（生物医学工程专业论文）基于多尺度的人脑磁共振图像模糊分类及可视化方法研究.pdf

a bs t r a c t 3 dr e c o n s t r u c t i o na n dv i s u a l i z a t i o nf r o mm e d i c a li m a g e sh a sv e r y i m p o r t a n ta p p l i c a t i o na n dd e e pm e a n i n g si nc l i n i c a ld i a g n o s t i c ，s u r g e r y p l a n n i n ga n ds i m u l a t e de m u l a t i o n ，p l a s t i ca n da r t i f i c i a ll i m bs u r g e r y , r a d i o t h e r a p yp l a n n i n g ，a n dt e a c h i n gi na n a t o m y t h et e c h n o l o g yo f3 d r e c o n s t r u c t i o ni n c l u d e st w om a i nm e t h o d s ：s u r f a c er e n d e r i n ga n dv o l u m e r e n d e r i n g t h ea c c u r a t ec l a s s i f i c a t i o no fd i f f e r e n tm a t e r i a l si nt h eb r a i ni m a g e s i st h eb a s i sf o rr e c o n s t r u c t i o no ft h r e e d i m e n s i o n a lb r a i n b u tt h e r ei sn o b e t t e rs o l u t i o nf o rt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ev o l u m ed a t a a ne f f e c t i v e f u z z ys e g m e n t a t i o na p p r o a c hb a s e do nm u l t i - s c a l el i n k i n gm o d e lf o r b r a i nm r ii sp r o p o s e di nt h i sp a p e r t h i sa p p r o a c hi sb a s e do nt h ef a c t t h a tt h ei m a g es e g m e n t a t i o nr e s u l t ss h o u l db eo p t i m i z e ds i m u l t a n e o u s l y i nd i f f e r e n ts c a l e s a tf i r s t ，t h en o n u n i f o r m i t yo f g r a y s c a l ei sc o r r e c t e d a f t e ra n a l y z i n gb i a sf i e l di nb r a i nm r j t h e n ，an e wf u z z yi n n e r - s c a l e c o n s t r a i n tb a s e do na n i s o t r o p i cd i f f u s i o nl i n k i n gm o d e li s i n t r o d u c e d w h i c hb u i l d sa ne 衔c i e n tl i n k a g e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eh i g hr e s o l u t i o n i m a g e sa n dl o wr e s o l u t i o no n e s m e a n w h i l e ，t h i sp a p e rd e v e l o p st w on e w f u z z yd i s t a n c e sa n dt h e ne m b e d s t h e mi n t ot h ef u z z yc l u s t e r i n ga l g o r i t h m m o r e o v e r , an e wm u l t i - r e s o l u t i o nf r a m e w o r kc o m b i n i n gt h ei n n e r - s c a l e a n di n t e r - s c a l ec o n s t r a i n t si sd e f i n e d t h ee x p e r i m e n td e m o n s t r a t e dt h a tt h i sm e t h o dc a ns e p a r a t et h eb r a i n m ri m a g ea c c u r a t e l ya n de f f e c t i v e l yi nw h i c hal a r g ea m o u n to fb r a i n m r id a t aw a su s e d t h ep r e s e n t e df r a m e w o r ki sr o b u s tt on o i s ei m a g e s a n dl o wc o n t r a s to n e s ，s u c ha sm e d i c a l i m a g e s f i n a l l ya ni d e a l r e c o n s t r u c t i o nf r o mt h ec l a s s i f i c a t i o no fb r a i nt i s s u e sw a so b t a i n e d ，a n di t i sp r o v e dt ob ev a l i d k e yw o r d sm u l t i s c a l el i n k i n gm o d e l ，f u z z ys e g m e n t a t i o n ，e x t r a c t i o n o fb r a i nt i s s u e ，v o l u m er e n d e r i n g i l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：毪! 兰叠! 1日期：二盟l 年月当日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 三维重建技术是8 0 年代后期迅速发展起来的一门新兴技术，是科学计算可 视化的一个重要方面的应用，它将图像处理、计算机图形学、数学结合在一起， 是科学可视化的一个研究热点。由于它在各个领域尤其是在医学领域和无损检测 领域具有巨大的理论价值和应用价值，所以计算机三维重建及可视化技术越来越 受到研究者们的重视。 计算机三维重建技术的提出有其特定的历史背景。自从1 8 9 5 年伦琴( r o n t g e n ) 发现了x 射线，人们就可以利用x 射线透视设备来探查物体的内部信息。到1 9 6 8 年，英国e m 公司的h o u n s f i e l d 成功设计出计算机辅助大脑扫描器 ( c o m p u t e r - a s s i s t e db r a i ns c a n n e r ) ，它可以产生清晰的断层图像。这是医学影像技 术发展史上非常重要的一个里程碑。进入7 0 年代以来，随着计算机断层扫描( c t ： c o m p u t e dt o m o g r a p h y ) ，核磁共振成像( m r i ：m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ) ，超声 ( u s ：u l t r a s o n o g r a p h y ) 等医学成像技术的产生和发展，人们可以得到人体及其内 部器官的二维数字断层图像序列。这些医学成像的临床应用，使得医学诊断和治 疗技术取得了很大的发展【1 1 。但是，这些设备只能提供人体内部的二维图像，二 维断层图像只是表达某一截面的解剖信息，仅由二维断层图像，人们很难建立起 三维空间的立体结构。医生们只能凭经验由多幅二维图像去估计病灶的大小及形 状，“构思”病灶及其周围组织的三维几何关系，这就给治疗带来了困难【2 】。在 放射治疗应用中，仅由二维断层图像上某些解剖部位进行简单的坐标叠加，不能 给出准确的三维影像，容易造成靶区定位的失真与畸变。为了提高医疗诊断和治 疗规划的准确性与科学性，由二维断层图像序列转变成为具有直观展现人体器官 的三维结构与形态，从而提供若干传统手段无法获得的解剖结构信息，并为进一 步模拟操作提供视觉交互手段。医学图像三维重建与可视化技术就是在这一背景 下提出的，这一技术一经提出，就得到大量研究与广泛应用。 体数据的三维重建方法有大致可分为两类：面绘制【3 4 ( s u r f a c er e n d e r i n g ) 和 体绘带0 ( v o l u m er e n d e r i n g ) 【5 】。面绘制方法首先在三维空间数据场中构造出中间 几何图元如曲面、平面等，然后再由传统的计算机图形学技术实现绘制显示。面 绘匍j ( s u r f a e er e n d e r i n g ) 方法的基本思想是提取感兴趣物体的表面信息，再用绘 制算法根据光照、明暗模型进行消隐( s h a d i n g ) 和渲染后得到最后的显示图像【6 】。 硕士学位论文 第一章绪论 最常见的中间几何图元是三角平面片。当我们需要由三维数据场中抽取等值面时 就属于这种情况。这时，可以将中间几何图元看作是对原始数据中的部分属性的 映射，以平面或曲面反映。这种方法绘制出来的图像不能够反映出原始数据场的 全貌及细节，但可以反映出部分相关的图像。 体绘制方法与面绘制方法不同，它不必构造中间几何图元，直接由原始三维 数据场产生最终的显示图像【_ 丌。它抛弃生成中间图元的做法，直接对处理过的数 据进行绘制又称直接体绘制，其实质是重新采样与图像合成。首先通过对离散的 三维数据场重构得到初始的连续三维数据场，然后在该连续的三维数据场中进行 重采样( r e s a m p l i n g ) ，得到采样点的函数值。最后根据体绘制的光学模型，通过 图像合成来最终得到各个数据场的投影图像。对于新的采样点，按照设定的不透 明度和颜色模型进行分类和颜色复制，由于体绘制算法认为体数据场中每个元素 体素都有一定得属性透明度和光亮度，而且通过计算所有体素对光线的作用 即可得到二维投影图像，因此，体绘制可以利用模糊分类的结果，甚至可以不进 行分割即可直接进行绘制，这样做的好处在于保留三维医学图像中的细节信息， 但缺点是加大了计算开销，即使在硬件图形加速支持的机器上，体绘制也比面绘 制慢得多。 面绘制所生成的中间几何图元只是原始数据的一个近似逼近，并不能完整地 反映原始数据的真实细节这是面绘制一个最大的弊病。随着数据场规模的不断扩 大，生成的中间几何图元数量越来越多，往往会超出图形硬件的支持能力，影响 到图像的显示速度。这样一方面增加了数据处理时间，另一方面进一步影响了细 节的显示，而对于医学图像来说，病变信息往往体现在这些细节上，细节的损失 对于疾病的诊断是极为不利的，将降低三维可视化在临床诊断中的应用价值。而 体绘制方法可以完整地保留原始数据场的全部细节，可以随着画面显示比例的大 小自动调节细节的显示程度，表面绘制方法的几何图元是事先生成的，在显示的 过程中无法调整，而且对于显示硬件性能的依赖也制约绘制方法的通用性。这样 我们可以看出体绘制方法将成为可视化领域的研究热点和必然趋势。 经过多年发展，体绘制从原理到发展形成了一套较完整的体系，而且其应用 也越来越广泛。然而体绘制方法还面临一些问题，总结为： ( 1 ) 可靠地分割分类方法还没有发展成熟； ( 2 ) 体数据显示速度比较慢，不能进行实时动态的显示： ( 3 ) 关于高维的、非规则的或者向量型体数据的可视化还处在初级阶段。 所以我们将研究重点放在其中一个问题，也就是体数据的分类问题。三维体 数据分类有两种方式，一种是直接在三维数据空间中分类，提取出感兴趣对象包 含的体素：另一种是对每张二维切片独立进行分类，再将每张切片中分出的组织 2 硕七学位论文第一章绪论 组合起来进行体绘制。在本文我们用的是第二种方式。 体数据值的分类是整个体绘制算法中非常重要的一步，三维重建的效果就和 体数据的分类有着直接和决定性的关系。三维重建的效果，也就是重建结果的真 实度与可视性，它要求重建结果能够真实、客观的反映物体结构在三维空间上的 特征与细节，这个实现前提就在于绘制前的分类。然而三维数据值的分类又往往 非常困难，尤其是在多种不同物质共存的情况下，其组织结构又通常相当的复杂。 因而同一组织中可能共同存在多种不同的灰度值，而同一灰度值的像素又可能属 于不同的组织结构。这就增加了体数据分类的难度。 由于人脑研究是一个热点问题，而且脑部m r 图像在诊断疾病、认知科学等 方面又有着极其重要的地位，所以本文选择了脑m r 图像作为研究对象。由于脑 m r 图像的成像原理和组织本身的特性差异，图像形成受到噪声、场偏移效应、 局部体效应和组织运动等等的影响，不可避免的具有模糊性、不均匀性，病变组 织边缘不清晰等特点。且人脑组织本身就是一个由多种物质组成的复杂结构，这 些都给脑m r 体数据的分类带来了困难。为了在最终的体绘制结果中能够正确地 表示出共存的多种物质的显示，目前已有很多科研人员在从事这方面的研究，但 至今没有出现一种可靠地分割分类方法适用于脑m r 图像数据。 1 2 研究现状 1 9 9 4 年，美国o n r ( u so f f i c co f n a v a lr e s e a r c h ) 研究机构发表的论文中，就 将物质分类问题列为当前科学计算可视化的八大研究问题之一【8 1 。随着三维可视 化技术的发展，医学体数据的分类受到更多关注。只有对体数据进行准确分类后， 才能经过体绘制得到合理的三维重建结果。但当多种物质共存时，其组织结构又 相当复杂，如人的脑部就是如此，在人脑的c t 或m r 图像中，相同的一种组织 结构通常不具有相同的狄度值，而相同灰度值的像素又可能属于不同的组织结 构。尽管人们运用图像处理和模式识别技术对物质分类问题进行了多年研究，但 仍然只能对简单的或特定的三维数据场进行自动分类。所以体数据的分类问题还 是相当困难的。对于物质组成比较简单的三维数据场，目前常用的分类方法有基 于阈值的方法【9 1 ，基于概率的方法【l o 】，基于边界的方法和基于区域的方法。 基于阈值的方法【9 】一般是针对体数据所在的特定领域的背景知识，或者对全 部采样点的取值进行统计后，设定若干阈值或阈值范围，根据设定的阈值对体数 据分类。这种方法没有考虑相邻像素值问的关系，当物质密度值较为接近甚至重 叠时，效果很不理想。 概率法【1 0 】则多用于多种物质共存的物体中，要能正确估算出每一个体元中 不同物质所占百分比，才可以得到精确分类，但要准确的求出每一个体元中不同 3 硕士学位论文 第一章绪论 物质所占的百分比是不可能的，概率法就是在这样的前提下提出来的。 基于边界的分类方法是根据像素点处的梯度确定边界，当噪声比较明显，且 结构比较复杂的时候，这类方法就不能很好的实现组织分类。 基于区域的分类方法是根据体数据的局部连通性、均匀性，采用区域生长的 方法求出连通域进行分类。这类方法在相邻物质的灰度值相差较小或者是同种物 质内部灰度值不一致时，不能得到理想的分类结果。 除了以上介绍的常用的方法外，还有基于纹理的方法等，由于每种方法都有 其敏感的问题难以处理，又因为本文研究对象脑m r 图像不可避免的具有模糊 性、不均匀性、个体差异性、结构复杂多样性等特点，常用的分类法不适用于本 文的研究工作。也就是说脑m r 图像的分类问题至今没有完全获得解决，因此我 们有必要针对体绘制中体数据的分类这个领域，对分类方法进行研究。 在过去的十年里，多尺度或多分辨率技术广泛的用于医学图像分析中，主要 的方法有：金字塔( p y r a m i d ) 1 ，塔( s t a c k ) 1 2 1 及小波( w a v e l e t s ) t 13 1 。这些多分辨率 技术提供了原始图像在不同尺度的观察结果，极大的增强了算法对噪声，低对比 度的鲁棒性。传统的金字塔】分割方法是通过从一个尺度到另一个尺度向下投 射实现的，限制了分割的数量4 i ( i ) 。对于二维图像塔【1 2 】是一个有效的多分辨 率方法，但是当图像从二维变到三维时该方法就不理想了。k e o n 等形成了一种 新的多尺度图像分割技术【l 舢1 6 】，如超塔( h y p e r s t a c k ) 。常规的超塔模型是基于一个 “父亲”的，其中的每一个层次图像中的图元( v o x e l ) 只连接到高一层次上的一个 图元。这个低层次的图元称为“孩子 ，被连接的高层次图元称为“父亲”。文献 1 6 】介绍了一个扩展模型，即多父亲超塔，在扩展模型中低层次图元可以同时连 接多个父亲。扩展超塔中每个图元依据一定概率连接到各个父亲，相当于一个模 糊技术，但计算开销很大。 近年来，一些基于多分辨空间的模糊聚类技术被陆续提出【1 7 , 1 8 - 2 2 】。m a h m o u d 等人提出了一个基于超塔的多分辨方法【1 7 】，其中模糊聚类只作为一个后处理步 骤，用来解决根连接模型的过分割问题。p u n y a 提出了一个多分辨模糊聚类的框 架【1 8 】，其中，模糊c 均值方法( f u z z yc m e a n s ，f c m ) 分别在尺度空间各个单 独的层次上执行，但忽略了不同层次之间的关系。文献9 】中提出了一个多分辨 彩色图像分割的模型，其中特征变换操作被用来测量尺度间的联系。文献 2 0 】提 出了一个新的无监督多分辨边界探测算子，在低分辨层次探测到的边界传播到高 分辨层次进一步进行探测，直到尺度空间的最低一层。在文献 2 1 1 ，一个多分 辨聚类方法被用来加快常规的模糊算法的速度，这个方法从最低分辨率层次开 始，计算到的中心用来作为下个更高层次的初始状态，达到改进分割的目的。 文献 2 2 1 描述了一个和小波分析相结合的多分辨方法。其中，小波被用来产生对 4 硕士学位论文第一章绪论 比图像，局部模糊c 均值方法产生局部亮度的估计。这些方法通常在尺度空间 图像序列的每一个层次上直接进行模糊聚类方法，上一尺度的分割结果经常作为 下一尺度的初始状态，没有引进有效的尺度之间的约束来优化尺度内的分割，所 以分割结果只在最后的分割的层次得到优化。因此，这些方法对于退化图像的鲁 棒性不是很好。 本文将多尺度分析技术和f c m 算法相结合，提出了一个有效的对m r 图像 的分类方法。 1 3 本文内容 本文针对体绘制步骤中的分类问题，利用提出的分类方法对正常和有病灶的 大脑m r 图像分类，得到了正确的分类结果。然后再分别对正常和有病灶的脑组 织的脑白质和脑灰质分类结果进行体绘制，并且得到了较理想的绘制结果。 本文主要提出了一种基于多尺度连接模型的模糊分类方法。该方法建立在脑 m r 图像分割结果必须要在尺度内和不同尺度上同时得到优化的基础上。首先， 通过非线性扩散连接模型，建立不同尺度间的模糊相似性，然后引入了新的尺度 间的模糊约束，新的约束描述了高尺度和低尺度的模糊连接关系。相应的，我们 定义了两个模糊距离，来描述相邻尺度上父子像素和聚类中心的相似性。基于尺 度间约束，本文定义了新的能量函数并且嵌入到常规的模糊聚类算法中。其中， 推导了新的多分辨空间的模糊聚类迭代计算公式，这些公式用来计算不同分辨率 图像的优化模糊分割。 本文章节安排如下： 第一章介绍了医学图像三维可视化及物质分类的基本背景知识、研究意义和 现状。 第二章介绍了本文涉及到的基础理论知识，如尺度空间，模糊分类算法，连 接模型，常用的体绘制分类算法等。 第三章针对体绘制步骤中物质标记分类的问题，且考虑到脑m r 图像中存在 的噪声和偏场问题，提出了一个合理的人脑标记分类方法。即提出了基于多尺度 连接模型的模糊分类方法，并对正常脑组织分类，且对分类结果进行体绘制实现 验证。 第四章利用第三章提出的分类方法对有多发性硬化病变的脑组织进行分类， 再对分类结果体绘制，且与正常组织分类结果、体绘制结果进行比较，证明了本 方法的有效性。 最后是对全文研究工作的总结和对今后的进一步研究提出展望。 5 硕士学位论文第二二章数学基础 第二章多尺度分类的理论基础 2 1 尺度空间概念 1 9 6 2 年i i j i m a 最早提出尺度空i 旬( s c a l es p a c e ) 思捌2 3 1 ，但当时并未引起计算 机视觉领域的研究者们的足够关注，直至1 9 世纪8 0 年代，w i t k i n 和k o e n d e r i n k 等人的开创性的工作才发展了这个理论【2 4 2 5 1 ，使得尺度空间方法逐渐得到关注和 发展。从8 0 年代后期开始，尺度空间( s c a l es p a c e ) 理论的概念被引入到医学图像 的分割问题中。此后随着非线性扩散方程、变分法和数学形态学等方法在计算机 视觉领域中的广泛应用和发展，尺度空间方法也进入了快速发展阶段。 尺度空间理论【2 6 】是通过原始图像进行尺度变换，获得图像多尺度下的尺度 空间表示序列。它的基本思想是：在视觉信息( 图像信息) 处理模型中引入一个被 视为尺度的参数，通过连续变化尺度参数获得不同尺度下的视觉处理信息，然后 综合这些信息以深入地挖掘图像的本质特征。尺度空间方法将传统的单尺度视觉 信息处理技术纳入尺度不断变化的动态分析框架中，因此更容易获得图像的本质 特征【2 7 1 。 尺度空间方法最初起源于图像处理中的高斯滤波【2 8 】，而高斯滤波模型恰好 为热扩散方程的解，因此人们将视觉信息处理的偏微分方程与尺度空间方法联系 起来，并逐渐发展了各种不同的尺度空间。其中，最为基础的四类尺度空间依次 为：线性尺度空剐2 5 2 9 1 、非线性尺度空耐3 0 , 3 1 】、形尺度空1 甸 3 2 , 3 3 1 和数学形态学尺 度空间【3 4 郧】。这四类基本尺度空间构成了计算机视觉中尺度空间方法的主体。 尺度空间方法是一种尺度参数连续、不同尺度下空间采样保持一致性的视觉 多尺度分析【3 6 】。尺度空间的一个核心问题便是：建立同一物理场景在不同尺度 下图像之间的关系。我们从图像的多尺度表示来说明尺度空间这一概念的意义和 重要性。 自然界中的事物在不同的观测尺度上，呈现出不同的行为和特征。在计算机 视觉中，同样也存在类似问题。这就需要图像数据的多尺度表示来解决这类问题。 图像的多尺度表示，可以将原始图像中的结构分散在不同的尺度中，细微的结构 仅存在于较小的尺度表示中。较大的尺度表示中，不必要和不相关的细微结构受 到抑制，因此基于尺度的图像操作就能够简化。建立图像多尺度表示的方法有很 多种如：卷积核生成的多尺度表示、小波多尺度表示、基于扩散方程的图像多尺 度表示，除此之外还有直接建立在离散图像上的多尺度表示。 6 硕十学位论文第二章数学基础 多尺度方法提供了解决问题的基础，但是没有明确的答案。在不合适的尺度 上，图像操作的结果也很能很差，所以选择合适的尺度参数，较好的克服了噪声 影响，可以很好的提高图像质量。 2 1 1 线性尺度空间 前面介绍的由w i t k i n t 2 9 】等人所提出，后经k o e n d e r i n k t 2 5 】等进一步发展的尺 度空间理论就是线性尺度空间。初始信号厂( z ) r ) 与高斯函数g ( x ，f ) 做卷积， 通过高斯参数t 的变化，获得的不同尺度下的信号表征u ( x ，t ) 。，可以证明恰好是 热扩散方程的解。 j 剑o t 吡娴2 - 1 ) 公式【2 。1 ) i u ( x ，o ) = 厂( 石) 热扩散方程如式( 2 1 ) 所示。因为热扩散方程式线性的，所以上述多尺度分析 称为线性尺度空间方法。线性尺度空间具有灰度不变性、线性性、平移不变性、 尺度不变性、欧氏不变性的特征【3 1 3 引。 线性尺度空间方法较好地体现了视觉多尺度分析的思想，广泛应用于图像滤 波和深层次结构分析，但因为热扩散方程描述的是各相同性的扩散过程，光滑图 像时任意像素点的灰度值在各个方向的扩散都相同，必然引起图像边缘模糊化。 另一方面热扩散方程的线性性决定了它无法满足对比度不变性。为了克服线性尺 度空间的缺陷，必须研究非线性尺度空间方法。 2 1 2 非线性尺度空间 为解决热扩散方程模糊图像边缘不足，p e r o n a 和m a l i k t 3 7 】提出热扩散方程的 如下改进： 詈2 憾寰2 ， _ o n = 0 ，讹( o ，丁) d ” 其中q 为图像的空间区域，t 为模型达到稳定状态的时间，“s ) 为单调递减函数， 且西1 ，( y g ，y ) ) = 半+ 半。当式( 2 2 ) 中的扩散系数c 为常数时，公式( 2 - 2 ) 退化为各 积砂 向同性热传导方程。对于一幅图像，在边缘处i v u l 的值较大，此时c 较小，扩散 速度小，光滑作用不强；在平坦区域i v u i 的值较小，c 较大，光滑作用较强。扩 散主要发生在图像各区域内部，这样能够在保持边缘的同时有选择地光滑图像。 上述即各向异性的扩散方程，常称之为p e r o n a - m a l i k 模型。该模型对线性尺 度空间模型进行了直观改进，但仍然保存图像边缘的意义。与线性尺度空间不同， 7 硕士学位论文 第二章数学基础 非线性尺度空间多了因果性、对比度不变性和仿射不变性的特点【3 1 3 引。 2 2 模糊分类方法 著名的模糊集理论【”】是z a d e h 于1 9 6 5 年提出的，从此也产生了模糊数学这 个学科。模糊集理论使人们认识事物从传统的0 ，1 逻辑转化为 o ，1 1 区间上的逻 辑，是对传统集合理论的一种推广。在传统集合理论中，一个元素只有属于或者 不属于这个集合；但对于模糊集来说，每一个元素都是以一定的程度属于某个集 合，也可以同时以不同的程度隶属于几个集合。 模糊数学自产生起迅速发展，并得到广泛应用，且产生了一些新的学科分支 如模糊神经网络、模糊控制技术和系统、模糊模式识别等。模糊理论在图像处理 中也有广泛应用。图像处理的过程必须充分考虑图像自身的特点和人的视觉特 性。图像成像过程是种多到一的映射过程，也决定了图像本身存在的模糊性；而 人的视觉对于图像从黑到白的灰度级又是模糊而难以区分的。这种模糊性主要表 现在图像灰度的不确定性，几何形状的不确定性和不确定性知识等。在模糊理论 基础上研究不确定性，并将模糊理论引入图像处理中获得极大发展。 一些模糊理论的分支在图像处理中得到较好应用。一些图像的模糊处理技术 如模糊聚类算法m 啦】在图像处理方面展示了广阔的应用前景，其中模糊聚类分割 方法是最经典的一种图像模糊分割方法。在这里我们先介绍模糊集合定义【4 3 1 ， 然后再引入模糊聚类。 2 2 1 模糊集的基本知识 介绍模糊集的定义之前，首先说明隶属度函数。隶属度函数【4 4 4 5 】是表示一个 对象工隶属于集合a 的程度的函数，通常记作u 。( 工) ，其自变量范围是所有可能 属于集合a 的对象，即集合a 所在空间中的所有点，取值范围是 0 ，1 ，即 0 , u a b ) l 。( 功= 1 表示z 完全属于集合a ，相当于传统集合概念上的x a ； 而t 。( x ) = 0 则表示z 完全不属于4 ，相当于传统集合概念上的x 仨a 。一个定义 在空间x = x ) 上的隶属度函数就定义了一个模糊集合a ，或者叫做定义在空间 x = f 石，上的一个模糊子集a 。对于有限个对象x a ，x 2 ，吒，模糊集合a 表示为 a = 舭一) j j 公式( 2 - 3 ) 借用传统集合中的概念，这里的x l 仍然可以叫做模糊集a 中的元素。传统的集合 可以叫做确定集合，通常没有指明集合是模糊集时就认为集合是指确定集合。显 然确定集可以看作是模糊集的特例，即隶属度函数只取1 或o 。 如果模糊集中的元素可以用一个标量工来表征，则隶属度函数t 。( z ) 就是z 的一个单变量函数。通过很多模糊集的例子，可以看出模糊集的表示更接近我们 硕七学位论文 第二章数学基础 日常的理解。模糊集通常用来表示某种人为定义的概念，即用数学形式来表达人 们的语言变量，因此隶属度函数通常需要人为定义。些常见的单变量隶属度函 数的形式包括斜台阶型、三角形、梯形、高斯函数等。 对于定义在同一个空间x = 缸) 上的两个模糊集a 和b ，模糊数学中定义了 它们的一系列运算，其中最基本的一些运算并和交都和确定集合相同，补的运算 与确定集不同，在模糊集中，集合的补集与原集合的交并不是空集。 2 2 2 模糊c 一均值聚类算法 传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待辨识的对象严格地划分到某个类 中，具有非此即彼的性质，因此这种分类的类别界限是分明的。而实际上大多数 对象并没有严格的属性，它们在性态和类属方面存在着中介性，适合进行软划分。 z a d e h 提出的模糊集理论为这种软划分提供了有力的分析工具，人们开始用模糊 的方法来处理聚类问题，并称之为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本属于 各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别 的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界，从而成为聚类分析研究的主流。 伴随着模糊集理论的形成、发展和深化，r u s p i n i 率先提出了模糊划分的概 念。以此为起点和基础，模糊聚类理论和方法迅速蓬勃发展起来。针对不同的 应用，人们提出了多种聚类方法。 模糊聚类是将模糊集的概念应用到传统聚类分析中，让数据集的对象在分组 中的隶属用隶属函数来确定。也就是说，对象在各分组中的隶属度为连续区间 o ，1 】 之间的某个值，以不同程度隶属于多个簇，而非确定性聚类中的0 或1 。模糊聚 类的有点在于能适应那些分离性不是很好、模糊性的数据和类。由于模糊聚类得 到了对象隶属于各个类别的不确定性程度，表达了对象类属的模糊性，能更好的 反映事实，从而得到广泛应用。受到普遍欢迎的是基于目标函数的模糊聚类方法， 也就是说，把聚类归结成一个带约束的非线性规划问题，通过优化求解获得模糊 集的模糊划分和聚类。随着计算机的应用和发展，基于目标函数的模糊聚类算法 成为新的研究热点。 为了优化聚类分析的目标函数，b e z d e k 在1 9 8 1 年提出了应用广泛的模糊c 均值( f c m ，f u z z yc m e a n s ) 聚类算法【4 6 4 7 1 。该算法是从硬c 均值( h c m ，h a r d c m e a n s ) 算法发展过来的，是一种基于在图像特征空间中进行模糊聚类的图像分 割算法。 c 均值算法是在误差平方和准则的基础上实现的。 若m 是第f 聚类f 中的样本数目，样本均值为m ，则 妒寿善y 蝴2 q 9 硕士学位论文 第二章数学基础 把c 中的个样本y 与均值朋，间的误差平方和对所有类相加后为： 以= 抄一朋，1 1 2 公式( 2 5 ) f - ly e t , 其中以是误差平方和聚类准则，它是样本集y 和类别集q 的函数。以度量了用 c 个聚类中心，l l ，聊：，m 。代表c 个样本子集l ，r 2 ，l 时所产生的总的误差平 方。不同的聚类，也的值不同，使以极小的聚类是误差平方和准则下的最优结 果。 为了得到最优结果，首先要对样本集进行初始分类，一般的做法是先选择一 些代表点作为聚类核心，然后把其余的点按某种方法分到各类中去。关于代表点 的选择有很多方法【4 8 】，如经验选择代表点，密度法代表点等。选定代表点后， 进行初始分类。这是c 均值的理论，下面我们在c 均值基础上介绍模糊c 一均值 方法。 设k ，f = 1 ，2 ，刀 是，z 个样本组成的样本集合，c 为预定的类别数目， m 。，i = 1 , 2 9 t 9 c 为每个聚类的中心，a h ) 是第f 个样本对于第- ，类的隶属度函数。 用隶属度函数定义的聚类损失函数写为： j = 宝宝k ，“计i i x i - m 1 1 2 公式( 2 - 6 ) y = li = l ” 其中，b l 是一个可以控制聚类结果的模糊程度的常数。 不同的模糊聚类方法是通过在不同的隶属度定义方法下最小化式( 2 6 ) 的损 失函数。模糊c 均值方法要求一个样本对于各个聚类的隶属度之和为1 ，即 ， ) = 1 ，i = l 2 堋 公式( 2 - 7 ) 在条件式( 2 7 ) 下求式( 2 6 ) 酊极小值，令，r 对朋j 和，b ) 的偏导数为0 ，可得必 要条件： 窆k ，“汗 旷氮而k ，b 汁 ，i = 1 , 2 ，甩公式( 2 - 8 ) ，。，g，=盟i，乓qp，：=。，：，；。，：=。，：，。：左卜j。：， 。喜面 i o 硕七学位论文第二章数学基础 然后用迭代法求解式( 2 8 ) 和( 2 - 9 ) ，就是模糊c 均值算法。该算法的优点： ( 1 ) 可以形成原始图像的细致的特征空间，不会像硬分割那样产生偏移； ( 2 ) 对原图像中的噪声敏感度较低，但该算法应用于大数据量情形时，收敛 速度慢，耗时多，且算法中聚类结果的好坏及聚类的收敛速度对初始值的选择较 敏感。 2 3 体绘制方法 三维可视化有两种方法：面绘制和体绘制【”】。面绘制方法通过在三维数据 场中构造几何图元，然后再由传统的计算机图形学技术实现绘制显示。体绘制方 法与表面绘制不同，它不必构造中间几何图元，直接对处理过的数据进行绘制， 生成最终的显示图像【6 】。面绘制和体绘制是两种绘制原理截然不同的方法，一直 以来很多研究者对两种绘制方法的优缺点没有达成共识【4 9 】，但体绘制方法在显 示图像细节是面绘制无法相提并论的，而这点也正是很多应用方面所需要的。所 以体绘制会成为将来的一种研究热潮和必然趋势。 一般来说，相对于体绘制方法，面绘制方法的最大优势是可以借助传统的图 形硬件来进行加速，绘制速度比完全采用软件方法的体绘制快。另一方面，中间 几何图元生成以后，可以将原始数据以中间几何图元列表的形式保留，节省存储 空间，而且在下次需要显示的时候可以直接读取。但所生成的中间几何图元只是 原始数据的一个近似逼近，并不能完整地反映原始数据的真实细节这是面绘制一 个最大的弊病。随着数据场规模的不断扩大，生成的中间几何图元数量越来越多， 往往会超出图形硬件的支持能力，影响到图像的显示速度。这样一方面增加了数 据处理时间，另一方面进一步影响了细节的显示，而对于医学图像来说，病变信 息往往体现在这些细节上，细节的损失对于疾病的诊断是极为不利的，将降低三 维可视化在临床诊断中的应用价值。而体绘制方法可以完整地保留原始数据场的 全部细节，可以随着画面的显示比例自动地调节细节的显示程度，表面绘制方法 的几何图元是事先生成的，在显示的过程中无法调整，而且对于显示硬件性能的 依赖也会制约绘制方法的通用性。总的来说，对于三维可视化来说，体绘制方法 具有较大的优势。 2 3 1 体绘制方法分类 体绘制算法可根据所用的投影策略不同加以分类，分为以对象空间为序 ( o b j e c to r d e r ) 的算法1 5 0 , 5 1 l 正向算法又称为体素投影法( v o x e lp r o j e c t i o n ) 和以 图像空间为序( i m a g eo r d e r ) 5 2 , 5 3 】的算法逆向算法又称为光线投射法( r a y c a s t i n g ) 。一般来说，体素投影法绘制的速度比光线投射法快。 硕士学位论文第二章数学基础 2 3 1 1 图像空间扫描的体绘制技术 光线投射算法【5 2 件5 7 】是1 9 8 8 年m l e v o y 首先提出来的一种在图像空间实现 体绘制的离散方法，该算法是基于图像空间扫描实现体绘制的经典算法。以图像 空间为序的光线投射算法是从屏幕上的每一个像素点出发，根据设定的视线方 向，发出一条射线，这条射线穿过三维数据场的体素矩阵，沿这条射线选择k 个等间距的采样点，由距离某一采样点最近的8 个体素的颜色值及不透明度值做 三次线性插值，求出该采样点的不透明度值及颜色值。求出该条射线上的所有采 样点的颜色值和不透明度值以后，可采用由后到前或由前到后的两种不同方法将 每一采样点的颜色及不透明度进行组合，从而计算出屏幕上该像素点处的颜色 值。 自适应光线投射算法如图2 1 所示，首先像平面分成若干正方形的区域，从 正方形的4 个顶点投射出光线，每条光线分成等距的采样间隔，采样点位于采 样间隔中心处，通过对周围八个邻近点颜色和不透明度的三次线性插值得到采样 点的颜色和不透明度，用简化的p h o n e 光照模型5 8 】对采样点进行消隐计算，由前 向后的将各个采样点的颜色和不透明度值加以合成，当不透明度值累积为设定值 时提前终止光线的投射。如果正方形上发出的4 条采样光线上所得最终差值小 于域值，则不再进行下一步工作，否则该正方形区域进一步分成4 个二级正方 形，投射出更多的光线，然后重复前面的步骤，直到最终颜色差值在域值范围之 内或正方形的尺寸达到设定的最小值。当所有正方形采样区域处理完后，像平面 上的最终图像通过双线性插值法实现。 采样 点 图2 - 1 光线投射算法原理 基于图像空间扫描实现体绘制的算法除了r a yc a s t i n g 还有c e l li n t e g r a t i o n 、 s e b e l l am e t h o d 5 9 1 ，在此就不再详细介绍。本文实现可视化用的就是光线投射算 法。 1 2 硕十学位论文第二章数学基础 2 3 1 2 物体空间扫描的体绘制技术 基于物体空间扫描的s p l a t t i n g 算法【6 0 6 2 】，与光线投射法不同，抛雪球 ( s p l a t t i n g ) 算法是反复对体素进行运算。它用一个称为足迹( f o o tp r i n t ) 的函数计算 每一体素投影的影响范围，用高斯函数定义强度分布( 中心强度大，周边强度小) ， 从而计算出其对图像的总体贡献，并加以合成，形成最后的图像。由于这个方法 模仿了雪球被抛到墙壁上所留下的一个扩散状痕迹的现象，因而得名“抛雪球 法”。抛雪球算法是“以物体空间为序”的体绘制算法，所以它的优点就是能按 照体数据存储顺序来存取对象，同时只有与图像相关的体素，才被投射和显示， 这样可以大大减少体数据的存取数量，而且算法适合并行操作。 从理论上说，使用同样的重构函数权值，抛雪球算法能生成和光线投射算法 相同质量的图像。但在实际应用中，其权值计算比较困难，所以经常使用近似算 法，因而图像质量会有所下降。下面详细介绍s p l a t t i n g 算法原理。 溅射( s p l a t t i n g ) 法也称足迹表 法( f o o tp r i n t ) ，是由l w e s t o v e 一6 0 1 于1 9 9 0 年正 式提出来的。该算法的基本思想是逐个、逐行、逐层地计算每一个数据点对屏幕 像素的贡献，并加以合成形成最后的图像，因而是一种物体空间扫描的体绘制算 法【6 3 】。其理论如下： 对于离散的三维数据场p 引，为离散的三维坐标，用公式 c g ，少，z ) = j l z ，b 一乏，y 一一r y , z - 乏l d 【) 公式( 2 1 0 ) 将其重建为三维连续的体数据场，其中，0 ，分别为像素坐标，在石， y ，z 轴上的三个分量，h ，为三维重建的插值核。从式2 1 0 可知，空间任意一离 散采样点对任意一连续点( 石，y ，z ) 的贡献为： e g ，j ，z ) = 玩b 一乏，y 一一r ，, z - 乏j d 仁) 公式( 2 1 1 ) 设某一投影射线，穿过像素，打到探测板上，那么像素，对射线，投影的贡献 为： e g ，少，z ) = p ，b 一乏，y 一一r y , z - 乏j d g 切 公式( 2 1 2 ) 由于积分与p 无关，因此2 1 2 式又可写成： c b ，y ，z ) = p w , ； 公式( 2 1 3 ) 其中_ ；= e j i l ，b 一乏，y 一一r y , z - 乏切为像素；对射线，投影贡献的权值。整条射线 的投影只为： 硕十学位论文第二章数学基础 弓= 芝p ( 一) p 。b r x ，y 一一r y , z - 乏如 公式( 2 1 4 ) n = l 一” 其中是三维数据场总的像素个数。 以对象空间为序的体绘制方法除上述介绍的足迹法( f o o tp r i n t 或s p l a t t i n g ) 还 有错切形变法( s h e a r - w a r p ) 6 4 - 6 6 。 2 3 2 体数据分类 要重建、分析体数据的三维结构，必须确定各种物质在体数据中所占的区域， 也就是物质的分类