（机械设计及理论专业论文）基于微分几何学的机器人操作性能的研究.pdf

摘要 本文应用现代微分几何学的方法，对机器人机构操作性能评价指标和轨迹规 划问题进行了研究。将机器人的运动学和动力学性质通过活动标架法和黎曼度量 映射为相应的几何曲面，利用该曲面上的体积元素、黎曼曲率和测地线等几何不 变量的几何性质，研究机器人的操作性能和最优轨迹规划，构成了本文工作的主 线。 本文首先应用现代微分几何的活动标架法，建立了一种新的机器人运动学正 解的递推公式和速度递推公式。由活动标架的递推公式，得到了机器人末端执行 器上的活动标架，所有活动标架的集合构成了机器人工作空间的几何曲面。将外 微分与活动标架法相结合，定义该曲面上的体积元素作为机器人的运动学操作性 能评价指标，它是不变量，根据微分几何中体积元素的几何意义，该体积元素反 映了机器人末端执行器平移和旋转的综合能力。体积元素越大，机器人的综合操 作性能越好，体积元素是关节转角的函数，本文利用该指标确定了机器人的最优 操作位姿，然后对体积元素进行积分，得到了一个综合指标。当体积元素为零时， 机器人的综合操作性能最差，机器人处于奇异状态，由此可以得到机器人的奇异 位姿，传统的机器人奇异性分析是基于雅可比矩阵的行列式为零的。用外微分定 义的体积元素形式简洁，计算量小，本文将活动标架法与外微分相结合，使外微 分的几何意义能够很好地与机器人的操作性能对应上，解决了外微分无法应用于 机器人操作性能分析的难题。 本文分别以机器人的轨迹弧长的平方以及机器人系统的动能为黎曼度量，将 机器人的运动学和动力学性质映射为相应的黎曼曲面。该黎曼曲面上的测地线是 不变量，它是曲面上两点之间距离最短的必要条件。在此基础上，本文提出了基 于测地线的机器人最优轨迹规划方法。运动学曲面上两点之间的测地线对应于机 器人两点之间路径最优的轨迹，动力学曲面上两点之间的测地线对应于机器人两 点之间动能最优的轨迹。通过解不同黎曼曲面上的测地线的微分方程并将其映射 到机器人的各关节变量，充分利用各关节之间的耦合关系，得到了机器人的运动 学和动力学最优的轨迹。最后，本文给出了几种二自由度和三自由度机器入的轨 迹规划算例，对所得到的运动学和动力学最优轨迹规划结果进行了仿真，验证了 基于测地线的轨迹规划方法的正确性。该方法利用测地线直接得到机器人最优轨 迹的方程，而常规的最优轨迹规划方法是基于多项式轨迹的数值逼近。另外，该 方法是以测地线轨迹的弧长为参变量的非时间参考的轨迹规划方法，它反映了机 器人运动轨迹的实时信息，因此，在应对复杂环境时就更具有智能性。 总之，本文利用现代微分几何学中的活动标架法和通过建立黎曼度量，将机 器人的运动学和动力学性质映射为相应的几何曲面，结合该曲面上测地线、体积 元素和黎曼曲率等不变量的几何性质，将外微分应用于机器人操作性能分析，并 提出了一种基于测地线的最优轨迹规划方法，将机器人的轨迹弧长和系统的动能 分别用测地线的弧长来表示，通过解测地线的方程直接得到机器人的最优轨迹。 关键词：机器人轨迹规划：机器人操作性能；微分几何学；测地线；体积元素 机器人运动学；机器人动力学； a b s tr a c t s o m ep r o b l e m sa b o u tr o b o tm a n i p u l a b i l i t ya r er e s e a r c h e db a s e do nm o d e r n d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y t h e m a i nf l a m eo f 山ed i s s e r t a t i o ni st o m a pt h e r o b o t k i n e m a t i c sa n dd y n a m i c sp r o p e r t i e si n t og e o m e t r ys u r f a c eb ym o v i n gf l a m em e t h o d a n dr i e m a n n i a nm e t r i c s ，a n dt h ei n v a r i a n t so ft h es u r f a c e ，s u c ha sv o l u m ee l e m e n t ， r i e m a n n i a nc u r v a t u r ea n dg e o d e s i c s ，a r es t u d i e dt h e nt h er o b o tm a n i p u l a b i l i t ya n d o p t i m a lt r a j e c t o r yp l a n n i n ga r es t u d i e db a s e d o nt h e s eg e o m e t r yi n v a r i a n t s a tf i r s t ，m o v i n gf r a m ei se s t a b l i s h e do nt h ee n do fe a c hl i n k a g eb ym o v i n gf r a m e m e t h o d s ；a c c o r d i n gt o t h e g e o m e t r ym e a n i n g so fm o v i n gf r a m ea n di t s r e l a t i v e q u a n t i t i e s an e wr o b o tf o r w a r dk i n e m a t i c sf o r m u l a i sg i v e n a n dt h em o v i n gf r a m e o nt h ee n d e f f e c t o ri sg o tb yt h i sn e wr e c u r s i v ef o r m u l a a 儿t h ep o s eo f m o v i n gf r a m e o ne n d e f f e c t o rc o m p o s e so fam a n i f o l ds u r f a c a t h ec o n c e p to fv o l u m ee l e m e n ti s d e f i n e do nt h i s g e o m e t r i cs u r f a c eu s i n ge x t e r n a ld i f f e r e n t i a t i o na n dm o v i n gt l r a m e m e t h o d t h ev o l u m ee l e m e n ti sa l li n v a r i a n ta n di s r e g a r d e da st h em a n i p u l a b i l i t y i n d e xv o l u m ee l e m e n ts h o w st h ee n d e r i e c t o r sg e n e r a lm o t i o na b i l i t yo ft r a n s l a t i o n a n dr o t a t i o n t h e b i g g e r t h ev o l u m ee l e m e n t i s ，t h e b e t t e rt h er o b o t g e n e r a l m a n i p u l a b i l i t yi s t h eo p t i m a lp o s ei s d e t e r m i n e db e c a u s eo fv o l u m ee l e m e n ti s a f u n c t i o nr e l a t e dt oj o i n ta n g l e t h e nas y n t h e s i si n d e xi so b t a i n e db yi n t e g r a t i n gt h e v o l u m ee l e m e n tw h e nt h ev o l u m ee l e m e n tb e c o m e sz e r o t h er o b o ti si nt h es i n g u l a r p o s c t h et r a d i t i o n a lm e t h o da b o u ts i n g u l a r i t yi st ol e tt h ed e t e r m i n a n to fj a c o b i m a t r i xb ez e r ov o l u m ee l e m e n th a sav e r ys i m p l ef o r m u l a t i o na n dc a l c u l a t i o nw h e n d e f i n e d b y e x t e r n a id i f i e r e n t i a t i o n ，t h e m o v i n g f r a m em e t h o da n de x t e r n a l d i f 托r e n t i a t i o na r ec o m b i n e di no u rw o r ka n ds o l v et h e p r o b l e m t h a te x t e r n a l d i f k r e n t i a t i o ni sd i 强c u l tt ob ea p p l i e dt or o b o tm a n i p u l a b i l i t y an e wm e t h o do fo p t i m a lt r a j e c t o r y p l a n n i n gi si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h e s q n a r e o fa r c l e n g t h a n d s y s t e m k i n e t i c sa r e r e g a r d e d a sr i e m a n n i a nm e t r i c s r e s p e c t i v e l y ，t h e n t h er o b o tk i n e m a t i c sa n dd y n a m i c sa r e m a p p e do n t o d i f f e r e n t r i e m a n n i a ns u r f a c e st h e g e o d e s i co i lt h i ss u r f a c ei si n v a r i a n ta n di ti st h en e c e s s a r y c o n d i t i o no ft h es h o r t e s td i s t a n c eb e t w e e nt w o p o i n t so n t h i ss u r f a c a t h eg e o d e s i co n t h ek i n e m a t i c ss l l r f a c ec o r r e s p o n d st ot h e o p t i m a ld i s t a n c et r a j e c t o r y ；t h eg e o d e s i co n t h ed y n a m i cs u r f a c ec o r r e s p o n d st ot h eo p t i m a lk i n e t i c s 仃a j e c t o r y t h r o u g hs o l v i n g d i 虢r e n t i a l e q u a t i o n so fg e o d e s i c so nt h e s es u r f a c e s t h eo p t i m a lk i n e m a t i c sa n d d y n a m i c st r a j e c t o r i e s a r eo b t a i n e d t m ag e o d e s i cb a s e dm e t h o du s et h e c o u p l e r e l a t i o n sb e t w e e n j o i n t st og e tt h eo p t i m a lt r a j e c t o r yd i r e c t l y a tl a s t ，s e v e r a lt r a j e c t o r y p l a n n i n ge x a m p l e so f 2 - d o fa n d3 - d o fa r eg i v e na n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f i e dt h e t r a j e c t o r yp l a n n i n gm e t h o db a s e do ng e o d e s i c s i naw o r d ，r o b o tk i n e m a t i c sa n dd y n a m i c sa r em a p p e do n t ot h e c o r r e s p o n d i n g g e o m e t r i cs u r f a c e sb ym o v i n gf l a m em e t h o da n dr i e m a r m i a nm e t r i c s c o m b i n e dw i t h t h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so ft h ei n v a r i a n t so i lt h es u r f a c e ，s u c ha s g e o d e s i c s ，v o l u m e e l e m e n ta n dr i e m a n n i a n c u r v a c u r e ，e x t e r n a i d i f i e r e n t i a t i o ni s a p p l i e d t ot h e m a n i p u l a b i l i t ya n a l y s i s a no p t i m a lt r a j e c t o r yp l a n n i n gm e t h o di si n t r o d u c e db a s e do n g e o d e s i c s t h ea r cl e n g t ho fr o b o tt r a j e c t o r ya n dt h ek i n e t i c e n e r g yo ft h er o b o t s y s t e ma r er e p r e s e n t e db yt h ea r cl e n g t ho fg e o d e s i c sa n dt h eo p t i m a lt r a j e c t o r yi s a t t a i n e dd i r e c t l yb ys o l v i n gg e o d e s i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n k e y w o r d s ：r o b o tt r a j e c t o r yp l a n n i n g ；r o b o t m a n i p u l a b i l i t y ；d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ； g e o d e s i c s ；v o l u m ee l e m e n t ；r o b o tk i n e m a t i c s ；r o b o td y n a m i c s ； 第一章绪论 1 1 论文背景 第一章绪论 机器人的操作性能是机器人学的重要研究内容，它包括机器人机构的几何 学，运动学，动力学，以及轨迹规划和最优控制方式，是机器人设计与控制的理 论基础。在进行机器人机构设计时，需要给出一些指标来评价其操作性能，如惯 性椭球和条件数等，以此进行机器人机构的优化设计，对机器人的操作性能进行 评价并利用评价指标进行优化设计是机器人机构学研究的焦点之一。在控制机器 人去执行所要求的任务时，必须首先规划出其运动轨迹，如利用多项式插值法， 给出机器人各关节的轨迹，以使机器人能够完成要求的任务。如何给出机器人的 最优轨迹，提高机器人的操作性能，是机器人控制的关键问题之一。 机器人的操作性能指标包括运动学操作性能指标和动力学操作性能指标，是 分别在机器人运动学和动力学的基础上提出来的。根据运动学的研究方法不同， 可以定义不同的操作性能指标，许多学者在这方面进行了研究，提出了许多反映 机器人运动学和动力学操作性能的指标，如反映端执行器运动灵活性的灵活度指 标，灵活度指标是基于雅可比矩阵的。除了灵活度指标外，u d a ib a s a v a r a j 和 d u f f y ( 1 l 提出用体积元素作为反映机器入末端执行器运动能力的指标，该指标是 利用微分几何学中体积元素的概念来定性分析机器人末端执行器的运动能力，但 该文在定义体积元素时采用向量内积矩阵定义体积元素，因此需定义向量乘积的 度量，对于冗余度机器人，矩阵变为奇异，体积元素需重新定义。u d a ib a s a v a r a j 和d u f f y 指出，用外微分来定义体积元素在形式上更简单，但在将外微分应用到 机器人运动学操作性能分析时遇到了困难，如何将外微分这一优美的数学工具应 用到机器人机构操作性能的研究，是一个有待解决的难题。因此，若能将外微分 与机器人的几何学和运动学意义对应上，必将有助于机器人操作性能的研究。 机器入的轨迹规划是机器人控制的一项重要内容，关于这方面的研究很多， 但主要是基于多项式插值的方法。多项式插值的方法具有简单和计算速度快的优 点，因此，目前该方法仍在研究和应用之中。许多学者在运动学反解和多项式插 值的基础上，又建立了各种目标函数，对机器人进行最优轨迹规划。常规的多项 式插值轨迹规划方法是一种数值逼近的方法，一般是将各关节的运动看作是线性 独立的。由于机器人的各关节之间存在高度的非线性耦合，因此，如果能够利用 这种关节之间的耦合关系，无需运动学逆解和多项式插值，直接规划出机器人在 某一方面具有最优性能的最优轨迹，将对提高机器人的轨迹规划精度具有重要意 义。 可见，要将外微分应用于机器人的操作性能分析，必须将外微分运算的几何 意义与机器人的操作性能相对应，在此，我们借助于微分几何学中的活动标架法 这一数学工具，探讨将外微分与活动标架相结合。进行机器人的操作性能分析。 王德伦 2 - 4 】已经将活动标架法成功地应用到空间机构的研究之中，外微分与活动 标架法相结合，已成为微分几何学研究的有力工具。 测地线是现代微分几何学的重要的研究内容，它是黎曼度量曲面上两点之间 的最短线的必要条件。为了利用机器人各关节之间的耦合关系进行机器人的最优 轨迹规划，我们尝试将机器人的各关节变量与抽象的黎曼曲面上的各参变量相对 大连理工大学博士学位论文 应，利用现代微分几何学中测地线的概念，进行机器人在各种度量指标下的最优 轨迹规划。基于测地线的轨迹规划直接得到最优轨迹的方程，而不是用事先假定 的多项式轨迹去逼近目标函数得到近似的最优轨迹。 综上所述，机器人的操作性能研究方面还存在着一些需要解决的问题，本文 在国家自然科学基金项目“基于微分流形的机器人机构操作性能的研究” ( n o 5 9 9 7 5 0 1 3 ) 的资助下，应用现代微分几何学中的主要方法进行机器人的操作 性能研究，将活动标架法应用于机器人的运动学研究，建立机器人运动学j 下解的 一种新的方法，并在此基础上，用外微分与活动标架法相结合定义体积元素的概 念，进行机器人的运动学操作性能分析：尝试应用测地线的原理进行机器人的考 虑各关节之间的耦合关系的最优轨迹规划，构建机器人最优轨迹规划的新的理 论，并对其具体轨迹规划的实施办法进行研究，为机器人的最优轨迹规划开辟一 条新的途径。 1 2 文献综述 机器人机构的操作性能是指机器人操作臂末端手爪在执行任务时所具有的 灵巧度及其操作效果，它涉及机器人机构的几何学，运动学，动力学，以及运动 规划和最优控制方式，是机器人设计与控制的理论基础。 1 2 1 机器入运动学 机器人操作臂运动学研究的是手臂各连杆之间的位移关系，速度关系和加速 度关系a 机器人运动学的首要问题是机器人位置和姿态的描述。为了描述机器人 本身的各个连杆之间，机器人和环境之间的运动关系，通常将它们都当成刚体， 研究各刚体之间的运动关系。刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位 姿，其描述方法有齐次变换法，李群法，矢量法，旋量法和四元数法等。其中齐 次变换法应用最为广泛，它的优点是将运动，变换和映射与矩阵运算联系起来。 此外，齐次变换法在研究空间机构动力学，机器人控制，机器人视觉方面也得到 广泛应用。 关节i 关节f + 1 连杆 图1 2 1d - h 参数 f i g 1 2 1d - hc o e f f i c i e n t s 为了研究操作臂各连杼之阃的位移关系，可在每个连秆上固接一个坐标系， 然后描述它们之间的关系。d e n a v i t 和h a r t e n b e r g 5 】提出了种通用的方法，建立 第一章绪论 了连杆坐标系，定义了四个连杆参数a 。，。，0 i ，d ，用一个4 4 的齐次变换矩 阵束描述相邻两连杆的空间关系，这种矩阵简称为a 矩阵，从而推导出末端执 行器坐标系相对于参考坐标系的等价齐次变换矩阵，建立操作臂的运动方程。 w h i t n e y i 6 1 ，p a u l 7 矧，p e n n o c ka n dy a n g i o 啪m c c a r t h y t ，w a l d r o ne ta l 1 ”，w o l f r a m e ta l f b l 对此进行了详细的研究。在连杆的关节上建立坐标系一般有两种方法，因 而有两种不同形式的a 矩阵( 1 。第一种a 矩阵是把杆件坐标系固结在每个连杆 的上关节处，即i 杆件的坐标系f i ) 置于f + 1 号关节上，并固定于f 杆件上，坐标 系 i ) 与杆件j 无相对运动，由此得到第一种a 矩阵的表达式为： a= c o s 0 , 一s i n 0 , c o s s i n 0 ；c o s 0 c o s 口 0 0 s l n 口 o s i n 0 , s i n a ，a 。c o s 0 一c o s 0s i n ads i n 0 c o s a o 实际上，齐次变换矩阵就是三维欧氏空间内的特殊欧氏运动群s e ( 3 ) 。s e ( 3 ) 既有 微分流形的结构又具备代数群的结构，因而是一种李群。近年来，用现代微分l 何学结合李群的方法来研究机器人学比较活跃，其基础就是b r o c k e t t ”一6 1 提出的 指数积公式p o e ( p r o d u c to fe x p o n e n t i a l ) 。指数积公式将指数映射和螺旋理论相 结合，给出了机器人运动学的新解法，使指数积公式成为d e n a v i t h a r t e n b e r g 参 数的最佳替代 1 。 其中李群的方法是现代微分几何的一部分，几何意义明确，但过于抽象，复 杂。w o l f r a me t a l 1 3 1 提出了一种综合考虑矩阵法和李群法的雅可比矩阵求解方 法，该文献的指导思想与本文类似，即找到种即简洁又具有明确几何意义的运 动学正解方法。而活动标架法是现代微分几何学的一个有力的工具，它是李群的 直观表示，并具有明确的几何意义，这对在此基础上进行机器人操作性能的研究 带来了方便。为了应用活动标架法定义机器人的操作性能指标，本文首先用活动 标架法束研究机器人的运动学，将活动标架法的应用从单自由度推广到多自由 度，建立一种基于活动标架法的机器人运动学正解，推导出机器人的运动学正解 的递推公式，速度的递推公式以及机器人的雅可比矩阵。为进一步与外微分相结 合，应用体积元素不变量研究机器人的运动学操作性能奠定基础。 1 2 2 机器人的操作性能评价指标 机器人的操作性能是机器人的重要指标之一。对于运动学操作性能的研究， 主要包括两个基本方面：( 1 ) 到达某一确定位置或一系列位置的能力；( 2 ) 在某一 给定位形处，改变位置或姿态的能力。操作性能与机器人的工作空间，灵活度有 关。其核心都是运动学正解映射的j a c o b i 矩阵，从反解的精确性和避免奇异的角 度出发，研究雅可比矩阵及其逆矩阵，定义各种操作性能指标，如s a l i s b u r y 和 c r a i g 博】的条件数，a n g l e s 和r o j a s 1 9 】的最小条件数，y o s h i k a w a 2 0 】的可操作度等， 这些指标反映了机器人的局部灵巧性和反解的精确性。g o s s e l i n 和a n g e l e s | 2 1 将 灵巧度局部度量性质推广到整个工作空间，m c a r e e ，s a m u e l 和h u n t l 2 2 】，k l e i n 和b l a h o 【2 副把灵巧度度量推广到多种情况。c h i u 2 4 1 提出了种基于任务柔顺的运 动学操作性能指标，并得到了相应的惯性椭球，用该指标进行了二自由度机器人 的工作空间优化选择，并以平面3 r 机器人为例进行了最优轨迹规划。经典灵活 大连理工大学博士学位论文 度指标的定义由于受到机器人参数化的影响，不具有不变性。g o s s e l i n l 2 5 通过在 末端执行器上选不共线的三点使基于j a c o b i 矩阵条件数的灵活度指标具有了不 变性。黄田和汪劲松2 7 j 构造了并联机器人的局部灵巧性与各向同性条件，并 证明了按该局部灵巧性进行的尺度设计在全局也是最优的。在机器人的奇异性分 析方面，黄真【2 弘2 9 】用螺旋理论分析了机器人的奇异位姿，l i p k i n 和p o h l p ，l i t v i n e ta l 对机器人的奇异位姿进行了系统分类，b u r d i c k l j “，s t a n i s i c 和e n g e l b e r t h j ， p a i 和l e u 3 4 q6 】分析了奇异曲面的几何性质，l o n g 和m c c a r t h y 吲从避免奇异的 角度进行结构设计。c h e n ，s e n g 和o t n e i l 【j 副研究了在奇异位姿附近的控制算法。 机器人的动力学十分复杂，如何评价其动力学操作性能，对于开发高速精密机器 人，以及机器人的结构设计，轨迹规划和控制具有重要意义，国内外学者对其进 行了大量的研究，其中a s a d a 3 9 - 4 0 】提出的广义惯性椭球g i e 和y o s h i k a w a t 4 1 1 提 出的动态可操作椭球在几何上比较直观，易于理解。m a 和a n g e l e s 4 2 】提出动力 学各向同性的概念并研究了其在优化设计和轨迹规划上的应用：g r a e t t i n g e r 和 k r o g h 4 3 】用加速度半径来评价机器人的动力学操作性能。d o e l 和p a i 【4 4 】对多种操 作性能指标进行了总结。熊有伦，丁汉【4 ”提出按最坏情况进行机器人优化设 计的方法，提出了全局动态性能指标，包括加速性能指标、高速性能指标和综合 性能指标，并以此进行机器人的结构优化设计。在并联机器人的操作性能方面， 黄真1 28 j 对并联机器人机构学理论及其控制原理进行了系统性的研究；汪劲松、 王忠华和黄田 4 8 1 等利用曲率性质研究了并联机床的菲线性，并对插值误差及控 制进行了分析。 p a r k l 4 9 5 2 1 应用微分几何中光滑映射的概念定义了机器人的运动灵活度指标 以及用指数积公式研究了机器人的动力学；s p o n g 5 3 1 指出，黎曼曲率为零时，机 器人动力学线性化误差最小，s p o n g 试图找出黎曼曲率恒为零的机器人机构，并 给出了一个特殊的例子。u d a i b a s a v a r a j 和d u f f y t l 利用微分几何中体积元素的概 念来研究机器人末端执行器的运动能力，但该文献中的体积元素定义采用的是向 量内积行列式的方法，计算量大，对于冗余度机器人，体积元素需要重新定义。 本文用外微分与活动标架法相结合，通过端执行器上的活动标架及其运动方程， 定义体积元素的概念，其形式简单，计算量小，以此来进行机器人操作性能的研 究。它实质上是机器人运动学的几何化，反映了机器人的运动密度，对其进行积 分，则得到机器人的工作空间的定量表达式，它反映了机器人端执行器的运动能 力。 1 2 3 机器人的轨迹规划 在工业机器人的应用中，一个好的轨迹规划往往会使机器人的控制简化，作 业精度会得到保证。尤其是以p u m a 5 6 0 机器人为代表的通用机器人的广泛使用， 以及离线编程手段和仿真技术的不断提高，使得机器人的轨迹规划在充分发挥机 器人的工作潜能方面显得尤为重要。机器人的轨迹规划分为关节空间内的规划和 直角坐标系空闻内的规划。又可分为运动学轨迹规划和包含动力学的轨迹规划。 在运动学最优轨迹规划方面，机器人结点之间的轨迹规划采用多项式插值的 方法，各关节的运动是线性独立的。为了提高机器人的操作性能，d u b e v 和l u h 4 5 1 定义了速度比来反映机器人的运动灵活性，应用梯度投影法进行冗余度机器人的 灵活度最优的机器人轨迹规划。c h i u l 2 4 】推广了a s a d a 的惯性椭球和y o s h i k a w a 第一章绪论 的可操作椭球，建立了一个同时包含速度和静力的综合性能指标，提出了基于任 务柔顺的最优运动学轨迹规划。z h a f s 在直角坐标空问内用遗传算法进行机器人 的运动学最优轨迹规划，利用b e z i e r 曲线，将机器人的位姿向量所构成的直纹 面作为机器人的轨迹，并对其进行插值。y u n i s 6 在关节空间内用遗传算法进行了 最优轨迹规划。为了更好地控制机器人，在进行轨迹规划时，还要考虑机器人的 动力学，最典型的方法是以机器人系统的动能为指标，应用拉格朗日乘子法进行 动能最小的轨迹规划。与之相对应的问题是时间最短的轨迹规划，l i ne ta l 垆在 直角坐标系内给定的连续轨迹上选择足够多的中间点，并把他们通过运动学逆解 转换到关节空间内，通过多项式插值，在满足位置、速度、加速度约束的前提下， 使总的运行时间最小。从充分利用灵活性提高操作性能出发，郭立新，赵明扬，张 国忠口8 1 研究了关节力矩最小的冗余度机器人最优轨迹规划，取得良好的控制效 果；从工作过程的安全性角度出发，h o l l e r b a c h 【5 9 j 以最小关节驱动力矩为目标 应用最小二乘法进行最优轨迹规划。s a h a r 6 0 】，s h i l l e r 6 1 】，s h i n l 6 2 】，s l o t i n e 和 y a n g 【6 “，k a h n 和r o t h 【o ，h e r z i n g e re ta l 【6 ”，b o b r o w 【6 6 】以时间最短为目标进行 了最优轨迹规划；b e s s o n n e t 和l a l l e m a n d l 6 7 1 研究了考虑负载力矩约束的轨迹规划 问题；s h i l l e r 和d u b o w s k y 【6 驯考虑了在有障碍物、关节驱动器和末端执行器约束 下的轨迹规划；s a r a m a 9 0 1 6 9 1 将系统的动能和运动时间同时加以考虑，目的是使 系统动能最小和时间最短两者达到综合最优，在给定各节点间进行多项式插值， 以生成连续轨迹。y a m a m o t oe ta l 7 0 l 采用迭代的方法在关节空问内进行机器人的 轨迹规划：p a p a d o p o u l o s e ta l t ”j ，p a u lrpa n d z o n g i 7 2 1 ，r a j a he ta l e 7 3 1 等研究了各 种约束下的轨迹规划问题：崔鲲，吴林，陈善本1 7 4 】，罗翔等【7 5 】，孟传伟等 7 6 】， 吴镇炜和谈大龙【77 j 等国内学者也对各种指标下的轨迹规划问题进行了研究。在 并联机器人的轨迹规划方面，李铁民，汪劲松，杨向东，段广洪【7 8 1 对s t e w a r t 平台 机床的轨迹规划进行了研究；范守文，徐礼钜，甘泉【”1 用遗传算法对一种新型并 联机床进行了最优轨迹规划；王启明等1 8 0 1 研究了钢胚修磨并联机器人的轨迹规 划问题。 可见，无论是运动学最优轨迹规划还是动力学最优轨迹规划，在各节点间生 成连续轨迹时，都是在运动学反解和多项式插值的基础上，应用各种优化方法得 到机器人的最优轨迹。多项式插值的方法具有简单和计算速度快的优点，因此， 目前该方法仍在研究和应用之中。 上述最优轨迹规划方法，都是基于时间参数的，规划器的输出是时间的函数， 规划结果不包括机器人轨迹的实时信息，t a r ne ta l 8 t - ”1 提出了基于路径长度的 机器人轨迹规划和控制律，应用旁特里亚金原理，以时间最短为优化目标，得到 了轨迹规划的确定解。但是，这方面的研究文献还不多，尚有许多问题值得研究， 例如，以上文献中所做的规划都是在直角坐标空间中进行的，而对机器人的控制 最终要落实到关节空间中去。另外，这种新的规划方法的控制率还有待于进一步 研究，李杰等【8 4 峙旨出了t a r ne ta l 的方法在实现上存在的问题，提出了改进的 控制率。 目前，现代微分几何有全面进入机器人学研究的趋势，在机器人运动学、动 力学等许多方面取得了满意的成果。但他们应用的是李群的方法，内容艰深且抽 象。在应用微分几何进行机器人的轨迹规划方面，所做的工作主要集中在单自由 度刚体和二自由度方面，z e f r a n ，k u m a r 8 5 等学者应用微分几何中李群的概念对 单自由度刚体在各种优化指标下的连续轨迹的生成问题进行了研究，生成了路径 最短、加速度最小、加速度的变化率最小等最优轨迹；g u yr o d n a y 和e 1 0 n 大连理工大学博士学位论文 r i m o n 9 6 1 应用现代微分几何中黎曼度量，将机器人的动力学等距映射成抽象的黎 曼曲面，并对该曲面上的一些特殊的测地线进行了定性分析，对于一般的测地线， 该文献没有进行研究。 本文提出了一种基于测地线的机器人最优轨迹规划方法，通过解测地线微分 方程的最优解得到机器人连续轨迹，基于测地线的机器人轨迹规划方法与传统的 多项式插值方法不同，为了极小化机器入系统的动能，以机器人系统的动能作为 黎曼度量，直接得到机器人的在给定黎曼度量下的最优轨迹。 基于以上分析，本文应用现代微分几何学的方法进行机器人的操作性能评价 和轨迹规划的研究。 1 3 本文的研究方法 本文应用微分几何学的方法进行机器入的操作性能研究，其核心思想是将机 器人的运动学和动力学性质与抽象的几何曲面相对应，通过考察这些抽象的几何 曲面( 即黎曼曲面) 上的不变量的几何性质，研究机器人的最优操作性能。例如， 黎曼曲面的体积元素( 对于二维黎曼曲面则对应于曲面的面积) 、黎曼曲面上的测 地线以及黎曼曲率，这是现代微分几何的重要研究内容，如何将他们与机器人的 操作性能对应上，从而进行机器人的操作性能研究和最优轨迹规划，将构成本文 工作的主线。 活动标架法是微分几何中研究空间图形的方法，活动标架的概念起源于力 学，例如在研究刚体运动时，在运动的物体上固定一个正交标架，当物体运动时 正交标架随着运动，得到一组依赖时间t 的正交标架，这族标架完全刻划了物体 的刚体运动。e c a r t a n 6 7 曾经系统地发展了这种方法，陈省身【6 8 j 则继承和发扬了 这种方法。活动标架法和外微分相结合，现已成为微分几何学的有力工具。 首先对现代微分几何中的活动标架法加以推广，与机器人的各连杆和关节的 几何关系相对应，在机器人的各关节上建立活动标架，所有活动标架的集合构成 了一个微分流形，它反映了机器人机构的运动学性质，根据活动标架相对分量的 几何意义，结合外微分的方法，定义体积元素，作为机器人的操作性能指标，根 据体积元素可以确定机器入的最优位姿。 分别以机器人末端执行器的轨迹弧长和系统动能为黎曼度量，可以将机器人 的运动学和动力学性质映射为相应的黎曼曲面，它们分别反映了机器人的运动学 和动力学性质。而黎曼曲面上的测地线是该曲面上两点之间的距离最短的曲线的 必要条件，本文利用测地线的这一几何性质，进行机器人的运动学和动力学最优 轨迹规划。基于测地线的轨迹规划方法充分利用机器人各关节之间的耦合效应， 直接得到机器人的最优轨迹的方程，而常规的方法是先将轨迹用多项式来描述， 然后对其在某一指标下进行数值逼近，得到最优轨迹的近似解。 1 4 本文的主要工作 本文的主要工作体现在以下几方面： 1 应用活动标架法进行机器人运动学正解的研究，根据活动标架的几何意 6 第一章绪论 义，得到了一种新的运动学正解的递推公式。 2 在运动学正解的基础上，应用活动标架的运动方程，求出了活动标架的 相对分量，该相对分量为活动标架的广义速度在活动标架本身坐标系内的表示， 【b 此得到了速度正解的递推公式。由速度递推公式，得到了机器人雅可比矩阵的 递推公式，并以p u m a 5 6 0 机器人为例，推导了该机器人的雅可比矩阵。本文还 在运动学正解的递推结果的基础上，给出了求解广义速度和雅可比矩阵的解析方 法。 3 将外微分与活动标架法相结合，从活动标架的六个相对分量中选取最大 线性无关组，将它们做外积，定义为体积元素，以此作为机器人的操作性能指标， 该体积元素反映了机器人末端执行器的运动能力。 4 应用该体积元素指标对机器人的操作性能进行了分析，得到了机器人的 最优操作位姿。对体积元素进行积分，该积分结果反映了机器入机构整体操作性 能的好坏，利用该指标进行了g e p 6 0 机器人p u m a 5 6 0 机器人的杆长参数优化。 还从体积元素出发，无需求解机器人的雅可比矩阵，得到了机器人产生奇异的条 件，研究了常见工业机器人的奇异性。 5 在运动学分析的基础上，定义了机器人轨迹弧长平方的黎曼度量和机器 人系统的动能的黎曼度量，将机器人的运动学和动力学性质映射为不同的黎曼曲 面，利用黎曼曲面上测地线的几何性质进行路径最优和能量最优的轨迹规划。给 出了基于测地线的机器人轨迹规划的基本原理和具体步骤。 6 结合多个算例，说明了轨迹规划的具体实施方法并通过数值仿真验证了 该方法的证确性。 大连理工大学博士学位论文 第二章微分几何学基础 本文应用微分几何学的方法进行机器人的操作性能研究，主要包括黎曼曲面 的体积元素( 对于二维黎曼曲面则对应于曲面的面积) 、黎曼曲面上的测地线以及 黎曼曲率，他们是现代微分几何的重要研究内容。 现将本文将要用到的一些微分几何知识做一介绍【8 7 9 2 1 。 2 1 外微分与外乘积 2 1 1 外微分形式 设r “中的坐标是( 工1 ，z 2 ，x ”) ，以( 出1 ，d x 2 ，d x “) 为基底的实向量空间为 k 可以作出向量空间g ( d 。其中矿9 ( p = 1 ，n ) 中的元素可以表示为： 口n p ( x 1 ，一，x ”) d x “ d x 9 ( 2 1 1 ) g l m s h 它们称为月”上的p 次外微分形式。特别是v 1 = v 中的元素为： n = 口。( x l ，“) 出 ( 2 1 2 ) _ 1 它们称为一次形式。 例如：( i ) 当 = 1 时，设斤中的坐标为局则 0 次形式是：。= f ( x ) 1 次形式是：q = 妒( x ) 出 ( 2 ) 当月= 2 时，设r 2 中的坐标为( x ，y ) ，则： 0 次形式是：脚。= f ( x ，y ) 1 次形式是：q = p ( x ，y ) d x + q ( x ，y ) d y 2 次形式是：国2 = 妒( x ，y ) a x 咖 第二章微分几何学基础 2 1 2 外微分 外微分是一映射，d ：v 斗v 川r 设。r - = v 9 印，= “。，( x 1 ，一，x ”) d x “ ”r n 出9 ，则 i ! n j p g n 其中d o ) 。v 川。 d 0 2 p = d a np 础“” d x 9 = 。乞喜挚。删1 一础* 口_ 1 3 如果珊v o ，则外微分就是普通微分，如果v ”，则d o ) ：0 ，因为 d x d r7 = 0 。 例如：( 1 ) 当h = 1 时，= ，( x ) ，d ( a 。= 厂( x ) 出 珊l = p ( x ) 出，d r a l = p ( x ) ( 扣 d x = 0 ( 2 ) 当”：2 时，：，( 。，y ) ，d ：娑出+ 竽咖 c w咖 。= j p ( t y ) d x + 姒y ) d y ，d q ：( 挈o p ，d x d y 卿d v 0 ) 2 = 妒( x ，y ) d x a d y ，d o ) 2 = 0 设凼为一次外微分形式，算子“a ”是一种外积运算符，本文的后续研究 工作主要用到一次外微分