（生物医学工程专业论文）矩不变量构造方法及其应用研究.pdf

a b s t t a c t a b s t r a c t t i t l e ：r e s e a r c ho nc o n s t r u c t i o nm e t h o da n da p p l i c a t i o no fm o m e n ti n v a r i a n t s a u t h o r ：w a n gc u j t h e s i ss u p e r v i s o r ：p r o f s h uh u a z h o n g s c h o o l ：s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f e a t u r ee x t r a c t i o np l a y si m p o r t a n tr o l ei nt h ea p p l i c a t i o no fp a t t e r nr e c o g n i t i o n t h e s ef e a t u r e sa r e o f t e nn e e d e dt ob ei n v a r i a n tu n d e ri m a g et r a n s f o r m a t i o n ss u c ha st r a n s l a t i o n ，s e a l ea n dr o t a t i o n s i n c eh u f i r s ti n t r o d u c e dt h em o m e n tf u n c t i o n sa n dm o m e n ti n v a r i a n t si nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g ，m o m e n t s a n dm o m e n ti n v a r i a n t sh a v e f o u n de x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni ni m a g ea n a l y s i sa n dp a t t e r nr e c o g n i t i o n h o w e v e r ，t h eg e o m e t r i cm o m e n t ss u f f e rf r o mt h eh i g hd e g r e eo fi n f o r m a t i o nr e d u n d a n c y ，a n dt h e ya r e s e n s i t i v et on o i s ef o rh i g h e r - o r d e rm o m e n t s r e c e n t l y ，v a r i o u st y p e so fm o m e n ti n v a r i a n t sh a v eb e e n p r o p o s e d ，f o re x a m p l e ：c o m p l e xm o m e n ti n v a r i a n t s ，z e m i k em o m e n ti n v a r i a n t sa n ds oo n ac o m p l e t es e t o fs i m i l a r i t yi n v a r i a n td e s c r i p t o r se x t r a c t e df r o mc o m p l e xm o m e n t sh a sb e e np r o p o s e db yg h o r b e la n d d e r r o d e c h o n ge ta 1 p r o p o s e dan e w m e t h o dt oa c h i e v em o m e n ti n v a r i a n t sb yu t i l i z i n gk e n e lf u n c t i o no f m o m e n t s t h e yh a v eb e o np r o v e ns u p e r i o ra n df a s t e rt h a nt r a d i t i o n a lm e t h o d s h o w e v e r ，i ts e e m sd i 缅c u l t t oo b t a i nc o m p l e t e n e s sb yc h o n g sm e t h o d p s e u d o z e m i k em o m e n t sa n dz e r n i k em o m e n t sh a v es i m i l a r o r t h o g o n a l i t ya n di n v a r i a n c e t or o t a t i o n t h ef o r m e ro f f e r sm o r ef e a t u r ev e c t o r sa n dh a sb e t t e r p e r f o r m a n c et oi m a g en o i s e a c c o r d i n g l y ，r e s e a r c ho np s e u d o - z e m i k em o m e n ti n v a r i a n t sa n dz e m i k e m o m e n ti n v a r i a n t sh a si m p o r t a n tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ef o c u so nh o wt oc o n s t r u c tc o m p l e t es e t so fm o m e n ti n v a r i a n t sm o r ea v a i l a b l e i ni m a g ea n a l y s i sa n dp a t t e r nr e c o g n i t i o na p p l i c a t i o n s f i r s t l y ，w ei n t r o d u c e ds o m ee x i s t i n gm e t h o d s i n c l u d i n gt h ec o m p l e t es e to fc o m p l e xm o m e n ti n v a r i a n t s ，t r a n s l a t i o ni n v a r i a n t ao fz e m i k em o m e n t ，a n d s a c l ei n v a r i a n t so fp s e u d o z e m i k em o m e n t ，e t c t h e n w ep r e s e n tag e n e r a lm e t h o dt od e r i v eac o m p l e t es e to fz e m i k em o m e n ti n v a r i a n t s w er e v e a l t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nz e m i k em o m e n t so ft h eo r i g i n a li m a g ea n dz e m i k em o m e n t so ft h ei m a g eh a v i n g t h es a m es h a p eb u td i s t i n c ts c a l e b a s e do nt h i sr e l a t i o n s h i p ，t h ec o m p l e t es e to fs c a l ea n dr o t a t i o n i n v a r i a n t sc a nb ee x p r e s s e da sal i n e a rc o m b i n a t i o no ft h eo r i g i n a lz e m i k em o m e n t so ft h es a m eo r d e ra n d 1 0 w e t f u r t h e r m o r e w i t ht h eh e l po ft r a n s l a t i o ni n v a r i a n t so fz e m i k em o m e n t s ，t h es i m i l a r i t yi n v a r i a n t s ( t r a n s l a t i o n ，s c a l ea n dr o t a t i o n ) c a nb eo b t a i n e da n di m a g ec a nb er e c o n s t r u c t e db yac o m p l e t es e to fi t s s i m i l a r i t yi n v a r i a n t s f i n a l l y w ee x t e n d e dt h ea b o v e m e n t i o n e dm e t h o dt op s e u d o z e m i k em o m e n t sa n do b t a i n e da c o m p l e t es e to fp s e u d o - z e m i k em o m e n ti n v a r i a n t s t h ep e r f o r m a n c eo fp r o p o s e dm e t h o di se v a l u a t e d u s i n gas e to fs t a n d a r dg r a yi m a g e s k e yw o r d s ：m o m e n tl n v a r i a n t z e r n i k em o m e n t i m a g ea n a l y s i s p a t t e r nr e c o g n i t i o n c o m p l e xm o m e n t p s e u d o - z e m i k em o m e n tk e n e lf u n c t i o n c o m p l e t e u e s s i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 研究生签名：至翌 日期： ”诏机1 6 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括干0 登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：二l 望l 导师签名：鱼生墨日 期：坐墨：兰：! ! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题背景与研究意义 1 1 1 矩的基本概念介绍 当前，数字图像处理与分析领域里的一个重要研究方向是图像形状特征的表达。矩函数是一种 非常有效的图像形状描述子，广泛应用于模式识别，物体分类，方位估计，图像编码和趟像重建等 应片j 领域。从一幅数字图像计算得到的一系列低阶矩值，通常表达了图像形状的全局特征可以 提供关于该幅图像儿何特征的很多有用信息。而高阶矩值则描述了图像的细节部分。由矩函数呵以 得到一系列的不变量，它们在图像发生平移、缩放、或旋转变换后，仍然保持不变，从而可以作为 特征向蕈被应用于模式识别、图像分析等领域。矩的这种表达特征的能力使其成为计算机视觉和机 器人领域里的有效工具。从本质上讲，不同的矩是由不同的连续或离散多项式作为内核而构造的函 数。随着研究的进展，近些年来一些新形式的矩不断地被提出，各种矩在某些特定的方面具有独特 的优越性。 1 1 2 矩函数理论的发展过程 1 9 6 2 年，h u ”“成功地将矩应用到图像分析领域中，提出了七个几何矩不变量，他的方法是建 立在1 9 世纪数学家b o o l e ，c a y l e y ，和s y l v e s t e r 的工作之上的。随后，基于几何矩不变量的方法有了 许多应用“。例如，模式识别中的船只鉴别”1 、飞机鉴别”1 ；模式匹配“1 和景物匹配”1 等。之后，s a d j a d i 将矩的定义推广至三维，并导出了三维条件下的几何矩不变量”1 。尽管几何矩计算简单，但是它最 大的缺点在于它的非正交性，这就给蚓像重建带来困难。t e a g u e 从图像重建的角度出发，引入了正 交矩的概念，并提出了k g e n d m 矩和z e m i k e 矩的基本定义及其应用领域“。1 9 8 1 年，径向矩的概念 被提出，从而为旋转不变量的导出提供了基本理论“。之后提出的f o u r i e r - m e r l i n 描述子是图像矩函 数理论的一个很重要的发展，它为不变鼍的推导提供了一个总体框架“。1 9 8 4 年，a b um o s t a f a j j i 入 了一个更为普遍的复数矩的概念，提出了由复数矩推导出矩不变量的方法，并从信息冗余和噪声敏 感度方面进行了分析“。1 9 8 8 年，t e h 等学者从图像的描述能力、噪声敏感性、信息冗余等方面比 较了几何矩、l e g e n d r e 矩、z e m i k e 矩、旋转矩、复数矩等，并；l a t p s e u d o z e m i k e 矩“。图像矩函 数理论和应用在9 0 年代有很大的发展，基于矩的图像分析理论和应用频频出现在有关文献中 【l “【i6 】【l7 】【】目【1 9 1 ( 2 0 1 东南大学颁i 。学位论文 1 2 矩函数的理论 h u 最早提出了几何矩的概念，此后，人们在几何矩的研究基础上，陆续提出了儿种具有更好性 质的矩，如l e g e n d r e 矩，复数矩，z e m i k e 矩，p s e u d o - z e r n i k e 矩等。 1 2 1 几何矩 设连续条件下二维图像函数为f ( x ，y ) ，则它的( p + q ) 阶儿何矩定义如i - 。1 m 。一正x p y 。，o ，y ) d x d y p ，q = 0 12 *( 1 1 ) 从该定义可以看出，几何矩本身具有明确的物理意义，如零阶矩表不物体的质量，一阶矩表不 物体的质心，二阶矩表示物体的方向等。经过上述变换，图像的形状函数可以认为是由变换系数m w 组成的无限集合，这些系数是由图像函数投影到一组二维多项式基函数上形成的。 图像函数厂o ，y ) 的( p + q ) 阶中心矩定义为： ，7 。2 f 。j = 。 一i ) 9 0 一歹) 9 f ( x ，y ) d x d y ( 1 2 ) 鼽拈急小急 对于一幅mx n 的离散幽像f ( ，j ) ，它的( p + q ) 阶几何矩定义为： 2 善荟9 ，州，) ( 1 3 ) 令一瓮一譬竽，经过哟愀数恒等姒h u 推导出七个对于图像的位 移、缩放和旋转变化都不变的绝对不变式。 m 1 ；a 2 0 + 2 m 2 昌( p 2 0 一0 2 ) 2 + 4 声 1 2 m 3i ( t 3 0 一3 1 2 ) 2 + ( 3 2 1 一卢0 3 ) 2 m 4 - ( 3 04 - 肫2 ) 24 - ( 肛2 l 一心3 ) 2 帆；( 3 0 3 地2 ) + ( 3 0 + “z ) 【( + 2 3 ( 肛：t + 3 ) 2 1 f 1 4 ) + ( 3 2 1 + # 1 0 3 ) ( 肛2 1 + 0 3 ) 【3 ( 地o + u 1 2 ) 2 一( 2 1 + t t 0 3 ) 2 】 m 6 = ( 肛2 0 一卢0 2 ) 【( 肛3 0 + 以2 ) 2 一( 2 l + 0 3 ) 2 】 + 4 l l ( p 加+ 盹2 ) ( p 2 1 + 0 3 ) m 7 = ( 3 肛2 l 一0 3 ) ( ，b o + 卢1 2 ) 【( 口3 0 + 肛1 2 ) 2 - 3 ( , u 2 l + , u o a ) 2 】 一( ，b o 一3 n 2 ) ( p 2 l + 0 3 ) 【3 ( 口3 0 + “2 ) 2 - 0 , 2 1 + 口) 2 】 其中m 。m 。具有镜像不变性，而m 7 在镜像变换时则变为一m 7 这些不变式在边缘提取、 图像匹配及目标识别中具有广泛的应用“。 2 第一章绪论 1 2 2 复数矩 复数矩在目标姿态、目标方位的计算、幽像重构和其他领域( 如图像处理、图像识别和计算机 视觉等) 都有着广泛的应用。但是复数矩与儿何矩一样，也不具备正交性，这就使得它无法直接用 于图像重建。 ( p + 口) 阶的复数矩定义为： c 胂。f f ( x + i y ) 9 0 一妒) 9 f ( x ，y ) d x d y 上式可以片j 极坐标形式表示如下： 由公式( 1 6 ) 可以推出复数矩与几何矩之间的关系： 特别地， 2 薹酮( q ) i p + q - ( r + s ) 厂3 。c ，+ ， c 矗= m ” c l o m 1 0 + 埘o l c o l ；m 2 0 + m 0 2 c 2 0 = m 2 0 一m + 2 x m “ 1 2 3z e r n i k e 矩和p s e u d o z e r n i k e 矩 ( p + q ) 阶z e m i l e 矩定义为“1 ： z 。；乞孑f 吃( ， 吖口) 删一 其中，0 纠g b p y l p ig i 为偶数，( r ，日) 为z e m i k e 多项式： ( ，p ) = ( r 弦加 上式中r e q ( r ) 为径向多项式，其定义如f ： r ，扣x - i q l ) 7 2 ( 二! ! 鱼二型 一。 。w，5荟：11jji：瀚92+ ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) f 1 1 0 ) n 1 1 ) 鼽= 面端篙黠翱吼2 ，舶i o ，归一化参数c ，( p o 一1 , p o ) 0 g h o r b e 】等提出了一个对于角度和尺度同时不变的完备集( e ) ： 咣p ，g ) = ，严2 k 。9 刊唧c ，0 ，q )( 2 3 ) 其中o = a r g ( c ，( 1 ，o ) ) ，厂，一c ，( o ，o ) ，。，p ，鸟) 是图像函数f ( x ，y ) 的复数矩。对于 r ： g ( ，一) = f ( o t r ，0 + 卢) ，可以得到巳一o g2 卢( 知) ，了 2 口，则i s ( p ，口) = ，；( p ，g ) 。 g 式( 2 4 ) 可以证明，( 2 3 ) 式给山的不变量集是完备的： c ，( p ，q ) = ，；9 + 9 “e 咖一9 磅，；( p ，q )( 2 4 ) 7 东南大学硕l ：学位论文 如果己知所有阶的不变量，c 佃，q ) 和两个归一化参数f i 和0 1 ，就可以计算山各阶复数矩 c ，( p ，q ) 。 文献【3 0 】指山，集( 中，) 是集( ，；) 的一个子集。 2 2z e r n i k e 矩的平移不变量 c h o n g 借助z e m i k e 中心矩和z e m i k e 矩推导出了z e m i k e 矩的平移不变量。 p 阶重复度为q 的径向矩定义如r ： d 。2ls ，e l 坤f b ，e 一由d e z e m i k e 矩和径向矩之间的关系如( 2 6 ) 式所示： z 。= 譬差 多项式系数口m i 的定义见式( 1 1 1 ) 。 p 阶重复度为q 的径向矩中心矩定义如下： 瓯；工正【o x o ) 一i ( y y 。) 】扣”2 【 一x o ) + i ( y y 。) 】佃1 ”2 f ( x ，y ) d x d y 其中p q 为偶数，和y o 分别是石轴和y 轴方向上的图像质心，= y oi ( 2 7 ) 丸2 l f k 一爿) “( k + 一) ”f ( x ，y ) d x d y ( 2 - 8 ) 上式中，k 一工一妒，a m x o 一y 。= d l ，u = ( p + q ) 2 ，v ；( p - q ) 2 。由牛顿二项式定 理得到如下两个关系式： ( n 伊蠢阱科弋卅) “ ( 2 9 ) ( f 卅7 = 塞吣f r 7 ( 2 - 1 0 ) 将( 2 9 ) 式和( 2 加) 式代入( 2 8 ) 式中得到： 屯。磊u 例v u 厅”卜( 兀“) ”“( 矿邯y “触y ) 蚴 瓯。蠢鲥( ：) ( 卅c 卅d p + 一 上式中，p = m 一，1 ) + ( v h ) ，q = 一州) - ( v - n ) 。 8 ( 2 1 2 ) 第二章现有的矩不变量构遗方法 2 。2 了p + l 乏p “( k 一一) m 州2 ( k 一爿) y 2 雕，y ) 蚴 ；等耋氏 借助( 2 1 1 2 ) 鼬j - ( 2 1 3 ) 式进行变形： o 譬盏耋醐”缈c ， 式中 整理( 2 6 ) 式，用一系列z c m i k e 矩的组合来表示p 阶重复度为g 的径向矩： d m 荟州咖 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 2 而i 硒= i 屯= 1 弗) 2 一q ) + 三一c ( 一胁，j 讳” ( 2 1 6 ) ，- 等河却吨 a p - q ，a j 为偶数 借助公式( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) ，( 2 1 3 ) 式中的z c m i l 【e 中心矩可以用一系列z e m i k e 矩的线性组合来表示： 和譬耄薹薹( 珊) c 训c 棚”乳孙啦啪 ( 2 1 7 ) 式即为z e m i k e 矩的平移不变量。 2 3p s e u d o - z e r n i k e 矩的缩放不变量 由( 1 侣) 式可看出，p s e u d o - z e m i k e ( 下文简称p z ) 多项式s 。( ，) 关于g 对称。不失一般性地， 可以只考虑9 2 0 的情况。对( 1 18 ) 式进行变量替换o 一，一t ) ，将其变形为： m 毫( 瓦意， 仁 令： 9 东南人学碗l 学位论文 日肿| ( - 驴4 而意 ( 2 1 9 ) 最终得到： s 月( ，) = h 州r ( 2 2 0 ) p z 矩尺度不变量的构造通常采埘图像归一方法和间接方法”。c h o n g s 日以上两种方法都存 在不足之处l “1 ：由于归一化参数不能精确地对应图像的尺度变换，用归一化方法计算图像的矩值可 能与实际的矩值不同：而间接法则需要计算多项式系数，复杂耗时。为了克服这些缺点，c h o n g 提 出利用矩的核函数的性质来推导出其不变量的新方法”，并证明此方法比传统方法更加快速有效。 假定原始图像在j 方向和y 方向以相同的缩放因子a 进行尺度化，那么缩放后图像的p z 矩为： 乇。“s w 州e 御，( r 肿r x 咖棚 f 。一o + 1 ，a ( r 一 o ) ) 4 利用( 2 2 0 ) 式，将上式改写成： 乇；。艺f 4 f 似r ) e - j q a ，( r ，日) ，) 咖m 一 ( 2 2 2 ) s w ( ，) - h ( ，) 9 州一( ，- 1 ) ( r ) + 日w ( 州 ) + + 日础( r ) + + 日胛扣+ 】) ( r ) 4 + 1 + 口脚( r ) 。 、 s 月似7 ) = h m 7 ) 9 + h m ( p 一1 ) 似7 ) 。+ h 月 ，一2 ) ) 亿2 4 1 + + 日时 r r + + h w ( 州) 心r ) 州+ m 陋，) 9 、 由( 2 2 3 ) 式和( 2 2 4 ) 式可以得到尺度化前后的p z 行向多项式( p 阶，重复度为g ) 之间的关系： s e q ( a ，) 一三日时 r ) 。口91 ( ，) 一蒌r - h 时( r ) l ( 2 2 5 ) # - ql o t g i ，7 一s 一( 叫+ 一- 雕t 觯7 ) + ( p - 2 ) s ( p - 2 ) q ( b ) + + 叩一( 叫 蚴、 = 口9 p ) + ( 删& ，曲( ，) + ( p - 2 ) s ( p - 2 ) q ( ，) + “+ 叼m ( ，) 。 叩m ；1 叩，；p 驴- m 厂f 乏0 卜。， 仁z 乃 qs ms ( p - 1 ) ，p7 = p s m + 1 1 0 第二章现有的矩不变量构造方法 霪( ) 7 一t 乇2 口”2 毫( ) 可肼 但瑚， 注意到奄= 口2 瓦，消去上式中的尺度化因子口，御r j p z m s 的缩放不变量妒。： 妒肿；她 在上面的等式中，妒。_ i ； j 重复度为q 、阶数递减的一系列p z 矩的线性组合来表示，与尺度化因 子口无关。另外，可以利州下式来减少p z 矩的计算量： s 。( r ) = ( 厶，+ 工z ) l p - 1 ) q ( ，) + 厶s o - 2 ) o ( r ) 其中， l 。 ! ! 旦望! 三旦1 1 p + g + 1 ) ( p g ) 厶。却+ 亟警等趔厶 厶；( 2 p 一1 ) ( p 一1 ) 一堡竺罢幽厶+ 2 ( p 1 ) ： 2 4z e r n i k e 矩的缩放不变量 ( 2 3 0 ) 将c h o n g 的方法稍作改变，可以获得z c r i l i k e 矩的尺度不变量。 假定原始图像以同样的因子a 在石轴和y 轴同时被尺度化，尺度化后的z c m i k e 矩定义如下： 2 p 。；廿学e 心p 。协y 博f b 。盼洲e 尺度化前后的z e m i k e 多项式之间的关系由下式给出： 似) 一( h ) 一a 暇( ，) 一 将式( 2 3 2 ) 展开弗按照r 的降幂顺序排列，利用递推关系，可以得到 q + ( m v 2 ) ( 舢) + q + ( m ) 删乜一2 目( 加) + + ( 加) ； a 9 【，7 朋( q + ( p 目) ，2 ) r 舶p ) + 叩一( g + ( p 一日) ，2 1 ) 吃一2 ，g ( r ) + + 墨卵( r ) 】 其中，。+。，。：，；，。+，；一t；l；!警 利用( 2 j 3 ) 式，可以得剑尺度化前后的z e r n i k e 矩之间的关系： ”警等圳。列“蔫”嚣m 九撕。 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 东南人学顾i 学位论文 利用三m ot a 2 z 。消去( 2 3 4 ) 式中的尺度化冈子a 得到 妒品 2 痞 ( 2 3 5 ) 式即为z c m i k e 矩的尺度不变量。 ( 2 3 5 ) 第三章完蔷的z e r n i k c 矩小变量构造方法 第三章完备的z e r n i k e 矩不变量构造方法 c h o n g 提了得到k g e n d f e 矩和p s e u d o z c m 她矩缩放不变量的新方法，并证明这些不变量 比传统方法更加快速有效。但是，c h o n g f f ：j 方法难以获得完备性。本章提出一种新的方法，通过建 立原阔像的z e m i k e 矩和缩放后图像的z e m i k e 矩之间的关系，将完备的缩放和旋转不变量表示成原图 像的同阶和低阶z e r n i k e 矩的线性组合，结合z c m i k e 矩的平移不变量，构建了一个完备的z e m i k e 矩不 变量集合。实验结果表明了这些不变量集的有效性。 3 1 完备的z e r n i k e 矩缩放和旋转不变量构建方法 3 1 1 尺度化前后的z e r n i k e 矩之间的关系 ( 1 1 1 ) 式表明，径向多项式r 。r ) 关于q 对称。因此，不失一般性地，我们只考虑碍0 的情 况。 令p = 口+ 2 mm o ) ，将( 1 ”) 式改写如下： 。= 薹( 刮而i ( q + 丽2 m - k ) ! 2 旧” ( 3 1 ) 将( 3 1 ) 式中的i 用( 肌- k ) 代替，径向多项式可改写为： ，。薹c 。r 赭轰聂等“= 薹“舭 式中 t 卟旷瑞躺 b s ， 记：磷q 、r ) 一( r 。( ，) ，曩+ 2 。( ，) ，r + 2 m , q ( r ) ) 7 ，m 。q 、r ) = r q ，9 “，“) 7 ，上标r 表示转置。 将( 3 2 ) 式改写成矩阵形式： 磁( r ) = q m ：( ，)( 3 4 ) 其中，c ：= ( ) ，0 s ，s i ，c ：是一个咖+ 1 ) 阶下三角矩阵。其元素c q i ，m ( 3 3 ) 式确定。容易 看出，矩阵q 的对角线元素c 9 全部非零，因此矩阵c 是非奇异的。 ( 3 4 ) 式两边同时左乘q 的逆矩阵： m ：( ，) 一( q ) 4 碟( r ) = 珲嵋( r )( 3 5 ) 上式d ：一( 彬，) ，0 sjs i ，为c ：的逆矩阵，则d ：t g 是- - + 沏+ 1 ) 阶f 三角矩阵。其元素为： 东南大学硕士学位论史 卵，= 黯湍 ( 3 6 ) 式的证明方法由s h u 等在文献【3 5 】中提出，现介绍如下 要证d y i ( 3 6 1 式，等价于证明f 面的关系式成立： 善，嵋。瓯，s 七s k 若f k ，由关系式( 3 3 ) 和( 3 7 ) 可以得到： 骞c 忍d ，m ，= 。d 以； ；：端! ! 丢等；掣= ， 若， 抗噪声性能 为了验证不变量集的抗噪声性能，我们对p e p p e r s 图像分别施加均值p = o t 方差o 2 ，5 ，8 ，1 2 的高斯白噪卢。分别按照( 3 4 5 ) 式和( 3 4 6 ) 式来计算施加噪声前后的三种矩不变量的相对误差，并作 图比较。 第三章完备的z c m i k c 矩不变量构造方法 ( a ) 0 2 = 2 ( c ) o 。= 8 ( b ) o z = 5 ( d ) 0 2 = 1 2 图3 1 1 采用( 34 5 ) 式比较不变量的抗噪声性能 ( a ) 0 2 = 2 ( b ) 0 2 = 5 ( c ) 0 2 = 8( d ) 0 2 = 1 2 图3 1 2 采用( 34 6 ) 式比较不变量的抗噪声性能 2 7 东南大学碗f - 学位论文 由图3 1 1 雨1 3 1 2 可以看出，对丁- 不同均方筹的高斯自噪卢，按照( 3 4 5 ) 式计算不变晕相对误萍时 c h o n g z m l 平【j z m i 的相对误差均低于c m i ，而按照( 3 4 6 ) 式计算时，z m i 的相对误差则更低。 3 3 2 利用完备的z e r n i k e 矩不变量集进行图像重建 重建图像i ( x ，y ) 和原始图像f ( x ，) ，) 之间的误差定义为： xx t f ( x ，y ) 一y ( x ，y ) r 。专i 丽歹厂 ( 3 4 7 ) 借助( 3 4 3 ) 式n ( 3 4 4 ) 式对k n a 图像进行重建实验，按n ( 3 4 7 ) 式计算重建误差，实验结果如表3 1 所示。 表3 1l e n a 图像的重建结果 图3 1 3 标准灰度图像l e n a ，1 2 8 1 2 8 矩不变量 3 04 0 5 0 6 07 08 09 0 最高阶数 图像重建 结果 覃建误差0 0 9 1 2 90 0 7 2 5 3 70 0 6 1 2 1 10 0 5 3 2 0 9o 0 4 7 8 0 10 0 4 2 8 9 70 0 3 8 6 5 4 表3 1 表明，随着t 【_ i j 于图像重建的矩不变量最高阶数的增大，图像重建的误差也就越小，重建出 的幽像越接近于原图像。 第三章完备的z e r n i k e 矩小变最构造方法 3 4 结论 本章提出一种新的方法，通过建立原酬像的z e m i k e 矩和缩放斤图像的z e m i k e 矩之间的关系，将 完备的缩放和旋转不变量表示成原例像的同阶和低阶z e m i k e 矩的线性组合，结合z e m i k e 矩的平移不 变量，构建了一个完备的z e m i k e 矩不变量集合。 实验结果表明，z m i 方法可以用丁图像重建。另外该方法与c m i 和c h o n g z m l 相比，对于图像 的旋转和缩放。具有更低的相对误差，同时也具有更优的抗噪声性能。 东南人学硕十学位论文 第四章完备的p s e u d o z e r n i k e 矩不变量 构造方法 4 1 完备的p s e u d o z e r n i k e 矩相似性不变量构造方法 p s e u d o z e m i k e 矩也是定义在单位圆内的止交基函数，第三章提山的构建完备的z e m i k e 矩不变 量的方法同样可以用于构建完备的p z 矩不变量( 下文简称p z m i ) 。 为了得1 t j e z 矩的平移不变量，我们参照文献 3 0 中描述的方法，计算图像的一阶几何矩，得剑 图像的质心，然后将该点作新为坐标系的原点。 由( 1 1 8 ) 式可以看出，多项