态离散化再 利用多尺度展开的方法和直接对偏微分方程多尺度展开的方法得到了稳定区域边 界。对于组合共振问题，在模态离散化的基础上，用多尺度法分别得到和型组合共 振和差型组合共振的稳定区域边界。0 z k a y a 和p a k d e m i r l 3 应用l i e 群理论解析求解了 轴向加速运动弦线问题。除轴向张力涨落和轴向运动速度变化外，其它因素例如弦 长的周期性变化也能产生参数振动“”。 1 3 轴向运动弦线非线性振动问题的研究进展 1 9 6 6 年m o t c “”首先研究了轴向运动弦线的非线性振动问题。轴向运动弦线非线性 振动研究的早期工作主要集中于说明线性振动模型的局限性，并采用非线性模型修 正数量关系和解释非线性现象。近期工作主要是发展直接应用于非线性偏微分方程 的近似解析方法，研究粘弹性弦线和具有耦合的较复杂问题。 轴向运动弦线的线性振动模型的局限性及建立非线性模型的必要性是由早期一 系列工作所揭示的。就数量关系而言，线性振动理论得到的幅频响应等结果不适用 于横向位移较大或轴向速度较大的情形，而必须加以修正“3 “1 。就定性现象而言，只 有非线性振动理论才能解释实验中出现的跳跃现象咖3 和空间的回旋运动。”1 。 研究运动弦线在平面内的横向振动。长度，、横截面积为爿、弹性模量为e 、单 位长度质量为岛、静态轴向张力为r 、以速度c ( r ) 运动的均匀弦线，它受横向和纵 向分布力f ，似，y 7 1 ) 和昂( j ，y r ) 作用，其横向和纵向位移分别为 u ，y ，r ) 平口矿伍，y ，r ) ，则其动力学方程为 北京工业大学工学硕士学位论文 岛(：+善；i￥+2c篇一妊渊一舟c2)i萋；+cez一晶)!：鬻 日(；筹+嘉暑；+2c意一旺“一日c2)兰；+旺一昂)鬻2乃 m 鲁+ g 祟+ 胁：州o ) + 矿o ，硝) ( 1 1 0 8 t i8 t 、4 。一。 、。 其中厂0 ，x ，f ) 为与端点已知运动有关的量，表示非线性算子，占为小量。除横向大 位移外，非线性本构关系【5 6 】和非线性作用力如干摩擦力“7 侧也使得非线性模型成为必 需。 在以往的轴向运动弦线非线性动力学问题的研究中，g a k e r k i n 方法被广泛采用。 通常将横向位移按静止弦的模态函数展开，轴向运动弦线模态”1 的引入可得到更好的 结果。m o c k e n s t u m l 等“”研究了边界位移产生参数激励的轴向运动弦线线性振动的稳 定性和非线性振动的极限环，利用2 阶运动弦线模态g a l e r k j n 截断离散化，采用平均 法进行近似解析分析。在非线性振动情形时，得到了极限环的存在性和稳定性条件。 对于若干非线性连续系统的研究表明陋”1 ，直接对偏微分方程进行近似解析分析所得 到的结果优于先离散化再近似解析分析所得到的结果。m o o n 和w i c k e r t “”在研究边界 位移导致轴向运动弦线非线性受迫振动时，直接对描述系统运动的偏微分方程应用 平均法，导出可解性条件和平均方程，并将解析方法得到的振动幅值与轴向平移速 度的关系与实验结果和基子l 阶运动弦线模态g a l e r k i n 截断得到的数值结果进行比 较，三者基本吻合。 耗散因素的建模是研究轴向运动弦线横向振动的一个重要问题。在以往考虑耗 散因素的研究中，通常认为阻尼力与弦线上一点的绝对速度等十c 半或相对速度 6 - 第1 章绪论 a rr ! 兰成正比。粘弹性材料的考虑为更合理地模型化工程中的运动弦线横向振动的阻尼 a ， 因素提供了新的途径。f u n g 等”研究了粘弹性运动弦线在轴向力涨落扰动下的瞬态 响应，弦线为满足b o l t z m a r u l 叠加原理的积分性粘弹性材料，其松弛函数为三参数固 体。用g a l e r k i n 方法导出描述系统运动的非线性微分积分方程组，采用差分法求得瞬 态响应的数值解并分析有关参数对运动的影响。数值结果表明1 阶、2 阶、3 阶和4 阶 g a l e r k i n 截断得到的响应幅值定性一致。z h a l l g 和z u 0 7 6 “研究了粘弹性轴向运动弦线 的非线性自由振动和受迫振动。当弦线为微分型粘弹性材料，k e l v j n 型粘弹性固体时， 系统的动力学方程仍可以写作式( 1 1 0 ) 的形式，在自由振动的情形厂( “，x ，f ) = o ，而在 受迫振动的情形厂( “，x ，f ) = 厂( x ，f ) 。他们直接对描述连续系统振动的偏微分方程进行 多尺度法分析，在自由振动的情形，得到了非线性振动的频率和幅值，结果表明粘 弹性的阻尼因素对频率的影响不大，而对振动的幅值有显著影响。在受迫振动的情 形，得到了近共振和共振时的稳态响应，结果表明粘弹性的阻尼因素可减小稳态响 应幅值。他们还研究了k _ e l v i n 粘弹性固体轴向运动弦线非线性参数振动的动态响应 和稳定性”3 ，当轴向张力的周期性涨落产生参数激励时，系统的动力学方程仍可以 写作式( 1 1 0 ) 的形式；采用多尺度法得到了和型组合共振的稳态响应及其存在条件， 基于线性化稳定性分析得到了参数空间中的稳定性区域边界，并分析了系统各参数 对稳定性区域的影响。h o u 和z u ”3 分别研究了标准线性固体粘弹性轴向运动弦线的 自由振动、标准线性固体和m a x w e l l - k e i v i n 模型粘弹性轴向运动弦线非线性参数振动 的响应及其稳定性。 动力传输系统的非线性耦合振动是近来活跃的研究方向。w a n r ”研究了链条驱 动系统在链轮齿作用下的稳定性，基于2 阶g a l e r k i n 截断采用多尺度法确定了亚谐共 振及和型组合共振的不稳定区域边界，用数值方法计算了参数共振时的响应。 b e i k m a n n 等”用模态截断和数值方法研究平带驱动系统非线性耦合振动，利用线性 振动分析得到的模态函数进行模态展开而将问题离散化，取3 阶模态把描述弦线运动 的偏微分方程截断为常微分方程组，然后与描述转动的动力学方程联立用 2 e - k 、m a 法进行数值仿真。研究发现一种强耦合机制，转动占优模态导致动态张 力的涨落，通过l ：2 内共振激起带的大幅横向振动，这结果也得到实验的验证。z h a n g 和z u ”“用多尺度法分析非线性耦合振动，他们直接用多尺度法研究连续体的振动， 发现2 阶空间解与系统的线性模态函数不同，因此该方法能得到比基于系统模态函数 展开方法更准确的结果，特别是1 ：1 内共振的情形，两种方法存在显著差别。对于某 些调谐参数，系统出现h o p 盼岔，表明系统可能存在复杂的分岔现象。z u 和z h a n 扩。 还用多尺度法研究了平带驱动系统的2 ：l 内共振。j i a 等”研究了考虑干摩擦时平带驱 动系统的稳态响应。 1 北京工业大学工学硕士学位论文 除一些早期工作“”1 外，轴向运动弦线的空间振动研究较少。h u a n g 等”研究了 轴向运动弦线3 维运动由于轴向力周期涨落导致参数振动的稳定性，利用g a l e r k i n 方 法将连续系统转化为离散系统，然后用离散陀螺系统模态分析方法进行解耦，用多 尺度法分别导出非共振和组合共振时的不稳定条件。此外，对于匀速轴向运动弦线 的横向非线性振动也可建立能量变化关系并定义守恒量”。 1 4 基于g a i e r k in 截断的粘弹性结构动力学行为的研究现状 近年来，各种高分子高强度的聚合材料、人造纤维，如：玻璃、碳纤维等，由于 具有某些传统材料所没有的优点，它们己被广泛地用于各种工程领域，如：桥梁、 建筑、航空、汽车等。这些高强度的人造纤维具有粘弹性特性，其动力特性相当复 杂。随着高聚物材料和复合材料的广泛采用，粘弹性理论的研究。”1 愈来愈受到重视。 而结构稳定性问题是动力系统稳定性研究的一个重要方面，特别是混沌和分岔等非 线性动力学理论的发展为结构稳定性的研究提供了新的方法和观点。g a i e r k i n 方法 ”+ ”1 是一种广泛适用而又不失简洁的简化连续系统动力学数学模型的途径。下面综述 了采用g a l e r k i n 方法分析粘弹性结构动力学行为的进展。 1 4 1 粘弹性结构的稳定性 应用g “e r k i n 方法建立粘弹性结构简化数学模型的一般过程可作如下概括。首先 利用运动方程、几何关系和本构关系建立力学模型。对于粘弹性材料，若本构关系 用b o l t z m a n n 叠加原理或l e a d e 咖a n 关系的积分形式表达时，数学模型为线性或非 线性偏微分一积分方程。然后利用g a l e 出n 方法，由边界条件出发，将方程中的位置 函数在特定的正交函数基上展开并略去高阶项，可将原数学模型简化为线性或非线 性常微分。积分方程组。对于特定的粘弹性材料，如标准线性固体，还可以进一步简 化得到常微分方程组。在此基础上，可以考察稳定性等动力学行为。 在g a l e r k i n 截断得到简化模型的基础上，李雅普诺夫指数被应用于研究粘弹性结 构的稳定性。“。1 9 9 0 年a b o u d i 等【9 2 】首先利用最大李雅普诺夫指数考察了受面内周期 荷载作用小挠度线性粘弹性板的动力稳定性。随后c e d e r b a 啪等【9 3 舛j 用该方法研究 剪切变形复合板和正交层合板的动力稳定性。最大李雅普诺夫指数也应用于粘弹性 柱的动力稳定性研究口5 ，6 1 。值得指出的是，对于线性系统，李雅普诺夫指数为正并 不意味着出现混沌，而是意味着系统的渐近动力学行为发散到无穷。 在g a l e r k i n 截断得到简化模型的基础上，近似解析方法也可应用于研究粘弹性结 构的稳定性。c e d e r b a u m 等【9 7 ，9 8 1 用多尺度法分别给出了受轴向周期荷载作用的粘弹性 柱和受面内周期荷载作用的粘弹性板的稳定性条件，粘弹性材料均为v o i g t - k e l v i n 8 第1 章绪论 固体模型和满足b o l t z m a n l l 叠加原理的标准线性圆体模型。对于满足l e a d e m a n 关 系的非线性粘弹性材料，陈立群等采用平均法建立了粘弹性柱和板在平衡状态失稳 时而发生h o p f 分岔的荷载幅值的临界条件9 9 ，1 0 0 1 ，这些条件与数值实验的结果致。 d r o z d o v 等【l o l ，1 0 2 ，1 0 3 】对超音速流动气体中线性粘弹性板的工作表明，采用g a l e r k i n 截断得到的稳定临界荷载的条件略高于用其他理论分析得到的临界荷载。这说明工 程问题中采用g a l e r k i n 方法可给出偏于安全的结果。 1 4 2 粘弹性结构的混沌运动 粘弹性结构的大变形和非线性本构关系将导致其数学模型中出现非线性项而成 为非线性系统。非线性系统与线性系统存在若干本质性差异，其中重要区别是非线 性系统可能出现分岔而产生混沌运动。由于粘弹性结构对初值的敏感性，所以出现 混沌运动应归为不稳定。对于不稳定线性粘弹性结构，除渐近平衡和稳定周期性运 动外，其余运动只能发敞到无穷，而不稳定非线性粘弹性结构的运动仍可能是有界 运动。 粘弹性梁柱结构的混沌运动有一些较为细致的结果。l9 9 4 年s u i r e 等f l 渊研究了 受横向正弦分布简谐荷载作用的简支大变形线性粘弹性柱的混沌运动，同时采用相 轨迹图、p o i n c a r e 映射、功率谱密度函数和最大李雅普诺夫指数方法，发现进入混沌 的三种途径：随着荷载幅值增加而出现倍周期分岔；对于特定中性面应力混沌会突 然出现：以及随着粘弹性系数增加而出现准周期环面破裂。数值工作还表明对于受 轴向周期荷载的大变形线性粘弹性柱1 0 5 1 和小变形非线性粘弹性柱1 0 0 1 以及非线性粘 弹性梁1 1 0 6 l 在特定参数条件下均出现混沌运动。 粘弹性板的混沌运动研究已有大量成果。1 9 9 4 年t o u a t i 等1 1 07 】采用时间历程、功 率谱密度函数和最大李雅普诺夫指数说明了本构关系为非线性的小变形粘弹性扳可 能出现混沌运动。随后他们用相轨迹图、p o i n c a r e 映射、功率谱密度函数和最大李雅 普诺夫指数方法研究了非线性材料大变形粕弹性板的混沌运动，并分别考察了材料 非线性项和几何非线性项对混沌性态的影响【1 0 引。丁睿等【1 吲也研究了非线性粘弹性 板的混沌性态。朱媛媛等 “o l 研究了大变形薄粘弹性扳的混沌行为。程昌钧等l j 采用 时间历程、相空间曲线、频闪图等数值方法研究大变形粘弹性板运动，运用李雅普 诺夫指数谱发现超混沌运动的存在并说明混沌运动与超混沌运动交替出现。张能辉 等【1 1 2 】还用李雅普诺夫指数谱等数值方法研究了超音速流动中粘弹性薄板的混沌现 象。 粘弹性壳的混沌运动研究也取得进展f 】3 】。张能辉4 j 等在大挠度情形下将v o n k a h n a i l 理论推广到粘弹性结构，对于满足b o i 黝叠加原理的粘弹性浅圆柱壳建立 一：，堡呈些兰兰丝型堡垒二。一 了数学模型并用g a l e r k i n 方法截断简化，在简化模型的基础上采用时间历程曲线、相 空间曲线、频闪图、功率谱和李雅普诺夫指数谱方法研究动力学行为。不仅揭示了 混沌和超混沌运动交替出现，还发现了一种新类型的混沌吸引子 其李雅普诺夫指数 谱为( + ，o ，o ，一) ，以及混沌吸引子对积分步长的敏感性。他们还研究了 气动粘弹性壳的动力学行为，发现在超音速流动气体中，混沌不易产生，而容易出 现无界不稳定。 1 5 本文的主要研究内容 1 5 1 课题来源及系统模型 本课题来自国家自然科学基金项目和北京市自然科学基金项目。 传动带系统在机械系统中是一个无法替代的传动装置，它可以替代齿轮传动和连 杆机构传动等，但反之不然。粘弹性传动带由于在运动过程中可以忽略弯曲刚度，因 此其动力学模型可以简化成为具有粘弹性特性的轴向运动弦线，如图1 1 所示。 图1 1 系统模型 f i g u r e l 1s y s t e m m o d e l 1 5 2 本文主要解决的问题 对于传动带系统的研究已经从线性动力学问题转向非线性动力学问题，从考虑 简单的模型到考虑复杂的模型，从弹性材料到粘弹性材料。对非线性动力学特性的 研究需要解决以下几个问题a ( 1 ) 建立合适的非线性动力学模型。 f 2 1 推导出这个模型的动力学方程，这是一个偏微分方程。 ( 3 ) 将偏微分方程简化成为常微分方程。 第l 章绪论 ( 4 ) 为了方便地进行非线性动力学分析，用规范形理论将常微分方程进行进一步 的化简。 ( 5 ) 利用d y n 锄i c s 程序对系统进行数值模拟。 1 5 3 本文的研究内容和主要结果 第1 章是绪论，在本章中概述了问题的工程背景，综述了轴向运动弦线横向振动 及基于g a l e r k i n 截断的粘弹性结构动力学的研究进展。首先从线性振动和非线性振动 两方面的研究总结了轴向运动弦线横向振动的一些研究成果，然后从粘弹性结构的 稳定性和混沌运动两方面概述了该领域的研究成果。 在第2 章中，运用牛顿运动定律建立了粘弹性传动带的平面非线性运动方程，粘 弹性的本构关系用k e l v i n 模型描述。我们用牛顿法得出了同时考虑线性外阻尼因素和 材料内阻尼因素时的带的平面非线性运动方程，这丰富了单纯考虑材料内阻尼因素 的动力学分析。 第3 章为动力学方程的摄动分析。我们综合利用多尺度方法和g a l e r k i n 离散法得 到系统横向振动在三种共振情形下的平均方程。这三种共振情形分别是1 ：l 内共振和 主参数共振：1 ：2 内共振和主参数共振：1 ：3 内共振和主参数共振。 第4 章利用规范形理论中的共轭算子法和逐项消去法研究了含有三次非线性项 的四维系统的规范形，并利用m a p l e 符号推导程序计算得到了1 ：1 内共振和主参数共振 及1 ：2 内共振和主参数共振两种共振平均方程的规范形。 在第5 章中，利用数值模拟方法研究了粘弹性传动带系统的混沌运动，得到了系 统在不同参数下的混沌运动的波形图和相位图，数值模拟结果证实了系统存在周期 运动及混沌运动。 最后在结束语中，对全文进行了总结，提出了可能存在的问题和进一步的研究 方向。 此外，本文也研究了运用广义h a m i l t o n 原理如何建立粘弹性传动带的平面非线性 运动方程的问题。由于没有得到理想的结果，我们把研究过程放在附录里，可供进 一步研究的参考。 北京工业大学工学硕士学位论文 第2 章粘弹性传动带的非线性动力学方程 在本章里，我们首先介绍了建立动力学方程的几种方法，然后概述了描述粘弹 性材料特性的几种机械元件模型，最后采用k e l v i n 模型运用牛顿运动定律建立了粘 弹性传动带的平面非线性运动方程。 2 1 非线性动力系统的建模 对非线性动力系统建立数学模型是分析的基础。完全借助力学理论进行建模的 过程一般称作理论建模，而以实验作为主要手段的建模过程可称作实验建模。实践 中，通常交替采用这两种建模技术进行相互检验，或混合采用两种技术进行复杂系 统的联合建模。 2 1 1 理论建模 以n e 州o n 力学为根基的各个动力学分支都涉及如何就研究对象进行建模这 问题，而不同的研究对象决定了该动力学分支的特色。 简单质点系或单个刚体的理论建模通常运用理论力学和分析力学方法，其中分 析力学中的l a g 瑚g e 方程是最受欢迎的方法。但是对机器人这类有多刚体和关节组 成的复杂系统，则需采用多刚体动力学方法，借助计算机来完成建模。这些系统的 特点是具有有限个自由度。 相比之下，具有无限自由度的连续介质系统建模非常复杂。系统的非线性来自 两方面，一是系统的运动( 如大变形) ，二是构成系统的材料。对于非线性的杆、轴、 梁、板和简单的壳体，高等材料力学和弹性力学提供了一些建模的手段。至于更复 杂的结构，则需要采用非线性有限元、多柔体动力学等方法，在计算机上完成建模。 下面简要的介绍一下三种建立工程系统动力学方程的方法： ( 1 ) 弹性力学方法：采用弹性力学方法建立系统的动力学方程时，一般依次列出 系统的动力平衡方程、变形几何方程和本构方程，然后尽可能消除联立方程中的未 知函数。根据剩下待求解的未知物理量，弹性力学方法可分为位移法、力法和混合法， 其中位移法是最常用的。 ( 2 ) 分析力学中的第二类l a g m g e 方程方法：其特点是基于系统的能量来建立运 动微分方程，从而无需对系统取分离体进行受力分析。对于多自由度系统或连续系 统可用第二类l a 酽a n g e 方程方法。 第2 章粘弹性传动带的非线性动力学方程 ( 3 ) 分析力学中的h a m i l t o n 变分原理方法：h 锄i l t o n 变分原理是分析力学中一个 基本变分原理，根据这变分原理，可以从一切可能发生的运动中确定真实发生的运 动，因此只需要得到弹性体的能量表达式，如动能r 、势能啸虚功挪，就可以建 立动力学方程，并得到力的边界条件。因此，对于复杂连续系统而言用h a i n i i t o n 变分 原理建立系统运动微分方程较为方便。 本论文将运用牛顿运动定律和广义h a m i l t o n 原理建立粘弹性传动带的平面非线 性运动方程。 2 1 2 实验建模 在工程中，许多非线性因素是无法用理论方法来确定的。因此，实验是非线性 动力系统建模的重要手段。实验建模问题可分为两类。一类是系统的数学模型已知， 但模型中某些未知参数需要通过实验来确定；另一类则是系统的数学模型未知，需 要由实验来确定。通常。将第一类问题称作参数估计，第二类问题称作模型辨识。 由于本论文所用的建模为理论建模，在此对实验建模就不详细介绍了。 2 2 几种粘弹性机械元件模型 随着材料科学的发展，工程中传动带的材料更多的采用高分子高强度的聚合材 料、人造纤维，这类材料受力后的变形过程是一个随时问而变化的过程，卸载后的 恢复过程又是一个延迟过程，因此，这类材料内的应力不仅与当时的应变有关，而 且与应变的全部变化历史有关。我们把这类材料称为粘弹性材料。这些材料的粘弹 性是指它既有粘性又有弹性的性质，其动力特性相当复杂，复杂性主要表现在材料 的动力学行为强烈依赖于温度和振动频率，为了很好的应用粘弹性材料，一个好的 数学描述就显得十分重要。 粘弹性理论中，材料的力学本构关系“”主要有以下几种：( 1 ) 微分型本构关 系：( 2 ) 积分型本构关系：( 3 ) 复数型本构关系。在单轴应力下粘弹性材料的性质十 分类似于由弹性元件和粘性元件按一定规则构成的模型所具有的性质。常见的机械 元件模型有m a ) w e l l 模型、k e l v i n 模型及标准线性模型，这些模型的本构关系均属 于微分型本构关系。下面具体介绍这三种模型。 m a x w e u 模型它是由弹簧与牛顿阻尼器串联的模型，如图2 1 所示。弹簧的伸长s 。由 虎克定律决定 t = ， ( 2 1 ) 北京工业大学工学硕士学位论文 阻尼器的速率自由牛顿阻尼定律决定 式中玎为牛顿阻尼系数。显然有 及 屯= 8 = s e 七s d f 2 2 1 ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) 将式( 2 1 ) 对f 微分后得到的t 与式( 2 2 ) 表示的屯一起代入式( 2 3 b ) ，得到本构关系 仃盯 一十一2 s e打 。( 2 4 ) 或改写成 盯+ 罢于= 彬 ( 2 5 ) e 、 k e l v i n 模型它是由弹簧与阻尼器并联的模型，如图2 2 所示。有下列三式表达的平 衡、几何和物理关系： 盯d + 盯j = 盯， s j 。白2 s ， o d = 玎e d ，os = e ss 将式( 2 7 ) 、