（概率论与数理统计专业论文）分组数据下竞争风险混合模型的极大似然估计.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文在数据类型为分组数据情形下，研究了竞争风险混合模型中当参数真值是内点 时，参数极大似然估计的大样本性质，证明了在一定条件下它具有强相合性和渐近正态性 并且在此基础上进一步获得了竞争风险差异比估计的渐近分布 本文主要内容可概括如下： 第一部分：理论基础作为文章的第一部分，首先介绍了本篇论文中相关的预备知 识我们对分组数据做了基本的介绍，并且给出了极大似然估计的严格定义，以及给出了 极大似然估计的相关性质此外，还介绍了本文中所应用的主要定理 第二部分：模型与似然函数这部分我们给出了本文中竞争风险混合模型的描述 及分组数据下的似然函数 第三部分：极大似然估计的渐近性质这一部分是本篇文章的核心部分，给出了分组 数据下参数的极大似然估计并且进一步地，我们证明了该估计的两个重要性质，即相合 性及渐近正态性 第四部分：竞争风险差异比估计的渐近分布这一部分是在第三部分的基础上，利用 多元占方法进一步得到的 关键词：分组数据；竞争风险；极大似然估计；相合性；渐近正态性 i 分组数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nf o rc o m p e t i n gr i s k m i x t u r em o d e lw i t hg r o u p e dd a t a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys o m ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fm l ef o rp a r a m e t e r si nt h ec o m p e t i n g r i s km i x t u r em o d e lw i t hg r o u p e dd a t a u n d e rs o m ep r o p e rc o n d i t i o n s ，w es h o wt h a tm l ei s s t r o n g l yc o n s i s t e n ta n da s y m p t o t i c a l l yn o r m a l f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n o ft h ee s t i m a t i o nf o rt h er a t i ob e t w e e nc o m p e t i n gr i s k s t h e r ea r ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r ： 1 i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ef o rt h i sp a p e r f i r s t ，w e i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fg r o u p e dd a t aa n dm l e ，a sw e l la st h ep r o p e r t i e so fm l e s e c o n d ， w ei n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sw eu s ei nt h i sp a p e r 2 m o d e ld e s c r i p t i o na n dl i k e l i h o o df u n c t i o nw i t hg r o u p e dd a t a i nt h i sp a r t ，w eg i v et h e d e s c r i p t i o no ft h ec o m p e t i n gr i s ki i l i x t u r em o d e la n dt h el i k e l i h o o df u n c t i o nw i t hg r o u p e dd a t a 3 a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fm l e t h i si st h ec o r ep a r to ft h ew h o l ep a p e r w es t u d y t h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nf o rt h ep a r a m e t e r so ft h ec o m p e t i n gr i s ki i l i x t u r em o d e l f u r t h e r m o r e ，w ea l s op r o v ec o n s i s t e n c ya n da s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fm l e 4 t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h ee s t i m a t i o nf o rt h er a t i ob e t w e e nc o m p e t i n gr i s k s i n t h i sp a r t ，b a s e do nt h er e s u l t si np a r tt h r e e ，w eg e tt h er e s u l tb yu s i n gt h em e t h o do f6 k e yw o r d s ：g r o u p e dd a t a ；c o m p e t i n gr i s k ；m l e ；c o n s i s t e n c y ；a s y m p t o t i cn o r m a l i t y i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本 论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位 或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在 论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：庄幽五童塑逾握垒趔煦蚴坠些过 作者签名：蓝匣塑 日期：塑堕 年立月三i 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：翩毖玉逝隍遂挝汹堕逝盐 2 1 年月进日 年二月丑日 芩 大连理工大学硕士学位论文 引言 竞争风险模型的研究源于可靠性、生物医学、金融等领域中对有着多种不同失效原 因的失效过程的研究，在很多情况下，存在多个使个体失效的风险实际上使个体失效的 风险可能是这些风险中的任何一个。这些风险对个体的寿命称为是竞争的。例如在保险精 算研究中需要研究个体同时具有交通意外和疾病两种死亡原因的寿命分布及其统计推 断问题而在生物医学领域需要研究个体同时患有高血压和心脏病的寿命分布及其统计 推断问题竞争风险模型因为其在可靠性、生物医学、金融中的重要作用，已经成为生存 分析研究的中心课题之一当考虑竞争或交替死亡( 失效) 时，竞争风险就成为生存分析的 自然推广 回顾历史，一方面，当前研究是从计数过程的观点出发，研究了各种竞争风险模型的性 质，详见：文献f 1 1 及其所引用的参考文献，另一方面，从混合模型的角度出发，文献f 2 首次使 用竞争风险混合模型进行数据分析文献f 3 1 提供了边界和内点两种情形下右删失数据竞争 风险混合参数模型的严格分析和极大似然估计及检验统计量的大样本性质文献f 4 】对i 型 区间删失情形下竞争风险混合模型极大似然估计的渐近性质进行了研究但在数据类型 为分组数据情形下，竞争风险混合模型参数极大似然估计的渐近性质还未进行研究 本文我们则主要是在数据类型为分组数据情形下，研究了竞争风险混合模型中当参 数真值是内点时，参数极大似然估计的大样本性质 本论文的结构如下，第一部分：介绍了本文中使用的主要定义和定理第二部分：我 们给出了竞争风险混合模型的描述及分组数据下的似然函数第三部分：证明了分组数据 情形下模型参数极大似然估计的渐近性质第四部分：给出了竞争风险差异比估计的渐近 分布 1 分组数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 1 理论基础 本章给出一些基本概念，定理和结果，这些主要为了后继的讨论作准备本章内容在 文献 5 7 中可见 1 1 极大似然估计 极大似然方法是统计中最重要，应用最广泛的方法之一该方法最初由德国数学家 g a u s s 于1 8 2 1 年提出，但未得到重视，r a f i s h e r 在1 9 2 2 年再次提出了极大似然的思想并探 讨了它的性质，使之得到广泛研究和应用 在概率统计中，概率密度函数p ( x ；伊) 扮演了重要角色当p 已知时，p ( z ；目) 显示概率 密度怎样随z 变化；反过来，当样本z 给定后，可考虑对不同的口，概率密度如何变化，它 反映了对。的解释能力这便是似然 1 1 1 定义 定义1 1 设p ( z ；p ) ，口e 是( r n ，。) 上的一族联合概率密度函数，对给定的z ，称 l ( 秽；z ) = 坳( z ；p ) 为目的似然函数，其中k 0 是不依赖与p 的量，常取k = 1 进一步，若存在( r n ，纨。) 到( o ，玩) 的统计量痧( z ) 使 三( 口( z ) ；z ) = s u pl ( 口；z ) ， p 则否( z ) 称为目的一个极大似然估计( m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ) ，简称尬e 由于概率密度函数大多都具有指数函数形式，采用似然函数的对数通常更为简便称 z ( 口；z ) = i n l ( p ；z ) 为p 的对数似然函数由于对数变换是严格单调增的，故2 ( 9 ；z ) 与l ( 9 ；z ) 在寻求极大值 时是等价的 当m l e 存在时，寻找m l e 最常用的方法是求导数如果百( z ) 是o 的内点，则毋( z ) 是下列似然方程 o l ( o ；z ) a 吼= 0 ，i = 1 ，忌 的解 m l e 有一个非常有吸引力的性质：如果蚕是口的m l e ，9 ( ) 为可测函数，则9 ( 痧) 也 是9 ( p ) 的m l e 该性质成为m l e 的不变性，它使m l e 在用于参数函数时十分简便 2 大连理工大学硕士学位论文 如果9 ( ) 是一一对应的，不变性是显然的如果夕( ) 不是一一对应的，为衡量g ( o ) 的可能性，给出诱导似然的概念设9 ( ) 是e 到q 的可测变换，对任意的。q ，定义 g ) = 口：9 ( p ) = u ) ，g ) 成为u 的陪集，称m ( w , x ) = s u pl ( o ；x ) 为诱导似然函数， 在此意义下，因痧g ( 9 ( 痧) ) ，且l ( 舀；z ) = s u p l ( 8 ；z ) ，故对任意的u q ，有 o g o m ( 9 ( 杏) ；z ) =s u p 己( p ；z ) 一g ( 9 ( 百) ) = l ( o ；x ) = s u p l ( 口；$ ) 0 e e s u pl ( p ；z ) = 讶( u ；。) 这就证明了m l e 具有不变性 1 1 2相合性与渐近正态性 估计量是与样本容量有关的，假设用醣= 丸( 弱，) 估计0 ，我们不可能做到对 某一竹，m s e ( o n ) 对所有0 e 任意小，但当礼_ o o 时通常可以做到这一点，这便是相合 性的概念。 定义1 2 设九= 既( x 1 ，) 是0 的估计，如果当他_ 0 0 时，有 d 二0 ， 则称既是0 的( 弱) 相合估计，进一步，如果 彘一口， o s 则称以为0 的强相舍估计 显然，强相合性可以推出弱相合性在统计研究中，弱相合性便已经足够，一般我们所 指的相合性均是指弱相合性 相合性被认为是对估计的一个最基本要求，如果一个估计量，无论做多少次试验或有 多少个观测值，它都不能把要估计的参数估计到任意指定的精度，那么这个估计是很值得 怀疑的通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑 值得注意的是，相合性只是反映了当礼_ 时估计量的性质，而对任意有限的n ，相 合性是没有意义的相合性本身不能说明为使乱达到一定精度礼必须至少为多少，事实 上相合估计可以不止一个，它们之间是有差异的，这种差异往往可由估计量的渐近分布 的渐近方差反映出来最常用的渐近分布是正态分布 定义1 3 设既= o ( x l ，) 是0 的估计，如果存在砖( p ) ，满足 ( 允一o ) l o - n ( o ) 三n ( 0 ，1 ) ， 则称既是0 的渐近正态估计，砖( 9 ) 称为以的渐近方差， i 5 酡一a n ( o ，程( p ) ) 3 分组数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 显然，如果满足上式的酲( p ) 存在，则它是不唯一的由s l u t s k y 定理，若瓦( 口) 满足 巩( p ) ( p ) 一1 ， 则有( 彘一p ) 巩( 口) 三( o ，1 ) 一般砖( p ) 可取为丸的方差 由中心极限定理，若x 1 ，是独立同分布随机变量，e ( x 1 ) = 目，v a r ( x 1 ) = 盯2 o 。，则施( 叉一毋) 口一a n ( o ，1 ) 由此可见，渐近正态估计的渐近方差往往具有击的阶，即 竹砖( p ) _ 盯2 ( 日) 作为一种统计思想，似然方法有其合理性，得到人们的认可然而就小样本而言，却没 有一个定理能说明m l e 本身有什么优良性质m l e 的优良性主要体现在大样本场合，在 大样本理论中。m l e 扮演了一个中心的角色下面几个定理给出了m l e 的大样本性质 设x 1 ，一，弱是来自p ( z ；e ) 的一个样本，简单起见，考虑单参数情形，设参数空间是 一个开区间，z ( p ；z ) = l n p ( x ；口) i - - = - 1 定理1 1 若l n p ( z ；e ) 在e 上可微，并设p ( z ；e ) 是可识别的( w p 7 ， z ：p ( z ；伊) p ( z ；p ”不是零测集) ，则似然方程在n o 。时以概率j 有解，且此解关于口是相合的 定理1 2 假设0 为开区间，概率密度函数p ( z ；p ) ，p 0 满足 ( 1 ) 在参数真值8 0 的领域内，0 1 n p o e ，o 。2 1 n p 0 0 2 ，o a l n p 0 0 3 对所有x 都存在i ( 2 ) 在参数真值的领域内，l a 3 l n p a p 3 l 日 ) ，且e h ( x ) 。， 其中撇号表示对e 的微分，记以为凡一。时似然方程的相舍解，则 而( 九一e o ) 三n ( o ，r 1 ( p o ) ) 关于上述定理还有一点要指出，一1 ( 口) 是何( 旁一口) 的渐近分布的方差，它并不一定是 厕的精确方差的极限广言之，若r 依分布收敛到x ，并不一定有v a r ( t ) _ v a t ( x ) 1 2 分组数据 在一般的统计分析问题中，总是假设随机样本的观测值为一个确定的数值，然而在一 些实际问题中由于条件所限，不能长期连续的进行观测，往往得到的是分组数据，即观察值 落入某些区间内的个数例如在寿命试验的研究中，需要检验的产品的数量可能很大，对 4 大连理工大学硕士学位论文 于这么多产品不能对每一个产品都全程观测，通常的作法是：记开始试验的时间点为6 0 ， 在试验中进行m 次观测，易为第j 次观测的时间点，歹= l ，2 。吼，0 = b o b 1 k 6 m + 1 = o 。，每次的观测都会得到数据吩，它是在鸭一，幻) 时段内损坏的产品数，所能得到 的就是唧o = 1 ，2 ，m + 1 ) 这样的分组数据假设已经知道样本服从包含未知参数的分 布，所要解决的就是在分组数据下估计这个分布的未知参数 1 3 本文中所应用定理 定理1 3 ( j e n s e n 不等式) 如果v ( x ) 是一个凸函数，y 是一个随机变量，则 二 e p ( y ) 】锄( e 【卅) ， 其中等号成立当且仅当口( ) 在y 的支撑集上是线性的或v a r ( y ) = 0 定理1 4 ( m a r c i n k i e u i c z z y g r a u n d 大数定律) 设 ，佗21 ) 为独立同分布的随机序 列，0 p 五一乙) = 礼- + o 。 的充要条件是e i x i p 。且这时g 可取为 ： 0 0 虾1 【亿e 弱，1 p 2 定理1 5 ( 唯一性定理) 随机变量的分布函数由其特征函数唯- - g t 定 定理1 6 多元正态分布的任何边缘分布为正态分布即 若x 一( p ，) ，将x ，肛，作如下剖分： x = 妻 ：； 二一口，p = 竺三； 二一口， x2f 水) i 2 i 知| ， 堆剐口 则有 x ( 1 ) 一q ( p ( ，1 1 ) ，x ( 2 ) 一一g ( 肛( 扪，2 2 ) 5 分组数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 2 模型与似然函数 2 1模型描述 假设指标集_ f 1 ，2 ，厂】，是研究者感兴趣的死亡原因的集合，定义 p i = p 个体i 死于原因z ) ，最= 1 对每个个体i 定义随机变量g 和m 1 ，五j ) ，当个体i 死于原因f 时，a = 2 ，则 p g = z ) = 蜀，1 i 礼，1 z z 当z k 时， q = z ) 与 g = 忌) 是不相交事件正2 表示死亡原因为z 时第i 个个体的 条件生存时间a ，q ，g 独立同分布，对每个2 ( 1 z j ) ， 死f ，1 i 扎) 独立同 分布蜀( 亡) = p 互z tg = z ) 表示死亡原因为z 时五z 的条件累积分布函数，蜀( 亡) = f ( t ，砒) ，t 0 ，其中，j f l ( ，) 形式已知，娩是一个8 维向量五( ) = f ( t ，c z ) = o f ( t ，吨) 况， t 0 存在 参数形式为p = ( p 1 ，乃，妒1 ，咖) r 冗( 8 + d j ，真值为臼o = ( 最o ，p j o ，妒1 0 ， 妒，o ) r ，其中( p 1 ，乃) r 限制在单形曲= ( p 1 ，乃) r ：0 p 1 易 乃 1 ，量1 毋= 1 ) 中，奶o 虫，2 = 1 ，z 皿是r ( s + z ) j 中开集参数目范围记为0 = 曲霍 设五表示第i 个个体真实的生存时间，当g = 2 时，磊z = 正，( 1 i n ，1 2 j ) 互有累积分布函数： f e ( t ) = p o ( t l 亡) = 芝二p o t tg = 1 ) p e c , = 2 ) 1 = 1 j = p o ( t t z t | g = z ) p o ( c , = z ) 设人的寿命t 服从参数为分布函数为岛。( 亡) 的分布为了估计参数值，我们对 礼个个体同时进行观测在现实生活中有时连续观测比较困难，我们假设间隔一段时 间观测一次，观测时刻点为b 1 ，5 2 ，b m ，( 0 b 1 b 2 b m 0 现利用钆1 ，n 2 ，+ 1 来估计 靠 6 硌 = g 0 ，使在上对1 k ，z ( 5 + 1 ) j 有下式成立 且 o p a e ) i a 0 ，p 。) ， 【，口 一、，u ， i丝巡ib，eo)，ook o o l 一一v oz(j,e)一oz(j,oo)th(j，oo)刁(艿，80)，00 0 0o 、。”7 l i r a 的r k o , 0 0 ) = 0 注：假设( i ) 保证了似然函数的最大值点是存在的假设( i i ) 是模型可识别的充分条 件假设( i ) 一( u ) 是获得渐近性所需要的条件 3 1相合性 记： 刚) ：葛鲁1 0 ：1 9 p j ( e ) n l 。g l ( o ) ， 岛( p ) = 鲁1 0= 们l o ， j 2 1 首先我们讨论一下s ( p ) 和& ( p ) 的性质 命题3 1 在假设( 功成立的条件下，s ( o ) 存在唯一最大值点 8 弓g b 弓 州触 l i s 大连理工大学硕士学位论文 证明： s ( e ) = s ( e o ) 一s ( p ) = e j ( e o ) 1 0 9e j ( e o ) 一l o g 弓( p ) 】 j = t = m 刍+ 1 吲吲- u g 丽p a o o ) = 厶ql 口o ，l u g 丽 一薯驯蛾器 = 一弓( 口o ) l o g 揣 因为函数一1 。g z 是凸函数，利用j e n s e n 不等式及篁1 b ( p ) ：1 ，有 j = 1 s ( o ) 一l o g = l o g 等号成立的充要条件是e j ( e ) 弓( e o ) 等于某个常数k ，即 两边对j 求和，则有 由于 则 马( p ) = k 弓( p o ) ，歹= 1 ，2 ，m + 1 可见等号成立的充要条件是： k = 1 b ( p ) = 弓( 口o ) ，1 歹m + 1 又s ( p ) = s ( e o ) 一雪( 口) ，则s c o ) 取得最大值当且仅当否( p ) = 0 显然，o o 是s ( 口) 一个最 大值点再由假设( 既) 知，对v0 1 占2 e ，存在歹= 1 ，2 ，r e + 1 ) ，使得弓( 口1 ) 弓( 9 2 ) 成立因此，如是s ( 口) 的唯一最大值点 口 由岛( 口) 的定义知，若& ( p ) 存在最大值点，则它也是似然函数的最大值点、本文我们 考虑的参数空间e 限制在一个有界闭集b 中，又岛( 护) 是连续的，有界闭集上的连续函 数必存在最大值，故& ( p ) 存在最大值点，记为丸铊即为o o 的极大似然估计 9 、， = 蹦 k 1 弓 昭 】 一 ，f- - 默 = o n ， 限 弓 弓 州嚣同 弓 州触 k = 徊弓 州簿 = 弓 帆傅 = p乃 州触 分组数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 命题3 2 在假设( 曲成立的条件下，一l i m 。6 i s u b p s n ( 0 ) 一s ( o ) l l0 口8 证明： s u pi & ( p ) 一s ( o ) l o e b 2 伽s u pf 三l o g 踟) ( 鲁刖o ) ) i = ；酱i7 三1 t - j 1 。g 弓( 川三善j 五也卜岛。， 五4 ) 】i s u pz ：。il o g 酬睦i = 1j 正山卜j 冗圳， 由假设( i ) 知，b 为一有界闭集，又因0 印由假设( i ) 知，醣七b ，b 为有界闭集，则氏知有收敛的子列，不妨假设彘七一e i a s 又由s ( e ) 的连 续性知，s ( 乱j c ) _ s ( e 7 ) 因此s ( e 7 ) = s ( e o ) 由命题3 1 知，在假设( 钇) 成立的条件下，民 是s ( e ) 的唯一最大值点。而由上知0 7 0 0 ，这与命题3 1 矛盾定理3 1 获证 口 注：由于我们假设参数真值如是b 的内点，又在定理3 1 的条件下，有l i m 豌= 0 0 砧+ o o 所以，在定理3 1 的条件下，当n 充分大时，九也是b 的内点，则有警i p ：氏= 0 成立 3 2 渐近正态性 为证渐近正态性，需要一个结论，该结论来源于文献 8 】 设溉，拖，为独立同分布的随机序列，具有分布函数乃( z ) ，0 e ，其中e 是p 维 欧式空间的开区域对每一个0 e ，有d f e ( x ) = ，( z ，口) 批，其中p 为伊一有限测度f i s h e r 信息阵，( p ) = 助【( 苗( 1 0 9 ，( z ，8 ) ) ) ( a 磊d e ( 1 0 9 f ( z ，口) ) ) r 】，存在且有限 条件： ( 1 ) ，( z ，0 ) 0 ，对v z x ，v o e ，且p 。；，( z ，0 1 ) ，( z ，如) ) 0 ，当0 1 p 2 ( e ) ( 2 ) 记g ( z ，0 ) = 0 l o 矿g f f x , o ) 为p 维向量，它存在且有限，并有一阶连续偏导数，( 目) 正 定 ( 3 ) 对每个0 0 e ，存在0 0 的领域，以及a ( z ，0 0 ) ，b ( z ，0 0 ) ，日( z ，0 0 ) 0 ，使在 上对1si , jsp 有下式成立 l 掣阻枷l 鬻l 叫州0 ) lsc(z,e)一og(x,eo)00 0 0 0 j 日( z ，) 刀( 口，) ，l 一一r w 。r ”w 且f a ( x ，o o ) d 卫 ( 3 0 ，f b ( x , 9 。) 毗 0 成立则满足条件( 1 ) 在假设( 洌) 一( 移) 成立的条件下，条件( 2 ) 和( 3 ) 显然满足 又 住 z ( z t ，以) 聋 i = 1娄牮 譬rr ，0 l o g 弓( 秽) l j x - j 警l 口：缸 譬r _ r 仍仁4 0 1 0 9 p j ( o ) i ，f 五4 ) d 6 p ：“ 葛铲k 以 a ( p ) i 。佗育l p 一氏。 由前面的讨论知，在假设( i ) 一( 钇) 成立的条件下，当礼充分大时，有警i 口：乳= 0 成立从而 n i 1 他 z n 汹 上何 大连理工大学硕士学位论文 成立 由定理3 1 知，丸一o o ，扎一+ 再由引理3 1 知，定理3 2 成立 1 3 口 分纽数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 4 竞争风险差异比估计的渐近分布 本文我们考虑的个体的死亡原因一共有了种，冠0 = 1 ，2 ，j ) 表示个体死于第z 种原因的概率。在现实生活中，一般不同病因导致死亡的概率会有不同因此，研究各竞争 风险之间的差异更具有实际意义下面我们主要给出了竞争风险差异比( 鲁，鲁，鲁) r 估计的渐近分布 其中每一个职对巧都有连续偏导数，记g = ( o o j ) 善x 蠢，则有 而：( 惫，老，卺) r 、p 1 p 2 。o ，瓦p 3 0 ，老) 0 三( 0 ，g 矿) ， 其中g = ( 三羹享詈羔) ，e 是由j 。1 e 如，的前j 行前，列组成的矩阵 且 s n ( o ，j 一1 ( 如) ) ，岛三爱 1 , 1 大连理工大学硕士学位论文 则有 e e n r & 一e e t t vt r ( 卧1 ) ， 特别地，我们取t = ( 亡1 ，t j ，0 ，o ) r ，则有 e e i t l $ 1 n e i t j s j n e e i t l $ 1 e i t j s j 而 ( 户1 一，岛n ) r 一( p 1 0 ，一，乃。) r ) 三g ( o ，e ) 9 ( p 1 ，p j ) = 9 1 ( p 1 ，p j ) ，g j 一1 ( p 1 ，乃) ) 1 = ( 警，鲁) r 显然，每一个矶对弓都有连续偏导数，记g = ( 1 0 p d o ) ( ，一。) ，则有 g = ( 三篓享 i ：! 羔) 何 夕( 户1 n ，岛n ) - g ( p 1 0 一，p j o ) ) ln ( o ，g g r ) 而 ( 老，惫，卺) r 一( 京，老，舞) r ) 三( 0 ，g 伊) 1 5 口 分纽数据下竞争风险混合模型的极大似然估计 结论 本文主要研究了分组数据情形下竞争风险混合参数模型极大似然估计的渐近性质 第一章主要介绍了本论文的一些预备知识，给出了分组数据的定义及本文中用到的 一些定理 第二章给出了竞争风险混合模型的描述及分组数据情形下的似然函数 第三章是本论文的重点之所在，在一些合理的假设条件之下，得到了分组数据下竞争 风险混合参数模型的极大似然估计具有相合性和渐近正态性 第四章中主要是在第三章的基础上。迸一步得到了竞争风险差异比估计的渐近分布 1 6 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 【l 】1a n d e r s e n ，p k ，b o r g a n ，g i n ，r d a n dk e i d i n g ，n s t a t i s t i c a lm o d e l sb a s e do nc o u n t i n gp r o - 黜【m 】，n e wy o r k ：s p r i n g e r ，1 9 9 3 【2 】l a r s o nmg ，d i m eg e am i x t u r em o d e lf o rt h er e g r e s s i o na n a l y s i so fc o m p e t i n gr i s k sd a t a j a p p l s t a t i e t ，1 9 8 5 ，3 4 ：2 0 1 2 1 1 【3 】r o s s a m a l l e ra n dx i a nz h o u a n a l y s i so fp a r a m e t r i cm o d e l sf o rc o m p e t i n g s 】【s 【j 】s t a t i s t i c a s i n i c a ，2 0 0 2 ，1 2 ：7 2 5 - 7 5 0 4 】胡涛，崔恒建，宋立新竞争风险混合模型的参数估计与检验f j 应用数学学报，2 0 0 7 ，3 0 ( 4 ) ：5 7 6 - 5 9 1 【5 】5 茆诗松，王静龙，濮晓龙高等数理统计【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 6 【6 】高惠璇应用多元统计分析 m 】北京：北京大学出版社，2 0 0 5 f 7 】陈家鼎生存分析与可靠性期北京：北京大学出版社，2 0 0 5 ， 【8 】成平参数估计【硐上海：上海科学技术出版社，1 9 8 6 f 9 jc h e n g ，k f a n dc h e n ，c h e s t i m a t i o no ft h ew e i b u l lp a r a m e t e r sw i t hg r o u p e dd a t a j c o m m u n s t a t t h e o r ym e t h ，1 9 8 8 ，1 7 ：3 2 5 - 3 4 1 f 1 0 jx u eh o n g q i ，s o n gl i x i n a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fm l ef o rw e b u l ld i s t r i b u - t i o nw i t hg r o u p e dd a t a j j o u r n a lo fs y s t e m ss c i e n c ea n d c o m p l e x i t y , 2 0 0 2 ，1 5 ( 2 ) ：1 7 6 - 1 8 6 【1 1 】b u r r i d g e ，j an o t eo nm a x i m u ml i k e f i h o o de s t i m a t i o nf o rr e g r e s s i o nm o d e l su s i n gg r o u p e d d a t a j j r s t a t i s t s o c s e r b ，1 9 8 1 ，4 3 ：4 1 4 5 【1 2 r a b i n o w i t zd ，a n a s t a s i o st ，j o r g ea r e g r e s s i o nw i t hi n t e r v a l c e n s o r e dd a t a j b i o m e t r i k a ，1 9 9 5 ， 8 2 ：5 0 1 5 1 3 ( 1 3 】k c c h o ia n dx z h o u l a r g es a m p l ep r o p e r t i e so fm i x t u r em o d e l sw i t hc o v a r i a t e sf o rc o m p e t i n g r u s k s j j o u r a lo fm u l t i v a r i a t ea n a l y s i s ，2 0 0 2 ，8 2 ：3 3 1 3 6 6 。 f 1 4 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